Tài liệu Sử dụng biểu diễn trực quan hỗ trợ suy luận quy nạp và ngoại suy của học sinh mười lăm tuổi trong quá trình tìm kiếm quy luật toán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH -------------- TRƯƠNG THỊ KHÁNH PHƯƠNG SỬ DỤNG BIỂU DIỄN TRỰC QUAN HỖ TRỢ SUY LUẬN QUY NẠP VÀ NGOẠI SUY CỦA HỌC SINH MƯỜI LĂM TUỔI TRONG QUÁ TRÌNH TÌM KIẾM QUY LUẬT TOÁN LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2015       BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH -------------- TRƯƠNG THỊ KHÁNH PHƯƠNG SỬ DỤNG BIỂU DIỄN TRỰC QUAN HỖ TRỢ SUY LUẬN QUY NẠP VÀ NGOẠI SUY CỦA HỌC SINH MƯỜI LĂM TUỔI TRONG QUÁ TRÌNH TÌM KIẾM QUY LUẬT TOÁN Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học môn Toán Mã số: 62.14.01.11 LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC 1. PGS.TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU 2. PGS.TS. TRẦN VUI THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2015     i   LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Tác giả Trương Thị Khánh Phương     ii   LỜI CẢM ƠN Tôi xin trân trọng cảm ơn:  Phó giáo sư Tiến sĩ Lê Thị Hoài Châu, người đã luôn động viên nhắc nhở, hướng dẫn và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi về mọi mặt để tôi hoàn thành luận án này;  Phó giáo sư Tiến sĩ Trần Vui, người đã tận tình hướng dẫn tôi về mặt nghiên cứu khoa học, luôn động viên khích lệ để tôi có đủ niềm tin và nghị lực trong suốt quá trình thực hiện luận án này;  Các Thầy, Cô trong tổ Toán-Tin trường ĐH Sư phạm Tp Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giảng dạy và chia sẻ những kinh nghiệm nghiên cứu cho tôi trong suốt thời gian theo học Nghiên cứu sinh. Tôi xin chân thành cám ơn:  Ban giám hiệu trường ĐH Y Dược Huế, Ban chủ nhiệm khoa Khoa học cơ bản và các đồng nghiệp trong bộ môn Toán-Tin trường ĐH Y Dược Huế, Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng Khoa học công nghệ - Sau đại học trường ĐH Sư phạm Tp Hồ Chí Minh đã hỗ trợ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình theo học Nghiên cứu sinh và bảo vệ luận án;  Các giáo viên Toán và học sinh ở các trường THPT Phong Điền, THPT Quốc Học, THPT Nguyễn Huệ, THPT Cao Thắng, THPT Nguyễn Trường Tộ, THPT Hai Bà Trưng (Huế) và THPT Lê Lợi (Quảng Trị), THPT Lê Lợi (Gia Lai) đã giúp đỡ, hỗ trợ tôi trong quá trình tiến hành thực nghiệm cho nghiên cứu này. Cuối cùng, xin tỏ lòng biết ơn đến những người thân trong gia đình và những người bạn đã luôn quan tâm, nâng đỡ và là chỗ dựa tinh thần cho tôi trong suốt thời gian qua. Tp. Hồ Chí Minh, tháng 3 năm 2015 Trương Thị Khánh Phương     iii   MỤC LỤC MỤC LỤC ...................................................................................................................... iii  DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ............................................................................... v  DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ TIẾNG ANH ......................................................... vii  DANH SÁCH CÁC HÌNH ẢNH ................................................................................. viii  DANH SÁCH CÁC BẢNG BIỂU ..................................................................................xi  Chương 1: MỞ ĐẦU ........................................................................................................ 1  1.1. Giới thiệu vấn đề nghiên cứu ................................................................................ 1  1.2. Nhu cầu nghiên cứu và phát biểu vấn đề nghiên cứu ........................................... 2  1.3. Phạm vi nghiên cứu............................................................................................... 5  1.4. Nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................................ 6  1.5. Câu hỏi nghiên cứu ............................................................................................... 6  1.6. Các thuật ngữ ........................................................................................................ 7  1.7. Cấu trúc luận án ..................................................................................................10  Chương 2: CÁC NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN .............................................................13  2.1. Toán học và những suy luận có lí .......................................................................13  2.1.1. Suy luận quy nạp .........................................................................................14  2.1.1.1. Định nghĩa ............................................................................................14  2.1.1.2. Mô hình suy luận quy nạp ....................................................................14  2.1.2. Suy luận ngoại suy.......................................................................................16  2.1.2.1. Ngoại suy theo quan điểm logic học và triết học của Peirce ...............16  2.1.2.2. Ngoại suy theo quan điểm của J. Josephson và S. Josephson .............20  2.1.2.3. Ngoại suy theo quan điểm giải quyết vấn đề của Cifarelli ..................21  2.1.2.4. Các cách phân loại ngoại suy ...............................................................22  2.1.2.5. Mô hình suy luận ngoại suy .................................................................25  2.1.3. Phân biệt suy luận diễn dịch, quy nạp và ngoại suy trong toán học ............26  2.1.3.1. Xét về điều kiện để xảy ra và kết quả của ba loại suy luận .................26  2.1.3.2. Xét về mục đích tiến hành mỗi loại suy luận .......................................29  2.1.3.3. Xét về khía cạnh khám phá toán và tính chắc chắn của kết quả ..........29  2.2. Biểu diễn toán .....................................................................................................30  2.2.1. Phân loại biểu diễn toán ..............................................................................30  2.2.2. Biểu diễn trực quan .....................................................................................31  2.2.2.1. Trực quan hóa ......................................................................................31  2.2.2.2. Biểu diễn trực quan mô tả quy luật dãy số...........................................32      iv   2.2.2.3. Biểu diễn trực quan động .....................................................................34  2.3. Khám phá quy luật dãy số ...................................................................................35  2.3.1. Nhiệm vụ khám phá quy luật dãy số ...........................................................36  2.3.2. Các mức độ nhận thức trong khám phá quy luật dãy số .............................38  2.3.3. Các phương án khám phá quy luật dãy số ...................................................40  2.3.4. Suy luận trong khám phá quy luật dãy số ...................................................42  2.3.5. Kết luận cho Câu hỏi nghiên cứu 1 .............................................................46  2.4. Khám phá bài toán hình học kết thúc mở ...........................................................47  2.4.1. Bài toán kết thúc mở ....................................................................................48  2.4.2. Bài toán hình học kết thúc mở .....................................................................49  2.4.3. Khám phá toán theo tiếp cận “toán học thực nghiệm” ................................50  2.4.4. Các phương thức kéo rê trong môi trường hình học động ..........................51  2.5. Các nghiên cứu trong nước liên quan đến đề tài .................................................53  2.6. Tiểu kết chương 2 ...............................................................................................53  Chương 3: THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU ..........................................................................56  3.1. Thiết kế nghiên cứu.............................................................................................56  3.2. Đối tượng khảo sát ..............................................................................................57  3.3. Công cụ nghiên cứu ............................................................................................59  3.4. Thu thập dữ liệu ..................................................................................................69  3.5. Phân tích dữ liệu .................................................................................................70  3.6. Hạn chế ...............................................................................................................73  3.7. Tiểu kết chương 3 ...............................................................................................74  Chương 4: BIỂU DIỄN TRỰC QUAN HỖ TRỢ SUY LUẬN QUY NẠP VÀ NGOẠI SUY ................................................................................................................................76  4.1. Ảnh hưởng của biểu diễn trực quan đến quá trình suy luận quy nạp và ngoại suy trong khám phá các quy luật dãy số ...........................................................................76  4.1.1. Các phương án ngoại suy để khám phá quy luật dãy số..............................76  4.1.2. Đánh giá các mức độ ngoại suy-quy nạp trong khám phá quy luật dãy số .91  4.1.3. Tổng kết từ thực nghiệm của Nghiên cứu 1 ................................................97  4.2. Biểu diễn trực quan động hỗ trợ suy luận quy nạp và ngoại suy trong khám phá các bài toán hình học kết thúc mở ..................................................................................100  4.2.1. Suy luận quy nạp và ngoại suy trong môi trường hình học động ..............101  4.2.1.1. Những hỗ trợ của biểu diễn trực quan động đến suy luận quy nạp và ngoại suy trong môi trường hình học động .....................................................101  4.2.1.2. Phản ánh của quy nạp và ngoại suy qua các phương thức kéo rê ......104      v   4.2.2. Tổng kết từ thực nghiệm của Nghiên cứu 2 ..............................................111  4.3. Tiểu kết chương 4 .............................................................................................113  4.3.1. Kết luận cho Câu hỏi nghiên cứu 2 ...........................................................113  4.3.2. Kết luận cho Câu hỏi nghiên cứu 3 ...........................................................114  Chương 5: PHÁT TRIỂN KHẢ NĂNG KHÁM PHÁ QUY LUẬT TOÁN CHO HỌC SINH BẰNG SUY LUẬN QUY NẠP VÀ NGOẠI SUY ...........................................116  5.1. Suy luận ngoại suy và quy nạp trong các hoạt động toán học nhà trường........116  5.2. Nhiệm vụ toán giúp phát triển suy luận ngoại suy và quy nạp .........................120  5.3. Xây dựng bài toán KTM hỗ trợ HS phát triển khả năng khám phá toán bằng suy luận ngoại suy và quy nạp ........................................................................................125  5.3.1. Đặt vấn đề ..................................................................................................125  5.3.2. Khảo sát vấn đề .........................................................................................127  5.3.3. Các bài toán dẫn đến sự hình thành các khái niệm, quy tắc mới...............129  5.3.4. Dự đoán một định lý hay tính chất toán học từ hình vẽ ............................130  5.3.5. Các bài toán chứa đựng hoạt động tìm kiếm quy luật ...............................132  5.3.6. Thay đổi các yêu cầu quen thuộc trong SGK ............................................133  5.3.7. Các vấn đề thực tế .....................................................................................136  5.4. Tiểu kết chương 5 .............................................................................................137  KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN ......................................................................................138  DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ ....................................................143  TÀI LIỆU TRÍCH DẪN VÀ THAM KHẢO...............................................................144  PHỤ LỤC 1A. TẬP CÂU HỎI SỐ 1 ...........................................................................152  PHỤ LỤC 1B. TẬP CÂU HỎI SỐ 2 ...........................................................................155  PHỤ LỤC 2A. THỰC NGHIỆM BÀI TOÁN HÌNH HỌC KTM SỐ 1 ......................158  PHỤ LỤC 2B. THỰC NGHIỆM BÀI TOÁN HÌNH HỌC KTM SỐ 2 ......................162  DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Viết tắt Viết đầy đủ BDTQ biểu diễn trực quan GV giáo viên HS học sinh KTM kết thúc mở     vi   nnk những người khác SGK sách giáo khoa THPT trung học phổ thông tr. trang     vii   DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ TIẾNG ANH   Glossary in English Nghĩa tiếng Việt Abductive reasoning Suy luận ngoại suy Inductive reasoning Suy luận quy nạp Deductive reasoning Suy luận diễn dịch Selective abduction Ngoại suy chọn lựa Creative abduction Ngoại suy sáng tạo Visual abduction Ngoại suy trực quan Manipulative abduction Ngoại suy thao tác Visual representation Biểu diễn trực quan Dynamic visual representation Biểu diễn trực quan động Visualization Trực quan hóa Mathematical pattern Dạng mẫu toán Open ended problem Bài toán kết thúc mở Dragging scheme Phương thức kéo rê National Council of Teachers of Hội đồng giáo viên toán quốc gia Mathematics (NCTM) Programme for International Student Chương trình đánh giá học sinh quốc tế Assessment (PISA) Organization for Economic Co- Tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế operation and Development (OECD)     viii   DANH SÁCH CÁC HÌNH ẢNH   Hình 2.1. Mô hình suy luận ngoại suy của Meyer..........................................................25  Hình 2.2. Minh họa suy luận của HS..............................................................................28  Hình 2.3. Các giai đoạn phát triển có tính trình tự của biểu diễn ...................................30  Hình 2.4. BDTQ tổng vô hạn .........................................................................................31  Hình 2.5. Quy tắc n  c ..................................................................................................32  Hình 2.6. Quy tắc an .....................................................................................................33  Hình 2.7. Quy tắc an  c ...............................................................................................33  Hình 2.8. Quy tắc nn  c ............................................................................................33  Hình 2.9. Quy tắc an 2  bn  c ......................................................................................34  Hình 2.10. Biểu diễn trực quan của dãy tam giác, dãy tứ giác, dãy ngũ giác ................34  Hình 2.11. Minh họa bài toán chia mặt phẳng bởi n đường thẳng .................................43  Hình 2.12. Quá trình ngoại suy-quy nạp trong khám phá dãy số theo quy luật hàm số bậc nhất .................................................................................................................................45  Hình 2.13. Quy trình khám phá quy luật dãy số bằng suy luận ngoại suy-quy nạp .......47  Hình 3.1. Minh họa bài toán tiền thực nghiệm Nghiên cứu 2 (câu a) ............................67  Hình 3.2. Minh họa bài toán tiền thực nghiệm Nghiên cứu 2 (câu b) ............................67  Hình 4.1. Ngoại suy theo hướng Đưa ra quy tắc đệ quy cho bài Hình chữ Z ................77  Hình 4.2. Ngoại suy theo hướng Đưa ra quy tắc đệ quy ................................................77  cho bài Hình Tháp (trái) và Hình chữ S (phải) ...............................................................77  Hình 4.3. Ngoại suy theo hướng Đưa ra quy tắc đệ quy cho bài Hình chữ S. ...............79  Hình 4.4. Phương án Cộng dồn cho bài Hình chữ Z ......................................................80  Hình 4.5. Phương án Cộng dồn cho bài Hình chữ S.......................................................80  Hình 4.6. Phương án Giải phương trình cho bài Hình chữ Z .........................................81  Hình 4.7. Phương án Đoán và Thử cho bài Hình chữ S .................................................81  Hình 4.8. Phương án Đoán và Thử cho bài Ghế công viên ............................................82  Hình 4.9. Phương án Đơn vị và Tổng thể cho bài Hình Tháp ........................................82  Hình 4.10. Phương án Ghép hình rời cho bài Hình Tháp ..............................................83  Hình 4.11. Phương án Sắp xếp hình cho bài Mũ Halloween ..........................................83  Hình 4.12. Phương án Ghép hình rời- Sắp xếp hình cho bài Hình chữ S ......................84  Hình 4.13. Sai lầm của HS trong bài Hình chữ Z ...........................................................85  Hình 4.14. Sai lầm của HS trong bài Ghế công viên ......................................................86  Hình 4.15. Sai lầm của HS trong bài Hình Tháp ............................................................86      ix   Hình 4.16. Phương án Làm tròn hình cho bài Xếp bàn tiệc ...........................................91  Hình 4.17. Ngoại suy-quy nạp mức độ 1 cho bài Hình Tháp .........................................92  Hình 4.18. Ngoại suy-quy nạp mức độ 2 cho bài Hình chữ Z ........................................92  Hình 4.19. Ngoại suy-quy nạp mức độ 3 cho bài Ghế công viên ...................................93  Hình 4.20. Ngoại suy-quy nạp mức độ 3 cho bài Ghế công viên ...................................94  Hình 4.21. Ngoại suy-quy nạp mức độ 3 cho bài Xếp bàn tiệc ......................................95  Hình 4.22. Ngoại suy-quy nạp mức độ 4 cho bài Hình chữ S ........................................95  Hình 4.23. Ngoại suy-quy nạp mức độ 5 cho bài Ghế công viên. ..................................96  Hình 4.24. Chia đường tròn bởi các dây cung ................................................................99  Hình 4.25. Mô tả số hạng tổng quát của bài Hình chữ Z ..............................................100  Hình 4.26. Sơ đồ chôn kho báu ....................................................................................103  Hình 4.27. Vị trí chôn kho báu G .................................................................................103  Hình 4.28a. C trùng A ...................................................................................................103  Hình 4.28b. C trùng H ..................................................................................................103  Hình 4.29. Minh họa Bài toán 1 ...................................................................................105  Hình 4.30. Minh họa Bài toán 2 ...................................................................................105  Hình 4.31. Kéo rê về các trường hợp đặc biệt đối với tứ giác ABCD ..........................106  Hình 4.32. Giả thuyết: A, I, C thẳng hàng ....................................................................107  Hình 4.33. Kéo rê duy trì điểm M để ABCD là hình chữ nhật (Nhóm 2) .....................110  Hình 4.34. Kéo rê duy trì điểm M để ABCD là hình chữ nhật (Nhóm 1) .....................111  Hình 5.1a: A, B, T thẳng hàng.......................................................................................118  Hình 5.1b: A, B, T không thẳng hàng ...........................................................................118  Hình 5.1c. BDTQ minh họa suy luận ngoại suy...........................................................119  Hình 5.2. Cặp góc đối đỉnh tạo bởi các đường thẳng đồng quy ...................................120  Hình 5.3. Minh họa Ví dụ 5.7 .......................................................................................124  Hình 5.4. Đồ thị khoảng cách-thời gian .......................................................................126  Hình 5.5. BDTQ minh họa Ví dụ 5.8 ...........................................................................128  Hình 5.6a. Tam giác ABC đều ......................................................................................129  Hình 5.6b. Tam giác ABC vuông ..................................................................................129  Hình 5.6c. ABI  BFJ ...........................................................................................129  Hình 5.7a. BDTQ minh họa quan hệ giữa trung bình cộng và trung bình nhân ..........130  Hình 5.7b. BDTQ minh họa quan hệ giữa trung bình nhân và trung bình điều hòa ....131  Hình 5.8. Viết phương trình g  x  ...............................................................................134  Hình 5.9. Điểm đơn vị trên hai trục tọa độ ...................................................................135      x   Hình 5.10. Đo chiều cao kim tự tháp ............................................................................137        xi   DANH SÁCH CÁC BẢNG BIỂU   Bảng 2.1. Mô tả diễn dịch, quy nạp, ngoại suy theo các tam đoạn luận của Peirce .......17  Bảng 2.2. Mô hình so sánh ba loại suy luận ...................................................................29  Bảng 3.1. Phân bố Tập câu hỏi ở các lớp thực nghiệm ..................................................58  Bảng 3.2. Tổng quan về các nhiệm vụ trong mỗi Tập câu hỏi .......................................60  Bảng 3.3. Tổ chức dữ liệu theo phương án Đệ quy ........................................................61  Bảng 3.4. Tổ chức dữ liệu theo phương án Đoán và Thử ..............................................62  Bảng 3.5. Tổ chức dữ liệu theo phương án Cộng dồn ....................................................62  Bảng 3.6. Tổ chức dữ liệu theo phương án Giải phương trình ......................................63  Bảng 3.7. Bảng mã các phương án ngoại suy.................................................................72  Bảng 4.1. Bảng phân bố các phương án ngoại suy theo hướng đưa ra Quy tắc đệ quy và Quy tắc hàm số ...............................................................................................................77  Bảng 4.2. Phân bố các phương án ngoại suy theo hướng Đưa ra quy tắc hàm số .........84  Bảng 4.3. Phân bố các phương án ngoại suy trong phạm trù Số học và Hình học .........86  Bảng 4.4a. Các quy tắc hàm số tương đương cho bài Hình chữ Z và Xếp bàn tiệc .......89  Bảng 4.4b. Các quy tắc hàm số tương đương cho bài Hình chữ S và Hình tháp ...........89  Bảng 4.4c. Các quy tắc hàm số tương đương cho bài Ghế công viên và Mũ Halloween89  Bảng 4.5. Bảng phân bố các câu trả lời ở năm mức độ ngoại suy .................................96      1    Chương 1: MỞ ĐẦU 1.1. Giới thiệu vấn đề nghiên cứu Trong vòng 20 năm trở lại đây hoặc lâu hơn nữa, một mô tả chung nhất và đặc trưng nhất về toán được hầu hết các nhà toán học chấp nhận, đó là: Toán học là khoa học của các dạng mẫu (Devlin, 1994, [30]; Resnik, 1999, [74]). Báo cáo “Mọi người đếm” – một báo cáo về tương lai của giáo dục toán cho các quốc gia (1989, [55]) chỉ rõ: “Toán học là một khoa học nhằm thấu hiểu các dạng mẫu phát sinh từ thế giới xung quanh ta và cả bên trong quá trình làm việc trí óc của con người. HS cần học các quy tắc toán, nhưng quan trọng hơn là làm thế nào để có thể mô tả các sự vật hiện tượng theo ngôn ngữ của toán học”. Một trong những cách để mô tả các dạng mẫu là chỉ ra quy luật của nó thông qua các mối quan hệ và hàm số. Việc khám phá quy luật toán trong các dạng mẫu cũng là một kĩ năng cần thiết với HS trong xu hướng dạy học toán gắn liền với thực tiễn, bởi các nhiệm vụ toán không còn bó hẹp trong các bài toán chứng minh mà trở nên đa dạng hơn với các mẫu dữ liệu của các kết quả đo đạc và quan sát, các mô hình toán của các hiện tượng tự nhiên, của hành vi con người và của hệ thống xã hội. Bodner (1986, [21]) khẳng định “... người học kiến tạo sự hiểu biết. Họ không chỉ đơn giản phản chiếu lại những gì được dạy và những gì họ đọc được. Người học tìm kiếm ý nghĩa và cố gắng để tìm ra quy luật và trật tự của các dạng mẫu trong thế giới khách quan cho dù thiếu những thông tin đầy đủ...”. Có thể thấy hoạt động tìm kiếm quy luật toán trong các dạng mẫu là một khía cạnh quan trọng của việc học. Chẳng hạn, lúc học phép cộng các số nguyên, một HS lớp 6 chú ý đến dạng mẫu: 3  (4)  (4)  3, 5  8  8  5, (6)  (9)  (9)  (6) và nhận thấy rằng trật tự của hai số hạng trong phép cộng là không quan trọng. Từ đó, HS đề xuất giả thuyết a  b  b  a, a, b   . Như vậy là HS đã tổng quát hóa quy luật toán mà các em phát hiện từ các dạng mẫu quan sát được. Không chỉ có số học, tìm kiếm quy luật toán trong các dạng mẫu cũng là hoạt động thường xuyên diễn ra trong các lĩnh vực khác như đại số, hình học mà kết quả của nó là công thức, các định lý (Mason, 1996, [50]). Đặc biệt, quá trình tìm kiếm quy luật toán liên quan đến sự vận hành của hai loại suy luận có lí là suy luận ngoại suy và suy luận quy nạp. Hội đồng giáo viên toán quốc gia     2    của Mỹ NCTM (2000, [57]) xác định: suy luận - chứng minh là một trong số mười tiêu chuẩn cho toán học nhà trường. NCTM cho rằng khả năng suy luận là bản chất của việc hiểu toán và đó nên là mục tiêu đầu tiên của giáo dục toán: “Bằng việc phát triển các ý tưởng, khám phá các hiện tượng, xác minh các kết quả và sử dụng suy luận toán học trong tất cả các lĩnh vực, ở tất cả các lớp học, HS có thể nhìn thấy và tin tưởng rằng toán học là có ý nghĩa…”. NCTM (2000, [57]) cũng khẳng định: “Khả năng suy luận phát triển khi HS được cổ vũ để đưa ra các dự đoán, được cho thời gian tìm kiếm các bằng chứng nhằm ủng hộ hay bác bỏ chúng, được mong chờ việc giải thích các ý tưởng… Nếu khả năng suy luận không được phát triển cho HS thì toán học chỉ là một tập hợp các công thức, thuật toán, quy tắc và các ví dụ mang tính biểu diễn mà không hiểu tại sao chúng có ý nghĩa”. Bên cạnh đó, suy luận và biểu diễn cũng là hai trong số tám năng lực được chọn để đánh giá trong Chương trình đánh giá học sinh quốc tế PISA, một chương trình do Tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế OECD khởi xướng và chỉ đạo, nhằm tìm kiếm các chỉ số đánh giá tính hiệu quả, chất lượng của hệ thống giáo dục của mỗi nước tham gia, qua đó rút ra các bài học về chính sách đối với giáo dục phổ thông. Biểu diễn trực quan (BDTQ), một dạng của biểu diễn toán, không chỉ đóng vai trò minh họa cho các kết quả bằng biểu diễn kí hiệu mà còn được thừa nhận là công cụ hiệu quả cho việc học toán (Arcavi, 2003, [13]). Trong bối cảnh chung đó, chúng tôi mong muốn được thực hiện một đề tài nghiên cứu nhằm phát triển khả năng suy luận quy nạp và ngoại suy để tìm kiếm các quy luật toán của HS với sự hỗ trợ của các biểu diễn trực quan. 1.2. Nhu cầu nghiên cứu và phát biểu vấn đề nghiên cứu Toán học được coi như là môn khoa học chứng minh. Tuy nhiên đó mới chỉ là một khía cạnh của nó. Bạn cần dự đoán một định lý toán học trước khi chứng minh nó. Bạn phải phỏng đoán về ý tưởng của chứng minh trước khi tiến hành chứng minh chi tiết. Bạn phải đối chiếu các kết quả quan sát được và suy ra những điều tương tự. Kết quả công việc sáng tạo của nhà toán học là suy luận diễn dịch, nhưng người ta tìm ra cách chứng minh nhờ suy luận có lí, nhờ dự đoán (Polya, 1954, [66]). Do đó, nếu việc dạy toán phản ánh ở mức độ nào đó việc hình thành toán học như thế nào thì trong việc     3    giảng dạy đó phải dành chỗ cho dự đoán, cho suy luận có lí. Suy luận quy nạp và suy luận ngoại suy, với những ý nghĩa của nó trong việc giúp HS khám phá tri thức toán thông qua việc phát hiện ra quy luật trong các dạng mẫu là một nội dung cần được quan tâm phát triển nhiều hơn trong giáo dục toán. Mặt khác, bước sang những năm đầu của thế kỷ 21, xu hướng thực hành áp dụng toán học vào hầu hết các vấn đề mà HS gặp phải trong cuộc sống đời thường được nhiều nhà giáo dục quan tâm nghiên cứu một cách toàn cầu hóa. Người ta nhận thấy rằng, trong những tình huống thông thường, con người vận dụng toán học theo hai cách khác nhau: sử dụng các công thức hay quy trình đã biết để giải các bài toán mẫu mực, hay đối mặt với các vấn đề không quen thuộc và phức tạp hơn thông qua các phương án toán học tiêu biểu như đưa ra giả thuyết mới bằng phép ngoại suy; tổng quát hóa quy luật bằng phép quy nạp; suy luận bằng tương tự hóa; đặc biệt hóa... Rất hiếm khi con người sử dụng suy luận diễn dịch bởi những tiêu chuẩn chặt chẽ nghiêm ngặt mà nó đòi hỏi. Một lần nữa, suy luận ngoại suy và suy nạp trở thành một công cụ hiệu quả để HS sử dụng khi đối mặt với các vấn đề thực tế. Đối với giáo dục toán ở nước ta, đối tượng mà chúng tôi quan tâm trong nghiên cứu này là những HS mười lăm tuổi, lứa tuổi vừa hoàn thành chương trình phổ cập giáo dục chính thức và có quyền lựa chọn giữa việc tiếp tục theo đuổi chương trình trung học phổ thông (THPT) hay trở thành một công dân độc lập với một nghề nghiệp cho tương lai ngay từ lúc này. Chúng tôi cho rằng đây là giai đoạn chuyển tiếp có ý nghĩa quan trọng khi mà những năng lực toán học đã được HS tích lũy sẽ có ảnh hưởng lớn đến thành công của các em trong những năm học tiếp theo và cuộc sống nghề nghiệp sau này. Nếu tiếp tục chương trình THPT, tính chất và mức độ học tập được yêu cầu đối với HS ở giai đoạn này sẽ phức tạp và cao hơn hẳn so với tuổi thiếu niên, đòi hỏi HS phải biết cách vận dụng tri thức một cách sáng tạo. Nhà trường lúc này có ý nghĩa đặc biệt quan trọng vì nội dung học tập không chỉ nhằm trang bị và hoàn chỉnh tri thức mà còn có tác dụng hình thành thế giới quan và nhân sinh quan cho các em. Hoạt động tư duy của HS lứa tuổi mười lăm cũng phát triển mạnh. Năng lực phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa phát triển cao giúp cho các em có thể lĩnh hội mọi khái niệm phức tạp và trừu tượng trong toán học. HS thích tìm hiểu những quy luật và nguyên tắc chung của các hiện tượng hàng ngày và của những tri thức phải tiếp thu... Một số câu     4    hỏi mà chúng tôi đặt ra dành cho đối tượng HS này là: “Làm thế nào để các em tiếp cận được với một tri thức toán mới có tính quy luật?”; “Khi bắt gặp một vấn đề toán học có liên quan đến mối quan hệ giữa các đối tượng thì quá trình thu thập thông tin và suy luận để phát hiện ra các quy luật toán diễn ra trong đầu các em như thế nào?”; “Liệu các em có mang trong mình tư tưởng khám phá quy luật toán trong các dạng mẫu quan sát được để hỗ trợ giải quyết các vấn đề thực tế?” Mặt khác, HS mười lăm tuổi cũng là đối tượng của chương trình đánh giá HS quốc tế PISA, một chương trình đánh giá giáo dục được tổ chức định kì 3 năm một lần với quy mô gần 70 quốc gia trên thế giới tham dự, trong đó có Việt Nam. Một trong bốn lĩnh vực được PISA chọn để đánh giá là hiểu biết toán, liên quan đến ba khía cạnh: Nội dung toán học, quá trình toán học và bối cảnh trong đó toán học được sử dụng. Trong đó, nội dung toán học được xác định chủ yếu theo bốn “ý tưởng bao quát”: đại lượng, không gian và hình, thay đổi và các mối quan hệ, tính không chắc chắn. Chương trình đánh giá HS quốc tế PISA nhận thấy rằng: các quy luật về đại lượng, các quy luật về không gian và hình, các quy luật về những thay đổi và các mối quan hệ tạo nên các khái niệm trung tâm cho các mô tả về toán học và tạo nên “trái tim” của bất kỳ một chương trình toán nào ở trung học, cao đẳng hay đại học. PISA còn cho thấy các quy luật toán có thể được sử dụng để giải quyết rất nhiều vấn đề thực tế: “Các cấu trúc sống đang thay đổi khi chúng phát triển, chu trình các mùa, thủy triều lên và xuống, các chu trình thất nghiệp, thay đổi thời tiết và các chỉ số chứng khoán, một trong số các quá trình thay đổi này có thể được mô tả hay được mô hình hóa bởi những hàm số bậc nhất, hàm số mũ hay hàm số tuần hoàn, có thể là rời rạc hay liên tục” (OECD, 2003, [60, tr. 37]). Với ý thức về tầm quan trọng của quy luật toán đối với HS ở lứa tuổi mười lăm này, PISA kiểm tra các em về khả năng mô tả những thay đổi trong thế giới dưới dạng có thể nhận thức được để nhận ra sự xuất hiện của các quy luật, đồng thời biết vận dụng các kiến thức và kĩ thuật sẵn có nhằm đem lại lợi ích lớn nhất cho cuộc sống (OECD, 2003, [60]). Có thể thấy, năng lực phát hiện, mô tả và sử dụng các quy luật toán để giải quyết vấn đề trong toán học và thực tế cũng là một trong những nội dung được PISA quan tâm đối với HS mười lăm tuổi. Trong xu hướng đó, với mong muốn thu hút sự quan tâm của giáo dục toán Việt Nam vào những đóng góp tích cực của suy luận ngoại suy và     5    quy nạp trong việc giúp HS mười lăm tuổi phát triển khả năng tìm kiếm các quy luật toán, chúng tôi chọn: “Sử dụng biểu diễn trực quan hỗ trợ suy luận quy nạp và ngoại suy của học sinh mười lăm tuổi trong quá trình tìm kiếm quy luật toán” làm đề tài nghiên cứu của luận án. 1.3. Phạm vi nghiên cứu Luận án quan tâm đến việc sử dụng suy luận quy nạp và ngoại suy của HS mười lăm tuổi trong quá trình tìm kiếm các quy luật toán với sự hỗ trợ của các biểu diễn trực quan. HS mười lăm tuổi theo quy định của PISA là các HS trong độ tuổi từ mười lăm năm ba tháng đến mười sáu năm hai tháng. Trong luận án này, để thuận lợi cho việc thiết kế và phân tích các kết quả thực nghiệm, đối tượng HS mười lăm tuổi sẽ mang ý nghĩa tương đương với các HS đang bắt đầu theo học chương trình lớp 10 ở Việt Nam. Với đặc thù của chương trình toán ở nước ta hiện nay, chúng tôi chọn sử dụng một số nội dung toán thuộc hai lĩnh vực Đại số và Hình học mà HS đã được học ở cấp trung học cơ sở cho đến thời điểm đầu lớp 10 để khai thác. Cụ thể, các quy luật toán mà chúng tôi muốn tập trung phân tích trong lĩnh vực Đại số là các quy luật có liên quan đến khái niệm “dãy số”. Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức kĩ năng môn toán THPT của Bộ giáo dục và đào tạo (2006, [6]) cho thấy: chủ đề Dãy số - cấp số cộng cấp số nhân đã xuất hiện ngầm ẩn trong chương trình toán ở các lớp từ lớp 2 đến lớp 8, cuối cùng chính thức xuất hiện trong chương trình Đại số và Giải tích 11. Cho đến thời điểm HS được mười lăm tuổi, các em đã được học về các khái niệm: “biểu thức đại số”, “hàm số bậc nhất”, “hàm số bậc hai”, tức là các em có đủ các tri thức cần thiết để khám phá các dãy số tuân theo quy luật hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai. Việc HS chưa chính thức học các khái niệm về cấp số cộng, cấp số nhân sẽ là một yếu tố thuận lợi giúp chúng tôi đánh giá khách quan hơn những ảnh hưởng của BDTQ đến quá trình suy luận để khám phá quy luật dãy số của các em. Hơn thế, đây là một trong những nội dung khá thú vị khi phân tích sự xuất hiện đồng thời của cả hai loại suy luận ngoại suy và quy nạp trong quá trình khám phá và tổng quát hóa quy luật của HS. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng quan tâm đến năng lực khám phá các quy luật toán của HS trong lĩnh vực Hình học. Với đối tượng HS mười lăm tuổi, chúng tôi chọn các kiến thức hình học phẳng liên quan đến các chủ đề quan hệ song song, quan hệ vuông góc, đa giác và đường tròn mà HS đã được học trong chương trình Hình học ở các lớp 8, 9     6    cho đến thời điểm đầu lớp 10 để khảo sát. Mặt khác, chúng tôi cũng muốn xem xét các dạng BDTQ được tạo ra trong môi trường học tập có sử dụng máy tính và các phần mềm hình học động. Các BDTQ động này khác với BDTQ trong môi trường giấy bút ở khả năng chuyển động và biến đổi. Liệu sự khác biệt đó có đem lại điều gì thú vị trong cách suy luận của HS để khám phá các quy luật toán? Để tạo cơ hội cho HS khám phá các quy luật toán trong lĩnh vực Hình học với sự hỗ trợ của các BDTQ động, chúng tôi chọn các bài toán hình học kết thúc mở làm đối tượng để khai thác và phân tích trong thực nghiệm của luận án này. 1.4. Nhiệm vụ nghiên cứu  Tìm hiểu lý thuyết về suy luận ngoại suy và quy nạp, vai trò và vị trí của hai loại suy luận này trong quá trình khám phá các quy luật toán.  Xây dựng quy trình lý thuyết để khám phá quy luật dãy số bằng suy luận ngoại suy và quy nạp.  Khảo sát các phương án ngoại suy mà HS sử dụng để khám phá quy luật dãy số. Xây dựng thang mức đánh giá các mức độ ngoại suy mà HS thể hiện.  Phân tích những ảnh hưởng của các BDTQ đến quá trình suy luận của HS trong khám phá quy luật dãy số.  Phân tích những thể hiện của suy luận ngoại suy và quy nạp qua quá trình HS tiến hành các thao tác lên BDTQ động để khám phá các bài toán hình học kết thúc mở.  Đề xuất một số cách thiết kế các bài toán kết thúc mở nhằm thúc đẩy việc phát triển năng lực suy luận ngoại suy và quy nạp cho HS ở trường phổ thông. 1.5. Câu hỏi nghiên cứu Với mục đích nghiên cứu đã được đề cập ở trên, đề tài này sẽ gắn liền với bốn câu hỏi nghiên cứu sau:  Câu hỏi nghiên cứu 1: Những loại suy luận nào được sử dụng trong quá trình khám phá quy luật dãy số và chúng có mối quan hệ với nhau như thế nào?  Câu hỏi nghiên cứu 2: Các biểu diễn trực quan mô tả dãy số có ảnh hưởng như thế nào đến quá trình suy luận của HS để đưa ra một quy tắc tổng quát?     7     Câu hỏi nghiên cứu 3: Sử dụng biểu diễn trực quan động như thế nào để hỗ trợ quá trình suy luận quy nạp và ngoại suy khi khám phá quy luật trong các bài toán hình học kết thúc mở?  Câu hỏi nghiên cứu 4: Làm thế nào để phát triển khả năng khám phá quy luật toán của HS thông qua suy luận quy nạp và ngoại suy? 1.6. Các thuật ngữ  Suy luận: Sử dụng các quy tắc, các bằng chứng và những kiến thức đã có để suy ra các kết luận mới, xây dựng các giải thích hoặc đánh giá các kết luận khác (English, L. D., 2004, [33]).  Suy luận diễn dịch: Suy luận dựa trên các quy tắc logic toán nhằm đưa ra một kết luận (chắc chắn đúng) từ một tập hợp các tiên đề đúng cho trước.  Suy luận quy nạp: Suy luận nhằm đưa ra một giả thuyết mang tính tổng quát (không chắc chắn đúng) từ việc kiểm chứng tính đúng đắn của giả thuyết cho một số trường hợp cụ thể.  Suy luận ngoại suy: Suy luận nhằm đưa ra một giả thuyết có lí (nhưng không chắc chắn đúng) để giải thích cho một kết quả ngạc nhiên quan sát được.  Biểu diễn toán: Có nhiều định nghĩa khác nhau về biểu diễn toán. Nhìn chung các nhà nghiên cứu giáo dục toán phân biệt giữa biểu diễn trong và ngoài, trong đó biểu diễn ngoài là những biểu hiện của các ý tưởng hoặc khái niệm như biểu đồ, bảng biểu, đồ thị, sơ đồ, ngôn ngữ, ký hiệu… và biểu diễn trong là các mô hình nhận thức mà một người có được trong trí óc họ.  Trực quan hóa: Quá trình và sản phẩm của sự sáng tạo, giải thích, sử dụng và phản ánh dựa trên các hình vẽ (hay hình ảnh, đồ thị, sơ đồ, biểu bảng…) ở trong đầu chúng ta, trên giấy hay trên các công cụ khoa học công nghệ. Trực quan hóa nhằm mục đích mô tả và giao tiếp thông tin, tư duy và phát triển các ý tưởng chưa biết để đi đến việc hiểu toán (Arcavi, 2003, [13]).  Biểu diễn trực quan: Công cụ để trực quan hoá nhằm hiểu được các đối tượng toán học trừu tượng. Các biểu diễn trực quan thường được sử dụng là các hình vẽ, hình ảnh, sơ đồ, đồ thị, biểu bảng...  Biểu diễn trực quan động: Các biểu diễn trực quan được xây dựng trên màn hình máy tính với sự hỗ trợ của các phần mềm toán học động, cho phép HS thực hiện