Tài liệu Phương trình và hệ phương trình đại số

ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRỊNH THỊ HIỀN PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI - NĂM 2015 ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRỊNH THỊ HIỀN PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. VŨ ĐỖ LONG HÀ NỘI - NĂM 2015 Mục lục MỞ ĐẦU 4 1 Đại cương về phương trình hữu tỉ 7 1.1 Tính đơn điệu của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2 Tính chất của hàm khả vi và ứng dụng . . . . . . . . . . . 7 Phương pháp giải phương trình bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1 Phương pháp phân tích nhân tử . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2 1.3 7 1.1.1 1.2 Kiến thức bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phương pháp Cardano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Phương trình bậc cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1 Phương trình đối xứng bậc n . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.2 Một số bài toán bậc cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Phương pháp giải phương trình vô tỉ 2.1 14 Phương pháp biến đổi tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.1 2.1.2 Phương pháp phân tích thành nhân tử . . . . . . . . . . . 19 2.1.3 2.2 Phương pháp nâng lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Phương pháp nhân liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Phương pháp đặt ẩn phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.1 Một số cách đặt ẩn phụ cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2.2 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình tích . . . . . . . . . . . . 41 2.2.3 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình đẳng cấp . . . . . . . . . 45 2.2.4 Đặt ẩn phụ không hoàn toàn . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.2.5 Đặt ẩn phụ đưa về hệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 i 2.3 Phương pháp đánh giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.3.1 Phương pháp dùng hằng đẳng thức . . . . . . . . . . . . . 58 2.3.2 Phương pháp dùng bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . 59 2.4 Phương pháp hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.5 Phương pháp lượng giác hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3 Phương trình có chứa tham số 70 3.1 Phương pháp sử dụng đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.2 Phương pháp dùng điều kiện cần và đủ . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.2.1 Sử dụng tính đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.2.2 Sử dụng đặc điểm thuận lợi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4 Hệ phương trình đại số 4.1 79 Các loại hệ phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.1.1 4.1.2 Hệ phương trình đối xứng loại II . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.1.3 4.2 Hệ phương trình đối xứng loại I . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Hệ phương trình đẳng cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Một số phương pháp giải hệ phương trình khác . . . . . . . . . . . 83 4.2.1 Phương pháp đặt ẩn phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.2.2 Phương pháp hệ số bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.2.3 Phương pháp biến đổi đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.2.4 Phương pháp dùng tính đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.2.5 Phương pháp dùng bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . 101 KẾT LUẬN 105 Tài liệu tham khảo 106 3 MỞ ĐẦU Phương trình và hệ phương trình là một trong những phân môn quan trọng nhất của Đại số vì có những ứng dụng lớn trong các ngành khoa học và là loại toán thường gặp trong các dạng toán sơ cấp. Ngay từ đầu, sự ra đời và phát triển của phương trình và hệ phương trình đại số đã đặt dấu ấn quan trọng, chúng có sức hút mạnh mẽ đối với người yêu toán, không chỉ ở vẻ đẹp hình thức mà cả những bí ẩn nó mang đến luôn thôi thúc người làm toán phải tìm tòi, sáng tạo. Ngày nay, phương trình và hệ phương trình đại số vẫn luôn chiếm một vai trò quan trọng và vẫn thường xuyên xuất hiện trong các kì thi Quốc gia, Quốc tế, Olympic. Là một giáo viên THPT, tôi muốn nghiên cứu sâu hơn về phương trình và hệ phương trình nhằm nâng cao chuyên môn phục vụ cho quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi, vậy nên tôi đã chọn đề tài làm luận văn thạc sĩ của mình là: "Phương trình và hệ phương trình đại số." Mục đích của luận văn này là hệ thống hóa các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình đại số, giúp nhận dạng các bài toán, đề xuất các phương pháp giải và chọn phương án tối ưu. Bản luận văn được chia làm 4 chương: Chương 1: Đại cương về phương trình hữu tỉ Trình bày các kiến thức chuẩn bị gồm một số cách giải phương trình bậc ba, một vài bài tập phương trình bậc cao và một số tính chất của hàm số. Chương 2: Phương pháp giải phương trình vô tỉ 4 Chương này trình bày các phương pháp thường gặp trong phạm vi chương trình phổ thông. Ở mỗi phương pháp, tác giả cố gắng tổng quát hóa các dạng bài tập mà có thể sử dụng phương pháp này, có kèm theo nhận xét, tổng quát hóa dạng toán đồng thời cho một số ví dụ minh họa cùng với một số bài toán tham khảo. Chương 3: Phương trình có tham số Đề cập đến các phương pháp giải và biện luận bài toán có tham số, cũng như một số bài toán thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi. Chương 4: Hệ phương trình đại số Nhắc lại các hệ phương trình cơ bản và nêu một số phương pháp giải hệ phương trình dạng khác. Mặc dù có nhiều cố gắng, xong do nhiều yếu tố khách quan và chủ quan, nên trong quá trình chọn lọc tư liệu và trình bày nội dung khó tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tôi rất mong nhận được những ý kiến chỉ bảo của thầy cô, sự góp ý chân thành của các bạn học viên để luận văn được hoàn thiện hơn. 5 Lời cảm ơn Tôi xin được bày tỏ lòng kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS Vũ Đỗ Long, người thầy đã tận tình giảng dạy, truyền thụ những kiến thức bổ ích và tạo điều kiện để tôi hoàn thành luận văn này. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình tôi thực hiện đề tài. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô Khoa Toán - Cơ - Tin học, Phòng sau đại học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội; các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2013 -2015; Ban giám hiệu và các đồng nghiệp trường THPT Hồng Thái, Đan Phượng, Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn của mình. Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình đã luôn động viên tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Hà Nội, tháng 8 năm 2015 Học viên Trịnh Thị Hiền 6 Chương 1 Đại cương về phương trình hữu tỉ 1.1 1.1.1 Kiến thức bổ trợ Tính đơn điệu của hàm số Định nghĩa 1.1. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên (a; b) và f (x) = 0 chỉ với một số hữu hạn điểm. Khi đó • f là hàm số tăng trên (a; b) ⇔ f (x) ≥ 0, ∀x ∈ (a; b) • f là hàm số giảm trên (a; b) ⇔ f (x) ≤ 0, ∀x ∈ (a; b) Hệ quả 1.1. Nếu hàm số y = f (x) đơn điệu trên (a; b) thì phương trình f (x) = 0 có tối đa một nghiệm. 1.1.2 Tính chất của hàm khả vi và ứng dụng Định lý Roll. Giả sử hàm f : [a; b] → R thỏa mãn + f liên tục trên [a; b]. + f khả vi trong khoảng (a; b) + f (a) = f (b) Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f (c) = 0. Hệ quả 1.2. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm đến cấp n và phương trình f (n) (x) = 0 có m nghiệm trong khoảng (a; b), khi đó phương trình f (n−1) (x) = 0 có nhiều nhất là (m + 1) nghiệm trong [a; b]. Định lý Lagrange. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b] và f (x) tồn tại trên (a; b) thì luôn ∃c ∈ (a; b) sao cho: f (c) = 7 f (b) − f (a) b−a 1.2 1.2.1 Phương pháp giải phương trình bậc ba Phương pháp phân tích nhân tử Xét phương trình bậc ba ax3 + bx2 + cx + d = 0 (1.1) Giả sử phương trình (1.1) có nghiệm là x = r. Khi đó (1.1) ⇔ (x − r) ax2 + (b + ar) x + c + br + ar2 = 0 Từ đó ta đưa về giải phương trình bậc hai, có nghiệm là x= 1.2.2 √ −b − ra ± b2 − 4ac − 2abr − 3a2 r2 2a Phương pháp Cardano Xét phương trình bậc ba x3 + ax2 + bx + c = 0 Bằng cách đặt x = y − (1.2) b , phương trình (1.2) luôn biến đổi được về dạng chính 3a tắc y 3 + py + q = 0 a2 2a3 − 9ab ,q = c + 3 27 Ta chỉ xét p, q = 0 vì p = 0 hay q = 0 thì đưa về trường hợp đơn giản. Trong đó p = b − Đặt y = u + v thay vào (1.3), ta được (u + v)3 + p (u + v) + q = 0 ⇔ u3 + v 3 + (3uv + p) (u + v) + q = 0 (∗) Chọn u, v sao cho: 3uv + p = 0 (∗∗) Từ (∗) và (∗∗) ta có hệ phương trình u3 + v 3 = −q p3 u3 v 3 = − 27 8 (1.3) Theo định lý Vi-et, u3 , v 3 là hai nghiệm của phương trình p3 X + qX − =0 27 2 (1.4) q 2 p3 + 4 27 * Khi ∆ > 0, (1.4) có nghiệm Đặt ∆ = q √ u3 = − + ∆ 2 q √ v3 = − − ∆ 2 Như vậy, phương trình (1.3) sẽ có nghiệm thực duy nhất y= 3 q √ − + ∆+ 2 3 * Khi ∆ = 0,(1.4) có nghiệm kép u = v = − 3 q √ − − ∆ 2 q 2 Khi đó, phương trình (1.3)có hai nghiệm thực, trong đó có một nghiệm kép q y1 = 2 3 − , y2 = y3 = 2 3 q 2 * Khi ∆ < 0, (1.4) có nghiệm phức. Gọi u0 3 là một nghiệm phức của (1.4), v0 3 là giá trị tương ứng sao cho u0 v0 = − p 3 Khi đó, phương trình (1.3) có ba nghiệm phân biệt. y1 = u0 + v0 √ 1 3 y2 = − (u0 + v0 ) + i (u0 − v0 ) 2 2 √ 1 3 y3 = − (u0 + v0 ) − i (u0 − v0 ) 2 2 Ví dụ 1.1. Giải phương trình: x3 + x2 + x = − 1 3 Giải Phương trình không có nghiệm hữu tỉ nên không thể phân tích nhân tử. Trước khi nghĩ tới công thức Cardano, ta thử quy đồng phương trình 3x3 + 3x2 + 3x + 1 = 0 9 Tài liệu tham khảo [1] Hồ Văn Diên - Mai Văn Chinh,Chinh phục phương trình, bất phương trình đại số, Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội [2] Hoàng Kỳ (2001), Căn số và toán vô tỉ, Nhà xuất bản Giáo dục, Việt Nam. [3] Nguyễn Vũ Lương - Phạm Văn Hùng - Nguyễn Ngọc Thắng, (2000),Hệ phương trình và phương trình vô tỉ thức, NXB ĐHQG Hà Nội. [4] Nguyễn Văn Mậu (2003), Phương pháp giải phương trình và bất phương trình, Nhà xuất bản Giáo dục, Việt Nam. [5] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Văn Tiến (2009), Một số chuyên đề Đại số bồi dưỡng học sinh giỏi THPT, Nhà xuất bản Giáo dục, Việt Nam. [6] Tạp chí toán học và tuổi trẻ (2004), Tuyển tập 30 năm tạp chí toán học và tuổi trẻ, Nhà xuất bản Giáo dục, Việt Nam. [7] Tổng tập đề thi Olympic 30 tháng 4 lớp 10, (2012), Nhà xuất bản ĐH Sư phạm Hà Nội. 106