Tài liệu Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn toán 9 – thcs qua các năm đến 2019 (có đáp án chi tiết)

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)” ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ SỐ: 30 MÔN: TOÁN - LỚP 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi HSG Toán 9 –H. Thiệu Hóa - Năm học 2018 – 2019) ĐỀ BÀI FF IC IA L Câu 1 (4,0 điểm). 1 1 a2 + 1 1 1) Tìm giá trị của a thỏa mãn A < . Biết A = . + − 2 3 2 + 2 a 2 − 2 a 1− a 2) Cho số thực x thỏa mãn x 2 − 2019 x + 2 = 0 . Tính giá trị biểu thức P = Câu 2 (4,0 điểm). 1) Giải phương trình: x4 + 4 . x2 2 O x + 8 + 6 x −1 + x + 3 − 4 x −1 = 5 . 2 2       Ơ  N 1 1 1 1 2) Giải phương trình: 8  x +  + 4  x 2 + 2  − 4  x 2 + 2   x +  = ( x + 4 )2 . x x x x Câu 3 (4,0 điểm). H 1) Cho đường thẳng (d): y = kx + 3 (k là tham số). N a) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị Y của k. U b) Tìm giá trị của k để khoảng cách từ gốc tọa độ tới đường thẳng (d) bằng 2. Câu 4 (6,0điểm). Q 2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 y 2 x + x + y + 1 = x 2 + 2 y 2 + xy . M 1) Cho đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB, vẽ KÈ tia Ax vuông góc với AB và vẽ tia By vuông góc với AB. Gọi O là trung điểm của đoạn · · thẳng AB và C là một điểm thuộc tia Ax. Vẽ tia Cz sao cho OCz và tia Cz cắt By = OCA ẠY tại D ( AC < BD ) . Hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại E. D a) Kẻ OH vuông góc với CD. Chứng minh OC 2 .HD = OD 2 .HC . b) Kẻ HK vuông góc với AB. Chứng minh HA2 KA EA . = = HB 2 KB EB 2) Cho AB và AC là hai tiếp tuyến của (O). Gọi E; F lần lượt là trung điểm của AB; AC. Trên đoạn thẳng EF lấy một điểm M bất kỳ. Từ M kẻ tiếp tuyến MT tới (O). Chứng minh rằng: MA = MT. Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 9 – THCS qua các năm đến 2019 (có đáp án chi tiết) 1 “Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)” Câu 5 (2,0điểm). Ba số thay đổi x, y, z > 1 thỏa mãn điều kiện trị nhỏ nhất của biểu thức M = x + y + z = xyz . Hãy tính giá y−2 z−2 x−2 + 2 + 2 . x2 y z ----------------– Hết –--------------------- FF IC IA L Câu HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 30 ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 (Đề thi HSG Toán 9 –H. Thiệu Hóa - Năm học 2018 – 2019) Nội dung Điểm 1) Điều kiện: a ≥ 0; a ≠ 1 1 1 a2 + 1 1 − a + 1 + a a2 + 1 Ta có: A = + − = − 2 2 (1 − a ) 1 − a2 2 + 2 a 2 − 2 a 1− a 1 a2 + 1 1 + a − a2 − 1 a − a2 a . − = = = 2 2 2 1− a 1− a 1− a 1− a 1+ a O = Ta có: A < 1 ⇔ a < 1 ⇔ a − 1 < 0 ⇔ 2 a − 1 < 0 1+ a 3 3(1 + a ) N 1+ a 3 3 1,5 1,0 (*) N H Ơ 1 1 (4,0đ) Do a ≥ 0 nên 3(1 + a ) > 0 . Suy ra (*) ⇔ 2a − 1 < 0 ⇔ a < . 2 1 1 Kết hợp a ≥ 0; a ≠ 1, ta có A < ⇔ 0 ≤ a < . 3 2 2) Ta có: x 4 + 4 ( x 2 + 2) 2 − (2 x ) 2 ( x 2 + 2 + 2 x)( x 2 + 2 − 2 x ) (2019 x + 2 x )(2019 x − 2 x ) = = = x2 x2 x2 x2 2 2 2 2019 x − 4 x = = (2019 − 2)(2019 + 2) = 2017.2021 x2 1,5 Q U Y P= 2 1) pt: x + 8 + 6 x − 1 + x + 3 − 4 x − 1 = 5 (1). ĐKXĐ: (4,0đ) (1) ⇔ ( x − 1 + 3) 2 + ( x − 1 − 2) 2 = 5 ⇔ x − 1 + 3 + x − 1 − 2 = 5 (vì x − 1 + 3 > 0) (2) x ≥1 M 0,25 0,5 D ẠY KÈ +) Nếu x − 1 ≥ 2 ⇔ x ≥ 5 (2) ⇔ x − 1 + 3 + x − 1 − 2 = 5 ⇔ 2 x − 1 = 4 ⇔ x = 5 (chọn) +) Nếu 0 ≤ x − 1 < 2 ⇔ 1 ≤ x < 5 (2) ⇔ x − 1 + 3 + 2 − x − 1 = 5 ⇔ 0 = 0 pt nghiệm đúng ∀ x :1 ≤ x < 5 Vậy nghiệm của pt : 1 ≤ x ≤ 5 2 2 ĐKXĐ :    0,5 0,25 2 1 1 1 1 2) Giải pt : 8  x +  + 4  x 2 + 2  − 4  x 2 + 2   x +  = ( x + 4 )2 x x x x  0,5    (*) x≠0 2,0 0,5 2 Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 9 – THCS qua các năm đến 2019 (có đáp án chi tiết) “Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)” 2 2   (*) ⇔ 8  x + 1  + 4  x 2 + 12   x 2 + 12 −  x + 1   = ( x + 4 )2 x x   x  x     1,0 2 1 1  2   ⇔ 8  x +  − 8  x 2 + 2  = ( x + 4 ) ⇔ ( x + 4) 2 = 16 ⇔ x = −8 (chọn) hoặc x x    x = −8 0,5 FF IC IA L x = 0 (loại) Vậy phương trình có nghiệm : 1a) Điều kiện để (d) đi qua điểm cố định M(x0, y0) với mọi giá trị của k là: xk − y + 3 = 0 ∀k ⇔ x0 k − y0 + 3 = 0 ∀k x0 = 0  x = 0 . ⇔ ⇔ 0  − y0 + 3 = 0  y0 = 3 1,0 Vậy (d) đi qua điểm cố định M(0; 3) 1b) Vì (d) luôn đi qua điểm M(0 ;3) ⇒ OM = 3 ∀k . 0,25 O Gọi N ( x1 ; y1 ) là giao điểm của (d) với trực Ox ⇒ N  − 3 ; 0  ⇒ ON = − 3  k  0,25 k H 1 1 1 1 1 k 5 5 = + ⇔ 2 = 2+ ⇔ k2 = ⇔ k = ± 2 2 2 OH OM ON 2 3 9 4 2 Vậ y k = ± 5 . 2 2) Ta có 2 y 2 x + x + y + 1 = x 2 + 2 y 2 + xy ⇔ 2 y 2 ( x − 1) − x( x − 1) − y ( x − 1) + 1 = 0 (1) +) x = 1 không là nghiệm của (1) 0,5 Y U Q +) Chia cả hai vế của (1) cho ta có: 2 y 2 − x − y + 0,5 1 =0 x −1 x = 2  y = 1 x = 0 ⇒  y = 1   nghiệm nguyên ( x; y ) ∈ {(2;1);(0;1)} 1 ∈ ¢ nên x − 1 = ±1 ⇔ x −1 M Với x, y ∈ ¢ ⇒ x −1, KÈ Vậy phương trình đã cho có 0,25 0,25 N 3 (4,0đ) 2 Ơ N Kẻ OH vuông góc với đường thẳng (d). Khi đó áp dụng hệ thức lượng trong tam giác MON vuông tại O đường cao OH : 0,5 0,5 y ẠY x D H 4 (6,0đ) D C Q P E A K O B · 1a) Ta có ∆AOC = ∆HOC (ch − gn) ⇒ ·AOC = COH ⇒ OC phân giác · AOH · · · Cmtt : OD phân giác HOB kề bù nên COD = 90 0 .Mà ·AOH và HOB 2,0 3 Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 9 – THCS qua các năm đến 2019 (có đáp án chi tiết) “Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)” Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông OCD ta có : OC 2 CH .CD CH = = ⇒ OC 2 .DH = OD 2 .HC 2 OD DH .CD DH 1b) HS chứng minh được: HPOQ là hình chữ nhật. Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông HAB ta có: HA2 AK . AB AK = = HB 2 KB. AB BK FF IC IA L (1) Mặt khác: CA / / HK / / DB ( ⊥ AB ) nên suy ra 2,0 AK HC AC EA (vì HC = AC , HD = DB ) = = = BK HD BD EB HA2 AK EA Từ (1) và (2) suy ra: = = HB 2 BK EB (2) B O E M O N K F T N 2) Giả sử OA cắt EF tại K. Ta có: MT ⊥ OT ( gt ) . Xét ∆OMT vuông tại T, ta có: H C Ơ A Y 0,5 MT 2 = OM 2 − OT 2 = MK 2 + OK 2 − OT 2 U 2 = AK + M K 2 2 1,0 Q AM vuông tại K, ta có: ∆ AM K Xét Suy ra: MT 2 − AM 2 = OK 2 − OT 2 − AK 2 = (OK 2 − AK 2 ) − OT 2 = (OK − AK )(OK + AK ) − OT 2 = (OK − KH )OA − OT 2 = OH .OA − OC 2 M Trong ∆OAC vuông tại C, ta có: OC 2 = OH .OA Do đó MT 2 − MA 2 = 0 ⇔ MT 2 = MA2 ⇔ MT = MA (đpcm). KÈ 0,5 1 1 1 + + = 1 . Ta biến đổi biểu thức M như sau: xy yz zx ( x − 1) + (y − 1) ( y − 1) + ( z − 1) ( z − 1) + ( x − 1)  1 1 1  M = + + − + +  x2 y2 z2 x y z D ẠY Từ gt suy ra : 5 (2,0đ)  1  1 1  1  1  1 1 1  1 = ( x − 1)  2 + 2  + ( y − 1)  2 + 2  + ( z − 1)  2 + 2  −  + +  z  y  z  x y z x x y 2( x − 1) 2( y − 1) 2( z − 1)  1 1 1  1 1 1 ≥ + + − + +  = + + −2 xz xy yz x y z x y z 1 1 1 2  1 1 2,0 1 Vì  + +  ≥ 3  + +  = 3 ⇒ M ≥ 3 − 2 . x y z  xy yz zx  Dấu " = " xảy ra ⇔ x = y = z = 3 . Vậy min M = 3 − 2 ⇔ x = y = z = (Lưu ý: Học sinh có cách giải khác đúng vẫn cho số điểm tương đương) 3 4 Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 9 – THCS qua các năm đến 2019 (có đáp án chi tiết) “Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)” ĐỀ BÀI Câu 1 (4.0 điểm)  x   x +3 x +2 FF IC IA L ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ SỐ: 29 MÔN: TOÁN - LỚP 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi HSG Toán 9 –H. Đông Sơn - Năm học 2018 – 2019) x +2  N O :  1.Cho biểu thức M = 1 −   x − 2 + 3− x + x −5 x + 6 + x 1     a. Rút gọn M b. Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức M nhận giá trị là số nguyên 2. Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c + abc = 4 . Tính giá trị của biểu thức: A = a (4 − b)(4 − c) + b(4 − c)(4 − a ) + c(4 − a )(4 − b) − abc . N H Ơ Câu 2 (4.0 điểm) 1.Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 2xy2 + x +y +1 = x2 +2y2+xy 2. Giải phương trình : 2 x − 2 − 6 x − 9 = 16 x 2 − 48 x + 35 M Q U Y Câu 3 (4.0 điểm) 1.Chứng minh rằng với mọi n là số tự nhiên thì A= ( 10n + 10n-1 +…+ 10 + 1) ( 10n+1+5) +1 là số chính phương nhưng không phải lập phương của một số tự nhiên. y2 1  x2 + =  2 2 2. Tìm các cặp số thực (x;y) thỏa mãn các điều kiện:  ( y + 1) ( x + 1) 2 3xy = x + y + 1.  D ẠY KÈ Câu 4 (6.0 điểm) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông tại A với đường cao AH. Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và B cắt nhau tại M, CM cắt AH tại I, OM cắt AB tại J a. Chứng minh hai tam giác MOB và ACH đồng dạng b. Chứng minh I là trung điểm của AH c. Cho BC = 2R và OM = x. Tính AB và AH theo R và x d. Tính giá trị lớn nhất của AH khi x thay đổi Câu 5 (2.0 điểm) Cho các số thực dương x, y thoả mãn điều kiện xy ( x − y) = x + y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = x+y ----------------------Hết--------------------5 Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 9 – THCS qua các năm đến 2019 (có đáp án chi tiết) “Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)” HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 29 ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 (Đề thi HSG Toán 9 –H. Đông Sơn - Năm học 2018 – 2019) . Câu Điểm Nội dung M= FF IC IA L 1. (3,0 điểm) a. ĐKXĐ: x ≥ 0 ; x ≠ 4; x ≠ 9 0,5 x −2 x +1 1,5 3 x −2 =1 − x +1 x +1 Để M nguyên => x +1∈ Ư(3) ⇔ x + 1∈ {1;3} b, M= O N 0,5 0,5 0,25 Ơ 1 ( Vì x + 1 > 0∀x ∈ ĐKXĐ) => x= 0 ( thỏa mãn ĐKXĐ) x = 4 ( Không thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy x= 0 thì M nhận giá trị nguyên 2. (1,0 điểm) 0,25 H A = a (4 − b)(4 − c) + b(4 − c)(4 − a ) + c(4 − a )(4 − b) − abc Ta có: N a + b + c + abc = 4 ⇔ 4a + 4b + 4c + 4 abc = 16 0,5 Y ⇒ a(4 − b)(4 − c) = a(16 − 4b − 4c + bc) = a (2 a + bc ) 2 = a (2 a + bc ) = 2a + abc U Tương tự: Q b(4 − c)(4 − a) = 2b + abc , c(4 − a )(4 − b) = 2c + abc 0,5 0,5 ⇒ A = 2(a + b + c) + 3 abc − abc = 2(a + b + c + abc ) = 8 M 0,5 ẠY KÈ 1.(2,0 điểm) Ta có 2xy2 +x +y +1 = x2+ 2y2 +xy 2 ⇔ 2y ( x- 1) – x( x-1) – y( x-1) +1 = 0 (1) Nhận thấy x= 1 không phải là nghiệm của phương trình (1) chia cả hai vế cho x-1 ta được D 2 2y2 –x –y + Vì pt có nghiệm x,y nguyên nên ⇒ x ∈ {0;2} 0,5 1 = 0(2) x −1 1 nguyên nên x-1 ∈ {± 1} x −1 1 2 1 Thay x= 2 vào (2) ta được 2y2 –y – 1=0 => y =1; y = − 2 Vậy (x,y) ∈ {(0;1); (2;1)} 0,75 Thay x= 0 vào (2) ta được 2y2 –y -1 = 0 => y = 1; y = − 0,5 0,25 6 Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 9 – THCS qua các năm đến 2019 (có đáp án chi tiết) “Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)” Câu Điểm Nội dung 2.(2,0 điểm) 3 2 2 x − 2 − 6 x − 9 = 16 x 2 − 48 x + 35 7 − 4x ⇔ = (7 − 4 x )(5 − 4 x ) 2x − 2 + 6x − 9 0,25 ĐK: x ≥ FF IC IA L 0,5   1 ⇔ (7 − 4 x ) + 4x − 5 = 0  2x − 2 + 6x − 9  3 1 Vì x ≥ nên + 4x − 5 > 0 2 2x − 2 + 6x − 9 7 4 7 Vậy pt có nghiệm : x = 4 0,5 0,5 O Suy ra : 7 − 4 x = 0 ⇒ x = (tm) 10 n+1 − 1 n+1 10 + 5 + 1 9 10 2( n+1) + 4.10 n +1 − 5 + 9 = 9 Ơ H 2 Q Vậy A là số chính phương 2 2 2 Mặt khác 33 1 2... 3 34 = 2 . 1666 1 2 3...7 = A M n n −1 Do A Μ2 nhưng A không chia hết cho 8 nên A không thể là lập phương của một số tự nhiên 2. (2,0 điểm) Điều kiện: x ≠ −1; y ≠ −1 y2 1  x2 + =  ( y + 1) 2 ( x + 1) 2 2  Theo gt ta có   x . y =1  y + 1 x + 1 4 1  2 u + v2 =  x y  2 Đặt u = ;v= , khi đó :  y +1 x +1 uv = 1  4 KÈ ẠY D 0,5 U n 3 0,5 Y  10 n+1 + 2   Ta có =  3   2 = 33 1 2... 3 34 ) N ( A= N 1. (2,0 điểm) 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 7 Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 9 – THCS qua các năm đến 2019 (có đáp án chi tiết) “Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)” Nội dung ( u + v )2 = 1 u 2 + v 2 + 2uv = 1 ⇔ 2 ⇔ 2 2 u + v − 2uv = 0 ( u − v ) = 0 1 1 Suy ra u = v = hoặc u = v = − 2 2  y + 1 = 2x 1 Nếu u = v = thì  ⇔ x = y = 1 (thỏa mãn) 2 x + 1 = 2 y  y + 1 = −2 x 1 1 Nếu u = v = thì  ⇔ x = y = − (thỏa mãn) 2 3  x + 1 = −2 y 1 Vậy : x = y = 1; x = y = − 3 Điểm 0,75 0,75 N H Ơ N O FF IC IA L Câu Q U Y 4 2,0 D ẠY KÈ M a. (2,0 điểm) Chứng minh ∆MOB ∼ ∆ACH Ta có MA = MB ( T/c tiếp tuyến) OA = OB = R => OM là trung trực của đoạn AB => OM vuông góc với AB tại J nên OM // AC => MOˆ B = ACˆ H => ∆MOB ∼ ∆ACH (g.g) b.(1,5 điểm) Trong ∆CMB có HI//BM nên ∆MOB ∼ ∆ACH => HI CH = (1) BM CB 1,5 HA CH = (2) BM OB Chia (1) cho (2) theo từng vế ta được HI OB 1 = = HA CB 2 => I là trung điểm của AH c.(0,75 điểm) ∆MOB vuông ở B nên OB2 = OJ . OM => OJ = 8 Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 9 – THCS qua các năm đến 2019 (có đáp án chi tiết) “Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)” Câu Điểm Nội dung 2 2 OB R = OM x  R2  R 2 (x 2 − R 2 ) 2 2 2  = ∆ OJB vuông ở J nên BJ = OB – OJ = R 2 −  => BJ x2  x  R 2 x − R 2 vớ i x > R = x 4R 4 2 2 2 ∆ ABC vuông ở A nên AC = BC – AB = 2 x 2 2R => AC = x 0,75 FF IC IA L 2 Lại có BC . AH = AB . AC x 2 − R 2 với x > R O AB. AC 2 R 2 = 2 BC x => AH = d.(0,75 điểm) Ta chứng minh: AH ≤ R (3) 2R 2 <=> 2 x x −R ≤ R <=> 2R x − R ≤ x 2 2 2 0,75 2 N 2 Q U Y N H Ơ <=> 4R2 ( x2 – R2) ≤ x4 <=> x4 – 4R2 x2 + 4R4 ≥ 0 <=> (x2 – 2R2)2 ≥ 0 với ∀ x > R Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x2 – 2R2 = 0 <=> x = R 2 Vậy AH đạt giá trị lớn nhất bằng R khi x = R 2 (2,0 điểm) Do x, y > 0 và xy ( x − y) = x + y ta suy ra x > y > 0 và xy(x-y)2 = (x+y)2 (1) Đặt a = x+ y; b = xy (a, b > 0 ; a2 ≥ 4b) 2 2 2 2 Ta có: (1) ⇔ b(a − 4b) = a ⇔ a (b − 1) = 4b M Suy ra: b-1 > 0 và b 2 4b 2 a2 = b −1 1 0.25 0.25 1 1 Lại có: b − 1 = b + 1 + b − 1 = (b − 1) + b − 1 + 2 ≥ 2 (b − 1). b − 1 + 2 = 4 (theo bđt cô si) 2 Do đó: a ≥ 16. Mà a > 0 nên a ≥ 4 ⇒ x + y ≥ 4 KÈ D ẠY 5 0.25 0.25 0.25 1 2 Dấu “=” xảy ra khi b − 1 = b − 1 ⇔ (b − 1) = 1 ⇔ b = 2  x = 2 + 2 x + y = 4 Khi đó:  xy = 2 ⇔  (Vì x > y)  y = 2 − 2  Vậy Min (x+y)=4 khi x = 2 + 2 ; y = 2 − 2 . 0.25 0.25 0.25 ---------------------------------Hết---------------------9 “Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)” ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ SỐ: 28 MÔN: TOÁN - LỚP 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H. Thiệu Hóa, ngày 24/10/2017-Năm học 2017 - 2018 FF IC IA L ĐỀ BÀI Câu 1: (4,0 điểm) 1 1   2x + x − 1 2x x + x − x  − +   : x   1− x 1+ x x 1− x   Cho biểu thức A =  O a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của A khi x = 17 − 12 2 c) So sánh A với A . Câu 2: (4,0 điểm) a) Giải phương trình : 3x + 6x +12 + 5x −10x + 9 = 3− 4x − 2x . 2 2 2 b) Tìm các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn: 2xy + x + y +1 = x + 2 y + xy. Câu 3: (4,0 điểm) 4 2 2 H Ơ N 2 a) Cho a, b, c là 3 số nguyên thỏa mãn: a + b + c = 24102017 . N Chứng minh rằng: a5 + b5 + c5 chia hết cho 5. Y b) Cho a, b, c, d là các số hữu tỉ khác 0 thỏa mãn điều kiện: a + b + c + d = 0 . Q U Chứng minh rằng: M = (ab − cd )(bc − da)(ca − bd ) là số hữu tỉ. Câu 4: (5,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. M a) Chứng minh rằng: ∆ AEF ∆ ABC và ( S AEF = cos 2 Α. S ABC ) KÈ 2 2 2 b) Chứng minh rằng : SDEF = 1−cos A−cos B−cos C .SABC c) Nếu HA HB HC + + = BC AC AB 3 thì khi đó tam giác ABC là tam giác gì? D ẠY Câu 5: (1,0 điểm) Cho tam giác đều ABC; các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB sao cho · . BD cắt CE tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC. Tính BPE Câu 6: (2,0 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x 2 + xyz + y 2 + xyz + z 2 + xyz + 9 xyz -------------------------------------- Hết --------------------------------------- 10 “Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)” HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 28 ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H. Thiệu Hóa, ngày 24/10/2017-Năm học 2017 - 2018 Ý a 1   2x + x − 1 2x x + x − x   1  1  A= − +   x > 0;x ≠ ;x ≠ 1   :  1 − x 4 x  1+ x x  1− x  ( ( ) x −1 1 ( ) : 2 x −1 : (1 − x )(1 − 1 : ) (1 − x )(1 − x −1 x +x ( ) 2 Q ( ) 1 − 3 − 2 2 + 17 − 12 2 3−2 2 KÈ M A= ) ) ) ) ) 0,5 0.25 0,5 1− x + x x 0,5 = (3 − 2 2 ) 2 = 3−2 2 = 3−2 2 ( ) ⇒A= x+ 0,25 1− x + x 1 = x+ −1 x x 1 1 x+ > 2 với mọi x > 0;x ≠ ;x ≠ 1 4 x 1 −1 > 1 ⇒ A > 1 ⇒ A −1 > 0 ⇒ A x ( 0,25 0,25 ) A −1 > 0 ⇒A− A >0⇒A > A 0,25 0,5 15 − 10 2 5 3 − 2 2 = =5 3−2 2 3−2 2 Biến đổi ta được: A = Chứng minh được ẠY ) = x +x 0,25 Ta có 1,0đ x = 17 − 12 2 = 3 − 2 2 ⇒ x = D ( 1− x + x + x 1− x Y x ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) U = x ( ) 2 x −1 = )( )( )( O ) ( ( ) ( ( 1,0đ ) N ( Ơ (4điểm) c FF IC IA L ( H = 1 b Điểm  x 2x + x − 1  x − 1 + x  2x + 2 x − x − 1  : +  x 1− x 1− x 1+ x 1+ x 1− x + x     x x +1 2 x −1  2 x −1  x +1 2 x −1  = : + x x −1  1− x 1+ x 1+ x 1− x + x     1  2 x −1  x :  2 x − 1  = +   1 − x 1 − x + x x x − 1     2,0đ N Câu . Tóm tắt cách giải 0,25 0,25 Ta có: a VT = = 3 x 2 + 6 x + 12 + 3( x + 1) 2 + 9 + 5 x 4 − 10 x 2 + 9 5( x 2 − 1) 2 + 4 ≥ 9+ 4 =5 11 “Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)” 2đ Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = −1 V P = 3 − 4 x − 2 x = 5 − 2( x + 1) ≤ 5 2 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = −1 ⇒ VT = VP ⇔ x = −1 2xy2 + x + y +1 = x2 + 2y2 + xy ⇔ 2 y ( x − 1) − x(x − 1) − y (x − 1) + 1 = 0 (1) 2 2 0,5 FF IC IA L Ta có: 2đ 0,5 0,5 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = −1 b 0,5 2 0,25 Nhận thấy x = 1 không phải là nghiệm của PT (1). Chia cả 2 vế của phương trình cho x – 1, ta được: (4 điểm) 2y2 − x − y + 1 =0 x −1 1 nguyên x −1 Ơ N O PT có nghiệm x, y nguyên, suy ra nên x – 1 ∈ {− 1 ;1 } • x – 1 = -1 x=0 • x–1=1 x=2 (2) 1 Thay x = 0 vào PT(2) ta được: 2 y − y − 1 = 0 ⇔ y = 1 ; y = − 2 1 Thay x = 2 vào PT(2) ta được: 2 y 2 − y − 1 = 0 ⇔ y = 1 ; y = − 2 Vậy phương trình đã cho nghiệm nguyên ( x ; y ) ∈ {( 0;1) ; ( 2;1)} . 0,25 0,5 0,25 N H 2 Ta có a5 - a = a( a4 - 1) = a( a2 - 1)( a2 + 1) = a( a2- 1)( a2 - 4 + 5) = a( a2- 1)( a2 - 4) + 5 a(a2 - 1) 2đ = a(a - 1)(a + 1)(a -2) (a +2) + 5 a( a - 1)( a+ 1) Vì a - 2; a - 1; a; a + 1; a + 2 là 5 số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 5 suy ra (a -2) (a - 1)a( a + 1)( a+ 2) chia hết cho 5 (*) Mặt khác 5a(a - 1)( a+ 1) chia hết cho 5 (**) U M (4 điểm) Q 3 Y a 2đ 0,5 0,25 0,25 0,5 (1) Từ (*) và (**) suy ra a – a chia hết cho 5 5 5 tương tự có b – b chia hết cho 5 (2), c – c chia hết cho 5 (3) Từ (1) (2) (3) suy ra a5 – a + b5 – b + c5 – c chia hết cho 5 Mà a + b+ c = 24102017 chia hết cho 5 Nên a5 + b5 + c5 chia hết cho 5 0,25 Ta có: a + b + c + d = 0 ⇔ ad + bd + cd + d 2 = 0 (vì d ≠ 0) 0,5 KÈ ẠY D b 5 0,25 −ad = d 2 + bd + cd  ⇔ −bd = d 2 + cd + ad −cd = d 2 + ad + bd  0,25 0,5 0,25 12 “Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)” M = (ab − cd )(bc − da )(ca − bd ) = (ab + d 2 + ad + bd )(bc + d 2 + bd + cd )(ca + d 2 + cd + ad ) = ( a + d )(b + d )(b + d )(c + d )(a + d )(c + d ) 2 Vì a, b, c, d là các số hữu tỉ nên (a + d )(b + d )(c + d ) hữu tỉ. Vậy M = ( ab − cd )(bc − da)(ca − bd ) là số hữu tỉ 4 N Y a) Tam giác ABE vuông tại E nên cosA = U Tam giác ACF vuông tại F nên cosA = AE AB AF . AC Q AE AF Suy ra = ⇒ ∆AEF : ∆ABC (c.g .c) AB AC 2 M * Từ ∆AEF : ∆ABC suy ra ẠY KÈ b) Tương tự câu a, 0,5 C H D Ơ H B 0,25 N E F là số 0,25 O A (5điểm) D 0,25 [(a + d )(b + d )(c + d )] = (a + d )(b + d )(c + d ) FF IC IA L = S AEF  AE  2 =  = cos A S ABC  AB  S BDF S = cos 2 B, CDE = cos 2 C. S ABC S ABC 0,5 0,5 0,5 0,5 1 Từ đó suy ra S DEF S ABC − S AEF − S BDF − SCDE = = 1 − cos 2 A − cos 2 B − cos 2 C S ABC S ABC 1 Suy ra S DEF = (1 − cos 2 A − cos 2 B − cos 2 C ) .S ABC HC CE HC.HB CE.HB S HBC = ⇒ = = AC CF AC. AB CF . AB S ABC HB.HA S HAB HA.HC S HAC Tương tự: ; . Do đó: = = AC.BC S ABC AB.BC S ABC HC.HB HB.HA HA.HC S HBC + S HCA + S HAB + + = =1 AC. AB AC.BC AB.BC S ABC c) Từ ∆AFC : ∆HEC ⇒ 0,25 0,25 13 “Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)” • Ta chứng minh được: (x + y + z)2 ≥ 3(xy + yz + zx) (*) Áp dụng (*) ta chứng minh được: 0,25 HA HB HC + + ≥ 3 BC AC AB 0,25 Dấu bằng xảy ra khi tam giác ABC đều. (1 điểm) 0,25 O Kẻ EF ⊥ AC tại F, DG ⊥ BC tại G. Theo giả thiết S ADPE = S BPC ⇒ S ACE = S BCD FF IC IA L 5 · · Mà AC = BC ⇒ EF = DG và EAF = DCG = 600 Suy ra ∆AEF = ∆CDG ⇒ AE = CG. 0,25 · · Do đó ∆AEC = ∆CDB(c − g − c) ⇒ DBC = ECA 0,25 Ơ N 0,25 · · · · · ⇒ BPE = PBC + PCB = PCD + PCB = 60 = x ( ( ) x + yz + yz = x N x 2 + xyz + xyz = x (2 điểm) H Áp dụng BĐT côsi ta có ( x + z )( x + y ) + yz Y 6 ) 0 ( x ( x + y + z ) + yz + yz ) 3 1  x + y + x + z y + z  3 1 +  x +  = x+  2  3  2 2  2  3 Q (Vì x + y + z =1) Chứng minh tương tự: KÈ M y 2 + xyz + xyz ≤ z 2 + xyz + xyz ≤ ẠY Mà D 0,25 U ≤ 0,25 3 1 y+  2  3 3 1 z+  2  3 1  x+ y+z xyz ≤   = 3 3 3   Do đó A ≤ 0,25 3 0,25 0,5 3 6 5 5 3 = = (1 + x + y + z ) + 2 3 3 3 3 Vậy GTLN của A = 5 3 1 khi x = y = z = 3 3 0,5 Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. -------------------------------------- Hết --------------------------------------- 14 “Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)” ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ ĐỀ SỐ: 27 MÔN: TOÁN - LỚP 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 – TP. Thanh Hóa -Năm học 2016 - 2017 FF IC IA L ĐỀ BÀI Bài 1: (5,0 điểm) O  x+2 x 1  x −1 + + . Với x ≥ 0, x ≠ 1. Cho biểu thức: P =  : 2 − + + − x x x x x 1 1 1   a) Rút gọn biểu thức P. 2 b) Tìm x để P = . 7 2 c) So sánh: P và 2P. Y N H Ơ N Bài 2: (4,0 điểm) a) Tìm x, y ∈ Z thỏa mãn: 2 y 2 x + x + y + 1 = x 2 + 2 y 2 + xy b) Cho a, b, c là các số nguyên khác 0 thỏa mãn điều kiện: 2 1 1 1 1 1 1  + +  = 2 + 2 + 2. b c a b c a 3 3 3 Chứng minh rằng: a + b + c chia hết cho 3. Q U Bài 3: (4,0 điểm) a) Giải phương trình sau: 4 x 2 + 20 x + 25 + x 2 + 6 x + 9 = 10 x − 20 b) Cho x, y là 2 số thực thoả mãn: x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x + y + 1. D ẠY KÈ M Bài 4: (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. N là điểm tùy ý thuộc cạnh AB. Gọi E là giao điểm của CN và DA. Vẽ tia Cx vuông góc với CE và cắt AB tại F. Lấy M là trung điểm của EF. a) Chứng minh: CM vuông góc với EF. b) Chứng minh: NB.DE = a2 và B, D, M thẳng hàng. c) Tìm vị trí của N trên AB sao cho diện tích của tứ giác AEFC gấp 3 lần diện tích của hình vuông ABCD Bài 5: (1,0 điểm) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: a b c a b c + + < + + a+b b+c c+a b+c c+a a+b -------------------------------------- Hết --------------------------------------15 “Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)” 2đ = x + − 3 + + x x 1 x −1 ( ) x + 2 + x ( x − 1) − ( x + x + 1) ( ) )( ) x −1 x + x +1 . N x − 2 x +1 x −1 2 2 x −1 Ơ ( )( x −1 x + x +1 : H =  1  x −1 : 2 x − 1   x+2 O a   =   FF IC IA L HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 27 ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 – TP. Thanh Hóa -Năm học 2016 - 2017 . Câu Ý Nội dung Điểm Điều kiện : x ≥ 0, x ≠ 1.  x+2 x 1  x −1 P= + + : 2 x − + + − x 1 x x 1 1 x   2 x + x +1 Với x ≥ 0, x ≠ 1. Ta có: 2 P= 7 2 2 ⇔ = x + x +1 7 0,5 0,5 0,5 Y N = 0,5 D ẠY KÈ ⇔ x+ x −6=0 ⇔ ( x − 2)( x + 3) = 0 1,0 x + 3 > 0 nên x − 2 = 0 ⇔ x = 4 (t/m) 2 Vậy P = khi x = 4 7 0,25 Vì x ≥ 0 ⇒ x + x + 1 ≥ 1 0.25 Vì ⇔ 0< 2 x + x +1 ⇔ 0< P≤2 c 1,0đ 0,5 ⇔ x + x +1= 7 M b 2,0đ Q U Bài 1 5,0đ 0,25 ≤2 0,25 ⇔ P ( P − 2) ≤ 0 ⇔ P2 − 2P ≤ 0 ⇔ P2 ≤ 2P 0,25 16 “Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)” 0,25 Dấu “=” xảy ra khi P = 2 ⇔ x = 0 Vậy P2 ≤ 2P 2 y 2 x + x + y + 1 = x 2 + 2 y 2 + xy ⇔ ( x − 1) (2 y 2 − y − x ) = −1 0,5 Vì x, y ∈ Z nên x - 1∈ Ư(-1) = {1; −1} 0,5 Ơ 0,5 0,25 M Q U Y N H Bài 2 4,0đ 0,25 O +) Nếu x – 1 = 1 ⇒ x = 2 Khi đó 2y2 - y – 2 = - 1 ⇔ y = 1 (t/m) −1 ∉Z (loại) hoặc y = 2 +) Nếu x – 1 = -1 ⇒ x = 0 Khi đó 2y2 - y = 1 ⇔ y = 1 (t/m) −1 ∉Z (loại) hoặc y = 2 x = 2 x = 0 Vậy  ;  y =1 y =1 a) Từ giả thiết 1 1 1 1 1 1 ( + + )2 = 2 + 2 + 2 a b c a b c 1 1 1 ⇔ 2( + + ) = 0 ab bc ca Vì a, b, c ≠ 0 nên a + b + c = 0 ⇒ a + b = −c N A 2đ FF IC IA L ⇔ 2 y 2 x + x + y + 1 − x 2 − 2 y 2 − xy = 0 D ẠY KÈ b 2đ Bài 3 4,0đ a 2đ ⇒ ( a + b ) = ( −c ) 3 0,5 0,5 3 ⇒ a 3 + b3 + 3ab(a + b) = −c3 ⇒ a 3 + b3 + c3 = 3abc 3 với a, b, c ∈ Z Vậy a 3 + b3 + c3 M Lưu ý: Nếu học sinh sử dụng hằng đẳng thức x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) mà không chứng minh thì trừ 0,5 điểm. Đkxđ: ∀x ∈ R 4 x 2 + 20 x + 25 + x 2 + 6 x + 9 = 10 x − 20 Vì 4 x 2 + 20 x + 25 + x 2 + 6 x + 9 ≥ 0 với ∀x ⇒ 10x – 20 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2 Ta có: 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 17 “Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)” 0,5 4 x 2 + 20 x + 25 + x 2 + 6 x + 9 = 10 x − 20 ⇔ 2 x + 5 + x + 3 = 10 x − 20 ⇔ 2 x + 5 + x + 3 = 10 x − 20 ⇔ 7 x = 28 ⇔ x = 4(t / m) Vậy phương trình có nghiệm là x = 4 x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0. 2 ⇔ ( x + y ) + 7( x + y ) + 10 = − y 2 ⇔ ( x + y + 2)( x + y + 5) = − y 2 ≤ 0 0,5 0,5 0,5 0,5 N ⇔ −4 ≤ x + y + 1 ≤ −1 * x + y + 1 = - 4 khi x = - 5; y = 0 * x + y + 1 = - 1 khi x = - 2; y = 0 Vậy Amin = - 4 khi x= - 5; y = 0 Amax = - 1 khi x = -2; y = 0 0,25 O b 2đ FF IC IA L 0,5 Ơ E A B F M Q U Y N N H M KÈ a 2đ D ẠY Bài 4 6,0 đ B 2đ D C · · · Ta có: ECD = BCF (cùng phụ với ECB ) Chứng minh được: ∆ EDC = ∆ FBC (cạnh góc vuông – góc nhọn) ⇒ CE = CF ⇒ ∆ ECF cân tại C Mà CM là đường trung tuyến nên CM ⊥ EF * Vì ∆ EDC = ∆ FBC ⇒ ED = FB ∆ NCF vuông tại C. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: BC2 = NB.BF 1.0 1,0 0,5 0.5 18 “Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)” ⇒ a2 = NB.DE (đpcm) * ∆ CEF vuông tại C có CM là đường trung tuyến nên EF 2 ∆ AEF vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên FF IC IA L CM = EF 2 ⇒ CM = AM ⇒ M thuộc đường trung trực của AC. Vì ABCD là hình vuông nên B, D thuộc đường trung trực của AC ⇒ B, D, M thẳng hàng vì cùng thuộc đường trung trực của AC (đpcm). 0.5 0.5 O AM = 0.5 Y N H Ơ N Đặt DE = x (x > 0) ⇒ BF = x 1 SACFE = SACF + SAEF = AF ⋅ ( AE + CB ) 2 1 = (AB + BF) ⋅ ( AE + AD ) 2 1 = (a + x).DE 2 1 = (a + x)x 2 1 SACFE = 3.SABCD ⇔ (a + x)x = 3a 2 ⇔ 6a 2 − ax − x 2 = 0 2 ⇔ (2a − x)(3a + x) = 0 Do x > 0; a > 0 ⇒ 3a + x > 0 ⇒ 2a − x = 0 ⇔ x = 2a ⇔ A là trung điểm của DE ⇔ AE = a AN AE Vì AE // BC nên = =1 NB BC ⇒ N là trung điểm của AB. Vậy với N là trung điểm của AB thì SACFE = 3.SABCD 0.5 D ẠY KÈ M Q U c 2đ 0.25 0,5 0.25 . * Vì a, b, c > 0 nên Bài 5 1,0đ Tương tự: a a a+c <1⇒ < . a+b a+b a+b+c b b+a < ; b+c a+b+c c c+b < c+a a+b+c 19 “Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)” 0,5 b c a + + < 2 (1) a+b b+c c+a * Ta có: a a = b+c a (b + c) Vì a, b, c > 0 nên theo bất đẳng thức Cô- si ta có: a + (b + c) ≥ a(b + c) > 0 2 2 1 ⇔ ≤ a+b+c a(b + c ) 2a a 2a a ≤ ⇔ ≤ a+b+c a+b+c b+c a(b + c ) O ⇔ FF IC IA L ⇒ N 2c c ≤ a+b+c b+a a b c + + ≥2 b+c c+a a+b H ⇒ 2b b ; ≤ a+b+c a+c Ơ Tương tự: U a b c + + > 2 (2) b+c c+a a+b 0,5 Q ⇒ Y tức là a = b = c (vô lý). N Dấu ‘ =” xảy ra khi a = b +c; b = c + a; c = a +b M Từ (1) (2) ta có đpcm. D ẠY KÈ Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. - Với bài 5, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm. -------------------------------------- Hết --------------------------------------- 20