Tài liệu Sử dụng kiến thức lượng giác trong giải một số bài toán đại số và hình học ở trường thpt

LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Giảng viên chính: T.S. Hoàng Ngọc Anh đã tận tình giúp đỡ và hướng dẫn tác giả trong quá trình thực hiện khóa luận này. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán - Lý - Tin, phòng Đào tạo Đại học, Thư viện Trường Đại học Tây Bắc đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện khóa luận. Đồng thời tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các bạn sinh viên trong tập thể lớp K55 - ĐHSP Toán đã động viên, đóng góp ý kiến, giúp đỡ tôi thực hiện và hoàn thành khóa luận. Tác giả rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận của tác giả thêm hoàn thiện. Tác giả xin chân thành cảm ơn! Sơn La, tháng 5 năm 2018 Người thực hiện khóa luận Nguyễn Như Hoài Linh 1 DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Tiến sĩ TS ĐHSP Đại học sư phạm NXB Nhà xuất bản THPT Trung học phổ thông L Loại TM Thỏa mãn 2 MỤC LỤC Lời cảm ơn ......................................................................................................... 1 Danh mục viết tắt .............................................................................................. 2 PHẦN I. MỞ ĐẦU ........................................................................................... 5 1. Lý do chọn khóa luận ..................................................................................... 5 2. Mục đích nghiên cứu ...................................................................................... 5 3. Nhiệm vụ nghiên cứu ..................................................................................... 5 4. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................ 6 5. Đóng góp của khóa luận ................................................................................. 6 6. Cấu trúc khóa luận.......................................................................................... 6 PHẦN II. NỘI DUNG ...................................................................................... 7 Chƣơng 1: CÁC KIẾN THỨC LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN .............................. 7 1.1. Các công thức lượng giác ............................................................................ 7 1.1.1. Hệ thức cơ bản ......................................................................................... 7 1.1.2. Công thức cộng ........................................................................................ 7 1.1.3. Công thức nhân đôi .................................................................................. 7 1.1.4. Công thức nhân ba .................................................................................... 7 1.1.5. Công thức hạ bậc ...................................................................................... 7 1.1.6. Công thức chia đôi.................................................................................... 8 1.1.7. Công thức biến đổi tổng thành tích ........................................................... 8 1.1.8. Công thức biến đổi tích thành tổng ........................................................... 8 1.2. Phép thế lượng giác ..................................................................................... 8 1.2.1. Một số phép thế lượng giác chung ............................................................ 9 1.2.2. Một số phép thế lượng giác trong tam giác ............................................... 9 Chương 2: SỬ DỤNG KIẾN THỨC LƢỢNG GIÁC TRONG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC Ở TRƢỜNG THPT ................... 11 3 2.1. Sử dụng kiến thức lượng giác trong giải một số bài toán đại số ................ 11 2.1.1. Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức .................................................... 11 2.1.2. Giải phương trình và hệ phương trình ..................................................... 15 2.2. Sử dụng kiến thức lượng giác trong giải một số bài toán hình học ............ 22 2.2.1. Hệ thức lượng trong tam giác ................................................................. 22 2.2.2. Một số bài toán hình học ........................................................................ 26 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................. 30 4 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn khóa luận Lượng giác là một trong những lĩnh vực cơ bản của Toán học, đã tồn tại và tiếp tục phát triển trong hàng ngàn năm qua. Lượng giác không chỉ là một nhánh của đại số mà còn là một ngành toán học độc lập, có nhiều ứng dụng trong khoa học và thực tiễn. Trong khuôn khổ toán phổ thông, lượng giác được giảng dạy vào cuối năm lớp 10 và đầu năm lớp 11 với những chủ đề cơ bản như: Công thức lượng giác, Phương trình lượng giác và hệ thức lượng trong tam giác. Tuy nhiên lượng giác xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác của toán học như: Hình học, tích phân. Nhằm giúp các em học sinh có cái nhìn khác về chuyên ngành lượng giác, đó là việc sử dụng các công thức, tính chất lượng giác để giải quyết các bài toán về đại số và hình học. Bản thân các bài toán này có thể không liên quan gì đến lượng giác. Qua một thời gian tìm hiểu và nghiên cứu, tôi nhận thấy học sinh khối 10 khi học về lượng giác rất khó tiếp thu và vận dụng cao. Vì vậy để giúp học sinh học tốt nội dung lượng giác lớp 10, tôi đã chọn nghiên cứu khóa luận: “Sử dụng kiến thức lƣợng giác trong giải một số bài toán Đại số và Hình học ở trƣờng THPT”. 2. Mục đích nghiên cứu Khóa luận này hệ thống hóa lại các kiến thức cơ bản của phần Lượng giác được học ở THPT. Trên cơ sở đó ứng dụng để giải một số bài toán Đại số và Hình học ở trường THPT. Qua đó rèn luyện kỹ năng tư duy, phát triển bài toán ở nhiều góc độ khác nhau. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Hệ thống hóa các kiến thức cơ bản của phần Lượng giác được học ở THPT. - Sử dụng các kiến thức lượng giác trong giải một số bài toán về Đại số và Hình học ở THPT. Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh trong các tiết học và chuẩn bị tốt các kiến thức trong khi làm những bài tập có tính phân loại cao 5 trong các đề thi học sinh giỏi và đề thi THPT quốc gia. 4. Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu (sách, báo, nguồn thông tin trên internet có liên quan đến đề tài nghiên cứu của khóa luận) để thu thập thông tin và tập hợp, phân loại kiến thức và các bài tập phục vụ cho yêu cầu của khóa luận. 5. Đóng góp của khóa luận Khóa luận này sẽ đem đến những điều thú vị, mới mẻ cho các em học sinh phổ thông trong quá trình học tập, cũng như bồi dưỡng năng lực giải toán của các em. Khóa luận này có thể là một tài liệu tốt giúp các bạn sinh viên có thêm nguồn tư liệu để các bạn học tập tốt hơn cũng như giảng dạy sau này tốt hơn. 6. Cấu trúc của khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận chung, mục lục và các tài liệu tham khảo, khóa luận gồm 02 chương: Chƣơng 1: Các kiến thức lƣợng giác cơ bản Chƣơng 2: Sử dụng kiến thức lƣợng giác trong giải một số bài toán Đại số và Hình học ở trƣờng THPT 6 NỘI DUNG Chƣơng 1. CÁC KIẾN THỨC LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN 1.1. Các công thức lƣợng giác 1.1.1. Hệ thức cơ bản sin 2   cos2   1 1  tan 2    1 với    k (k  ) 2 cos  2 1  cot 2   1 với   k (k  ) sin 2  1.1.2. Công thức cộng cos  a  b   cos a.cos b sin a.sin b sin (a  b)  sin a.cos b  sin b.cos a tan a  tan b tan (a  b)  1 tan a.tan b 1.1.3. Công thức nhân đôi sin 2a  2sin a cos a cos 2a  cos 2 a  sin 2 a  2cos 2 a  1  1  2sin 2 a 2 tan a tan 2a  1  tan 2 a cot 2 a  1 cot 2a  2cot a 1.1.4. Công thức nhân ba sin 3a  3sin a  4sin 3 a cos3a  4cos3 a  3cos a 1.1.5. Công thức hạ bậc 1  cos 2a sin 2 a  2 1  cos 2a cos 2 a  2 7 tan 2 a  1  cos 2a 1  cos 2a 1.1.6. Công thức chia đôi Đặt t  tan a (với a    k 2 ). 2 1 t2 cos a  1 t2 1 t2 cot a  2t 2t sin a  1 t2 2t tan a  1 t2 1.1.7. Công thức biến đổi tổng thành tích ab a b cos 2 2 ab a b cos a  cos b  2sin sin 2 2 ab a b sin a  sin b  2sin cos 2 2 sin(a  b) tan a  tan b  cos a.cos b sin(b  a) cot a  cot b  sin a.sin b cos a  cos b  2cos 1.1.8. Công thức biến đổi tích thành tổng 1 cos(a  b)  cos(a  b) 2 1 sin a.sin b   cos( a  b)  cos(a  b)  2 1 sin a.cos b  sin(a  b)  sin(a  b)  2 1 cos a.sin b  sin(a  b)  sin(a  b)  2 cos a.cos b  1.2. Phép thế lƣợng giác Ngoài những công thức biến đổi lượng giác, phương trình lượng giác mà học sinh đã được học. Sau đây là một số lưu ý về một số phép thế đặc trưng: 1.2.1. Một số phép thế lƣợng giác chung 8 a) Nếu x  a  a  0  thì có thể đặt:      x  a sin  ;    2 ; 2      x  a cos  ;   0;  Biểu thức áp dụng: a 2  x 2 b) Nếu x 2  y 2  a 2 thì có thể đặt:  x  a sin  ;    0;2   y  a cos   c) Nếu x  a thì có thể đặt: x a a ,x  cos sin  Biểu thức áp dụng: d) x2  a2 Với mọi x đều có thể đặt:    x  tan  ;    ;   2 2 Biểu thức áp dụng: x2  a2 ; x y 1  xy 1.2.2. Một số phép thế lƣợng giác trong tam giác a) Nếu xy  yz  zx  1 thì tồn tại các góc  ,  ,  sao cho:      x  tan , y  tan , z  tan 2 2 2         b) Nếu x  y  z  xyz thì tồn tại các góc  ,  ,  sao cho:  x  tan  , y  tan  , z  tan          Đặc biệt: Nếu ba số dương x, y, z thỏa mãn xy  yz  zx  1 thì tồn tại tam giác ABC sao cho: 9 x  tan A B C , y  tan , z  tan 2 2 2 Nếu ba số dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  xyz thì tồn tại tam giác ABC nhọn thỏa mãn: x  tan A, y  tan B, z  tan C 10 Chƣơng 2. SỬ DỤNG KIẾN THỨC LƢỢNG GIÁC TRONG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC Ở TRƢỜNG THPT Sử dụng kiến thức lƣợng giác trong giải một số bài toán đại số 2.1. 2.1.1. Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức a) Phƣơng pháp giải Phương pháp đặt ẩn phụ là một trong những phương pháp thông dụng trong hệ thống các phương pháp giải toán về đẳng thức và bất đẳng thức. Ý tưởng chung của việc đặt ẩn phụ là đưa bài toán cần giải quyết về bài toán quen thuộc, gần gũi với các bài toán gốc, bài toán mà ta đã quen với cách giải quyết trước đó hoặc nó như là một bước chuyển đổi trung gian để tiếp tục sử dụng được các công cụ khác mà sử dụng lượng giác để chuyển bài toán từ đại số sang lượng giác là một trong những cách đặt ẩn phụ hiệu quả để giải toán. b) Các ví dụ Bài 1: Cho x  y . Chứng minh rằng x  y  x  y  x  x2  y 2  x  x2  y 2 Giải: Nếu x  0 thì y  0 đẳng thức hiển nhiên đúng. Nếu x  0 chia cả hai vế cho x ta được: 2 y y  y  y 1  1  1 1    1 1   x x x x Vì 2 y y  1 nên có thể đặt  cos   0     . x x 1  1  cos  1  cos   1  sin   1  sin   1  cos   1  cos   1  sin   1  sin  Đẳng thức cuối đúng, ta có điều phải chứng minh. 11 (1) Bài 2: Cho a, b, c là các số thuộc khoảng (0;1). Chứng minh: abc  1  a 1  b 1  c   1 Giải: Vì 0  a, b, c  1 nên tồn tại các góc   x, y, z   0;  thỏa mãn:  2 a  cos2 x, b  cos2 y, c  cos2 z Bất đẳng thức trở thành cos x cos y cos z  sin x sin y sin z  1. Thật vậy: cos x cos y cos z  sin x sin y sin z  cos x cos y  sin x sin y  cos  x  y   1 Vậy bất đẳng thức ban đầu được chứng minh. Bài 3: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x 2  y 2  1 . Chứng minh rằng: 16  x5  y 5   20  x3  y 3   5  x  y   2 Giải: Đặt x  cos a, y  sin a; a  0;2 . Áp dụng công thức lượng giác, ta có: cos5a  16cos5 a  20cos3 a  5cos a  16 x5  20 x3  5 x sin 5a  16sin 5 a  20sin 3 a  5sin a  16 y 5  20 y 3  5 y Do đó:   16  x5  y 5   20  x3  y 3   5  x  y   sin5a  cos5a  2 sin  5a    2. 4   x  y 1  x y  . Chứng minh Bài 4: Cho biểu thức P  1  x  1  y  2 2 2 Giải: Ta có P  x2 1  x 2  2  2 2 2 y2 1  y  2 12 2 2 2 P 1 4 Đặt x  tan  , y  tan  thì sin 2  2x 2y ; sin 2  2 1 x 1  y2 Do đó: 1 1 sin 2 2  sin 2 2    sin   sin 2  sin 2  sin 2   4 4  cos     sin     sin     cos     P 1  sin  2  2  sin  2  2  4 Vậy P  1 . 4 Bài 5: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn xy  yz  xz  1 . Chứng minh 2x 2y 2z 1 1 1      1  x2 1  y 2 1  z 2 1  x2 1  y2 1  z2 Giải: Tồn tại tam giác ABC thỏa mãn x  tan A B C , y  tan , z  tan 2 2 2 Bất đẳng thức được viết lại sin A  sin B  sin C  cos Ta có sin A  sin B  2sin Tương tự: A B C  cos  cos 2 2 2 A B A B C cos  2cos 2 2 2 sin B  sin C  2cos A 2 sin C  sin A  2cos B 2 Cộng ba bất đẳng thức lại ta được điều phải chứng minh. Bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A  B  C  13  3 x yz 1 . 3 Bài 6: Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn abc  a  c  b . Chứng minh 2 2 3 10  2  2  a 1 b 1 c 1 3 2 Giải: Từ điều kiện của a, b, c suy ra b  ac 1  ac Đặt a  tan A, c  tan C thì b  tan  A  C  Bất đẳng thức được viết lại: Ta có: 2 2 3 10    2 2 tan A  1 tan  A  C   1 tan C  1 3 2 2 2 3   tan 2 A  1 tan 2  A  C   1 tan 2 C  1  2cos 2 A  2cos 2  A  C   3cos 2 C  cos 2 A  cos 2  A  C   3cos 2 C  2sin  2 A  C  sin C  3cos 2 C  2 sin C  3 1  sin 2 C  2 10  1  10   3  sin C    3 3 3  Vậy bất đẳng thức được chứng minh.  sin  2 A  C  sin C  0  Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:  sin  2 A  C   1   sin C  1  3 c) Bài tập tự luyện Bài 7: Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện 1 1 1 2 1 2  2  2   a  1  b  1  c  1  a  1 b  1 c  1 Chứng minh abc  1. 14 Bài 8: Cho các số dương a, b, c, d. Chứng minh  a  d b  c  . ab  cd  Bài 9: Cho x, y là hai số thỏa mãn 4 x 2  9 y 2  25 . Chứng minh 6 x  12 y  25 . Bài 10: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  xyz . Chứng minh rằng 1 1  x2  1 1  y2  1 1  z2  3 2 . 2.1.2. Giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình a) Phƣơng pháp giải Lượng giác hóa bài toán Đứng trước những bài toán giải phương trình và hệ phương trình ta có nhiều hướng giải khác nhau như phương pháp nâng lũy thừa, phương pháp thế, phương pháp hệ số bất định, phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp dùng hằng đẳng thức, phương pháp bất đẳng thức,… Tuy vậy không phải lúc nào ta cũng áp đặt một trong các phương pháp nêu trên để giải các bài toán giải phương trình và hệ phương trình đó. Có những hệ phương trình 3 ẩn mà hai phương trình hoặc những hệ phương trình có số mũ rất lớn thì việc sử dụng các phương pháp thông thường dễ dẫn đến ngõ cụt. Nhưng thật may mắn thay một số bài giải phương trình và hệ phương trình lại có những điều kiện bó hẹp của biến giúp ta liên tưởng đến một số công thức lượng giác, từ đó mà ta tìm được phép đặt lượng giác phù hợp và giải quyết bài toán dễ dàng hơn. b) Các ví dụ Bài 1: Giải phương trình 1  x 2  4 x3  3x Giải: Điều kiện: 1  x  1 15 Đặt x  cos   0      ta được phương trình   3      k 2    2 sin   cos3  cos3  cos       k   2  3      k 2  2   5 3  Đối chiếu điều kiện 0     ta tính được    ; ;  . 8 8 4  Nghiệm của phương trình ban đầu là:   1  cos   4  2 2  x  cos  8 2 2   3 2   x  cos 4 2   5 1  cos  5 4  2 2   x  cos 8 2 2  Bài 2: Giải phương trình x  2  2  2  x . Giải:  x  2  x  2  0  Nếu  thì vế phải của phương trình không xác 2  2  x  0 x  2  định. Do đó x   2;2 . Đặt x  2cos t 0  t     t  2  x  2cos 2   t  t  Khi đó  2  2  x  2sin  2cos    4  2 4    t   2  2  2  x  2cos     4 8  16 2  t  Phương trình được rút gọn thành cos t  cos     t  . 4 8 9   Vậy nghiệm của phương trình là x  2cos Bài 3: Giải phương trình x  x x2  1  2 . 9 35 12 Giải: Điều kiện x  1. Đặt x  1   0    sin   2 Phương trình trở thành: 1 1 35   sin  cos  12  7 t  5 2t 35   Đặt t  sin   cos  0  t  2 thì 2 t  1 12 t   5  7   7  sin   cos   7  5 Loại nghiệm âm, với t  ta được  5 sin  cos  12 25  3  sin   5   sin   4 5  3  x   5 Nghiệm của phương trình là  x  4  5 Bài 4: Cho a  b  c là ba nghiệm của phương trình x3  3x  1  0 . Chứng minh rằng: a2  c  b2  a  c2  b  2 . Giải: Ta tìm nghiệm của phương trình trên đoạn [  2;2]. Đặt x  2cos t ; 0  t   17 Phương trình trở thành: 1 2 k 2 8cos3 t  6cos t  1  0  cos3t    t    k  2 9 3 Từ đó ta tìm được 3 nghiệm: a  2cos  8 4 2 ; b  2cos ; c  2cos 9 9 9 Phương trình bậc ba chỉ có tối đa 3 nghiệm nên đó cũng chính là tất cả các nghiệm của phương trình. Ta có: a 2  c  4cos 2 Tương tự: 8 2 16  2   2cos  2 1  cos 2   2cos 9 9 9  9  b 2  a  4cos 2 c 2  b  4cos 2 4 8 8   2cos  2 1  cos 9 9 9  2 4 4   2cos  2 1  cos 9 9 9  8  2   2cos 9  4   2.   2cos 9   x  4 y3  3 y  Bài 5: Giải hệ phương trình sau:  y  4 z 3  3z  z  4 x3  3x  Giải: Ta chứng minh x , y , z  1 . Giả sử x là số lớn nhất và x  1 . Khi đó z  4 x3  3x  1 (vô lý) Giả sử x là số bé nhất và x  1 . Khi đó z  4 x3  3x  x (vô lý) Do đó x  1 . Tương tự ta có: y , z  1 . Đặt x  cos   0      . Sử dụng công thức nhân ba ta được: z  cos3 , y  cos9 , x  cos27 18 Ta có: k    ; k  0;1;...;13  13 cos   cos 27     k ; k  1;2;...;13  14 Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là: S   cos ;cos3 ;cos9  với   k k ; k  0;1;...;13,   ; k  1;2;...;13  . 13 14 Bài 6: Giả sử x, y, z là nghiệm của hệ phương trình x  y 4  y   y  z 4  z  z  x4  x (1) (2) (3) Tìm tất cả các giá trị mà S  x  y  z có thể nhận. Giải: Cộng ba phương trình (1), (2) và (3) lại ta được: x  y  z  4  x  y  z    x 2  y 2  z 2   3S  x 2  y 2  z 2 Suy ra S  0 nên trong ba số x, y, z phải có ít nhất một số không âm. Giả sử x  0  4 y  y 2  0  0  y  4 Tương tự ta chứng minh được 0  x, z  4 . Đặt x  4sin 2 a; 0  a   2 . Thay vào phương trình (3) ta được: z  4sin 2 a  4  4sin 2 a   16sin 2 a cos 2 a  4sin 2 2a Thay vào phương trình (2) ta được: y  4sin 2 2a  4  4sin 2 2a   4sin 2 4a Thay vào phương trình (1) ta được: z  4sin 2 4a  4  4sin2 4a   4sin2 8a 19 Ta có: sin 2 a  sin 2 8a  cos2a  cos16a  16a  2a  k 2 TH1: 16a  2a  k 2  a  k ; k  0;1;2;3 7 Nếu k  0 thì a  0 : S  0. Nếu k  1;2;3 thì:  2 3  S  4  sin 2  sin 2  sin 2 7 7 7  TH2: 16a  2a  k 2  a  2  6 3 1    cos  cos   4    cos 7 7 7  2 2    7  k ; k  0;1;2;3;4 9 Nếu k  0 thì a  0 : S  0. Nếu k  1;2;4 thì:  2 4  2 4 8 3   S  4  sin 2  sin 2  sin 2  cos  cos   4    cos 9 9 9  9 9 9  2     6  Nếu k  3 thì:  2 4  S  4  sin 2  sin 2  sin 2 3 3 3  2 4 8 3    cos  cos   4    cos 3 3 3  2   x 1  y 2  y 1  y 2  1 Bài 7: Giải hệ phương trình  (1  x)(1  y )  2    9  * Giải: Điều kiện: x; y   1;1 . Đặt x  cos  ; y  cos  với  ;   0;  . Hệ phương trình (*) trở thành:   cos .sin  cos  .sin   1 1      2  (1  cos )(1  cos )  2 cos  cos  cos .cos  1  0 (2) 20