Tài liệu Tích chập, tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân fourier, fourier sine, fourier cosine và ứnh dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ——————————————— CAO VĂN NHẬM TÍCH CHẬP, TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER, FOURIER SINE, FOURIER COSINE VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Minh Khoa Hà Nội - 2011 LỜI CẢM ƠN Trước tiên tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Minh Khoa - Trưởng khoa Khoa học cơ bản Trường Đại học Điện lực, người thầy đã hướng dẫn, chỉ bảo tận tình cho tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô đã và đang tham gia giảng dạy, công tác ở phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Các thầy cô đã nhiệt tình giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành khóa học tại trường. Đồng thời tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn tới tất cả bạn bè, đồng nghiệp và người thân đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và viết luận văn. Mặc dù đã dành nhiều thời gian nghiên cứu tìm hiểu song bản luận văn không thể tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót. Vì vậy tôi rất mong muốn nhận được sự góp ý của tất cả quý vị để luận văn này được hoàn thiện hơn. Hà nội, tháng 12 năm 2011 Học viên Cao Văn Nhậm LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng số liệu và các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Tác giả Cao Văn Nhậm Mục lục 1 2 Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine và Fourier sine 1.1. Phép biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 8 1.2. Phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine . . . . . . . . 15 1.3. Ứng dụng các phép đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine vào giải các phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Tích chập, tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine và Fourier sine 27 2.1. Tích chập với hàm trọng γ2 (y) = cos y đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier sine, Fourier cosine . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Tích chập suy rộng với hàm trọng γ3 (y) = sign y đối với ba phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine và Fourier sine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 27 38 46 Ứng dụng giải phương trình và hệ phương trình tích phân dạng chập 53 3.1. Các phương trình tích phân Toeplitz - Hankel . . . . . . . 53 3.2. Các hệ phương trình tích phân dạng chập . . . . . . . . . . 59 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 -1- MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Phép biến đổi tích phân là một trong những vấn đề quan trọng của giải tích toán học và được phát triển liên tục trong khoảng hai trăm năm trở lại đây. Phép biến đổi tích phân đóng vai trò quan trọng trong toán học cũng như trong nhiều lĩnh vực khoa học tự nhiên khác, đặc biệt là trong việc giải các bài toán với điều kiện ban đầu và điều kiện biên của phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, và các bài toán của vật lý - toán. Các phép biến đổi tích phân là những công cụ có hiệu lực để chuyển các toán tử vi phân, toán tử đạo hàm riêng, toán tử tích phân về toán tử đại số và đồng thời đưa các hệ phương trình vi phân, tích phân về hệ phương trình đại số tuyến tính quen thuộc. Những phép biến đổi tích phân phổ biến nhất, có ứng dụng rộng rãi nhất và ra đời sớm nhất đó là các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine. Cùng với sự phát triển của lý thuyết các phép biến đổi tích phân, một hướng phát triển mới của lý thuyết các phép biến đổi tích phân là tích chập của các phép biến đổi tích phân xuất hiện vào khoảng đầu thế kỷ 20. Các tích chập được nghiên cứu đầu tiên đó là: Tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier F của hai hàm f và g được xác định như sau [4, 9, 15] 1 ( f ∗ g) (x) = √ 2π F Z+∞ f (x − y)g(y)dy, x ∈ R. −∞ Tích chập này thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa F( f ∗ g )(y) = (F f ) (y). (Fg) (y), ∀y ∈ R, ∀ f , g ∈ L1 (R). F -2- Tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine Fc của hai hàm f và g được xác định như sau [9, 15] 1 ( f ∗ g) (x) = √ 2π Fc Z+∞ f (y) [g (|x − y|) + g (x + y)] dy, x > 0. 0 Tích chập này thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa Fc ( f ∗ g )(y) = (Fc f ) (y). (Fc g) (y), ∀y > 0, f , g ∈ L1 (R+ ) . Fc Tiếp đến là tích chập đối với các phép biến đổi Laplace [9, 15], Mellin, Hilbert [9], Hankel [5] và Stieltjes [6, 10]. Các tích chập nói trên đều có cùng một thuộc tính đặc trưng đó là trong đẳng thức nhân tử hóa của chúng chỉ có duy nhất một phép biến đổi tích phân tham gia. Điều này ít nhiều làm hạn chế đến cấu trúc và việc ứng dụng chúng vào giải các các phương trình, hệ phương trình tích phân dạng chập và các bài toán thực tế. Năm 1951, I. N. Sneddon đã xây dựng được tích chập suy rộng đầu tiên đối với hai phép biến đổi tích phân Fourier sine và Fourier cosine [9] 1 ( f ∗ g) (x) = √ 1 2π Z+∞ f (t) [g (|x − t|) − g(x + t)] dt, x > 0. 0 Tích chập này thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa Fs ( f ∗ g) (y) = (Fs f ) (y). (Fc g) (y), 1 ∀y > 0, f , g ∈ L1 (R+ ) . Năm 1958, lần đầu tiên tích chập với hàm trọng ra đời . Đó là tích chập với hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân Mehler – Fox được khám phá bởi Vilenkin Y. Ya. Sau đó, năm 1967, trong một công trình công bố trên tạp chí D.A.N. [5], V. A. Kakichev đã xây dựng phương pháp kiến thiết tích chập với hàm trọng γ(y) đối với phép biến đổi tích phân K bất kì, thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa sau γ K ( f ∗ g) (y) = γ(y) (K f ) (y) (Kg) (y) . Nhờ phương pháp này mà một số tích chập với hàm trọng đã được xây dựng và nghiên cứu [6]. -3- Đến đầu những năm 90 của thế kỷ trước, S. B. Yakubovich đã đưa ra một số tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân với chỉ số, chẳng hạn như tích chập đối với phép biến đổi tích phân Mellin, tích chập đối với phép biến đổi tích phân Kontorovich - Lebedev, biến đổi G, biến đổi H. Vào năm 1998, V. A. Kakichev và Nguyễn Xuân Thảo đã đưa ra phương pháp mới kiến thiết tích chập suy rộng của ba phép biến đổi tích phân bất kì K1 , K2 , K3 với hàm trọng γ (y) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa [6] γ K1 ( f ∗ g) (y) = γ (y) . (K2 f ) (y) . (K3 g) (y) . Từ ý tưởng của bài báo này trong vòng sáu, bẩy năm trở lại đây Nguyễn Xuân Thảo và Nguyễn Minh Khoa đã xây dựng và nghiên cứu hàng chục tích chập, tích chập suy rộng và đa chập đối với chùm ba phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine [2, 8, 11–14]. Chẳng hạn như: Tích chập suy rộng đối với phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine [7] được xác định bởi 1 ( f ∗ g) (x) = √ 2 2π Z+∞ f (t) [sign(t − x)g (|t − x|) + g(t + x)] dt, x > 0. 0 Khi f và g là các hàm thuộc L1 (R (0.1) + ) thì tích chập ( f ∗ g) cũng thuộc vào 2 L1 (R+ ) và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa sau Fc ( f ∗ g) (y) = (Fs f ) (y). (Fs g) (y), 2 ∀y > 0. (0.2) Tích chập suy rộng với hàm trọng γ1 (y) = sin y đối với phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine [12] được xác định bởi 1 ( f ∗ g) (x) = √ 3 2 2π γ1 Z+∞ f (t) [g (|x + t − 1|) + g (|x − t + 1|) − g(x + t + 1) 0 −g (|x − t − 1|)] dt, x > 0. (0.3) γ1 Khi f và g là các hàm thuộc L1 (R+ ) thì tích chập ( f ∗ g) cũng thuộc vào 3 L1 (R +) và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa sau γ1 Fc ( f ∗ g) (y) = sin y. (Fs f ) (y). (Fc g) (y), 3 -4- ∀y > 0. (0.4) Xây dựng, nghiên cứu các tích chập, tích chập suy rộng với hàm trọng thực sự có ý nghĩa trong lý thuyết về các phép biến đổi tích phân, tích chập và phương trình vi, tích phân. Vì vậy tôi đã chọn hướng nghiên cứu của luận văn là xây dựng và nghiên cứu tích chập, tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine và ứng dụng chúng vào giải phương trình và hệ phương trình tích phân dạng chập. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Xây dựng và nghiên cứu ba tích chập, tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine và ứng dụng chúng để giải phương trình tích phân Toeplitz – Hankel và hệ phương trình tích phân dạng chập. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tích chập, tích chập suy rộng với hàm trọng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine và ứng dụng vào giải phương trình tích phân, hệ phương trình tích phân dạng chập. 4. Phương pháp nghiên cứu • Sử dụng các phép biến đổi tích phân và các kết quả của giải tích, giải tích hàm. • Sử dụng phương pháp kiến thiết tích chập với hàm trọng của V. A. Kakichev, Nguyễn Xuân Thảo và kỹ thuật trong các bài báo của Nguyễn Xuân Thảo, Nguyễn Minh Khoa để tìm tòi, nghiên cứu các tích chập, tích chập suy rộng và các ứng dụng của chúng. 5. Bố cục của luận văn Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn gồm ba chương: -5- • Chương 1. Các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine và Fourier sine Nhắc lại định nghĩa, các tính chất cơ bản của các phép biến đổi Fourier, Fourier cosine, Fourier sine và một số ví dụ áp dụng các phép biến đổi này trong việc giải các phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng. • Chương 2. Tích chập, tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine và Fourier sine Xây dựng lại và nghiên cứu các tính chất của ba tích chập, tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine và Fourier sine. • Chương 3. Ứng dụng giải phương trình và hệ phương trình tích phân dạng chập Sử dụng các tích chập, tích chập suy rộng ở chương 2 để giải phương trình và hệ phương trình tích phân dạng chập. -6- Một số kí hiệu dùng trong luận văn • R+ là tập các số thực dương. • L1 (R) là tập các hàm f xác định trên R sao cho: Z+∞ | f (x)| dx < +∞. −∞ • L1 (R+ ) là tập các hàm f xác định trên R+ sao cho: Z+∞ | f (x)| dx < +∞. 0 • L (R, ex ) là tập các hàm f xác định trên R sao cho: Z+∞ ex | f (x)| dx < +∞. −∞ • L (R+ , ex ) là tập các hàm f xác định trên R+ sao cho: Z+∞ ex | f (x)| dx < +∞. 0 -7- Chương 1 Các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine và Fourier sine 1.1. 1.1.1. Phép biến đổi Fourier Phép biến đổi Fourier Định nghĩa 1.1.1. Cho f ∈ L1 (R), hàm F( f ) xác định bởi 1 (F f ) (y) = fb(y) = √ 2π Z+∞ e−iyx f (x)dx , y ∈ R (1.1.1) −∞ được gọi là biến đổi Fourier của f . Định nghĩa 1.1.2. (Biến đổi Fourier ngược) Nếu F(y) ∈ L1 (R) thì hàm F −1 {F(y)} xác định bởi F −1 1 {F(y)} (x) = f (x) = √ 2π Z+∞ eiyx F(y)dy , x ∈ R −∞ được gọi là biến đổi Fourier ngược của hàm F.
Ví dụ 1.1.1. Tìm biến đổi Fourier của hàm exp −ax2 , a > 0 Giải: -8- (1.1.2) Theo định nghĩa ta có fb(y) = (F f ) (y) 1 = √ 2π 1 = √ 2π Z+∞ 2 e−iyx−ax dx −∞ Z+∞ # 2  2 y iy − dx exp −a x + 2a 4a −∞ "  2  Z+∞ 2 1 y = √ exp − e−at dt 4a 2π −∞ 1 = √ e 2a 2 − y4a . iy và sử dụng công thức Ở đây ta đã sử dụng phép đổi biến t = x + 2a q +∞ R −at 2 e dt = πa , a > 0. −∞ n 2 o 2 2 1 Nhận xét: Nếu a = 2 thì F e−x /2 (y) = e−y /2 tức là hàm e−x /2 và biến đổi Fourier của nó có dạng giống nhau (hàm có tính chất như vậy được gọi là tự nghịch đảo qua phép biến đổi Fourier). Ví dụ 1.1.2. Tìm biến đổi Fourier của hàm g(x) = e−a|x| , a > 0 Giải: Theo định nghĩa ta có gb(y) = (Fg) (y) 1 = √ 2π Z+∞ e−a|x|−iyx dx −∞  Z+∞ Z0  1 = √  e−(a+iy)x dx + e(a−iy)x dx 2π −∞ 0  1 1 1 = √ + 2π a + iy a − iy r 2 a = . 2 . π (a + y2 ) -9- +∞ R Ở đây ta đã sử dụng công thức e−λ x dx = 0 1.1.2. 1 λ , λ > 0. Các tính chất cơ bản của biến đổi Fourier Tính chất 1. Phép biến đổi Fourier là toán tử tuyến tính. Chứng minh. Với ∀ f , g ∈ L1 (R) và với ∀λ , µ ∈ R ta có 1 F [λ . f + µ.g] (y) = √ 2π λ = √ 2π Z+∞ e−iyx [λ f (x) + µg(x)]dx −∞ Z+∞ e −iyx −∞ µ f (x)dx + √ 2π Z+∞ e−iyx g(x)dx −∞ = λ (F f ) (y) + µ (Fg) (y).  Tính chất 2. Với ∀a ∈ R, ta có F { f (x + a)} (y) = eiya F { f (x)} (y). Chứng minh. Theo định nghĩa ta có 1 F { f (x + a)} (y) = √ 2π 1 = √ 2π Z+∞ e−iyx f (x + a)dx −∞ Z+∞ e−iy(ξ −a) f (ξ )dξ , ξ = x + a −∞ 1 = eiya . √ 2π Z+∞ e−iyξ f (ξ )dξ −∞ iya = e F { f (x)} (y). - 10 -  Tính chất 3. Với ∀a 6= 0, đặt fa (x) = f (ax). Khi đó ta có y 1 (F fa ) (y) = (F f ) . |a| a Chứng minh. Ta có 1 (F fa ) (y) = √ 2π Z+∞ e−iyx f (ax)dx −∞ 1 1 = .√ |a| 2π = Z+∞ e− iyξ a f (ξ )dξ , ξ = ax −∞ 1 (F f ) . |a| a y  Tính chất 4. Nếu F(y) = (F f ) (y), G(y) = (Fg) (y) thì Z+∞ Z+∞ F(y)g(y)eiyx dy = −∞ f (t)G(t − x)dt. −∞ Chứng minh. Ta có Z+∞ Z+∞ iyx 1 g(y)e dy √ 2π F(y)g(y)e dy = −∞ −∞ Z+∞ = −∞ Z+∞ = Z+∞ e−iyt f (t)dt iyx 1 f (t)dt √ 2π −∞ Z+∞ e−iy(t−x) g(y)dy −∞ f (t)G(t − x)dt. −∞  Nhận xét: Trường hợp đặc biệt khi x = 0, ta có Z+∞ Z+∞ F(y)g(y)dy = −∞ f (t)G(t)dt. −∞ - 11 - Tính chất 5. Nếu f (x) khả vi liên tục từng khúc và khả tích tuyệt đối thì (i) fb(y) = (F f ) (y) bị chặn, (ii) fb(y) = (F f ) (y) liên tục với ∀y ∈ R. Chứng minh. Theo định nghĩa ta có Z+∞    1 b  e−iyx  | f (x)| dx  f (y) ≤ √ 2π 1 = √ 2π −∞ Z+∞ | f (x)|dx < +∞. −∞ Khẳng định (i) được chứng minh. Để chứng minh (ii) ta có Z+∞    1   b  −ihx − 1 | f (x)| dx  f (y + h) − fb(y) ≤ √ e 2π −∞ r Z+∞ 2 | f (x)|dx. ≤ π −∞   Do lim e−ihx − 1 = 0 với ∀x ∈ R nên lim h→0 h→0   b  b  f (y + h) − f (y) = 0. Điều này chứng tỏ fb(y) liên tục với ∀y ∈ R.  Tính chất 6. (Bổ đề Riemann - Lebesgue) Nếu f ∈ L1 (R) thì   b  lim  f (y) = 0. |y|→∞ - 12 - Chứng minh. Từ e−iyx = −e−iyx−iπ , ta có 1 fb(y) = √ 2π Z+∞ e−iyx f (x)dx −∞ 1 = −√ 2π 1 = −√ 2π Z+∞   −iy x+ πy e f (x)dx −∞ Z+∞ −∞   π dx. e−iyx f x − y Do đó 1 1 fb(y) = √ 2 2π 1 1 = √ 2 2π ( Z+∞ e−iyx f (x)dx − −∞  Z+∞ −iyx e −∞ Z+∞ −∞   ) π e−iyx f x − dx y   π f (x) − f x − dx. y Suy ra   Z+∞    π 1 b   f (x) − f x − dx  f (y) ≤ √   y 2 2π −∞   Z+∞    π 1    f (x) − f x − dx = 0. lim  fb(y) ≤ √ lim y  |y|→∞ 2 2π |y|→∞  −∞  Tính chất 7. Cho f ∈ L1 (R) và thỏa mãn các điều kiện: (i) f (x) khả vi liên tục và f 0 ∈ L1 (R), (ii) f (x) → 0 khi |x| → ∞. Khi đó b f 0 (y) = (iy) fb(y). - 13 - Chứng minh. Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có 1 b f 0 (y) = √ 2π Z+∞ e−iyx f 0 (x)dx −∞ +∞ Z+∞   iy 1  f (x)e−iyx  + √ e−iyx f (x)dx = √ 2π 2π −∞ −∞ = (iy) fb(y). f (k) (x)  → 0 khi x → ∞ với Tổng quát: Nếu f khả vi liên tục cấp n và k = 1, 2, ..., (n − 1) thì n o (n) F f (x) (y) = (iy)n {F f } (y). Do đó ta có  n o  F f (n) (x)   b  .  f (y) = |y|n Vậy nếu f có đạo hàm bậc càng cao trong L1 (R) thì fb(y) hội tụ về 0 càng nhanh khi |y| → ∞. Định nghĩa 1.1.3. Tích chập của hai hàm f và g đối với phép biến đổi Fourier kí hiệu là ( f ∗ g) và được xác định bởi F 1 ( f ∗ g) (x) = √ 2π F Z+∞ f (x − t)g(t)dt. (1.1.3) −∞ Tính chất 8. (Định lí tích chập) Cho f , g ∈ L1 (R), khi đó tích chập (1.1.3) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa F( f ∗ g) (y) = (F f ) (y). (Fg) (y) , ∀y ∈ R. F - 14 - (1.1.4) Chứng minh. Ta có 1 F( f ∗ g) (y) = √ 2π F 1 = √ 2π 1 = √ 2π Z+∞ o n 1 Z+∞ −iyx √ e f (x − t)g(t)dt dx 2π −∞ Z+∞ −∞ 1 e−iyt g(t)dt. √ 2π Z+∞ e−iy(x−t) f (x − t)d(x − t) −∞ Z+∞ −∞ Z+∞ −∞ −∞ 1 e−iyt g(t)dt. √ 2π e−iyk f (k)dk , (k = x − t) = (F f ) (y). (Fg) (y).  Chú ý 1.1.1. Kết quả của định lí trên còn được viết dưới dạng F −1 n Z+∞ o 1 fb(y).b g(y) (x) = √ f (x − t)g(t)dt. 2π (1.1.5) −∞ 1.2. 1.2.1. Phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine Phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine Định nghĩa 1.2.1. Cho f ∈ L1 (R+ ), hàm Fc ( f ) xác định bởi r Z+∞ 2 fb(y) = (Fc f ) (y) = f (x) cos yxdx π 0 được gọi là biến đổi Fourier cosine của hàm f . Ta có công thức biến đổi ngược là r Z+∞   2 f (x) = Fc fb (x) = fb(y) cos xydy π 0 . - 15 - (1.2.1) Định nghĩa 1.2.2. Cho f ∈ L1 (R+ ), hàm Fs ( f ) xác định bởi r Z+∞ 2 fb(y) = (Fs f ) (y) = f (x) sin yxdx π 0 được gọi là biến đổi Fourier sine của hàm f . Ta có công thức biến đổi ngược là r Z+∞   2 fb(y) sin xydy. f (x) = Fs fb (x) = π 0 Hệ quả 1.2.1. • Nếu f (x) là hàm chẵn thì (F f ) (y) = (Fc f ) (y), ∀y > 0. • Nếu f (x) là hàm lẻ thì (F f ) (y) = −i (Fs f ) (y), ∀y > 0. Ví dụ 1.2.1. Tìm biến đổi Fourier cosine và Fourier sine của hàm f (x) = e−ax , a > 0. Giải. Theo định nghĩa ta có r (Fc f ) (y) = 1 = 2 2 π r Z+∞ e−ax cos yxdx 0 2 π Z+∞h −(a−iy)x e −(a+iy)x +e 0 r   1 2 1 1 = + 2 π a − iy a + iy r   2 a = . π a2 + y2 - 16 - i dx (1.2.2) r (Fs f ) (y) = 1 = 2i 2 π r Z+∞ e−ax sin yxdx 0 2 π Z+∞h −(a−iy)x e −e −(a+iy)x i dx 0 r   1 2 1 1 = − 2i π a − iy a + iy r   2 y = . π a2 + y2 1.2.2. Các tính chất cơ bản của biến đổi Fourier cosine và Fourier sine Tính chất 1. Các phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine là các toán tử tuyến tính. Chứng minh. Với ∀ f , g ∈ L1 (R+ ) và với ∀λ , µ ∈ R ta có r Z+∞ 2 [λ . f (x) + µ.g(x)] cos yxdx Fc [λ . f (x) + µ.g(x)] (y) = π 0 r = λ 2 π Z+∞ r f (x) cos yxdx + µ 0 2 π Z+∞ g(x) cos yxdx 0 = λ (Fc f ) (y) + µ (Fc g) (y), hay Fc [λ . f + µ.g] = λ Fc ( f ) + µFc (g). Chứng minh tương tự cho phép biến đổi Fourier sine.  Tính chất 2. Với a > 0, đặt fa (x) = f (ax). Khi đó ta có y 1 (Fc fa ) (y) = (Fc f ) , a a y 1 (Fs fa ) (y) = (Fs f ) . a a - 17 -