Chuyªn ®Ò BDHSG To¸n THCS
§æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc to¸n theo híng tÝch cùc ho¸
ho¹t ®éng häc tËp cña häc sinh
A. Mét vµi nÐt vÒ lý luËn d¹y häc
1.T tëng tÝch cùc ho¸ ho¹t ®éng häc tËp cña häc sinh
X· héi ph¸t triÓn vµ sù ®æi míi ®Êt níc ®ßi hái ph¶i n©ng cao chÊt lîng gi¸o dôc
nh»m ®µo t¹o nh÷ng con ngêi lao ®éng ®¶m b¶o môc tiªu hiÖn ®¹i ho¸ ®Êt níc.
+ Theo Kharlamop.I.F. “Häc tËp lµ mét qu¸ tr×nh nhËn thøc tÝch cùc”
Theo tõ ®iÓn TiÕng ViÖt: TÝch cùc lµ mét tr¹ng th¸i tinh thÇn cã t¸c dông kh¼ng ®Þnh
vµ thóc ®Èy sù ph¸t triÓn . Trong ho¹t ®éng häc tËp nã diÔn ra ë nhiÒu ph¬ng diÖn kh¸c
nhau: Tri gi¸c tµi liÖu, th«ng hiÓu tµi liÖu, ghi nhí, luyÖn tËp, vËn dông, kh¸i qu¸t... vµ ® îc
thÓ hiÖn ë nhiÒu h×nh thøc ®a d¹ng, phong phó.
§éng c¬ häc tËp lµ nguån t¹o ra tÝnh tÝch cùc trong ho¹t ®éng häc vµ khi ®· h×nh
thµnh l¹i cã gi¸ trÞ nh mét ®éng c¬ thóc giôc ho¹t ®éng, lµ thuéc tÝnh cña nh©n c¸ch, cßn
tÝnh tÝch cùc l¹i lµ mét tr¹ng th¸i tinh thÇn lµm nÒn cho ho¹t ®éng diÔn ra cã hiÖu qu¶ vµ cã
thuéc tÝnh thiªn vÒ c¶m xóc .
G.I. Sukina ®· chia tÝnh tÝch cùc ra lµm ba cÊp ®é
1. TÝnh tÝch cùc b¾t chíc, t¸i hiÖn: xuÊt hiÖn do t¸c ®éng kÝch thÝch bªn ngoµi. Trong
trêng hîp nµy ngêi häc thao t¸c trªn ®èi tîng, b¾t chíc theo mÉu hoÆc m« h×nh cña GV,
nh»m chuyÓn ®èi tîng tõ ngoµi vµo trong theo c¬ chÕ “ho¹t ®éng bªn ngoµi bªn trong cã
cïng cÊu tróc”. Nhê ®ã, kinh nghiÖm ho¹t ®éng ®îc tÝch luü th«ng qua kinh nghiÖm ngêi
kh¸c.
2. TÝnh tÝch cùc t×m tßi: ®i liÒn víi qu¸ tr×nh h×nh thµnh kh¸i niÖm. Gi¶i quyÕt c¸c
t×nh huèng nhËn thøc, t×m ra c¸c ph¬ng thøc hµnh ®éng trªn c¬ së cã tÝnh tù gi¸c, cã sù
tham gia cña ®éng c¬, nhu cÇu, høng thó vµ ý chÝ cña HS. Lo¹i nµy xuÊt hiÖn kh«ng chØ do
yªu cÇu cña GV mµ cßn hoµn toµn tù ph¸t trong qu¸ tr×nh nhËn thøc. Nã tån t¹i kh«ng chØ
ë d¹ng tr¹ng th¸i, c¶m xóc mµ cßn ë d¹ng thuéc tÝnh bÒn v÷ng cña ho¹t ®éng. ë møc ®é
nµy tÝnh ®éc lËp cao h¬n møc trªn, cho phÐp HS tiÕp nhËn nhiÖm vô vµ tù m×nh t×m ra ph¬ng tiÖn thùc hiÖn.
3. TÝnh tÝch cùc s¸ng t¹o: thÓ hiÖn khi chñ thÓ nhËn thøc tù t×m tßi kiÕn thøc míi,
tù t×m kiÕm ra ph¬ng thøc hµnh ®éng riªng vµ trë thµnh phÈm chÊt bÒn v÷ng cña c¸ nh©n.
§©y lµ møc ®é biÓu hiÖn tÝnh tÝch cùc nhËn thøc cao nhÊt .
Nh vËy nãi vÒ tÝnh tÝch cùc nhËn thøc, ngêi ta thêng ®¸nh gi¸ vÒ møc ®é nhËn thøc
cña ngêi häc trong qu¸ tr×nh thùc hiÖn môc ®Ých d¹y häc.
Kharlamop I.F. viÕt: “TÝnh tÝch cùc trong ho¹t ®éng nhËn thøc lµ tr¹ng th¸i ho¹t ®éng
cña HS, ®îc ®Æc trng bëi kh¸t väng häc tËp, sù cè g¾ng trÝ tuÖ víi nghÞ lùc cao trong qu¸
tr×nh n¾m v÷ng kiÕn thøc cho chÝnh m×nh”.
+ TÝch cùc ho¸ ho¹t ®éng häc tËp cña häc sinh: Tèi ®a ho¸ sù tham gia ho¹t ®éng
cña ngêi häc víi ®Þnh híng chØ ®¹o lµ tù nhËn thøc, tù ph¸t triÓn, tù thùc hiÖn, tù kiÓm tra
vµ ®¸nh gi¸, qua ®ã h×nh thµnh vµ ph¸t triÓn t duy ®éc lËp vµ s¸ng t¹o cña HS.
GS.TSKH NguyÔn B¸ Kim chØ râ 4 yªu cÇu ®Ó tÝch cùc ho¸ ho¹t ®éng häc tËp cña
HS:
1
Chuyªn ®Ò BDHSG To¸n THCS
- X¸c lËp vÞ trÝ chñ thÓ cña ngêi häc, ®¶m b¶o tÝnh tù gi¸c, tÝch cùc s¸ng t¹o cña ho¹t
®éng häc tËp.
- D¹y häc ph¶i dùa trªn nghiªn cøu t¸c ®éng cña nh÷ng quan niÖm vµ kiÕn thøc s½n cã
cña ngêi häc, nh»m khai th¸c mÆt thuËn lîi, h¹n chÕ mÆt khã kh¨n, nghiªn cøu nh÷ng chíng ng¹i hoÆc sai lÇm cã thÓ cã cña nh÷ng kiÕn thøc ®ã trong qu¸ tr×nh häc tËp cña HS.
- D¹y häc kh«ng chØ nh»m môc ®Ých lµ tri thøc vµ kü n¨ng bé m«n, mµ quan träng
h¬n c¶ lµ viÖc häc, d¹y c¸ch häc cho HS.
- Qu¸ tr×nh d¹y häc ph¶i bao hµm c¶ viÖc d¹y c¸ch tù häc th«ng qua viÖc ®Ó HS tù
ho¹t ®éng nh»m ®¸p øng nhu cÇu cña b¶n th©n vµ cña x· héi .
Tãm l¹i: §Ó ph¸t huy ®îc tÝnh tÝch cùc trong ho¹t ®éng häc tËp cña HS cÇn mét qu¸
tr×nh lµm cho ngêi häc trë thµnh chñ thÓ tÝch cùc trong ho¹t ®éng häc tËp cña chÝnh hä.
2. §Þnh híng ®æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc
+ Ph¬ng ph¸p d¹y häc
- Ph¬ng ph¸p d¹y häc lµ con ®êng, lµ c¸ch thøc cña ho¹t ®éng ®Ó ®¹t môc ®Ých d¹y
häc.
- Ph¬ng ph¸p d¹y häc lµ c¸ch thøc ho¹t ®éng vµ giao lu cña thÇy g©y nªn nh÷ng
ho¹t ®éng vµ giao lu cÇn thiÕt cña trß nh»m ®¹t môc ®Ých d¹y häc .
- Ho¹t ®éng cña thÇy g©y nªn ho¹t ®éng cña trß:
Ho¹t ®éng cña thÇy lµ t¸c ®éng ®iÒu khiÓn. Tuy nhiªn t¸c ®éng kh«ng chØ gåm ho¹t
®éng mµ cßn cã sù øng xö cña thÇy gi¸o.
ThuËt ng÷ “d¹y häc” vèn ®îc dïng ®Ó ph¶n ¸nh ho¹t ®éng cña ngêi d¹y, thÕ nhng ®èi
tîng cña ho¹t ®éng d¹y häc lµ HS, HS võa lµ ®èi tîng cña ho¹t ®éng d¹y l¹i võa lµ chñ thÓ
cña ho¹t ®éng häc. V× vËy ph¬ng ph¸p d¹y häc võa bao hµm c¸ch d¹y cña thÇy vµ c¸ch
häc cña trß.
+ §æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc
NghÞ quyÕt Trung ¬ng II kho¸ VIII cña §¶ng Céng s¶n ViÖt Nam chØ râ “§æi míi
m¹nh mÏ ph¬ng ph¸p gi¸o dôc ®µo t¹o, kh¾c phôc lèi truyÒn thô mét chiÒu, rÌn luyÖn
thµnh nÕp t duy s¸ng t¹o cña ngêi häc...”
§µo t¹o con ngêi n¨ng ®éng s¸ng t¹o cã n¨ng lùc ph¸t hiÖn vÊn ®Ò vµ tù gi¶i quyÕt
vÊn ®Ò lµ mét trong nh÷ng nhiÖm vô träng t©m cña ngµnh gi¸o dôc.
M©u thuÉn gi÷a yªu cÇu ®µo t¹o con ngêi míi x©y dùng x· héi c«ng nghiÖp ho¸ vµ
thùc tr¹ng l¹c hËu cña ph¬ng ph¸p d¹y häc ®· lµm n¶y sinh thóc ®Èy c«ng cuéc ®æi míi
ph¬ng ph¸p d¹y häc ë tÊt c¶ c¸c cÊp häc trong ngµnh gi¸o dôc .
Ph¬ng ph¸p d¹y häc kh«ng ph¶i lµ b¶n th©n ho¹t ®éng vµ øng xö cña GV ë b×nh diÖn
xem xÐt riªng lÎ, cô thÓ mµ theo NguyÔn B¸ Kim:
“Ph¬ng ph¸p d¹y häc lµ h×nh ¶nh kh¸i qu¸t ho¸ nh÷ng ho¹t ®éng øng xö nµo ®ã cña
GV. H×nh ¶nh nµy thêng ®îc h×nh thµnh do ph¶n ¸nh nh÷ng ho¹t ®éng øng xö thµnh c«ng
cña GV trong qu¸ tr×nh d¹y häc vµ ph¶n ¸nh nh÷ng thµnh tùu cña khoa häc gi¸o dôc hoÆc
nh÷ng khoa häc kh¸c th«ng qua khoa häc gi¸o dôc... Ph¬ng ph¸p d¹y häc lµ ph¬ng tiÖn ®Ó
®¹t môc ®Ých d¹y häc” .
2
Chuyªn ®Ò BDHSG To¸n THCS
Trong nh÷ng n¨m gÇn ®©y t tëng d¹y häc chñ ®¹o ®îc ph¸t biÓu díi nhiÒu h×nh thøc
kh¸c nhau nh “lÊy HS lµm trung t©m”,“ph¸t huy tÝnh tÝch cùc”, “ph¬ng ph¸p d¹y häc tÝch
cùc”, “tÝch cùc ho¸ ho¹t ®éng häc tËp”, “Ho¹t ®éng ho¸ ngêi häc” ....
§Þnh híng ®æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc hiÖn nay lµ tæ chøc cho häc sinh häc tËp
trong ho¹t ®éng vµ b»ng ho¹t ®éng tù gi¸c, tÝch cùc vµ s¸ng t¹o.
+ Lµm thÕ nµo ®Ó tÝch cùc ho¸ ho¹t ®éng häc tËp cña häc sinh ?
Nhµ t©m lÝ häc I.X.Iakimanxkai cho r»ng: Nhµ trêng cÇn trang bÞ cho HS hai hÖ thèng
tri thøc: 1. VÒ hiÖn thùc ®èi tîng; 2. VÒ néi dung c¸ch thøc thùc hiÖn c¸c hµnh ®éng trÝ tuÖ,
®¶m b¶o viÖc n¾m v÷ng c¸c tri thøc khoa häc vÒ hiÖn thùc ®èi tîng ®ã.
C¸c tri thøc lo¹i mét ®îc ph¶n ¸nh trong SGK, cßn c¸c tri thøc lo¹i hai ®îc h×nh thµnh
chñ yÕu ë HS b»ng con ®êng tù ph¸t. ë ®ã tri thøc lo¹i hai lµ c¸c thñ ph¸p cña häc tËp nh:
tri thøc logic (ph©n tÝch, so s¸nh, kh¸i qu¸t ho¸, ph©n lo¹i…); tri thøc tæ chøc hîp lÝ c¸c qu¸
tr×nh nhËn thøc kh¸c nhau…
Lerner I.Ia. cßn thªm vµo ®ã hai hÖ thèng n÷a: Kinh nghiÖm ho¹t ®éng s¸ng t¹o vµ
kinh nghiÖm th¸i ®é t×nh c¶m.
C¸c nhµ lÝ luËn d¹y häc P.I. Pitcaxixti,B.I. C«r«tiaiev kh¼ng ®Þnh: t¬ng øng víi hai
lo¹i ho¹t ®éng nhËn thøc t¸i t¹o vµ t×m tßi, s¸ng t¹o cña HS th× cã hai lo¹i th«ng tin t¸i hiÖn
vµ dù ®o¸n. Th«ng tin t¸i hiÖn lµ nh÷ng tri thøc HS lÜnh héi ë d¹ng cã s½n, th«ng qua viÖc
ghi nhËn vµ t¸i hiÖn l¹i. Th«ng tin dù ®o¸n lµ c¸c tri thøc häc tËp ®îc HS kh«i phôc l¹i
b»ng c¸ch thiÕt kÕ, t×m kiÕm vµ kiÓm tra tÝnh ®óng ®¾n cña ®iÒu dù ®o¸n. Trong khi ho¹t
®éng t¸i hiÖn chØ cã mét ph¬ng ¸n vµ viÖc thùc hiÖn nã chÝnh x¸c lu«n dÉn ®Õn kÕt qu¶, th×
ho¹t ®éng t×m tßi s¸ng t¹o l¹i dùa vµo nh÷ng th«ng tin Èn tµng, cha têng minh. HS kiÓm tra
dù ®o¸n trªn c¬ së t×m kiÕm vµ lùa chän ph¬ng ¸n cã kh¶ n¨ng nhÊt trong hÖ thèng kiÕn
thøc ®· cã cña m×nh.
Dùa vµo kÕt qu¶ nghiªn cøu cña P.I. Pitcaxixti, B.I. C«r«tiaiev cã hai c¸ch chiÕm lÜnh
kiÕn thøc:
1. T¸i hiÖn kiÕn thøc: ®Þnh híng ®Õn ho¹t ®éng t¸i t¹o, ®îc x©y dùng trªn c¬ së
HS lÜnh héi c¸c tiªu chuÈn, h×nh mÉu cã s½n.
2. T×m kiÕm kiÕn thøc: ®Þnh híng ®Õn ho¹t ®éng c¶i t¹o tÝch cùc, dÉn ®Õn viÖc
“ph¸t minh” kiÕn thøc vµ kinh nghiÖm ho¹t ®éng .
Nh vËy, PPDH nµo ®¶m b¶o phèi hîp gi÷a c¸ch d¹y t¸i hiÖn kiÕn thøc vµ t×m kiÕm kiÕn
thøc, trong ®ã tËn dông c¬ héi vµ ®iÒu kiÖn ®Ó c¸ch d¹y t×m kiÕm kiÕn thøc chiÕm u thÕ,
®ång thêi kÕt hîp hµi hoµ víi tÝnh s½n sµng häc tËp cña HS, th× vÒ c¬ b¶n PPDH ®ã cã kh¶
n¨ng tÝch cùc ho¸ ho¹t ®éng häc tËp cña HS
3. Dạy luyện tập toán cho học sinh
Qu¸ tr×nh d¹y häc lµ mét qu¸ tr×nh t©m lý. Trong qu¸ tr×nh häc tËp HS ph¶i c¶m
gi¸c, tri gi¸c, vËn dông trÝ nhí, t×nh c¶m, ý chÝ...
Trong nh÷ng n¨m gÇn ®©y, t©m lý häc ®· chó ý vµo “d¹y häc ph¸t triÓn”: D¹y häc ®i
tríc sù ph¸t triÓn, ®iÒu ®ã cã nghÜa lµ d¹y häc ph¶i tiÕn hµnh trong ®iÒu kiÖn dù kiÕn ®îc
møc ®é ph¸t triÓn cña HS cao h¬n hiÖn t¹i. Quan ®iÓm d¹y häc ®i tríc sù ph¸t triÓn vµ kÐo
theo sù ph¸t triÓn ®îc coi lµ quan ®iÓm khoa häc vµ c¸ch m¹ng.
3
Chuyªn ®Ò BDHSG To¸n THCS
Theo L.X. Vygotski, d¹y häc ph¶i theo ®óng chøc n¨ng cña nã, ph¶i ®i tríc sù ph¸t
triÓn, nã sÏ thóc ®Èy, kÐo theo sù ph¸t triÓn ®i lªn. MÊu chèt cña d¹y häc ph¸t triÓn lµ x¸c
®Þnh ®óng c¸c tr×nh ®é ph¸t triÓn cña häc sinh: Tr×nh ®é ph¸t triÓn hiÖn thêi vµ kh¶ n¨ng
ph¸t triÓn gÇn nhÊt. Møc ®é hiÖn t¹i ®îc biÓu hiÖn qua qu¸ tr×nh HS ®éc lËp gi¶i quyÕt
nhiÖm vô, kh«ng cÇn sù trî gióp tõ bªn ngoµi. Cßn kh¶ n¨ng ph¸t triÓn gÇn nhÊt ®îc thÓ
hiÖn trong t×nh huèng HS hoµn thµnh nhiÖm vô khi cã sù hîp t¸c, gióp ®ì cña ngêi kh¸c.
Tõ ®ã «ng ®a ra nguyªn lý d¹y häc ph¶i t¸c ®éng vµo vïng ph¸t triÓn gÇn nhÊt, cã nghÜa lµ
ph¬ng ph¸p d¹y häc tu©n theo nguyªn t¾c t«n träng kinh nghiÖm ®· cã cña HS vµ t¨ng dÇn
møc ®é khã kh¨n.
Nh vËy d¹y häc kh«ng bÞ ®éng chê sù ph¸t triÓn, mµ ngîc l¹i ph¸t triÓn c¸c chøc
n¨ng t©m lÝ. VÊn ®Ò ®éng c¬ häc tËp, høng thó nhËn thøc cã ý nghÜa rÊt quan träng ®Õn
hiÖu qu¶ cña qu¸ tr×nh d¹y häc.
§Ó ®¶m b¶o thµnh c«ng cña qu¸ tr×nh d¹y häc, thÇy gi¸o ph¶i ®Æc biÖt chó ý tíi
mÆt t©m lý trong qu¸ tr×nh d¹y häc.
- D¹y häc lµ mét qu¸ tr×nh x· héi, trong ®ã cã sù t¬ng t¸c gi÷a ngêi vµ ngêi, gi÷a ngêi vµ x· héi. HiÓu ®îc tÝnh x· héi cña d¹y häc vµ ¶nh hëng cña x· héi ®èi víi nhµ trêng sÏ
gióp ngêi d¹y ®iÒu khiÓn ®îc qu¸ tr×nh d¹y häc.
Sù gièng nhau vµ kh¸c nhau vÒ yªu cÇu x· héi, vÒ sù ph¸t triÓn nh©n c¸ch cña tõng
ngêi ®ßi hái mét qu¸ tr×nh d¹y häc thèng nhÊt cïng víi biÖn ph¸p ph©n ho¸, do vËy trong
ho¹t ®éng cña m×nh ngêi thÇy cÇn quan t©m ®Õn kinh nghiÖm sèng vµ ®iÒu kiÖn häc tËp
thùc tÕ cña HS ®Ó x©y dùng kÕ ho¹ch vµ néi dung d¹y häc thÝch hîp.
Tãm l¹i, c¨n cø vµo nhËn thøc vÒ qu¸ tr×nh d¹y häc trong giai ®o¹n hiÖn nay (qu¸
tr×nh nhËn thøc, qu¸ tr×nh t©m lý vµ qu¸ tr×nh x· héi), hÖ thèng BT cÇn ph¶i ph¶n ¸nh tÝch
cùc vµ cã chän läc c¸c tri thøc, ph¬ng ph¸p, kü n¨ng ... liªn quan chÆt chÏ ®Õn ho¹t ®éng
to¸n häc, thóc ®Èy c¸c chøc n¨ng t©m lý, høng thó nhËn thøc vµ chó ý ®Õn kinh nghiÖm
sèng vµ ®iÒu kiÖn thùc tÕ cña häc sinh.
TiÕn tr×nh gi¶i bµi tËp to¸n
Gi¶i BTT lµ thùc hiÖn mét lo¹t c¸c ho¹t ®éng liªn tôc vµ kh¸ phøc t¹p v× BTT lµ sù
kÕt hîp ®a d¹ng nhiÒu kh¸i niÖm , quan hÖ to¸n häc... V× vËy ®Ó gi¶i ®ược BTT ®ßi hái häc
sinh n¾m ch¾c c¸c kh¸i niÖm, ®Þnh lý, quy t¾c... c¸c kiÕn thøc trong mèi quan hÖ to¸n häc
cña ch¬ng tr×nh ®· häc.
Theo V.M. Bra®ix¬ “BTT cã thÓ xem lµ ®· ®îc gi¶i chØ sau khi ®· t×m ®ược lêi gi¶i
®¶m b¶o c¸c ®iÒu kiÖn: Kh«ng sai sãt, cã lËp luËn khoa häc, mang tÝnh toµn diÖn vµ tèi ưu”.
Theo Polya G. : “Gi¶i mét BTT chóng ta ph¶i lËp ®ược mét lưîc ®å x¸c ®Þnh m¹nh
l¹c nh÷ng thao t¸c (l«gÝc, to¸n häc hay thùc tiÔn) b¾t ®Çu tõ gi¶ thiÕt vµ kÕt thóc b»ng kÕt
luËn, dÉn d¾t tõ c¸c ®èi tượnng mµ ta cã trong tay ®Õn ®èi tưîng ta muèn ®¹t tíi”.
+ Polya G. quan niÖm gi¶i mét BTT lµ mét qu¸ tr×nh t×m kiÕm nh÷ng ho¹t ®éng thÝch
hîp ®Ó ®¹t kÕt qu¶. Theo «ng tiÕn tr×nh gi¶i mét BTT gåm 4 bước:
4
Chuyªn ®Ò BDHSG To¸n THCS
- HiÓu râ BTT (understanding the problem)
- X©y dùng chư¬ng tr×nh gi¶i (devising a plan)
- Thùc hiÖn chư¬ng tr×nh gi¶i (carrying out the plan)
- KiÓm tra lêi gi¶i t×m ®ược (looking back)
Bước 1: HiÓu râ bµi tËp to¸n
- X¸c ®Þnh ®èi tưîng vµ c¸c ®iÒu kiÖn vµ hÖ thèng hµnh ®éng, lµm râ c¸c mèi quan
hÖ ë gi¶ thiÕt, mèi quan hÖ gi÷a gi¶ thiÕt vµ kÕt luËn. X¸c ®Þnh ®ùîc d¹ng BTT, xem xÐt
cÊu tróc cña BTT tõ ®ã suy nghÜ hùíng gi¶i BTT ®ã.
Bíc 2: X©y dùng chư¬ng tr×nh gi¶i
- Tõ sù ph©n tÝch mèi quan hÖ gi÷a c¸c yÕu tè cña BTT, tõ suy nghÜ hùíng gi¶i ë bùíc
1, HS t×m con ®ùêng cô thÓ, kh¶ n¨ng ®¹t ®îc môc ®Ých, ®Þnh hùíng c¸c hµnh ®éng tiÕn tíi
qu¸ tr×nh gi¶i BTT.
- Qu¸ tr×nh nµy kÕt hîp gi÷a logic h×nh thøc (viÖc v¹ch ra “cÊu tróc” cña kÕ ho¹ch) vµ
l«gic biÖn chøng (chØ ra tÝnh cô thÓ, tÝnh kh¶ thi vµ phù¬ng thøc thùc hiÖn kÕ ho¹ch).
Bíc 3: Thùc hiÖn chù¬ng tr×nh gi¶i
- KÕ ho¹ch gi¶i vÉn cßn ë ý tùëng, HS ph¶i thùc hiÖn mét hÖ thèng hµnh ®éng phï
hîp víi nh÷ng chi tiÕt cô thÓ cña BTT.
- Sö dông c¸c thao t¸c tư duy nh÷ng lËp luËn logic ®Ó thùc hiÖn kÕ ho¹ch.
- Cã thÓ gi¶i BTT theo nhiÒu c¸ch gi¶i kh¸c nhau, t×m ra c¸ch gi¶i tèi ưu.
- ë b ư íc nµy thao t¸c tư duy logÝc, ho¹t ®éng ng«n ng÷ ®ãng vai trß quan träng.
Bíc 4: Kh¶o s¸t lêi gi¶i t×m ®ưîc
- C«ng viÖc ®ưîc tiÕn hµnh trong suèt qu¸ tr×nh gi¶i BTT, viÖc kiÓm tra nh»m chÝnh
x¸c ho¸ lêi gi¶i (c¸c bưíc suy luËn, c¸c kh©u tÝnh to¸n...).
- Qua kh¶o s¸t lêi gi¶i cßn rót ra ®îc kinh nghiÖm cho HS, gi¶i bµi BTT lµ ph¬ng
tiÖn häc tËp. Tõ kh¶o s¸t lêi gi¶i HS cã thÓ hîp thøc ho¸ BTT thµnh tri thøc vµ kinh nghiÖm
cña b¶n th©n.
* Gi¶i bµi tËp to¸n theo ®Þnh híng ang«rit vµ ¬ristic
“C¸c ang«rit tån t¹i dưíi nhiÒu h×nh thøc biÓu diÔn kh¸c nhau, ng«n ng÷ tù nhiªn,
ng«n ng÷ to¸n häc, s¬ ®å khèi, ng«n ng÷ phư¬ng tr×nh, lËp tr×nh..., ang«rit (thuËt to¸n,
thuËt gi¶i) lµ mét b¶n quy ®Þnh nh÷ng thao t¸c cÇn thùc hiÖn ®Ó gi¶i mét BTT” .
“ThuËt to¸n ®ưîc hiÓu nh mét quy t¾c mµ tõ nh÷ng chØ dÉn râ rµng vµ chÝnh x¸c ®Ó
ngưêi (hay m¸y) thùc hiÖn mét lo¹t thao t¸c nh»m ®¹t ®îc môc ®Ých ®Æt ra hay gi¶i mét líp
BTT nhÊt ®Þnh”.
R. §Ò C¸c ®· nghÜ ®Õn mét phư¬ng ph¸p toµn n¨ng ®Ó gi¶i mäi bµi tËp, Leibnis th× ®a
ra ý niÖm râ rµng vÒ mét ph¬ng ph¸p toµn mü ®Ó gi¶i to¸n. Polya G. ®· rÊt ®Ò cao viÖc h×nh
thµnh vµ ph¸t triÓn n¨ng lùc s¸ng t¹o qua gi¶i bµi tËp to¸n nhng «ng ®· kh¼ng ®Þnh “T×m
5
Chuyªn ®Ò BDHSG To¸n THCS
kiÕm mét phư¬ng ph¸p toµn n¨ng vµ toµn mü ch¼ng mang l¹i kÕt qu¶ g× h¬n ®i t×m mét
viªn ®¸ thÇn kú, ®Ó cã thÓ biÕn mäi kim lo¹i thµnh vµng” . Như vËy kh«ng thÓ cã phư¬ng
ph¸p ®Ó gi¶i tÊt c¶ c¸c BTT, ngoµi nh÷ng d¹ng to¸n cã thÓ dïng phư¬ng ph¸p theo ®Þnh hưíng ang«rit cßn ph¶i sö dông phư¬ng ph¸p ¬ristic.
ThuËt ng÷ ¬ristic cã nguån gèc Hy L¹p lµ “¬rªca” ®ưîc hiÓu lµ sù t×m tßi, t×m ®o¸n,
s¸ng t¹o…
“ ¥ristic ®îc hiÓu lµ tæng thÓ nãi chung c¸c quy t¾c phư¬ng ph¸p kh¸i qu¸t tõ kinh
nghiÖm qu¸ khø ®ưîc dïng trong qu¸ tr×nh nghiªn cøu ph¸t hiÖn, s¸ng t¹o ra c¸i míi”.
Gi¶i to¸n theo ®Þnh hưíng ¥ristÝc mang tÝnh chÊt “t×m ®o¸n” thưêng dïng ®Ó gi¶i nh÷ng
BTT mang tÝnh chÊt lµ mét vÊn ®Ò, t×m hiÓu vµ ph¸t hiÖn ra vÊn ®Ò, t×m c¸ch gi¶i quyÕt vÊn
®Ò ®ã lµ ho¹t ®éng to¸n häc cÇn thiÕt.
Cách thức học phương pháp tìm lời giải bài toán
Học phương pháp tìm lời giải không phải là học một thuật giải mà học những kinh
nghiệm giải toán mang tính chất tìm tòi, phát hiện. Do đó cách thức học phương pháp để tìm
lời giải bài toán yêu cầu:
- Thông qua việc giải những bài toán cụ thể, học sinh cần nắm được các bước tìm
lời giải bài toán và có ý thức vận dụng các bước đó trong quá trình giải toán.
- Cũng thông qua việc giải những bài toán cụ thể, giáo viên cần đặt ra cho học sinh
những câu hỏi gợi ý, tạo tình huống để các em tìm tòi, dự đoán, phát hiện và cuối cùng tìm
ra lời giải bài toán.
Như vậy, quá trình học sinh học phương pháp tìm lời giải bài toán là một quá trình
biến những tri thức, phương pháp tổng quát thành kinh nghiệm giải toán của bản thân
mình thông qua việc giải hàng loạt bài toán cụ thể. do đó đòi hỏi người giải toán phải có
một chặng đường lao động tích cực, có nhiều yếu tố sáng tạo.
Cã ý kiÕn cho r»ng “d¹y luyÖn tËp to¸n gièng nh luyÖn tËp qu©n sù”; ®èi víi ®èi tîng
häc sinh kh¸, giái thÇy chØ híng dÉn c¸c thao t¸c vµ HS tù m×nh lµm ®îc; ®èi víi häc sinh
trung b×nh thÇy lµm mÉu c¸c ®éng t¸c vµ häc sinh lµm theo ®îc; ®èi víi HS yÕu thÇy gi¸o
ph¶i cho HS lµm tõng ®éng t¸c theo m×nh cho ®Õn lóc HS tù lµm ®îc mµ kh«ng cã thÇy
lµm mÉu ë phÝa tríc.
Qua thùc tÕ d¹y häc vµ c«ng t¸c qu¶n lý d¹y vµ häc, chóng t«i ®a ra mét sè ®Þnh híng cho tiÕt d¹y luyÖn tËp h×nh häc nh sau:
+ Ph©n lo¹i c¸c bµi tËp ë SGK, SBT (BTT còng cè kiÕn thøc cña bµi häc, BTT «n kiÕn
thøc cña bµi häc tríc, BT bæ sung lý thuyÕt, BT kh¾c s©u kiÕn thøc).
+ C¨n cø vµo ®èi tîng HS cña líp gi¸o viªn gi¶ng d¹y ®Ó lùa chän mét trong c¸c ý tëng :
- Víi ®èi tîng häc sinh cña líp lµ häc sinh häc trung b×nh vµ yÕu m«n to¸n:
6
Chuyªn ®Ò BDHSG To¸n THCS
. Thêng dïng c¸c BTT «n tËp kiÕn thøc ®Ó kiÓm tra nhanh ®Çu tiÕt luyÖn tËp (nh÷ng
bµi cha ®îc sö dông sau phÇn häc lý thuyÕt).
. Híng dÉn häc sinh gi¶i c¸c BTT bæ sung lý thuyÕt vµ BTT kh¾c s©u kiÕn thøc (c¸c
BT ë SGK vµ SBT ®îc lùa chän), qua viÖc sö dông c¸c BTT ®ã, gióp häc sinh t×m ®îc quy
tr×nh hoÆc ®Þnh híng gi¶i c¸c BTT cïng d¹ng.
- Víi ®èi tîng lµ häc sinh trung b×nh vµ trung b×nh kh¸:
.C¬ b¶n häc sinh ®· gi¶i ®îc c¸c BTT thÇy gi¸o ra vÒ nhµ chuÈn bÞ nªn nÕu ®Õn líp
trong tiÕt d¹y luyÖn tËp thÇy gi¸o híng dÉn gi¶i c¸c BTT ®ã sÏ kh«ng t¹o ra ®îc sù míi mÏ,
dÉn ®Õn HS kh«ng høng thó trong häc tËp.
Trong trêng hîp nµy gi¸o viªn chän mét BTT t¬ng tù vµ thªm c¸c c©u hái nh»m x©u
chuçi c¸c BTT, HS ®· ®îc chuÈn bÞ. Thùc tÕ cho thÊy HS høng thó trong häc tËp vµ tiÕt d¹y
thµnh c«ng h¬n nhiÒu.
- §èi tîng lµ häc sinh kh¸, giái:
.ThÇy gi¸o chØ kiÓm tra nhanh c¸c BTT cã tÝnh chÊt còng cè kiÕn thøc.
Dïng BT ®iÓn h×nh luyÖn tËp víi c¸c ®Þnh híng kh¸c nhau nh»m t¹o ra nhiÒu c¸ch
gi¶i (nÕu cã thÓ), tõ BTT ®· cã t¹o ra BTT míi b»ng c¸c ho¹t ®éng t¬ng tù, t¬ng tù ho¸,
kh¸i qu¸t ho¸, lËt ngîc vÊn ®Ò… t¹o thµnh mét sè BTT nh»m ph¸t triÓn t duy s¸ng t¹o cho
HS.
Lấy một số ví dụ về dạy luyện tập hình học cho học sinh giỏi.
RÌn luyÖn ho¹t ®éng to¸n häc cho häc sinh kh¸, giái
Theo NguyÔn B¸ Kim “d¹y häc ph©n ho¸ xuÊt ph¸t tõ sù biÖn chøng cña thèng nhÊt
vµ ph©n ho¸, tõ yªu cÇu thùc hiÖn tèt c¸c môc tiªu d¹y häc ®èi víi tÊt c¶ mäi häc sinh,
®ång thêi ph¸t triÓn tèi ®a vµ tèi ưu nh÷ng kh¶ n¨ng c¸ nh©n. ViÖc kÕt hîp gi÷a gi¸o dôc
®¹i trµ vµ gi¸o dôc mòi nhän gi÷a phæ cËp víi n©ng cao trong d¹y häc to¸n phæ th«ng cÇn
tiÕn hµnh theo c¸c tư tưởng chñ ®¹o sau:
- LÊy tr×nh ®é ph¸t triÓn chung cña HS trong líp lµm nÒn t¶ng…
- Sö dông biÖn ph¸p ph©n ho¸ ®a diÖn häc sinh yÕu kÐm lªn tr×nh ®é chung…
- Cã nh÷ng néi dung bæ sung vµ biÖn ph¸p ph©n ho¸ gióp häc sinh kh¸ giái ®¹t ®îc
nh÷ng yªu cÇu n©ng cao trªn c¬ së ®¹t ®ưîc nh÷ng yªu cÇu c¬ b¶n”.
Chóng ta quan t©m ®Õn ý tưëng thø ba: “Cã nh÷ng néi dung bæ sung vµ biÖn ph¸p
ph©n ho¸ gióp häc sinh kh¸, giái ®¹t ®ược nh÷ng yªu cÇu n©ng cao trªn c¬ së ®¹t ®ược
nh÷ng yªu cÇu c¬ b¶n”
Víi c¸ch d¹y häc ph©n ho¸ như ®· nªu lµ ph©n ho¸ néi t¹i (ph©n ho¸ trong) trong
mét líp häc. Thùc tÕ d¹y häc ë c¸c trêng THCS ®ang cßn phæ biÕn ph©n ho¸ ngoµi, nghÜa
lµ cã nh÷ng líp tr×nh ®é HS kh¸ h¬n, trong nh÷ng n¨m gÇn ®©y c¸c trêng chuyªn, líp chän
ë THCS kh«ng tån t¹i n÷a, nhưng víi tÝnh chÊt gi¸o dôc cã tÝnh ®¹i chóng vµ phæ cËp nh
hiÖn nay th× viÖc ph©n ho¸ ngoµi vÉn lµ phæ biÕn (v× thuËn lîi h¬n trong qu¸ tr×nh d¹y häc,
ë bËc THPT ph©n ban còng lµ h×nh thøc ph©n ho¸ ngoµi).
7
Chuyªn ®Ò BDHSG To¸n THCS
C¨n cø vµo c¸c ho¹t ®éng to¸n häc liªn quan mËt thiÕt ®Õn néi dung m«n to¸n ë trưêng phæ th«ng lµ: NhËn d¹ng vµ thÓ hiÖn; nh÷ng ho¹t ®éng to¸n häc phøc hîp; nh÷ng
ho¹t ®éng trÝ tuÖ phæ biÕn trong to¸n häc; nh÷ng ho¹t ®éng trÝ tuÖ chung vµ nh÷ng ho¹t
®éng ng«n ng÷, tõ ®ã trong qu¸ tr×nh d¹y häc gi¸o viªn trong mäi t×nh huèng dï tưêng
minh hay Èn tµng còng ®Òu cã ý tưëng gãp phÇn rÌn luyÖn ho¹t ®éng to¸n häc cho häc
sinh.
b.C¸c chuyªn ®Ò båi dìng hsg to¸n thcs
PhÇn I: Sè chÝnh ph¬ng
Chuyªn ®Ò 1:
I- §Þnh nghÜa: Sè chÝnh ph¬ng lµ sè b»ng b×nh ph¬ng ®óng cña mét sè nguyªn.
II- tÝnh chÊt:
1- Sè chÝnh ph¬ng chØ cã thÓ cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 0, 1, 4, 5, 6, 9; kh«ng thÓ cã ch÷ tËn
cïng b»ng 2, 3, 7, 8.
2- Khi ph©n tÝch ra thõa sè nguyªn tè, sè chÝnh ph¬ng chØ chøa c¸c thõa sè nguyªn tè víi
sè mò ch½n.
8
Chuyªn ®Ò BDHSG To¸n THCS
3- Sè chÝnh ph¬ng chØ cã thÓ cã mét trong hai d¹ng 4n hoÆc 4n+1. Kh«ng cã sè chÝnh ph¬ng nµo cã d¹ng 4n + 2 hoÆc 4n + 3 (n N).
4- Sè chÝnh ph¬ng chØ cã thÓ cã mét trong hai d¹ng 3n hoÆc 3n +1. Kh«ng cã sè chÝnh ph¬ng nµo cã d¹ng 3n + 2 ( n N ).
5- Sè chÝnh ph¬ng tËn cïng b»ng 1, 4 hoÆc 9 th× ch÷ sè hµng chôc lµ ch÷ sè ch½n.
Sè chÝnh ph¬ng tËn cïng b»ng 5 th× ch÷ sè hµng chôc lµ 2.
Sè chÝnh ph¬ng tËn cïng b»ng 6 th× ch÷ sè hµng chôc lµ ch÷ sè lÎ.
6- Sè chÝnh ph¬ng chia hÕt cho 2 th× chia hÕt cho 4.
Sè chÝnh ph¬ng chia hÕt cho 3 th× chia hÕt cho 9
Sè chÝnh ph¬ng chia hÕt cho 5 th× chia hÕt cho 25
Sè chÝnh ph¬ng chia hÕt cho 8 th× chia hÕt cho 16.
III- Mét sè d¹ng bµi tËp vÒ sè chÝnh ph¬ng.
A- D¹ng 1: chøng minh mét sè lµ sè chÝnh ph¬ng.
Bµi 1: Chøng minh r»ng mäi sè nguyªn x, y th×:
A= (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y 4 lµ sè chÝnh ph¬ng.
Gi¶i : Ta cã A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y 4
= ( x 2 5 xy 4 y 2 )( x 2 5 xy 6 y 2 ) y 4
§Æt x 2 5 xy 5 y 2 t
(t Z ) th×
A = ( t y 2 )(t y 2 ) y 4 t 2 y 4 y 4 t 2 ( x 2 5 xy 5 y 2 ) 2
V× x, y, z Z nªn x 2 Z , 5 xy Z , 5 y 2 Z x 2 5 xy 5 y 2 Z
VËy A lµ sè chÝnh ph¬ng.
Bµi 2: Chøng minh tÝch cña 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp céng 1 lu«n lµ sè chÝnh ph¬ng.
Gi¶i : Gäi 4 sè tù nhiªn, liªn tiÕp ®ã lµ n, n+1, n+2, n+3 (n Z). Ta cã:
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n . ( n + 3)(n + 1)(n + 2) + 1
= ( n 2 3n)(n 2 3n 2) 1 (*)
§Æt n 2 3n t (t N ) th× (*) = t(t + 2) + 1 = t2 + 2t + 1 = (t + 1)2
= (n2 + 3n + 1)2
2 + 3n + 1 N. VËy n(n + 1)(n + 2)(+ 3) + 1 lµ sè chÝnh ph¬ng.
V× n N nªn n
Bµi 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ...+ k(k + 1)(k + 2)
Chøng minh r»ng 4S + 1 lµ sè chÝnh ph¬ng.
1
1
k (k + 1)(k + 2). 4= k(k + 1)(k + 2). (k 3) (k 1)
4
4
1
1
= k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1)
4
4
Gi¶i : Ta cã: k(k + 1)(k + 2) =
=> 4S =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + . . . + k(k + 1)(k + 2)(k + 3)
- k(k + 1)(k + 2)(k - 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3)
=> 4S + 1 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1
Theo kÕt qu¶ bµi 2 => k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1 lµ sè chÝnh ph¬ng.
Bµi 4: Cho d·y sè 49; 4489; 444889; 44448889; . . .
- D·y sè trªn ®îc x©y dùng b»ng c¸ch thªm sè 48 vµo gi÷a c¸c ch÷ sè ®øng tríc vµ ®øng
sau nã. Chøng minh r»ng tÊt c¶ c¸c sè cña d·y trªn ®Òu lµ sè chÝnh ph¬ng.
Ta cã 44 ...488...89 = 44...488...8 + 1 = 44...4 . 10n + 8 . 11 ... 1 + 1
n ch÷ sè 4 n - 1 ch÷ sè 8 n ch÷ sè 4 n ch÷ sè 8
n ch÷ sè 4
n ch÷ sè 1
10n 1 n
10n 1
= 4.
.10 8.
1
9
9
9
Chuyªn ®Ò BDHSG To¸n THCS
2n
n
n
2n
n
= 4.10 4.10 8.10 8 9 4.10 4.10 1
9
9
2
2.10n 1
=
3
n + 1 = 200...01 cã tæng c¸c ch÷ sè chia hÕt cho 3 nªn nã chia hÕt cho 3
Ta thÊy 2.10
n - 1 ch÷ sè 0
2
2.10n 1
=>
Z hay c¸c sè cã d¹ng 44 ... 488 ... 89 lµ sè chÝnh ph¬ng.
3
C¸c bµi t¬ng tù:
Chøng minh r»ng sè sau ®©y lµ sè chÝnh ph¬ng.
A = 11 ... 1 + 44 ... 4 + 1
2n ch÷ sè 1
n ch÷ sè 4
B = 11 ... 1 + 11 . . .1 + 66 . . . 6 + 8
2n ch÷ sè 1 n+1 ch÷ sè 1
n ch÷ sè 6
C= 44 . . . 4 + 22 . . . 2 + 88 . . . 8 + 7
2n ch÷ sè 4
n+1 ch÷ sè 2
n ch÷ sè 8
D = 22499 . . .9100 . . . 09
n-2 ch÷ sè 9
n ch÷ sè 0
E = 11 . . .155 . . . 56
n ch÷ sè 1
n-1 ch÷ sè 5
2
n
KÕt qu¶: A= 10 2 ;
3
2
2
10n 8
B
;
3
2.10n 7
C
3
2
10 n 2
n - 3)2
D = (15.10
E=
3
Bµi 5: Chøng minh r»ng tæng c¸c b×nh ph¬ng cña 5 sè tù nhiªn liªn tiÕp kh«ng thÓ lµ mét
sè chÝnh ph¬ng.
Gäi 5 sè tù nhiªn liªn tiÕp ®ã lµ n - 2, n - 1, n +1, n + 2 ( n N, n >2).
Ta cã (n - 2)2 + ( n - 1)2 + n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 = 5 . (n2 + 2)
V× n2 kh«ng thÓ tËn cïng bëi 3 hoÆc 8 do ®ã n2 + 2 kh«ng thÓ chia hÕt cho 5
=> 5. (n2 + 2) kh«ng lµ sè chÝnh ph¬ng hay A kh«ng lµ sè chÝnh ph¬ng.
Bµi 6: Chøng minh r»ng sè cã d¹ng n6 - n4 + 2n3 + 2n2 trong ®ã n N vµ n >1
kh«ng ph¶i lµ sè chÝnh ph¬ng.
n6 - n 4 + 2n3 + 2n2 = n2. (n4 - n2 + 2n +2) = n2. [n2(n-1)(n+1) +2(n+1)]
= n2[(n+1)(n3 - n2 + 2)] = n2(n + 1) . [(n3 + 1) - (n2 - 1)]
= n2(n + 1)2 . (n2 - 2n + 2)
Víi n N, n > 1 th× n2 - 2n + 2 = ( n -1)2 + 1 > ( n - 1)2
Vµ n2 - 2n + 2 = n2 - 2(n - 1) < n2
VËy (n - 1)2 < n2 - 2n + 2 < n2 => n2 - 2n + 2 kh«ng ph¶i lµ mét sè chÝnh ph¬ng.
Bµi 7: Cho 5 sè chÝnh ph¬ng bÊt kú cã ch÷ sè hµng chôc kh¸c nhau cßn ch÷ sè hµng ®¬n vÞ
®Òu lµ 6. Chøng minh r»ng tæng c¸c ch÷ sè hµng chôc cña 5 sè chÝnh ph¬ng ®ã lµ mét sè
chÝnh ph¬ng.
Ta biÕt mét sè chÝnh ph¬ng cã ch÷ sè hµng ®¬n vÞ lµ 6 th× ch÷ sè hµng chôc cña nã lµ sè
lÎ. V× vËy ch÷ sè hµng chôc cña 5 sè chÝnh ph¬ng ®ã lµ 1,3,5,7,9 khi ®ã tæng cña chóng
b»ng 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 lµ sè chÝnh ph¬ng.
Bµi 8: Chøng minh r»ng tæng b×nh ph¬ng cña 2 sè lÎ bÊt kú kh«ng ph¶i lµ sè chÝnh ph¬ng.
a vµ b lÎ nªn a = 2k + 1, b= 2m + 1 (Víi k, m N).
10
Chuyªn ®Ò BDHSG To¸n THCS
=> a2 + b2 = (2k + 1)2 + ( 2m + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 + 4m2 + 4m + 1
= 4 (k2 + k + m2 + m) + 2
=> a2 + b2 kh«ng thÓ lµ sè chÝnh ph¬ng.
Bµi 9: Chøng minh r»ng nÕu p lµ tÝch cña n (víi n > 1) sè nguyªn tè ®Çu tiªn
th× p - 1 vµ p + 1 kh«ng thÓ lµ c¸c sè chÝnh ph¬ng.
V× p lµ tÝch cña n sè nguyªn tè ®Çu tiªn nªn pM vµ p kh«ng thÓ chia hÕt cho 4 (1)
2
a- Gi¶ sö p + 1 lµ sè chÝnh ph¬ng. §Æt p + 1 = m2 ( m N).
V× p ch½n nªn p + 1 lÎ => m2 lÎ => m lÎ.
§Æt m = 2k + 1 (k N). Ta cã m2 = 4k2 + 4k + 1 => p + 1 = 4k2 + 4k + 1
=> p = 4k2 + 4k = 4k (k + 1) M4 m©u thuÉn víi (1).
=> p + 1 kh«ng ph¶i lµ sè chÝnh ph¬ng.
b- p = 2.3.5... lµ sè chia hÕt cho 3 => p - 1 cã d¹ng 3k + 2.
=> p - 1 kh«ng lµ sè chÝnh ph¬ng.
VËy nÕu p lµ tÝch n (n >1) sè nguyªn tè ®Çu tiªn th× p - 1 vµ p + 1 kh«ng lµ sè chÝnh ph¬ng.
Bµi 10: Gi¶ sö N = 1.3.5.7 . . . 2007. 2011
Chøng minh r»ng trong 3 sè nguyªn liªn tiÕp 2N - 1, 2N vµ 2N + 1 kh«ng cã sè nµo lµ sè
chÝnh ph¬ng.
a- 2N - 1 = 2.1.3.5.7 . . . 2011 - 1
Cã 2N M3 => 2N - 1 = 3k + 2 (k N)
=> 2N - 1 kh«ng lµ sè chÝnh ph¬ng.
b- 2N = 2.1.3.5.7 . . . 2011 => 2N ch½n.
=> N lÎ => N kh«ng chia hÕt cho 2 vµ 2N M2 nhng 2N kh«ng chia hÕt cho 4.
2N ch½n nªn 2N kh«ng chia cho 4 d 1 hoÆc d 3 => 2N kh«ng lµ sè chÝnh ph¬ng.
c- 2N + 1 = 2.1.3.5.7 . . . 2011 + 1
2N + 1 lÎ nªn 2N + 1 kh«ng chia hÕt cho 4
2N kh«ng chia hÕt cho 4 nªn 2N + 1 kh«ng chia cho 4 d 1.
=> 2N + 1 kh«ng lµ sè chÝnh ph¬ng.
Bµi 11: Cho a = 11 . . . 1 ; b = 100 . . . 05
2010 ch÷ sè 1
Gi¶i:
2009 ch÷ sè 0
Chøng minh ab 1 lµ sè tù nhiªn.
b = 100 . . . 05 = 100 . . . 0 - 1 + 6 = 99 . . . 9 + 6 = 9a + 6
2009 ch÷ sè 0
2010 ch÷ sè 0
2010 ch÷ sè 9
ab + 1 = a(9a + 6) + 1 = 9a2 + 6a + 1 = (3a + 1)2
ab 1 (3a 1) 3a 1 N
2
B. d¹ng 2: t×m gi¸ trÞ cña biÕn ®Ó biÓu thøc lµ sè chÝnh ph¬ng
Bµi 1: T×m sè tù nhiªn n sao cho c¸c sè sau lµ sè chÝnh ph¬ng
a) n2 + 2n + 12
b) n(n + 3)
c) 13n + 3
d) n2 + n + 1589
Gi¶i:
a) V× n2 + 2n + 12 lµ sè chÝnh ph¬ng nªn ®Æt n2 + 2n + 12 = k2 (k N)
(n2 + 2n + 1) + 11 = k2 k2 – (n + 1)2 = 11 (k + n + 1)(k – n - 1) = 11
NhËn xÐt thÊy k + n + 1 > k - n - 1 vµ chóng lµ nh÷ng sè nguyªn d ¬ng, nªn ta cã thÓ viÕt (k + n +
1) (k - n - 1) = 11.1
k + n + 1 = 11
k=6
k-n–1=1
n=4
2 (n N)
2 + 3n = a2
2 + 12n = 4a2
b) ®Æt n(n + 3) = a
n
4n
(4n2 + 12n + 9) – 9 = 4a2
(2n + 3)2 – 4a2 = 9
(2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9
NhËn xÐt thÊy 2n + 3 + 2a > 2n + 3 – 2a vµ chóng lµ nh÷ng sè nguyªn d¬ng, nªn ta cã thÓ viÕt
(2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9.1
2n + 3 + 2a = 9
n=1
2n + 3 – 2a = 1
a=2
11
Chuyªn ®Ò BDHSG To¸n THCS
c) §Æt 13n + 3 = y2 (y N)
13(n - 1) = y2 – 16
13(n - 1) = (y + 4)(y – 4)
13
13
13
(y + 4)(y – 4) mµ 13 lµ sè nguyªn tè nªn y + 4 hoÆc y – 4
y = 13k 4 (víi k N)
13(n - 1) = (13k 4)2 – 16 = 13k.(13k 8)
13k2 8k + 1
VËy n = 13k2 8k + 1 (víi k N) th× 13n + 3 lµ sè chÝnh ph¬ng
d) §Æt n2 + n + 1589 = m2 (m N)
(4n2 + 1)2 + 6355 = 4m2
(2m + 2n + 1) (2m – 2n – 1) = 6355
NhËn xÐt thÊy 2m + 2n + 1 > 2m – 2n – 1 > 0 vµ chóng lµ nh÷ng sè lÎ, nªn ta cã thÓ viÕt (2m
+ 2n + 1) (2m – 2n – 1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41
Suy ra n cã thÓ cã c¸c gi¸ trÞ sau : 1588 ; 316 ; 43 ; 28
Bµi t¬ng tù :
T×m a ®Ó c¸c sè sau lµ nh÷ng sè chÝnh ph¬ng
a)
a2 + a + 43
b)
a2 + 81
c)
a2 + 31a + 1984
KÕt qu¶:
a)
2; 42; 13
b)
0; 12; 40
c) 12 ; 33 ; 48 ; 97 ; 176 ; 332 ; 565 ; 1728
Bµi 2 : T×m sè tù nhiªn n 1 sao cho tæng 1! + 2! + 3! + … + n! lµ mét sè chÝnh ph¬ng.
Víi n = 1 th× 1! = 1 = 12 lµ sè chÝnh ph¬ng
Víi n = 2 th× 1! + 2! = 3 kh«ng lµ sè chÝnh ph¬ng
Víi n = 3 th× 1! + 2! + 3! = 1 + 1.2 + 1.2.3 = 9 = 33 lµ sè chÝnh ph¬ng
Víi n 4 ta cã 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 = 33 cßn 5!; 6!; …; n! ®Òu tËn
cïng bëi 0 do ®ã 1! + 2! + 3! + … n! cã tËn cïng bëi ch÷ sè 3 nªn nã kh«ng ph¶i lµ sè
chÝnh ph¬ng.
VËy cã 2 sè tù nhiªn n tho¶ m·n ®Ò bµi lµ n = 1; n = 3
Bµi 3: Cã hay kh«ng sè tù nhiªn n ®Ó 2010 + n2 lµ sè chÝnh ph¬ng.
Gi¶ sö 2010 + n2 lµ sè chÝnh ph¬ng th× 2010 + n2 = m2 (m N )
Tõ ®ã suy ra m2 - n2 = 2010 (m + n) (m – n) = 2010
Nh vËy trong 2 sè m vµ n ph¶i cã Ýt nhÊt 1 sè ch½n (1)
MÆt kh¸c m + n + m – n = 2m 2 sè m + n vµ m – n cïng tÝnh ch½n lÎ (2)
Tõ (1) vµ (2) m + n vµ m – n lµ 2 sè ch½n.
4
(m + n) (m – n) nhng 2006 kh«ng chia hÕt cho 4
§iÒu gi¶ sö sai.
VËy kh«ng tån t¹i sè tù nhiªn n ®Ó 2006 + n2 lµ sè chÝnh ph¬ng.
Bµi 4: BiÕt x N vµ x > 2. T×m x sao cho x ( x 1).x ( x 1) ( x 2) xx( x 1)
§¼ng thøc ®· cho ®îc viÕt l¹i nh sau: x( x 1) ( x 2) xx( x 1)
Do vÕ tr¸i lµ mét sè chÝnh ph¬ng nªn vÕ ph¶i còng lµ mét sè chÝnh ph¬ng.
Mét sè chÝnh ph¬ng chØ cã thÓ tËn cïng bëi mét trong c¸c ch÷ sè 0; 1; 4; 5; 6; 9 nªn x chØ
cã thÓ tËn cïng bëi mét trong c¸c ch÷ sè 1; 2; 5; 6; 7; 0 (1)
Do x lµ ch÷ sè nªn x 9, kÕt hîp víi ®iÒu kiÖn ®Ò bµi ta cã x N vµ 2 < x 9 (2)
Tõ (1) vµ (2) x chØ cã thÓ nhËn mét trong c¸c gi¸ trÞ 5; 6; 7
B»ng phÐp thö ta thÊy chØ cã x = 7 tho¶ m·n ®Ò bµi, khi ®ã 762 = 5776
Bµi 5: T×m sè tù nhiªn n cã 2 ch÷ sè biÕt r»ng 2n + 1 vµ 3n + 1 ®Òu lµ c¸c sè chÝnh ph¬ng.
Ta cã 10 n 99 nªn 21 2n + 1 199. T×m sè chÝnh ph¬ng lÎ trong kho¶ng trªn ta
®îc 2n + 1 b»ng 25; 49; 81; 121; 169 t¬ng øng víi sè n b»ng 12; 24; 40; 60; 84
Sè 3n + 1 b»ng 37; 73; 121; 181; 253. ChØ cã 121 lµ sè chÝnh ph¬ng.
VËy n = 40
Bµi 6: Chøng minh r»ng nÕu n lµ sè tù nhiªn sao cho n + 1 vµ 2n + 1 ®Òu lµ c¸c sè chÝnh ph¬ng th× n lµ béi sè cña 24
2
12
Chuyªn ®Ò BDHSG To¸n THCS
V× n + 1 vµ 2n + 1 lµ c¸c sè chÝnh ph¬ng nªn ®Æt n + 1 = k2, 2n + 1 = m2 (k, m N )
Ta cã m lµ sè lÎ m = 2a + 1 m2 = 4a(a + 1) + 1
Mµ
n
m 2 1 4a ( a 1)
2a (a 1)
2
2
n ch½n n + 1 lÎ k lÎ ®Æt k = 2b + 1 (víi b N ) k2 = 4b(b+1) + 1
8
n = 4b(b+1) n (1)
Ta cã: k2 + m2 = 3n + 2 2 (mod3)
MÆt kh¸c k2 chia cho 3 d 0 hoÆc 1, m2 chia cho 3 d 0 hoÆc 1
Nªn ®Ó k2 + m2 2 (mod3) th× k2 1 (mod3)
m2 1 (mod3)
3
3
3
(2)
m2 – k2 hay (2n + 1) – (n + 1) n
Mµ (8; 3) = 1
(3)
Tõ (1), (2), (3) n
24
Bµi 7: T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn n sao cho sè 28 + 211 + 2n lµ sè chÝnh ph¬ng
Gi¶ sö 28 + 211 + 2n = a2 (a N) th×
2n = a2 – 482 = (a + 48) (a – 48)
2p. 2q = (a + 48) (a – 48) víi p, q N ; p + q = n vµ p > q
a + 48 = 2p 2p 2q = 96 2q (2p-q – 1) = 25.3
a – 48 = 2q
q = 5 vµ p – q = 2 p = 7
n = 5 + 7 = 12
Thö l¹i ta cã: 28 + 211 + 2n = 802
C.d¹ng 3 : T×m sè chÝnh ph¬ng
Bµi 1 : Cho A lµ sè chÝnh ph¬ng gåm 4 ch÷ sè. NÕu ta thªm vµo mçi ch÷ sè cña A mét ®¬n
vÞ th× ta ®îc sè chÝnh ph¬ng B. H·y t×m c¸c sè A vµ B.
Gäi A = abcd k . NÕu thªm vµo mçi ch÷ sè cña A mét ®¬n vÞ th× ta cã sè
B = ( a 1)(b 1)(c 1)( d 1) m víi k, m N vµ 32 < k < m < 100
a, b, c, d = 1; 9
A = abcd k
Ta cã:
B = abcd 1111 m . §óng khi céng kh«ng cã nhí
2 – k2 = 1111
m
(m - k)(m + k) = 1111 (*)
NhËn xÐt thÊy tÝch (m – k)(m + k) > 0 nªn m – k vµ m + k lµ 2 sè nguyªn d¬ng.
Vµ m – k < m + k < 200 nªn (*) cã thÓ viÕt (m – k) (m + k) = 11.101
Do ®ã:
m – k = 11
m = 56
A = 2025
m + k = 101
n = 45
B = 3136
Bµi 2: T×m mét sè chÝnh ph¬ng gåm 4 ch÷ sè biÕt r»ng sè gåm 2 ch÷ sè ®Çu lín h¬n sè
gåm 2 ch÷ sè sau mét ®¬n vÞ.
§Æt abcd k ta cã ab cd 1 vµ k N, 32 k < 100
Suy ra : 101 cd = k2 – 100 = (k – 10)(k + 10) k + 10 hoÆc k – 10
101
101
Mµ (k – 10; 101) = 1 k + 10
101
V× 32 k < 100 nªn 42 k + 10 < 110 k + 10 = 101 k = 91
abcd = 912 = 8281
Bµi 3: T×m sè chÝnh ph¬ng cã 4 ch÷ sè biÕt r»ng 2 ch÷ sè ®Çu gièng nhau, 2 ch÷ sè cuèi
gièng nhau.
Gäi sè chÝnh ph¬ng ph¶i t×m lµ: aabb = n2 víi a, b N, 1 a 9; 0 b 9
Ta cã: n2 = aabb = 11. a0b = 11.(100a + b) = 11.(99a + a + b) (1)
NhËn xÐt thÊy aabb a + b
11
11
Mµ 1 a 9; 0 b 9 nªn 1 a + b 18 a + b = 11
2
2
2
2
2
13
Chuyªn ®Ò BDHSG To¸n THCS
Thay a + b = 11 vµo (1) ®îc n2 = 112(9a + 1) do ®ã 9a + 1 lµ sè chÝnh ph¬ng
B»ng phÐp thö víi a = 1; 2;…; 9 ta thÊy chØ cã a = 7 tho¶ m·n b = 4
Sè cÇn t×m lµ: 7744
Bµi 4: T×m mét sè cã 4 ch÷ sè võa lµ sè chÝnh ph¬ng võa lµ mét lËp ph¬ng.
Gäi sè chÝnh ph¬ng ®ã lµ abcd . V× abcd võa lµ sè chÝnh ph¬ng võa lµ mét lËp ph¬ng nªn
®Æt abcd = x2 = y3 víi x, y N
V× y3 = x2 nªn y còng lµ mét sè chÝnh ph¬ng.
Ta cã : 1000 abcd 9999 10 y 21 vµ y chÝnh ph¬ng
y = 16 abcd = 4096
Bµi 5 : T×m mét sè chÝnh ph¬ng gåm 4 ch÷ sè sao cho ch÷ sè cuèi lµ sè nguyªn tè, c¨n bËc
hai cña sè ®ã cã tæng c¸c ch÷ sè lµ mét sè chÝnh ph¬ng.
Gäi sè ph¶i t×m lµ abcd víi a, b, c, d nguyªn vµ 1 a 9; 0 b, c, d 9
abcd chÝnh ph¬ng d 0, 1, 4, 5, 6, 9
d nguyªn tè d = 5
§Æt abcd = k2 < 10000 32 k < 100
k lµ mét sè cã hai ch÷ sè mµ k2 cã tËn cïng b»ng 5 k tËn cïng b»ng 5
Tæng c¸c ch÷ sè cña k lµ mét sè chÝnh ph¬ng k = 45
abcd = 2025
VËy sè ph¶i t×m lµ: 2025
Bµi 6: T×m sè tù nhiªn cã hai ch÷ sè biÕt r»ng hiÖu c¸c b×nh ph¬ng cña sè ®ã vµ viÕt sè bë
hai ch÷ sè cña sè ®ã nhng theo thø tù ngîc l¹i lµ mét sè chÝnh ph¬ng
Gäi sè tù nhiªn cã hai ch÷ sèph¶i t×m lµ ab (a, b N, 1 a, b 9)
Sè viÕt theo thø tù ngîc l¹i ba
Ta cã ab 2 - ba 2 = (10a + b)2 – (10b + a)2 = 99 (a2 – b2) a2 – b2
11
11
Hay (a - b) (a + b)
11
V× 0 < a – b 8, 2 a + b 18 nªn a + b a + b = 11
11
Khi ®ã: ab 2 - ba 2= 32 . 112 . (a – b)
§Ó ab 2 - ba 2 lµ sè chÝnh ph¬ng th× a – b ph¶i lµ sè chÝnh ph¬ng do ®ã a – b = 1 hoÆc a
–b=4
NÕu a – b = 1 kÕt hîp víi a + b = 11 a = 6, b = 5 , ab = 65
Khi ®ã 652 – 562 = 1089 = 332
NÕu a – b = 4 kÕt hîp víi a + b = 11 a = 7,5 lo¹i
VËy sè ph¶i t×m lµ 65
Bµi 7: Cho mét sè chÝnh ph¬ng cã 4 ch÷ sè. NÕu thªm 3 vµo mçi ch÷ sè ®ã ta còng ®îc
mét sè chÝnh ph¬ng. T×m sè chÝnh ph¬ng ban ®Çu.
(KÕt qu¶: 1156)
Bµi 8: T×m sè cã 2 ch÷ sè mµ b×nh ph¬ng cña sè Êy b»ng lËp ph¬ng cña tæng c¸c ch÷ sè
cña nã.
Gäi sè ph¶i t×m lµ ab víi a, b N, 1 a 9; 0 b 9
Theo gi¶ thiÕt ta cã: ab = (a + b)3
(10a +b)2 = (a + b)3
ab lµ mét lËp ph¬ng vµ a + b lµ mét sè chÝnh ph¬ng
§Æt ab = t3 (t N), a + b = 12 (1 N)
V× 10 ab 99 ab = 27 hoÆc ab = 64
NÕu ab = 27 a + b = 9 lµ sè chÝnh ph¬ng
NÕu ab = 64 a + b = 10 kh«ng lµ sè chÝnh ph¬ng lo¹i
VËy sè cÇn t×m lµ ab = 27
Bµi 9 : T×m 3 sè lÎ liªn tiÕp mµ tæng b×nh ph¬ng lµ mét sè cã 4 ch÷ sè gièng nhau.
14
Chuyªn ®Ò BDHSG To¸n THCS
Gäi 3 sè lÎ liªn tiÕp ®ã lµ 2n - 1 ; 2n + 1 ; 2n + 3 (n N)
Ta cã : A = (2n – 1)2 + (2n + 1)2 + (2n +3)2 = 12n2 + 12n + 11
Theo ®Ò bµi ta ®Æt 12n2 + 12n + 11 = aaaa = 1111 . a víi a lÎ vµ 1 a 9
12n(n + 1) = 11(101a – 1)
3
3
101a – 1 2a – 1
V× 1 a 9 nªn 1 2a – 1 17 vµ 2a – 1 lÎ nªn 2a – 1 3; 9;15
a 2; 5; 8
V× a lÎ a = 5 n = 21
3 sè cÇn t×m lµ: 41; 43; 45
Bµi 10 : T×m sè cã 2 ch÷ sè sao cho tÝch cña sè ®ã víi tæng c¸c ch÷ sè cña nã b»ng tæng
lËp ph¬ng c¸c ch÷ sè cña sè ®ã.
3
3
ab (a + b) = a + b
10a + b = a2 – ab + b2 = (a + b)2 – 3ab
3a (3 + b) = (a + b) (a + b – 1)
a + b vµ a + b – 1 nguyªn tè cïng nhau do ®ã
a + b = 3a
hoÆc
a + b – 1 = 3a
a+b–1=3+b
a+b=3+b
a = 4, b = 8
hoÆc
a = 3, b = 7
VËy ab = 48 hoÆc ab = 37
Chuyªn ®Ò 2:
ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn
1. T×m nghiÖm nguyªn cña Ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn
Tuú tõng bµi cô thÓ mµ lµm c¸c c¸ch kh¸c nhau.
VD1: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: 2x + 3y = 11 (1)
C¸ch 1: Ph¬ng ph¸p tæng qu¸t:
Ta cã: 2x + 3y = 11
x
11 3 y
y 1
5 y
2
2
§Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nguyªn
§Æt
y 1
tZ
2
y 1
2
nguyªn
y = 2t + 1
x = -3t + 4
C¸ch 2 : Dïng tÝnh chÊt chia hÕt
V× 11 lÎ 2x + 3y lu«n lµ sè lÎ mµ 2x lu«n lµ sè ch½n 3y lÎ y lÎ
Do ®ã :
y = 2t + 1 víi t Z
x = -3t + 4
C¸ch 3 : Ta nh©n thÊy ph¬ng tr×nh cã mét cÆp nghiÖm nguyªn ®Æc biÖt lµ
x0 = 4 ; y0 = 1
ThËt vËy : 2 . 4 + 3.1 = 11
(2)
Trõ (1) cho (2) vÕ theo vÕ ta cã :
2(x - 4) + 3(y - 1) = 0
2(x -4) = -3(y -1)
(3)
Tõ (3) 3(y - 1) mµ (2 ; 3) = 1 y - 1
2
2
y = 2t + 1 víi t Z
Thay y = 2t + 1 vµo (3) ta cã : x = -3t + 4
15
Chuyªn ®Ò BDHSG To¸n THCS
NhËn xÐt : Víi c¸ch gi¶i nµy ta ph¶i mß ra mét cÆp nghiÖm nguyªn (x0, y0) cña ph¬ng tr×nh
ax + by = c ; c¸ch nµy sÏ gÆp khã kh¨n nÕu hÖ sè a, b, c qu¸ lín.
C¸c bµi tËp t¬ng tù : T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh.
a)
3x + 5y = 10
b)
4x + 5y = 65
c)
5x + 7y = 112
VD2 : HÖ ph¬ng tr×nh.
T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña hÖ ph¬ng tr×nh sau :
3x + y + z = 14
(1)
5x + 3y + z = 28
(2)
Gi¶i : Tõ hÖ ®· cho ta cã : 2(x + y) = 14 vËy x = 7 - y (*)
Thay (*) vµo (1) ta ®îc z = 14 - y - 3x = 2y -7
V× x > 0 nªn 7 - y > 0 y < 7 mµ z > 0 nªn 2y - 7 > 0 y >
VËy
7
2
7
2
y Z y 4; 5; 6
< y < 7 vµ
Gi¶i tiÕp hÖ ®· cho cã 3 nghiÖm (3; 4; 1); (2; 5; 3); (1; 6; 5)
Bµi tËp t¬ng tù:
a) T×m nghiÖm nguyªn cña hÖ
2x -5y = 5
2y - 3z = 1
b) Tr¨m tr©u ¨n tr¨m bã cá – tr©u ®øng ¨n n¨m, tr©u n»m ¨n ba, tr©u giµ 3 con 1 bã. T×m
sè tr©u mçi lo¹i.
c) T×m sè nguyªn d¬ng nhá nhÊt chia cho 1000 d 1 vµ chia cho 761 d 8.
2. T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh, hÖ ph¬ng tr×nh bËc cao.
Ph¬ng ph¸p 1 : Dïng dÊu hiÖu chia hÕt ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh.
VD1: a) T×m cÆp sè nguyªn (x ; y) tho¶ m·n ph¬ng tr×nh
6x2 + 5y2 = 74
(1)
C¸ch 1 : Ta cã : 6 (x2 - 4) = 5 (10 - y2)
(2)
Tõ (2) 6(x2 - 4) vµ (6 ; 5) = 1 x2 - 4
5
5
2
x = 5t + 4 víi t N
Thay x2 - 4 = 5t vµo (2) ta cã : y2 = 10 – 6t
V× x2 > 0 vµ y2 > 0
5t + 4 > 0
10 - 6t > 0
4
5
t
5
3
víi
tN
t = 0 hoÆc t = 1
Víi t = 0 y2 = 10
(lo¹i)
2
Víi t = 1
x =9
x= 3
y =4
y= 2
VËy c¸c cÆp nghiÖm nguyªn lµ :........................
C¸ch 2 : Tõ (1) ta cã
x2 + 1
5
2
0 < x 12
2
2
Víi x = 4 y = 10
(lo¹i)
2 = 9
2 = 4
Víi x
(tho¶ m·n)
y
VËy.....................
2
x2 = 4 hoÆc x2 = 9
16
Chuyªn ®Ò BDHSG To¸n THCS
C¸ch 3 : Ta cã :
(1) y2 ch½n
0 < y2 14
y2 = 4 x2 = 9
VËy...............
VD2 : Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh sau kh«ng cã nghiÖm nguyªn
a) x5 + 29x = 10(3y + 1)
b) 7x = 2y - 3z - 1
Gi¶i : x5 - x + 30x = 10(3y+1)
VP cßn VT ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
30
30
Ph¬ng ph¸p 2: Ph©n tÝch mét vÕ thµnh tÝch, mét vÕ thµnh h»ng sè nguyªn
VD1: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh:
a) xy + 3x - 5y = -3
b) 2x2 - 2xy + x - y + 15 = 0
c) x2 + x = y2 - 19
Gi¶i : a) C¸ch 1: x(y + 3) – 5(y + 3) = -18
(x – 5) (y + 3) = -18...
C¸ch 2 :
x
5y 3
18
5
y3
y 3
b) T¬ng tù.
c) 4x2 + 4x = 4y2 - 76
(2x + 1)2 - (2y)2 = -75...
Ph¬ng ph¸p 3 : Sö dông tÝnh ch½n lÎ (®Æc biÖt cña chia hÕt)
VD2 : T×m nghiÖm nguyªn.
x3 - 2y3 - 4z3 = 0
Gi¶i : x3 = 2(y3 + 2z3)
VP x3 x ®Æt x = 2k
2
2
2
3
3
3
3
8k = 2(y + 2z ) 4k = y3 + 2z3
y3 = 4k3 - 2z3 = 2(2k3 - z3)
y ch½n. §Æt y = 2t ta cã :
8t3 = 2(2k3 - z3) 4t3 = 2k3 - z3
z3 = 2k3 - 4t3 z ch½n z = 2m
8m3 = 2(k3 - 2t3) ......k ch½n.......
Ph¬ng ph¸p 4 : Ph¬ng ph¸p sö dông tÝnh chÊt cña sè chÝnh ph¬ng
VD1 : T×m nghiÖm nguyªn cña.
a) x2 - 4xy + 5y2 = 169
b) x2 - 6xy + 13y2 = 100
Gi¶i :
a) (x - 2y)2 + y2 = 169 = 0 + 169 = 25 + 144...
b) (x – 3y)2 + (2y)2 = 100 = 0 + 100 = 36 + 64 = ...
Ph¬ng ph¸p 5 : Ph¬ng ph¸p c«ng thøc nghiÖm ph¬ng tr×nh bËc 2
VD1 : T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh.
a) 2x2 -2xy + x + y + 15 = 0
b) 5(x2 + xy + y2) = 7(x+2y) (®Ò thi häc sinh giái tØnh 2009 – 2010)
c) x(x + 1) = y (y + 1) (y2 + 2)
Ph¬ng ph¸p 6 : Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô
17
Chuyªn ®Ò BDHSG To¸n THCS
2
2
VD: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: x2 2 x 1 x 2 2 x 2 7
x 2x 2
§Æt y = x2 + 2x + 2 (y Z)
(1)
y 1
y
7
y
y 1 6
y1
3
5
6
(1)
5y2 – 7y – 6 = 0
y2 = 2
(lo¹i) ;
x 2x 3
(tho¶ m·n) x1 = 0; x2 = -2
C¸c bµi tËp t¬ng tù:
a) x3 + (x + 1)3 + (x + 2)3 = (x + 3)3
b)
1
1
1
2
x ( x 2)
12
( x 1)
* Mét sè ph¬ng ph¸p kh¸c.
VD1 : T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh :
2x2 + 4x = 19 -3y2
Gi¶i : 4x2 + 8x + 4 = 42 - 6y2
(2x + 2)2 = 6 (7 - y2)
V× (2x + 2)2 0 7 - y2 0 y 2 7
Mµ y Z y = 0 ; 1 ; 2 Tõ ®©y ta t×m ®îc gi¸ trÞ t¬ng øng cña x
3. Mét sè bµi to¸n liªn quan tíi h×nh häc.
a) Cho tam gi¸c cã ®é dµi cña 3 ®êng cao lµ nh÷ng sè nguyªn d¬ng vµ ®êng trßn néi tiÕp
tam gi¸c ®ã cã b¸n kÝnh b»ng 1(®.v.®.d). Chøng minh tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c ®Òu
Gi¶i: Gäi ®é dµi c¸c c¹nh vµ c¸c ®êng cao t¬ng øng theo thø tù lµ a; b; c vµ x; y; z. R lµ b¸n
kÝnh ®êng trßn néi tiÕp.
Ta cã R = 1 x; y; z > 2 vµ gi¶ sö x y z > 2
Ta cã : ax = by = cz = (a + b+ c).1 (=2S)
Suy ra:
x
abc
a
1
a
x abc
1
1 1
1
x
y
z
;
abc
abc
; z
b
c
1
b
c
; 1
y
abc
z abc
;
y
mµ x y z > 2
1
1
1
1
1
3
1 1
vµ z y nªn x y z z
z
x
3
1
z3 z=3
z
T¬ng tù ta cã: x = 3; y = 3 tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c ®Òu
b) T×m tÊt c¶ c¸c h×nh ch÷ nhËt víi ®é dµi c¸c c¹nh lµ c¸c sè nguyªn d¬ng cã thÓ c¾t thµnh
13 h×nh vu«ng b»ng nhau sao cho mçi c¹nh cña h×nh vu«ng lµ sè nguyªn d¬ng kh«ng lín
h¬n 4 (®.v.®.d)
Gi¶i : Gäi c¸c c¹nh h×nh ch÷ nhËt cÇn t×m lµ a vµ b, c¹nh h×nh vu«ng lµ c. Tõ gi¶ thiÕt h×nh
ch÷ nhËt c¾t thµnh 13 h×nh vu«ng nªn ph¶i cã:
ab = 13c2 (1) víi 0 < c 4
(2)
Tõ (1) suy ra a hoÆc b chia hÕt cho 13. V× vai trß a, b nh nhau ta cã thÓ gi¶ gi¶ sö a chia hÕt
cho 13, tøc lµ a = 13d
Thay vµo (1) ta ®îc : 13db = 13c2
Hay
db = c2
Ta h·y xÐt c¸c trêng hîp cã thÓ cã cña c.
Víi c = 1, chØ cã thÓ:
d = 1, b = 1, suy ra a = 13
Víi c = 2, chØ cã thÓ:
d = 1, b = 4, suy ra a = 13
18
Chuyªn ®Ò BDHSG To¸n THCS
d = 2, b = 2, suy ra a = 26
d = 4, b = 1, suy ra a = 52
Víi c = 3, chØ cã thÓ:
d = 1, b = 9, suy ra a = 13
d = 3, b = 3, suy ra a = 39
d = 9, b = 1, suy ra a = 117
Víi c = 4, chØ cã thÓ:
d = 1, b = 16, suy ra a = 13
d = 2, b = 8, suy ra a = 26
d = 4, b = 4, suy ra a = 52
d = 8, b = 2, suy ra a = 104
d = 16, b = 1, suy ra a = 208
Víi 12 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) chØ cã 4 trêng hîp tho¶ m·n bµi to¸n. Bµi to¸n cã 4
nghiÖm. Ta t×m ®îc 4 h×nh ch÷ nhËt tho¶ m·n ®Ò bµi:
(a = 13, b = 1); (a = 26, b = 2); (a = 39, b = 3); (a = 52, b = 4)
Chuyªn ®Ò 3:
Gi¶i ph¬ng tr×nh v« tû vµ hÖ ph¬ng tr×nh
(Dµnh cho båi dìng häc sinh giái tØnh)
I. Gi¶i ph¬ng tr×nh v« tû
* C¸c ph¬ng ph¸p
1. Luü thõa khö c¨n
2. §Æt Èn phô
3. Dïng bÊt ®¼ng thøc
4. XÐt kho¶ng
II. ¸p dông c¸c ph¬ng ph¸p
A. Phương pháp luỹ thừa khử căn
1. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh
a)
x 1 2 x 3 2(1)
§iÒu kiÖn:
Víi
x
3
2
3
x
2
PT (1)
x 1 2x 3 2 2x 2 5x 3 4
2 2 x 2 5x 3 8 3x
4(2 x 2 5 x 3) 64 9 x 2 48 x(2)
8
x
3
PT (2) x 2 28 x 52 0
x 2(tm)
x 26( Kotm)
VËy PT ®· cho cã nghiÖm x=2
b) 3( x x 1) ( x
§K: x 1
2
x 1) 2 (1)
19
Chuyªn ®Ò BDHSG To¸n THCS
Víi x 1 PT (1)
3( x 2 x 1) x 2 2 x
2x 2 4x 4 2x x 1
x 1 x 1
x 2 2x 2 x x 1
Do x 1 nªn 2 vÕ cña PT nµy kh«ng ©m v× vËy PT nµy
x 4 4 x 2 4 4 x 3 8x 4 x 2 x 3 x 2
x 4 5x 3 9 x 2 8x 4 0
( x 2) 2 ( x 2 x 1) 0
x 2 0
2
x x 1 0
x2
…
c) 3 x 2 3
Gi¶i:
Pt (1)
3
2 x 2 1 (1)
3
x 2 3 2 x 2 1
x 2 2 x 2 33 ( x 2)( 2 x 2) .(3 ( x 2) 3 ( 2 x 2) 1
1 x 33 2 x 2 6 x 4
1 3x 3 x 2 x 3 27( 2 x 2 6 x 4)
x 3 51x 2 159 x 107 0
( x 1)( x 2 52 x 107) 0
x 1
x 1
x 26 783
2
x 26 783
x 52 x 107 0
B. Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô
(2) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh:
a) 3 x 2 x 1 3
Gi¶i:
§K: x 1
§Æt
3
x 2 a;
x 1 b (b 0 )
a 3 b 2 3
Ta cã hÖ PT
a b 3
Suy ra a 3 a 2 6a 6 0
( a 1)( a 2 6) 0
a 1 x 3(T / m)
VËy ph¬ng tr×nh nghiÖm x 3
b. x x 5 5(1)
§K: x 5
§Æt : x 5 y ( y 0) ta cã hÖ ph¬ng tr×nh
2
20
- Xem thêm -
.DOC 
76 
175 
123 
