Tài liệu Rèn kỹ năng chứng minh hình học cho học sinh lớp 7

Giải pháp hữu ích BƯỚC ĐẦU RÈN KỸ NĂNG CHỨNG MINH HÌNH HỌC CHO HỌC SINH LỚP 7. I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Toán học nói chung và môn hình học nói riêng có một vai trò quan trọng đối với đời sống và các ngành khoa học khác. Nó có khả năng to lớn trong việc phát triển trí tuệ của học sinh thông qua việc rèn luyện các thao tác tư duy (phân tích tổng hợp), lĩnh hội các khái niệm trừu tượng, năng lực suy luận logic, đồng thời rèn các phẩm chất của trí tuệ. Trong phong trào cải tiến phương pháp dạy học “Phát huy tính tích cực của học sinh”, việc giảng dạy môn hình học lớp 7 cũng đóng góp một phần không nhỏ trong việc hình thành và phát triển khả năng vận dụng kiến thức vào việc giải và chứng minh các bài toán hình học, từ đó giúp học sinh học tốt bộ môn hình học ở các khối lớp trên. Với chương trình hình học 6, học sinh mới chỉ làm quen với các khái niệm mở đầu về hình học. Học sinh được tiếp cận kiến thức bằng con đường quy nạp không hoàn toàn, từ quan sát, thử nghiệm, đo đạc, vẽ hình để đi dần đến kiến thức mới. Học sinh nhận thức các hình và mối liên hệ giữa chúng bằng mô tả trực quan với sự hỗ trợ của trực giác, của tưởng tượng là chủ yếu. Lên lớp 7 học sinh bước đầu làm quen với các mối quan hệ vuông góc, song song, bằng nhau với yêu cầu về kĩ năng từ thấp đến cao, đòi hỏi các em phải có sự suy luận lôgíc hợp lí, khả năng sử dụng ngôn ngữ chính xác thông qua các bài tập chứng minh. Việc làm quen và tiếp cận với bài toán chứng minh đối với học sinh lớp 7 còn mới mẻ nên đại đa số học sinh chưa biết chứng minh như thế nào và bắt đầu từ đâu. Một thực tế là khi học bộ môn hình học, học sinh rất sợ. Có thể nói rằng, nhiều học sinh tôi đang dạy hiện nay gặp nhiều khó khăn trong việc học tập hình học, từ phần nắm bắt lý thuyết, các định nghĩa, các định lý, tiên đề,… đến việc áp dụng các kiến thức đã học để lập luận điều phải chứng minh. Hầu hết học sinh chưa cảm nhận được cái hay, cái đẹp của hình học, rất ngại khi học hình học này vì nhiều nguyên nhân khác nhau dẫn tới kết quả học tập chưa cao, đặc biệt là việc tư duy chứng minh một bài toán hình học đối với các em còn nhiều khó khăn. Đối với học sinh lớp 7, việc chứng minh một bài toán hình học càng khó hơn khi các em bước đầu làm quen với các bước suy luận chứng minh hình học, các em phải tìm tòi, phải tưởng tượng, các em phải tìm lời giải trên cơ sở hình vẽ, kiểm nghiệm tính đúng đắn bằng các tính chất, định lý, chính vì vậy việc rèn kỹ năng chứng minh hình học cho học sinh lớp 7 là yêu cầu rất quan trọng đối với giáo viên khi dạy học phân môn hình học. Là một người giáo viên, tôi luôn trăn trở làm thế nào để giúp học sinh xóa bỏ cảm giác lo sợ khi học hình học, từ đó học sinh tích cực, chủ động nắm bắt kiến thức và yêu thích bộ môn. Việc tập và rèn kỹ năng chứng minh các định lí và các bài toán hình học cho học sinh lớp 7 là rất quan trọng và cần thiết. Xuất phát từ suy nghĩ và bằng những kinh nghiệm giảng dạy trong những năm qua, tôi muốn được trình bày một vài suy nghĩ Trường THCS Nguyễn Du 1 GV: Nguyễn Thị Mỹ Linh Giải pháp hữu ích của mình về việc tập dượt và bước đầu rèn kỹ năng chứng minh hình học cho học sinh lớp 7. 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Đề ra các giải pháp để bước đầu rèn kỹ năng chứng minh hình học cho học sinh lớp 7. Từ đó giúp HS nắm vững và hiểu sâu kiến thức cơ bản, hình thành cho học sinh phương pháp làm bài tập hình học hiệu quả hơn. - Nhằm nâng cao chất lượng dạy và học toán tại trường THCS Nguyễn Du. 3. ĐỐI TƯỢNG, KẾ HOẠCH VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU - Đối tượng nghiên cứu: học sinh lớp 7 trường THCS Nguyễn Du năm học 2017 2018. - Kế hoạch nghiên cứu: trực tiếp qua các bài dạy. - Phạm vi nghiên cứu: Chương trình hình học lớp 7. 4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Quan sát thực tế, phân tích, tổng hợp. - Thông qua quá trình giảng dạy tìm tòi nghiên cứu và tích lũy được. II. NỘI DUNG 1. THỰC TRẠNG VÀ NGUYÊN NHÂN Qua một số năm giảng dạy toán 7, tôi nhận thấy khi giải các bài toán hình học, học sinh thường gặp phải một số vấn đề sau: 1.1. Vẽ hình bài toán: Một trong những yếu tố quyết định đến việc giải một bài toán hình học là vẽ hình chính xác. Qua thực tế dạy học tôi thấy việc vẽ hình trong một bài toán là tương đối khó khăn với học sinh, các em hay vẽ hình thiếu chính xác hoặc vẽ hình dẫn đến việc ngộ nhận kết quả, cũng có bài toán với cách vẽ hình khác nhau thì dẫn đến chứng minh theo con đường khác nhau. Không chỉ đối với học sinh lớp 6, 7 mà ngay cả nhiều học sinh lớp 8, lớp 9 đôi khi không biết vẽ hình hoặc vẽ hình sai dẫn đến gây trở ngại cho việc định hướng chứng minh. Nguyên nhân do chưa đọc kĩ đề bài, chưa biết xác định bài toán cho gì (GT), yêu cầu làm gì (KL) hoặc sử dụng các dụng cụ, thao tác vẽ chưa chính xác hay vẽ hình còn cẩu thả, thậm chí chưa nắm vững kiến thức ... Ví dụ: Vẽ đường trung trực của đoạn thẳng AB = 6cm. - Có học sinh vẽ đoạn thẳng AB có độ dài lớn hơn hoặc nhỏ hơn 6cm rất nhiều. - Có học sinh vẽ đường trung trực nhưng không vuông góc với AB Trường THCS Nguyễn Du 2 GV: Nguyễn Thị Mỹ Linh Giải pháp hữu ích - Có học sinh xác định sai trung điểm của đoạn thẳng AB: - Có học sinh không kí hiệu hình vẽ hoặc thiếu kí hiệu, thậm chí không kí hiệu hai mút của đoạn thẳng AB: Khi vẽ hai góc, hai cạnh bằng nhau, hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc, tia phân giác của một góc, trung điểm của một đoạn thẳng, đường cao, đường trung tuyến, đường trung trực của đoạn thẳng …. HS chưa thành thạo thậm chí còn vẽ sai. Không biết kí hiệu một cách hợp lí trên hình vẽ (GT cho) để hỗ trợ trong việc chứng minh. Đôi khi vẽ hình, học sinh còn vẽ vào trường hợp đặc biệt, dẫn đến ngộ nhận làm cho việc xây dựng hướng chứng minh sai lầm, không chứng minh được hay chứng minh sai. Ví dụ: Bài toán cho d  AB thì HS vẽ vào trường hợp d  AB tại trung điểm của AB (d là đường trung trực của AB). Bài toán cho tam giác bất kì thì HS thường vẽ vào trường hợp tam giác cân, tam giác vuông, tam giác đều. 1.2. Khả năng suy luận còn hạn chế, dẫn đến việc tìm cách giải còn khó khăn: Trường THCS Nguyễn Du 3 GV: Nguyễn Thị Mỹ Linh Giải pháp hữu ích Khi đã vẽ xong hình, việc tìm ra hướng để giải bài toán là khó khăn nhất. Thực tế cho thấy học sinh thường bị mắc ở khâu này. Mặc dù ở lớp 6 và các bài tập đầu lớp 7, học sinh đã được làm quen với phương pháp giải các bài toán hình học nhưng chưa cụ thể các bước chứng minh, sau khi học bài định lí học sinh đã từng bước làm quen với cách chứng minh một bài toán hình học. Học sinh phải phân biệt được đâu là giả thiết, kết luận của một định lí (bài toán) và hiểu thế nào là chứng minh. Từ đó giáo viên tập cho học sinh trình bày các bước chứng minh, lập luận một cách logic và chặt chẽ. Tuy nhiên khi học sinh học xong bài định lí thì một số học sinh vẫn chưa hiểu được bản chất của chứng minh hình học. Phải làm gì khi gặp bài toán chứng minh, nghĩa là các em không biết bắt đầu từ đâu và làm cái gì? Do các em không nắm và nắm không đầy đủ cách chứng minh, không biết suy luận, thậm chí không nắm được các kiến thức hình học cơ bản nên không biết cách làm bài. 1.3. Việc trình bày bài của học sinh còn thiếu chính xác, chưa khoa học, còn lủng củng, nhiều khi đưa ra khẳng định còn thiếu căn cứ, không chặt chẽ: HS khi trình bày bài giải vẫn còn lủng củng, thiếu lôgic, không chă ăt chẽ, sử dụng các kí hiệu không đúng quy định có khi còn bỏ qua như kí hiệu góc, kí hiê u của tam giác, ă kí hiê ău về đỉnh đôi khi còn viết chữ thường, kí hiê u của điểm còn viết chữ thường. ă Ví dụ: Trường THCS Nguyễn Du 4 GV: Nguyễn Thị Mỹ Linh Giải pháp hữu ích Trường THCS Nguyễn Du 5 GV: Nguyễn Thị Mỹ Linh Giải pháp hữu ích Các em chưa biết sử dụng giả thiết đã cho kết hợp với khả năng phân tích hình vẽ để lựa chọn cách làm bài. Việc huy động những kiến thức đã học để phục vụ cho việc chứng minh còn hạn chế, có em còn lẫn lộn giữa giả thiết và kết luận. Việc liên hệ các bài toán còn chưa tốt, khả năng phân tích, tổng hợp ... của học sinh còn yếu. Nhiều bài toán đã được giải nếu thay đổi dữ kiện thì học sinh còn khó khăn khi giải. 2. GIẢI PHÁP. Từ những thực trạng trên, ngay từ những bài đầu của chương trình hình học 7, tôi đã xây dựng hệ thống các bước cụ thể của một bài toán hình học cần phải tập cho học sinh như sau:  Bước 1: Yêu cầu học sinh đọc đề bài và nắm nội dung bài toán.  Bước 2: Yêu cầu học sinh vẽ hình.  Bước 3: Ghi giả thiết, kết luận của bài.  Bước 4: Tìm cách giải bài toán.  Bước 5: Trình bày bài giải. 2.1. Đọc đề bài và nắm nội dung bài toán: Ở khâu đọc bài, học sinh phải nắm được nội dung bài. Tôi tập cho các em có thói quen trả lời các câu hỏi sau: - Bài toán cho gì ? ( cái gì cho trước? cái gì cho sau?) Với những điều kiện đã cho đó có cần thỏa mãn thêm điều kiện gì của bài toán không? - Bài toán yêu cầu gì ? Một thực tế khi học sinh đọc một bài toán, yêu cầu học sinh nêu giả thiết kết luận của bài toán thì học sinh cứ theo tuần tự của đề bài để chỉ ra. Có những yếu tố mà thông qua các khái niệm bài toán không chỉ ra thì học sinh không biết, do đó không biết vẽ hình, từ đó không chứng minh được. Giúp học sinh đọc và hiểu nội dung bài toán cũng là khâu quan trọng đầu tiên, không được lơ là, coi thường vì có nắm được nội dung bài toán thì học sinh mới vẽ được hình và định hướng chứng minh. 2.2. Vẽ hình: Sau khi nắm được nội dung bài toán, giáo viên cần tập cho học sinh vẽ hình, xác định xem trong nội dung bài toán yếu tố nào cho trước. Để vẽ những yếu tố đó cần nắm những khái niệm gì? Các trường hợp có thể xảy ra khi vẽ hình. Tập cho học sinh có thói quen sử dụng thước đo góc để vẽ góc biết số đo và xác định các góc bằng nhau, dùng thước có chia khoảng để xác định độ dài các đoạn thẳng, các trung điểm của đoạn thẳng. Dùng eke để dựng đường vuông góc hay đường cao của tam giác, vẽ đường thẳng song song. Khi vẽ hình nhớ phải kí hiệu hình vẽ những yếu tố bài toán đã cho, như các cạnh Trường THCS Nguyễn Du 6 GV: Nguyễn Thị Mỹ Linh Giải pháp hữu ích bằng nhau, các góc bằng nhau, các góc vuông ... để sử dụng chúng cho tiện khi tìm cách chứng minh. Tránh vẽ hình rơi vào những trường hợp đặc biệt để tránh ngộ nhận những tính chất mà bài toán không có. Cần vẽ hình thoáng, rộng, đường nét không quá sát nhau.  Ví dụ 1: Vẽ tam giác ABC cân tại A. + Khi thực hiện vẽ tam giác cân học sinh thường vẽ không chính xác, do vậy tôi hướng dẫn học sinh vẽ cạnh đáy trước, sau đó dựng đường trung trực của đáy (BC). Trên đường trung trực đó lấy một điểm bất kỳ (điểm đó khác trung điểm cạnh đáy), nối điểm đó với hai đầu của đoạn thẳng chứa cạnh đáy ta sẽ được tam giác cân. + Hoặc ta vẽ cạnh đáy trước sau đó dùng compa lấy hai đầu mút cạnh đáy làm tâm vẽ hai cung tròn có bán kính bằng nhau bất kỳ, hai cung tròn này cắt nhau tại một điểm, nối điểm đó với hai đầu đoạn thẳng ta được tam giác cân. + Có thể hướng dẫn học sinh theo cách : Vẽ cạnh đáy sau đó trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng chứa cạnh đáy ta vẽ hai góc cùng hợp với đáy hai góc bằng nhau (thường khác 60) ta sẽ được tam giác cân.  Ví dụ 2: Vẽ tia phân giác của một góc, ngoài cách sử dụng compa để vẽ, GV có thể hướng dẫn HS vẽ bằng thước hai lề. Trường THCS Nguyễn Du 7 GV: Nguyễn Thị Mỹ Linh Giải pháp hữu ích  Ví dụ 3: Cho  ABC =  A’B’C’. Chứng minh rằng hai phân giác AD và A’D’ bằng nhau. Vì bài tập này được đưa ra sau phần tam giác cân nên học sinh thường vẽ ABC và  A’B’C’ cân. Như vậy dẫn đến phân giác AM trùng với trung tuyến và đường cao, từ đó học sinh dễ ngộ nhận trong lời chứng minh.  Ví dụ 4: Cho  ABC có AH là đường cao, AM là trung tuyến. Trên tia đối của tia AH lấy điểm E sao cho HE = HA . Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho MI = MA. Nối B với E, C với I . Chứng minh BE = CI. Nếu học sinh vẽ vào trường hợp đặc biệt :  ABC cân tại A thì lúc này đường cao AH và trung tuyến AM sẽ trùng nhau dẫn đến bài toán không tìm được lời giải. Do vậy: Để giúp học sinh tránh được những sai lầm này tôi luôn lưu ý , nhắc nhở học sinh nếu bài toán không cho hình đặc biệt thì ta không được vẽ vào trường hợp đặc biệt và vẽ hình phải vẽ thật chính xác .  Ví dụ 5: Cho  ABC. Kẻ đường cao BD và CE. Chứng minh � D  � E . AB AC Khi đọc và vẽ hình bài tập này thường thì học sinh chỉ vẽ trường hợp tam giác có ba góc nhọn. Giáo viên cần hướng dẫn học sinh vẽ cả trường hợp tam giác có một góc tù.  Ví dụ 6: Cho  ABC. Dựng các tam giác đều MAB, NBC, PAC thuộc miền ngoài tam giác ABC. Chứng minh rằng : a ) �  CBM ; �  PCB ABN � ACN � b) MC = NA = PB. Với bài tập này ta nên xét các trường hợp tam giác có ba góc nhọn, tam giác có một góc tù và chi tiết hơn là góc tù lớn hơn 120, bằng 120, bé hơn 120. 2.3. Ghi giả thiết kết luận: Tập cho học sinh dùng kí hiệu toán học để ghi vắn tắt nội dung bài toán, ghi vắn tắt nhưng đầy đủ và chính xác, từ đó giúp cho việc chứng minh và trình bày được dễ dàng hơn. Muốn làm được như vậy, trước tiên học sinh phải phân biệt rõ giả thiết, kết luận. Đối với học sinh lớp 7, các em mới làm quen nên cảm thấy khó khăn. Do đó giáo viên phải tập cho các em một cách thường xuyên, liên tục trong tất cả các tiết hình học. Trường THCS Nguyễn Du 8 GV: Nguyễn Thị Mỹ Linh Giải pháp hữu ích Ví dụ: định lí “hai tia phân giác của hai góc kề bù tạo thành một góc vuông”, nhiều học sinh không phân biệt được đâu là giả thiết, đâu là kết luận, không hình dung được góc nào là góc vuông, và lúng túng khi vẽ hình. - Tôi đã yêu cầu học sinh đặt tên hai tia phân giác ví dụ Om, On, đặt tên hai góc kề bù ví dụ: góc xOy và góc yOz. - Yêu cầu học sinh nhắc lại: Thế nào là hai góc kề bù? Thế nào là tia phân giác của một góc? - Yêu cầu học sinh vẽ hai góc kề bù là góc xOy và góc yOz. - Sau đó yêu cầu học sinh vẽ tia Om, On lần lượt là tia phân giác của góc xOy và góc yOz. - Yêu cầu học sinh viết GT, KL ngắn gọn bằng kí hiệu. � xOy và � kề bù yOz GT � Om là tia phân giác của xOy yOz On là tia phân giác của � KL � mOn  900 2.4. Tìm cách giải: Trường THCS Nguyễn Du 9 GV: Nguyễn Thị Mỹ Linh Giải pháp hữu ích Với vai trò quan trọng của bài toán hình học, với quan điểm dạy học nhằm phát huy tính tích cực và độc lập nhận thức của học sinh, rõ ràng rằng dạy học sinh giải toán hình học không phải chỉ cung cấp lời giải cho học sinh và tìm mọi cách làm cho học sinh hiểu và nhớ những lời giải mẫu đó. Mà nhiệm vụ chính của giáo viên khi dạy học sinh giải toán hình học là tổ chức những hành động trí tuệ bên trong đầu óc của học sinh để tự các em khám phá ra lời giải: hướng dẫn, gợi ý, nêu vấn đề kích thích học sinh biết suy nghĩ đúng hướng trước bài toán hình học cụ thể, biết vận dụng một cách hợp lý nhất những tri thức hình học của mình để độc lập tìm tòi được mối liên hệ giữa giả thiết và kết luận của bài toán và từ đó tìm được cách giải. Để giúp học sinh hình thành và bước đầu rèn luyện được kỹ năng tìm tòi lời giải cho bài toán chứng minh hình học, tôi đã hướng dẫn cho học sinh một số phương pháp sau: 2.4.1. Khai thác giả thiết của bài toán để đi đến chứng minh: Khai thác giả thiết của bài toán là tìm được những điều tiềm ẩn của dữ kiện bài toán, muốn như vậy học sinh phải khai thác giả thiết bài toán dưới các dạng: Nếu có M là trung điểm của AB Ta sẽ có Lí do 1) MA + MB = AB MA = MB 2) MA = MB = Định nghĩa Tính chất 1 AB 2 � � � Ot là tia phân giác của 1) xOt  tOy  xOy góc xOy Định nghĩa � � xOt  tOy Tính chất 1� � � 2) xOt  tOy  xOy 2  �  B ; A  B (so le trong) A1 � �2 �4 3  �  B ; �  B ; �  B ; A  B (đồng vị) A1 � A2 �2 A3 � �4 �4 1 3  a//b �  B  1800 ; A  B  1800 (trong cùng � � A1 �4 2 3 Tính chất phía) � � xOy đối đỉnh với x ' Oy ' � � xOy = x ' Oy ' D là đường trung trực d  AB tại M của đoạn thẳng AB Trường THCS Nguyễn Du 10 Tính chất Định nghĩa GV: Nguyễn Thị Mỹ Linh Giải pháp hữu ích MA = MB = 1 AB 2 a c b c a // b Tính chất a // b c a c b Tính chất ABC ; �  900 A  � � B  C  900 Tính chất  BC 2  AB 2  AC 2 Định lí Pitago Chú ý học sinh các đường trong tam giác như đường cao, đường trung tuyến, đường trung trực, đường phân giác trong tam giác. Các tam giác đặc biệt như tam giác cân, đều, vuông. Khai thác triệt để giả thiết để phát hiện những quan hệ mới - Giả thiết của bài toán là các vật liệu cần thiết để chúng ta chứng minh thành công bài toán đó. - Giả thiết đề cập đến hình nào thì chúng ta cần khai thác các tính chất của hình đó, đặc biệt là những tính chất có liên quan đến các dữ kiện trong bài. - Càng phát hiện được nhiều quan hệ mới từ giả thiết chúng ta càng có nhiều vật liệu để giải bài toán. - Muốn vậy GV ngoài việc cần trang bị cho HS một hệ thống kiến thức cơ bản, cần phải luôn đặt ra cho HS các câu hỏi khi đứng trước giả thiết của mỗi bài toán, như: bài toán cho điều này ta có thể suy ra điều gì? nó có liên quan gì với kết luận không? Từ đó tìm cách để nối với kết luận. Ví dụ: - Cho 2 tia đối nhau OA; OB  O nằm giữa A và B. - Trên tia Ox, OA = m; OB = n; m < n  A nằm giữa O và B. - Tia Oy cắt đoạn thẳng AB tại điểm nằm giữa A và B  Oy nằm giữa OA và OB. � � - Tia Oy, Oz cùng thuộc nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox và xOy  xOz  Tia Oy nằm giữa 2 tia Ox, Oz. - Nếu cho 2 điểm cách đều 1 đoạn thẳng thì nghĩ đến đường trung trực. - Nếu cho nhiều trung điểm của các đoạn thẳng thì chủ động đi tìm đường trung bình của tam giác. Trường THCS Nguyễn Du 11 GV: Nguyễn Thị Mỹ Linh Giải pháp hữu ích - Cho nhiều đường thẳng vuông góc tìm các góc có cạnh tương ứng vuông góc. - Nếu cho nhiều cặp góc bằng nhau thì tìm các đường thẳng song song, các tam giác bằng nhau. - Tìm các tam giác đặc biệt như tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông, vận dụng cac tính chất của chúng để suy ra dữ kiện mới phục vụ cho chứng minh. 2.4.2. Phân tích kết luận để định hướng chứng minh - Với mỗi bài toán chứng minh hình học cụ thể có nhiều phương án để đi đến kết luận, song không phải phương án nào cũng khả thi. - Phân tích kết luận để định hướng chứng minh giúp ta chọn được những phương án có nhiều khả năng đi đến đích nhất. - Muốn vậy GV phải luôn đặt ra cho HS câu hỏi trước mỗi kết luận của bài toán, như: Để chứng minh điều này ta phải chứng minh điều gì? câu hỏi này đặt ra liên tục cho đến khi ta nối được với giả thiết đã được khai thác ở trên. 2.4.3. Sử dụng hết các dữ kiện của bài toán và kết quả của các câu phía trước - Trong quá trình tìm cách giải bài toán cần chú ý sử dụng hết mọi dữ kiện của bài toán. Nếu còn một dữ kiện nào đó chưa sử dụng đến, hãy tìm cách sử nó. - Nếu bài toán gồm nhiều bài toán nhỏ (nhiều câu) thì phải chú ý đến kết quả của câu trên khi tìm cách chứng minh câu dưới, vì thông thường thì kết quả câu trên là gợi ý và là đường dẫn cho những câu sau. 2.4.4. Đổi hướng chứng minh khi đi vào ngõ cụt - Khi đi theo một hướng chứng minh nào đó mà gặp bế tắc, chúng ta hãy nghĩ đến một hướng chứng minh khác và tạm thời quên đi một số bước tư duy của hướng chứng minh ban đầu mà phải tìm một con đường khác. - Muốn vậy chúng ta cần trở lại chỗ xuất phát ban đầu và bình tĩnh tìm lối ra theo hướng mới. 2.4.5. Đưa lạ về quen - Thao tác đưa lạ về quen là một thao tác tư duy cơ bản trong giải toán, riêng với bài toán chứng minh hình học thao tác này có vai trò vô cùng quan trọng. - Nên khi gặp một bài toán lạ ta hãy cố gắng chia nhỏ bài toán ra thành những bài toán nhỏ quen thuộc (bài toán quen thuộc là những tính chất, những định lý, hệ quả đã được chứng minh hoặc công nhận, hay những bài toán mà chúng ta đã giải hoặc biết cách giải chúng). - Khi giải toán chúng ta sẽ gặp những dấu hiệu quen thuộc, từ những dấu hiệu đó hãy cố gắng liên hệ với những bài toán đã giải, những định lý, tính chất đã được Trường THCS Nguyễn Du 12 GV: Nguyễn Thị Mỹ Linh Giải pháp hữu ích chứng minh hoặc ta đã biết cách giải, và hãy sử dụng những kết quả quen thuộc đã biết đó để giải bài toán mới này. Muốn vậy ngoài việc HS được trang bị cho mình những kiến thức nền tảng vững chắc HS cần phải được làm nhiều các dạng toán chứng minh và tập cho mình một khả năng phân tích, tổng hợp, để có thể “đưa lạ về quen”. 2.4.6. Lựa chọn hệ thống bài tập: Để tập cho học sinh chứng minh hình học cần phải lựa chọn hệ thống các bài tập thích hợp từ bài tập củng cố lí thuyết nâng dần lên từ dễ đến khó và sau đó cho học sinh làm các bài toán có tính chất tổng hợp nhiều kiến thức. A � Ví dụ 1: Các tam giác ABC và tam giác DEF có �  D để chứng minh chúng bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh cần chứng minh thêm các điều kiện gì? Đây là ví dụ giúp học sinh củng cố dấu hiệu chứng minh 2 tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh.  Học sinh nêu lại định lí trường hợp cạnh – góc – cạnh xác định vị trí của góc. Từ đó học sinh tìm thêm yếu tố cần chứng minh. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông ở A, trung tuyến BM. Trên tia đối của tia MB lấy E sao cho ME = MB. Chứng minh EC  AC. - Gợi cho học sinh nhớ khái niệm 2 đường thẳng vuông góc. � - Để chứng minh EC  AC, cần chứng minh điều gì? ( ECA  900 ). � - Cách chứng minh ECA  900 gợi mở, khai thác giả thiết bài toán để học sinh đưa về chứng minh 2 tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh. - Học sinh hình thành sơ đồ chứng minh: ABM  CEM  � ECM  900  EC  AC Giáo viên yêu cầu học sinh trình bày chứng minh. Như vậy từ chỗ cho học sinh nhận biết dấu hiệu chúng ta đã nâng dần tập cho học sinh tìm các điều kiện để chứng minh hai tam giác bằng nhau. Qua bài chứng minh giáo viên giúp cho học sinh nhận thấy ý nghĩa của việc chứng minh 2 tam giác bằng nhau để suy ra các yếu tố còn lại về cạnh về góc của 2 tam giác cũng bằng nhau từ đó định hướng cho học sinh cách chứng minh cặp cạnh, cặp góc bằng nhau. Trường THCS Nguyễn Du 13 GV: Nguyễn Thị Mỹ Linh Giải pháp hữu ích � A3 Ví dụ: Cho hình vẽ bên, �  700 ; B1  700 Chứng minh a // b. Ví dụ: Cho hình vẽ bên: a) Vẽ Cz là tia phân giác của góc ACB. b) Chứng minh Ax // By. A1 Ví dụ: Cho hình vẽ . Biết a // b và �  650 . A a 2 1 � � a) Tính B1 , B2 b) So s¸nh ¢1 vµ b 3 4 B 2 1 4 3 Ví dụ: Cho hình vẽ bên: a) Vì sao a//b ? � � A A b) Tính số đo của B1 ; B4 ; �; �4 1 Ví dụ: Cho hình vẽ bên, biết a//b. Hãy tính số đo x của góc O ? Sau mỗi bài chứng minh giáo viên cần tập cho học sinh chốt các bước chủ yếu bằng sơ đồ. Việc cho học sinh nắm sơ đồ các bước chứng minh giúp học sinh dễ hình thành và trình bày chứng minh một cách dễ nhớ, tránh tình trạng học vẹt và học sinh có thể sử dụng sơ đồ để chứng minh lại bài toán. 2.4.7. Kẻ thêm dường phụ Đối với bài tập khó nhiều lúc phải giúp học sinh kẻ thêm đường phụ để đem điều kiện đã cho của bài toán vào những hình có liên quan đến việc chứng minh tập hợp chúng vào một nơi làm cho chúng liên hệ với nhau. Trường THCS Nguyễn Du 14 GV: Nguyễn Thị Mỹ Linh Giải pháp hữu ích * Những điểm cần lưu ý khi vẽ đường phụ: - Vẽ đường phụ phải có mục đích, không vẽ tuỳ tiện. Phải nắm thật vững đề bài, định hướng chứng minh từ đó mà tìm xem cần vẽ đường phụ nào phục vụ cho mục đích chứng minh của mình. - Vẽ đường phụ phải chính xác và tuân theo đúng các phép dựng hình cơ bản. - Với một bài toán nhưng vẽ đường phụ khác nhau thì cách chứng minh cũng khác nhau. * Một số loại đường phụ thường vẽ như sau: - Kéo dài một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước hay đặt một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước. - Vẽ thêm một đường thẳng song song với đoạn thẳng cho trước từ một điểm cho trước. - Từ một điểm cho trước vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước - Nối 2 điểm cho trước hoặc xác định trung điểm của một đoạn thẳng cho trước. - Dựng đường phân giác của một góc cho trước. - Dựng một góc bằng một góc cho trước hay bằng nửa góc cho trước -Vẽ tiếp tuyến với một đường tròn cho trước từ một điểm cho trước. - Vẽ tiếp tuyến chung, dây chung hoặc đường nối tâm khi có hai đường tròn giao nhau hay tiếp xúc ngoài với nhau. Ví dụ 1: Chứng minh định lí ( Tổng 3 góc trong một tam giác bằng 1800 ) Gợi ý để học sinh suy nghĩ: Có góc nào có số đo bằng 180 không?  Làm thế nào để so sánh tổng số đo 3 góc trong tam giác với số đo của góc bẹt.  Dồn 3 góc về một đỉnh + Tạo 1 góc bằng góc A ở đỉnh C ( Học sinh thực hành phần chứng minh tổng 2 góc trong một tam giác). + Tạo một góc bằng góc B ở đỉnh C. Gợi cho học sinh vị trí của góc B với góc tạo tại đỉnh C  Cách vẽ thêm đường phụ. Giáo viên chốt lại: Để chứng minh �  B  C  1800 cần phải kẻ một đường thẳng đi A � � qua một đỉnh của tam giác và song song với một cạnh đối diện với đỉnh đó. Hoặc tạo nên đoạn thẳng thứ ba ( hoặc góc thứ ba ) làm cho hai đoạn thẳng (hoặc hai góc) cần chứng minh có liên hệ với nhau. � Ví dụ 2: Cho AB // DE; BAC  1400 ; �  1100 . Tính góc CDE. ACD Gợi ý để học sinh suy nghĩ: góc CDE có mối liên hệ với góc nào tại đỉnh C không? (Nhắc lại các dấu hiệu 2 đường thẳng song song). Trường THCS Nguyễn Du 15 GV: Nguyễn Thị Mỹ Linh Giải pháp hữu ích  Tạo một góc tại đỉnh C bù với góc CDE.  Kẻ thêm đường phụ CC’ // AB. Ví dụ 3: Trên hình vẽ bên có AB // CD, AD // BC. Hãy chứng minh: AB = CD, AD = BC. * Hướng suy nghĩ: GV: Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau ta thường dựa vào đâu? HS: Ta thường dựa vào việc chứng minh hai tam giác bằng nhau có chứa các đoạn đó làm cạnh. GV: Ở đây không có tam giác, vậy ta phải làm thế nào? HS: Nối A với C hoặc B với D. AB  CD; AC  BD  ACD  DBA 2.4.8. Phương pháp chứng minh phản chứng - Với nhiều tính chất và bài toán ta không chứng minh trực tiếp được hoặc khó chứng minh thì cần chứng minh gián tiếp. - Để chứng minh A kéo theo B, trong nhiều trường hợp ta gặp khó khăn khi tìm đường nối từ A đến B. Trong quy tắc suy luận ta có: B là đúng tương đương với phủ định của B là sai. - Do đó thay cho việc chứng minh B đúng, ta có thể chứng minh phủ định của B là sai (bằng cách giả sử phủ định của B là đúng và dẫn đến mâu thuẩn hoặc điều vô lý). Cách chứng minh trên gọi là chứng minh bằng phản chứng. - Ba bước của bài chứng minh phản chứng như sau: Bước 1- Phủ định kết luận: Nêu lên các trường hợp trái với kết luận của bài toán; Bước 2 - Đưa đến mâu thuẫn: Chứng tỏ các trường hợp trê đều dẫn đến mâu thuẫn (mâu thuẫn với giả thiết hoặc mâu thuẫn với các kiến thức đã học); Bước 3 - Khẳng định kết luận: Vậy kết luận của bài toán là đúng. Việc sử dụng phương pháp phản chứng đã thêm một lựa chọn rất tốt cho giải quyết một số bài toán chứng minh hình học. Đặc biệt có những bài toán mà ngoài con đường chứng minh bằng phản chứng chúng ta không còn con đường nào khác. Tập cho học sinh chứng minh phản chứng bằng các cách sau: * Cho mặt trái của định lí thuận là đúng rồi chứng minh nó mâu thuẫn với giả thiết của định lí thuận. Ví dụ: Qua mỗi đỉnh của tam giác kẻ đường thẳng song song với cạnh đối diện với nó. Chứng minh rằng 3 giao điểm là 3 đỉnh của một tam giác. Trường THCS Nguyễn Du 16 GV: Nguyễn Thị Mỹ Linh Giải pháp hữu ích Muốn chúng minh 3 giao điểm là 3 đỉnh của một tam giác không dựa được vào định lí nào cả nên không trực tiếp chứng minh được mà phải dùng phương pháp phản chứng. Sau khi cho học sinh vẽ hình ghi giả thiết, kết luận. Giáo viên hướng dẫn học sinh chứng minh: Giữ nguyên phần giả thiết và chứng minh A’, B’, C’ thẳng hàng. Chứng minh Lý do Giả sử A’, B’, C’ thẳng hàng thì C’  A’B’ A’, B’, C’ không là 3 đỉnh tam giác vì 3 điểm thẳng hàng nằm trên một đường thẳng Do đó A’B’ trùng với A’C’ Mà b // A’C’ b // AC AC // A’C’  A’B’ và A’C’ không có điểm chung Định nghĩa 2 đường thẳng song song Trái với A’C’ cắt A’B’ tại C’ Mâu thuẫn giả thiết  giả sử sai Vậy A’B’C’ là 3 đỉnh của tam giác. Sơ đồ: Gia� � B', C' tha� ha� s�A', ng ng  A'B' va� kho� co�ie� chung A'C' ng � m  Ma�thua�v� gia� t u n � thie� i  A', B', C' la� �nh cu�mo� gia� ba � a t tam c Hoặc khi kết luận của định lí thuận có nhiều mặt trái ( ngược lại ) ta phải chứng minh các mặt trái đó đều không đúng thì kết luận định lí thuận đó nhất định phải đúng. Ví dụ: Trong số đường vuông góc và những đường xiên hạ từ một điểm đến một đường thẳng. Chứng minh rằng: Trường THCS Nguyễn Du 17 GV: Nguyễn Thị Mỹ Linh Giải pháp hữu ích Nếu hai đường xiên bằng nhau thì các hình chiếu của chúng cũng bằng nhau. Giáo viên cho học sinh nắm nội dung bài, vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận. Tổ chức cho học sinh giải bài theo hướng chứng minh 2 tam giác ABH và ACH bằng nhau. Sau đó cho học sinh tìm cách chứng minh bằng phản chứng AH  BC; AB = AC giữ nguyên giả thiết chứng minh HB = HC. Giả sử HB  HC thì AB  AC vì HB  HC có thể xảy ra các trường hợp HB > HC hoặc HB < HC. Chứng minh Lí do 1/ Giả sử HB > HC HB  HC có thể HB > HC 2/Thì AB > AC Quan hệ đường xiên và hình chiếu Mâu thuẫn AB = AC BH  HC có thể HB < HC 3/ Giả sử HB < HC Thì AB < AC Thì AB < AC Quan hệ đường xiên và hình chiếu Mâu thuẫn với giả thiết AB = AC. 4/Vậy HB = HC Sơ đồ: Giả sử HB  HC  AB  AC  Mâu thuẫn giả thiết  HB = HC Sau đó cho học sinh làm bài tập củng cố tiếp câu b. Thông qua các định lí ( bài toán ) hình thành cho học sinh cách chứng minh bằng phản chứng vì đây là vấn đề khó đối với học sinh nên trước mỗi phép chứng minh bằng phản chứng cần nêu rõ ý của chứng minh, vạch rõ điều mà ta giả sử là sai. Từ đó suy ra điều gì? Đối với một số định lí ( bài toán ) quy về chứng minh phản đảo của mệnh đề đã cho. Qua mỗi bài chứng minh mình tập cho học sinh liên kết các bước chứng minh bằng sơ đồ. Trong quá trình tập dượt rèn kỹ năng chứng minh hình học cho học sinh phải thường xuyên khuyến khích học sinh tìm tòi các cách chứng minh khác. Từ đó tạo cho Trường THCS Nguyễn Du 18 GV: Nguyễn Thị Mỹ Linh Giải pháp hữu ích học sinh sự tự tin, tính sáng tạo. Trên cơ sở các em tự khai thác từ những kiến thức cũ để đi tìm cái mới. Học sinh chủ động giải quyết vấn đề, qua đó học sinh tự mình phát hiện vấn đề, tự định hướng giải quyết vấn đề, không ỷ nại vào sự gợi ý của giáo viên. Từ đó giúp học sinh giải quyết tốt các bài kiểm tra. Đồng thời học sinh được củng cố, hệ thống và ôn tập kiến thức một cách thường xuyên qua từng tiết học trên lớp. Giúp học sinh nhớ lâu và vận dụng tốt các kiến thức đã được học. Học sinh được rèn kĩ năng quan sát, vẽ hình, biết phân tích hình đã cho những phần nhỏ để tìm tòi những dữ liệu tiềm ẩn. Học sinh được rèn các phương pháp chứng minh hình học và rèn khả năng suy luận. 2.5. Trình bày bài làm: Khi học sinh tìm ra lời giải bằng phương pháp phân tích ( từ kết luận đi đến giả thiết) thì lúc trình bày lời giải theo phương pháp tổng hợp ( từ giả thiết đến kết luận). Ngoài ra trong quá trình hướng dẫn HS tìm cách chứng minh, GV cần cho HS nhắc lại các kiến thức cũ có liên quan, nhằm củng cố khắc sâu kiến thức. 3. BÀI HỌC KINH NGHIỆM Qua các năm trực tiếp giảng dạy môn toán lớp 7, bản thân tôi nhận thấy nếu học sinh nắm chắc được các kiến thức, có kỹ năng chứng minh thành thạo các bài toán hình học ở lớp 7 thì lên các khối lớp tiếp theo các em sẽ học tập bộ môn Toán tốt hơn, hứng thú và yêu thích bộ môn hơn. Chính vì vậy, việc quan tâm đến rèn kỹ năng chứng minh hình học cho học sinh là vô cùng cần thiết. Từ chỗ các em bỡ ngỡ, mơ hồ trong giải toán hình học đến nay các em đã biết vẽ hình chính xác, biết suy luận và lập luận có căn cứ, biết trình bày lời giải logic, chặt chẽ. Bên cạnh đó, ngoài việc trú trọng lựa chọn hệ thống bài tập theo yêu cầu dạy học đề ra thì có thể không ngừng nâng cao hiệu quả giáo dục, tạo niềm say mê học toán cho học sinh. 4. KẾT LUẬN Qua những vấn đề vừa được trình bày ở trên, bản thân giáo viên cũng rút ra được một số kinh nghiệm. Nếu giáo viên định hướng và giúp các em tìm được con đường để giải quyết các bài chứng minh hình và được vận dụng thường xuyên, đã phần nào xóa bỏ được cảm giác sợ học hình, các em có hứng thú tìm tòi và thích học bộ môn hình hơn. Kết quả học tập của các em cũng sẽ tiến bộ rõ rệt. Để làm được điều này bản thân giáo viên phải nghiên cứu kĩ từng bài nắm được hệ thống các kiến thức lý thuyết và những kiến thức liên quan trong chương trình cấp 2. Ngoài ra giáo viên phải chuẩn bị một hệ Trường THCS Nguyễn Du 19 GV: Nguyễn Thị Mỹ Linh Giải pháp hữu ích thống bài tập từ củng cố đến nâng cao và tổng hợp kiến thức. Phải phân loại và tìm ra những đặc điểm chung, những đặc điểm riêng, những quy luật, sắp xếp cho học sinh được rèn luyện một cách thường xuyên, hợp lý với từng dạng bài. Trên đây là những suy nghĩ xuất phát từ kinh nghiệm giảng dạy lớp 7 trong những năm qua, chắc chắn còn có nhiều thiếu sót. Bản thân tôi cũng mạnh dạn đưa ra suy nghĩ của mình rất mong được sự giúp đỡ góp ý tận tình của các bậc đàn anh, đàn chị và các bạn đồng nghiệp.  Người viết đề tài Nguyễn Thị Mỹ Linh DUYỆT CỦA TỔ CHUYÊN MÔN ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ...................................................................... .............................................................. DUYỆT CỦA BAN GIÁM HIỆU ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ...................................................................... NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ CỦA BAN GIÁM KHẢO ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ Trường THCS Nguyễn Du 20 GV: Nguyễn Thị Mỹ Linh