Tài liệu Thuyết tương đối rộng và việc giảng dạy cho sinh viên khoa lý như một chuyên đề.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Tp. HỒ CHÍ MINH T 1 T3 1 T3 1 THUYẾT TƯƠNG ĐỐI RỘNG T 3 VÀ VIỆC GIẢNG DẠY CHO SINH VIÊN KHOA LÝ NHƯ MỘT CHUYÊN ĐỀ. T 3 T 3 T 3 ĐỀ TÀI KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG T 0 2000 - 2001 T 0 T 0 TÁC GIẢ LÊ NAM TỔ VẬT LÝ – LÝ THUYẾT KHOA VẬT LÝ - ĐHSP. T 1 T 1 T 1 T 3 GV: Lê Nam S1: ĐA TẠP – MANIFOLD Ta nói đa tạp n chiều ký hiệu là M gồm tập các điểm mà mỗi điểm được xác định bởi n tọa độ (x1, x2. . . ,xn). Các tọa độ này là thực và biến thiên từ -∞→+∞ P P P P P P Tập hợp các điểm trên sẽ cho ta đường cong và mặt cong. Ta nối tắt là đường và mặt. Cũng giống như trong không gian Euciide 3 chiều, đường có một bậc tự do và phụ thuộc vào một tham số cho bởi phương trình: xa = xa(u) ; a= l,2,....n (1) P P P P Đôi khi để đánh số các đường ta đưa thêm vào tham số thứ hai n. khí đó xa xa (u,n) (2) P P P P Mặt m chiều trong đa tạp n chiều (m < n) sẽ có m bậc tự do và nó phụ thuộc vào m tham số cho bởi phương trình: xa = xa(u1,u2,.....um) (3) P P P P P P P P P P Nếu như m = n-l thì mặt này gọi là siêu mặt - Hypersurface xa = xa (u1,u2, un-1) P P P P P P P P P P a=l,2,....n Từ đây ta có thể đưa về phương trình: f(x1,x2,...,xn) = 0 P P P P P P Phương trình này có tên là phương trình liên kết. §2 : MA TRẬN CHUYỂN TỌA ĐỘ Trong đa tạp n chiều ta có hệ tọa độ cũ x1x2,...,xn và hệ tọa độ mới P 𝑥̅ 𝑛 P P P P P Ta có phương trình liên hệ giữa mới và cũ: để đơn giản ta viết Như đã biết trong phần giải tích, định thức Jacobi sẽ bằng không nếu các tọa độ mới phụ thuộc tuyến tính. Nếu các độc lập tuyến tính với nhau thì Jacobi sẽ khác không. Trang 1 GV: Lê Nam Định thức của ma trận chuyển tọa độ ký hiệu là T 0 Hoàn toàn tương tự ta có phép biến đổi ngược từ mới sang cũ T 0 Ta nhận thấy khi nhân hai ma trận trên với nhau sẽ cho ta ma trận đơn vị. T 0 Ví dụ trong không gian 3 chiều ta có Chuyển sang không gian n chiều ta có : Ta qui định nếu chỉ số lặp lại hai lần có nghĩa là lấy tổng theo chỉ số đó. Các chỉ số này gọi là chỉ số câm. Còn chỉ số xuất hiện ở cả hai vế gọi là chỉ số tự do. Trang 2 GV: Lê Nam §3 : TENXƠ PHẢN BIẾN VÀ TENXƠ HIỆP BIẾN 1. Khái niệm hiệp biến và phản biến Xét vectơ X trong mặt phẳng với hai vectơ cơ sở e 1 , e 2 như hình vẽ R R R R Nếu hai trục tọa độ của ta không vuông góc nhau, ta có hai cách mô tả vectơ X a. Chiếu vuông góc vectơ x lên hai trục ta được x 1 , x2 R R R b. Chiếu vectơ X song song theo từng trục ta được x1 ,x2 R R R Tóm lại nếu biết x1 , x 2 và x1, x2 ta đều xác định được vectơ X. R R R R P P P P x1 , x2 : thành phần hiệp biến của vectơ X R R R R x , x : thành phần phản biến của vectơ X 1 P 2 P P P Trong trường hợp hai trục tọa độ vuông góc nhau ta thấy thành phần phản biến và hiệp biến trùng nhau. 2. Xét đa tạp n chiều . Điểm P có các tọa độ là xa, còn điểm Q có xa + dxa . Vectơ dxa nối hai điểm với nhau: P P P P P P P P Trong hệ tọa độ x1, x2,..., xn vectơ trên sẽ có các thành phần tương ứng là dxa. P P P P P P P P P Tương tự ương hệ tọa độ mới các thành phần tương ứng của vectơ trên sẽ là d𝑥 a P Ta có công thức liên hệ : (1) Bây giờ ta định nghĩa: Vectơ phản biến hay tenxơ phản biến hạng 1 là tập hợp những, đại lượng Xa P trong hệ tọa độ (x1,x2,...,xn)=(xa) tại điểm P mà tuân theo quy luật: P P P P P P P P P (2) Trang 3 GV: Lê Nam Trong đó ma trận được lấy giá trị tại điểm P. (đạo hàm trước rồi sau đó thay giá trị tương ứng tại P) Ví dụ : cho đường cong xa = xa(u) trong không thời gian bốn chiều. (a= 0,1,2,3) P Vectơ dxa du , du , du P P là vectơ tiếp tuyến của đường cong Xa = T 2 P dx0 dx1 dx2 dx3 du P , du P tạo thành tenxơ phản biến hạng một. dxa có bốn thành phần du Từ đây ta tổng quát hóa : Tenxơ phản biến hạng 2 là tập hợp các đại lượng xab trong hệ tọa độ xa mà chúng tuân P P P P theo quy luật biến đổi sau Các đại lượng 𝑋 ab là thành phần của tenxơ hạng 2 trong tọa độ 𝑋 a P T 3 P P Ví dụ : ta có 2 tenxơ phản biến Ya và Za tất cả các số hạng có dạng Ya Zb sẽ lập thành tenxơ hạng 2 So sánh (4 ) với (3) ta thấy Ya Zb đúng là tenxơ hạng 2. P P P P Hoàn toàn tương tự ta định nghĩa tenxơ hiệp biến hạng 1 (vectơ hiệp biến ) là một tập hợp các đại lượng ký hiệu X a trong hệ tọa độ Xa mà khi chuyển tọa độ tuân theo quy luật: R T 3 T 3 Các R P P lập thành ma trận được xác định tại điểm P Tương tự cho tenxơ hạng cao hơn: Trang 4 GV: Lê Nam Ta cũng định nghĩa tenxơ hỗn hợp hạng 3 : đôi khi ta ký hiệu tenxơ hạng p phân biến và hạng q hiệp biến: Tenxơ hạng không là một vô hướng, và ta hay ký hiệu bằng chữ Φ 3. Tại sao tenxơ lại được các nhà vật lý chú ý? Giả sử ta có 2 tenxơ X ab và Y ab trong hệ tọa độ nào đó (hệ quy chiếu) thỏa mãn tính chất: X ab = Y ab (8) Ta chuyển sang hệ tọa độ mới (hệ quy chiếu mới )bằng cách nhân cả 2 vế với: R R R R R R R R Từ đây suy ra phương trình tenxơ (7) đã đúng trong hệ tọa độ nào thì cũng sẽ đúng trong hệ tọa độ bất kỳ khác (8) Nói cách khác phương trình tenxơ không phụ thuộc vào hệ tọa độ (không phụ thuộc vào hệ quy chiếu) §4;ĐẠI SỐ TENXƠ l.Phép cộng Chỉ thực hiện với các tenxơ cùng loại: Tenxơ là đối xứng với hai chỉ số trên hoặc dưới nếu ta hoán vị các chỉ số đó cho nhau mà tenxơ không đổi. = X ba X ab Nếu không gian của ta là n chiều thì tenxơ ỏ trên được viết thành ma trận n x n.Do đối xứng nên ta có n.(n+l)/2 thành độc lập. Khi X ab = - X ba tenxơ được gọi là phản đối xứng. Suy ra: X aa = -X aa  xaa = 0 Nghĩa là các thành phần nằm trên đường chéo chính bằng không .Do đó tenxơ phản đối xứng có n(n-l)/2 thành phần độc lập. Với tenxơ đối xứng và phản đối xứng ta luôn biểu diễn được dưới dạng: R R R R R R R R R R R R R S:Symmêtric A:Antisymmêtric Trang 5 GV: Lê Nam ❖ Chú ý: với tenxơ hạng ba trong không gian n chiều sẽ gồm nxnxn thành phần tất cả 2. Phép nhân tenxơ T 6 Tenxơ loại nhân với tenxơ cho ta 3. Phép rút gọn tenxơ Cho tenxơ xa bcd .Ta rút gọn tenxơ theo chỉ số a và b. P R P R hoặc Ví dụ: Cho tenxơ Xa bc ,nếu như a=b thì Xa ac sẽ là tenxơ hiệp biến hạng 1 P R P R P R P R Theo định nghĩa: Bây giờ cho a = b: T 6 Nhắc lại định nghĩa tenxơ hiệp biến hạng nhất: So sánh ta rút ra: §5 : TENXƠ MÊTRIC Ta chọn hệ tọa độ chuẩn 𝑥 T 6 lân cận nhau có dạng 𝑎 trong đa tạp n chiều sao cho tọa độ dài vô cùng bé nối hai điểm T 6 (1) Khi đó đa tạp có tên : không gian Euclid n chiều Ví dụ: xét tọa độ Descartes trong không gian 3 chiều Trang 6 GV: Lê Nam (2) có dạng giống (1). Vậy ta có thể nói đa tạp 3 chiều + hệ tọa độ Descartes tạo nên không gian Euclide 3 chiều. Bây giờ từ (1) ta chuyển sang hệ tọa độ mới xa: Trong đó Vậy đa tạp với hệ tọa độ mới xa có ds2 = g ab dxadxb gọi là không gian Riemann n chiều Các g ab gọi là tenxơ mêtric hiệp biến gac gọi là tenxơ mêtric phản biến P R P P P P R R P P P P R P Đôi khi ta định nghĩa sau : Ví dụ : Bề mặt quả đất là không gian Rieneann 2 chiều khoảng cách giữa hai điểm (θ, φ) và (θ + d θ, φ + d φ ) Suy ra I § 6 : ĐẠO HÀM LIE 1. Cho đại lượng vô hướng Φ Rõ ràng vô hướng Φ không thay đổi khi chuyển hệ tọa độ. Nếu tại mỗi điểm của không gian Riemann ứng với một giá trị của Φ thì ta được một trường vô hướng hay trường tenxơ hạng không. Tương tự tenxơ T ab ... được xác định tại mỗi điểm trong vùng nào đó thuộc không gian Riemann thì kết quả ta có trường tenxơ hạng tương ứng. 2. Cho 2 trường vectơ bất kỳ X và Y, giao hoán tử Lie của 2 vectơ trên tác dụng lên hàm bất kỳ f sẽ được định nghĩa như sau : R R với f1 , f2 hai hàm bất kỳ; α,β = const thực, và Lie giao hoán tử thỏa mãn: R R R R Trang 7 GV: Lê Nam Từ ba biểu thức trên, ta thấy giao hoán tử Lie là toán tử tuyến tính và toán tử này giống phép vi phân. Trong hệ trục toa độ xa ta định nghĩa vectơ X: Bây giờ ta xét thành phần thứ a của giao hoán tử Lie Từ đây ta định nghĩa đạm hàm Lie của vectơ Y theo hướng vectơ X được viết như sau: Ta chấp nhận một số tính chất sau: là vô hướng * Đạo hàm Lie một tenxơ theo hướng X là đạo hàm riêng mà không cần sử dụng tenxơ mêtric (không cần sử dụng hệ thống liên thông). § 7 : ĐẠO HÀM HIỆP BIẾN 1. Khái niệm dịch chuyển song song Trong không gian phẳng dịch chuyển song song một vectơ có nghĩa là di chuyển nó sao cho lúc nào vectơ cũng song song vòi chính nó. Nói cách khác, ta dịch chuyển sao cho độ lớn và hướng của nó không thay đổi. Trong không gian cong Riemann dịch chuyển song song một vectơ dọc theo C nghĩa là địch chuyển nó sao cho góc tạo giữa nó và đường cong C luôn không đổi. Lúc này các thành phần của vectơ sẽ thay đổi cho dù độ lớn của nó không đổi. Trang 8 GV: Lê Nam 2. Đạo hàm hiệp biến Xét một trường vectơ phản biến bất kỳ Aa. Tại điểm P ứng với tọa độ xa vectơ có giá trị là Aa P P P P P Tại điểm Q ứng với toa độ xa+dxa vectơ có giá trị là Aa + dAa Bây giờ ta dịch chuyển song song vectơ Aa đến điểm Q. Vectơ sẽ thay đổi một lượng được ký hiệu δAa Ta lập hiệu: P P P P P P P P P P P P Đại lượng δAa ta có thể hoàn toàn có thể đặt bằng: Trong đó: một hàm nào đó phụ thuộc vào hệ tọa độ ta chọn. Có thể bằng không hoặc khác không . có tên là hệ số liên thông hay ký hiệu Christoffel loại hai. Còn dấu (-) hoàn toàn là do quy ước của ta. Thay (2) vào (l): Mặt khác ta có Thay vào (3) Phần trong ngoặc gọi là đạo hàm hiệp biến của vectơ phản biến Aa P P (dấu chấm phẩy (;) có nghĩa là đạo hàm hiệp biến) Ta có thể xây dựng phép đạo hàm phản biến (xem Landau trang 310) 3. Đạo hàm hiệp biến vectơ hiệp biến Như đã biết nếu ta dịch chuyển song song một vô hướng thì đại lượng này không thay đổi. Nói cách khác tích vô hướng của hai vectơ cũng sẽ không thay đổi khi dịch chuyển song song. Xét tích vô hướng của hai vectơ A a Bb. Do không thay đổi khi dịch chuyển song song nên: R R P P Trang 9 GV: Lê Nam về mặt cấu trúc: nên ta viết lại (7): Sau khi giản ước Ba ở hai vế: T 5 P (8) P tương tự như (l) Thay (8) vào (9) T 5 (10) T 5 Phần trong ngoặc gọi là đạo hàm hiệp biến vectơ hiệp biến T 5 Tương tự ta chứng minh được đạo hàm hiệp biến các tenxơ hạng cao hơn: (11) (12) (13) 4. Ta tìm sự liên hệ giữa đạo hàm lie và đạo hàm hiệp biến : để trả lời câu hỏi trên ta xét: (14) (15) b b P P nhân từ trái (14) với X và (15) với Y rồi trừ cho nhau : P Ta chỉ xét các hệ số liên thông: T 5 P nên hai số hạng cuối cùng có cùng cấu trúc. T 5 Do vậy chúng triệt tiêu nhau. Cuối cùng ta được: Trong biểu thức của đạo hàm He ta có thể thay đạo hàm thường bằng đạo hàm hiệp biến. Với điều kiện là đối xứng với hai chỉ số dưới. T 5 Trang 10 GV: Lê Nam § 8: ĐẠO HÀM TUYỆT ĐỐI 1. Ở bài 7 ta đã có: Chia hai vế cho du với u : thông số của họ đường cong xa = xa(u) T 2 P P P P Biể thức (2) gọi là đạo hàm tuyệt đối của Aa và ký hiệu P Do P nên ta có cách viết thứ 2 Tương tự đạo hàm tuyệt đối tenxơ hiệp biến hạng một: T 2 (thay công thức 13 §7 sẽ cho ta dạng cụ thể.) T 2 2. Ý Nghĩa hình học Trong trường hợp đặc biệt khi ta nói vectơ Aa đã được dịch T 2 P P chuyển song song sao cho nó trùng với vectơ Aa tại điểm mới .Trường hợp này chỉ xảy ra khi đường cong xa = xa(u) là đường rất đặc biệt gọi là đường trắc địa còn vectơ Aa lúc này là vectơ tiếp tuyến với đường trắc địa. Do Aa lúc này = P P dxa du ( tangent vector) Trang 11 GV: Lê Nam (8) phương trình cho đường trắc địa xa .Thông số u gọi là thông số Affine ta hay kí hiệu bằng chữ S hoặc P P Ở phần sau bằng nguyên lý tác dụng tối thiểu ta chứng minh được đường ngắn nhất giữa hai điểm trong không gian Riemann là đường trắc địa và phương trình của nó trùng với (9). § 9 : KÝ HIỆU CHISTOFFEL VÀ TENXƠ MÊTRIC 1. Xoắn - Torsion: Xét một đường vô hướng Φ Mặc dù: nhưng trong trường hợp tổng quát chưa chắc Khi đó: Nếu ta đặt: Lấy (2)-(3): tenxơ xoắn Nếu không gian cong của ta không xoắn thì kí hiệu Christoffel đối xứng với hai chỉ số dưới. 2. Ta có định lý sau: g bc là tenxơ mêtric đối xứng . Nếu không gian của ta không xoắn thì R R Chứng minh : Trang 12 GV: Lê Nam (7) ta lấy (5)-(6)-(7) và chú ý tới tính đối xứng của nhân cả hai vế với gda P (8) Hoặc (9) 3. Nếu ta đặt. (10) (10) gọi là ký hiệu Christoffel loại 1 Ta dễ dàng chứng minh tiếp: § l0 : ĐƯỜNG TRẮC ĐỊA 1. Trong mục này ta tìm phương trình cho đường trắc địa xuất phát từ nguyên lý tác dụng tối thiểu. Trong cơ học, có hệ sẽ chuyển động từ P đến Q sau cho biến phân của hàm, tác dụng bằng không. Còn trong hình học: đường cong nối hai điểm P và Q sẽ ngắn nhất khi biến phân của hàm tác dụng bằng không. Ta chọn hàm L có đặc trưng độ dài. Như đã biết: (1) (2) Trang 13 GV: Lê Nam Hàm tác dụng Bằng phương pháp biến phân ta nhận được phương trình Lagrange - Euler Thay kết quả vừa tìm được vào phương trình (4) và sau một vài biến đổi ta nhận được. phương trình (5) trùng với phương trình (8) bài 8. Thông số u trong trường hợp này gọi là thông số Affine, thường ký hiệu bằng chữ s hoặc Nếu ta đặt gọi là hàm lagrange Thì phương trình lagrange- Euler vẫn có dạng: 2 Vectơ Xa và Yb trực giao nhau khi P P P P Nếu: g ab XaYb = 0 thì vextơ Xa gọi là vectơ null Vectơ null có độ dài bằng không nhưng các thành phần của nó khác không, trong khi vectơ zero có độ dài bằng không với tất cả các thành phần bằng không. R R P P P P P P khi vectơ là vectơ null. (7) Do vectơ null nằm dọc theo hướng ánh sáng nên hàm Khi vectơ = 0 dành cho tia sáng (hạt photon) có độ dài bằng đơn vị Đối với vật m chuyển động với vận tốc < c ta cũng áp dụng phương trình lagrange - Euler (phương trình đường trắc địa). Trang 14 GV: Lê Nam (8) ❖ Chú ý : Nếu ta chọn dấu của mêtric g aa = (+- - -) Thì (8) lấy dấu + Nếu ta chọn dấu của mêtric g aa = (- +++) Thì (8) lấy dấu R R R R § 11: TENXƠ RIEMANN Ta chú ý rằng nói chung tạo hàm hiệp biến không giao hoán - Đạo hàm riêng - Đạo hàm hiệp biến: Xét đạo hàm hiệp biến vectơ phản biến Xa T 0 1 P đây là tenxơ T 0 1 Tác dụng tiếp T 0 1 P T 0 1 lên (1) và chu ý (1) là tenxơ Tca : R RP P (2) Tương tự tính: (3) Lấy (3) - (2) và chú ý: T 0 1 Trong đó: (4) Hoặc nếu ta sử dụng ký tự i j k l m : T 0 1 Nếu không gian của ta không xoắn nghĩa là : T 0 1 Thì Ra bcd gọi là tenxơ Riemann - Christoffel. Ta nói tắt là tenxơ Riemann P PR R (5) Nếu ta sử dụng ký hiệu: T 0 1 (6) Trang 15 GV: Lê Nam § 12 : HỆ TỌA ĐỘ TRẮC ĐỊA Tại điểm P bất kỳ ta luôn chọn được hệ tọa độ mà trong đó Hệ tọa độ này có tên hệ tọa độ trắc địa. Đối với các nhà vật lý thì đó là hệ quy chiếu quán tính. Nếu tại mọi điểm trong toàn không gian thì không gian gọi là phẳng Ta có định lý : điều kiện cần và đủ để không gian phẳng là tenxơ Riemann = 0 §13 : TENXƠ RICCI Ta viết lại định nghĩa tenxơ riemann với . Nhìn vào định nghĩa ta nhận ra ngay tenxơ độ cong Riemann phản đối xứng với hai chỉ số cuối: Trong phần bài tập ta chứng minh được : Ta cũng chứng minh được : Hạ chỉ số ta có đồng nhất thức Ricci: Bằng cách chọn hệ tọa độ trắc địa cho biểu thức (1) sau đó đạo hàm hiệp biến rồi hoán vị vòng quanh các chỉ số ta nhận được đồng nhất thức Bianchi: ta có: Rbd: tenxơ Ricci P Từ R abcd = R cdab suy ra ten xơ Ricci đối xứng gabR ab = R : độ cong vô hướng, hay vô hương Ricci Tenxơ Einstein được định nghĩa như sau : R P R P R R R R Trang 16 P GV: Lê Nam § 14 : PHƯƠNG TRÌNH ĐỘ LỆCH TRẮC ĐỊA Xét họ đường trắc địa theo thông số λ và được đánh số n xa = xa (λ,n) P P P P Véc tơ tiếp tuyến T 1 Vectơ nối hai đường trắc địa ngay cạnh nhau Do xa(λ,,n) là đường trắc địa và ua là vectơ tiếp tuyến của nó nên đạo hàm tuyệt đối của ua sẽ bằng không P P P Tác dụng tiếp P lên (1) T 1 Cộng trừ vế trái với Nhờ đạo hàm lie ta chứng minh được trong ttrường hợp đặt biệt của ta (hai vectơ ua và n ) đạo hàm tuyệt đối sẽ bằng đạo hàm riêng, (xem phần bài tập) nên ta có: P a P P (4) (5) (6) Thay (3) vào: (7) (7): phương trình độ lệch trắc địa. Nếu ta xét hai hạt, chuyển động dọc theo hai đường trắc địa ngay cạnh nhau mô tả gia tốc tương đối giữa hai hạt. thì số hạng: T 1 T 1 Ra bcdubncud mô tả lực thủy triều hấp dẫn P R P R P P P P P P Chú ý: phần chứng minh T 1 ( Bạn đọc có thể tham khảo trong Hughton và Tod- trang 79) T 1 §15:TENXƠ MẬT ĐỘ T 1 Trang 17 P GV: Lê Nam Tenxơ tuyệt đối hay tenxơ thường Tenxơ tương đối Tương tự cho tenxơ hạng cao hơn. Với tenxơ tương đối trong công thức biến đổi luôn có thêm thức số Jw. ta nói tenxơ mật độ với trọng lượng w(Tensor density of weight w). Ta chấp nhận mà không chứng minh qui tắc đạo hàm hiệp biến tenxơ mật độ: T 6 P P T 6 = các số hạng giống như T 6 T 1 T 1 T 6 là tên thường w Ví dụ: Nếu 𝜙 là vô hướng mật độ: Xét trường hợp đặc biệt khi w = + l;c = a Do T6 5 T6 5 có cùng cấu trúc § 16 : ĐỊNH THỨC CỦA MÊTRIC T 4 Trong không gian Riemann với mêtric g ab ta có phép biến đổi: T 6 R R Lấy định thức (4) ta được : Định thức mêtric g theo định nghĩa là mật độ vô hướng với trọng lượng +2, do trong giáo trình của ta các mêtric có negative signature nên định thức g sẽ âm do vậy ta viết: mật độ vô hướng với trọng lượng +1 (7) T 1 Với tenxơ bất kỳ Ta b khi nó nhân với (-g)1/2 sẽ tạo nên tenxơ mật độ với trọng lượng +1. T 1 P R P R P P Trang 18 GV: Lê Nam Do nên (8) Ta xét công thức sau: Cho matrận (a ij ) thì ma trận nghịch đảo T 6 T 6 R R phần phụ đại số của a ij R Nghĩa là (9) khai triển theo hàng i. T 6 Đạo hàm (9) T 6 Viết theo kiểu mới không có ∑ T 6 Nếu a = a (a ij (xk)) thì T 6 R R P P (10) T 6 Áp dụng công thức (10) cho T 6 ta được: (11) T 6 Hay ta có thể viết: Do (-g)1/2 cũng là hàm g ab => ta đạo hàm và áp dụng (12) P P R R Hay Ta chứng minh công thức sau : Viết lại (11): T 6 Trước đây ta đã chứng minh được Nên Hay Trang 19