Tài liệu Số phức và ứng dụng số phức trong các bài toán sơ cấp

TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC KHOA: TOÁN – LÝ - TIN ---------- TÔ THỊ HOÀN SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG CÁC BÀI TOÁN SƠ CẤP KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC SƠN LA, NĂM 2018 TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC KHOA: TOÁN – LÝ - TIN ---------- SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG CÁC BÀI TOÁN SƠ CẤP Thuộc nhóm chuyên ngành: Khoa học tự nhiên KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Sinh viên: Tô Thị Hoàn Lớp: K55 ĐHSP Toán Ngƣời hƣớng dẫn: TS. Hoàng Ngọc Anh SƠN LA, NĂM 2018 LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo: GVC.TS Hoàng Ngọc Anh đã tận tình giúp đỡ và hướng dẫn tôi trong quá trình thực hiện khóa luận này. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán - Lý - Tin, phòng Đào tạo Đại học, Thư viện Trường Đại học Tây Bắc đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện khóa luận. Đồng thời tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các bạn sinh viên trong tập thể lớp K55 - ĐHSP Toán đã động viên, đóng góp ý kiến, giúp đỡ tôi thực hiện và hoàn thành khóa luận. Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận của tôi thêm hoàn thiện. Tôi xin chân thành cảm ơn! Sơn La, tháng 5 năm 2018 Ngƣời thực hiện khóa luận Tô Thị Hoàn DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT GVC.TS Giảng viên chính. Tiến sĩ ĐHSP Đại học sƣ phạm NXB Nhà xuất bản TNQG Tốt nghiệp quốc gia THPT Trung học phổ thông CĐ Cao đẳng ĐH Đại học MỤC LỤC MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 1. Lý do chọn khóa luận ..................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu ...................................................................................... 1 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu................................................................... 1 3.1. Đối tƣợng nghiên cứu .................................................................................. 1 3.2. Phạm vi nghiên cứu ..................................................................................... 1 4. Phƣơng pháp nghiên cứu ................................................................................ 2 5. Ý nghĩa khóa luận .......................................................................................... 2 6. Cấu trúc khóa luận.......................................................................................... 2 Chƣơng 1: SỐ PHỨC VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN .................................... 3 1. 1. Lịch sử hình thành khái niệm số phức ........................................................ 3 1.2. Định nghĩa số phức...................................................................................... 6 1.2.1. Định nghĩa ................................................................................................ 6 1.2.2. Định lý ..................................................................................................... 6 1.3. Dạng đại số của số phức .............................................................................. 6 1.3.1. Xây dựng số i ........................................................................................... 6 1.3.2. Biểu diễn hình học của số phức ................................................................ 7 1.3.3. Phép cộng và phép trừ số phức ................................................................. 8 1.3.4. Phép nhân số phức .................................................................................... 9 1.3.5. Số phức liên hợp và module của số phức ................................................ 10 1.3.6. Phép chia cho số phức khác không ......................................................... 11 1.3.7. Căn bậc hai của số phức ......................................................................... 11 1.4. Dạng lƣợng giác của số phức ..................................................................... 12 1.4.1. Argument của số phức z  0 .................................................................. 12 1.4.2. Dạng lƣợng giác của số phức .................................................................. 12 1.4.3. Nhân và chia số phức dƣới dạng lƣợng giác ........................................... 12 1.4.4. Công thức Moivre................................................................................... 13 1.4.5. Căn bậc n của số phức dƣới dạng lƣợng giác .......................................... 13 Chƣơng 2: ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG LƢỢNG GIÁC ......................... 14 VÀ ĐẠI SỐ ..................................................................................................... 14 2.1. Ứng dụng số phức trong lƣợng giác........................................................... 14 2.1.1. Cách chuyển đổi một số phức từ dạng đại số sang lƣợng giác ................ 14 2.1.2. Nhân và chia hai số phức dƣới dạng lƣợng giác...................................... 16 2.1.3. Tính toán các biểu thức số phức với lũy thừa lớn.................................... 20 2.1.4. Tìm căn bậc n của số phức...................................................................... 21 2.1.5. Bài tập tự luyện ...................................................................................... 23 2.2. Ứng dụng số phức trong đại số .................................................................. 24 2.2.1. Ứng dụng số phức giải hệ phƣơng trình .................................................. 24 2.2.2. Ứng dụng số phức giải phƣơng trình bậc hai .......................................... 34 2.2.3. Ứng dụng số phức chứng minh bất đẳng thức ......................................... 39 KẾT LUẬN...................................................................................................... 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 47 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn khóa luận Trong các ngành của Toán học thì số phức xuất hiện khá muộn kể từ thế kỷ XVI khi các nhà Toán học nghiên cứu về các phƣơng trình đại số. Mặc dù sinh sau nhƣng số phức có rất nhiều đóng góp trong các ngành Toán học nhƣ đại số, giải tích , lƣợng giác, hình học… Ở trƣờng phổ thông thì học sinh chỉ đƣợc tiếp xúc với số phức khi học đến lớp 12. Số phức là một nội dung khá mới mẻ, thời lƣợng không nhiều, học sinh chỉ mới biết đƣợc những kiến thức cơ bản của số phức, việc khai thác các ứng dụng của số phức còn khá hạn chế, đặc biệt là khai thác số phức để giải quyết các bài toán sơ cấp khó. Nhằm mục đích đào sâu tìm hiểu về số phức, các ứng dụng của số phức trong việc giải các bài toán sơ cấp và đáp ứng mong muốn của bản thân về một đề tài phù hợp mà sau này có thể phục vụ cho việc giảng dạy của mình ở trƣờng trung học phổ thông nên tôi quyết định chọn khóa luận nghiên cứu: “Số phức và ứng dụng số phức trong các bài toán sơ cấp”. 2. Mục đích nghiên cứu Nhằm nghiên cứu các ứng dụng của số phức trong việc giải một số dạng toán thƣờng gặp trong các đề thi cao đẳng, đại học cũng nhƣ thi học sinh giỏi. Phân tích cách giải có sử dụng số phức và so sánh với những cách giải không sử dụng số phức để rút ra ƣu, nhƣợc điểm trong từng cách giải. 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu 3.1. Đối tƣợng nghiên cứu Các ứng dụng của số phức trong các bài toán sơ cấp phổ thông: đại số, giải tích, lƣợng giác. 3.2. Phạm vi nghiên cứu Từ các nguồn tài liệu, giáo trình của các thầy, cô có nhiều kinh nghiệm 1 trên cùng lĩnh vực, các tài liệu trên mạng và các tài liệu ôn thi cao đẳng, đại học, bồi dƣỡng học sinh giỏi, các tạp chí toán học… 4. Phƣơng pháp nghiên cứu Cơ bản sử dụng phƣơng pháp nghiên cứu tài liệu (sách, báo và các tài liệu trên internet có liên quan đến đề tài của khóa luận) để thu thập thông tin và tập hợp các bài toán phục vụ cho yêu cầu của đề tài. 5. Ý nghĩa khóa luận Hệ thống hóa đƣợc một khóa luận phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dƣỡng học sinh giỏi toán ở bậc trung học phổ thông. Góp phần thiết thực cho việc dạy và học toán ở nhà trƣờng, đem lại niềm say mê, hứng thú, sáng tạo cho giáo viên và học sinh. 6. Cấu trúc khóa luận Cấu trúc của khóa luận: Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận gồm 2 chƣơng: Chương 1: Số phức và các khái niệm cơ bản Chương 2: Ứng dụng số phức trong giải một số dạng toán về lượng giác và đại số 2 NỘI DUNG Chƣơng 1: SỐ PHỨC VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1. 1. Lịch sử hình thành khái niệm số phức Tƣơng truyền vào những năm đầu thế kỉ XVI, có lẽ trên thế giới chƣa ai biết cách giải phƣơng trình bậc ba. Có nguồn tin nói rằng một giáo sƣ toán trƣờng Đại học Bologne (Ý) tên là Scipione Del Ferro (1465-1526) đã biết cách giải phƣơng trình x 3  px  q , nhƣng ông không hề công bố, ngƣời ta nghĩ rằng cách giải của ông chƣa hoàn chỉnh. Mãi đến khi ông sắp qua đời, ông mới truyền lại cách giải (chƣa hoàn chỉnh) cho học trò ông là một nhà toán học ít tên tuổi là Antonio Mario Fior. Nhƣng dù có nguồn tin nhƣ vậy, Tartaglia vẫn tìm ra cách giải một độc lập. Nhƣng Fior không tin, tìm cách giảm uy tín của Tartaglia bèn thách thức Tartaglia giải 30 phƣơng trình bậc ba trong 2 giờ. Ngƣợc lại, Fior cũng nhận thách thức sẽ giải 30 phƣơng trình bậc ba do Tartaglia đặt ra. Thời bấy giờ, việc giải các phƣơng trình bậc ba nói trên đều đƣợc làm một cách mò mẫm. Trong đêm 12 sáng ngày 13 tháng 2 năm 1535 là hạn cuối cùng cuộc thi giữa Tartaglia và Fior thì Tartaglia đã tìm ra cách giải tổng quát 30 phƣơng trình mà Fior đã ra cho ông trong khi đó thì Fior đang bí và chỉ giải đƣợc một phƣơng trình mà thôi vì vậy chỉ sau vài giờ là Tartaglia đã giải xong toàn bộ để lãnh thƣởng là 30 bữa tiệc liên tiếp. Ông giữ kín phƣơng pháp giải, hy vọng còn dự thi lần nữa để lấy thƣởng. Cardano (1501-1576) lúc này cũng chƣa tìm ra cách giải phƣơng trình bậc ba trong trƣờng hợp tổng quát. Khi nghe tin Tartaglia thắng Fior, Cardano muốn gặp ngay Tartaglia. Tháng 3 năm 1539 nhân gặp Tartaglia ở Milan, Cardano bèn chớp cơ hội nhờ Tartaglia bày cho mình cách giải tổng quát phƣơng trình bậc 3 ba. Cardano phải thề thốt rằng sẽ không bao giờ truyền cho ai “bí mật” này hoặc công bố trên sách, báo chí. Nhƣng sau đó nghe loáng thoáng rằng giáo sƣ Scipione del Ferro đã tìm ra cách giải trƣớc Tartaglia nên Cardano đã không giữ lời hứa với Tartaglia bèn cho công bố trong tác phẩm của ông là Ars magna vào năm 1545. Tartaglia vô cùng tức giận, bèn quyết tâm vạch mặt Cardano trong quyển sách của mình nhan đề “New Problems and inventions”. Từ đó xảy ra cuộc cãi vã giữa hai ngƣời này, và cuộc cãi vã này sẽ không có hồi kết thúc nếu nhƣ không có sự xuất hiện công trình nghiên cứu của Bombelli về số ảo. Vì khi đi giải phƣơng trình bậc ba cả Tartaglia và Cardano đều chƣa biết số phức là gì cho nên nếu gặp phải căn bậc 2 của số âm thì cả hai đều cho là vô lý. Nhân nói về Cardano thì ông là một nhà bác học ngƣời Ý. Ông sinh năm 1501, đạt học vị tiến sĩ y khoa năm 1526, nhƣng không đƣợc hành nghề y, mà trở thành thầy giáo dạy Toán. Ông có trên 200 công trình về các lĩnh vực Toán học, Y học, Triết học, Thiên văn học, Âm nhạc và Thần học. Năm 1545 ông xuất bản quyển sách “Nghệ thuật lớn giải các phƣơng trình đại số”. Trong cuốn sách này ông trình bày cách giải phƣơng trình bậc ba, bậc bốn và đề cập tới căn bậc hai của số âm. Có thể nói sự nghiên cứu số phức khởi nguồn từ công trình này. Còn đối với R.Bombelli (1526-1573), ngƣời ta xem ông là một kỹ sƣ đồng thời là nhà Toán học, nhƣng ít ai biết lai lịch của ông. Sự đóng góp của nhà khoa học ngƣời Ý này chủ yếu là hệ thống hóa kiến thức về các phép tính số phức. Năm 1560 R.Bombelli viết tác phẩm Đại số trong đó có điều thú vị là ông xét phƣơng trình bậc ba: x 3  x  n và ông chỉ ra rằng phƣơng trình trên có ba nghiệm thực nếu n m  là âm. Trong trƣờng hợp này công thức của Tartaglia2 3 Cardano không dùng đƣợc vì trong trƣờng hợp này ta gặp phải căn bậc 2 của số âm, là một trở ngại vào thời đó chƣa ai vƣợt qua nổi. Với sự sáng tạo của mình , Bombelli vẫn dùng công thức trên nhƣng tìm cách vƣợt qua trở ngại đó. Ví dụ 4 với phƣơng trình x 3 15x  4 , ông làm việc với các số có dạng a  b 1 nhƣ đối với số thực, ông nhận xét rằng 2  1 là căn bậc 3 của 2  121 và công thức Cardano-Tartaglia đã cho ông kết quả x  4 là một nghiệm của phƣơng trình x 3 15x  4 , còn các nghiệm khác có đƣợc là nhờ ba căn bậc 3 của 2  121 . Điều này đƣa ông đến chỗ tìm đƣợc các qui tắc tính toán đối với số phức. Đời sau đánh giá Bombelli là ngƣời có công đầu tiên trong việc tìm hiểu số phức. Đến thế kỷ XVIII bản chất đại số và bản chất hình học của các đại lƣợng ảo không đƣợc hình dung một cách rõ ràng mà còn đầy bí ẩn. Chẳng hạn, lịch sử cũng ghi lại rằng I.Newton đã không thừa nhận các đại lƣợng ảo và không xem các đại lƣợng ảo thuộc vào các khái niệm số, còn G.Leibniz thì thốt lên rằng: “Các đại lƣợng ảo- đó là nơi ẩn náu đẹp đẽ huyền diệu đối với tinh thần của đấng tối cao, đó dƣờng nhƣ một giống lƣỡng cƣ sống ở một chốn nào đấy giữa cái có thật và không có thật”. Thuật ngữ số phức đƣợc dùng đầu tiên bởi K.Gauss (năm 1831). Vào thế kỷ XVII-XVIII nhiều nhà toán học khác cũng đã nghiên cứu các tính chất của đại lƣợng ảo (số phức) và khảo sát các ứng dụng của chúng. Chẳng hạn L.Euler mở rộng khái niệm logarit cho số phức bất kì (1738), còn Moivre nghiên cứu và giải bài toán căn bậc tự nhiên đối với số phức (1736). Sự nghi ngờ đối với số ảo (số phức) chỉ tiêu tan khi nhà toán học ngƣời Nauy là C.Wessel đƣa sự minh họa hình học về số phức và các phép toán trên chúng trong công trình công bố năm 1799. Đôi khi phép biểu diễn minh họa số phức cũng đƣợc gọi là “sơ đồ Argand” để ghi nhận công lao của nhà toán học Thụy Sỹ R.Argand- ngƣời thu đƣợc kết quả nhƣ của Wessel một cách độc lập. Lí thuyết thuần túy số học đối với các số phức với tƣ cách là các cặp số thực có thứ tự  a;b  ,a  ,b  đƣợc xây dựng bởi nhà toán học Ailen là W.Hamilton(1837). Ở đây đơn vị “ảo” i chỉ đơn giản là một cặp số thực có thứ 5 tự cặp  0;1 , tức là đơn vị “ảo” đƣợc lí giả một cách hiện thực. Cho đến thế kỷ XIX, Gauss mới thành công trong việc luận chứng một cách vững chắc khái niệm số phức. Tên tuổi của Gauss cũng gắn liền với phép chứng minh chính xác đầu tiên đối với Định lí cơ bản của Đại số khẳng định rằng trong trƣờng số phức mọi phƣơng trình đa thức đều có nghiệm. 1.2. Định nghĩa số phức Xét tập 2    z   x;y  x, y  x  x 2 Hai phần tử  x1 , y1  và  x 2 , y2  bằng nhau khi và chỉ khi:  1  y1  y 2 Ta xây dựng các phép toán trên z1   x1, y1  ;z 2   x 2 , y2  2 nhƣ sau: 2 Phép cộng: z1  z 2   x1  x 2 ; y1  y2  Phép nhân: z1.z 2   x1.x 2  y1.y2 ;x1.y2  x 2.y1  1.2.1. Định nghĩa Tập 2 là tập số phức Kí hiệu cùng với hai phép toán cộng và nhân đƣợc định nghĩa nhƣ trên gọi , phần tử  x, y    để chỉ tập hợp là một số phức. \  0;0  . 1.2.2. Định lý  , ,  là một trƣờng (nghĩa là trên có các tính chất tƣơng tự trên với các phép toán cộng nhân thông thƣờng). 1.3. Dạng đại số của số phức 1.3.1. Xây dựng số i Xét tƣơng ứng: f :  với các phép toán đã định nghĩa  0 6 x  x;0  Dễ thấy f là ánh xạ và hơn nữa là một song ánh. Ngoài ra ta cũng có:  x;0    y;0    x  y;0  và  x;0 . y;0    xy;0  Vì f là song ánh nên ta có thể đồng nhất  x;0   x Đặt i   0;1 thì i 2   0;1. 0;1   1;0   1 và z  (x, y)  (x;0)  (0; y)  (x;0)  (y;0).(0;1)  x  yi Từ đó ta có kết quả sau: Định lý Mỗi số phức z  (x, y)  z  x  yi, x, y  2 có thể biểu diễn duy nhất dƣới dạng và i 2  1 . Biểu thức x  yi đƣợc gọi là dạng đại số của số phức z  (x, y) . Kí hiệu: x  Re(z) gọi là phần thực của số phức z . x  Im(z) gọi là phần ảo của số phức z . Chú ý Số phức z  a  0i có phần ảo bằng 0 đƣợc coi là số thực và viết là a  0i  a   . Số phức có phần thực bằng 0 đƣợc gọi là số ảo (còn gọi là số thuần ảo): z  0  bi  bi (b  );i  0  1i  1i . Số 0  0  0i  0i vừa là số thực vừa là số ảo. Hai số phức z  a  bi(a,b  );z'  a ' b'i(a ',b'  ) gọi là bằng nhau nếu a  a ' ,b  b' . Khi đó ta viết z  z '. 1.3.2. Biểu diễn hình học của số phức Xét mặt phẳng Oxy. Mỗi số phức z  ax+bi (a,b  ) đƣợc biểu diễn bởi 7 điểm M có tọa độ  a;b  . Ngƣợc lại, rõ ràng mỗi điểm M(a;b) biểu diễn một số phức z  ax+bi (a,b  ) . Ta còn viết M(a  bi) hay M(z). Vì thế mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức còn gọi là mặt phẳng phức. Gốc tọa độ O biểu diễn bằng số 0. Các điểm trên trục hoành Ox biểu diễn các số thực, nên gọi là trục thực. Các điểm trên trục tung Oy biểu diễn số ảo nên gọi là trục ảo. 1.3.3. Phép cộng và phép trừ số phức a) Tổng của hai số phức Định nghĩa Tổng của hai số phức z  a  bi(a,b  );z'  a ' b'i(a ',b'  ) là số phức z  z'  a  a ' (b  b')i Tính chất phép cộng số phức +) Tính chất kết hợp: (z  z')  z"  z  (z' z") , z,z',z"  +) Tính chất giao hoán: z  z'  z' z , z,z'  +) Cộng với 0: z  0  0  z , z  +) Với mỗi số phức z  a  bi(a,b  ) , nếu khí hiệu số phức a  bi là z thì ta có: z  (z)  (z)  z  0 . Số z đƣợc gọi là số đối của số phức z. b) Phép trừ hai số phức Hiệu của hai số phức z và z ' là tổng của z với z ' tức là: z  z'  z  (z'). Nếu z  a  bi(a,b  );z'  a ' b'i(a ',b'  ) thì: z  z'  a  a ' (b  b')i. c) Ý nghĩa hình học của phép cộng và phép trừ Trong mặt phẳng phức, ta coi điểm M có tọa độ  a;b  biểu diễn số phức z  a  bi. Ta cũng coi mỗi vecto u có tọa độ (a;b) biểu diễn số phức 8 z  a  bi. Khi đó, nói điểm M biểu diễn số phức z cũng có nghĩa là vecto OM biểu diễn số phức đó. Dễ thấy rằng, nếu u,u ' theo thứ tự biểu diễn số phức z,z' thì u  u ' thì biểu diễn số phức z  z' và u  u ' biểu diễn số phức z  z'. 1.3.4. Phép nhân số phức a) Tích của hai số phức Cho hai số phức z  a  bi(a,b  );z'  a ' b'i(a ',b'  ) . Thực hiện phép nhân một cách hình thức biểu thức a  bi với biểu thức a ' b'i rồi thay i 2  1, ta đƣợc (a  bi)(a ' b'i)  aa ' bb'i 2  (ab' a 'b)i  aa ' bb' (ab' a 'b)i Định nghĩa Tích hai số phức z  a  bi(a,b  );z'  a ' b'i(a ',b'  ) là số phức zz'  aa ' bb' (ab' a 'b)i Nhận xét Với mọi số thực k và mọi số phức a  bi (a,b  ) thì: k(a  bi)  (k  0i)(a  bi)  ka  kbi Đặc biệt: 0z  0 , z  b) Tính chất của phép nhân số phức Tính chất giao hoán: zz'  z'z, z  Tính chất kết hợp: (zz')z"  z(z'z"), z,z',z"  Nhân với 1: 1.z  z.1  z, z  Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: z(z' z")  zz' zz", z,z',z"  9 1.3.5. Số phức liên hợp và module của số phức a) Số phức liên hợp Định nghĩa Số phức liên hợp của số phức z  a  bi(a,b  ) là z  a  bi Nhận xét 1. z  z 2. Hai số phức liên hợp khi và chỉ khi các điểm biểu diễn của chúng đối xứng với nhau qua trục thực Ox. Định lý 1. z  z, z  2. z.z  3. z1  z 2  z1  z 2 , z1,z 2  4. z1.z2  z1.z2 , z1,z 2  5. z 1  (z)1, z  6.  z1  z1    , z1 ,z 2   z2  z2 7. Re(z)  zz , z,z  2 8. Im(z)  zz , z,z  2i b) Module của số phức Định nghĩa Module của số phức z  a  bi(a,b  ) là số thực không âm đƣợc kí hiệu là z . 10 a 2  b2 và Định lý Cho số phức z thì: 1.  z  Re(z)  z và  z  Im(z)  z 2. z 0 3. z  z  z 4. z1.z 2  z1 . z 2 5. z1  z2  z1  z 2  z1  z 2 6. z 1  z 7. z z1  1 z2 z2 1 1.3.6. Phép chia cho số phức khác không Định nghĩa Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là z 1  Thƣơng 1 z 2 z. z' của phép chia số phức z ' cho số phức z khác 0 là tích của z ' z với số phức nghịch đảo của z, tức là z'  z '.z 1 z 1.3.7. Căn bậc hai của số phức Định nghĩa Cho số phức w  a  bi(a,b  ). Mỗi số phức z  x  yi (x, y  ) gọi là một căn bậc hai của w khi và chỉ khi: x 2  y2  a z w 2xy  b 2 11 1.4. Dạng lƣợng giác của số phức 1.4.1. Argument của số phức z  0 Định nghĩa Cho số phức z  0. Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z. Số đo (rađian) của một góc lƣợng giác tia đầu Ox, tia cuối OM đƣợc gọi là một Argument của z. Nhận xét Nếu  là một Argument của z thì mọi Argument của z có dạng   k2, k  . Hai số phức z và iz (với z  0 và i là số thực dƣơng) có Argument sai khác k2, vì các điểm biểu diễn của chúng cùng thuộc một tia gốc O. 1.4.2. Dạng lƣợng giác của số phức Xét số phức z  a  bi  0(a,b  ) Kí hiệu r là module của z và  là một Argument của z thì dễ thấy a  r cos , b  rsin . Từ đây ta có: Định nghĩa Dạng z  r(cos   isin ) trong đó r  0 đƣợc gọi là dạng lƣợng giác của số phức z  0. 1.4.3. Nhân và chia số phức dƣới dạng lƣợng giác Định lý Nếu z  r(cos   isin ) và z'  r '(cos  ' isin  ') (r,r '  0) thì: zz'  rr '[cos(+')+isin(+')] z r   cos(   ')  isin(   ') ( khi r  0 ) z' r ' 12 1.4.4. Công thức Moivre Từ công thức nhân số phức dƣới dạng lƣợng giác, bằng quy nạp toán hoặc dễ dàng suy ra rằng với mọi số nguyên dƣơng n ta có:  r(cos   isin  n  r n (cos n  isin n). Đặc biệt: Khi r  1 thì: (cos   isin )n  cosn  isin n. 1.4.5. Căn bậc n của số phức dƣới dạng lƣợng giác Định nghĩa Cho số phức z, một số phức w đƣợc gọi là căn bậc n của số phức z nếu w n  z. (n là số nguyên cho trƣớc, n  0 ) Định lý Khi w  0, ta viết w dƣới dạng lƣợng giác w  R(cos   isin ), R  0.    k2    k2   Khi đó căn bậc n của w là số phức z  n R  cos    isin   . n n n n       Lấy k  0;1;2;.........;n 1 ta đƣợc n căn bậc n phân biệt của w. 13 Chƣơng 2: ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG LƢỢNG GIÁC VÀ ĐẠI SỐ 2.1. Ứng dụng số phức trong lƣợng giác 2.1.1. Cách chuyển đổi một số phức từ dạng đại số sang lƣợng giác a) Phƣơng pháp giải Để chuyển số phức z  a  bi sang dạng lƣợng giác z  r  cos   isin  ta phải tìm đƣợc moudle và argument của số phức. Bằng việc đồng nhất biểu   2 2 2 2 r  a  b r  a  b   a a thức hai số phức ta có: a  r cos   cos    ,(1) 2 2 r a  b b  r sin     b b ,(2) sin    2 2 r a  b  Hệ phƣơng trình trên cho phép chúng ta thực hiện việc chuyển đổi dễ dàng từ đại số sang lƣợng giác. Chú ý - Từ các hệ thức (1) và (2), kết hợp với kiến thức lƣợng giác về cung và góc lƣợng giác ta sẽ xác định đƣợc . - Nhiều số phức cho dạng “na ná” lƣợng giác rất dễ làm chúng ta “lầm tƣởng” đó chính là dạng lƣợng giác. Nhƣng không, bằng việc chuyển đổi linh hoạt các công thức từ cos sang sin và ngƣợc lại ta sẽ thu đƣợc dạng lƣợng giác “chính gốc”. - Trong các biểu thức cho phép xác định  thì thƣờng có hai giá trị  chấp nhận đƣợc, tùy thuộc vào chiều quay mà ta chọn để lấy  theo chiều dƣơng hay chiều âm (ví dụ cặp giá trị    5 7 hoặc   đều chấp nhận đƣợc). 6 6 14