Tài liệu Tia trắc địa yếu trong không gian các thế vị k ̈hler và lớp e

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Tuyết Như TIA TRẮC ĐỊA YẾU TRONG KHÔNG GIAN CÁC THẾ VỊ K𝑨̈HLER VÀ LỚP 𝜺(𝑿, 𝝎) LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh -2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Tuyết Như TIA TRẮC ĐỊA YẾU TRONG KHÔNG GIAN CÁC THẾ VỊ K𝑨̈HLER VÀ LỚP 𝜺(𝑿, 𝝎) Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : TS. NGUYỄN VĂN ĐÔNG Thành phố Hồ Chí Minh -2019 LÍI CAM OAN Håc vi¶n xin cam oan ¥y l  cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa ri¶ng håc vi¶n. Luªn v«n ÷ñc ho n th nh bði c¡ nh¥n d÷îi sü h÷îng d¨n cõa TS. Nguy¹n V«n æng. C¡c t i li»u tham kh£o, c¡c ành lþ, bê · v  c¡c k¸t qu£ tr½ch d¨n, sû döng trong luªn v«n ·u ÷ñc n¶u ¦y õ nguçn gèc cö thº, rã r ng. Th nh phè Hç Ch½ Minh, ng y 27 th¡ng 09 n«m 2019 Håc vi¶n thüc hi»n Nguy¹n Thà Tuy¸t Nh÷ LÍI CM ÌN Luªn v«n ÷ñc ho n th nh t¤i tr÷íng ¤i håc s÷ ph¤m Th nh phè Hç Ch½ Minh d÷îi sü h÷îng d¨n cõa TS. Nguy¹n V«n æng. Nh¥n dàp n y, tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi Th¦y, ng÷íi ¢ tªn t¼nh v  ëng vi¶n tæi r§t nhi·u trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  thüc hi»n luªn v«n. Tæi xin ch¥n th nh c¡m ìn ¸n Quþ th¦y cæ trong Hëi çng ch§m luªn v«n ¢ d nh thíi gian åc, ch¿nh sûa v  âng gâp þ ki¸n gióp luªn v«n ÷ñc ho n ch¿nh hìn. Tæi xin c¡m ìn t§t c£ c¡c th¦y, cæ ¢ nhi»t t¼nh gi£ng d¤y, truy·n ¤t ki¸n thùc v  gióp ï tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp. Tæi xin c¡m ìn ¸n Quþ th¦y cæ trong Pháng Sau ¤i håc cõa tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m Th nh phè Hç Ch½ Minh ¢ t¤o i·u ki»n thuªn lñi cho tæi ho n th nh ch÷ìng tr¼nh håc tªp v  thüc hi»n luªn v«n n y. Xin c¡m ìn c¡c anh chà, c¡c b¤n håc vi¶n ng nh to¡n ¢ ëng vi¶n gióp ï tæi v  câ nhi·u þ ki¸n âng gâp trong qu¡ tr¼nh ho n th nh luªn v«n. Do tr¼nh ë v  thíi gian câ h¤n cõa b£n th¥n n¶n luªn v«n khæng tr¡nh khäi sai sât. Tæi r§t mong nhªn ÷ñc sü ch¿ b£o v  gâp þ tø quþ th¦y cæ, c¡c anh chà v  c¡c b¤n. Xin ch¥n th nh c¡m ìn. Th nh phè Hç Ch½ Minh, ng y 27 th¡ng 09 n«m 2019 Håc vi¶n thüc hi»n Nguy¹n Thà Tuy¸t Nh÷ Möc löc Mð ¦u 1 1 Ki¸n thùc chu©n bà 4 1.1 1.2 Ph²p t½nh vi ph¥n tr¶n a t¤p kh£ vi . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 4 a t¤p kh£ vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 a t¤p Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3 C¡c d¤ng vi ph¥n tr¶n a t¤p kh£ vi . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.4 Dáng tr¶n c¡c a t¤p kh£ vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.5 ¤o h m ngo i v  t½ch ngo i cõa dáng tr¶n a t¤p kh£ vi . 11 Ph²p t½nh vi ph¥n phùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1 a t¤p phùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2 D¤ng vi ph¥n tr¶n a t¤p phùc . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.3 1.2.4 Dáng tr¶n a t¤p phùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 H m a i·u háa d÷îi tr¶n a t¤p phùc . . . . . . . . . . . 17 1.3 a t¤p Hecmit v  a t¤p Kähler 1.4 H m ω− a i·u háa d÷îi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 Tr­c àa y¸u trong khæng gian c¡c th¸ và Kähler 21 2.1 Tia tr­c àa y¸u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 C¡ch x¥y düng d÷îi tr­c àa y¸u cõa Berndtsson . . . . . . . . . . 24 2.3 Phi¸m h m n«ng l÷ñng Aubin-Mabuchi . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4 Chu©n t­c hâa tr­c àa y¸u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Tia tr­c àa y¸u v  lîp n«ng l÷ñng ε(X, ω) 29 34 ε(X, ω) 3.1 Lîp 3.2 C¡ch x¥y düng tia tr­c àa y¸u 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2.1 Tia tr­c àa y¸u cõa Ross v  Witt-Nyström . . . . . . . . . 41 3.2.2 Mët c¡ch x¥y düng c¡c tia tr­c àa y¸u cõa Tam¡s Darvas 45 Ph²p bi¸n êi Legendre ng÷ñc cõa mët tia tr­c àa y¸u v  ε(X, ω) 49 K¸t luªn 53 T i li»u tham kh£o 54 DANH MÖC CC K HI›U I To¡n tû çng nh§t Ck Khæng gian c¡c h m kh£ vi k C s (Ω, R) Tªp hñp c¡c h m thuëc lîp Cs TX,a Khæng gian ti¸p xóc cõa khæng gian ∗ TX,a Khæng gian èi ti¸p xóc ∗ TX , TX Ph¥n thî ti¸p xóc cõa TX = ∪x∈X TX,x |I| C s (X, ∗) TX p− du ¤o h m ngo i cõa mët u v  p− d¤ng thuëc lîp Cs Cs u M èi çng i·u Rham tr¶n  Nûa chu©n εp (X) Khæng gian Dp (K) Khæng gian con cõa Dp (X) Dp (X) := ∪K Dp (K) (Dp (X))0 èi ng¨u tæpæ cõa codimM èi chi·u cõa O(Ω) Tªp hñp c¡c h m ch¿nh h¼nh tr¶n (X) a v psL Vp,q t¤i d¤ng vi ph¥n thuëc lîp T½ch ngo i cõa p HdR (M ) X ∗ =∪ ∗ TX x∈X TX,x v  Khæng gian cõa Gi¡ cõa ω X u ∧ vv suupu tr¶n I ë d i cõa Vp l¦n vîi c¡c ¤o h m li¶n töc psL (u) = supx∈L max|I|=p,|α|≤s |Dα uI (x)| C ∞ (X, Vp ∗) TX εp (X) ÷ñc trang bà tæpæ x¡c ành bði nûa chu©n vîi c¡c ph¦n tû câ gi¡ compact trong Dp (X) M Tªp hñp c¡c d¤ng vi ph¥n kiºu Ω (p, q) d, δ, δ C¡c to¡n tû vi ph¥n ngo i P SH(Ω) Tªp hñp c¡c h m a i·u háa d÷îi tr¶n Hua D¤ng Hess phùc cõa Imz Ph¦n £o cõa Rez Ph¦n thüc cõa P SH(X, ω) Tªp hñp c¡c h m u z z ω -a i·u háa d÷îi Ω K psL uscu Ch½nh quy hâa nûa li¶n töc tr¶n cõa Sα,β Sα,β = {s ∈ C : α < Res < β} C ∞ (X) Tªp hñp c¡c h m trìn tr¶n H Khæng gian c¡c th¸ và trìn tr¶n 5 ¤oh¤p hi»p bi¸n AM (.) Phi¸m h m Aubin Mabichi u(u0 , u1 ) o¤n tr­c àa y¸u nèi ε(X, ω) Lîp n«ng l÷ñng Capω (.) Dung l÷ñng Monge-Ampere P (b0 ) P (b0 ) = sup{ψ ≤ b0 : ψ ∈ P SH(X, ω)}; P (b0 , b1 ) P (b0 , b1 ) = P (min{b0 , b1 }) = sup{ψ 0 ≤ min{b0 , b1 }|ψ 0 ∈ P SH(X, ω)}. P[ψ] (φ) Bao cõa φ u0 v  u X X u1 èi vîi c¡c kiºu k¼ dà cõa ψP[ψ] (φ) = usc (limD→+∞ P (ψ + D, φ)) Mð ¦u (X n , ω) Gi£ sû l÷ñng l  mët a t¤p Kähler compact li¶n thæng n chi·u. Lîp n«ng ε(X, ω) ÷ñc xem nh÷ l  lîp c¡c h m ω -a i·u háa d÷îi P SH(X, ω) khæng nh§t thi¸t bà ch°n. ¥y công l  lîp lîn nh§t c¡c h m ω -a i·u háa d÷îi m  tr¶n â to¡n tû Monge-Amp±re phùc x¡c ành tèt. Nâ ÷ñc sû döng º gi£i ph÷ìng tr¼nh Monge-Amp±re to n cöc vîi dú li»u thæ. C¡c ph¦n tû v ∈ ε(X, ω) th÷íng khæng bà ch°n nh÷ng câ c¡c ký dà r§t nhµ. °c bi»t, theo [13] Corollary 1.8, t¤i x∈X b§t ký sè Lelong cõa v b¬ng khæng. Tuy nhi¶n, nh÷ ¢ nhªn x²t trong [11] t½nh ch§t n y khæng °c tr÷ng cho lîp ε(X, ω). Tam¡s Darvas trong b i b¡o [7] ¢ tr¼nh b y mët k¸t qu£ l§p ¦y lé hêng n y, ngh¾a l  °c tr÷ng c¡c ph¦n ε(X, ω) tû cõa theo t½nh nhµ cõa c¡c ký dà cõa chóng. º thüc hi»n vi»c n y, t¡c gi£ b i b¡o ÷a ra mët c¡ch x¥y düng c¡c tia tr­c àa y¸u trong khæng gian c¡c th¸ và Kähler g­n k¸t vîi c¡c t½nh ch§t cõa lîp ε(X, ω). ε(X, ω) p döng sü x¥y düng n y, t¡c gi£ ¢ chùng minh mët °c tr÷ng cõa theo c¡c bao tr¶n. K½ hi»u bà ch°n v  AM (max{−l, ψ}) , l l→+∞ cψ = lim AM (.) ψ ∈ P SH(X, ω) l  n«ng l÷ñng Aubin-Mabuchi cõa mët h m d÷îi. °c tr÷ng ¦u ti¶n cõa lîp ch¿ n¸u trong â ε(X, ω) ÷ñc chùng minh l  câ thº khæng ω -a i·u háa ψ ∈ ε(X, ω) n¸u v  cψ = 0. B­t ¦u tø mët o¤n tr­c àa d÷îi y¸u (α, β) 3 t 7→ ut ∈ P SH(X, ω) vi»c x¥y düng mët tia tr­c àa y¸u têng qu¡t tr¶n g°p trð ng¤i v¼ nâi chung giîi h¤n u∞ := lim ut t→+∞ khæng tçn t¤i. Kh­c phöc v§n · n y c¦n mët qu¡ tr¼nh chu©n t­c hâa o¤n tr­c àa y¸u. Sü chu©n t­c hâa n y thüc hi»n ÷ñc nhí v o mð rëng mët k¸t qu£ cõa Berndtsson [1] v· t½nh li¶n töc Lipschitz cõa o¤n tr­c àa 1 2 y¸u tòy þ. Vîi o¤n tr­c àa y¸u ÷ñc chu©n t­c hâa i·u háa d÷îi v  kh¡c u∞ := lim ut l  h m t→+∞ −∞. Möc ti¶u ti¸p theo l  x¥y düng tia tr­c àa y¸u ÷ñc chu©n t­c hâa sao cho v0 = φ v  ω -a v∞ = ψ vîi φ, ψ ∈ P SH(X, ω), ψ ≤ φ vîi φ bà ch°n v  ψ t → vt câ thº khæng bà ch°n. º x¥y düng mët tia nh÷ th¸ b i b¡o giîi thi»u tªp hñp c¡c tia tr­c àa y¸u chu©n t­c: R(φ, ψ) = {vt l  mët tia y¸u chu©n t­c hâa vîi vo = lim vt = φ(t) t→0 v  v∞ = lim vt ≥ ψ(t)} t→∞ trong â giîi h¤n l  theo tøng iºm. K½ hi»u (0, l) 3 t → ult ∈ P SH(X, ω) max{φ − l, ψ}v  v(φ, ψ) = usc φ vîi ch½nhquy hâa nûa li¶n töc tr¶n cõa giîi h¤n c¡c o¤n n y l  lim ul l→+∞ cõa c¡c ph¦n tû thuëc Cuèi còng, vîi l  bao tr¶n cõa l  o¤n tr­c àa y¸u duy nh§t nèi φ . B i b¡o chùng minh ÷ñc r¬ng tia R(φ, ψ) v  nâ l  h¬ng n¸u v  ch¿ n¸u ψ ∈ P SH(X, ω) v  v(φ, ψ) ψ ∈ ε(X, ω). φ ∈ P SH(X, ω) ∩ L1 (X) èi vîi kiºu ký dà cõa ψ l  bao d÷îi ành ngh¾a P[ψ] (φ) . Düa v o c¡ch x¥y düng tia tr­c àa y¸u v  t½nh cüc ¤i cõa ph²p bi¸n êi Legendre cõa tia tr­c àa y¸u, b i b¡o ¢ chùng minh kh¯ng ành °c tr÷ng c¡c ph¦n tû cõa ε(X, ω) theo t½nh nhµ cõa c¡c ký dà cõa chóng: ψ ∈ ε(X, ω) n¸u v  ch¿ n¸u P[ψ] (φ) = φ vîi ψ ∈ P SH(X, ω) v  φ ∈ P SH(X, ω)∩ C(X). Luªn v«n n y tr¼nh b y l¤i nëi dung b i b¡o cõa Tam¡s Darvas [7] v· vi»c x¥y düng tia tr­c àa y¸u trong khæng gian c¡c th¸ và g­n k¸t vîi c¡c t½nh ch§t cõa lîp ε(X, ω) v  sû döng chóng º °c tr÷ng lîp n«ng l÷ñng n y theo c¡c bao tr¶n. Luªn v«n gçm 3 ch÷ìng: Ch÷ìng 1: Ph¦n chu©n bà, tr¼nh b y c¡c ki¸n thùc v· H¼nh håc phùc, Lþ thuy¸t a th¸ và câ li¶n quan phöc vö cho c¡c ch÷ìng ti¸p theo. Ch÷ìng 2: Tia tr­c àa y¸u trong khæng gian c¡c th¸ và Kähler: Tr¼nh b y ◦ Kh¡i ni»m tr­c àa trong khæng gian c¡c th¸ và Kähler. ◦ Ph÷ìng ph¡p cõa Berndtsson [2] x¥y düng c¡c o¤n tr­c dàa y¸u nèi hai iºm thuëc lîp c¡c h m ω -a i·u háa d÷îi bà ch°n àa ph÷ìng. 3 ◦ Kh¡i ni»m phi¸m h m n«ng l÷ñng Aubin-Mabichi, mèi li¶n h» giúa phi¸m h m n y v  tr­c àa y¸u. ◦ Sü chu©n t­c hâa tia tr­c àa y¸u. Ch÷ìng 3: Tia tr­c àa y¸u v  lîp n«ng l÷ñng ◦ Kh¡i ni»m lîp n«ng l÷ñng ◦ C¡ch x¥y düng c¡c tia tr­c àa y¸u. ◦ Sü °c tr÷ng lîp ε(X, ω) ε(X, ω). theo c¡c bao tr¶n. ε(X, ω). Ch÷ìng n y tr¼nh b y: Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà 1.1 Ph²p t½nh vi ph¥n tr¶n a t¤p kh£ vi 1.1.1 a t¤p kh£ vi ành ngh¾a 1.1.1 Cho m∈N v  h m li¶n töc l  . (a t¤p kh£ vi) k ∈ N ∪ {∞}. Xem trong [8] Ta kþ hi»u lîp c¡c h m kh£ vi k l¦n vîi c¡c ¤o Ck. Mët a t¤p kh£ vi m chi·u thuëc lîp Ck l  mët khæng gian topo X Haus- dorff, kh£ ly, ngh¾a l  câ mët cì sð ¸m ÷ñc, ÷ñc trang bà mët atlas lîp vîi gi¡ trà trong Rm . Mët atlas lîp i) Uα Ck m chi·u tr¶n X l  tªp con mð kh¡c réng cõa l  hå X A = {(Uα , ϕα )} vîi måi ii) ϕα : Uα → Vα iii) ∪α∈A Uα = X . iv) φβα = ϕβ ◦ ϕ−1 α : ϕα Uα ∩ Uβ → ϕβ Uα ∩ Uβ l  çng phæi tø Uα Khi â, ta câ + (Uα , ϕα ) α ∈ A. l¶n tªp mð
÷ñc gåi l  b£n ç àa ph÷ìng. 4 thäa m¢n: Vα
. trong Rm vîi måi α ∈ A. Ck 5 + Uα ÷ñc gåi l  mi·n tåa ë hay m£nh tåa ë cõa b£n ç àa ph÷ìng. + C¡c th nh ph¦n cõa tr¶n + Uα x¡c ành bði ϕαβ = ϕα ◦ ϕ−1 β mèi li¶n h» N¸u k=∞ N¸u Ω ϕα (x) = (xα1 , xα2 , ..., xαn ) ϕα . ÷ñc gåi l  ph²p bi¸n êi tåa ë (ph²p chuyºn dàch). Ta câ xα = φαβ xβ ta nâi ÷ñc gåi l  h» tåa ë àa ph÷ìng X
. a t¤p trìn m chi·u. l  l  tªp con mð cõa X v  s ∈ N ∪ {∞}, 0 ≤ s ≤ k k½ hi»u C s (Ω, R) l  tªp s hñp c¡c h m thuëc lîp C s tr¶n Ω, ngh¾a l  f ◦ ϕ−1 α thuëc lîp C tr¶n ϕα (Uα ∩ Ω). N¸u Ω khæng l  tªp con mð cõa thuëc lîp Cs X th¼ C s (Ω, R) Ω. tr¶n mët l¥n cªn n o â cõa ành ngh¾a 1.1.2. Mët vecto ti¸p xóc ξ l  tªp hñp c¡c h m câ mð rëng t¤i a∈X l  mët to¡n tû vi ph¥n t¡c ëng l¶n c¡c h m, câ d¤ng f 7→ ξ.f = m X ∂f (a) ∂xj ξj j=1 trong h» tåa ë àa ph÷ìng b§t k¼ Khi â, ta vi¸t ξ= gian X t¤i a, (x1 , x2 , ..., xm ) tr¶n tªp mð Ω chùa a. ∂ j=1 ξj ∂x . j a∈Ω bë k½ hi»u l  ành ngh¾a 1.1.3. TX,a f ∈ C 1 (Ω, R), Pm  Vîi måi vîi ∂ ∂xj  l  cì sð cõa khæng gian ti¸p xóc cõa khæng 1≤j≤m TX,a . Vi ph¥n cõa h m f t¤i a l  d¤ng tuy¸n t½nh tr¶n khæng gian ÷ñc ành ngh¾a bði: dfa (ξ) = ξ.f = m X j=1 °c bi»t, dxj (ξ) = ξj n¶n ta câ thº vi¸t ξj ∂f (a), ∀ξ ∈ TX,a . ∂xj df = Pm j=1  Nh÷ vªy (dx1 , .., dxm ) l  cì sð èi ng¨u cõa ∂f dxj . ∂xj ∂ ∂xj ∗ . C¡c hñp T = ∪ ∗ èi ti¸p xóc TX,a X x∈X TX,x v  TX = thð ti¸p xóc cõa X .  trong khæng gian ph¥n 1≤j≤m ∗ ∪x∈X TX,x ÷ñc gåi l  6 Ta nâi ξ(x) ∈ TX,x ξ l  tr÷íng vecto sao cho ξ(x) = thuëc lîp ∂ Pm j=1 ξj (x) ∂x Cs tr¶n Ω n¸u nâ l  mët ¡nh x¤ câ c¡c h» sè thuëc lîp x 7→ C s. j 1.1.2 a t¤p Riemann M Cho l  mët a t¤p trìn sè chi·u ành ngh¾a 1.1.4. Mët metric Riemann tr¶n xùng v  x¡c ành d÷ìng t¤i måi iºm M l  mët tr÷íng tensor g èi p ∈ M. M Nh÷ vªy mët metric Riemann tr¶n Tp M n trang bà cho méi khæng gian ti¸p xóc mët d¤ng song tuy¸n t½nh èi xùng, x¡c ành d÷ìng gp : Tp M × Tp M → R. Hìn núa gp l  trìn theo p, ngh¾a l  vîi måi tr÷íng vecto trìn u, v h m M 3 p 7→ gp (u(p), v(p)) l  trìn tr¶n M. C°p (M, g) khi â ÷ñc gåi l  mët a t¤p Riemann. M»nh · 1.1.5. Tr¶n måi a t¤p trìn ta ·u câ thº x¥y düng mët metric Riemann. 1.1.3 C¡c d¤ng vi ph¥n tr¶n a t¤p kh£ vi ành ngh¾a 1.1.6. mët ¡nh x¤ u:X → Mët d¤ng vi ph¥n bªc Vp ∗ . TX,x p, hay vi¸t t­t l  Trong mët tªp mð tåa ë p-d¤ng Ω ⊂ X, mët X l  p-d¤ng vi tr¶n ph¥n câ thº ÷ñc vi¸t l : X u(x) = 0 uI (x)dxI , |I|=p trong â I = (i1 , ..., ip ) i1 < ... < ip K½ hi»u |I| v  l  mët a ch¿ sè vîi c¡c th nh ph¦n l  c¡c sè nguy¶n dxI := dxi1 ∧ ... ∧ dxip . l  sè c¡c th nh ph¦n cõa I, åc l  ë d i cõa I. 7 Tòy thuëc v o ta nâi u uI l  c¡c h m bà ch°n, li¶n töc, kh£ vi lîp n o hay trìn m  l  d¤ng bà ch°n, li¶n töc, lîp Vîi méi sè nguy¶n C s (X, sè uI Vp ∗) TX m§y hay trìn. p = 0, 1, ..., m v  s ∈ N ∪ {∞}, s ≤ k , khæng gian c¡c p-d¤ng vi ph¥n thuëc lîp l  thuëc lîp C C s, ta kþ hi»u ngh¾a l  c¡c h» C s. C¡c ph²p to¡n tr¶n d¤ng vi ph¥n công ÷ñc ành ngh¾a mët c¡ch tü nhi¶n. ành ngh¾a 1.1.7 ph¥n v  v(x) = . (T½ch ngo i) P vJ (x)dxJ Gi£ sû u(x) = P uI (x)dxI |I|=p l  mët q -d¤ng vi ph¥n, |J|=q (p + q)-d¤ng l  mët t½ch ngo i p-d¤ng u∧v vi l  mët ÷ñc cho bði cæng thùc u ∧ v(x) = X wL (x)dxL , L trong â wL dxL = 0 n¸u câ ik = jl (−1)σ uI vJ dxl1 ∧ dxl2 ∧ ... ∧ dxlp+q , và cõa d¢y i1 t«ng < ... < ip v  ð â j1 < ... < jq 1 ≤ k ≤ p; 1 ≤ l ≤ q v  1 ≤ l1 < l2 < ... < lp+q ≤ n v  vîi trong tªp {1, ..., n} wL dxL = σ l  ho¡n º t¤o th nh mët d¢y 1 ≤ l1 < l2 < ... < lp+q ≤ n. ành ngh¾a 1.1.8. ¤o h m ngo i cõa mët p-d¤ng vi ph¥n thuëc lîp Cs l  to¡n tû vi ph¥n: ∗ ∗ d : C s (X, ∧p TX ) → C s−1 (X, ∧p+1 TX ) ÷ñc x¡c ành trong h» tåa ë àa ph÷ìng bði: du = X |I|=p,1≤k≤p ∂uI dxk ∧ dxI . ∂xk Thuªn lñi cõa cæng thùc n y l  nâ khæng phö thuëc v o vi»c chån c¡c tåa ë. Hai t½nh ch§t cì b£n cõa t½ch ngo i: ành lþ 1.1.9. d(u ∧ v) = du ∧ v + (−1)deg u u ∧ dv d(u + v) = du + dv. N¸u u ∈ C 2(X, V TX∗ ) th¼ d2(u) = d(du) = 0. 8 Mët d¤ng vi¸t u = dv vîi u v X ¸n a t¤p vi ph¥n tr¶n c¡ch thay X 0. (K²o ng÷ñc) K²o ng÷ñc y = F (x) . Cho X 0 , dimR X 0 = m0 v o v, F ∗v du = 0 khîp n¸u câ thº v  ÷ñc gåi l  v  l  mët F : X → X0 v(y) = p P l  mët ¡nh x¤ kh£ vi tø a vJ (y)dyJ p l  mët d¤ng d¤ng vi ph¥n tr¶n X d¤ng nhªn ÷ñc b¬ng ngh¾a l  : F ∗ v(x) = N¸u ta câ ¡nh x¤ thù hai F ∗ (G∗ w) n¸u l  mët d¤ng n o â. ành ngh¾a 1.1.10 t¤p âng ÷ñc gåi l  X vI (F (x))dFi1 ∧ ... ∧ dFip G : X 0 → X 00 nhªn ÷ñc b¬ng c¡ch thay th¸ v  w l  d¤ng vi ph¥n tr¶n z = G(y), y = F (x), X 00 th¼ do â F ∗ (G∗ w) = (G ◦ f )∗ w. Hìn núa, ta luæn câ n¸u v âng v  l  khîp n¸u Mët a t¤p sao cho X φα β ÷ñc gåi l  v i·u n y d¨n ¸n k²o ng÷ñc F∗ l  âng khîp. ành h÷îng n¸u v  ch¿ n¸u tçn t¤i mët atlas (Uα, ϕα) b£o to n h÷îng, ngh¾a l  câ ành thùc Jacobi d÷ìng. ành ngh¾a 1.1.11 . (T½ch ph¥n cõa c¡c d¤ng vi ph¥n) u(x) = f (x1 , ..., xm )dx1 ∧ ... ∧ dxm h÷îng. N¸u ¤i d(F ∗ v) = F ∗ (dv). m = dimR X , ÷ñc ành Ω, ta °t: Z f (x1 , ..., xm )dx1 ∧ ... ∧ dxm . u= X X l  mët d¤ng li¶n töc vîi bªc cüc vîi gi¡ compact trong mët tªp mð tåa ë Z Gi£ sû Rm Qua ph²p êi bi¸n, k¸t qu£ ëc lªp vîi vi»c chån c¡c tåa ë n¶n chóng ta ch¿ x²t c¡c tåa ë t÷ìng ùng vîi ành h÷îng ¢ cho. Z Khi u u l  mët d¤ng tòy þ vîi gi¡ compact, ành ngh¾a cõa ÷ñc mð X rëng b¬ng ph²p ph¥n ho¤ch ìn và t÷ìng ùng vîi c¡c tªp mð tåa ë phõ suppu. Cho F : X → X0 thº t½ch tr¶n X 0. l  mët vi phæi giúa c¡c a t¤p câ ành h÷îng v  Cæng thùc bi¸n êi Z ∗ Z F x=± X phö thuëc v o F v X0 câ b£o to n ành h÷îng hay khæng. v l  d¤ng 9 Cho K l  mët tªp con compact cõa tùc l  vîi méi a, a ∈ ∂K câ c¡c tåa ë X v  vîi bi¶n kh£ vi li¶n töc tøng khóc, (x1 , x2 , ..., xm ) tr¶n mët l¥n cªn V cõa a, t¥m sao cho: K ∩ V = {x ∈ V : X1 ≤ 0, ..., xl ≤ 0} Khi â ∂K ∩ V vîi ch¿ sè l n o â l ≥ 1. l  mët tªp hñp c¡c si¶u m°t trìn vîi c¡c bi¶n kh£ vi li¶n töc tøng khóc: ∂K ∩ V = [ {x ∈ V : x1 ≤ 0, ..., xj = 0, ..., xl ≤ 0} . 1≤j≤l T¤i c¡c iºm thuëc ∂K , ∂K m  xj = 0 (x1 , ..., xbj , ..., xm ) th¼ chóng ta l§y mët ành h÷îng cõa ë èi tòy thuëc v o d§u (−1)j−1 . ∂K x¡c ành c¡c tåa ë tr¶n ÷ñc cho bði c¡c tåa ë ho°c bði tåa Måi d¤ng u thuëc C 1, bªc m−1 tr¶n X, ta câ: Z Z u= du . ∂K Cho c¡c M l  mët a t¤p trìn v  gi£ sû p-d¤ng vi ph¥n. V¼ (Cæng thùc Stokes) K p l  mët sè nguy¶n khæng ¥m, l  khæng gian d : Ωp (M ) → Ωp+1 (M ) l  tuy¸n t½nh, h¤t nh¥n v  £nh cõa nâ l  khæng gian con tuy¸n t½nh. Ta ành ngh¾a Z p (M ) = Ker(d : Ωp (M ) → Ωp+1 (M ) = B p (M ) = Im(d : Ωp−1 (M ) → Ωp (M ) = Quy ÷îc: Ωp (M ) B 0 (M ) = 0 v  c¡c p-d¤ng âng tr¶n M, c¡c p-d¤ng khîp tr¶n M. l  khæng gian vectì khæng khi Z n (M ) = Ωn (M ). ành ngh¾a 1.1.12 i·u de Rham bªc p p<0 ho°c p > n = dim M Do måi d¤ng khîp l  âng n¶n (èi çng ·u DeRham) . v½ dö B p (M ) ⊂ Z p (M ). Ta ành ngh¾a nhâm èi çng (ho°c nhâm èi çng i·u de Rham thù p) tr¶n M l  khæng gian vectì th÷ìng p HdR (M ) = Z p (M ) . B p (M ) ¥y l  mët khæng gian vectì thüc, v  do â nâ l  mët nhâm vîi ph²p cëng vectì. Rã r ng r¬ng p HdR (M ) = 0 c¡c tr÷íng hñp â. Vîi tr¶n M l  khîp. vîi p<0 ho°c p 0 ≤ p ≤ n, HdR (M ) = 0 p > dim M , v¼ Ωp (M ) = 0 n¸u v  ch¿ n¸u måi p-d¤ng trong âng 10 1.1.4 Dáng tr¶n c¡c a t¤p kh£ vi Cho X l  mët a t¤p kh£ vi câ ành h÷îng lîp ta giîi thi»u mët topo tr¶n khæng gian c¡c vi ph¥n Cho Ω⊂X tr¶n Ω. l  mët tªp mð tåa ë v  èi vîi måi tªp con compact L⊂Ω psL (u) = sup α = (α1 , .., αm ) a) Ta k½ hi»u C s (X, Vp εp (X) ∗ )), TX K ⊂ X εp (X) sinh; (t÷ìng ùng ∗ ). TX X : u(x) = s ∈ N, s, L, Ω P uI (x)dx ta x²t nûa chu©n: max |I|=p,|α|≤s v  Dα = |Dα uI (x)| ∂ |α| ∂xα1 1 ...∂xαmm l  mët ¤o h m c§p s εp (X)) l  khæng gian p-d¤ng C ∞ (X, Vp tr¶n a t¤p: ∗) TX ÷ñc trang bà tæpæ x¡c ành bði c¡c nûa chu©n (t÷ìng ùng PLs khi L, Ω thay êi). l  mët tªp compact, ta k½ hi»u vîi c¡c ph¦n tû Dp (X) tr¶n Ta giîi thi»u mët sè khæng gian cõa thay êi (t÷ìng ùng b) N¸u Vp Tr÷îc h¸t  |α| = α1 + ... + αm . ành ngh¾a 1.1.13. p-d¤ng l  mët  Nm ch¤y kh­p C s (X, v  måi sè nguy¶n x∈L vîi u C ∞ , m = dimR X . u ∈ εp (X) Dp (K) l  khæng gian con cõa câ gi¡ compact trong K, còng vîi topo c£m k½ hi»u tªp hñp t§t c£ c¡c ph¦n tû vîi gi¡ compact, ngh¾a l  Dp (X) := ∪K Dp (K). c) C¡c khæng gian cõa c¡c C s- d¤ng s D p (K) v  s D p (X) ÷ñc ành ngh¾a t÷ìng tü. V¼ c¡c a t¤p ÷ñc ta gi£ thi¸t l  kh£ ly n¶n topo cõa hå ¸m ÷ñc c¡c nûa chu©n gian Frechet. Topo cõa Dp (X) v  do â εp (X) (công nh÷ ÷ñc x¡c ành bði s εp (X)) l  mët khæng s D p ÷ñc sinh bði måi tªp húu h¤n c¡c nûa chu©n sao cho c¡c tªp compact Tuy nhi¶n, PLs εp (X) Kj phõ K. Do â s PK j s D p (K) l  mët khæng gian Banach. khæng l  khæng gian Frechet, Dp (X) trò mªt trong εp (X). Khæng gian c¡c dáng ÷ñc ành ngh¾a nh÷ l  èi ng¨u cõa c¡c khæng gian tr¶n, t÷ìng tü nh÷ ành ngh¾a thæng th÷íng v· c¡c ph¥n bè. 11 Khæng gian c¡c dáng chi·u d¤ng tuy¸n t½nh KbX T tr¶n p Dp (X) (hay bªc m − p) tr¶n sao cho h¤n ch¸ cõa X T l  khæng gian Dp0 (X) l¶n måi khæng gian c¡c Dp (K), l  ¡nh x¤ li¶n töc. Bªc ÷ñc ch¿ ra b¬ng c¡c ch¿ sè mô, do â ta °t: 0 D m−p (X) = Dp0 (X) := (Dp (X))0 , trong â, (Dp (X))0 Khæng gian l  èi ng¨u topo cõa s D 0 m−p (X) gåi l  khæng gian Dp (X). = s Dp0 (X) := (s Dp (X))0 ÷ñc ành ngh¾a t÷ìng tü v  ÷ñc dáng c§p s tr¶n X . v  mët d¤ng thû u ∈ Dp (X). Rã r ng s D 0 (X) ÷ñc çng nh§t nh÷ mët khæng gian con c¡c dáng p T ∈ Dp0 (X) m  li¶n Ta °t hT, ui s PK T tr¶n Dp (K) vîi måi tªp compact k½ hi»u l  suppT , l  tªp con âng nhä nh§t töc vîi nûa chu©n tåa dë l  c°p giúa mët dáng K n¬m trong mët m£nh Ω. Gi¡ cõa ch¸ cõa T dáng cõa l¶n T, Dp (X\A) Dp0 (X) b¬ng 0. èi ng¨u topo ε0p (X) A⊂X sao cho h¤n ÷ñc çng nh§t vîi tªp c¡c vîi gi¡ compact. 1.1.5 ¤o h m ngo i v  t½ch ngo i cõa dáng tr¶n a t¤p kh£ vi Nhi·u ph²p to¡n tr¶n c¡c d¤ng bi ph¥n câ thº ÷ñc mð rëng cho c¡c dáng b¬ng c¡c lþ luªn èi ng¨u. ành ngh¾a 1.1.14. 1. Cho 0 0 T ∈ s D q (X) = s Dm−q (X). 0 ¤o h m ngo i dT ∈ s+1D q+1(X) = s+1Dm−q−1 (X) ÷ñc ành ngh¾a bði 0 hdT, ui = (−1)q+1 hT, dui , u ∈ 2. Vîi 0 T ∈ s D q (X) v  g ∈ s εr (X), s+1 Dm−q−1 (X). t½ch ngo i T ∧ g ∈ sD q+r (X) x¡c ành bði: 0 hT ∧ g, ui = hT, g ∧ ui , u ∈ s Dm−q−r (X). M»nh · 1.1.15. Xem trong [8],Proposition (2.9). Cho (x1, ..., x2) l  h» tåa ë tr¶n mët tªp con mð Ω ⊂ X . Måi dáng T ∈ sD0q (X) 12 bªc q câ thº ÷ñc vi¸t d÷îi d¤ng duy nh§t: X T = TI dxI tr¶n Ω, |I|=q ð ¥y, TI l  c¡c h m ph¥n bè c§p s tr¶n Ω, ÷ñc xem nh÷ l  c¡c dáng bªc 0. 1.2 Ph²p t½nh vi ph¥n phùc 1.2.1 a t¤p phùc ành ngh¾a 1.2.1. Cho n ∈ N, mët a t¤p phùc n chi·u (phùc) X l  mët khæng gian topo Hausdorff còng vîi mët Alats phùc i) Uα l  tªp mð kh¡c réng cõa X vîi måi ii) ϕα : Uα → Cn iii) ∪α∈A Uα = X . iv) ϕβ ◦ ϕ−1 α : ϕ(Uα ∩ Uβ ) → ϕβ (Uα ∩ Uβ ) l  çng phæi tø Uα A = {(Uα , ϕα )}α∈A thäa m¢n: α ∈ A. l¶n mët tªp mð trong ch¿nh h¼nh vîi måi Cn vîi måi α ∈ A. α, β ∈ A. Khi â, + (Uα , ϕα ) + Uα ÷ñc gåi l  b£n ç àa ph÷ìng. ÷ñc gåi l  mi·n tåa ë hay m£nh tåa ë cõa b£n ç àa ph÷ìng â. + C¡c th nh ph¦n cõa Uα + x¡c ành bði ϕβ ◦ ϕ−1 α Nhªn x²t. ϕα (z) = (z1α , ..., znα ) ϕα . ÷ñc gåi l  ph²p êi tåa ë (ph²p chuyºn dàch ). Mët a t¤p phùc vîi chi·u phùc bà atlas ch¿nh h¼nh vîi gi¡ trà trong ch¿nh h¼nh. ÷ñc gåi l  h» tåa ë àa ph÷ìng tr¶n Cn , n l  mët a t¤p kh£ vi ÷ñc trang c¡c ph²p chuyºn dàch l  c¡c ¡nh x¤