Tài liệu SKKN Hướng dẫn học sinh lớp 6 giải các bài toán về phân số tối giản

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT THCS: Trung học cơ sở. HS: Học sinh GV: Giáo viên SGK: Sách giáo khoa CNTT: Công nghệ thông tin BĐTD: Bản đồ tư duy PSTG: Phân số tối giản ĐN: Định nghĩa (a, b): ƯCLN(a;b) a\b : a là ước số của b hay b chia hết cho a. NXBGD: Nhà xuất bản giáo dục -1- MỤC LỤC Nội dung ĐẶT VẤN ĐỀ Trang 3 Lý do chọn đề tài 3 Mục đích, nhiệm vụ, đối tượng, phương pháp và phạm vi nghiên cứu 4 Đổi mới trong kết quả nghiên cứu 4 1.1. Cơ sở lý luận 6 6 6 1.2. Thực trạng 6 Chương I Chương II NỘI DUNG ĐỀ TÀI Cơ sở lí luận, thực trạng vấn đề ...... Các giải pháp ...................... .2.1. Giúp HS nắm vững kiến thức cơ bản 2.2. Giúp HS xác định phạm vi kiến thức chính liên quan ....... 2.3. Bài tập áp dụng và hướng dẫn khai thác 7 7 10 12 Dạng 1: Chứng minh phân số với tham số n là phân số tối giản Dạng 2: Tìm tham số n để phân số tối giản. Dạng 3: Tìm tham số n để phân số không tối giản hoặc ....... Dạng 4: Chứng minh phân số tối giản với điều kiện cho trước 12 19 21 23 Dạng 5: Tìm phân số tối giản thỏa mãn điều kiện cho trước 25 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO 28 31 ĐẶT VẤN ĐỀ -2- Lí do chọn đề tài Qua nhiều năm học tập, nghiên cứu, giảng dạy bộ môn Toán ở trường THCS, tôi rất tâm đắc câu nói nổi tiếng của nhà toán học vĩ đại người Đức, Vua toán CARL FRIEDRICH GAUSS: “Toán học là ông hoàng, số học là bà chúa”. Thực ra, trong chương trình toán ở cấp THCS phần kiến thức phân môn số học chiếm không nhiều, trong đó kiến thức được học về phân số tối giản (PSTG) lại càng khiêm tốn. Vì vậy, đối với các em học sinh THCS, việc giải quyết các bài toán số học có liên quan tới PSTG không phải là vấn đề dễ dàng nhất là với các em học sinh lớp 6. Bài toán về PSTG là một trong những dạng toán có nhiều cách sử dụng câu hỏi khác nhau với cùng một yêu cầu. Mặt khác trong thực tế, thường thì các em HS lớp 6 chỉ mới làm quen và dừng lại ở dạng toán đơn giản, tường minh về phân số tối giản. Vì thế khi bắt gặp những bài toán mà phân số cho dưới dạng tử và mẫu là những biểu thức chứa chữ (tham số) với yêu cầu chứng minh phân số đó là PSTG hoặc tìm giá trị thích hợp của tham số để phân số đã cho trở thành PSTG thì đa số các em gặp phải khó khăn, lúng túng do chưa nắm vững bản chất của dạng toán, thiếu kinh nghiệm trong việc huy động lượng kiến thức liên quan cũng như khả năng ngôn ngữ hạn chế và chưa quen với việc sử dụng các lập luận có căn cứ. Trên thực tế, chương trình SGK hiện hành chỉ đưa ra khái niệm ban đầu về PSTG trong một thời lượng hạn hẹp. Sách bài tập và các nguồn sách tham khảo chỉ đưa ra một số bài tập khác nhau và lời giải cụ thể cho mỗi bài mà chưa có sự khái quát phân loại cũng như không định hướng cụ thể phạm vi kiến thức liên quan nên trong quá trình giảng dạy giáo viên chưa thực sự coi trọng quan tâm khai thác, thiếu sự đầu tư nghiên cứu và cũng ít dành thời gian để rèn luyện dạng toán về PSTG cho các em vì vậy đa số HS thấy thiếu tự tin khi gặp loại toán này. Song nếu chịu khó đầu tư quan tâm nghiên cứu và dành thời gian để rèn luyện thì bài toán về phân số tối giản là một trong những dạng toán hay, thu hút người dạy, người học và có nhiều ứng dụng, góp phần kích thích được tính tích cực, kiên nhẫn tìm tòi, khả năng sáng tạo, tính linh hoạt trong tư duy của người học. -3- Vì vậy “Hướng dẫn học sinh lớp 6 giải các bài toán về phân số tối giản ” là đề tài mà tôi lựa chọn để nghiên cứu. Mục đích - nhiệm vụ - phương pháp - đối tượng - phạm vi nghiên cứu * Đề tài này nhằm góp thêm một hướng đi, một cách làm, nêu lên một vài kinh nghiệm nhỏ đã có hiệu quả trong việc hướng dẫn học lớp 6 giải các bài toán liên quan đến phân số tối giản. Cách làm này giúp các em hiểu rõ hơn bản chất của bài toán, biết cách suy luận có logic từ đó biết xác định phạm vi kiến thức và lựa chọn phương pháp phù hợp để giải quyết các bài toán cụ thể, đồng thời cũng góp phần rèn luyện khả năng tư duy và rèn luyện tính năng động, sáng tạo trong giải toán, tính tích cực tìm tòi khai thác bài toán theo các hướng khác nhau từ bài toán cụ thể. * Nhiệm vụ của đề tài là đưa ra giải pháp thực hiện, dùng thực tế để minh họa cách thức thực hiện, tổng kết hiệu quả đã đạt được từ cách làm đó và khái quát thành phương pháp luận để đồng nghiệp, học sinh cùng tham khảo, ứng dụng. * Đề tài này được hoàn thành bằng phương pháp nghiên cứu lí luận, phương pháp tổng kết kinh nghiệm, phương pháp thực nghiệm sư phạm. * Đề tài tập trung nghiên cứu các bài toán thuộc phạm vi chương trình lớp 6 phù hợp với các đối tượng học sinh thuộc các khóa học khác nhau mà tôi trực tiếp giảng dạy trong khi học loại toán liên quan đến phân số tối giản thông qua một số bài toán điển hình tại các giờ học luyện tập, ôn tập, bồi dưỡng học sinh khá giỏi. Đổi mới trong kết quả nghiên cứu Qua nghiên cứu và thử nghiệm nhiều năm trên nhiều đối tượng học sinh lớp 6 thuộc các lớp tôi đã giảng dạy cho thấy kết quả rất khả quan bởi SKKN đã nêu rõ các bước thực hiện giúp học sinh nhanh chóng nắm bắt được các kiến thức cơ bản và xâu chuỗi chúng trong mối quan hệ lẫn nhau dưới dạng bản đồ tư duy nhằm làm cho các em thấy rõ một cách tổng quan những kiến thức có liên quan trực tiếp đến PSTG. Từ đó định hướng phương pháp giải cũng như cách khai thác toán dễ dàng hơn. -4- Những năm gần đây, đẩy mạnh ứng dụng CNTT và Bản đồ tư duy vào dạy học nên trong khi thực hiện đề tài tôi đã mạnh dạn phát huy lợi thế của công cụ đắc lực đó ở một số bước thực hiện đem lại những hiệu quả nhất định đồng thời kích thích được lòng say mê và hứng thú của học sinh, được học sinh hưởng ứng nhiệt tình và cũng đã tạo được cho các em một lối tư duy sáng tạo, cách ghi chép, học tập hiệu quả, khả năng nhớ lâu kiến thức và rèn kỹ năng ôn tập sáng tạo cho các em. Việc cho học sinh tự mình khai thác phát hiện và tự đặt câu hỏi cho bài toán cũng là một điểm mới mà đề tài đã khai thác và thu được nhiều điều thú vị đáng chia sẻ. NỘI DUNG ĐỀ TÀI Chương I -5- CƠ SỞ LÝ LUẬN, THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ DẠY VÀ HỌC DẠNG TOÁN VỀ PHÂN SỐ TỐI GIẢN HIỆN NAY 1.1 Cơ sở lí luận Tất cả mọi dạng toán đều đòi hỏi HS nắm vững kiến thức cơ bản. Phân tích quan hệ giữa các kiến thức đó và vận dụng phù hợp, linh hoạt vào các tình huống giải toán cụ thể. Việc hướng dẫn HS đi từ ôn tập kiến thức cơ bản để giải quyết các bài toán cơ bản sau đó nâng dần lên theo mức độ và khả năng tiếp thu của học sinh là hoàn toàn phù hợp với quá trình nhận thức (từ thấp đến cao, từ đơn giản đến phức tạp, từ cụ thể đến trừu tượng). Trong học tập nói chung, học toán nói riêng nếu người học được tự mình xây dựng hệ thống kiến thức cho mỗi chủ đề và khai thác ứng dụng các kiến thức đó vào thực tế giải toán thì không chỉ giúp người học nhớ lâu tránh được lối tiếp thu thụ động mà còn tạo được thói quen làm việc năng động, tích cực, sáng tạo đồng thời góp phần hướng tới mục tiêu đổi mới phương pháp dạy học nhằm tích cực hóa hoạt động học tập của HS. Đối tượng HS lớp 6 thuộc lứa tuổi thích khám phá, thích thể hiện khả năng sáng tạo tìm tòi của bản thân nên việc thực hiện đề tài cũng có nhiều thuận lợi nhất định. 1.2 Thực trạng Trên thực tế, khi dạy về phân số tối giản, đa phần GV đã có sự định hướng cho HS về kiến thức cũng như phương pháp.Tuy nhiên, để đi sâu khai thác, phân tích các dạng toán từ đó hình thành cho HS một “cái nhìn” tổng quan về kiến thức và các dạng bài toán cũng như các hướng khai thác bài toán thì GV chưa thật sự quan tâm đầu tư thích đáng. Hơn nữa GV chưa thật chú trọng rèn luyện cho HS thói quen xem xét kết quả của một bài toán hay rèn luyện các cách phát biểu khác nhau cho cùng một vấn đề hoặc sử dụng các tính chất đã học để khai thác bài toán. Mặt khác, đối với HS lớp 6, khả năng ngôn ngữ còn hạn chế, năng lực tư duy còn non nớt, thói quen lập luận có căn cứ chưa được rèn luyện do đó HS -6- thường bị bối rối khi thay đổi các câu hỏi theo các cách khác nhau với cùng một yêu cầu của bài toán. Khi ôn tập HS cũng chưa thật sự chú ý đến mối quan hệ giữa các kiến thức liên quan do đó HS chưa tìm ra được “sợi chỉ” xuyên suốt, xâu chuỗi các kiến thức đó với nhau.Vì vậy hầu như HS chưa phát huy được tính tích cực khi học tập về PSTG. Trên cơ sở nắm vững lý luận và nắm bắt rõ thực tế tôi đề xuất giải pháp thực hiện như sau: Mọi phân số đều đưa Chương được về II dạng tối giản CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ THỰC HIỆN CÓ HIỆU QUẢ TRONG VIỆC HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 6 GIẢI CÁC BÀI TOÁN Tổng, hiệu của Phân số không VỀ PHÂN SỐ TỐI GIẢN một số nguyên rút gọn được với HS nắm vững kiến thức cơ bản 2.1. Giúp nữa PSTG Trước hết GV giúp HS nắm vững các kiến thức cơ bản về phân số và PSTG: là PSTG  Phân số là số có dạng a (a, b  Z ; b 0) b  Phân số tối giản là phân số không thể rút gọn được nữa.  Phân số a (a, b  Z ; b 0) là phân số tối giản nếu ƯCLN(a;b) = 1. PHÂN SỐ TỐI GIẢN b  Mọi phân số đều có thể đưa về dạng tối giản.  Dạng tối giản của một phân số là duy nhất.  Nếu phân số a b là PSTG thì phân số cũng là PSTG. b a tối giản(hiệu) thì của một số nguyên và một phân số tối giản là một PSTG.  Tổng cũng tối giản Đối với bước này, để giúp HS dễ nhớ, nhớ lâu và nhìn thấy sự liên kết ƯCLN(a;b) =1 giữa các khái niệm cũng như rèn khả năng diễn đạt một vấn đề theo các cách Dạng tối giản của khác nhau để dễ dàng liên hệ đếnphân thựcsố tế là giải toán thì việc vận dụng bản đồ một duy tư duy mang lại hiệu quả đáng kể. nhất Bằng kinh nghiệm của bản thân tôi đã dẫn dắt HS xây dựng được sơ đồ sau (Sơ đồ 1): Sơ đồ 1 -7- Sơ đồ 1 Cần chú ý phân tích cho HS thấy rõ mối quan hệ qua lại của các kiến thức liên quan được thể hiện bằng các mũi tên hai chiều trên sơ đồ. -8- Với vốn kiến thức cơ bản đó, HS dễ dàng nhận ra phân số cho dưới dạng tường minh là PSTG hay không là PSTG. Đây là dạng bài cơ bản đầu tiên ở mức độ nhận biết nên các em trả lời đúng và giải thích một cách rõ ràng. Chẳng hạn: Trong các phân số sau phân số nào là PSTG, phân số nào không là PSTG? 8 9 11 8 6 17 ; ; ; ; ; 11 15  8 15 17 6 Đối với ví dụ này GV cần đặt yêu cầu cao ở lời giải thích của HS nhằm giúp các em quen với lập luận có căn cứ.  Phân số 8 là PSTG vì ƯCLN(8;11) =1 11  Phân số 9 không là PSTG vì ƯCLN(9;15) =3 1 15  Phân số 8 là PSTG vì ƯCLN(8;15) =1 15  Phân số 6 là PSTG vì ƯCLN(6;17) = 1 17  Phân số 17 : 6 * Cách 1: Phân số 17 là PSTG vì ƯCLN(17;6) = 1 6 * Cách 2: Phân số 17 6 là PSTG vì phân số là PSTG 6 17 * Cách 3: Phân số 17 17 5 5 là PSTG vì 2  , mà là PSTG vì ƯCLN(5;6) = 1. 6 6 6 6 Với phân số cụ thể, tử và mẫu không quá lớn thì cách 1 đơn giản và dễ hiểu hơn và cách 2, cách 3 thường áp dụng cho phân số có tử và mẫu là số có giá trị tuyệt đối lớn hoặc phân số chứa tham số.Tuy nhiên ngay từ đầu GV cũng cần cho HS làm theo các cách khác nhau để vừa củng cố kiến thức vừa giúp HS làm quen với cách lập luận và tính phong phú của phương pháp giải toán đồng thời biết lựa chọn cách giải ưu việt nhất cho mỗi bài toán. Như vậy, về cơ bản HS đã nắm được cách kiểm tra một phân số là PSTG hay là phân số chưa tối giản.Trên cơ sở nền tảng đó GV giúp HS xác định rõ -9- bản chất của bài toán về PSTG. Chẳng hạn GV có thể nêu câu hỏi như sau: “Muốn kiểm tra hay chứng minh một phân số nào đó có phải là PSTG hay không ta cần làm gì?” HS dễ nhận ra “bản chất của bài toán là tìm ƯCLN của hai số”. 2.2. Giúp HS xác định phạm vi kiến thức chính liên quan đến dạng toán Kiểm tra về PSTG phân số Có nhiều cách làm khác nhau thể giúp HS xây dựng được hệ thống các tối có giản kiến thức liên quan. Song với tinh thần đổi mới phương pháp dạy học hiện nay cũng như giúp HS nắm được “mạch” kiến thức một cách có lôgic, có sức thuyết phục, dễ nhớ, dễ hiểu mà không tách rời với khoa học bộ môn đồng thời kích thích được tính sáng tạo ở HS thì GV có thể tiếp tục sử dụng bản đồ tư duy đối với bước này(Sơ đồ 2) ƯCLN PP xác định Trực tiếp: Thuật toán Ơclit (Euclude) Gián tiếp: Chủ yếu dùng tính chất chia hết của tổng, hiệu Các tính chất: Phản chứng Ứng dụng thường dùng: a + 1d và a d thì 1 d nên d = 1 - 10 - Sơ đồ 2 Trong đó: 1. Thuật toán Ơclit tìm ƯCLN(a;b): - 11 - Ta tìm UCLN(a ;b) bằng cách dùng thuật toán Euclide như sau : a = bq0 + r1 với 0 < r1 < b b = r1 q1 + r2 với 0< r2 < r1 .... rn-1 = rnqn . Thuật toán phải kết thúc với một số dư bằng 0 Do đó ta có: (a; b) = (b; r1) = (r1; r2) =...=(rn-1; rn) = rn. Ví dụ: Tìm ƯCLN (153 ; 119) Ta có : (153 ;119) = (34 ;119) = (34 ; 85) = (51 ; 34) = (17;34) = (17;17) = 17 Vậy: ƯCLN(153 ;119) = 17. Với việc vận dụng thuật toán Euclid tìm ƯCLN của hai số đối với học sinh lới 6 chỉ nên dừng lại ở hai số cụ thể. Sau khi học phép chia đa thức (ở lớp 8) học sinh sẽ sử dụng thuật toán này để tìm ƯCLN của hai đa thức. Chẳng hạn: Chứng minh ƯCLN(n4 +3n2 + 1; n3 + 2n) = 1 2. Chứng minh phản chứng: Giả sử ƯCLN (a;b) = d với d khác 1. Khi đó kết hợp với các điều kiện đã cho của bài toán dẫn đến một điều vô lí hoặc trái giả thiết bài toán đã cho thì suy ra chỉ có thể ƯCLN(a;b) = 1. 3. a b(mod m): a đồng dư với b theo môđun m nghĩa là a và b có cùng số dư trong phép chia cho m. 2.3. Bài tập áp dụng và hướng dẫn khai thác Dạng 1: Chứng minh phân số với tham số n là phân số tối giản * Chọn một số bài tập điển hình hướng dẫn học sinh giải và khai thác Mức áp dụng trực tiếp đối với học sinh trung bình: Bài 1.1: Chứng tỏ rằng phân số 1 tối giản với mọi n  N, n 0 n Mọi học sinh đều dễ dàng nhận ra vì ƯCLN(1; n) = 1 với mọi n  N, n 0 Giải: Vì ƯCLN(1,n) = 1 nên 1 là PSTG. n +Mức độ được nâng lên và học sinh trung bình cũng giải được: - 12 - Bài 1.2: Chứng minh rằng phân số 2011 là phân số tối giản. 2012 GV giúp học sinh nhận định rõ phương pháp và kiến thức cần sử dụng. Rõ ràng đây là bài toán cần tìm trực tiếp ƯCLN ( 2011; 2012) Từ đó các em thấy được cách làm là sử dụng thuật toán Euclide để xác định nhanh ƯCLN(2011;2012) Giải: Áp dụng thuật toán Ơclit tìm ƯCLN của hai số ta có: ƯCLN ( 2011; 2012) = ƯCLN( 2011; 1 ) = 1 Do đó phân số 2011 là phân số tối giản. 2012 Sau khi HS giải quyết được bài toán 1.2, GV đặt vấn đề: ? Nếu có bài toán”Chứng minh rằng 2011 và 2012 là hai số nguyên tố cùng nhau” thì phải làm thế nào? HS dễ dàng nhận ra thực ra cũng chính là bài toán trên nhưng chỉ thay đổi cách nêu câu hỏi mà thôi. Lúc này GV có thể cho HS nêu các câu hỏi khác cho cùng yêu cầu trên, chẳng hạn HS có thể nêu: - Tìm ƯCLN(2011;2012) Hay: - Chứng minh rằng ƯCLN(2011;2012)=1 Hoặc: - Chứng tỏ rằng phân số 2011 là phân số không rút gọn được nữa 2012 Hoặc: - Tử và mẫu của phân số 2011 có thể cùng chia hết cho các số nào? 2012 Với cách làm này, HS thấy được với cùng một bài toán nếu nắm được bản chất có thể tự mình đặt các câu hỏi khác nhau, diễn đạt yêu cầu theo các cách khác nhau và các em thực sự rất hào hứng. Sau đó GV tiếp tục nâng bài toán lên với mức độ khó hơn và luôn đặt ra yêu cầu này để các em được rèn luyện về ngôn ngữ cũng như nắm vững được bản chất của bài toán. Từ bài toán 1.1, áp dụng nhận xét “Tổng, (hiệu) của một số nguyên với một PSTG là một PSTG” GV hướng dẫn HS cùng khai thác theo cách sau: ? Cộng (hoặc trừ) 1 đơn vị ở phân số trong bài toán 1.1 ta có phân số nào? (HS dễ dàng làm được) ? Phân số thu được có phải là PSTG không? Vì sao? - 13 - ? Vậy ta có bài toán nào? Nêu cách giải? Với phương pháp này HS thấy đã tự mình khám phá ra một bài toán mới khó hơn nên các em rất say sưa, hứng thú. + Nâng bài toán lên dạng khái quát với tham số dành cho HS mức trung bình khá Bài 1.3: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 thì các phân số sau là phân số tối giản a, n 1 1 (Kết quả của 1+ ) n n b, n 1 1 (Kết quả của 1- ) n n Tiếp tục cho học sinh nêu các cách giải khác nhau để các em thấy được sự phong phú trong giải toán Giải: a, Cách 1 Theo thuật toán Euclide: ƯCLN( n ; n + 1) = UCLN (1; n + 1) = 1 do đó n 1 là phân số tối giản ( áp dụng thuật toán Euclide) n Cách 2: Giả sử ƯCLN( n; n +1) = d khi đó (n + 1)  d và n d suy ra 1  d (tính chất chia hết của một tổng) vậy thì d = 1 nên Cách 3: Ta có: n 1 là phân số tối giản n n 1 1 1 n 1 = 1  mà là PSTG vì ƯCLN(1; n) = 1 nên tối giản n n n n do “Tổng, (hiệu) của một số nguyên với một PSTG là một PSTG”(Về thực chất đây cũng là thuật toán Euclide). b, Giải tương tự. Với bài toán này có nhiều hướng khai thác, tuy nhiên nhằm vừa khai thác vừa củng cố kiến thức thì đến đây GV có thể hướng dẫn HS tiếp tục khai thác theo hướng sau: ? Nếu đổi tử cho mẫu ta có phân số nào? Hãy nêu bài toán mới? Với sự hướng dẫn đó HS hoàn toàn tự tin nêu bài toán mới: Bài 1.3’: Chứng minh rằng các phân sau là phân số tối giản a, n (Với n là số tự nhiên khác 0) n 1 b, n (Với n là số tự nhiên khác 0 và 1) n 1 - 14 - Bài toán này HS hoàn toàn tự giải quyết được với việc áp dụng nhận xét: “ a b tối giản thì cũng tối giản” a b Với bài toán này GV tiếp tục yêu cầu HS nêu các cách hỏi khác nhau để có bài toán cùng bản chất nhằm tiếp tục rèn luyện kỹ năng ngôn ngữ cho HS. Chẳng hạn:  Tìm ƯCLN(n; n+1) với n  N*  Chứng minh rằng ƯCLN(n; n+1) = 1 với n  N*  Chứng tỏ rằng n và n+1 là hai số nguyên tố cùng nhau. Với n  N*  Tử và mẫu của phân số n (n  N*) có thể cùng chia hết cho số tự nhiên n 1 nào? …. Trên cơ sở của bài toán 1.1, nếu thay đổi số nguyên đem cộng vào hoặc kết hợp các kiến thức đã được ôn tập từ sơ đồ 1 các em sẽ thu được nhiều bài toán khó hơn và rất thú vị. Lúc này HS thật sự vào cuộc hăng hái và thích thú. Kết quả là có nhiều bài toán mới khác nhau được nêu lên. Chẳng hạn: Bài 1. 4 Chứng minh rằng với n  Z các phân số sau tối giản. a, n 1 ( n khác 0) (HS lấy nghịch đảo của tổng 2  ) 2n +1 n b, 1 1 1 (HS đã suy luận từ là PSTG nên cũng là PSTG) 7n 1 n 7n 1 c, 7n +1 1 (HS lấy nghịch đảo của tổng 2  ) 14n +3 7n  1 Việc trình bày lời giải lúc này trở nên nhẹ nhàng hơn nhiều đối với các em.Do đó các em thấy rất tự tin. (Xin miễn trình bày lời giải cho bài toán này) Với đối tượng HS có khả năng tư duy tốt, GV có thể mạnh dạn khai thác sâu hơn bằng cách sau: +Dành cho HS khá giỏi khai thác: - 15 - 1 là PSTG nếu cộng thêm một số tự nhiên bất kỳ nào đó dưới dạng n ? Từ phân số tổng quát thì có bài toán sẽ khó hơn, hay hơn. Kết quả là một số em khá giỏi đã cộng thêm số nguyên dạng n; 2n; n 2 ... vào và thu được bài toán: Bài 1.5: Chứng minh rằng các phân số sau tối giản: a, 1 n2 1 (với mọi n  Z, n khác 0) - (kết quả của  n ) n n b, n 1 (Lấy nghịch đảo của  n ) n 1 n c, 7n 1 1 (với mọi n  Z) - (Lấy nghịch đảo của n + ) 2 7n  n 1 7n 1 d, n 1 1 (với mọi n  Z, n khác 0) - (kết quả của nghịch đảo  n của  n 2 ) n 1 n n 2 3 1 2n 2  n  1 e, (Kết quả của 2n 1  ) n n Trên đây là các bài toán của cùng một dạng được đưa ra và hướng dẫn HS lần lượt khai thác từ mức độ thấp đến cao dần phù hợp với trình tự nhận thức học sinh, vừa làm cho học sinh thích ứng dần với dạng toán vừa gây được sự thích thú, lôi cuốn kích thích sự tìm tòi đồng thời cũng là một cách khai thác sâu hơn bài toán chứng minh phân số tối giản và rèn luyện được khả năng diễn đạt cho các em. Ngoài ra, cũng cần để ý đến một số sai lầm mà các em hay mắc phải để giúp các em tháo gỡ. Chẳng hạn khi gặp bài toán sau: Bài 1.6: Cho a là số tự nhiên chia 4 dư 3. Phân số Phân tích: a có là PSTG không? a2 Nếu ƯCLN (a; a+2) = d thì a  d và a +2  d do đó 2  d nên d = 1 hoặc d = 2. Đến đây, sai lầm mà HS mắc phải là quên yếu tố a là số tự nhiên chia 4 dư 3. Vì thế khi tìm được d = 1 hoặc d = 2 HS đã vội vàng kết luận a không a2 phải là phân số tối giản. Giải: Gọi ƯCLN (a; a+2) = d thì a  d và a +2  d do đó 2  d nên d = 1 hoặc d = 2. Vì a là số tự nhiên chia 4 dư 3 nên a là số lẻ nên d chỉ có thể bằng 1. - 16 - Vậy phân số a là PSTG. a2 Sau khi giải các bài toán dạng 1, GV cần chốt lại các hướng khai thác từ bài toán ban đầu thành các bài toán mới cùng dạng và cho HS rèn luyện giải và khai thác thông qua hệ thống bài tập đề xuất . Tôi đã sử dụng thành công việc chốt vấn đề bằng sơ đồ sau: (Sơ đồ 3) - 17 - Số nguyên cụ thể +PSTG Số nguyên cụ thể -PSTG PSTG - Số nguyên cụ thể Tổng , hiệu của một số nguyên với phân số tối giản Số nguyên tham số + PSTG Số nguyên tham số - PSTG Đổi tử cho mẫu và đổi dấu phân số KHAI THÁC TỪ BÀI TOÁN CHỨNG MINH PHÂN SỐ TỐI GIẢN Nghịch đảo của PSTG là PSTG Đơn thuần đổi tử cho mẫu Tìm ƯCLN Phát biểu dạng khác Chứng minh ƯCLN bằng 1 Chứng minh nguyên tố cùng nhau Tử và mấu có ước chung nào? Sơ đồ 3 …… - 18 - * Đề xuất bài toán tương tự yêu cầu HS tự luyện giải và khai thác: Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, các số sau là hai số nguyên tố cùng nhau: a. Hai số lẻ liên tiếp b. 2n + 1 và 3n + 1 c. 21n + 4 và 14n + 3 Bài 2: Chứng minh các phân số sau tối giản 2n  1 3n  2 a. 2n(n  1) ( Với n khác 0 và - 1) b. 5n  3 (Với n là số tự nhiên) Khi HS đã nắm bắt một cách chắc chắn các dạng toán điển hình, tôi mạnh dạn hướng dẫn HS khai thác các dạng toán liên quan. Dạng 2: Tìm tham số n để phân số tối giản. * Chọn một số bài tập điển hình, hướng dẫn học sinh giải và khai thác Trước hết GV nêu một bài toán đơn giản mà HS có thể tự giải được Bài 2.1: Tìm tất cả các số nguyên n để Giải: Để 7 (n khác 1) là phân số tối giản. n-1 7 (n khác 1) là PSTG ta phải có ƯCLN( n – 1; 7 ) = 1 n-1 Vì 7 là số nguyên tố do đó nếu ƯCLN( n - 1, 7 )  1 thì n  17 hay n – 1 = 7k (k  Z, k khác 0 ) do đó n = 7k + 1 ( k  Z, k khác 0) nên ƯCLN( n – 1; 7 ) = 1 khi n  7k + 1 ( k  Z) Phân tích: Vì nếu 7 7 n-8 là PSTG thì 1  cũng tối giản tức là cũng tối giản n-1 n-1 n-1 do đó GV có thể hướng dẫn HS khai thác theo hướng đã nêu ở dạng 1 để có bài toán mới sau: Bài 2.2: Tìm tất cả các số nguyên n để Lược giải: Vì n-8 (n khác 1) là phân số tối giản. n-1 n-8 7 n-8 = 1 nên (n khác 1) là PSTG khi n-1 n-1 n-1 7 là PSTG là n-1 phân số tối giản (Tiếp tục như bài toán 2.1) Hoàn toàn có thể khai thác bài toán theo các bước đã làm đối với dạng 1 HS đã nêu được một số bài toán mới. Chẳng hạn: Bài 2.3: Tìm tất cả các số nguyên n để các phân số sau là phân số tối giản. - 19 - a, 2n-9 7 (Kết quả của 2  ) n-1 n-1 b, 3n+4 7 (Kết quả của 3  ) n-1 n-1 7 n 2 -n-7 c, (Kết quả của n  ) n-1 n-1 d, n-1 7 (Kết quả của nghịch đảo của 2n  ) 2n -2n-7 n-1 2 Để đánh giá được mức độ tiếp thu của HS có thể cho HS thực hành giải và khai thác trên bài toán cụ thể. Chẳng hạn: Bài 2.4: Tìm tất cả các số nguyên n để phân số 3 là phân số tối giản. 2n  3 Hãy giải và đề xuất cách khai thác bài toán mới? Giải: Vì 3 là số nguyên tố nên 3 là PSTG khi 2n + 3 không chia hết cho 3. 2n  3 Do 3 3 nên 2n  3 khi n  3 hay n 3k (k là số nguyên). Sau khi giải HS đã đề xuất tốt các bài toán mà các em khai thác được. Chẳng hạn: Bài 2.5: Tìm tất cả các số nguyên n để các phân số sau là phân số tối giản. a, 4n+3 3 (Kết quả của 2  ) 2n+3 2n  3 b, 3 4n 2 + 6n + 3 (Kết quả của 2n  ) 2n + 3 n+3 ..... Lưu ý: Với các bài toán dạng 2, GV vẫn tiếp tục yêu cầu HS nêu các cách diễn đạt câu hỏi khác nhau. Chẳng hạn: + Tìm số tự nhiên n để các số sau nguyên tố cùng nhau + Tìm số tự nhiên n để các phân số đã cho là PSTG + Với những giá trị nào của số tự nhiên n thì phân số đã cho không rút gọn được nữa - 20 -