Tài liệu Thế debye hückel trong tương tác iôn nguyên tử của plasma loãng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH NGUYỄN THỊ THANH THẢO THẾ DEBYE - HÜCKEL TRONG TƯƠNG TÁC IÔN NGUYÊN TỬ CỦA PLASMA LOÃNG Chuyên ngành: Vật lý nguyên tử hạt nhân LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. ĐỖ XUÂN HỘI Thành phố Hồ Chí Minh-2010 LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn Ban Chủ Nhiệm Khoa Vật Lí và Phòng Sau Đại Học của trường Đại học Sư phạm TP.HCM đã cho em cơ hội tiếp nhận đề tài này và đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để em hoàn thành luận văn này đúng thời hạn. Bên cạnh đó, em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy TS. Đỗ Xuân Hội đã hướng dẫn chu đáo và tận tình giúp đỡ em trong suốt thời gian làm luận văn. Với sự giúp đỡ của thầy, luận văn này đã được gợi ý, hướng dẫn thực hiện và đạt những kết quả mong muốn. Xin chân thành cảm ơn NGUYỄN THỊ THANH THẢO MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN ...............................................................................................................................................- 2 4T T 4 MỤC LỤC .....................................................................................................................................................- 3 4T T 4 TÓM TẮT .....................................................................................................................................................- 5 4T T 4 DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN ..........................................................................- 6 4T T 4 MỞ ĐẦU.......................................................................................................................................................- 7 4T T 4 1. Lí do chọn đề tài ....................................................................................................................................- 7 4T 4T 2. Mục đích đề tài ......................................................................................................................................- 7 4T 4T 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ..........................................................................................................- 7 4T 4T 4. Phương pháp nghiên cứu ........................................................................................................................- 7 4T 4T 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài ................................................................................................- 8 4T 4T CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN ........................................................................................................................ - 10 4T 4T 1.1. Những hiểu biết sơ lược về plasma .................................................................................................... - 10 4T 4T 1.1.1. Định nghĩa về plasma ................................................................................................................. - 10 4T 4T 1.1.2. Khái quát về sự tương tác của các hạt trong plasma .................................................................... - 10 4T T 4 1.2. Các đại lượng nhiệt động học. Hàm phân bố xuyên tâm .................................................................... - 12 4T T 4 1.2.1. Các đại lượng nhiệt động học ..................................................................................................... - 12 4T 4T 1.2.2. Hàm phân bố xuyên tâm ............................................................................................................. - 14 4T 4T CHƯƠNG 2 : MÔ HÌNH NGHIÊN CỨU VÀ MỘT SỐ KẾT QUẢ LÍ THUYẾT ....................................... - 17 4T T 4 2.1. Mô hình plasma cổ điển một thành phần (OCP) ................................................................................ - 17 4T T 4 2.1.1. Mô hình được sử dụng và các thông số liên quan ........................................................................ - 17 4T T 4 2.1.2. Thế màn chắn ............................................................................................................................. - 19 4T 4T 2.1.3. Định lí Widom ........................................................................................................................... - 21 4T 4T 2.1.4. Phương pháp mô phỏng Monte Carlo và phương pháp Hypernetted Chain cho plasma một thành phần ..................................................................................................................................................... - 21 4T T 4 2.1.4.a. Phương pháp mô phỏng Monte Carlo ................................................................................... - 21 T 4 T 4 2.1.4.b. Phương pháp Hypernetted Chain ......................................................................................... - 22 T 4 T 4 2.2. Lí thuyết Debye – Hückel sử dụng cho plasma loãng ....................................................................... - 23 4T T 4 2.2.1. Phương trình Poisson – Boltzmann ............................................................................................. - 23 4T T 4 2.2.2. Thế Debye – Hückel ................................................................................................................... - 24 4T 4T 2.3. Những hạn chế của Thế Debye – Hückel .......................................................................................... - 27 4T T 4 CHƯƠNG 3: CẢI TIẾN THẾ DEBYE-HÜCKEL SỬ DỤNG CHO PLASMA LOÃNG MỘT THÀNH PHẦN 30 4T T 4 3.1. Các hệ số của đa thức thế màn chắn H(r) ........................................................................................... - 31 4T T 4 3.1. 1. Biểu thức h 0 của đa thức thế màn chắn H(r) .................................................................................. - 32 4T R R T 4 3.1.1.1. Khảo sát Γ ........................................................................................................................... - 34 T 4 4T 3.1.1.2. Theo nghiên cứu của L. R. Gasque et al [21]........................................................................ - 43 T 4 T 4 3.1.1.4. Theo nghiên cứu của H. E. DeWitt [20] ............................................................................... - 50 T 4 T 4 3.1.1.5. Theo h0 được đề nghị của các tác giả Đỗ Xuân Hội - Lý Thị Kim Thoa [6] ......................... - 52 T 4 R R T 4 3.1.1.6. Để thuận tiện trong việc thực hiện tính toán trên máy tính, ta đề nghị hệ thức h 0 dưới đây: .. - 55 T 4 R R T 4 3.1.2. Các biểu thức h 2 , h 3 , h4 của đa thức thế màn chắn H(r) .............................................................. - 57 4T R R R R R R T 4 3.1.2.1. Khảo sát Γ ........................................................................................................................... - 58 T 4 4T 3.1.2.2. Các biểu thức h2 , h3 , h 4 của đa thức thế màn chắn H(r) ....................................................... - 63 T 4 R R R R R R T 4 3.2. Xác định khoảng cách giới hạn r DH (Γ) ............................................................................................. - 66 4T R R T 4 CHƯƠNG 4: XÁC ĐỊNH NGƯỠNG CỦA HIỆU ỨNG TRẬT TỰ ĐỊA PHƯƠNG Γ C ............................. - 76 4T R R4 T 4.1. Xác định biểu thức r max(Γ) ................................................................................................................ - 76 4T R R 4T 4.2. Biểu thức các hệ số h2C , h3C , h 4C của đa thức thế màn chắn H C (r) ..................................................... - 78 4T R R R R R R R R T 4 4.3. Giá trị ngưỡng Γ C ............................................................................................................................. - 82 4T R R4T KẾT LUẬN ................................................................................................................................................. - 86 4T T 4 TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................................................................ - 88 4T 4T PHỤ LỤC .................................................................................................................................................... - 91 4T T 4 TÓM TẮT Một trong những lĩnh vực nghiên cứu khoa học có liên quan đến vật lí nguyên tử hạt nhân là vấn đề tương tác giữa các ion nguyên tử trong môi trường plasma. Trong môi trường plasma loãng, tức là khi năng lượng chuyển động nhiệt có thể so sánh với tương tác tĩnh điện Coulomb của các ion, lí thuyết Debye – Hückel được sử dụng để mô tả ảnh hưởng của môi trường xung quanh lên tương tác giữa hai ion. Tuy nhiên, thế màn chắn được tính toán từ lí thuyết Debye - Hückel (DH) chỉ thể hiện sự chính xác trong những điều kiện nhất định. Luận văn này nghiên cứu tổng quát “Thế Debye - Hückel trong tương tác iôn nguyên tử của plasma loãng”, từ đó đưa ra giới hạn áp dụng của lí thuyết Debye - Hückel và xác định giới hạn này cho lí thuyết thông qua việc sử dụng dạng đa thức của thế màn chắn theo định lí tổng quát Widom. Sau đó sẽ so sánh kết quả thu được với các số liệu cung cấp bởi phương pháp mô phỏng Monte Carlo. DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN STT Viết tắt Viết đầy đủ 1 DH Debye – Hückel 2 MC Monte Carlo 3 HNC Hypernetted Chain 4 OCP One Component Plasma MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Vật lí nguyên tử hạt nhân là một trong những ngành phát triển mạnh mẽ nhất của vật lí. Việc nghiên cứu môi trường plasma liên quan mật thiết đến chuyên ngành vật lí nguyên tử hạt nhân. Bởi vì plasma là trạng thái thứ tư của vật chất, chiếm tới 99% trạng thái vật chất tồn tại trong vũ trụ. Việc tìm hiểu sâu sắc về trạng thái này sẽ rất cần thiết cho việc tạo ra nguồn năng lượng khổng lồ phục vụ cho nhân loại từ việc điều khiển các phản ứng nhiệt hạch. Bên cạnh việc nâng cao sự hiểu biết về plasma, thông qua đề tài này tôi có thể nắm vững vàng hơn các kiến thức đã học về điện học, về vật lí nguyên tử (iôn, liên kết iôn trong nguyên tử…) và phần “ Nhiệt động lực học và Vật lí thống kê” sẽ giúp ích rất nhiều cho chuyên ngành mà tôi đang học. Hơn nữa, thực hiện đề tài này là cơ hội để tôi thực tập sử dụng các phần mềm tin học như Maple, Matlab, … và đồng thời có cơ hội để nghiên cứu phương pháp xử lí số liệu thực nghiệm, vận dụng những gì đã học nhằm giải quyết các vấn đề mà đề tài đặt ra như vẽ đồ thị, giải các phương trình toán phức tạp chỉ có thể thực hiện qua máy tính, … 2. Mục đích đề tài Đề tài này nghiên cứu về thế Debye - Hückel (DH) trong tương tác iôn nguyên tử của plasma loãng (là plasma trong đó năng lượng tương tác Coulomb là nhỏ so với năng lượng chuyển động nhiệt). Đề tài này cũng chỉ ra giới hạn ứng dụng của thế Debye - Hückel trong plasma loãng và đưa ra cách hiệu chỉnh phù hợp từ những mô hình đơn giản nhất để giải quyết các vấn đề đặt ra. Bên cạnh đó, đề tài cũng khảo sát ngưỡng của hiệu ứng trật tự địa phương, là sự bắt đầu thiết lập những dao động tắt dần của hàm phân bố xuyên tâm. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đề tài này chủ yếu nghiên cứu tới plasma loãng một thành phần (One Component Plasma – OCP) cổ điển là plasma chỉ bao gồm một loại ion duy nhất tích điện dương nằm trong một biển electron đồng nhất tạo thành một hệ trung hòa về điện. 4. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu kết quả lí thuyết về thế màn chắn, định lí Widom, hàm phân bố xuyên tâm, lí thuyết Debye – Hückel trong plasma mà tương tác ion yếu, … Sử dụng phần mềm tin học Matlab để xử lí kết quả mô phỏng Monte Carlo (MC) và Hypernetted Chain (HNC) kết hợp với lí thuyết để cải tiến lí thuyết Debye – Hückel cho plasma loãng một thành phần và xác định ngưỡng của hiệu ứng trật tự địa phương. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài a. Ý nghĩa khoa học Thế Debye - Hückel (DH) đa phần được đề cập trong các tài liệu chỉ dừng lại ở cách giải gần đúng phương trình Poisson – Boltzmann, kết quả này sẽ dẫn đến ngộ nhận thế Debye - Hückel (DH) được áp dụng vô điều kiện với độ chính xác cao. Thực tế không hoàn toàn như vậy. Đề tài này cho thấy khi nghiên cứu plasma loãng, thế Debye - Hückel (DH) chỉ áp dụng được trong những điều kiện nhất định. Từ các dữ liệu mô phỏng và định lí Widom, đề tài còn đề cập đến dạng thế màn chắn đảm bảo sự chính xác tốt nhất. Từ những kết quả này, ta có thể xác định được sự thiết lập những dao động của hàm phân bố xuyên tâm. b. Ý nghĩa thực tiễn Đề tài này có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên năm thứ tư chuyên ngành vật lí (học môn vật lí thống kê) có cơ hội đào sâu những kiến thức liên quan đến tương tác hệ nhiều hạt, ứng dụng của hàm phân bố thống kê chính tắc, phương pháp sử dụng một phần mềm tin học để giải quyết một vấn đề cụ thể… Từ những vấn đề mà đề tài đưa ra có thể mở ra nhiều hướng cho những ai muốn nghiên cứu sâu về plasma: xác định dạng vạch phổ qua các kết quả thu được cho thế màn chắn, dùng phương pháp số giải phương trình Poisson – Boltzmann để kiểm nghiệm biểu thức thế màn chắn,… NỘI DUNG LUẬN VĂN Luận văn được trình bày theo cấu trúc sau: Chương 1: Tổng quan. Chương này giới thiệu những khái niệm cơ sở về plasma và một số đại lượng đặc trưng cho một hệ plasma như các đại lượng nhiệt động học, hàm phân bố xuyên tâm, .... Chương 2: Mô hình nghiên cứu và các kết quả lí thuyết liên quan. Chương này trình bày mô hình plasma một thành phần cũng như các kết quả lí thuyết: đa thức Widom, thế Debye – Hückel, các mô phỏng Monte Carlo và Hypernetted Chain, giới hạn áp dụng lí thuyết Debye – Hückel (DH). Chương 3: Cải tiến thế DH sử dụng cho plasma loãng một thành phần. Phần này bao gồm những tính toán để có được các kết quả mới cho việc giới hạn khoảng cách áp dụng lí thuyết DH. Chương 4: Xác định ngưỡng của hiệu ứng trật tự địa phương. Chương này giới thiệu phương pháp tính toán cũng như kết quả cho việc thiết lập các dao động của hàm phân bố xuyên tâm. Phần cuối cùng của luận văn là kết luận chung, trình bày những kết quả thu được. CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN 1.1. Những hiểu biết sơ lược về plasma 1.1.1. Định nghĩa về plasma Vào năm 1923, hai nhà vật lí người Mĩ là Laengomeare và Tolk đã dùng thuật ngữ “plasma” để chỉ những chất khí bị ion hóa, trung hòa về điện tích và tồn tại trong các ống phóng điện. Ở điều kiện bình thường, mọi chất khí không dẫn điện. Nhưng ở nhiệt độ khá cao hay ở trong điện trường rất mạnh, thì tính chất của chất khí thay đổi: Nó bị ion hóa và trở thành dẫn điện. Khi bị ion hóa các nguyên tử và các phân tử khí trung hòa về điện sẽ mất đi một phần electron của mình và trở thành những hạt mang điện tích dương gọi là các ion. Chất khí bị ion hóa là plasma. Như vậy, Plasma là một hỗn hợp các hạt mang điện, trong hỗn hợp đó có giá trị tuyệt đối của điện tích dương bằng giá trị tuyệt đối của điện tích âm. Như vậy plasma là một hệ trung hòa về điện và là một vật dẫn điện tốt. Plasma là trạng thái thứ tư của vật chất. Nhìn chung khi ở nhiệt độ cao hơn 100000C, mọi chất đều ở trạng thái plasma. P P Nếu mật độ các hạt trong plasma ít thì ta gọi là plasma loãng. Trong plasma loãng, năng lượng tương tác coulomb là nhỏ so với năng lượng chuyển động nhiệt. Khi đó những tính chất của plasma loãng gần giống với những tính chất của khí lý tưởng. 1.1.2. Khái quát về sự tương tác của các hạt trong plasma a. Sự kích thích và iôn hóa Cơ chế của sự kích thích và ion hóa do va chạm với điện tử như sau: khi điện tử chuyển động gần đến nguyên tử hay hạt khác, điện tử thứ nhất tương tác trực tiếp bằng điện trường của mình với một trong những điện tử liên kết trong nguyên tử gần nó nhất. Điện tử liên kết đó sẽ dịch chuyển đối với hạt nhân. Như vậy, điện tử thứ nhất bị tán xạ, tức là bị lệch khỏi hướng ban đầu. Nếu lực tương tác đủ lớn và đủ lâu thì điện tử liên kết có thể bị đưa lên mức năng lượng cao hơn hay hoàn toàn bị tách khỏi nguyên tử. Quá trình ion hóa là tách electron ra khỏi nguyên tử hoặc phân tử khí, đây là quá trình quan trọng không thể thiếu trong plasma. Có hai kiểu ion hóa: với plasma đậm đặc, sự ion hóa chất khí sinh ra do tác dụng va chạm giữa các nguyên tử hoặc phân tử trung hòa với electron; với plasma quá loãng tác dụng bức xạ sóng cực ngắn là nguyên nhân gây ra sự ion hóa. Nhưng muốn ion hóa hoàn toàn các hạt thì bản thân chúng cần phải có năng lượng cao hơn đáng kể so với trường hợp trên. Nhờ sự va chạm, electron có thể ion hóa nguyên tử, phân tử trung hòa hoặc nguyên tử bị ion hóa chưa hoàn toàn. Tiết diện hiêu dụng ion hóa bằng sự va chạm của electron vào khoảng vài trăm electron – volt. Mặt khác, kích thích và ion hóa nguyên tử, phân tử, và ion có thể xảy ra do điện tử, ion, nguyên tử, và phân tử. Tiết diện ion hóa và kích thích đối với chúng không giống nhau. Đối với điện tử có thể chuyển hết phần động năng của mình cho nguyên tử, đối với ion hay nguyên tử thì phần động năng chuyển vào thế năng do va chạm càng nhỏ khi khối lượng của chúng càng gần nhau. Trong plasma phóng điện khí, như trong phóng điện ẩn, kích thích và ion hóa do ion và nguyên tử không đáng kể vì ở đây áp suất tương đối thấp và không đẳng nhiệt lớn. Năng lượng của ion và nguyên tử trong phóng điện không cao, do đó ion hóa trong thể tích do va chạm với chúng có thể bỏ qua. Trong hồ quang áp suất lớn (áp suất vào khoảng vài trăm torr hay lớn hơn), nhiệt độ của hạt nặng lớn đến mức có thể xảy ra ion hóa và kích thích do nhiệt. b. Sự kích thích và iôn hóa phân tử Trong phân tử có hai dạng chuyển động: chuyển động của điện tử trong nguyên tử và chuyển động của hạt nhân. Chuyển động của hạt nhân có thể là chuyển động dao động và chuyển động quay. Tuy nhiên năng lượng phụ thuộc vào sự chuyển động của điện tử là thành phần lớn nhất. Nếu phân tử được kích thích, điện tử được chuyển lên mức năng lượng cao hơn, thì do sự phân bố điện tích của điện tử trong phân tử thay đổi mà đường cong thế năng cũng biến đổi. Chuyển động dao động trong phân tử cũng tuân theo quy luật lượng tử. Khi dao động khoảng cách của hai hạt nhân biến đổi, dẫn đến thế năng sẽ biến đổi gián đoạn. Những phân tử có hai hạt nhân giống nhau như O 2 , H 2 , N 2 … có cấu trúc đơn giản nên chúng R R R R R R chỉ có chuyển động dao động đối xứng của nguyên tử dọc theo trục phân tử. Hơn nữa chúng không có momen đipôn. Dịch chuyển đipôn giữa các mức dao động kích thích trong trạng thái cơ bản điện tử với mức dao động là cấm, và chỉ mất đi do va chạm. Tuy nhiên tiết diện va chạm giữa các phân tử với nhau để biến năng lượng dao động lượng tử thành động năng thường rất nhỏ (nhỏ hơn 10-23 cm2). Vì vậy những trạng thái này có thời gian sống rất lớn. P P P P c. Ứng dụng của plasma trong thực tế Những vấn đề trong thiên văn và địa vật lý học như việc truyền sóng điện từ qua bầu khí quyển, động lực học của địa từ trường, sự rối loạn của vật chất bị ion hóa và từ trường gần bề mặt Mặt trời và các vì sao, sự tán sắc và mở rộng tín hiệu khi đi qua không gian giữa các vì sao, sự tiến hóa và cấu trúc bên trong của các thiên thể… đều có mối quan hệ gần gũi với các vấn đề cơ bản của plasma. Hiện nay người ta đã ứng dụng plasma để chế tạo “động cơ plasma”. Lần đầu tiên trên thế giới các nhà bác học và kỹ sư người Nga đã sử dụng động cơ plasma vào hệ thống định hướng các con tàu vũ trụ. Ngoài ra plasma còn là yếu tố cơ bản của “máy phát điện plasma”. Những quá trình xảy ra trong máy phát điện plasma được mô tả bằng lý thuyết từ thủy động lực học nên người ta gọi chúng là các máy phát điện từ thủy động lực chuyển hóa trực tiếp nhiệt năng thành điện năng. Hơn nữa, plasma còn được nghiên cứu để khống chế nguồn năng lượng khổng lồ từ các phản ứng tổng hợp hạt nhân. Trong tương lai các nhà khoa học hy vọng con người có thể sẽ nhận được một nguồn năng lượng vô tận từ các phản ứng nhiệt hạch tổng hợp có điều khiển, năng lượng này đủ dùng cho nhiều triệu năm. 1.2. Các đại lượng nhiệt động học. Hàm phân bố xuyên tâm 1.2.1. Các đại lượng nhiệt động học Hệ plasma loãng được xem như một hệ chính tắc có hàm tổng thống kê như sau : Z=     1 − β ( K +V ) ... ... e d p d p d R d RN 1 1 N h3 N N ! ∫  2 p Trong đó, K = ∑ i là động năng toàn phần của hệ, V là thế năng tương tác 1 2m N  ,    N N 1 1 2 d rd r d r   1 Coulomb = V ( Ze)  ∑   + n ∫   , − n∑    , R i là vectơ vị trí của ion 2 2 1 Ri − r r−r  1 R i − R j   thứ i. r là vectơ vị trí của các electron chứa trong một thể tích nguyên tố. Như vậy thế năng 2 tương tác trên là thế năng toàn phần bao gồm thế năng tương tác Coulomb giữa ion – ion, electron – electron, và giữa ion – electron. Như vậy, ta có thể viết : Z = Z0Q trong đó Z0 là hàm tổng thống kê của khí lý tưởng, P P P P khi đó ta xem các hạt không tương tác lẫn nhau, năng lượng của hệ chính là động năng chuyển động nhiệt của các hạt :   VN VN −β K Z e d p1...d p N = = (2π mkT )3 N /2 3N 3N ∫ h N! h N! 0 Q là tích phân cấu hình đặc trưng cho sự tương tác Coulomb trong plasma Q=   1 − βV ... e d R d RN 1 VN ∫ Theo công thức năng lượng tự do của hệ F = - kTlnZ và tính cộng tính của đại lượng này ta phân tích năng lượng F làm hai thành phần : F = F 0 + F ex R R R Trong đó, F 0 là năng lượng tự do của khí lý tưởng R R F ex là năng lượng phát sinh từ tương tác Coulomb R R Mặt khác ta thấy Q phụ thuộc vào β, tức là phụ thuộc vào nhiệt độ T (với T = 1 ) và kβ mật độ ρ thông qua tham số tương liên Γ ở giới hạn nhiệt động lực học (Γ được trình bày rõ ở chương II), V → ∞, N → ∞ (trong khi = ρ N = const ), ta có thể viết : V Q = e − Nf ( Γ ) F Như vậy, f (Γ) = ex , phần dư của năng lượng tự do đối với ion tính theo đơn vị NkT năng lượng kT, chỉ phụ thuộc vào Γ. Từ đây ta có các công thức đơn giản để tính các đại lượng nhiệt động học của hệ : a/ Áp suất p: p =− ∂F  1 d  =p0 1 + Γ f (Γ )  ∂V  3 dΓ  b/ Năng lượng toàn phần : với p0 = ρ β E =−T 2 ∂ ∂T F   2 d   T  =E0 1 + 3 Γ d Γ f (Γ)  với E0 = 3N 2β c/ Nhiệt dung đẳng tích : ∂E = C0V CV = − ∂T 2   2 d 1 − Γ d Γ 2 f (Γ)    với C0V = 3 Nk 2 Mặt khác ta cũng có một biểu thức để tính phần dư của năng lượng đối với ion tính theo đơn vị năng lượng kT khi mô phỏng trên máy tính : Γ u (Γ ' ) ' f (Γ) = f (Γ1 ) + ∫ dΓ Γ' Γ1 với u = E − E0 , Γ 1 được chọn bằng đơn vị. NkT R R 1.2.2. Hàm phân bố xuyên tâm Sự tương tác giữa một iôn và các iôn kế cận được phản ánh qua giá trị của hàm phân bố xuyên tâm g(r). Nếu gọi u(r ij) là thế năng tương tác giữa hai ion i và j trong hệ plasma có R R N ion, thì thế năng toàn phần của hệ là : N    U ≡ U (r1 , r 2 ,..., r N ) = ∑ u (rij ) i< j     Xác suất để ion 1 ở trong d r1 tại vị trí r1 ,..., ion N ở trong d r N , tại vị trí r N không phụ thuộc vào vận tốc của mỗi hạt nên được tính :  1 − βU  e d r1...d r N Q   trong đó Q = ∫ e − βU d R1...d R N V     Vậy xác suất để ion 1 ở trong d r1 tại vị trí r1 ,..., ion n ở trong d r n , tại vị trí r n là :          1 P ( n ) (r1 ,..., r n )d r1...d r n =  ∫ e − βU d r n +1...d r N  d r1...d r N Q V     1 − βU  e d r ⇒ P ( n ) (r1 ,..., r n ) = n +1...d r N Q V∫ (1.2a)     Đồng thời nếu ta gọi P ( n ) (r1 ,..., r n )d r1...d r n là xác suất để có một ion nào đó (không     nhất thiết là ion 1) ở trong d r1 tại vị trí r1 ,..., để một ion khác ở trong d r n , tại vị trí r n thì   có N khả năng để có ion trong d r1 , N – 1 khả năng để có ion trong d r 2 , ..., và N - n + 1 khả  năng để có ion trong d r N , tức là tất cả có : N! khả năng. N ( N − 1)( N − 2)...( N − n + 1) = ( N − n)! Khi đó    N ! 1 − βU  e d r n +1...d r N ( N − n)! Q V∫   N! P ( n ) (r1 ,..., r n ) = ( N − n)! ρ ( n ) (r1 ,..., r n ) = (1.2b)   Nếu xác suất để có một ion của ở trong d r1 tại vị trí r1 độc lập với xác suất để có   một ion thứ hai ở trong d r 2 tại vị trí r 2 ,...độc lập với xác suất để có một ion thứ n ở trong   d r n , tại vị trí r n thì :         ρ ( n ) (r1 ,..., r n )d r1...d r n =  ρ (1) (r1 )d r1  ....  ρ (1) (r n )d r n  Khi có sự tương quan giữa một ion này và một ion khác thì ta có :       ρ ( n ) (r1 ,..., r n ) = ρ (1) (r1 )...ρ (1) (r n ) g ( n ) (r1 ,..., r n )   Trong đó g ( n ) (r1 ,..., r n ) , cho biết mức độ mà ρ ( n ) lệch khỏi giá trị của nó khi các xác suất trên độc lập nhau.  Vì mọi điểm r i trong thể tích V đều tương đương nhau nên    ρ (1) (r1 )= ρ (1) (r 2 )= ...= ρ (1) (r n )= ρ= N : mật độ hạt trong plasma V     Khi đó ta có : ρ ( n ) (r1 ,..., r n ) = ρ n g ( n ) (r1 ,..., r n ) . Thế (1.2a) và (1.2b) vào ta suy ra :     N! P ( n ) (r1 ,..., r n ) ( N − n)!  N ! 1 − βU  e d r = n +1...d r N ( N − n)! Q V∫ ρ n g ( n ) (r1 ,..., r n ) = (1.2c) Qua đó ta thấy các bài toán của vật lý nguyên tử cho plasma, đặc biệt là những vấn đề liên quan tới việc mở rộng của các vạch quang phổ nhất thiết phải biết sự tương tác giữa hai ion kế cận nhau, cách nhau một khoảng r 12 nào đó. Lúc này theo hệ thức tổng quát (1.2c) sẽ   xuất hiện hàm g(2)( r1 , r 2 ), kí hiệu là g(r) gọi là hàm phân bố xuyên tâm. Ta được : R P R P    N ( N − 1) − βU  e d r ρ 2 g (2) (r1 , r 2 ) = 3 ...d r N ∫ Q V Như vậy : g (r ) =  N ( N − 1) − βU  e d r ... d r 3 N ρ 2Q V∫ CHƯƠNG 2 : MÔ HÌNH NGHIÊN CỨU VÀ MỘT SỐ KẾT QUẢ LÍ THUYẾT 2.1. Mô hình plasma cổ điển một thành phần (OCP) 2.1.1. Mô hình được sử dụng và các thông số liên quan Plasma được xem như một hỗn hợp gồm nhiều ion, electron và những hạt trung hòa về điện. Theo quan điển nhiệt động học, có thể phân biệt plasma làm hai loại plasma cân bằng và plasma không cân bằng. Trong hệ cô lập, khi plasma ở trang thái cân bằng với môi trường xung quanh (như trên các vì sao) thì động năng trung bình của tất cả các hạt là bằng nhau. Chúng đều có hàm phân bố theo vận tốc Maxwell; tức là có một nhiệt độ T giống nhau cho tất cả các loại hạt, ta gọi đây là plasma đẳng nhiệt. Trong một đơn vị thể tích của plasma đẳng nhiệt, số điện tích dương luôn bằng số điện tích âm, tức là ∑Z n − n i i e 0 . Đây là điều = kiện trung hòa điện trong plasma. Khi đó điện tích khối hoàn toàn bằng 0 nên điện trường cũng bằng 0. Lúc này phương trình Poisson chuyển thành phương trình Laplace: ∇ 2ϕ = 0. Như vậy trong plasma đẳng nhiệt các hạt mang điện mất đi do quá trình tái hợp trong thể tích luôn luôn được bù lại do quá trình ion hóa. Plasma một thành phần (OCP – One Component Plasma) là một hệ thống kê gồm một loại những ion tích điện dương chuyển động trong một biển các hạt electron. Các hạt sẽ tương tác nhau bởi lực tĩnh điện nhưng toàn bộ hệ vẫn ổn định do điều kiện trung hòa điện. Vì vậy, chúng ta sẽ khảo sát mô hình plasma một thành phần (OCP – One Component Plasma) là một hệ vật lí ở nhiệt độ T gồm N ion mang điện tích + Ze nằm trong môi trường đồng nhất gồm ZN electron, là hệ quy chiếu thích hợp để khảo sát một số thiên thể như bên trong sao lùn trắng, các hành tinh nặng dạng Jupiter,… Để đơn giản người ta đưa ra mô hình “hình cầu ion” để mô tả plasma. Mô hình này gồm một iôn riêng biệt mang điện tích Ze và một đám mây điện tử bao quanh nó. Ta có thể hình dung plasma dưới dạng N hình cầu iôn và mỗi hình cầu chứa Z electron để trung hòa điện tích dương của ion. Từ đó ta tính được bán kính hình cầu iôn qua biểu thức:  4πρ  a=   3  −1/3 Trong đó ρ = electron là: ρ e = N là mật độ ion của khối plasma đang xét. Như vậy mật độ của V −3Ze 4π a 3 • ρe = a −3Ze 4π a 3 Hình 1: Mô hình hình cầu ion Các plasma thường được phân loại làm plasma liên kết yếu và plasma liên kết mạnh ( Ze) 2 với năng lượng chuyển động nhiệt dựa vào tỷ số giữa thế năng tương tác Coulomb a trung bình kT. Tỷ số này kí hiệu là Γ, gọi là tham số tương liên của plasma: ( Ze) 2 Γ= akT ( Ze) 2  kT : năng lượng Coulomb rất lớn so + Plasma liên kết mạnh khi Γ  1 , tức là a với năng lượng chuyển động nhiệt, vị trí của các ion bắt đầu có trật tự hơn, và bắt đầu xuất hiện các cực trị của hàm phân bố xuyên tâm g(r). Khi đó trang thái plasma gần với trạng thái rắn. Plasma liên kết mạnh thường tồn tại trong các thiên thể, các sao lùn trắng (Γ = 10 – 200), sao neutron (Γ = 10 – 10-3), bên trong sao mộc,… Có thể tạo plasma này trong phòng P P thí nghiệm bằng các chum tia laser hay ion (Γ vào khoảng 0.5 – 10). + Plasma liên kết yếu khi Γ  1 , tức là ( Ze) 2  kT : năng lượng Coulomb rất bé so a với năng lượng chuyển động nhiệt, khi đó plasma xem như gần đúng với trạng thái khí lí tưởng, được coi là plasma mà hiệu ứng trật tự địa phương chưa xuất hiện. Hàm phân bố xuyên tâm g(r) có dáng điệu biến thiên là tăng đơn điệu theo khoảng cách liên ion. Vì thế nó sẽ tuân theo những định luật vật lí thống kê, đặc biệt là hàm phân bố Boltzmann trong trường lực đối xứng của hạt riêng biệt. Điều này phù hợp với lí thuyết cổ điển nên plasma liên kết yếu thường sử dụng lí thuyết Debye – Hückel. Một số hệ vật lí mà tham số Γ có giá trị tương đối thấp, như trong sao Lùn nâu, ta có Γ =0.76 , bên trong Mặt Trời, = Γ 0.072 ÷ 0.076 , và đặc biệt, trong những thí nghiệm tổng hợp hạt nhân bằng phương pháp hãm quán tính (ICF – Inertial Confinement Fusion), tham số Γ có giá trị khá thấp, chỉ khoảng 0.002 ÷ 0.010 , hay plasma xuất hiện trong hiện tượng phóng điện (Γ ≈ 10-3), trong những máy Tokamark (Γ ≈ P P 10-5)…[24]. Với các hệ plasma loãng kể trên, lí thuyết Debye-Hückel được sử dụng. Tuy P P nhiên khi xét ở những khoảng cách r nhỏ thì lí thuyết này bị mắc sai số lớn so với thực nghiệm (được trình bày rõ ở phần 2.3). Trường hợp Γ có giá trị trung gian thì tính chất của plasma là tính chất của lưu chất. 2.1.2. Thế màn chắn Thế màn chắn (screening potential), được định nghĩa là hiệu số giữa thế năng tương tác của hai hạt và thế của lực trung bình (potential of mean force), là một dữ liệu quan trọng để nghiên cứu hiệu suất phản ứng hạt nhân (nuclear reaction rates), sự hình thành những chuẩn phân tử (quasi molecules) và bề rộng vạch phổ trong những môi trường đậm đặc, đặc biệt là trong môi trường plasma. Để tính đến tương tác của các ion khác và cả các electron trong plasma ta dùng thế màn chắn hiệu dụng: ( Ze) 2 V= ( R) − H ( R) R (2.1.2) ( Ze) 2 là thế năng tương tác Coulomb giữa hai ion cách nhau một khoảng Trong đó R R. H(R) biểu thị độ giảm của thế năng trên do môi trường bên ngoài của hai ion đang xét. + Khi V ( R ) → ( Ze) 2 thì H ( R ) → 0 : lúc này có sự che chắn không hoàn toàn. R ( Ze) 2 : lúc này có sự che chắn hoàn toàn. + Khi V ( R ) → 0 thì H ( R ) → R Thế màn chắn đóng vai trò rất quan trọng trong mọi ngành vật lí khi cần tính đến tác dụng của mật độ lên các hiện tượng vật lí. Trong môi trường plasma, thế màn chắn tăng rất nhanh theo mật độ môi trường và có khuynh hướng làm thay đổi tính chất nhiệt động học của hệ vật lí. Đối với plasma liên kết mạnh, hàng rào thế coulomb giữa hai ion bị giảm rất nhanh do hiệu ứng màn chắn của môi trường chứa hạt mang điện trong plasma. Khi đó thế màn chắn đặc trưng cho độ hạ của rào thế Coulomb giữa hai ion dẫn đến thừa số khuếch đại trong hiệu suất phản ứng hạt nhân A = e −Γh0 , trong đó h0 = H (0) , H(0) là thế màn ( Ze) 2 / a chắn ở khoảng cách tính theo khoảng cách hạt nhân. Bên cạnh đó trong vật lí thống kê, thế màn chắn cho phép ta tính các đại lượng nhiệt động lực học phân tử như phần dư ra của nội năng, phần dư ra của năng lượng tự do so với khí lí tưởng. Hơn nữa, thế màn chắn cũng cho phép ta thiết lập phương trình trạng thái của plasma. Từ chương 1, ta có biểu thức hàm phân bố xuyên tâm: g ( R ) = e − βV ( R ) , trong đó β = 1 kT Nếu ta biểu diễn chiều dài và năng lượng theo đơn vị của a là bán kính khối cầu ion ( Ze) 2 R , đồng thời kí hiệu r = , ta suy ra và a a g= (r ) exp[− βV (r )] ⇔ V (r ) = −kT ln g (r ) Từ (2.1.2) ta suy ra ( Ze) 2 + kT ln g (r ) ra ( Ze) 2 ( Ze) 2 ⇔ H (r ) = + ln g (r ) ra Γa 2 1 1  ( Ze) ⇔ H (r ) =  r + Γ ln g (r )  . a H = (r ) ( Ze) 2 , ta có: Như vậy theo quy ước thế năng được tính theo đơn vị của a