Tài liệu Sự hội tụ yếu và ứng dụng

Khóa luận tốt nghiệp Sv. Nguyễn Thị Thanh Tuyền trƣờng đại học sƣ phạm hà nội 2 khoa toán ************* nguyễn thị thanh tuyền sự hội tụ yếu và ứng dụng khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Giải tích Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TS. Trần văn bằng Hà Nội - 2008 1 Khóa luận tốt nghiệp Sv. Nguyễn Thị Thanh Tuyền LỜI CẢM ƠN Bản khoá luận tốt nghiệp này là bước đầu tiên để em làm quen với việc nghiên cứu khoa học. Trước sự bỡ ngỡ và gặp nhiều khó khăn khi mới bắt đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học, em đã nhận được sự giúp đỡ động viên của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên khoa Toán. Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Trần Văn Bằng, đã giúp em hoàn thành khoá luận này. Em cũng xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện để em hoàn thành được khoá luận này. Xuân Hoà tháng 5 năm 2008 Sinh viên Nguyễn Thị Thanh Tuyền 2 Khóa luận tốt nghiệp Sv. Nguyễn Thị Thanh Tuyền LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết quả của đề tài: ‘‘Sự hội tụ yếu và ứng dụng ’’ đảm bảo tính chính xác, khách quan, khoa học, không trùng với kết quả của tác giả khác. Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. Xuân Hoà tháng 5 năm 2008 Sinh viên Nguyễn Thị Thanh Tuyền 3 Khóa luận tốt nghiệp Sv. Nguyễn Thị Thanh Tuyền MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn Lời cam đoan Mở đầu ………………………………….............................................. 1 Chương 1: Kiến thức chuẩn bị………………………………………... 3 1.1. Các định nghĩa ………………………………………….. 3 1.1.1. Không gian tô pô …………………………………... 3 1.1.2. Độ đo ………………………………………………. 5 1.1.3. Không gian metric …………………………………. 8 1.1.4. Không gian tuyến tính ……………………………... 10 1.1.5. Không gian tuyến tính định chuẩn ………………… 12 1.1.6. Không gian Hilbert ………………………………… 14 1.1.7. Các định nghĩa khác ……………………………….. 15 1.2. Các định lí ………………………………………………. 18 1.2.1. Không gian tuyến tính định chuẩn............................. 18 1.2.2. Không gian Hilbert.................................................... 18 1.2.3. Đối ngẫu của không gian tuyến tính định chuẩn........ 20 1.3. Kiến thức liên quan khác................................................... 21 Chương 2: Sự hội tụ yếu ……………………………………………... 22 2.1. Định nghĩa ………………………………………………. 22 2.2. Tính bị chặn đều của dãy hội tụ yếu ……………………. 27 2.3. Tính liên tục compact yếu ………………………………. 33 2.4. Sự hội tụ yếu* …………………………………………... 36 Chương 3: Ứng dụng của sự hội tụ yếu ……………………………… 3.1. Xấp xỉ hàm  40 bởi những hàm liên tục …………………. 40 3.2. Sự phân kì của chuỗi Fourier …………………………… 42 3.3. Cầu phương xấp xỉ ……………………………………… 44 3.4. Tính giải tích yếu, giải tích mạnh trong các hàm giá trị vectơ ………………………………………………………… 4 45 Khóa luận tốt nghiệp Sv. Nguyễn Thị Thanh Tuyền 3.5. Sự tồn tại nghiệm của phương trình đạo hàm riêng …….. 47 3.6. Sự biểu diễn các hàm giải tích với phần thực dương …… 51 Kết luận……………………………………………………………….. 55 Tài liệu tham khảo ……………………………………………………. 57 5 Khóa luận tốt nghiệp Sv. Nguyễn Thị Thanh Tuyền MỞ ĐẦU Lý thuyết hàm và giải tích hàm có tầm quan trọng đặc biệt đối với toán học cơ bản và ứng dụng vào các chuyên ngành khác nhƣ giải tích phức, lý thuyết xấp xỉ, phƣơng trình đạo hàm riêng, có thể nói giải tích hàm là cơ sở của hầu hết các môn học. Sự xâm nhập ấy, một mặt đã mở ra những chân trời rộng lớn cho các ngành toán học nói trên, mặt khác nó đề ra cho ngành giải tích hàm phải đúc kết những kết quả của những ngành toán học riêng rẽ để trong trừng mực nào đó đề ra những kết quả của mình. Trong lý thuyết giải tích hàm thì sự hội tụ yếu giữ một vị trí quan trọng, cho nên từ niềm say mê của bản thân và sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo - Tiến sĩ Trần Văn Bằng, em đã mạnh dạn thực hiện luận văn với đề tài: “Sự hội tụ yếu và ứng dụng”. Bài khóa luận gồm 3 chƣơng: Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị Chƣơng 2: Sự hội tụ yếu Chƣơng 3: Ứng dụng của sự hội tụ yếu. Do thời gian có hạn và mới làm quen với việc nghiên cứu khoa học, cho nên những vấn đề đƣợc trình bày trong bản khóa luận này không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy em rất mong nhận đƣợc nhiều ý kiến đóng góp của các thầy cô và bạn đọc, để đề tài đƣợc hoàn thiện hơn. 6 Khóa luận tốt nghiệp Sv. Nguyễn Thị Thanh Tuyền Qua đây em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo - Tiến sĩ Trần Văn Bằng, đã tận tình hƣớng dẫn em và các thầy cô trong khoa Toán đã tạo điều kiện và có những ý kiến giúp cho bản khóa luận đƣợc hoàn thành. Cuối cùng em xin chúc các thầy cô cùng gia đình luôn mạnh khỏe, thành công trong cuộc sống. 7 Khóa luận tốt nghiệp Sv. Nguyễn Thị Thanh Tuyền CHƢƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA 1.1.1 Không gian tô pô Định nghĩa 1.1.1 (Không gian tô pô) Cho tập X ,  là một họ tập con của X . Họ  đƣợc gọi là 1 tô pô trên X nếu  họ thoả mãn các điều kiện sau: i) X  , . ii) (G α )αM     G   . ii) (G j )1m  τ ( m N *)   Gj   .  M  m j 1 Cặp  X,  gọi là không gian tô pô. Định nghĩa 1.1.2 (Tập mở) Cho không gian tô pô  X,  , mỗi tập G   đƣợc gọi là một tập mở. Định nghĩa 1.1.3 (Tập đóng) Tập hợp F trong không gian tô pô  X,  đƣợc gọi là tập hợp đóng nếu X \ F là tập mở. 8 Khóa luận tốt nghiệp Sv. Nguyễn Thị Thanh Tuyền Định nghĩa 1.1.4 (Lân cận) Cho không gian tô pô  X,  , x  X . Tập V  X đƣợc gọi là lân cận của điểm x trong không gian  X,  nếu tồn tại tập mở G sao cho: x  G  V. Định nghĩa 1.1.5 (Phần trong) Cho không gian tô pô  X,  , A  X. Ta gọi phần trong của tập A là hợp của tất cả các tập mở chứa trong A. 0 Kí hiệu: intA hoặc A . Định nghĩa 1.1.6 (Bao đóng của một tập) Cho không gian tô pô  X,  , A  X. Ta gọi bao đóng của tập A là giao của tất cả các tập hợp đóng chứa A.  Kí hiệu : A . Định nghĩa 1.1.7 (Tập trù mật) Cho không gian tôpô  X,  , A  X. Tập A đƣợc gọi là trù mật nếu:  A = X. Định nghĩa 1.1.8 (Không gian tách được) Không gian tô pô tách được là không gian có chứa một tập con đếm đƣợc trù mật. 9 Khóa luận tốt nghiệp Sv. Nguyễn Thị Thanh Tuyền 1.1.2. Độ đo Định nghĩa 1.1.9 (Đại số) Một họ M những tập con của một tập hợp X gọi là một đại số những tập con của X nếu: i) X M ; A  M,X \ A  M . ii) Với mọi họ hữu hạn tuỳ ý A1,A2,…,An  M,  A i  M. n i 1 Định nghĩa 1.1.10 (σ_đại số) M gọi là σ_đại số những tập hợp con của X nếu nó thoả mãn: i) X M, A  M,X \ A  M . ii) Với một họ đếm đƣợc bất kì A1, A2,…  M,  A i  M.  i 1 Định nghĩa 1.1.11 (Không gian đo được) Cặp (X,M) trong đó M là một σ_đại số những tập con của X gọi là không gian đo được. Mỗi tập A M gọi là một tập hợp đo đƣợc. Định nghĩa 1.1.12 (Hàm đo được) Cho một không gian đo đƣợc (X,M) và A M. Hàm số f : A →  gọi là đo được trên A nếu mỗi a  , tập hợp {x A : f(x) < a} M. 10 Khóa luận tốt nghiệp Sv. Nguyễn Thị Thanh Tuyền Định nghĩa 1.1.13 (Hàm tập hợp, hàm số cộng tính, σ_cộng tính)  + Giả sử X là một không gian tô pô, X, khi đó ánh xạ m :  là một lớp những tập hợp con của → R gọi là hàm tập hợp. + Hàm tập hợp m gọi là cộng tính nếu: A,B   , A  B   , A  B   thì: m( A  B ) = m(A) + m(B). + Hàm tập hợp m gọi là cộng tính hữu hạn nếu: n (A i )1n   ,  A i   , Ai  Aj =  ( i  j ) thì i 1 n m(  A i ) = i 1 n  m(A ) . i i 1 + Hàm tập hợp m gọi là σ_cộng tính nếu (A i )1   ,  Ai  Aj =  ( i  j ), thì m(  A i ) = i 1   i 1 Ai  ,   m(A ) . i 1 i Định nghĩa 1.1.14 (Hàm tập hợp chính quy) Giả sử X là một không gian tô pô, m:  là một đại số những tập con của X, → [0;  ) là một hàm số cộng tính hoặc σ_cộng tính, m gọi là chính quy nếu  A  G    và   > 0, tồn tại F   có F  A và tồn tại một tập hợp có A  intG sao cho: m(G\F) <  . 11 Khóa luận tốt nghiệp Sv. Nguyễn Thị Thanh Tuyền Định nghĩa 1.1.15 (Độ đo Borel) Độ đo Borel trong một khoảng đóng hữu hạn. Gọi  [a;b]. Dễ thấy là họ tất cả các hợp hữu hạn khoảng đôi một rời nhau chứa trong  là một đại số những tập hợp con của [a;b]. Nếu I là một khoảng có 2 đầu mút c và d, tức là 1 trong các khoảng có dạng (c;d), [c;d], (c;d], [c;d) thì ta đặt: m(I) = d – c. n Nếu A=  Ii, trong đó Ii là những khoảng trong [a;b] đôi một rời nhau thì i 1 ta đặt: n m(A) =  m(I i ) . (* ) i 1 Dễ dàng thử lại giá trị m(A) không phụ thuộc vào cách biểu diễn của A. Đẳng thức (*) cho ta một hàm số m xác định trên đại số  . Ta thấy ngay m là một hàm số cộng tính hữu hạn và chính quy trên đại số   những tập con của tập compact [a;b]. Ngoài ra σ_đại số M sinh ra bởi chính là họ tất cả các tập hợp Borel trong [a;b]. Do đó tồn tại một độ đo chính quy μ xác định trên M sao cho:   = m. Μ gọi là độ đo Borel trong [a;b]. 12 Khóa luận tốt nghiệp Sv. Nguyễn Thị Thanh Tuyền 1.1.3. Không gian mêtric Định nghĩa 1.1.16 (Không gian mêtric) Ta gọi là không gian mêtric một tập hợp X   cùng với một ánh xạ d từ tích Descartes X  X vào tập hợp số thực R thoả mãn các tiên đề sau: i) x, y  X : d(x, y)  0 , d(x,y) = 0  x = y. ii) x, y X : d(x, y)  d(y, x) . iii) x, y, z  X : d(x, y)  d(x, z)  d(z, y). Kí hiệu: M = (X,d). Định nghĩa 1.1.17 (Dãy xn hội tụ tới x0) Cho không gian mêtric M = (X,d), dãy điểm (xn)  X, điểm x0 X. Dãy điểm (xn) gọi là hội tụ tới x0 trong không gian M khi n   , nếu  > 0, n0  N* ,n  n0 : d(xn,x0) <  . Kí hiệu: limx n  x 0 hay xn  x0 (n   ). n Định nghĩa 1.1.18 (Hình cầu) Cho không gian mêtric M = (X,d), a  X, số r > 0. Ta gọi: + Tập S(a,r) = {x  X: d(x,a) < r} là hình cầu mở tâm a bán kính r. + Tập S’(a,r) = {x X: d(x,a)  r } là hình cầu đóng tâm a bán kính r. Định nghĩa 1.1.19 (Lân cận, điểm trong) + Cho không gian mêtric M = (X,d). Ta gọi là lân cận của điểm x X trong không gian M mọi hình cầu mở tâm x, bán kính r > 0 nào đấy. 13 Khóa luận tốt nghiệp Sv. Nguyễn Thị Thanh Tuyền + Cho không gian mêtric M = (X,d), tập A  X, điểm b X. Điểm b gọi là điểm trong của tập A nếu tồn tại một lân cận của điểm b bao hàm trong tập A. Định nghĩa 1.1.20 (Tập mở, tập đóng) Cho không gian mêtric M = (X,d) và tập A  X. + Tập A gọi là tập mở trong không gian M, nếu mọi điểm thuộc A đều là điểm trong của A hay nói cách khác nếu x A, thì tồn tại một lân cận của x bao hàm trong A. + Tập A gọi là tập đóng trong không gian M, nếu điểm x A, thì tồn tại một lân cận của x không chứa điểm nào thuộc tập A. Ta có: trong không gian mêtric bất kì M = (X,d), họ  tất cả các tập mở trong M lập thành một tô pô trên X. Do đó không gian mêtric bất kì M = (X,d) đều là không gian tô pô (tô pô sinh bởi mêtric d). Vì vậy trong không gian mêtric có các khái niệm: phần trong, bao đóng, tập trù mật… Định nghĩa 1.1.21 (Dãy cơ bản) Cho không gian mêtric M = (X,d). Dãy điểm (xn)  X gọi là dãy cơ bản trong M, nếu  > 0, n0  N* ,n,m  n0 : d(xn,xm) <  , hay lim d(x n ,x m ) = 0. n,m Định nghĩa 1.1.22 (Không gian mêtric đầy) Không gian mêtric M = (X,d) gọi là không gian mêtric đầy nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này đều hội tụ. 14 Khóa luận tốt nghiệp Sv. Nguyễn Thị Thanh Tuyền 1.1.4 Không gian tuyến tính Định nghĩa 1.1.23 (Không gian tuyến tính) Một không gian tuyến tính X trên trƣờng F là một đối tƣợng toán học mà trong nó đƣợc xác định bởi hai phép toán: phép cộng và phép nhân vô hƣớng. Phép cộng, kí hiệu là +: x + y. Phép cộng có tính chất giao hoán, kết hợp và hợp thành một nhóm với phần tử trung hoà đƣợc viết là 0: x+y=y+x x + (y + z) = (x + y) + z x + 0 = x. Phép nhân giữa phần tử của X với phần tử k F, kí hiệu: k.x và k.x  X. Phép nhân cũng có tính chất kết hợp và phân phối: k(ax) = (ka)x k(x + y) = kx + ky (k+a)x = kx + ka trong đó a, k  F; x, y  F. Chúng ta có phép nhân với đơn vị của F, đó là số 1, xem nó nhƣ là một đồng nhất thức: 1.x = x. 15 Khóa luận tốt nghiệp Sv. Nguyễn Thị Thanh Tuyền Định nghĩa 1.1.24 (Tập lồi) Cho X là không gian tuyến tính trên trƣờng số thực  . Một tập con K  X đƣợc gọi là lồi nếu với bất kì x, y  K: ax +(1–a)y K, với 0  a  1. Định nghĩa 1.1.25 (Tích vô hướng) Tích vô hướng của không gian tuyến tính thực X là một hàm số nhận giá trị của hai biến x và y thuộc X. Kí hiệu là (x,y), thoả mãn các tiên đề: Song tuyến tính: Nếu y cố định, (x,y) là hàm tuyến tính của x. Nếu x cố i) định, (x,y) là hàm tuyến tính của y. ii) Tính đối xứng: (y,x) = (x,y). iii) Xác định dƣơng: (x,x) > 0, x  0 . Khi trƣờng vô hƣớng là  , (x,y) nhận giá trị phức và các tiên đề i) và ii) đƣợc thay bởi: Bán song tuyến tính: Cho y cố định, (x,y) là hàm số tuyến tính đối với i) x, và nếu x cố định thì (x,y) tuyến tính lệch đối y, tức là: (ax,y) = a(x,y); (x,ay) = a (x,y). ii) Phép đối xứng lệch: (y,x) = (x,y) . Định nghĩa 1.1.26 (Họ trực chuẩn) Một họ các vectơ trong không gian với tích vô hƣớng, {xj} đƣợc gọi là một họ trực chuẩn nếu: (xj,xk) = 0, với j  k và x j  1, j . 16 Khóa luận tốt nghiệp Sv. Nguyễn Thị Thanh Tuyền 1.1.5. Không gian tuyến tính định chuẩn Định nghĩa 1.1.27 (Không gian tuyến tính định chuẩn) Không gian tuyến tính định chuẩn X là không gian tuyến tính trên trƣờng F (F =  hay F =  ) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực  , kí hiệu là . và đọc là chuẩn, thoả mãn các tiên đề sau đây: i) x  X, x  0; x  0  x  0 . ii) x  X, F: x   x . iii) x,y  X, x  y  x  y . Số x gọi là chuẩn của vectơ x. Cho một tích vô hƣớng, chúng ta có thể định nghĩa chuẩn nhƣ sau: x = (x,x) . Ta thấy  có đầy đủ các tính chất của một chuẩn: tính dƣơng, tính thuần nhất và tính chất dƣới cộng tính. Nhận xét Không gian định chuẩn là không gian mêtric với mêtric d(x,y) = x  y do đó trong không gian định chuẩn ta cũng có các khái niệm sự hội tụ, dãy cơ bản,… 17 Khóa luận tốt nghiệp Sv. Nguyễn Thị Thanh Tuyền Định nghĩa 1.1.28 (Phiếm hàm tuyến tính) Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn trên trƣờng F (F =  hoặc F =  ), ánh xạ l: X  F thoả mãn: l(ax) = al(x) l(x+y) = l(x) + l(y) trong đó x, y  X, a F. Đƣợc gọi là phiếm hàm tuyến tính trên trƣờng F. Định nghĩa 1.1.29 (Phiếm hàm tuyến tính bị chặn) Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn, một phiếm hàm tuyến tính l trên X đƣợc gọi là bị chặn trên X nếu có số dƣơng C sao cho: l(x)  C x , x  X ở đây . ở phía trái là kí hiệu của trị tuyệt đối. Định nghĩa 1.1.30 (Không gian đối ngẫu) + Tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên không gian định chuẩn X, trên F đƣợc gọi là đối ngẫu của X hay không gian liên hợp của X. Kí hiệu: X’. + Không gian liên hợp của không gian X’ là không gian liên hợp thứ hai của không gian X. Kí hiệu: X”. 18 Khóa luận tốt nghiệp Sv. Nguyễn Thị Thanh Tuyền Định nghĩa 1.1.31 (Không gian phản xạ) Không gian định chuẩn X gọi là không gian phản xạ nếu: X = X’’. Định nghĩa 1.1.32 (Không gian Banach) Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ. Nhận xét: Không gian phản xạ là không gian Banach. Định nghĩa 1.1.33 (Lồi đều) Một không gian tuyến tính định chuẩn có chuẩn thỏa mãn: xy  1   x  y ,  x,y là vectơ đơn vị 2  (r )  0 đƣợc gọi là lồi trong đó,  (r) là một hàm nào đó thoả mãn:  (r) > 0, lim r 0 đều. Định nghĩa 1.1.34 (Bao lồi đóng) Bao lồi đóng của một tập con M của không gian tuyến tính định chuẩn Y là tập lồi nhỏ nhất chứa M. Kí hiệu: M*. 1.1.6 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.35 (Không gian Hilbert) Ta gọi tập H   gồm những phần tử x, y, z, …nào đấy là không gian Hilbert, nếu tập H thoả mãn các điều kiện: 19 Khóa luận tốt nghiệp Sv. Nguyễn Thị Thanh Tuyền i) H là không gian tuyến tính trên trƣờng F (F =  hoặc  ). ii) H đƣợc trang bị một tích vô hƣớng (.,.). iii) H là không gian Banach với chuẩn: x  (x,x),x  H . Định nghĩa 1.1.36 (Không gian Hilbert con ) Mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là không gian Hilbert con của không gian H. Định nghĩa 1.1.37 (Hai phần tử trực giao) Cho không gian Hilbert H, hai phần tử x, y  H gọi là trực giao với nhau, kí hiệu x  y, nếu (x,y) = 0. Định nghĩa 1.1.38 (Phần tử trực giao với một tập) Cho không gian Hilbert H và tập con A  H, A   . Phần tử x H gọi là trực giao với tập A, nếu x  y (  y  A), và kí hiệu: x  A. Định nghĩa 1.1.39 (Phần bù trực giao) Cho không gian Hilbert H và không gian con E  H. Tập con F  H gồm các phần tử của không gian H trực giao với tập E gọi là phần bù trực giao của tập E trên không gian H. Kí hiệu: F =H Ө E. 1.1.7 Các định nghĩa khác Định nghĩa 1.1.40 (Ck hàm) Hàm f đƣợc gọi là Ck hàm (thuộc lớp Ck) trong miền D nếu f cùng với các đạo hàm đến cấp k của chúng liên tục trong D. 20