Tài liệu thợ cơ khí toán học

THU’? lI!I|'KH| I Glll TEIFIN BIEINIS TFHJE EIUFIN VQT LY ‘ Mark LEVI N uA xu K I B A M T at i THU , CU KHI TURN HUI: THE MATHEMATICAL MECHANIC: USING PHYSICAL REASONING T0 SOLVE PROBLEMS Copyright © 2009 Princeton University Press. All rights reserved. Ban tiéhg Viét © NXB Tré, 201 I. No part of this book may be reproduced or transmitted in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, recording or by any information storage and retrieval system, without permission in writing from the Publisher. BIEU our BII-IN Muc TRUGC xur BAN nuoc Tnuc iniin not rnu vn§:N KIITH TPIICM Levi, Mark Tho ed khi tozin hoc — Gizii loan bang - T.P. H?) lrt_1'c quan vat ly I Mark Levi ; Huy Nguyen dich. Chi Minh : Tré, 2011. 240 tr. ; 20cm. - (Canh elm m6 rong). Nguyen ban : The mathematical mechanic. l. Vail 1y loan hoe. I. Huy Nguyen. II. Ts: The mathematical mechanic. 510 -- dc 22 L664 |3BN 8 978-6044 -01 274-5 934 97 4 1 O THU , CU Kl-II TUFIN HEIC The Mathematical Mechanic sufn TUFIN BIEING T|=:L_r|: EIUFIN MarkLEV| lluy Nguyin NHA xulh d_/‘ch BAN IRE VFIT LY Muc lL_1c THIEU 1 G101 2 DINH LY PYTHAGORAS 3 cuc Tlu 4 BAT DANG THUC c110 B61 DO/KN MACH 5 TAM 6 1111111 7 s1’J 8 PHUONG TRiNH EULER-LAGRANGE THONG QUA NHUNG LO x0 KEO CANG 9 THAU KINH, KINH VIEN VQNG, VA co HOC HAMILTON 10 1/A 1<1-161; cuc DAI LUAN (:1) v/\ C/\CH Gliu 1100 vA c11uY1i1\1 DONG DUNG c0110c c/11 mi Ti1\111 TiCH PHAN BANH XE DAP VA DINH LY GAUSS-BONNET 11 BIEN PHUC THAT LA DON GI/\N PI-IU LUC: 1<111:'1\1 THUG VAT LY ci\1\1'T11111:'T TAI LIEU THAM KH/\O 1 s|c'i| Tl-|||§'.u Thét tinh c6 mét trong nhung phél kién loén hc_)c vT dai nh§l mqi thbi dai |e_1i duqc dén dét bdi truc Quan vél ~ George Polyn, néi dén k|1é|np|1c\'m Archimedes vé phép lfch phn 1.1T02’1n hQc d6id§1u Vélt 13? Tré lai théi Lién bang X6 vifit nhung nm du thzip kj? 1970, lép cit nhn chilng téi — g6m khoéng 40 sinh vién ném hai ngémh toém vél 13?, duqc huy déng di lao dcfmg mila hé 6 mién qué. Céng viéc ca chtmg téi lél trén bé-téng v51 dung céc xi-16 tai m(f)t trong céc néng trang tzflp thé'tz_1i déy. Ban téi Anatole v€1 téi ducyc phém céng xflc séi. Céng vifec hoém thilnh V51 chtlng téi cém thy thoéi méi (nhu béit ctr ai cflng cé thé cém théiy trong hoim cénh dé). Anatole thco chuyén ngénh vzfit 1y cén téi thi chuyén toén. Nhu nhirng ké hém mi) hai (1‘(f)i tuyén d6ikhé1ng, m5i chlng téi ra sire thuyét phL_1c ngufri cén lai rng linh vuc ca minh uu viét hon. Anatole néi mét céch qué qL1y6tr5ngtoén hc_>c 121 dy 5 tér ca v2f1tlv.T6iphan phao rang toan hqc cé thé t6n tai bat chéip vat Iv cén vat Iv thi khéng. T61 néi thém cac dinh Iv la vinh hang. Cac gia thuyé't vat Iv thi héft dtlng réi sai. Dil vay téi da khéng cho Anatole bié't truéc rang Iv do téi chqn chuyén nganh toan hoc la dé rén luyén cai céng cu c6t yé'u cho vat 13? — linh VL_l’C ma téi du tinh sé theo du6i sau nay. mila hé truéc khi vao dai hc_>c, téi cia tinh ct‘) gap thy vat lv ca minh. Ong da héi vé cat: dL_r tinh cila téi cho hoe ky mtla thu. “Bat dau chuyén nganh toan ca em", téi (mp. “G1 co? Toan? Anh khvllng r61!” Ong dap lai. Téi coi dc’) nhu' m{)t 101 khen (va 06 lé xac nhan quan diém cla éng). 'l‘ht_1'c 1.2 ra, Quyén sach nay néi vé diéu gi Day khéng phai la “mtjt trong nhfrng cu6n bia mém,t0, (lay, dL’1 dé giét thri gian qua hai mtta git’), ma né'u du'Qc ném lhfnng tay thi sé khién mét con trau nude khuyu g6i” (Nancy Banks-Smith, nha phé binh truyén hinh ngudi Anh). Véi kich th uéc nhé ca n6, cu6n sach nay sé khéng ha guc duqc ai, it ra khéng thé ha gL_1c ai bang tac déng vat Iv ca né. 'l‘uy nhién, cu6n sach thuc sL_1' la mét dén giang tré — hay cé thé chi lit mét cL'1 chich ch6ng lai quan niém cho rang toan h(_>c la day té ca vat Iv. Trong cu6n sach nay, vat Iv bi dat vao vi tri phuc Vl_l toan hc_>c, va t6 ra la mét day tér cé nang luc (xin l6i cac nha vat Iv). Nhfrng 3? tuéng vat Iv cé thé la v tuéng khai mi’) thuc thu va gqi ra l(‘7i giai cue kv gian don cho mét bai toan toan hQC. Hai ch thé nay gan bé khang khit dffn n6i ca hai sé chiu t6n that néu bi tach rfyi. Su (T161 vai cé thé rat hiéu qua, nhu cu6n sach nay minh chirng. 6 Hoan toan co thé tranh cai xem viéc tach hai bi) mon nay ra co la mot eai gi qua nhan tao hay khong*. qua Ijch sti. Cach giai toan bang true quan vat ly it nhat co ttr thoi Archimedes (khoang nam 287 tr. CN — D1'é'm khoang nam 212 tr. CN). Cng da chtrng minh dinh ly tich phan n5i tiéng vé the: tich hinh trL_i, hinh cau va hinh non bang cach sir dung mat cai can thang bang gia tuong. Ban tom tat ciia dinh ly nay duoc khae lén bia ma ca ong. Cach tiép can ca Archimedes co thé duoc tim thay trong cuon [P]. Doi voi Newton, hai chL"1 dé nay v6n1a mat. Cac cu6n [U] va [BB] trinh bay nhfrng loi giai vat ly rat dep cho cac bai toan toan hoe. Rat nhiéu nhfrng phat kién toan hoe co ban (nhu Hamilton, Riemann, Lagrange, Iaeobi, Mobius, Grassman, Poincare) da duoc dan dat tu nhung suy xét vat 1y. C6 hay khéng mét céng thiic ph6' quat cho each t1'é'p can vatIy?Nhu voi cong cu bat ky, vat chat hay tinh than, each tiép can nay co khi t6t va co khi khong. Kho khan chinh la “nhin" ra ban chat vat ly ca bai toan**. Mot s6 bai toan phii hop voi each giai nay, mat 56 khac thi khong (c6 nhién, eu6n sach nay chi bao gom dang thL'r nhat). Tim ra mo “Toan hoc la mat nhanh ea vat ly ly thuyé't noi ma phan thuc nghiém la ré tién" (V. Arnold [ARN]). Khong chi cac thi nghiéin lrong cu6n sach nay la ré lién — tham chi con mién phi, ma thirc chat la cac lhuc nghiem gia tubing (bai toan 2.2; 3.3; 3.13, vii (hire ra hau heft cac bai loan lrongcuan sach nay). "* Day la each tie-'p can di nguoc trao liru chung: thong thuong mat nguoi bat dau bang mat bai toan vat ly, roi trién khai no thanh mg‘)! bai toan toan hoe; bday chiing ta lam nguqc lai. * 7 phéng vefit 1}? cho mcfat béli Loém cu thé cé khi dé dé1ng,vé1 cé khi khéng; ngudi dcc cé thé cé 3? kién riéng ca minh sau khi ludt qua nhfrng trang séch néy. Mét béi hcc mé mcfn sinh vién cé thé rL’1t ra ttr viéc (1‘Qc cu6n séch nély lé tim kiém mét 37 nghia vzfxt 1y trong toén hQc 151 rt cé ich. chgit ché clia toén hpc. Lép luém vét 13? ca chtlng ta sé khéng hoén toém cheflt ché. Nhfrng leflp luzfm néy chi 151 phéc théo ca nhfmg chtrng minh cheflt ché, C1‘u'Qc di?-zn dat being ngén ngfr vét 1y. Téi cé chuyén ngfr“chL'mg minh” vét 13? thélnh chirng minh tozin hqc cho mcfmt véli béli toén chQn1(_>c. Lém viéc néy métxcéch ct’) hé th6ng sé bién quyé'n séch thimh mét pho séch“t0, dély vél chéln ngzit". Téi hy vqng ngudi dcpc sé nh2_"1n ra hinh mu dé nt truc quan séu s€ic ~ hai buéc di truéc tfnh chzflt ché cfla toén h(_>c. Nhu Archimedes dé viét, “Duong nhién viéc thiét lép mét chtrng minh sé dé délng hon nhiéu néu tru'()c C16 da cé ngudi n€im duqc khéi niém s0 khéi ca béli toézn”. ([ARC], tr. 8) SL1 Métcéch tiéjv cén r6 réng. Thay vi phién dich “chL'1'ng minh" vét 13? thémh chtrng minh ch2f1tcl1é,viécthié'tlé1p cé hé th6ng “célc tién dé thL_1'c cht" cé lé sé 151 m(_”)t du z'1nthL'1 vi. Déy sé 151 mét tefxp hqp czic tién dé thuc ché'tcL"1a co h(_>c, tuong tu nhu célc tién dé hinh hoc/s6 hoc ca Euclid mél trong dé 8 céc chtmg minh duqc cho 6 trong cu6n séch néxy tré nén chit ché. Ta thé tufmg tuqng mét nén vén minh ngoéxi tréi déit mix 6 dé ngudi La phét trién co hQc trufyc, nhu mét bi) mén cheflt ché vé thun my mang tinh tién dé. Trong thé' giéi song hénh nziy, m(f)t ngudi néo dc’) Git dé vié't mét cu6n szich vé vif;-c sir dung hinh hoe C16 chtrng minh céac dinh 1y co hoe. C6 thé b€1ihQc 6 déy 121 con ngudi khéng nén hoén toéln télp trung v€10 czich tiép céln nay hay céch tiép can kia, m nén coi dé nhu hai mzfit ca m(f)t d6ng xu. Cu6n séch néay véi 151 mét phén (mg ch6nglz_1i su thé 0 khé ph6 bi6n d6i khia canh vefzt 13? cla toén hqc. tém Iyhpc. Nhng céch giéi vét 13? trong cu6n séch nély cé thé ducyc dién dich ra ngén ngfr toén hqc. Tuy vefly, khéng thé trénh khéi thifiu sét trong quél trinh dién dich. True giéc 00 hqc 121 m()t thuéc tinh co bén ca So'1uQ'c vé tri tué con ngufyi, cng co bén nhu khé néng tuéng tuqng hinh hqc, khéng sir dung chnng lé léing phi mt chiéu kich cém nhzfxn b6 sung, cho phép ta quan sét toén hQc tit mét géc dé khéc, nhu duqc miéu té trong cu6n sélch nay. Quyluét tié'n héa déng bufin win dang tfin tai. Khé néng lélp luzfzn bilng vzfit 13? Ciéi 121 khffvi nguén cho nhftng pl1étki6n toém hqc nén téng, tit Archimedes, dé'n Riemann, dén Poincaré, vé dén tzfin hém nay. Tuy vzfly, khi mcjt chfl thé phzit trién, khé néng 13? giéi tu nghiém bi chim véo quén lang. Két qué Q la sinh vién thung khéng cé duqc nén tang truc quan ca cac mén hqc ma h(_) theo c'1‘u6i. D61’ tupng ca cu6n sach. Néfu ban cé himg thL'1 véi toan l'1QC va vat ly, téi hy vQng ban sé khéng quzilng cu6n sach nay di. Cu6n sach nay cé thé thti vi véi nhtrng ai xem nhfrng diéu sau day la ky thljiz ~ ~ - - ~ Dinh ly Pythagoras cé thé duoc giai thich bang dinh luat bao toan nang lu:Q'ng. Déng méi céng téic trong mcjt mach dién don gién chfxng minh du'(_rc bat dang thL'1'c \/Z1; 3 %(a+/1). Mét s6 bai toén giai tich' phL'1'c tap cc’) thé duqc giéi quyét dé dang ma khéng can mét phép tinh nao. Khao sat chuyén déng cia banh xe dap dé chirng minh duoc céng thtrc Gauss-Bonnet (gia dinh la khéng déi héi ngufyi doc cé su am tufyng dé tai nay; tat ca hiéu biét co ban déu (1‘u'Qc cung cap). ca céng thL'i'c tich phan Riemann Ian dinh ly anh xa Riemann (déu duqc giéi thich (rcac muc thich hqp) Ciéu hién r6 m6n mét bang each quan sat chuyén déng ciia lu'u chat. Cu6n sach nay sé léi cu6n béit ctr ai mu6n tim hiéu vé hinh hoc hay co hcpc hoac nhfrng ai khéng tim thfiy himg thii véi toan hqc béi vi ho cho rang né qua khé khan hay nham chan. " Nguyén van: calculus vita cé nghia 1:1 N.D. IO giai iich, vita cé nghia la phép iinh - trongkhéa hQc.Ng02‘1iviéclé1 mén 2“1ntinhthz‘m b6 dufyng, cu6n séch ccn cé thé duqc dilng nhu' mét téai liéu b6 sung trong célc khéa hcc vé giéi tich, hinh h(_)c vé b6i dudng giéo vién. Giéo sur tozin vii vefxt ly cc’) thé tim Lhéiy min véxi béi S1? dung toén vé nhzfan xét cé ich cho céng téc giéng day cla h(_). Kiéh thlicnén téng cén c6.Ph§1nl6n cu6n séch (céc chuong 2 Clffn chuong 5) chi dci héi giéi tich vél hinh 1’1(_)C so cp véi dc khé duqc giir 6n dinh su6tcé1c chucmg néxy, véi mf_>t véi dét bi6n ngoai lé. Chuong 6 v51 7 chi yéu cu nguéi doc biét s0 qua dao h€1m veil tich phén. Cu6i chuong 7 téi c() dé cap su€{t tiéu tén, nhung khéng am héi nhfrng hiéu biét séu séc. Chuong nély béit ctr ai déi lélm quen véi giéi tich so céip cng cé thé tiép cém duoc. Phn thir hai (céc chuong 6 dé'n chucmg 11) cé dt1ng(dt1 hiém khi) mét vai khéi niém vé giéi tich da bié'n, nhung :01 trénh dimg nhiéu thuzfit ngfr, hy vqng ring truc giélc sé giL'1p ban dcc vuqt qua ducqc céc rélo cén ky thuzflt. Téit cé mc_>i diéu mét nguzfyi cn biét vé vef1t 13? duqc mé té trong ph1._11L_1c; né duqc trinh bay dé phuc vu nhfrng ngufyi thiéu kié'n thtrc nén téng. Ta cé thé dQc séch tirng phn mcfnt hay ttmg béli toém mét; néfu bi méic ke_:t,bg1n chi céln léit sang trang khzic <15 cé thém himg thL'1. Cc’) ngoai lé cho céiu LrL'1c m6i ch dé mint trang n2‘1y, ch yéfu xuéit hién 6 nhfrng chuong cu6i. Ngun tziiliéu. Theo nhu téi biét khél nhiéu, tuy khéng phéi toém bf), céc ldi giéi trong séch néy lé méi. Chling bao gém 3.3, 3.7, 101 giéi cho célc béi toén 2.6, 2.9, 2.10, 2.11, 2.13, 3.8, 3.9, 3.10, 3.11, 3.12, 3.17, 3.18, 3.19, 3.20, 3.21, 5.2, 5.3, ll (i. I, 6.2, 6.3, 6.4, 6.5, 7.1 vé 7.2. Céc m6 phéng 6 chuong 8 muc 9.3, 9.8 v51 11.8 cfing cf) thé lé mévi. Khéng cc’) nhiéu téii liéu lién quan dé'n ch dé ca cu6n szich néy. Khi téi cén hcpc ph6 Lhéng, mét vi du tim théy lrong cu6n séch ca Uspenski da géy n tuqng cho t<')i dé'n n6i chii dé néiy dé tré théinh niém dam mé*. Thém nhiéu h£1itz_“1p ('7 dang dé'y cé thé Lim Lhfiy trong cu6n szich nhé ca Kogan [K],ci1a Balk véi Boltyanskii [BB], vél trong chuong 9 Iii ca cu6n szich cC1aP0lga [P]. Nguén g6c ciia nhfrng béii toén néy cng nhu' léd giéii ciia né l€1 céng trinh c6 tit 24 théf ky trufyc cia Archimedes [ARC]. vii ('7 1.3 ceic Mét vi dL_1 céich giéi vzfit 1}? so véi céich giéi t02'1n hQc toén. Cho ba difim A, B C trén mét phng, tim diém X sao cho tfing célc khoéing céch XA + XB + XCl€1 nhé nht. B511 '_ /4 “ - / 20° ‘in * 2 L’ <1») 1. llinh * 61 1.1. N611 King khoimg czich /\’/1 + XI! + .\’(‘ ‘ Iii nhé nhiil thi czic géc [Qi X lii 120" Dfiy Iii vi du éiii tién ci'1:1 cudn szich niiy. @iI1i1c 2.2, biii biio {TO} cimg v(ri vi di_i n€1y 151 viii vi du [)6 sung rift I61. 12 ci'1a Tokicda cén vétlf. Ta béit du bimg viéc khoan ba lo t2_1i A, B, C trén mafxt béln (cé thé coi déy 151 m(f>t thi nghiém gié tuéng hoéc né duqc thuc hién 6 nhé mét ngufyi ban véi mut Céch tic-3}) dich tif-it kiém chi phi). Sau khi c(_)t ba soi déy lai vfyi nhau, gqi dé 151 diém chung X, téi lu6n ttrng scyi mn, nhu cho thiy trong hinh 1.1(b). Tam giéc néy lé tam giéc nhu nhau, vél do dé géc nm gitra huéng chi duong ca céc véc to néy 151 120°. Ta dé chi ra ring LAXB = LBXC LCXA = 120° .' déu béi czic qu nzfzng 151 I toén hoc. Coi a,b,c vim x, ln luqt lé kv hiéu cila céc véc to vi tri ca céc diém A, B, Cvix X. Ta phéi t6i thiéu héa L01‘ gizii dé1iS(x)=|x — a] + |x — bl + [x — c Dé cé diéu dé, ta cho céc d2_10 héim riéng phn ca S 8 35' béng khéng: ‘= -5 = 0, trong dé x = (x,y), hay dién giéi cng téng cla céc dg“) ~ 8,\ By __________l kv hiigu cfla géc; ngudi dich gifr nguyén kv hiéu cfxa nguyén bn a| + |x- a| (I6 sir nhém ln trong bén in nguyén téc, thco db t6ng S(x) |xND. l02'1n.— béli thé téng v(yi hqp phi: cho lzii sfra dich + |x- al. Ngudi ‘ 4 ” 151 : 1’) diéu kién trén mét céch gon gang vé hinh énh h0'n, ta cho gradient vs = 0. Béy gifr ta tinh VS. Ta cé: l|x— a| = A‘/(x ax ax vél mcfn — a|)2 + (y — cu): = (x —a.) /\}(.>c — a|)2 + (y— a1)2 céch tuong tu: %|x—a| =(y—a2)/,/(x—a,)2 +(y—a2)2. Theo dé, V|x — a| = (x — a) / |x — a|lé1mc, céng viéc taflp trung vélo thL_rc hién mét s6 thao téc dang thL'1'c. Trong ldi giéi vefxt 1y, céng viéc tép trung véo t2_10 ra mét m6 hinh vét I37 phil hqp. Céch tiéip czfan nély lé mélu muc cho nhiéu béli toén khélc trong cu6n séch. Theflt 13? thL'1 14 1.4 Ldi cam on Cu6n séch nay hn da khéng ra dfri né'u khéng nhd diéu cha téi déi néi khi téi muéri sau. Téi cho Ong xem mcfnt nghich ly vat ly xéy dén véi téi, va éng néiz “Tai sao con khéng viét né ra va khéri du mét bf) suu tap?”. Cu6n séch nay chinh la phn duqc trich d§nti1'b(f) suu tap dé, vé'i mét vai thém théit. Rat nhiéu ban bé va déng nghiép ca téi da déng gép cu6n séch bang nhfrng gQ'i y va ldi khuyén. Téi dac biét cém cm Andrew Balmonte, Alain Chenciner, Charles Conley, Phil Holmes, Nancy Kopell, Paul Nahin, Sergei Tabachnikov, va Tadashi Tokieda, nhd vao su khich lé cila ho ma bf) suu tap dz duqc déo got thanh mcf>t dang chin chu. Ban than téi dac biét biéit on Andy Ruina, ngudi da dcpc ban théo réit nhiéu ln va cf) nhiéu gcyi y Ian chinh sita. Téi biét on Anna Pierrehumbert béi v6 s6 gqi y ca cé da giiip céi thién cu6n séch nay, va Vickie Kearn vi su c6 vii ciia ba. Téi vé ctmg cém on h5 trcy ca T6 chrc Khoa hqc Qu6c gia vé'i Quyét dinh Tai trq s6 0605878. SL_1' lb 2 B!NH LY PYTHAECIRAS 2.1 Gioi thiéu mire khong Day co vé la mot nhan dinh tam thurong dén A I nam yen, khi dang ban toi: Kh6i nuoc tlnh trong be chfta rang cai dang dé khong bi téc dong, sé van niim yén. Toi cho (tr. luu tam la no co mot hé qua thL'1 vi la dinh ly Pythagoras quy tac ham sin (tr. 27). Thém vao do, no con kéo theo ca quy luafxt l1_xc day noi Archimedes, va dinh 19 Pythagoras I-1 29), 30). cho dién tich bé mat cila hinh 3 chiéu (tr. ("Imus 2.2, god Chfmg minh ca dinh ly Pythagoras, mo ta ly Pythagoras duoc ra mot chimg minh dong luc hoc ca dinh chuyén dong mo ta ('7 muc 2.6. Phuorng cach tiép can dura vao s1'1a,bao gom: lam cho mot s6 chfl dé khac trér nen rat sang ~ ~ Dinh ly co ban ca giéi rich. Cong thtrc tinh toan nhanh cho dinh thirc. Khai trién dinh thirc theo dong. chuong nay. Tat ca nhng diéu trén sé duoc mo ta trong hon chirng Vai chfmg minh khac mang nhiéu tinh vat ly A mot chitng minh dinh ly Pythagoras cng duoc neu ('1 day, minh con minh sir dung nang luong dan hoi, nhfxng chitng lai sir dung dong luqng. A 17 A 2 B!NH LY PYTHAGDRA5 2.1 Giéti thiéu Day co vé la mot nhan dinh tam thuong dén mfrc khong dang ban tor: Kh6i nuoc tinh trong bé' cha nam yén, khi khong bi, tac dong, sé vein niim yén. Toi cho rang cai dang dé luu tam la no co mot ht} qué thL'\ vi la dinh ly Pythagoras (tr. tiic ham sin (tr. 29), quy luefrt lure day noi Archimedes, va dinh ly Pythagoras cho dién tich bé mat ca hinh 3 chiéu (tr. 30). Chirng minh cfra dinh ly Pythagoras, mo ta omuc 2.2, goi ra mot chirng minh dong luc hoc ca dinh ly Pythagoras duot 27). Thém vao do, no con kéo theo ca quy mo ta ('1 muc 2.6. Phuong cach tiép can dua vao chuyén dong lam cho mot so ch dé khac tro nén rat sang sa, bao gom: ~ ~ Dinh ly co ban ca giéi tich. Cong thfrc tinh toan nhanh cho dinh thtrc. Khai trién dinh thirc theo dong. Téit ca nhfrng diéu trén sé duoc mo ta trong chuong nay. Vai chimg minh khac mang nhiéu tinh vat ly hon chitng minh dinh ly Pythagoras cng duoc néu (7 day, mot chfrng minh sir dung nang luong dan hoi, nhirng chirng minh con lz_1i sir dung dong luong. 17 D6 tai ch dao ca chuong nay la dinh 1}? Pythagoras, nhung chL'1ng ta sé di léch ra ngoai bai toén 6 mot vai doan ngan. 2.2 Chirng minh “bé ca” ca dinh 13? Pythagoras Dung mot “bé ca” hinh lang tn; nhan tam giac vuong lam dé1y(hinh 2.1). Ta treo bé ca lén sao cho no co thfi xoay tu do quanh mot true thing dfmg xuyén qua mot dau canh huyén. Bay gio as day nuoc vao bé ca. <1) kg Q b (Z Hinh 2.1. B6 ca day nuoc,co1l16tu do chuyé'n dong xoay quanh mot m_1c thing dirng, khong hf: dich chuyén. C > 1,/2 E:T‘»“:a"-:‘°:*?j" 1, P Hinh 2.2. Dinh 13? Pythagoras tuong duong voi sL_r tiéu bifin cac moment quay t6ng hqp dat lén bé ca xoay quanh diém P. 18 bé mat thang dfrng cila né. Ta két luan dinh I3? Pythagoras la mét hé qua ca viéc kh6i nu’('rc tinh luén bat dng**. Bai tap. Ti! diém A ngoai dlréng min vé tiéja tuyéh A T va cat tuyéh AP Q nhucho 01.231 AP X tronghinh 2.3. Ch ngminh rang AQ IATZ (2.2) Xét phan tam giac cong t6 dam APT trong hinh 2.3, ta lién tufmg mcfnt binh cfrng b0'm day gas va cé thé xoay Gcyi Y: quanh O. Nhu giai thich 6 muc 2.3 trong m<_“)t ngfx canh khac, (2.2) cho thay vilng t6 dam gift nguyén khéng dfii khi xoay quanh O. Tuong tu, dinh 13? Pythagoras cng cho tha'y rang dién Lich ciia tam giac vuéng la khéng d6i khi tam giac xoay quanh mét dau canh huyén. T V V-=i.= as ai»=.>».;+;§.i; 1" 1'21mu;-ii:Jzvrm»1~];s"--,.=i:.».1-a"fr:€>11'r:,§v¢‘:*;*.'¢'1"! Ll.'\: l.,?:;u .4 -V 5'? ' 1‘; ‘ ‘._l--,ff.¢.;‘;1§.€§_'1_§’t.=. R," ‘4}'w-M16-i|,"U'i.v" ‘P.’-""!‘-tw-1‘ r" ‘A..,. 1:. .24» i, .- . \V4. Lad“ .- 0° - P Q Hinh 2.3. Chfrng minh AP * Nguyén van: still water remains still ~ N.D. 2O >< A 3:g+‘~'=- AQ = AT’. '