Tài liệu Song tuyến đại số

BAØI GIAÛNG MOÂN ÑAÏI SOÁ A2 (GV: Traàn Ngoïc Hoäi - 2009) CHÖÔNG 3 DAÏNG SONG TUYEÁN TÍNH DAÏNG TOAØN PHÖÔNG Trong chöông naøy kyù hieäu K ñeå chæ tröôøng soá thuïc R hay tröôøng soá phöùc C. §1. KHAÙI NIEÄM VEÀ DAÏNG SONG TUYEÁN TÍNH VAØ DAÏNG TOAØN PHÖÔNG 1.1. Ñònh nghóa. Cho V laø moät khoâng gian veùctô treân K. Moät daïng song tuyeán tính treân V laø moät aùnh xaï f: V × V → K (u, v) 6 f (u, v) coù tính chaát tuyeán tính theo töøng bieán u, v, nghóa laø vôùi moïi u, u1, u2, v, v1, v2 ∈ V vaø α, β ∈ K ta coù 1) f(αu1 + u2,v) = αf(u1,v) + f(u2,v); 2) f(u,βv1 + v2) = βf(u,v1) + f(u,v2). Daïng song tuyeán tính f ñöôïc goïi laø ñoái xöùng neáu f(u,v) = f(v,u) vôùi moïi u, v ∈V. 1.2. Ví duï. 1) Vôùi moãi u = (x1,...,xn), v = (y1,...,yn) ∈ \ n , ñaët f(u,v) = x1y1 + ...+ xnyn Khi ñoù f laø moät daïng song tuyeán tính treân \ n. 2) Moät tích voâ höôùng treân khoâng gian Euclide V laø moät daïng song tuyeán tính treân V. 1 1.3. Ma traän cuûa daïng song tuyeán tính Giaû söû B = (u1, … , un) laø moät cô sôû cuûa V treân K. Ma traän cuûa daïng song tuyeán tính f trong cô sôû B, kyù hieäu [f]B, laø ma traän A = (aij)n×n, trong ñoù aij = f(ui,uj) vôùi moïi 1 ≤ i, j ≤ n. Vôùi moïi u = x1u1+ ...+ xnun , v = y1u1+ ...+ ynun thuoäc V ta coù n n i =1 j=1 f (u, v) = f (∑ x iu i , ∑ y ju j ) = n n n n ∑ ∑ f (ui , u j )x i y j = ∑ ∑ aijx i y j i =1 j=1 (1) i =1 j=1 Ñaûo laïi, (1) xaùc ñònh daïng song tuyeán tính f treân V coù ma traän trong cô sôû B laø A = (aij)n×n. Chuù yù raèng (1) coøn ñöôïc vieát döôùi daïng ⎛ a11 ... a1n ⎞ ⎛ y1 ⎞ f (u, v) = ( x1... x n ) ⎜⎜ ... ... ... ⎟⎟ ⎜⎜ ... ⎟⎟ = [u]TB [f ]B [v]B . ⎜a ⎟⎜ ⎟ ⎝ n1 ... a nn ⎠ ⎝ y n ⎠ ∀u, v ∈ V, f (u, v) = [u]TB [f ]B [v]B Vaäy (1′) Ta goïi (1) vaø (1′) laø bieåu thöùc toaï ñoä cuûa daïng song tuyeán tính f trong cô sôû B. 1.4. Nhaän xeùt. 1) Vôùi cô sôû B = (u1, … , un) cho tröôùc, daïng song tuyeán tính f ñöôïc hoaøn toaøn xaùc ñònh bôûi ma traän [f]B. 2) Daïng song tuyeán tính f treân V laø ñoái xöùng khi vaø chæ khi [f]B laø ma traän ñoái xöùng. 1.5. Daïng song tuyeán tính treân Kn Xeùt V = Kn vôùi cô sôû chính taéc B0 = (e1, … , en). Ñaët A = [f ]B = (aij)n×n. Khi ñoù vôùi 0 n moïi u = (x1, ...,xn), v = (y1, ...,yn) thuoäc K ta coù f (u, v) = n n ∑ ∑ aijx i y j (2) i =1 j=1 Ñaûo laïi, (2) xaùc ñònh daïng song tuyeán tính f treân Kn coù ma traän trong cô sôû chính taéc laø A = (aij)n×n. Ñeå ñôn giaûn, trong tröôøng hôïp naøy ta goïi A laø ma traän cuûa f vaø (2) laø bieåu thöùc cuûa f. 3 1.6. Ví duï. Xeùt daïng song tuyeán tính f treân \ ñònh bôûi: Vôùi moïi u = (x1,x2,x3), v = (y1,y2,y3), f (u, v) = x1 y1 + 2x1 y 2 − 4x1y 3 + x 2 y1 − x 2 y 2 + 3x 2 y 3 + x 3 y1 + 9x 3 y 2 . Ma traän cuûa f laø 2 ⎛ 1 2 −4 ⎞ A = ⎜⎜ 1 −1 3 ⎟⎟ . ⎜1 9 0 ⎟⎠ ⎝ 1.7. Ñònh nghóa. Cho V laø moät khoâng gian veùctô höõu haïn chieàu treân K vaø f laø moät daïng song tuyeán tính ñoái xöùng treân V. Khi ñoù aùnh xaï Q: V → K u 6 f (u, u) ñöôïc goïi laø daïng toaøn phöông treân V öùng vôùi daïng song tuyeán tính ñoái xöùng f. Ta cuõng noùi f laø daïng cöïc cuûa daïng toaøn phöông Q. Ñeå ñôn giaûn, ta goïi moät daïng toaøn phöông treân khoâng gian veùctô thöïc (t.ö. phöùc) laø moät daïng toaøn phöông thöïc (t.ö. phöùc). Moät daïng toaøn phöông treân Kn (t.ö. Rn, Cn) coøn ñöôïc goïi laø moät daïng toaøn phöông n bieán treân K (t.ö. n bieán thöïc, n bieán phöùc). Daïng cöïc f cuûa daïng toaøn phöông Q ñöôïc hoaøn toaøn xaùc ñònh bôûi Q. Thaät vaäy, f(u+v,u+v) = f(u,u) + f(u,v) + f(v,u) + f(v,v) = f(u,u) + 2f(u,v) + f(v,v). Suy ra f (u, v) = 1 [Q(u + v) − Q(u) − Q(v)] . 2 1.8. Bieåu thöùc vaø Ma traän cuûa daïng toaøn phöông Giaû söû Q laø moät daïng toaøn phöông treân V öùng vôùi daïng song tuyeán tính ñoái xöùng f. Vôùi B laø moät cô sôû baát kyø cuûa V, ma traän [f]B cuõng ñöôïc goïi laø ma traän cuûa daïng toaøn phöông Q trong cô sôû B, kyù hieäu laø [Q]B. Nhaän xeùt raèng vì f ñoái xöùng neân ma traän cuûa daïng toaøn phöông Q trong moät cô sôû baát kyø luoân luoân laø moät ma traän ñoái xöùng. Do 1.3, vôùi B = (u1, … , un) laø moät cô sôû cuûa V vaø u = x1u1+ ...+ xnun thuoäc V ta coù Q(u) = [u]TB [Q]B [u]B = n n ∑ ∑ aijx i y j (3) i =1 j=1 trong ñoù aij = aji vì [Q]B = (aij)n×n laø ma traän ñoái xöùng. Ñaûo laïi, (3) xaùc ñònh daïng toaøn phöông Q treân V coù ma traän trong cô sôû B laø A = (aij)n×n. Ta cuõng thöôøng vieát (3) döôùi daïng Q(u) = [u]TB [Q]B [u]B = n ∑ aiix 2i i =1 + ∑ 1≤ i < j≤ n 2aijx i x j (3′) Ta goïi (3) vaø (3′) laø bieåu thöùc toaï ñoä cuûa daïng toaøn phöông Q trong cô sôû B. 3 [Q]B0 Ñaëc bieät, xeùt V = Kn vôùi cô sôû chính taéc B0 = (e1, … ,en). Ma traän n = ( a ij ) ñöôïc goïi laø ma traän cuûa Q. Vôùi moïi u = (x1, ...,xn) thuoäc K ta coù n ×n Q(u) = X T AX = n ∑ aiix 2i + i =1 ∑ 1≤ i < j≤ n 2aijx i x j (4) ⎛ x1 ⎞ trong ñoù X = ⎜⎜ ... ⎟⎟ , laø moät ña thöùc thuaàn nhaát baäc 2 theo n bieán x1,..., xn. Ñaûo laïi, ⎜x ⎟ ⎝ n⎠ moät ña thöùc thuaàn nhaát baäc 2 theo n bieán x1,..., xn nhö trong (4) luoân luoân xaùc ñònh daïng toaøn phöông n bieán treân K coù ma traän trong cô sôû chính taéc laø ma traän ñoái xöùng A = (aij)n×n. Ta goïi (4) laø bieåu thöùc cuûa daïng toaøn phöông Q. 3 1.9. Ví duï. 1) Xeùt daïng toaøn phöông Q treân \ coù bieåu thöùc ñònh bôûi Q(x1 ,x 2 ,x 3 ) = x12 − 3x 22 + 2x1x 2 − 4x1x 3 + 8x 2x 3 . Khi ñoù ma traän cuûa Q laø ⎛ 1 1 −2 ⎞ A = ⎜⎜ 1 −3 4 ⎟⎟ ⎜ −2 4 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ x1 ⎞ vaø Q(x1,x 2 ,x 3 ) = X AX , trong ñoù X = ⎜⎜ x 2 ⎟⎟ . ⎜x ⎟ ⎝ 3⎠ T 3 2) Giaû söû daïng toaøn phöông Q treân \ coù ma traän laø ⎛ 2 3 −1 ⎞ A = ⎜⎜ 3 0 5 ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −1 5 −4 ⎠ ⎛ x1 ⎞ Khi ñoù bieåu thöùc cuûa Q laø Q(x1 ,x 2 ,x 3 ) = X AX , trong ñoù X = ⎜⎜ x 2 ⎟⎟ , hay ⎜x ⎟ ⎝ 3⎠ T Q(x1,x 2 ,x 3 ) = 2x12 − 4x 23 + 6x1x 2 − 2x1x 3 + 10x 2x 3 . 1.10. Ñònh lyù (Ñoåi cô sôû cho daïng song tuyeán tính). Cho V laø moät khoâng gian veùctô höõu haïn chieàu treân K vaø f laø moät daïng song tuyeán tính treân V. Khi ñoù vôùi B1 , B2 laø hai cô sôû baát kyø cuûa V, ta coù [f ]B = (PB → B )T [f ]B PB → B 1 1 2 4 1 1 2 Chöùng minh. Ñaët B1 = (u1, … , un), B2 = (v1, … , vn), PB → B = ( pij ) . Khi ñoù vôùi moïi 1 2 u, v thuoäc V ta coù f (u, v) = [u]TB [f ]B [v]B = (PB → B [u]B )T [f ]B (PB → B [v]B ) 1 = 1 1 1 2 2 1 1 2 2 [u]TB [(PB → B )T [f ]B PB → B ][v]B 2 1 2 1 1 2 2 Töø ñoù suy ra [f ]B = (PB → B )T [f ]B PB → B . 2 1 2 1 1 2 1.11. Heä quaû (Ñoåi cô sôû cho daïng toaøn phöông). Cho V laø moät khoâng gian veùctô höõu haïn chieàu treân K vaø Q laø moät daïng toaøn phöông treân V. Khi ñoù vôùi B1 , B2 laø hai cô sôû baát kyø cuûa V, ta coù [Q]B = (PB → B )T [Q]B PB → B . 2 1 2 1 1 2 1.12. Nhaän xeùt. Cho bieåu thöùc toïa ñoä cuûa daïng toaøn phöông Q trong cô sôû B1 laø Q(u) = n ∑ aiix 2i + i =1 ∑ 1≤ i < j ≤ n 2a ijx i x j (*) vôùi u = x1u1+ ...+ xnun. Giaû söû B2 = (v1, … , vn) laø moät cô sôû khaùc cuûa V vaø bieåu thöùc toïa ñoä cuûa Q trong cô sôû B2 laø Q(u) = n ∑ bii y2i i =1 + ∑ 1 ≤ i < j≤ n 2bijy i y j (**) vôùi u = y1u1+ ...+ ynun. Khi ñoù ma traän PB → B khaû nghòch vaø pheùp bieán ñoåi toïa ñoä 1 2 khoâng suy bieán ⎛ x1 ⎞ ⎜ ... ⎟ = P B1 → B2 ⎜ ⎟ ⎜x ⎟ ⎝ n⎠ ⎛ y1 ⎞ ⎜ ... ⎟ ⎜ ⎟ ⎜y ⎟ ⎝ n⎠ ñöa bieåu thöùc cuûa daïng toaøn phöông Q töø (*) veà (**). Ñaûo laïi, öùng vôùi moãi pheùp bieán ñoåi toïa ñoä khoâng suy bieán ⎛ x1 ⎞ ⎛ y1 ⎞ ⎜ ... ⎟ = P ⎜ ... ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜x ⎟ ⎜y ⎟ ⎝ n⎠ ⎝ n⎠ (P laø moät ma traän vuoâng caáp n khaû nghòch), goïi B2 laø cô sôû cuûa V sao cho PB → B = P . Khi ñoù bieåu thöùc toïa ñoä cuûa Q trong cô sôû B2 coù daïng (**), trong ñoù 1 2 (bij)n×n = PT(aij)n×nP. 5 1.13. Ñònh nghóa (Haïng vaø tính suy bieán, khoâng suy bieán cuûa daïng toaøn phöông). Cho Q laø moät daïng toaøn phöông treân khoâng gian veùctô n chieàu V vaø B laø moät cô sôû baát kyø cuûa V. Haïng cuûa ma traän [Q]B ñöôïc goïi laø haïng cuûa Q, kyù hieäu laø rank(Q) hay r(Q). Heä quaû 1.10 cho thaáy haïng cuûa Q khoâng phuï thuoäc vaøo caùch choïn cô sôû B. Hieån nhieân rank(Q) ≤ n = dimV. Neáu rank(Q) = n thì ta noùi Q khoâng suy bieán. Ngöôïc laïi, neáu rank(Q) < n thì Q suy bieán. 1.14. Ví duï. 1) Xeùt Q laø daïng toaøn phöông 3 bieán thöïc ñònh bôûi: Q(x1 , x 2 , x 3 ) = x12 − 3x 22 + 2x1x 2 − 4x1x 3 + 8x 2 x 3 . a) Tìm haïng vaø khaûo saùt tính khoâng suy bieán cuûa Q. 3 b) Tìm bieåu thöùc toaï ñoä cuûa Q trong cô sôû B = (u1, u2, u3) cuûa \ , trong ñoù u1 = (1, −1, 0); u2 = (−1, 2, 1); u3 = (2, 0, 3) vaø chæ ra pheùp bieán ñoåi toaï ñoä khoâng suy bieán töông öùng. Giaûi. Ma traän cuûa Q laø ⎛ 1 1 −2 ⎞ = ⎜⎜ 1 −3 4 ⎟⎟ ⎜ −2 4 0 ⎟⎠ ⎝ [Q]B0 a) Ta coù detA = −20 neân rank(Q) = rank(A) = 3, do ñoù Q khoâng suy bieán. b) Ma traän chuyeån töø cô sôû chính taéc B0 sang cô sôû B laø PB0 → B ⎛ 1 −1 2 ⎞ = ⎜⎜ −1 2 0 ⎟⎟ . ⎜ 0 1 3⎟ ⎝ ⎠ Do ñoù ma traän cuûa Q trong cô sôû B laø T [Q]B = (PB0 → B ) [Q]B0 PB0 → B = ⎛ 1 −1 0 ⎞ ⎛ 1 1 = ⎜⎜ −1 2 1 ⎟⎟ ⎜⎜ 1 −3 ⎜ 2 0 3 ⎟ ⎜ −2 4 ⎝ ⎠⎝ ⎛ 1 −1 ⎜ −1 2 ⎜ ⎜ 0 1 ⎝ −2 ⎞ ⎛ 1 4 ⎟⎟ ⎜⎜ −1 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 2⎞ 0 ⎟⎟ 3 ⎟⎠ T ⎛ 1 ⎜ 1 ⎜ ⎜ −2 ⎝ −1 2 ⎞ 2 0 ⎟⎟ = 1 3 ⎟⎠ 1 −2 ⎞ ⎛ 1 − 1 2 ⎞ −3 4 ⎟⎟ ⎜⎜ −1 2 0 ⎟⎟ 4 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 1 3 ⎟⎠ ⎛ −4 2 −18 ⎞ ⎜ 2 5 28 ⎟ , ⎜ ⎟ ⎜ −18 28 −20 ⎟ ⎝ ⎠ Vaäy bieåu thöùc toïa ñoä cuûa Q trong cô sôû B ñònh bôûi: Vôùi moïi u = y1u1 + y2u2 + y3u3 3 thuoäc \ , 6 Q(u) = [u]TB [Q]B [u]B = ( y1 y2 ⎛ −4 2 −18 ⎞ ⎛ y1 ⎞ y3 ) ⎜⎜ 2 5 28 ⎟⎟ ⎜⎜ y 2 ⎟⎟ ⎜ −18 28 −20 ⎟ ⎜ y ⎟ ⎝ ⎠⎝ 3⎠ = −4y12 + 5y 22 − 20y 23 + 4y1y 2 − 36y1y3 + 56y2 y3 Pheùp bieán ñoåi toïa ñoä khoâng suy bieán töông öùng laø ⎧ x1 = y1 − y 2 + 2y 3 ⎛ x1 ⎞ ⎛ y1 ⎞ ⎛ 1 −1 2 ⎞ ⎛ y1 ⎞ ⎜x ⎟ = P ⎜ y ⎟ = ⎜ −1 2 0 ⎟ ⎜ y ⎟ hay ⎪ x = − y + 2y ⎨ 2 B0 → B ⎜ 2 ⎟ 1 2 ⎜ 2⎟ ⎜ ⎟⎜ 2⎟ ⎜x ⎟ ⎜ y ⎟ ⎜ 0 1 3⎟ ⎜ y ⎟ ⎪x = y ⎠⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 2 + 3y 3 ⎩ 3 3 2) Xeùt khoâng gian \ vôùi cô sôû B = (u1, u2, u3), trong ñoù u1 = (1,−1,0); u2 = (−1,2,1); u3 = (2, 0, 3). Cho Q laø daïng toaøn phöông 3 bieán thöïc coù bieåu thöùc toaï ñoä trong cô sôû B nhö sau: Q(u) = x12 − 3x 22 + 2x1x 2 − 4x1x 3 + 8x 2 x 3 3 vôùi moïi u = x1u1 + x2u2 + x3u3 thuoäc \ . a) Tìm haïng vaø khaûo saùt tính khoâng suy bieán cuûa Q. b) Tìm bieåu thöùc cuûa Q vaø chæ ra pheùp bieán ñoåi toaï ñoä khoâng suy bieán töông öùng. Giaûi. Ma traän cuûa Q trong cô sôû B laø ⎛ 1 1 −2 ⎞ [Q]B = A = ⎜⎜ 1 −3 4 ⎟⎟ . ⎜ −2 4 0 ⎟ ⎝ ⎠ a) Ta coù detA = −20 neân rank(Q) = rank(A) = 3, do ñoù Q khoâng suy bieán. b) Ma traän chuyeån töø cô sôû chính taéc B0 sang cô sôû B laø PB0 → B ⎛ 1 −1 2 ⎞ = ⎜⎜ −1 2 0 ⎟⎟ . ⎜ 0 1 3⎟ ⎝ ⎠ Suy ra ma traän chuyeån töø cô sôû B sang cô sôû chính taéc B0 laø PB → B0 ⎛ 6 5 −4 ⎞ = ⎜⎜ 3 3 −2 ⎟⎟ . ⎜ −1 −1 1 ⎟ ⎝ ⎠ Do ñoù ma traän cuûa Q (trong cô sôû chính taéc B0) laø 7 ⎛ 6 5 T [Q]B0 = (PB → B0 ) [Q]B PB → B0 = ⎜⎜ 3 3 ⎜ − 1 −1 ⎝ 3 −1 ⎞ ⎛ 1 1 −2 ⎞ ⎛ 6 ⎛ 6 ⎜ = ⎜ 5 3 −1 ⎟⎟ ⎜⎜ 1 −3 4 ⎟⎟ ⎜⎜ 3 ⎜ −4 −2 1 ⎟ ⎜ −2 4 0 ⎟ ⎜ −1 ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ −4 ⎞ −2 ⎟⎟ 1 ⎟⎠ T ⎛ 1 1 −2 ⎞ ⎛ 6 5 −4 ⎞ ⎜ 1 −3 4 ⎟ ⎜ 3 3 −2 ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ −2 4 0 ⎟ ⎜ − 1 − 1 1 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 5 −4 ⎞ ⎛ 45 34 −30 ⎞ 3 −2 ⎟⎟ = ⎜⎜ 34 24 −22 ⎟⎟ −1 1 ⎟⎠ ⎜⎝ −30 −22 20 ⎠⎟ Suy ra bieåu thöùc cuûa Q laø Q(y1 , y 2 , y 3 ) = 45y12 + 24y 22 + 20y 23 + 68y1y 2 − 60y1y 3 − 44y 2 y 3 . Pheùp bieán ñoåi toïa ñoä khoâng suy bieán töông öùng laø ⎛ x1 ⎞ ⎜x ⎟ = P B → B0 ⎜ 2⎟ ⎜x ⎟ ⎝ 3⎠ ⎧ x1 = 6y1 + 5y 2 − 4y 3 ⎛ y1 ⎞ ⎛ 6 5 −4 ⎞ ⎛ y1 ⎞ ⎜ y ⎟ = ⎜ 3 3 −2 ⎟ ⎜ y ⎟ hay ⎪ x = 3y + 3y − 2y ⎨ 2 1 2 3 ⎜ 2⎟ ⎜ ⎟⎜ 2⎟ ⎟ ⎜ y ⎟ ⎜ −1 − 1 ⎜ ⎟ ⎪ 1 ⎠ ⎝ y3 ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎩ x 3 = − y1 − y 2 + y 3 §2. DAÏNG CHÍNH TAÉC CUÛA DAÏNG TOAØN PHÖÔNG 2.1. Ñònh nghóa. Cho V laø moät khoâng gian veùctô höõu haïn chieàu treân K vaø Q laø moät daïng toaøn phöông treân V coù daïng cöïc laø f. Cô sôû B = (u1, … , un) cuûa V ñöôïc goïi laø moät cô sôû Q-chính taéc neáu f(ui,uj) = 0 vôùi moïi 1 ≤ i ≠ j ≤ n, ñieàu naøy töông ñöông vôùi tính chaát ma traän [Q]B laø moät ma traän cheùo, hay cuõng vaäy, bieåu thöùc toaï ñoä cuûa Q trong cô sôû B coù daïng Q(u) = n ∑ aix2i (1) i =1 vôùi moïi u = x1u1+ ...+ xnun thuoäc V. Khi ñoù ta noùi (1) laø daïng chính taéc cuûa Q. 2.2. Ñònh lyù. Cho V laø moät khoâng gian veùctô höõu haïn chieàu treân K vaø Q laø moät daïng toaøn phöông treân V. Khi ñoù trong V toàn taïi moät cô sôû Q-chính taéc. Chöùng minh. Vieäc xaây döïng moät cô sôû Q-chính taéc ñöôïc thöïc hieän thoâng qua thuaät toaùn sau: 2.3. Thuaät toaùn Lagrange ñöa daïng toaøn phöông veà daïng chính taéc Giaû söû bieåu thöùc cuûa daïng toaøn phöông Q trong cô sôû B = (u1, … , un) ñònh bôûi Q(u) = n ∑ aiix2i i =1 + ∑ 1≤ i < j ≤ n 2a ijx i x j (*) Ñeå ñöa Q veà daïng chính taéc ta chia baøi toaùn thaønh 3 tröôøng hôïp: 8 Tröôøng hôïp 1: aii ≠ 0 vôùi moät i naøo ñoù. Sau khi ñaùnh soá laïi caùc phaàn töû cuûa cô sôû B neáu caàn, ta coù theå giaû söû a11 ≠ 0. Khi ñoù n a1i x i ) + (nhöõng soá haïng khoâng chöùa x1 ) i = 2 a11 Q(u) = a11 (x12 + 2x1 ∑ n a1i x i )2 + (moät daïng toaøn phöông cuûa x 2 ,..., x n ) a i = 2 11 = a11 (x1 + ∑ = a11y12 + n ∑ bijy i y j i, j= 2 trong ñoù n ⎧ a = + y x ∑ a1i x i ⎪ 1 1 ⎨ i = 2 11 ⎪y = x (j ≥ 2) j ⎩ j laø moät pheùp bieán ñoåi toïa ñoä khoâng suy bieán. Vieäc ñöa Q veà daïng chính taéc ñöôïc qui veà vieäc ñöa daïng toaøn phöông (n−1) bieán Q1 = n ∑ bijyi y j veà daïng chính taéc. i, j= 2 Ñieàu naøy coù theå thöïc hieän baèng qui naïp. Tröôøng hôïp 2: aii = 0 vôùi moïi i nhöng coù aij ≠ 0 vôùi i ≠ j naøo ñoù. Sau khi ñaùnh soá laïi caùc phaàn töû cuûa cô sôû B neáu caàn, ta coù theå giaû söû a12 ≠ 0. Thöïc hieän pheùp bieán ñoåi toïa ñoä khoâng suy bieán ⎧ x1 = y1 + y 2 ⎪ ⎨ x 2 = y1 − y 2 ⎪x = y (j ≥ 3) j ⎩ j ta coù 2a12x1x 2 = 2a12 (y12 − y 22 ) . Töø ñoù Q(u) = n ∑ i, j=1 a ijx i x j = n ∑ bijyi y j i, j=1 coù heä soá cuûa y12 laø 2a12 ≠ 0 . Ta trôû veà tröôøng hôïp 1 ñaõ xeùt. Tröôøng hôïp 3: aij = 0 vôùi moïi i, j. Khi ñoù Q(u) = 0 vôùi moïi u neân Q coù daïng chính taéc trong baát kyø cô sôû naøo cuûa V. 2.4. Ví duï. 1) Ñöa daïng toaøn phöông thöïc sau ñaây veà daïng chính taéc: Q(u) = x12 + x 22 + x 23 − 2x 24 − 2x1x 2 + 2x1x 3 − 2x1x 4 + x 2x 3 − 4x 2x 4 9 vôùi u = (x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) . Chæ ra cô sôû Q-chính taéc vaø pheùp bieán ñoåi toïa ñoä khoâng suy bieán töông öùng. Giaûi. Ta coù Q(u) = x12 + 2x1 (− x 2 + x 3 − x 4 ) + x 22 + x 23 − 2x 24 + x 2 x 3 − 4x 2x 4 = (x1 − x 2 + x 3 − x 4 )2 − (− x 2 + x 3 − x 4 )2 + x 22 + x 32 − 2x 24 + x 2x 3 − 4x 2x 4 = (x1 − x 2 + x 3 − x 4 )2 − 3x 24 + 3x 2x 3 − 6x 2x 4 + 2x 3x 4 1 x 3 )] + 3x 2x 3 3 1 1 = (x1 − x 2 + x 3 − x 4 )2 − 3(x 4 + x 2 − x 3 )2 + 3(x 2 − x 3 )2 + 3x 2x 3 3 3 1 1 1 = (x1 − x 2 + x 3 − x 4 )2 − 3(x 4 + x 2 − x 3 )2 + 3(x 22 + 2x 2 x 3 ) + x 32 3 6 3 1 1 1 = (x1 − x 2 + x 3 − x 4 )2 − 3(x 4 + x 2 − x 3 )2 + 3(x 2 + x 3 )2 + x 32 3 6 4 = (x1 − x 2 + x 3 − x 4 )2 − 3[x 24 + 2x 4 (x 2 − Thöïc hieän pheùp bieán ñoåi toïa ñoä khoâng suy bieán ⎧ y1 ⎪ ⎪ y2 ⎪ ⎨ ⎪y ⎪ 3 ⎪y ⎩ 4 = x1 − x 2 + x 3 − x 4 = x4 + x2 − = x2 + = x3 1 x3 6 1 x3 3 ⎧ ⎪ x1 ⎪ ⎪⎪ x ⇔⎨ 2 ⎪x3 ⎪ ⎪x ⎪⎩ 4 = y1 − y 2 + 1 = y3 − y4 6 = y4 = y2 − y3 + 2 y4 3 1 y4 2 ⎛ x1 ⎞ ⎛ 1 −1 0 2 / 3 ⎞ ⎛ y1 ⎞ ⎜ x ⎟ ⎜ 0 0 1 −1 / 6 ⎟ ⎜ y ⎟ ⎜ ⎟⎜ 4⎟ ⇔ 4⎟ = ⎜ ⎜ x3 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 ⎟ ⎜ y3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ x 4 ⎠ ⎝ 0 1 −1 1 / 2 ⎠ ⎝ y 4 ⎠ ta ñöa ñöôïc Q veà daïng chính taéc Q(u) = y12 − 3y 22 + 3y32 + 1 2 y4 4 vôùi u = y1u1+ y2u2+ y3u3 + y4u4, trong ñoù cô sôû Q-chính taéc B = (u1,u2,u3,u4) cuûa \ 4 thoaû PB0 → B ⎛ 1 −1 0 2 / 3 ⎞ ⎜ 0 0 1 −1 / 6 ⎟ ⎟ =⎜ ⎜0 0 0 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 1 −1 1 / 2 ⎠ (B0 laø cô sôû chính taéc cuûa \ 4 ) nghóa laø u1 = (1,0,0,0); u2 = (−1,0,0,1); u3 = (0,1,0,−1); u4 = (2/3,−1/6,1,1/2). 2) Ñöa daïng toaøn phöông thöïc sau ñaây veà daïng chính taéc: Q(x1 , x 2 , x 3 ) = x1x 2 + 2x1x 3 − 2x 2 x 3 Chæ ra cô sôû Q-chính taéc vaø pheùp bieán ñoåi toïa ñoä khoâng suy bieán töông öùng. 10 Giaûi. Ñoåi bieán ⎧ x1 = y1 + y 2 ⎪ ⎨ x 2 = y1 − y 2 ⎪x = y 3 ⎩ 3 ta coù Q(u) = y12 − y 22 + 2(y1 + y 2 )y 3 − 2(y1 − y 2 )y 3 = y12 − y 22 + 4y 2 y 3 Ta bieán ñoåi Q(u) = y12 − [y 22 − 2y 2 (2y 3 )] = y12 − (y 2 − 2y 3 )2 + 4y 32 Ñaët ⎧z1 = y1 ⎧ y1 = z1 ⎪ ⎪ ⎨z2 = y 2 − 2y 3 ⇔ ⎨ y 2 = z2 + 2z3 ⎪z = y ⎪y = z 3 3 ⎩ 3 ⎩ 3 ta ñöa ñöôïc Q veà daïng chính taéc Q(u) = z12 − z22 + 4z32 Pheùp bieán ñoåi toaï ñoä khoâng suy bieán töông öùng laø ⎧ x1 = z1 + z2 + 2z3 ⎪ ⎨ x 2 = z1 − z2 − 2z3 ⎪x = y 3 ⎩ 3 Cô sôû Q-chính taéc töông öùng laø B = (u1,u2,u3) cuûa \3 thoaû PB0 → B ⎛ 1 1 2⎞ = ⎜⎜ 1 −1 −2 ⎟⎟ ⎜0 0 1 ⎟⎠ ⎝ (B0 laø cô sôû chính taéc cuûa \ 4 ) nghóa laø u1 = (1,1,0); u2 = (1,−1,0); u3 = (2,−2,1). §3. DAÏNG CHÍNH TAÉC TRÖÏC GIAO CUÛA DAÏNG TOAØN PHÖÔNG TREÂN KHOÂNG GIAN EUCLIDE 3.1. Ñònh nghóa. Cho V laø moät khoâng gian Euclide höõu haïn chieàu vaø Q laø moät daïng toaøn phöông treân V. Cô sôû B ñöôïc goïi laø moät cô sôû Q-chính taéc tröïc giao neáu B laø moät cô sôû tröïc chuaån ñoàng thôøi cuõng laø moât cô sôû Q-chính taéc cuûa V. Khi ñoù bieåu thöùc toïa ñoä cuûa Q trong cô sôû B ñöôïc goïi laø daïng chính taéc tröïc giao cuûa Q. 11 3.2. Ñònh lyù. Cho V laø moät khoâng gian Euclide höõu haïn chieàu vaø Q laø moät daïng toaøn phöông treân V. Khi ñoù trong V toàn taïi moät cô sôû Q-chính taéc tröïc giao. Chöùng minh. Xeùt B0 laø moät cô sôû tröïc chuaån naøo ñoù cuûa V. Khi ñoù ma traän [Q]B laø ma traän ñoái xöùng thöïc neân cheùo hoaù tröïc giao ñöôïc, nghóa laø toàn taïi ma 0 traän tröïc giao P sao cho P −1 [Q]B P laø ma traän cheùo. Goïi B laø cô sôû cuûa V sao cho 0 PB0 → B = P . Khi ñoù [Q]B = (PB0 → B )T [Q]B0 PB0 → B = P T [Q]B0 P = P −1 [Q]B0 P laø ma traän cheùo. Vì [Q]B laø ma traän cheùo neân B laø cô sôû Q-chính taéc. Maët khaùc, do PB → B = P laø ma traän tröïc giao neân B laø moät cô sôû tröïc chuaån. Suy ra B laø moät 0 cô sôû Q-chính taéc tröïc giao cuûa V. 3.3. Nhaän xeùt. 1) Giaû söû Q coù daïng chính taéc tröïc giao n ∑ aix2i Q(u) = (1) i =1 vôùi u = x1u1+ ...+ xnun, trong ñoù B = (u1, … , un) laø cô sôû Q- chính taéc tröïc giao töông öùng. Khi ñoù daêy a1,...,an goàm taát caû caùc trò rieâng cuûa [Q]B (keå caû soá boäi) vaø khoâng phuï thuoäc vaøo vieäc choïn cô sôû Q-chính taéc tröïc giao B. Thaät vaäy, töø (1) ta suy ra [Q]B 0⎞ ⎛ a1 ⎜ ⎟ % =⎜ ⎟ ⎜0 ⎟ a n ⎝ ⎠ neân hieån nhieân a1,...,an laø taát caû caùc trò rieâng cuûa [Q]B. Baây giôø cho B ′ = (u1′ ,..., u′n ) laø moät cô sôû Q-chính taéc tröïc giao khaùc cuûa V. Khi ñoù Q(u) = n ∑ a′i y2i (1′) i =1 vôùi u = y1u1′ + ... + y nu′n . Theo chöùng minh treân a1′,..., an′ laø caùc trò rieâng cuûa [Q]B ′ (keå caû soá boäi). Theo Heä quaû 1.10 ta coù [Q]B ′ = (PB → B ′ ) T [Q]B PB → B ′ . Chuù yù raèng do B, B ′ laø hai cô sôû tröïc chuaån cuûa V neân ma traän chuyeån cô sôû PB → B ′ laø moät ma traän tröïc giao, nghóa laø (PB → B ′ ) T = (PB → B ′ ) −1 . Do ñoù [Q]B ′ = (PB → B ′ ) −1 [Q]B PB → B ′ . 12 Vaäy hai ma traän [Q]B vaø [Q]B ′ ñoàng daïng neân cuùng coù cuøng trò rieâng (keå caû soá boäi), nghóa laø hai daõy a1,..., an vaø a1′,..., an′ truøng nhau. Ñieàu naøy chöùng toû a1,...,an khoâng phuï thuoäc vaøo vieäc choïn cô sôû tröïc chuaån Q-chính taéc tröïc giao B. 2) Töø chöùng minh Ñònh lyù 3.2 ta thaáy ñeå ñöa Q veà daïng chính taéc tröïc giao ta duøng pheùp bieán ñoåi toïa ñoä X 6 PB → B Y vôùi moïi X = [u]B , Y = [u]B . Vì PB → B laø ma 0 0 0 traän tröïc giao neân ta noùi pheùp bieán ñoåi treân laø moät pheùp bieán ñoåi toïa ñoä tröïc giao. 3.4. Thuaät toaùn ñöa daïng toaøn phöông treân khoâng gian Euclide veà daïng chính taéc tröïc giao Cho V laø moät khoâng gian Euclide höõu haïn n chieàu vaø Q laø moät daïng toaøn phöông treân V. Khi ñoù ta ñöa ñöôïc Q veà daïng chính taéc tröïc giao vaø chæ ra cô sôû Q-chính taéc tröïc giao vaø pheùp bieán ñoåi toïa ñoä tröïc giao töông öùng thoâng qua caùc böôùc sau: Böôùc 1: Xaùc ñònh [Q]B vôùi B0 laø moät cô sôû tröïc chuaån naøo ñoù cuûa V. 0 Böôùc 2: Cheùo hoaù tröïc giao ma traän [Q]B tìm ma traän tröïc giao P sao cho 0 −1 P [Q]B0 P = diag(a1 ,..., an ) . Böôùc 3: Cô sôû Q-chính taéc tröïc giao B = (u1,…,un) ñònh bôûi PB → B = P vaø pheùp 0 bieán ñoåi toïa ñoä tröïc giao laø X 6 PY . Daïng chính taéc tröïc giao cuûa Q laø Q(u) = n ∑ aix 2i i =1 vôùi u = x1u1+ ...+ xnun. 3.5. Ví duï. Ñöa daïng toaøn phöông thöïc sau ñaây veà daïng chính taéc tröïc giao: Q(x1 , x 2 , x 3 ) = 2x1x 2 + 2x1x 3 + 2x 2x 3 . Chæ ra cô sôû Q-chính taéc tröïc giao vaø pheùp bieán ñoåi toïa ñoä tröïc giao töông öùng. Giaûi. Böôùc 1: Ma traän cuûa Q (trong cô sôû chính taéc B0) laø ⎛0 1 1⎞ A = ⎜⎜ 1 0 1 ⎟⎟ ⎜1 1 0⎟ ⎝ ⎠ Böôùc 2: Cheùo hoaù tröïc giao ma traän A. a) Ña thöùc ñaëc tröng cuûa A laø 13 −λ p A (λ ) = 1 1 2−λ 1 −λ 1 = 2−λ 1 1 −λ 2−λ 1 1 2−λ 1 1 0 −λ − 1 0 = −(λ + 1)2 (λ − 2) 0 0 −λ − 1 −λ 1 = 1 −λ b) Trò rieâng: A coù 2 trò rieâng laø λ1 = −1 (boäi 2), λ2 = 2 (boäi 1) c) Khoâng gian rieâng E(λ1) öùng vôùi trò rieâng λ1 = −1 laø khoâng gian nghieäm cuûa heä (A −λ1I3)X = 0 (1) ⎛1 1 1⎞ ⎛1 1 1⎞ ⎜ ⎟ A − λ1I3 = A + I3 = ⎜ 1 1 1 ⎟ → ⎜⎜ 0 0 0 ⎟⎟ ⎜1 1 1⎟ ⎜ 0 0 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎧x2 = α ⎪ (1) ⇔ x1 + x 2 + x 3 = 0 ⇔ ⎨ x 3 = β ⎪ x = −α − β ⎩ 1 (1) coù voâ soá nghieäm (x1,x2,x3) = (−α−β, α , β). Do ñoù E(λ1) = {(−α−β,α,β)|α, β∈R}= {α(−1,1,0)+ β(−1,0,1)|α , β ∈R}= <(−1,1,0); (−1,0,1)> E(λ1) coù dimE(λ1) = 2 vôùi cô sôû (u1,u2) vôùi u1 = (−1,1,0); u2 = (−1,0,1). Ta xaây döïng cô sôû tröïc chuaån cuûa E(λ1) qua quaù trình tröïc chuaån Gram-Schmidt: v1 = u1 = ( − 1,1,0); v 2 = u2 − w1 = 〈 u2 | v1 〉 1 1 v1 =( − , − ,1) 〈 v1 |v1 〉 2 2 v1 1 1 v 1 1 2 = (− , ,0); w 2 = 2 = ( − ,− , ) v1 v2 2 2 6 6 6 (w1,w2) laø cô sô tröïc chuaån cuûa E(λ1). d) Khoâng gian rieâng E(λ2) öùng vôùi trò rieâng λ2 = 2 laø khoâng gian nghieäm cuûa heä (A −λ2I3)X = 0 1 ⎛ −2 ⎜ A − λ2I3 = A − 2I3 = ⎜ 1 −2 ⎜ 1 1 ⎝ ⎧ x1 − 2x 2 + x 3 = 0 (2) ⇔ ⎨ ⇔ x1 ⎩x2 − x3 = 0 (2) 1⎞ ⎛ 1 −2 1 ⎞ ⎟ 1 ⎟ → ⎜⎜ 0 1 −1 ⎟⎟ ⎜ 0 0 0⎟ −2 ⎟⎠ ⎝ ⎠ = x2 = x3 = α (2) coù voâ soá nghieäm (x1,x2,x3) = (α, α , α). Do ñoù E(λ2) = {(α,α,α)|α∈R}= {α(1,1,1)|α∈R}= <(1,1,1)> E(λ2) coù dimE(λ2) = 1 vôùi cô sôû (u3) vôùi u3 = (1,1,1). Ta xaây döïng cô sôû tröïc chuaån (w3) cuûa E(λ2) vôùi w3 = u3 1 1 1 =( , , ). u3 3 3 3 14 e) Ñaët B = (w1,w2,w3). Ta coù B laø moät cô sôû tröïc chuaån cuûa \3 vaø ⎛ −1 0 0 ⎞ P AP = ⎜⎜ 0 −1 0 ⎟⎟ ⎜ 0 0 2⎟ ⎝ ⎠ −1 trong ñoù P = PB0 → B ⎛ 1 ⎜− 2 ⎜ ⎜ 1 =⎜ 2 ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎝ 1 6 1 − 6 2 6 1 ⎞ 3 ⎟⎟ 1 ⎟ . 3⎟ ⎟ 1 ⎟ ⎟ 3⎠ − Böôùc 3: Töø keát quaû tìm ñöôïc ôû böôùc 2, ta suy ra daïng chính taéc tröïc giao cuûa Q laø Q(u) = − y12 − y22 + 2y32 vôùi u = y1w1 + y2w2 + y3w3, trong ñoù w1 = ( − 1 1 1 1 2 1 1 1 , ,0); w 2 = ( − ,− , ); w 3 = ( , , ). 2 2 6 6 6 3 3 3 Cô sôû chính taéc tröïc giao töông öùng laø B = (w1,w2,w3). Pheùp bieán ñoåi toïa ñoä tröïc giao töông öùng X = PY, nghóa laø ⎧ ⎪ x1 = − ⎪ ⎪ ⎨x2 = ⎪ ⎪ ⎪x3 = ⎩ 1 1 y1 − y2 + 2 6 1 1 y1 − y2 + 2 6 2 y2 + 6 1 y3 3 1 y3 3 1 y3 3 §4. DAÏNG CHUAÅN TAÉC − LUAÄT QUAÙN TÍNH CUÛA DAÏNG TOAØN PHÖÔNG THÖÏC 4.1. Ñònh nghóa. Cho Q laø moät daïng toaøn phöông treân khoâng gian veùctô thöïc n chieàu V vaø B laø moät cô sôû cuûa V. Giaû söû bieåu thöùc toïa ñoä cuûa Q trong cô sôû B coù daïng Q(u) = x12 + ...+ x s2 − x s2+1 − ... − x 2r (1) vôùi u = x1u1+ ...+ xnun, trong ñoù r, s laø caùc soá nguyeân thoaû 0 ≤ s ≤ r ≤ n. Khi ñoù ta noùi B laø moät cô sôû Q-chuaån taéc vaø (1) laø daïng chuaån taéc cuûa Q. 15 4.2. Ñònh lyù. Cho V laø moät khoâng gian veùctô thöïc höõu haïn chieàu vaø Q laø moät daïng toaøn phöông treân V. Khi ñoù trong V toàn taïi moät cô sôû Q-chuaån taéc. Chöùng minh. Theo Ñònh lyù 2.2 toàn taïi moät cô sôû Q-chính taéc cuûa V. Ñaët r = rank(Q). Baèng caùch ñaùnh soá laïi neáu caàn ta coù theå giaû söû bieåu thöùc toïa ñoä cuûa Q trong cô sôû treân coù daïng Q(u) = a1x12 + ...+ a r x 2r vaø toàn taïi soá nguyeân 0 ≤ s ≤ r sao cho ai > 0 (i = 1,..., s); ai < 0 (i = s+1,..., r). Duøng pheùp bieán ñoåi toaï ñoä khoâng suy bieán ⎧ 1 ⎪ a yj ⎪ j ⎪⎪ 1 xj = ⎨ yj ⎪ −a j ⎪ ⎪y j ⎪⎩ neáu 1 ≤ j ≤ s neáu s+1 ≤ j ≤ r neáu r+1 ≤ j ≤ n ta thu ñöôïc daïng chuaån taéc cuûa Q Q(u) = y12 + ...+ ys2 − ys2+1 − ... − y 2r . Cô sôû töông öùng chính laø cô sôû Q-chuaån taéc caàn tìm. 4.3. Ñònh lyù vaø Ñònh nghóa. Cho Q laø moät daïng toaøn phöông treân khoâng gian veùctô thöïc höõu haïn chieàu V vaø B laø moät cô sôû Q-chuaån taéc cuûa V. Khi ñoù bieåu thöùc toïa ñoä cuûa Q trong cô sôû B coù daïng Q(u) = x12 + ...+ x s2 − x s2+1 − ... − x 2r . trong ñoù r = rank(Q) vaø 0 ≤ s ≤ r khoâng phuï thuoäc vaøo caùch choïn cô sôû B. Ta goïi • s laø chæ soá döông quaùn tính cuûa Q; • r − s laø chæ soá aâm quaùn tính cuûa Q; • (s, r − s) laø caëp chæ soá quaùn tính cuûa Q; • 2s − r laø kyù soá cuûa Q. Chöùng minh. Hieån nhieân r = rank(Q) khoâng phuï thuoäc vaøo cô sôû B. Giaû söû dimV = n vaø B1 = (u1, … , un), B2 = (v1, … , vn) laø hai cô sôû Q-chuaån taéc cuûa V sao cho bieåu thöùc toïa ñoä cuûa Q trong B1, B2 laàn löôït laø Q(u) = x12 + ...+ x s2 − x s2+1 − ... − x 2r (1) Q(u) = y12 + ...+ y 2t − y 2t +1 − ... − y 2r (2) 16 Ta chöùng minh s = t. Ñaët V1 = < u1, … , us > vaø V2 = < vt+1, … , vn >. Tröôùc heát ta chæ ra raèng V1 ∩V2 = {0}. Thaät vaäy, ⎧u = x1u1 + ... + x sus u ∈ V1 ∩ V2 ⇒ ⎨ ⎩u = y t +1v t +1 + ... + y n v n ⎧⎪Q(u) = x12 + ... + x s2 ≥ 0 ⇒⎨ 2 2 ⎪⎩Q(u) = − y t +1 − ... − y r ≤ 0 ⇒ Q(u) = x12 + ... + x s2 = 0 ⇒ x1 = ... = x s = 0 hay u = 0 nghóa laø V1 ∩V2 = {0}. Keát quaû treân cho thaáy n ≥ dim(V1 + V2 ) = dim V1 + dim V2 = s + (n − t) . Suy ra s ≤ t. Töông töï ta cuõng coù t ≤ s. Vaäy s = t. 4.4. Nhaän xeùt. Giaû söû Q laø daïng toaøn phöông thöïc coù daïng chính taéc Q(u) = a1x12 + ...+ a n x 2n . Xeùt daõy a1,..., an (*). Ta coù 1) Chæ soá döông quaùn tính cuûa Q baèng soá caùc soá haïng döông cuûa (*). 2) Chæ soá aâm quaùn tính cuûa Q baèng soá caùc soá haïng aâm cuûa (*). 4.5. Ví duï. Xeùt laïi Ví duï trongï 2.4, ta thaáy daïng toaøn phöông Q coù daïng chính taéc laø Q(u) = y12 − 3y 22 + 3y32 + 1 2 y4 4 Do ñoù Q coù - Chæ soá döông quaùn tính laø 3. - Chæ soá aâm quaùn tính laø 1. - Caëp chæ soá quaùn tính laø (3,1). - Kyù soá laø 2. §5. DAÏNG TOAØN PHÖÔNG XAÙC ÑÒNH 5.1. Ñònh nghóa. Cho Q laø moät daïng toaøn phöông treân khoâng gian veùctô thöïc höõu haïn chieàu V. Ta noùi 1) Q xaùc ñònh döông neáu Q(u) > 0 vôùi moïi u∈ V\{0}. 2) Q xaùc ñònh aâm neáu Q(u) < 0 vôùi moïi u∈ V\{0}. 17 5.2. Nhaän xeùt. Q xaùc ñònh döông khi vaø chæ khi daïng cöïc cuûa Q laø moät tích voâ höôùng treân V. 5.3. Ñònh lyù. Cho Q laø moät daïng toaøn phöông treân khoâng gian veùctô thöïc n chieàu. Khi ñoù (i) Q xaùc ñònh döông ⇔ Q coù chæ soá döông quaùn tính baèng n. (ii) Q xaùc ñònh aâm ⇔ Q coù chæ soá aâm quaùn tính baèng n. Chöùng minh. (i) (⇐) Giaû söû Q coù chæ soá döông quaùn tính baèng n. Khi ñoù toàn taïi cô sôû Q-chuaån taéc B cuûa V sao cho bieåu thöùc toïa ñoä cuûa Q trong cô sôû B ùnhö sau: daïng Q(u) = x12 + ...+ x 2n vôùi u = x1u1+ ...+ xnun. Neáu u ≠ 0 thì toàn taïi i sao cho xi ≠ 0, ñöa ñeán Q(u) > 0. Vaäy Q xaùc ñònh döông. (⇒) Giaû söû Q xaùc ñònh döông nhöng chæ soá döông quaùn tính cuûa Q khaùc n. Goïi B = (u1, … , un) laø moät cô sôû Q-chính taéc cuûa V. Khi ñoù bieåu thöùc toïa ñoä cuûa Q trong B coù daïng Q(u) = a1x12 + ...+ a n x 2n , trong ñoù coù ai ≤ 0 vôùi moät i naøo ñoù. Ñaët u = ui. Ta coù u ≠ 0 vaø Q(u) = ai ≤ 0. Maâu thuaãn vôùi tính xaùc ñònh döông cuûa Q. (ii) Suy ra (i) cuøng vôùi nhaän xeùt: Q xaùc ñònh aâm ⇔ − Q xaùc ñònh döông. 5.4. Heä quaûù. Moïi daïng toaøn phöông xaùc ñònh döông hay xaùc ñònh aâm ñeàu khoâng suy bieán. 5.5. Ñònh nghóa. Cho A = (aij)n×n laø moät ma traän vuoâng caáp n. Ñònh thöùc con chính caáp k (1 ≤ k ≤ n) cuûa A laø ñònh thöùc con sinh bôûi caùc doøng 1,..., k vaø caùc coät 1,..., k: a11 ... a1k Δ k = ... ... ... . a k1 ... a kk 5.6. Ñònh lyù (Tieâu chuaån Sylvester). Giaû söû Q laø moät daïng toaøn phöông treân khoâng gian veùctô thöïc höõu haïn chieàu V coù ma traän trong moät cô sôû naøo ñoù laø A. Khi ñoù (i) Q xaùc ñònh döông khi vaø chæ khi moïi ñònh thöùc con chính cuûa A ñeàu döông. (ii) Q xaùc ñònh aâm khi vaø chæ khi moïi ñònh thöùc con chính caáp chaün cuûa A ñeàu döông vaø moïi ñònh thöùc con chính caáp leû cuûa A ñeàu aâm. 18 Chöùng minh. (i) Ta chæ caàn xeùt tröôøng hôïp Q khoâng suy bieán. Goïi f laø daïng cöïc cuûa Q. Goïi B = (u1, … , un) laø cô sôû V sao cho [Q]B = A. Khi ñoù töông töï nhö quaù trình tröïc chuaån hoaù Gram-Schmidt ta xaây döïng ñöôïc cô sôû f-tröïc giao B ′ = (v1, … , vn). Trong cô sôû B ′ ma traän cuûa Q coù daïng cheùo [Q]B ′ 0 ⎞ ⎛ Q(v1 ) ⎜ ⎟. % =B=⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ Q(v ) n ⎠ ⎝ Vôùi moãi 1 ≤ k ≤ n, goïi Ak, Bk laàn löôït laø caùc ma traän coù töø A, B baèng caùch xoaù ñi n−k doøng cuoái vaø n−k coät cuoái. Khi ñoù Ak, Bk laàn löôït laø caùc ma traän cuûa daïng toaøn phöông Q thu heïp leân trong caùc cô sôû (u1, … , uk) vaø (v1, … , vk). Goïi Pk laø ma traän chuyeån töø cô sôû tröôùc sang cô sôû sau, ta coù Bk = (Pk )T A k Pk . Chuù yù raèng töø quaù trình tröïc chuaån hoaù Gram-Schmidt ta suy ra Pk laø ma traän tam giaùc treân coù caùc heä soá treân ñöôøng cheùo ñeàu baèng 1. Do ñoù det(Pk) = det(PkT) = 1. Suy ra det(A k ) = det(Bk ) = Q(v1 )...Q(v k ) . Ta coù Q xaùc ñònh döông ⇔ Q(vk) > 0 vôùi moïi k = 1,...,n ⇔ det(Ak) >0 vôùi moïi k = 1,...,n. (ii) Suy töø (i) cuøng vôùi nhaän xeùt: Q xaùc ñònh aâm ⇔ − Q xaùc ñònh döông. 5.7. Ví duï. 1) Ñöa daïng toaøn phöông thöïc sau veà daïng chuaån taéc Q(x,y,z) = 2x2 + 9y2 + 9z2 + 8xy + 4xz + 12yz. Chæ ra cô sôû Q-chuaån taéc vaø pheùp bieán ñoåi toaï ñoä töông öùng. Töø ñoù xaùc ñònh caùc chæ soá quaùn tính cuûa Q. Xeùt xem Q coù xaùc ñònh döông hay xaùc ñònh aâm khoâng. Giaûi. Tröôùc heát ta ñöa Q veà daïng chính taéc baèng thuaät toaùn Lagrange: Q(x, y, z) = 2[x 2 + 2x(2y + z)] + 9y 2 + 9z2 + 12yz = 2(x + 2y + z)2 − 2(2y + z)2 + 9y 2 + 9z2 + 12yz = 2(x + 2y + z)2 + y 2 + 4yz + 7z2 = 2(x + 2y + z)2 + (y + 2z)2 + 3z2 = [(x + 2y + z) 2]2 + (y + 2z)2 + (z 3)2 Thöïc hieän pheùp bieán ñoåi toïa ñoä khoâng suy bieán 19 1 ⎧ ⎪ x = 2 x′ − 2y′ + ⎧ x′= (x + 2y + z) 2 ⎪ ⎪ 2 ⎪ y′ − z′ ⇔ ⎨y = ⎨ y′= y + 2z 3 ⎪ ⎪ ⎩z′= z 3 ⎪ 1 z′ ⎪z = 3 ⎩ 3z′ ⎛ 1 ⎞ 3⎟ −2 ⎜ 2 ⎟ ⎛ x′ ⎞ ⎛x⎞ ⎜ 2 ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ 1 − y′ ⇔ ⎜ y⎟ = ⎜ 0 3 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜z⎟ ⎜ ⎟ z′ ⎝ ⎠ 1 ⎟⎝ ⎠ ⎜ 0 0 ⎜ ⎟ 3⎠ ⎝ ta ñöa Q veà daïng chuaån taéc Q(u) = x′2 + y′2 + z′2 (1) vôùi u = x′u1 + y′u2 + z′u3 , trong ñoù cô sôû Q- chuaån taéc B = (u1, u2, u3) ñònh bôûi PB0 → B ⎛ 1 ⎞ 3⎟ ⎜ 2 −2 ⎜ ⎟ 2 ⎟ ⎜ =⎜ 0 1 − 3⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎟ ⎜ 0 0 ⎜ ⎟ 3⎠ ⎝ (B0 laø cô sôû chính taéc cuûa \ 4 ) nghóa laø u1 = ( 1 2 1 , 0, 0); u2 = (−2,1, 0); u3 = ( 3, − , ). 2 3 3 Töø (1) ta suy ra: - Chæ soá döông quaùn tính cuûa Q laø 3. - Chæ soá aâm quaùn tính cuûa Q laø 0. - Q xaùc ñònh döông. 2) Ñöa daïng toaøn phöông sau veà daïng chính taéc Q(x,y,z) = 2x2 + 9y2 + λz2 + 8xy + 4xz + 12yz. Xaùc ñònh tham soá λ ∈ R ñeå Q khoâng suy bieán; Q xaùc ñònh döông. Giaûi. Bieán ñoåi töông töï nhö trong Ví duï 1 ta ñöôïc Q(x, y, z) = 2(x + 2y + z)2 + (y + 2z)2 + (λ − 6)z2 . Thöïc hieän pheùp bieán ñoåi toïa ñoä khoâng suy bieán ⎧ x′= x + 2y + z ⎪ ⇔ ⎨ y′= y + 2z ⎪z′= z ⎩ ⎧ x = x′ − 2y′ + 3z′ ⎪ y′ − 2z′ ⇔ ⎨y = ⎪z = z′ ⎩ 3 ⎞ ⎛ x′ ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 1 −2 ⎜y⎟ = ⎜0 1 −2 ⎟⎟ ⎜⎜ y′ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ z ⎟ ⎜0 0 1 ⎟⎠ ⎜⎝ z′ ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ta ñöa Q veà daïng chuaån taéc Q(u) = 2x′2 + y′2 + (λ − 6)z′2 20 (2)