MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ CĂN THỨC BẬC HAI
1. Chứng minh 7 là số vô tỉ.
2. a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)
b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2)
3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = x2 + y2.
4. a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy :
b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :
ab
2
ab .
bc ca ab
abc
a
b
c
c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.
5. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = a3 + b3.
6. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : N = a + b.
7. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)
8. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng : a b a b
9. a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a
b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8
10. Chứng minh các bất đẳng thức :
a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)
b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
11. Tìm các giá trị của x sao cho :
a) | 2x – 3 | = | 1 – x | b) x2 – 4x ≤ 5
c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1.
2
2
2
2
12. Tìm các số a, b, c, d biết rằng : a + b + c + d = a(b + c + d)
13. Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001. Với giá trị nào của a và b thì M đạt giá trị nhỏ
nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
14. Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + 3. CMR giá trị nhỏ nhất của P bằng 0.
15. Rút gọn biểu thức : A 2 2 5 3 2
16. Chứng minh rằng, n Z+ , ta luôn có : 1
17. Trục căn thức ở mẫu : a)
1
1 2 5
18 20 2 2 .
1
1
1
....
2
2
3
n
1
b)
.
x x 1
n 1 1 .
18. Tính :
5 3 29 6 20
a)
b) 6 2 5 13 48
19. Cho a 3 5. 3 5
20. Cho b
3 2 2
17 12 2
c)
5 x
3 2 2
17 12 2
3 1 x x 4 3 0
5 x x 3 x 3
5 x x 3
. b có phải là số tự nhiên không ?
b)
2
22. Tính giá trị của biểu thức : M
23. Rút gọn : A
5 3 29 12 5
10 2 . Chứng minh rằng a là số tự nhiên.
21. Giải các phương trình sau :
a)
c)
3 1 x 2
3 1 x 3 3
d) x x 5 5
12 5 29 25 4 21 12 5 29 25 4 21
1
1
1
1
...
.
1 2
2 3
3 4
n 1 n
1
1
1
1
...
2 3
3 4
4 5
2n 2n 1
24. Cho biểu thức : P
a) Rút gọn P.
b) P có phải là số hữu tỉ không ?
1
1
1
1
...
.
2 1 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4
100 99 99 100
1
1
1
...
n.
26. Chứng minh : 1
2
3
n
25. Tính : A
27. Chứng minh các đẳng thức sau :
10 6 4 15 2
5 3 5 10 2 8 d)
a) 4 15
c) 3
b) 4 2 2 6
7 48
2
2
2
3 1
3 1 e) 17 4 9 4 5 5 2
28. Chứng minh các bất đẳng thức sau :
5 5 5 5
10 0
5 5 5 5
5 1
5 1
1
c)
2 0, 2 1,01 0
3 4
3
1 5 3 1 3 5
2 3 1
2 3
3
3 1
d)
3 2 0
2 6
2 6 2 6 2 6
2
27 6 48
a)
2 2
e)
h)
3
b)
2 1
5
2 2
7
2 1 1,9
3 5 7 3
g)
i)
17 12 2 2 3 1
2 2 3 2 2
0,8
4
1
2 n 2 n 1 . Từ đó suy ra:
n
1
1
1
2004 1
...
2005
2
3
1006009
2 3 4
3
b)
30. Trục căn thức ở mẫu : a)
.
3
2 3 6 8 4
2 2 3 4
3 2
3 2
và y=
31. Cho x
. Tính A = 5x2 + 6xy + 5y2.
3 2
3 2
2002
2003
2002 2003 .
32. Chứng minh bất đẳng thức sau :
2003
2002
x 2 3xy y 2
A
33. Tính giá trị của biểu thức :
với x 3 5 và y 3 5 .
xy2
1
34. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức A
.
2 3 x2
2
1
35. Tìm giá trị nhỏ nhất của A
với 0 < x < 1.
1 x x
y2
x 1
36. Tìm GTLN của : a) A x 1 y 2 biết x + y = 4 ;
b) B
x
y
29. Chứng minh rằng : 2 n 1 2 n
37. Cho a 1997 1996 ; b 1998 1997 . So sánh a với b, số nào lớn hơn ?
38. Tìm GTNN, GTLN của : a) A
39. Tìm giá trị lớn nhất của
40. Tìm giá trị lớn nhất của
41. Tìm GTNN, GTLN của
42. Tìm GTNN, GTLN của
43. Giải phương trình :
1
5 2 6 x2
b) B x 2 2x 4 .
A x 1 x2 .
A = | x – y | biết x2 + 4y2 = 1.
A = x3 + y3 biết x, y ≥ 0 ; x2 + y2 = 1.
A x x y y biết
x y 1.
1 x x 2 3x 2 (x 2)
x 1
3.
x2
44. Giải phương trình : x 2 2x 9 6 4x 2x 2 .
1
1
1
1
...
2.
2 3 2 4 3
(n 1) n
1
1
1
1
...
46. Cho A
. Hãy so sánh A và 1,999.
1.1999
2.1998
3.1997
1999.1
3 2
2 6 ; b 3 2 2 6 4 2 . CMR : a, b là các số hữu tỉ.
47. Cho a
3 2
a 1
a 1
1
4 a a
48. Chứng minh :
4a . (a > 0 ; a ≠ 1)
a 1
a 1
a
1
1
1
...
2 n 2 với n N ; n ≥ 2.
49. Chứng minh 2 n 3
2
3
n
45. CMR, n Z+ , ta có :
50. Tìm phần nguyên của số
6 6 ... 6 6
(có 100 dấu căn).
1
1
1
1
...
2
2 3 2 4 3
(n 1) n
1
1
1
1
...
9 . Chứng minh
52. Cho 25 số tự nhiên a1 , a2 , a3 , … a25 thỏa đk :
a1
a2
a3
a 25
51. CMR, n ≥ 1 , n N :
rằng trong 25 số tự nhiên đó tồn tại 2 số bằng nhau.
Híng dÉn gi¶i
m
m2
(tối giản). Suy ra 7 2 hay 7n 2 m 2 (1). Đẳng thức này
n
n
2
7
chứng tỏ m M mà 7 là số nguyên tố nên m M7. Đặt m = 7k (k Z), ta có m2 = 49k2 (2). Từ (1) và
2
(2) suy ra 7n = 49k2 nên n2 = 7k2 (3). Từ (3) ta lại có n2 M7 và vì 7 là số nguyên tố nên n M7. m và n
m
cùng chia hết cho 7 nên phân số
không tối giản, trái giả thiết. Vậy 7 không phải là số hữu tỉ;
n
do đó 7 là số vô tỉ.
1. Giả sử
7 là số hữu tỉ
7
2. Khai triển vế trái và đặt nhân tử chung, ta được vế phải. Từ a) b) vì (ad – bc)2 ≥ 0.
3. Cách 1 : Từ x + y = 2 ta có y = 2 – x. Do đó : S = x2 + (2 – x)2 = 2(x – 1)2 + 2 ≥ 2.
Vậy min S = 2 x = y = 1.
Cách 2 : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với a = x, c = 1, b = y, d = 1, ta có :
(x + y)2 ≤ (x2 + y2)(1 + 1) 4 ≤ 2(x2 + y2) = 2S S ≥ 2. mim S = 2 khi x = y = 1
bc
ca bc
ab
và
;
và
a
b a
c
bc ca
bc ca
bc ab
bc ab
ca ab
lần lượt có:
2
. 2c;
2
. 2b ;
2
a
b
a b
a
c
a c
b
c
4. b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số dương
ca
ab
và
, ta
b
c
ca ab
. 2a
b c
;
cộng từng vế ta được bất đẳng thức cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
3a 5b
3a.5b .
2
12
12
(3a + 5b)2 ≥ 4.15P (vì P = a.b) 122 ≥ 60P P ≤
max P =
.
5
5
c) Với các số dương 3a và 5b , theo bất đẳng thức Cauchy ta có :
Dấu bằng xảy ra khi 3a = 5b = 12 : 2 a = 2 ; b = 6/5.
5. Ta có b = 1 – a, do đó M = a3 + (1 – a)3 = 3(a – ½)2 + ¼ ≥ ¼ . Dấu “=” xảy ra khi a = ½ .
Vậy min M = ¼ a = b = ½ .
6. Đặt a = 1 + x b3 = 2 – a3 = 2 – (1 + x)3 = 1 – 3x – 3x2 – x3 ≤ 1 – 3x + 3x2 – x3 = (1 – x)3.
Suy ra : b ≤ 1 – x. Ta lại có a = 1 + x, nên : a + b ≤ 1 + x + 1 – x = 2.
Với a = 1, b = 1 thì a3 + b3 = 2 và a + b = 2. Vậy max N = 2 khi a = b = 1.
7. Hiệu của vế trái và vế phải bằng (a – b)2(a + b).
8. Vì | a + b | ≥ 0 , | a – b | ≥ 0 , nên : | a + b | > | a – b | a2 + 2ab + b2 ≥ a2 – 2ab + b2
4ab > 0 ab > 0. Vậy a và b là hai số cùng dấu.
9. a) Xét hiệu : (a + 1)2 – 4a = a2 + 2a + 1 – 4a = a2 – 2a + 1 = (a – 1)2 ≥ 0.
b) Ta có : (a + 1)2 ≥ 4a ; (b + 1)2 ≥ 4b ; (c + 1)2 ≥ 4c và các bất đẳng thức này có hai vế đều dương,
nên : [(a + 1)(b + 1)(c + 1)]2 ≥ 64abc = 64.1 = 82. Vậy (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8.
10. a) Ta có : (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2). Do (a – b)2 ≥ 0, nên (a + b) 2 ≤ 2(a2 + b2).
b) Xét : (a + b + c)2 + (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2. Khai triển và rút gọn, ta được :
3(a2 + b2 + c2). Vậy : (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2).
2x 3 1 x
11. a) 2x 3 1 x
2x 3 x 1
3x 4
x 2
4
x
3
x 2
b) x2 – 4x ≤ 5 (x – 2)2 ≤ 33 | x – 2 | ≤ 3 -3 ≤ x – 2 ≤ 3 -1 ≤ x ≤ 5.
c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1 (2x – 1)2 ≤ 0. Nhưng (2x – 1)2 ≥ 0, nên chỉ có thể : 2x – 1 = 0
Vậy : x = ½ .
12. Viết đẳng thức đã cho dưới dạng : a 2 + b2 + c2 + d2 – ab – ac – ad = 0 (1). Nhân hai vế của (1)
với 4 rồi đưa về dạng : a2 + (a – 2b)2 + (a – 2c)2 + (a – 2d)2 = 0 (2). Do đó ta có :
a = a – 2b = a – 2c = a – 2d = 0 . Suy ra : a = b = c = d = 0.
13. 2M = (a + b – 2)2 + (a – 1)2 + (b – 1)2 + 2.1998 ≥ 2.1998 M ≥ 1998.
a b 2 0
Dấu “ = “ xảy ra khi có đồng thời : a 1 0
Vậy min M = 1998 a = b = 1.
b 1 0
14. Giải tương tự bài 13.
16. Ta có :
Vậy : 1
1
2
k 2 k
2
k k 1
2
k 1 k
k 1 k
k 1 k
2
k 1 k .
1
1
1
...
2( 2 1) 2( 3 2) 2( 4 3) ... 2( n 1 n ) =
2
3
n
= 2( n 1 1) (đpcm).
22. Đưa các biểu thức dưới dấu căn về dạng các bình phương đúng. M = -2
23. Trục căn thức ở mẫu từng hạng tử. Kết quả : A = n - 1.
24. Ta có :
1
a a 1
( a a 1) P ( 2 2n 1) .
P không phải là số hữu tỉ (chứng minh bằng phản chứng).
1
1
1
9
A
10
(n 1) n n n 1
n
n 1
1
1
1
1
1
...
.n n .
26. 1
2
3
4
n
n
1
2
34. Ta phải có A ≤ 3 . Dễ thấy A > 0. Ta xét biểu thức : B 2 3 x . Ta có :
A
25. Ta hãy chứng minh :
0 3 x2 3 3 3 x2 0 2 3 2 3 x2 2 .
1
2 3
min B 2 3
3 3 x 2 x 0 . Khi đó max A
2 3
1
max B 2
3 x 2 0 x 3 . Khi đó min A =
2
2x 1 x
35. Để áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta xét biểu thức : B
. Khi đó :
1 x
x
2x 1 x
(1)
2x 1 x
B 2
.
2 2 . B 2 2 1 x
x
1 x x
0 x 1 (2)
Giải (1) : 2x2 = (1 – x)2 x 2 = 1 – x . Do 0 < x < 1 nên x 2 = 1 – x
1
2 1.
2 1
Như vậy min B = 2 2 x = 2 - 1.
1 2x 1 x 2 2x 1 1 x
2
2 1 3
Bây giờ ta xét hiệu : A B
x 1 x
x
1 x x 1 x
x=
Do đó min A = 2 2 + 3 khi và chỉ khi x = 2 - 1.
36. a) Điều kiện : x ≥ 1 , y ≥ 2. Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm giảm một tổng :
ab
2
ab . Ở đây ta muốn làm tăng một tổng. Ta dùng bất đẳng thức : a b
2(a 2 b 2 )
A x 1 y 2 2(x 1 y 3) 2
x 1 y 2
x 1,5
max A 2
x y 4
y 2,5
Cách khác : Xét A2 rồi dùng bất đẳng thức Cauchy.
b) Điều kiện : x ≥ 1 , y ≥ 2. Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm trội một tích :
Ta xem các biểu thức
x 1 , y 2 là các tích :
x 1 1.(x 1) , y 2
x 1 1.(x 1) 1 x 1 1
x
x
2x
2
y2
2.(y 2) 2 y 2
1
2
y
4
y 2
2y 2
2 2
Theo bất đẳng thức Cauchy :
ab
2
2(y 2)
ab
2
max B
x 1 1
y22
1
2 2 2
2 4
4
x 2
y 4
1
1
,b
. Ta thấy 1997 1996 1998 1997
1997 1996
1998 1997
37. a
Nên a < b.
38. a) min A = 5 - 2 6 với x = 0. max A =
b) min B = 0 với x = 1 ±
5 . max B =
1
với x = ±
5
6.
5 với x = 1
x 2 (1 x 2 ) 1
39. Xét – 1 ≤ x ≤ 0 thì A ≤ 0. Xét 0 ≤ x ≤ 1 thì A x (1 x )
.
2
2
2
2
x 1 x
1
2
max A
x
2
2
x 0
2
2
40. A = x – y ≥ 0, do đó A lớn nhất khi và chi khi A2 lớn nhất. Theo bđt Bunhiacôpxki :
2
1
5
1
A (x y) 1.x .2y 1 (x 2 4y 2 )
2
4
4
2
2
max A =
1
2y
2
x
x 2 4y 2 1
5
2
2 5
2 5
x
x
5
5
hoặc
5
y 5
y 10
10
41. a) Tìm giá trị lớn nhất : Từ giả thiết :
x3 x2
x 3 y3 x 2 y 2 1
3
2
y y
x3 x 2
max A 1 3
x 0, y 1 V x 1, y 0
2
y y
xy
1 . Do đó :
b) Tìm giá trị nhỏ nhất : (x + y)2 ≤ 2(x2 + y2) = 2 x + y ≤ 2
2
x 3 y3 x y . Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki :
3
3
x y
2
2
2
2
2
2
(x 3 y3 )(x y) x 3 y3 x y x 3 . x y 3 . y = (x2 + y2) = 1
1
2
min A
xy
2
2
0 x 1
0 y 1
42. Đặt
x a ; y b , ta có a, b ≥ 0, a + b = 1.
A = a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) = a2 – ab + b2 = (a + b)2 – 3ab = 1 – 3ab.
Do ab ≥ 0 nên A ≤ 1. max A = 1 a = 0 hoặc b = 0 x = 0 hoặc x = 1, y = 0.
(a b) 2
4
Ta có ab
1
4
ab
1
4
1 3ab
1
. min A
4
43. Điều kiện : 1 – x ≥ 0 , 2 – x ≥ 0 nên x ≤ 1. Ta có :
1 x (x 1)(x 2) x 2
x 1
3
x2
1
4
x
y
1
4
1 x (x 1)(x 2) (x 1)(x 2) 3
1 x 3
x 8 .
44. Ta có : 6 + 4x + 2x2 = 2(x2 + 2x + 1) + 4 = 2(x + 1)2 + 4 > 0 với mọi x. Vậy phương trình xác
định với mọi giá trị của x. Đặt x 2 2x 3 = y ≥ 0, phương trình có dạng :
y 3 2
y2 - y 2 - 12 = 0 (y - 3 2 )(y + 2 2 ) = 0
y 2 2 (loai vì y 0
2
x 2 2x 3 = 3 2 x + 2x + 3 = 18 (x – 3)(x + 5) = 0 x = 3 ; x = -5 .
1
1
1
1 1
1
1
1
k.
k
45. Ta có :
k
(k 1)k
(k 1) k
k 1 k
k 1
k k 1
k
k 1
1
1
1
1
2
= 1
. Do đó :
.
k 1 k
k 1
(k 1) k
k 1
k
1
1
1
1
1 1
1
1
1
...
2 1
Vậy :
2
... 2
2 3 2 4 3
(n 1) n
2 2
3
n 1
n
1
= 2 1
2 (đpcm).
n 1
1
2
46. Dùng bất đẳng thức Cauchy
(a, b > 0 ; a ≠ 0).
ab a b
1
1
1
...
49. Đặt A
.
2
3
n
a) Chứng minh A 2 n 3 : Làm giảm mỗi số hạng của A :
1
2
2
2 k 1 k .
k
k k
k 1 k
Do đó A 2 2 3 3 4 ... n n 1
2 n 1 2 2 n 1 2 2 2 n 1 3 2 n 3 .
Do đó
b) Chứng minh A 2 n 2 : Làm trội mỗi số hạng của A :
1
2
2
2 k k 1
k
k k
k k 1
Do đó : A 2 n n 1 ... 3 2 2 1 2 n 2 .
50. Kí hiệu a 6 6 ... 6 6 có n dấu căn. Ta có :
n
a1 6 3 ; a 2 6 a1 6 3 3 ; a 3 6 a 2 6 3 3 ... a100 6 a 99 6 3 3
Hiển nhiên a100 >
6 > 2. Như vậy 2 < a100 < 3, do đó [ a100 ] = 2.
205. a) Cách 1 (tính trực tiếp) : a2 = (2 + 3 )2 = 7 + 4 3 .
Ta có 4 3 48 nên 6 < 4 3 < 7 13 < a2 < 14. Vậy [ a2 ] = 13.
Cách 2 (tính gián tiếp) : Đặt x = (2 + 3 )2 thì x = 7 + 4 3 .
Xét biểu thức y = (2 - 3 )2 thì y = 7 - 4 3 . Suy ra x + y = 14.
Dễ thấy 0 < 2 - 3 < 1 nên 0 < (2- 3 )2 < 1, tức là 0 < y < 1. Do đó 13 < x < 14.
Vậy [ x ] = 13 tức là [ a2 ] = 13.
b) Đáp số : [ a3 ] = 51.
x y b (1) thì a và b là số hữu tỉ. Xét hai trường hợp :
xy
a
a
x y là số hữu tỉ (2). Từ (1) và (2) ta có :
b
x y b
206. Đặt x – y = a ;
a) Nếu b ≠ 0 thì
1
a
1
a
x b là số hữu tỉ ; y b là số hữu tỉ.
2
b
2
b
b) Nếu b = 0 thì x = y = 0, hiển nhiên x , y là số hữu tỉ.
1
n
1
1 1
1
1
1
n
n
(n 1) n n(n 1)
n 1 n
n 1
n n 1
n
n 1
1
1
1
1
2
. Từ đó ta giải được bài toán.
n 1 n
n 1
n 1
n
51. Ta có
52. Chứng minh bằng phản chứng. Giả sử trong 25 số tự nhiên đã cho, không có hai số nào bằng
nhau. Không mất tính tổng quát, giả sử a1 < a2 < …. < a25. Suy ra : a1 ≥ 1 , a2 ≥ 2 , …
a25 ≥ 25. Thế thì :
1
1
1
1
1
1
....
....
a1
a2
a 25
1
2
25
(1). Ta lại có :
1
1
1
1
2
2
2
....
....
1
25
24
2
1
25 25
24 24
2 2
2
2
2
....
1 2 25 24 24 23 .... 2 1 1
24 24
23 23
2 2
2
Từ (1) và (2) suy ra :
25 1 1 9
(2)
1
1
1
....
9 , trái với giả thiết. Vậy tồn tại hai số bằng nhau
a1
a2
a 25
trong 25 số a1 , a2 , … , a25.
- Xem thêm -
.DOC 
8 
97 
119 
