Tài liệu Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân fourier cosine và kontorovich lebedev ngược với hàm trọng

2 LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS.Trịnh Tuân. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới TS.Trịnh Tuân, người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn tôi trong quá trình thực hiện luận văn này. Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học, các thầy giáo, cô giáo của trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này. Nhân đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình, Ban giám hiệu trường THPT Tân Yên 2 - Bắc Gang cùng bạn bè, đồng nghiệp đã tạo điều kiện, động viên và giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu. Hà Nội, ngày 27 tháng 5 năm 2011. Học viên Nguyễn Thị Viển. 3 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của TS.Trịnh Tuân. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Tác giả Nguyễn Thị Viển 4 MỤC LỤC trang Lời cảm ơn.............................................................................................. 2 Lời cam đoan.......................................................................................... 3 Các ký hiệu dùng trong luận văn ........................................................ 5 Mở đầu ................................................................................................... 7 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 11 1.1. Một số phép biến đổi tích phân ............................................. 11 1.1.1 Phép biến đổi Fourier ............................................... 11 1.1.2 Phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine .......... 14 1.1.3 Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev ....................... 17 1.2. Tích chập và tích chập suy rộng ............................................ 18 1.2.1 Tích chập đối với các phép biến đổi tích phân ......... 18 1.2.2 Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với các phép biến đổi tích phân ................................................... 21 1.2.3 Một số ví dụ về tích chập suy rộng với hàm trọng... 24 1.3. Kết luận.................................................................................. 32 Chương 2. Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine, Kontorovich-Lebedev với hàm trọng 33 2.1. Định nghĩa ............................................................................. 34 2.2. Đẳng thức nhân tử hóa và các tính chất ................................ 34 2.1.1 Đẳng thức nhân tử hóa ............................................. 34 2.1.2 Các tính chất ............................................................ 40 2.3. Ứng dụng giải hệ phương trình tích phân ............................. 45 2.4. Kết luận.................................................................................. 56 Kết luận ................................................................................................. 57 Tài liệu tham khảo ................................................................................ 58 5 CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN · F : phép biến đổi Fourier. · F -1 : phép biến đổi Fourier ngược. · Fs : phép biến đổi Fourier sine. · Fs-1 : phép biến đổi Fourier sine ngược. · Fc : phép biến đổi Fourier cosine. · Fc-1 : phép biến đổi Fourier cosine ngược. · K : phép biến đổi Kontorovich-Lebedev. · K -1 : phép biến đổi Kontorovich-Lebedev ngược. · L : phép biến đổi Laplace. · L-1 : phép biến đổi Laplace ngược. · Jg : phép biến đổi Hankel. · J g-1 : phép biến đổi Hankel ngược. · ( f * g) : Tích chập của hai hàm f , g . · æ g ö ç f * g ÷ : Tích chập của hai hàm f , g với hàm trọng g . è ø · ( f * g ) : Tích chập của hai hàm f , g đối với phép biến đổi T . · æ g ö ç f *T g ÷ :Tích chập của hai hàm f , g đối với phép biến đổi T với è ø T hàm trọng g . · ¡ + = { x Î ¡ : x ³ 0} . 6 · L1 ( ¡ ) là tập hợp tất cả các hàm f xác định trên ( -¥; +¥ ) sao cho: +¥ ò f ( x) dx < +¥ . -¥ · L1 ( ¡ + ) là tập hợp tất cả các hàm f xác định trên ( 0; + ¥ ) sao cho: +¥ ò f ( x ) dx < +¥ . 0 · 1ö æ L1 ç ¡ + , ÷ xø è +¥ ò 0 là tập hợp tất cả các hàm f xác định trên ( 0; + ¥ ) sao cho: 1 f ( x ) dx < +¥ . x 7 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Phép biến đổi tích phân là một trong những vấn đề quan trọng của giải tích Toán học và được phát triển liên tục trong suốt gần 200 trăm năm qua. Phép biến đổi tích phân đóng một vai trò quan trọng trong Toán học cũng như trong nhiều lĩnh vực khoa học tự nhiên khác, đặc biệt là trong việc giải các bài toán điều kiện ban đầu, điều kiện biên của phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, phương trình vi tích phân và các bài toán của Vật lý - toán. Các phép biến đổi tích phân còn là công cụ có hiệu lực để chuyển các toán tử vi phân, toán tử đạo hàm riêng, toán tử tích phân về các bài toán đơn giản hơn. Một số phép biến đổi tích phân đầu tiên có nhiều ứng dụng là các phép biến đổi Fourier, Fourier cosine, Fourier sine (xem [12]). Các phép biến đổi này được ra đời rất sớm, từ đầu thế kỉ XIX. Tiếp đến là các phép biến đổi Laplace, Mellin, Hilbert, Hankel, Stieltjes và KontorovichLebedev.... Cùng với sự phát triển của lý thuyết các phép biến đổi tích phân, một hướng nghiên cứu mới của lý thuyết các phép biến đổi tích phân là xây dựng tích chập của các phép biến đổi tích phân được xuất hiện vào khoảng đầu thế kỉ XX. Các tích chập được xây dựng đầu tiên là các tích chập của các phép biến đổi tích phân Fourier (xem [12]), Laplace(xem [20]), Mellin, Hilbert, Hankel,.... Tích chập của phép biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev được V.A.Kakichev xây dựng đầu tiên vào năm 1967 (xem [7]) và sau đó được S.B.Yakubovich hoàn thiện lại vào năm 1987 (xem[18]) ( ) 1 f * g ( x) = K 2x +¥ +¥ é 1 æ xu xv uv ö ù + + ÷ ú f ( u ) g ( v ) dudv ,với x > 0 . (01) v u x øû ò ò exp êë - 2 çè 0 0 8 Tích chập này thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa: ( K f *g K ) ( y ) = ( Kf )( y )( Kg )( y ) , với "y > 0 . (02) Tích chập của các phép biến đổi tích phân ra đời cho ta nhiều ứng dụng phong phú và thú vị chẳng hạn dùng tích chập để tính tích phân, tính tổng của một chuỗi, giải phương trình tích phân, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng và có nhiều ứng dụng trong xác suất cũng như các bài toán Vật lý - toán. Tuy nhiên, trước những năm 50 của thế kỷ trước các tích chập đã được biết đến đều có cùng một đặc điểm là trong đẳng thức nhân tử hóa của chúng chỉ có duy nhất một phép biến đổi tích phân tham gia. Điều này ít nhiều làm hạn chế ứng dụng của chúng vào giải các bài toán thực tế. Năm 1951, lần đầu tiên nhà toán học người Mỹ I.N.Sneddon đã xây dựng được tích chập suy rộng đầu tiên đối với hai phép biến đổi tích phân Fourier sine, Fourier cosine cho hai hàm f , g Î L1 ( ¡ + ) (xem [12]): ( f * g )( x ) = 1 2p +¥ ò f ( y ) éë g ( x - y ) - g ( x + y )ùû dy. (03) 0 Tích chập này thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa: Fs ( f * g )( y ) = ( Fs f )( y )( Fc g )( y ) , "y > 0. (04) Sau đó, vào năm 1967, trong một công trình công bố trên tạp chí DAN, V.A.Kakichev đã xây dựng phương pháp kiến thiết tích chập với hàm trọng g ( y ) đối với phép biến đổi tích phân K bất kì, thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa: K ( f * g )( y ) = g ( y ) ( Kf )( y )( Kg )( y ) . (05) Nhờ phương pháp này, một số tích chập với hàm trọng đã được xây dựng và nghiên cứu (xem [7], [19]). 9 Đến đầu những năm 1990 của thế kỉ trước, S.B.Yakubovich đã đưa ra một số tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân với chỉ số, chẳng hạn tích chập đối với phép biến đổi Mellin, biến đổi KontorovichLebedev, biến đổi G, biến đổi H. Vào năm 1998, V.A.Kakichev và Nguyễn Xuân Thảo đã đưa ra phương pháp mới kiến thiết tích chập suy rộng đối với ba phép biến đổi tích phân bất kì K1 , K 2 , K 3 với hàm trọng g ( y ) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa (xem [8]): æ g ö K1 ç f * g ÷ ( y ) = g ( y )( K 2 f )( y )( K3 g )( y ) . è ø (06) Nhờ đó mà trong thời gian gần đây đã có một số công trình xây dựng tích chập suy rộng với hàm trọng được công bố, đó là các công trình [9], [10], [13], [14], [15], [16], [17]... Tiếp tục hướng nghiên cứu này, dưới sự hướng dẫn của TS.Trịnh Tuân tôi đã chọn đề tài: ‘‘Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine, Kontorovich-Lebedev ngược với hàm trọng”. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tích chập suy rộng với hàm trọng g ( y ) = 1 đối y.sinh ( p y ) với các biến đổi tích phân Fourier cosine và Kontorovich-Lebedev ngược, các tính chất và ứng dụng của chúng. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu các tính chất của tích chập suy rộng với hàm trọng đối với hai phép biến đổi tích phân Fourier cosine và Kontorovich-Lebedev ngược. - Ứng dụng giải hệ phương trình tích phân dạng chập. 10 4. Đối tượng nghiên cứu Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine và Kontorovich-Lebedev ngược với hàm trọng g ( y ) = 1 . y.sinh ( p y ) 5. Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng một số kỹ thuật của Giải tích hàm. - Lý thuyết các phép biến đổi tích phân. - Phương pháp kiến thiết tích chập suy rộng với hàm trọng của V.A.Kakichev và Nguyễn Xuân Thảo năm 1998. 6. Dự kiến những đóng góp mới Làm phong phú thêm về phép biến đổi tích phân với quan điểm xem tích chập là một phép biến đổi tích phân. Nhờ việc làm phong phú đó đã cho ta ứng dụng thú vị là giải đóng được một lớp hệ phương trình tích phân dạng chập mà những hệ phương trình tích phân dạng chập ở đây khó có thể giải được bằng công cụ khác. 11 Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày một cách tóm tắt lại một số kiến thức về các phép biến đổi tích phân, tích chập và tích chập suy rộng, đặc biệt là hai sơ đồ kiến thiết tích chập và tích chập suy rộng với hàm trọng (1.14), (1.29). Sau mỗi sơ đồ đó chúng tôi đều trích dẫn một số tích chập và tích chập suy rộng làm ví dụ minh họa. Một trong số các tích chập này sẽ được dùng ở chương sau. 1.1. Một số phép biến đổi tích phân 1.1.1. Phép biến đổi Fourier Cho hàm f ( x ) Î L1 ( ¡ ) . Định nghĩa 1.1.1. Phép biến đổi Fourier của hàm f ( x ) là một hàm kí hiệu F f và được xác định bởi công thức (xem [12]): °f ( x ) = ( Ff )( x ) = 1 2p +¥ òe -iyx f ( y ) dy -¥ với x Î ¡ . (1.1) Ở đó F đươc gọi là toán tử Fourier hoặc phép biến đổi Fourier. Định nghĩa 1.1.2. Phép biến đổi Fourier ngược của một hàm được xác định bởi công thức (xem [12]): ( Ở đó F ngược. -1 F °f -1 )( x) = 1 2p +¥ òe -¥ iyx °f ( y ) dy với x Î ¡ . (1.2) đươc gọi là toán tử Fourier ngược hoặc phép biến đổi Fourier 12 Nhận xét 1.1.1. - Vì e ± iyx = 1 và f ( x) Î L1 ( ¡) nên các tích phân (1.1), (1.2) hội tụ với mỗi y Î ¡ . F , F -1 là các toán tử tích phân tuyến tính. - Định lí 1.1.1. Cho hàm f ( x ) Î L1 ( ¡ ) . Khi đó: Ff bị chặn trên ¡ , i) ii) Ff liên tục trên ¡ . iii) lim ( Ff )( x ) = 0 . x ®¥ Chứng minh i) Từ định nghĩa ta có: Ff ( x ) = 1 £ 2p = = +¥ ở đó c = ò f ( x )d x +¥ 1 2p òe - iyx f ( y ) dy -¥ +¥ òe -iyx f ( y ) dy -¥ +¥ 1 2p ò f ( x ) dx -¥ c 2p = constant. -¥ Vậy Ff bị chặn trên ¡ . ii) Ta có: 1 ( Ff )( x + h ) - ( Ff )( x ) = 2p +¥ òe -¥ - iy ( x + h ) 1 f ( y ) dy 2p +¥ òe -¥ - iyx f ( y ) dy 13 1 = 2p +¥ òe - iyx -¥ éëe -iyh - 1ùû f ( y ) dy nên: ( Ff )( x + h ) - ( Ff )( x ) 1 2p £ +¥ -¥ 1 = 2p +¥ ò e - ihy - 1 f ( y ) dy -¥ 2 p £ e - iyx e - ihy - 1 f ( y ) dy ò +¥ ò f ( y )d y . -¥ e - ihx - 1 = 0 với "x Î ¡ , nên ta có: Vì lim h® 0 lim ( Ff h® 0 )( x + h ) - ( Ff )( x ) 1 2p £ lim h® 0 +¥ ò e - ihx - 1 f ( y ) dy = 0 -¥ Vậy F liên tục trên ¡ . iii) Vì e - iyx = - e - iyx - ip = - e 1 2p ( F f )( x ) = - 1 2p =- +¥ òe p ö æ - ix ç y + ÷ xø è p ö æ - ix ç y + ÷ xø è f , nên ( y ) dy -¥ +¥ p ö æ - iyx e f y ç ÷ dy . ò-¥ x è ø Suy ra +¥ +¥ 1 ìï 1 é - iyx - iyx ( Ff )( x ) = í ê ò e f ( y ) dy - ò e f 2 ïî 2p ë -¥ -¥ 1 1 = 2 2p Do đó +¥ òe -¥ -iyx é ê f ( y) ë p ö ù üï æ y ç ÷ dy ú ý x ø û ïþ è p öù æ f ç y - ÷ú dy. x øû è 14 1 ( Ff )( x ) £ 2 2p +¥ æ pö ò f ( y ) - f çè y - x ÷ø dy. -¥ Vậy +¥ 1 p æ lim ( Ff )( x ) £ lim ò f ( y ) - f ç y x ®¥ x 2 2p x ®¥ -¥ è lim ( Ff Hay x ®¥ )( x ) ö ÷ dy = 0 . ø = 0. Định lí được chứng minh. Định lí 1.1.2. Cho f ( x ) , g ( x ) Î L1 ( ¡ ) . Khi đó: +¥ +¥ -¥ -¥ ò ( Ff )( x ) g ( x ) dx = ò f ( x )( Fg )( x ) dx . Chứng minh Theo định lí (1.1.1), biến đổi Fourier của một hàm thuộc L1 ( ¡ + ) là một hàm bị chặn trong ¡ . Do đó tích phân trên luôn tồn tại. Hơn nữa, +¥ ò ( Ff )( x ) g ( x ) dx = 1 2p = 1 2p -¥ æ +¥ - iyx ö e f y dy ( ) ç ÷g ( x ) dx ò ò -¥ è -¥ ø +¥ +¥ ò -¥ æ +¥ ö f ( y ) ç ò e - iyx g ( x )dx ÷ dy è -¥ ø +¥ = ò f ( y )( Fg )( y ) dy -¥ +¥ = ò f ( x )( Fg )( x ) dx. -¥ Định lí được chứng minh. 1.1.2. Phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine Cho hàm f ( x ) Î L1 ( ¡ + ) . 15 Định nghĩa 1.1.3. . Phép biến đổi Fourier cosine ( Fc ) của một hàm f là một hàm và được xác định bởi công thức (xem [10], [12]): °f ( x ) = ( F f c 2 )( x ) = p +¥ ò cos xy. f ( y )dy , với x > 0 . (1.3) 0 -1 . Phép biến đổi Fourier cosine ngược ( Fc ) của một hàm được xác định bởi công thức (xem[10], [12]): (F -1 c °f ) +¥ ò cos xy.°f ( y )dy , 2 ( x) = p với x > 0 . (1.4) 0 Định nghĩa 1.1.4. . Phép biến đổi Fourier sine ( Fs ) của một hàm f là một hàm và được xác định bởi công thức (xem[10], [12]): °f ( x ) = ( F f s )( x ) = 2 p +¥ ò sin xy. f ( y )dy , với x > 0 . (1.5) 0 -1 . Phép biến đổi Fourier sine ngược ( Fs ) của một hàm được xác định bởi công thức (xem[10], [12]): (F s Nhận xét 1.1.2. -1 °f )( x) = 2 p +¥ ò sin xy.°f ( y )dy , với x > 0 . Vì cos ( xy ) £ 1, sin ( xy ) £ 1 và f ( x ) Î L1 ( ¡ + ) nên các tích phân (1.3), (1.4), (1.5), (1.6) đều hội tụ với mỗi y Î ¡ . Định lí 1.1.3. Nếu f ( x) , g ( x) Î L1 ( ¡+ ) thì 1 Fc {( Fc f )( Fc g )} ( x ) = 2p -1 Hay (1.6) 0 +¥ ò f (x ) éë g ( x + x ) + g ( x - x )ùû dx 0 16 +¥ 1 F f F g y cos xy dy = ( )( ) ( ) ( ) { } c c ò0 2 +¥ ò f (x ) éë g ( x + x ) + g ( x - x )ùû dx . 0 Chứng minh Ta có: 2 F {( Fc f )( Fc g )} ( x ) = p -1 c 2 = p 2 = p +¥ ò {( F f )( F g )} ( y ) cos ( xy ) dy c (1.7) c 0 +¥ +¥ ò cos ( xy )( F g )( y ) dy ò f (x ) cos ( yx ) dx c 0 0 +¥ +¥ 0 0 ò f (x )dx ò cos ( xy ) cos ( yx )( F g )( y ) dy c 12 = 2p +¥ +¥ 0 0 ò f (x )dx ò éëcos ( y ( x + x ) ) + cos ( y ( x - x ) )ùû ( F g )( y ) dy c 1 2 = 2 p +¥ ò 0 é 2 f (x )dx ê ë p +¥ ò cos y ( x + x )( F g )( y ) dy c 0 2 + p 1 = 2p +¥ ò cos y ( x - x ù ) ( F g )( y ) dy ú c 0 û +¥ ò f (x ) éë g ( x + x ) + g ( x - x )ùû dx 0 Vậy 1 Fc {( Fc f )( Fc g )} ( x ) = 2p -1 +¥ ò f (x ) éë g ( x + x ) + g ( x - x )ùû dx 0 Từ (1.7),(1.8) ta có +¥ 1 F f F g y cos xy dy = ( )( ) ( ) ( ) { } c c ò0 2 Định lí được chứng minh. +¥ ò f (x ) éë g ( x + x ) + g ( x - x )ùû dx 0 (1.8) 17 Định lí 1.1.4. Nếu f ( x) , g ( x) Î L1 ( ¡+ ) thì +¥ 1 Fc {( Fs f )( Fs g )} ( x ) = 2p ò f (x ) éë g (x + x ) + g (x - x )ùû dx -1 0 Hay +¥ 1 F f F g y cos xy dy = ( )( ) ( ) ( ) { } s s ò0 2 +¥ ò f (x ) éë g (x + x ) + g (x - x ) ùû dx . 0 Định lí 1.1.4 được chứng minh hoàn toàn tương tự như định lí 1.1.3. 1.1.3. Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev Cho hàm f ( x ) Î L1 ( ¡ + ) Định nghĩa 1.1.5. Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev ( K ) của một hàm được xác định bởi (xem [6],[17]): °f ( t ) = ( Kf )( t ) = +¥ ò f ( x )K ( x ) dx, it t Î ¡+ , (1.9) 0 ở đó Kit là hàm Macdonald và được xác định bởi : K it ( x ) = +¥ òe - x .cosh u 0 Nhận xét 1.1.3. cos ( tu ) du , x Î ¡ + . (1.10) Từ (1.10) ta có K it ( x ) £ K 0 ( x ) do đó, ( Kf )( t ) +¥ £ ò f (x) K it ( x ) dx 0 +¥ £ ò f (x )K 0 (x )dx 0 Từ công thức 1.8.52 [6] ta có K 0 ( x ) : - log x / 2 Và từ công thức 1.8.53 [6] ta có khi x ® 0 + (1.11) 18 æp ö K0 ( x ) : ç ÷ è 2x ø 1/ 2 e- x khi x ® +¥ . (1.12) Mặt khác f ( x ) Î L1 ( ¡ + ) nên tích phân (1.9) hội tụ. Định nghĩa 1.1.6. Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev ngược ( K - 1 ) của một hàm được xác định bởi công thức sau (xem [6]): ( K °f -1 ) 2 ( x) = f ( x) = 2 p +¥ ò x sinh (p x ) K ( t ) t -1 ix °f ( t )dt , x > 0. (1.13) 0 1.2. Tích chập và tích chập suy rộng 1.2.1. Tích chập đối với các phép biến đổi tích phân Định nghĩa 1.2.1. Cho U1 ( X ) , U 2 ( X ) là các không gian tuyến tính, V (Y ) là đại số. Khi đó ( *) : U1 ( X ) ´ U 2 ( x ) ® V ( Y ) . ( f , g ) a ( f * g )( y ) . được gọi là phép toán tích chập. Kí hiệu: ( *) . Giả sử K là một toán tử tuyến tính từ không gian tuyến tính U ( X ) vào đại số V (Y ) K : U ( X ) ® V (Y ) . Tích chập của hai hàm f Î U1 ( X ) , g Î U 2 ( X ) đối với phép biến đổi K là một hàm, kí hiệu (f * g ) , sao cho đẳng thức nhân tử hóa sau đây được thỏa mãn K ( f * g )( y ) = ( Kf )( y )( Kg )( y ) (1.14) Khi đó U ( X ) cùng phép nhân chập như trên xác định một đại số. Cho đến nay hầu hết các phép biến đổi tích phân đã được xây dựng tích chập chẳng hạn như phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Fourier sine, phép 19 biến đổi Fourier cosine, phép biến đổi Hilbert, phép biến đổi Stieltjes, phép biến đổi Laplace, phép biến đổi Mellin, phép biến đổi KontorovichLebedev,... Ví dụ 1.1. Cho f , g Î L1 ( ¡ ) . Tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier (1.1) của hai hàm f và g , kí hiệu: ( f * g ) ( x ) , được xác định bởi công thức F (xem [9], [10]): ( ) 1 f * g ( x) = F 2p +¥ ò f ( x - y ) g ( y ) dy -¥ với x Î ¡ (1.15) Tích chập (1.15) thuộc không gian L1 ( ¡ ) và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa: ( ) F f * g ( y ) = ( Ff )( y )( Fg )( y ) F với y Î ¡ (1.16) Ví dụ 1.2. Cho f , g Î L1 ( ¡ + ) . Tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier ( ) ( x ) , được xác định bởi công cosine (1.3) của hai hàm f và g , kí hiệu f F* g c thức (xem 10]): ( ) 1 f * g ( x) = Fc 2p +¥ ò f ( y) éëg ( x + y) + g ( x - y )ùû dy , với x>0 (1.17) 0 Tích chập (1.17) thuộc không gian L1 ( ¡ + ) và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa: ( ) ( y ) = ( F f )( y )( F g )( y ) , với Fc f * g c Fc c y>0 (1.18) Ví dụ 1.3. Cho f , g Î L1 ( ¡ + ) . Tích chập đối với phép biến đổi tích phân Laplace ( L ) của hai hàm f và g được xác định bởi công thức (xem [20]): ( f * g ) ( x ) = ò f ( x - t ) g (t ) dt x L 0 với x > 0 (1.19) 20 Tích chập này thuộc không gian L1 ( ¡ + ) và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa: ( ) L f * g ( y ) = ( Lf )( y )( Lg )( y ) L với y > 0 . (1.20) ở đó phép biến đổi tích phân Laplace được xác định bởi (xem [20]): °f ( y ) = ( Lf )( y ) = +¥ òe - yx f ( x ) dx 0 với y Î £ (1.21) phép biến đổi Laplace có biến đổi ngược là: ( ) c +i¥ 1 L °f ( x ) = exy °f ( y ) dy. ò 2p i c-i¥ (1.22) Tuy nhiên trước những năm 50 của thế kỷ trước, các tích chập đã được biết đến là các tích chập không có hàm trọng. Đến năm 1967, V.A.Kakichev đã đưa ra phương pháp kiến thiết tích chập đối với phép biến đổi tích phân æ g ö K với hàm trọng g ( y ) , kí hiệu ç f * g ÷ và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa: è ø K ( f * g )( y ) = g ( y )( Kf )( y )( Kg )( y ) (1.23) Nhờ phương pháp này một số tích chập với hàm trọng đã được xây dựng và nghiên cứu (xem [7], [19]). Ví dụ 1.4. Cho f , g Î L1 ( ¡ + ) . Tích chập với hàm trọng g 1 ( y ) = sin y của hai hàm f và g đối với phép biến đổi tích phân Fourier sine (1.5) được xác định như sau (xem [7]): 1 æ g1 ö ç f F*s g ÷ ( x ) = 2 2p è ø +¥ ò f ( x ) éë g ( x + 1 + t ) + sign ( x + 1 - t ) g ( x + 1 - t ) 0 + sign ( x - 1 + t ) g ( x - 1 + t ) + sign ( x - 1 - t ) g ( x - 1 - t ) ] dt , x > 0 (1.24) 21 Tích chập (1.24) thuộc không gian L1 ( ¡ + ) và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa: æ g1 ö Fs ç f * g ÷ ( y ) = sin y ( Fs f )( y )( Fs g )( y ) , y > 0 è Fs ø (1.25) Chú ý rằng cho đến nay tích chập đối với phép biến đổi Fourier sine của hai hàm f và g vẫn chưa xây dựng được khi không có hàm trọng g ( y ) tham gia vào. Ví dụ 1.5. Cho f , g Î L1 ( ¡ + ) . Tích chập với hàm trọng g 2 ( y ) = cos y của hai hàm f và g đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine (1.3) được xác định như sau (xem [13]): 1 æ g2 ö ç f F*c g ÷ ( x ) = 2 2p è ø +¥ ò f ( x ) éë g ( x + 1 + t ) + g ( x + 1 - t ) 0 + g ( x -1 + t ) + g ( x -1- t ) ] dt , x > 0 (1.26) Tích chập (1.26) thuộc không gian L1 ( ¡ + ) và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa: æ g2 ö Fc ç f * g ÷ ( y ) = cos y ( Fc f )( y )( Fc g )( y ) , y > 0 è Fc ø (1.27) Các tích chập ở trên đều có chung một đặc điểm là trong đẳng thức nhân tử hóa của chúng chỉ có duy nhất một phép biến đổi tích phân tham gia. Do đó các tích chập này không phải là tích chập suy rộng. Năm 1998, V.A.Kakichev và Nguyễn Xuân Thảo đã xây dựng được sơ đồ kiến thiết tổng quát nhất của tích chập suy rộng với hàm trọng đối với ba phép biến đổi tích phân bất kì (xem [8]). 1.2.2. Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với các phép biến đổi tích phân (xem [8]) Cho các toán tử tuyến tính