Tài liệu Thống kê lượng tử của các dao động tử biến dạng và của dao động biến dạng mạng tinh thể cho chuỗi nguyên tử khác loại

1 MỞ ĐẦU 1. lí do chọn đề tài Trong một vài năm trở lại đây, nghiên cứu dao động tử biến dạng và ứng dụng của nó trong nghiên cứu các hệ nhiều hạt, trong đó có vật lý chất rắn đã thu hút được sự quan tâm của rất nhiều nhà khoa học. Số lượng các công trình nghiên cứu theo hướng này được công bố trên các tạp chí khoa học trong và ngoài nước tương đối lớn. Ngoài ra, phương pháp toán tử sinh, huỷ hạt trong vật lý thống kê lượng tử là phương pháp nghiên cứu hiện đại của vật lý, nó cho kết quả chính xác và đáng tin cậy, do vậy mà phương pháp này đã và đang được sử dụng rộng rãi trong các công trình nghiên cứu của vật lý chất rắn và vật lý lý thuyết. Chính vì những lí do trên và theo xu hướng chung của thời đại mà tôi đã mạnh dạn sử dụng phương pháp toán tử sinh huỷ hạt trong vật lý thống kê lượng tử vào đề tài: Thống kê lượng tử của các dao động tử biến dạng và của dao động biến dạng mạng tinh thể cho chuỗi nguyên tử khác loại. 2. Mục đích nghiên cứu - Tính thống kê của các dao động tử lượng tử và của các dao động tử biến dạng. - Tính thống kê của dao động biến dạng mạng tinh thể cho chuỗi nguyên tử khác loại. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu các dao động tử biến dạng. - Nghiên cứu dao động biến dạng mạng tinh thể cho chuỗi nguyên tử khác loại 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu dao động tử biến dạng và dao động biến dạng mạng tinh thể cho chuỗi nguyên tử khác loại. 2 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp toán tử sinh, huỷ hạt trong vật lý thống kê lượng tử. 6. Những đóng góp mới của đề tài Đưa ra một công cụ hiện đại để nghiên cứu dao động tử biến dạng, dao động biến dạng mạng tinh thể cho chuỗi nguyên tử khác loại và các thống kê của chúng. 7. Cấu trúc luận văn Chương 1: Thống kê lượng tử của các dao động tử biến dạng Nghiên cứu về dao động tử điều hoà, các dao động tử biến dạng và thống kê của chúng. Chương 2: Thống kê lượng tử của dao động biến dạng mạng tinh thể cho chuỗi nguyên tử khác loại Nghiên cứu về dao động mạng tinh thể, biến dạng dao động mạng tinh thể cho chuỗi nguyên tử khác loại và thống kê của nó. 3 CHƯƠNG 1 THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ CỦA CÁC DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG 1.1. Dao động tử điều hòa 1.1.1. Dao động tử điều hòa Trước hết chúng ta đi làm rõ định nghĩa của các toán tử a  , a, N….. và hệ các toán tử Boson. Trong không gian Hilbert ta định nghĩa toán tử a thỏa mãn: a, a   1 N  aa Ta đi xây dựng toán tử N: N có tính chất: (1) + N  N + Xác định dương +  N, a  a và N, a   a (2) + N  1  aa  gọi n là véc tơ riêng của toán tử N với trị riêng n trong không gian Hibbert: N n n n Na n   n  1 a n Ta có: Na  n   n  1 a  n Trong đó: a: toán tử hủy a+:toán tử sinh N: toán tử số hạt 2 Vậy: ……. a n , a n , n 2  , a n , a n ………Là dãy các vec tơ riêng của toán tử N tương ứng với các trị riêng:…n – 2, n – 1, n, n + 1, n + 2……… Vì N là toán tử xác định dương (các trị riêng của nó phải không âm) nên dãy sẽ có kết thúc nào đó ở cận dưới. Giá trị riêng của cận dưới này là n = 0. 4 Vì vậy ta định nghĩa một véctơ đặc biệt 0 trong không gian Hilbert có tính chất sau: a 0  0 và 0 0 1 0 là trạng thái chân không. Ta có: N 0  0 nên 0 là véc tơ riêng của N với trị riêng bằng không. Dãy các toán tử a+ tác dụng lên chân không 0 , a 0 , a2 0 , ........an 0 ,........ (3) Dãy (3) là dãy các véctơ riêng của N ứng với các trị riêng: 0, 1, 2,……., n, ……. Chúng ta có thể lấy làm không gian Hilbert biểu diễn các toán tử boson, bởi vì không gian trên các véc tơ thuộc dãy này biểu diễn đối với toán tử a và a+ (điều này có nghĩa dãy là kín đối với toán tử a, a+. Mỗi lần tác động toán tử a hay a+ lên dãy (3) ta lại được một phần tử khác của dãy đó. Có thể chuẩn hóa dãy (3) thành dãy các véc tơ riêng sau n  1  n a  0 n! (4) n n /   nn / Tóm lại có thể lấy không gian tác dụng của các toán tử boson a và a+ là không gian Hilbert vì số chiều gồm các véctơ trực chuẩn (4). Các véc tơ này là các véctơ riêng của toán tử số hạt N.  Tương tự , ta có thể định nghĩa một hệ các toán tử boson: ai , ai , i = 1, ……N và thỏa mãn: ai , aj  ij  ai , a j   0 5 Định nghĩa toán tử số hạt: Ni  ai ai  Ni , N j   0 Chân không: 0  0, 0,........ 0 ai 0  0 Véctơ riêng trực chuẩn: n  n1, n2 ,........,nN  =  n1 i a  ..... aN  n!...nN ! nN 0 Ni n  ni n Bây giờ chúng ta đi xét xem có thể biểu diễn đại số Lie qua các toán tử Boson được không? Muốn vậy ta giả sử có các toán tử boson ai (i = 1, 2)  ai , a j    ij ai , aj   0 Theo định nghĩa : (5) Ni  ai ai  Ni , N j   0 Các véc tơ riêng: n1, n2  n1 1  n2 2 a  a   n1!n2 ! 0  a1     a2  Xét toán tử: Ji  1    a1 a2  бi 2 Nghĩa Là: J1  1  a1 a2  a2a1   2 1 J2   a1a2 a2a1  2 1 J3   a1a1 a2a2  2 (6) (7) 6 Dựa vào các hệ thức giao hoán (7) ta được các hệ thức giao hoán của J i :  Ji , J j   i бijkJk Đây chính là đại số Lie, vậy có thể biểu diễn đại số Lie qua các toán tử boson, tức (6) chính là véctơ trong không gian Hilbert của biểu diễn. Vấn đề đặt ra bây giờ là: từ không gian biểu diễn (6) ta đi tìm ra các không gian con bất khả qui. Muốn vậy ta đi xét toán tử Causimin: C  J12  J 22  J 32 1 1  N1  N2    a1a1  a2a2  2 2 Đặt: J Ta được: C  J  J 1 (8) (9) (10) Đối với biểu diễn bất khả qui toán tử Causimin có giá trị xác định cho nên từ (9) ta thấy có thể đặc trưng cho biểu diễn đại số Lie bởi các giá trị riêng của toán tử J mà ta kí hiệu là j. Theo định nghĩa của Ni từ (9): j 1  n1  n2  2 (11) Ta thấy j là một số nguyên hoặc bán nguyên, không âm. Để xác định các véctơ riêng của không gian con của không gian Hilbert (6) biểu diễn bất khả qui của đại số Lie, ta nhận xét rằng biểu diễn này phải được xác định bởi hai giá trị riêng (do không gian chung được xác định bởi hai số n1 và n2). Ta nhận xét rằng toán tử J3 giao hoán với J (tức là có giá trị riêng xác định). Ta kí hiệu trị riêng này là m và từ định nghĩa của J3 ta có: m 1  n1 n2  2 (12) Vậy biểu diễn bất khả qui của đại số Lie trong không gian các véc tơ cơ sở (6) có thể đặc trưng bởi j và m liên hệ với n1 và n2 như sau: 7 n1  j  m và n2  j  m Từ đó không gian con các véctơ cơ sở của biểu diễn bất khả qui là:  j, m   j m 1  j m 2 a  a   j  m! j  m! 0 Từ (11) và (12) ta thấy rằng với một j xác định thì m lấy 2j + 1 giá trị: m = j, j – 1 ,……, -j + 1, - j. Vậy không gian biểu diễn bất khả qui là 2j + 1 chiều. Tiếp theo chúng ta đi biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa. Hamiltonaian của dao động tử điều hòa có dạng: 2 d 2 1 ˆ H   kx 2 2 2 m dx 2 (13) Để thuận tiện cho việc viết công thức ta thay tọa độ x và xung lượng i d bằng tọa độ qˆ và xung lượng p̂ mới: dx  x  qˆ  m xˆ   d  i d   i  dx  pˆ  m dx  Hệ thức giao hoán giữa p̂ và qˆ là:  pˆ , qˆ   mà pˆ  ˆ ˆ  qp ˆˆ pq i  d ; qˆ  mxˆ nên ta có: m dx ˆˆ  pq i d d . mxˆ  i ( xˆ) dx m dx  i d  d ˆˆ  mxˆ  qp   ixˆ dx  m dx  8 Thay vào trên ta có:  pˆ , qˆ   i d d   ( xˆ )   ixˆ  dx dx   d  d  ( xˆ )  xˆ     dx    dx  pˆ , qˆ   i    d   pˆ , qˆ   i  , x   i dx    1   pˆ , qˆ   Vậy: Thay pˆ , qˆ vào (13) ta có: ˆ ˆ  qp ˆ ˆ = -iћ pq (14) 1 Hˆ   pˆ 2   2 qˆ 2  2 pˆ   2  aˆ  aˆ  qˆ  i  2  aˆ  aˆ  Đặt:   Hmiltonian (13) trở thành: 1  2  ˆ ˆ   aˆ  aˆ  (aˆ  )2    aˆ 2  aa ˆ ˆ   aˆ  aˆ  (aˆ  )2  Hˆ   aˆ  aa  2 2 2 Vậy:    ˆ ˆ  aˆ aˆ  Hˆ   aa 2  (15)  Các toán tử aˆ , aˆ có thể biểu diễn ngược lại qua các toán tử pˆ , qˆ như sau: 1  pˆ  i qˆ  2  1 aˆ    pˆ  i qˆ  2  aˆ  ˆ ˆ  qp ˆ ˆ = -iћ Theo (14) thì:  pˆ , qˆ   pq ˆˆ pq   i ˆ ˆ   aˆ  aˆ  (aˆ  )2  aˆ  aˆ   i aˆ  aˆ     aˆ 2  aa   2 2 2 9   i ˆ ˆ   aˆ  aˆ  (aˆ  )2  aˆ  aˆ   aˆ  aˆ     aˆ 2  aa   2 2 2 ˆˆ  i qp ˆ ˆ  qp ˆ ˆ = i(aa ˆˆ  aˆaˆ) 1 ˆ ˆ   aˆ  aˆ ) = -iћ (aa Nên:  pˆ , qˆ   pq  aˆ , aˆ    1 Nghĩa là: (16) Hmiltonian (13) trở thành: 1  Hˆ   aˆ  aˆ    2  (17) Việc nghiên cứu phổ năng lượng của dao động tử điều hòa quy về bài toán tìm các véctơ riêng và trị riêng của Hmiltonian (17). Để tìm điều đó ta quay lại định nghĩa về toán tử số hạt N (đã tìm hiểu ở trên): ˆ ˆ  aˆ ( Nˆ  1) Nˆ  aˆ  aˆ   N , aˆ    aˆ hay Na ˆ ˆ +  aˆ + ( Nˆ  1)  N,aˆ +   aˆ + hay Na Chứng minh ˆ ˆ  aN  Nˆ , aˆ   Na ˆ ˆ  aˆ + aa ˆ ˆ  aˆ aˆ + aˆ   aˆ aˆ +  aˆ + aˆ    aˆ    aˆ , aˆ     aˆ    aˆ    N ,aˆ +   N aˆ +  aˆ + N =aˆ + aˆ aˆ +  aˆ + aˆ + aˆ  aˆ +  aˆ aˆ +  aˆ + aˆ   aˆ +  aˆ , aˆ    aˆ +  điều phải chứng minh /n> là véc tơ riêng của toán tử N̂ ứng trị riêng n: n  n n .Vì / N̂ n  n n nên n / Nˆ / n   n/n n/n   2 mà MS  n / n    n (r ) dr  0 n0  2 TS = n / aˆ  aˆ / n =  aˆ n (r ) dr  0   n  n / aˆ  aˆ / n Vậy: các trị riêng của toán tử N̂ là các số không âm. 10 Tiếp theo ta tìm được các hàm riêng và trị riêng của N̂ lần lượt như sau: n là hàm riêng của N̂ ứng với trị riêng n – 1 â n là hàm riêng của N̂ ứng với trị riêng n + 1 1) â 2) 3) aˆ p p 4) aˆ n là hàm riêng của N̂ ứng với trị riêng n – p n là hàm riêng của N̂ ứng với trị riêng n + p Chứngminh ˆ ˆ n  Na ˆ ˆ n  aˆ(Nˆ 1) n  aˆ(n 1) n  (n 1)aˆ n  Na ˆ ˆ n = ( n - 1 )aˆ n 1) Na  ˆ là tri riêng cua N ˆ ˆ n = aˆ (Nˆ 1) n = aˆ (n 1) n = (n 1) aˆ n  (n 1) là trị riêng của N̂ 2) Na 3) Tương tự: aˆ 2 n , aˆ 3 n ......aˆ p n là véctơ riêng của N̂ có trị riêng....  n  p 2 3 p 4) Tương tự: aˆ n ; aˆ n .......aˆ n là véctơ riêng của N̂ có trị riêng....  n  p  điều phải chứng minh Chúng ta tìm được trị riêng nhỏ nhất của N̂ là nmin = 0 Chứng minh Theo trên ta có: n,(n - 1),(n - 2),(n - 3)........ là trị riêng của N̂ ứng với véctơ riêng n , a n , aˆ 2 n , aˆ 3 n ....  chuỗi này giảm dần  tồn tại một số không âm nmin  aˆ n min  0 (vì nếu aˆ nmin  0 theo định lý 2 có trị riêng nmin  1 < nmin < 0 không xảy ra vì nmin là giá trị nhỏ nhất).  điều phải chứng minh Vậy: aˆ nmin  0  aˆ  aˆ nmin  = 0  Nˆ = nmin nmin (theo định nghĩa nmin ) Véc tơ trạng thái ứng với trị riêng nhỏ nhất của N̂ được kí hiệu là 0 : aˆ 0  0 11  Vì : Nˆ   aˆ  aˆ   1 1  ˆ      N     ta có: 2 2  0 là véc tơ riêng của N̂ ứng với trị riêng E O  1  E 2 1   1  2  1 là véc tơ riêng của N̂ ứng với trị riêng E1   n là véc tơ riêng của N̂ ứng với trị riêng En    n  1 2    trạng thái n ứng với năng lượng En = n   là trạng thái chứa n hạt. Nhận xét: Trạng thái dừng của một dao động tử điều hòa có thể coi là tập hợp của nhiều hạt, mỗi hạt mang một năng lượng   . Trạng thái 0 có năng lượng thấp nhất là E0 .Trạng thái tiếp theo 1 ứng với năng lượng E1  E0  có thể xem là kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng   vào trạng thái 0 .Trạng thái tiếp theo 2 với năng lượng E2  E1    E0   có thể xem là kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng   vào trạng thái 1 , cũng có nghĩa thêm hai lượng tử năng lượng vào trạng thái 0 ,…. Nếu ta lấy gốc năng lượng là E0 thì có thể coi 0 là trạng thái không chứa một lượng tử nào, 1 là trạng thái chứa một lượng tử, 2 là trạng thái chứa hai lượng tử,…. n Là trạng thái chứa n lượng tử. Toán tử N̂ có các giá trị riêng nguyên không âm cách nhau một đơn vị được đoán nhận là toán tử số lượng tử năng lượng. Toán tử â  khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỷ lệ với n  1 và do đó được đoán nhận là toán tử hủy lượng tử năng lượng. Toán tử â khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỷ lệ với n  1 và do đó được đoán nhận là toán tử sinh lượng tử năng lượng. 12 Ta tưởng tượng rằng lượng tử năng lượng là một hạt thì N̂ sẽ là toán tử số hạt , â sẽ là toán tử hủy hạt và â  là toán tử sinh hạt. Khi đó trạng thái n với năng lượng   sẽ là trạng thái chứa n hạt. Trên đây chính là biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa. Cuối cùng chúng ta đi tính các hệ số  n ,  n ,  n trong các hệ thức: â n  n n - 1 â  n  n n - 1 n   naˆ  n 0 để sao cho các véc tơ trạng thái là trực giao chuẩn hóa. 2 n  ? n   n aˆaˆ n   n  n -1 n -1   n2  n  n ˆ   naˆaˆ  1n  n2 n  1n  1  nn  n2-1 n = n1 n ? n  naˆan n  ? 1= n n   n 2  0 aˆ n aˆ  n 0> =  n 2 n !   n = 1 n!  Kết luận Ta thiết lập được các công thức quan trọng sau: Nˆ n = n n aˆ 0  0 aˆ n  aˆ  n n = n n 1  1 n! (n>0) n+1 n  1 (n  0) aˆ  n 0 1.1.2. Phân bố thống kê của dao động tử điều hòa + Dao động tử Boson Dao động tử Boson đơn mode được đặc trưng bởi hệ thức thức giao hoán (1), và toán tử số dao động tử N được biểu diễn theo các toán tử hủy dao động tử a và toán tử sinh dao động tử a+ : N  a  a , thỏa mãn hệ thức giao hoán (2) Không gian Fock là không gian mà các véctơ cơ sở của nó là những trạng thái với số hạt xác định.Trong không gian Fock trạng thái chân không 0  13 được định nghĩa là trạng thái có số hạt bằng 0. Đại số (1) có thể thực hiện trong không gian Fock với cơ sở là các vectơ riêng đã chuẩn hóa (4) của toán tử số dao động tử N: n  1 n!  n a  0 , n = 0,1,2,…… (17) n  : Trạng thái n hạt (số hạt n hay trạng thái n dao động tử) Ta có : n 1 a  0  n! n n 1  1   a a  a  0  a a,  a   0  n! n!  n1 n 1  n  a n  a  0  a  0  n! n! N n  a a n  a a  n a   n. n! 0 n n . (18) Ta có hệ thức sau: a,  a+ n  =n. a+ n-1   Chứng minh Ta chứng minh (19) bằng phương pháp quy nạp như sau: Với n = 1: a,a +  = 1 Với n = 2: a, a+ 2  =a+ a,a+  +a,a+ a+=2a+       Nhận thấy (19) đúng với n = 1,2. Ta giả sử biểu thức (19) đúng với n = k, tức là: a,  a + k  =k  a + k-1   (19) 14 Ta phải chứng minh biểu thức trên đúng với n = k + 1 Ta có: a,  a + k+1  =a + a,  a + k   a,a +   a + k       k-1 =a + .k  a +    a +  =  k+1  a +  Dễ dàng thử lại được: m n =δmn k k m,n = 1,2...... (dpcm) (20) Trong hình thức luận dao động tử điều hòa, toán tử tọa độ x và xung lượng p được định nghĩa: 1   2 + x   a  a  2m  (21) 1  m 2 + p i   a - a  2  (22) Chúng thỏa mãn hệ thức giao hoán:  p,x = - i (23) Thật vậy: 1 2 m   + + + +   a - a  a  a    a  a  a - a    2 2m  i =  2a + a - 2aa +  2 = - i a,a +   -i  p,x  = - i  Toán tử Hamiltonian mô tả dao động tử điều hòa được biểu diễn theo các + toán tử sinh, hủy dao động tử a ,a như sau: 15 2 2 p2 1  +  +  m 2 x 2   a - a  a + a   2m 2 4 4  +  = a a + aa +   2a + a +  a,a +   2 2 1  =  N   2  H    Bây giờ chúng ta đi tính phân bố thống kê của nó nhưng trước hết ta tìm hiểu về phân bố thống kê của toán tử F: Hàm Green của đại lượng vật lý F tương ứng với toán tử F̂ được định nghĩa qua công thức: F = 1 Tr  e   H F  với Tr Gˆ  Z    n Gˆ n n Z : Hàm phân bố Z  Tr  e  H    e n n0  1 1 e Hàm phân bố Z xác định tính chất nhiệt động của hệ thống kê   1 và H KT là Hamiltonian mà thông thường nó có dạng H =  N với  là năng lượng dao động của một hạt. Áp dụng ta tính thống kê cho dao động tử điều hoà Boson như sau: 1 1 Tr  e   H a + a    n e   n a + a n Z Z n 1 1   n e   N  N n   n e   n n n Z n Z n 1 1 d   e   n n  e   n    Z n   Z d n a+a  1 e    Z 1  e    2 16 Mà ta có: Z  Tr  e N    n e N n n   n  e  n 1 a +a  Từ đây suy ra: 1 1  e e   (24) (25) 1 + Dao động tử Fermion Dao động tử Fermion đơn mode được đặc trưng bởi hệ thức giao hoán: bb   b  b  1 (26) b2  0 Toán tử số dao động tử N biểu diễn theo các toán tử sinh và hủy dao động tử b  , b như sau: N  b b (27) 1  N  bb Và thỏa mãn hệ thức giao hoán:  N , b   b (28)  N , b    b  Trạng thái chân không thỏa mãn: b 0  0 Phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử số dao động tử N: N n  n n n  0 ,1 Trong đó : n là trạng thái n hạt thỏa mãn điều kiện trực chuẩn: m n   mn m , n  0 ,1 . (29) 17  Tác dụng của các toán tử b, b lên các véc tơ trạng thái n như sau: b0 0 ; b1  0 b 1  0 ; b 0  1 Cũng tương tự với dao động tử Boson ta đi tính thống kê cho dao động tử Fermion: Z  T r e 1  N   n e N n n0 1   1 n e   n n n0   e   n  e     1 n0 1 1 1  N  b b  T r e b b n e   n n n  Z Z n0 1 1   n 1 1  e n  e     Z n0 Z 1  e   Vậy b b  1 1  e  (30) Kết Luận: Trong mục (1.1) đã trình bày những kiến thức tổng quan về dao động tử điều hoà, cơ sở hình thức luận dao động tử điều hoà của các dao động tử Boson và Fermion, đồng thời cũng đã tính các phân bố thống kê của chúng. 1.2. Dao động tử biến dạng - q 1.2.1. Dao động tử biến dạng - q +Dao động tử Boson biến dạng q Dao động tử Boson đơn mode biến dạng q được mô tả bởi các toán tử huỷ và toán tử sinh dao động tử aˆ , aˆ  theo hệ thức sau: ˆˆ  qaˆ aˆ  qN aa (31) 18 Trong đó : q là thông số biến dạng N là toán tử số dao động tử biến dạng thoả mãn phương trình hàm N n q n n q riêng, trị riêng : (32) và thoả mãn hệ thức giao hoán :  Nˆ , aˆ    aˆ   (33)  Nˆ , aˆ    aˆ    Nếu q  1 thì (31) lại trở về hệ thức của dao động tử điều hoà Boson (1) Chúng ta đưa vào không gian cơ bản Fock : n q  ( aˆ  ) n  n q ! 0 (34) Ở đây 0 là trạng thái nền và dùng kí hiệu :  n q  qn  qn q  q 1 (35)  n q !   n q  n  1q  n  2 q .............. 1q  ˆ ˆ  lên trạng thái riêng n Tác dụng aˆ aˆ , aa q ta được : aˆ  aˆ n q   nq n q ˆ ˆ  n q   n  1q n q aa (36) Chứng minh aˆ  aˆ n q   nq n q Ta chứng minh (36.1) bằng phương pháp quy nạp như sau : với n=0 (36.1) 19 aˆ  aˆ 0 q  0   0q 0 q với n=1  aˆ aˆ 1  q  aˆ aˆ aˆ  0  1q aˆ   qaˆ  aˆ  q  N  1  aˆ  q 0 0  aˆ  0  1q 1 với n=2   aˆ aˆ 2 q  aˆ aˆ     1  2q ! 1  2q ! 1  2q ! 1  2q ! (aˆ )2 0  2q ! ˆˆ  qaˆ aˆ aa   1   2q ! aˆ  qaˆ aˆ  qN  aˆ 0 0  aˆ qN 1   q(aˆ )2  qaˆ aˆ  qN  0  aˆ q1 1    q(aˆ  )2 q0 0  q1 (aˆ  )2 0   2  q  q  aˆ  1 0   q  q1  2 q   2q 2 q Nhận thấy (36.1) đúng với n=0,1,2  Giả sử (36.1) đúng với n=k tức là : aˆ aˆ k q   kq k q bây giờ ta hãy chứng minh nó đúng với n=k+1 : aˆ aˆ k 1 q  aˆ aˆ ˆ ˆ  aˆ aa 1  k 1q 1  k 1q ! k q  k 1  aˆ  0 20     1 ˆ ˆ k aˆ  aa  k  1q 1  k  1q 1 aˆ   qaˆ  aˆ  q N  k  qaˆ aˆ aˆ k   k  1q 1 q   qaˆ k    k  1q k q q  aˆ  qk k q k q  aˆ  qk k  q  qk  q k k     q q  aˆ k 1 q  q   k  1q   1   q k 1  q  ( k 1)  1  k  1q  q  q 1  k  1q aˆ  k   k  1q   k  1q q    aˆ k  q q  k  1q (aˆ  )k 1 0   k  1q  k q ! 1  k 1  k  1q !  aˆ  0   k  1q k  1 q  Điều phải chứng minh. Áp dụng (36.1) ta đi chứng minh biểu thức thứ 2 của (36) : ˆ ˆ n aa q   n  1q n (36.2) q ta có : ˆ ˆ n aa q   qaˆ  aˆ  q  N  n  q  n q n q  qn n q  qn  qn n   q  q n 1  qq  q q