Tài liệu Phương trình sai phân cấp một và một số vấn đề liên quan

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM – ĐHĐN KHOA TOÁN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Tên đề tài: PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN CẤP MỘT VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN GVHD : TS. LÊ HẢI TRUNG SVTH : Nguyễn Thị Thu Thủy MSSV : 3110118039 Lớp : 18ST Đà Nẵng, tháng 1 năm 2022 GVHD: TS. Lê Hải Trung LỜI CẢM ƠN Bài luận văn này của tác giả được hoàn thành dưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS. Lê Hải Trung – Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng. Lời đầu tiên tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS. Lê Hải Trung. Thầy đã dành nhiều thời gian để chỉ bảo, hướng dẫn tác giả với sự nhiệt tình, chu đáo trong suốt quá trình thực hiện để tác giả có thể hoàn thành được luận văn này. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất cả các thầy cô giáo đã tận tình dạy bảo tác giả trong suốt thời gian học tập của khóa học. Đồng thời, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến các bạn sinh viên trong lớp Sư phạm Toán 18ST – Đà Nẵng đã nhiệt tình giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập tại trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng. Tác giả Nguyễn Thị Thu Thủy SV: Nguyễn Thị Thu Thủy GVHD: TS. Lê Hải Trung MỤC LỤC MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1 CHƯƠNG I. SAI PHÂN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN THỰC, CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ........... 5 1.1 Sai phân hữu hạn của hàm số một biến thực .......................................... 5 1.2 Các khái niệm cơ bản của phương trình sai phân ................................... 7 CHƯƠNG II. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN CẤP MỘT ........................ 11 2.1 Phân loại phương trình sai phân cấp một ............................................. 11 2.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một ............................................ 16 CHƯƠNG III. MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN CẤP MỘT ............................................................................... 22 3.1 Điểm cân bằng .................................................................................... 22 3.1.1 Sơ đồ bước cầu thang .................................................................... 27 3.1.2 Mô hình quần thể đơn loài............................................................. 27 3.1.3 Mô hình mạng nhện cân bằng cung cầu trong lĩnh vực kinh tế ...... 29 3.2 Tổng hữu hạn chuỗi ............................................................................. 32 3.3 Lãi suất đơn, lãi suất kép và trả góp ..................................................... 34 KẾT LUẬN ................................................................................................. 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................... 40 SV: Nguyễn Thị Thu Thủy GVHD: TS. Lê Hải Trung MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Trong cuộc sống, có rất nhiều hiện tượng khoa học kỹ thuật trong thực tiễn mà việc tìm hiểu nó dẫn đến bài toán giải phương trình sai phân. Phương trình sai phân còn là một công cụ giúp giải các bài toán vi phân, đạo hàm và các phương trình đại số cấp cao. Sự ra đời của phương trình sai phân cũng xuất phát từ việc xác định mối quan hệ thiết lập bởi một bên là một đại lượng biến thiên liên tục (được biểu diễn bởi hàm, chẳng hạn 𝑦(𝑡)) với bên còn lại là độ biến thiên của đại lượng đó. Đối với các hàm thông thường nghiệm là một giá trị số (số thực, số phức,… ). Còn trong phương trình sai phân mục tiêu là tìm ra công thức của hàm chưa được biết nhằm thỏa mãn mối quan hệ đề ra. Thông thường nó sẽ là một họ các phương trình, sai lệch bằng một hằng số 𝐶 nào đó. Hàm này sẽ được xác định chính xác khi có thêm điều kiện xác định ban đầu hoặc điều kiện biên. Trong các ứng dụng thực tế, không dễ dàng để tìm ra công thức của hàm nghiệm. Với giá trị của thực tiễn khi ấy người ta chỉ quan tâm tới giá trị của hàm tại các giá trị cụ thể của các biến độc lập. Các phương pháp nhằm tìm ra giá trị chính xác của hàm được gọi là phân tích định lượng. Tuy nhiên không phải lúc nào cũng xác định được các giá trị thực, lúc này người ta lại quan tâm đến các giá trị xấp xỉ (có một độ chính xác nhất định) với giá trị thực. Việc tìm các giá trị này được thực hiện thường là bằng phương pháp số với công cụ là máy tính. Phương trình sai phân cấp một là một trong các dạng của phương trình sai phân, có ứng dụng trong mô hình động lực học như điểm cân bằng. Điểm cân bằng được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như: sinh học, kinh tế, vật lý, kĩ thuật… Đó là mong muốn tất cả các trạng thái của một hệ động lực học nhất định có xu hướng đạt trạng thái cân bằng của nó. Ngoài ra, các mô hình toán học liên quan đến phương trình sai phân cấp một còn được ứng dụng rộng rãi trong kinh tế như mô hình quần thể đơn loài, mô hình mạng nhện cân bằng cung SV: Nguyễn Thị Thu Thủy 1 GVHD: TS. Lê Hải Trung cầu trong kinh tế, lãi suất đơn, lãi suất kép, trả góp,... và nhiều vấn đề khác trong xã hội. Những vấn đề trong thực tế thường rất đa dạng và phức tạp. Toán học là một công cụ hết sức hiệu quả giúp cho việc phát biểu, phân tích và giải quyết các vấn đề kinh tế, xã hội một cách chặt chẽ và hợp lí, mang lại nhiều lợi ích thiết thực. Việc biết cách mô tả các vấn đề kinh tế, sinh học, các ngành kĩ thuật, ... dưới dạng mô hình toán học thích hợp, vận dụng phương pháp sai phân cấp một để giải quyết, phân tích và giải thích cũng như kiểm nghiệm các kết quả một cách logic luôn là yêu cầu cấp thiết đối với các nhà nghiên cứu toán, kinh tế. Như vậy, việc nghiên cứu phương trình sai phân cấp một và một số vấn đề liên quan đến nó là một vấn đề thời sự của toán học được nhiều nhà khoa học quan tâm. Với các lí do trên và với sự gợi ý của TS. Lê Hải Trung, tôi quyết định lựa chọn đề tài: “Phương trình sai phân cấp một và một số vấn đề liên quan” cho luận văn của mình. 2. Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu về phương trình sai phân cấp một và một số vấn đề liên quan. Để đạt được mục tiêu trên, đề tài sẽ nghiên cứu những nội dung sau:  Các khái niệm cơ bản của phương trình sai phân.  Phương trình sai phân cấp một.  Một số mô hình liên quan đến phương trình sai phân cấp một.  Các ứng dụng Nội dung của đề tài được chia làm 3 chương:  Chương I. Sai phân hữu hạn của hàm số một biến thực, các khái niệm cơ bản của phương trình sai phân SV: Nguyễn Thị Thu Thủy 2 GVHD: TS. Lê Hải Trung  Chương II. Phương trình sai phân cấp một  Chương III. Các vấn đề liên quan đến phương trình sai phân cấp một 3. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Phương trình sai phân cấp một và một số vấn đề liên quan. 3.2 Phạm vi nghiên cứu Phương trình sai phân cấp một, các mô hình động lực học có liên quan đến phương trình sai phân cấp một một biến như mô hình quần thể đơn loài, mô hình mạng nhện cân bằng cung cầu trong kinh tế. Ngoài ra, tổng hợp chuỗi, lãi suất đơn, lãi suất kép và trả góp cũng được nghiên cứu trong luận văn này. 4. Phương pháp nghiên cứu Thu thập các tài liệu sưu tầm được, các sách vở có liên quan đến đề tài luận văn. Trong luận văn có sử dụng các kiến thức liên quan đến các lĩnh vực sau đây: Giải tích hàm biến thực, Lý thuyết phương trình sai phân, Lý thuyết phương trình vi phân,... 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Đề tài có ý nghĩa về mặt lý thuyết và ứng dụng. Có thể sử dụng luận văn như là tài liệu tham khảo dành cho sinh viên ngành Toán và những đối tượng quan tâm. 6. Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung của luận văn gồm ba chương. Mở đầu Giới thiệu cơ sở khoa học và tính thực tiễn của đề tài, mục đích của đề tài, nội dung và một số vấn đề khác theo quy định. SV: Nguyễn Thị Thu Thủy 3 GVHD: TS. Lê Hải Trung Chương I. Sai phân hữu hạn của hàm số một biến thực, các khái niệm cơ bản của phương trình sai phân Chương I trình bày sai phân hữu hạn của hàm số một biến thực, các khái niệm cơ bản về phương trình sai phân. Chương II. Phương trình sai phân cấp một Chương II trình bày phân loại phương trình sai phân cấp một, phương trình sai phân tuyến tính cấp một. Chương III. Các vấn đề liên quan đến phương trình sai phân cấp một Chương III luận văn giới thiệu về điểm cân bằng trong hệ động lực học, sơ đồ bước cầu thang, mô hình quần thể đơn loài trong sinh học, mô hình mạng nhện cân bằng cung cầu trong kinh tế. Ngoài ra, tổng hợp chuỗi, lãi suất đơn, lãi suất kép và trả góp cũng được khái quát trong chương III. Kết luận Nêu tóm tắt những kết quả mà luận văn đạt được. Tài liệu tham khảo SV: Nguyễn Thị Thu Thủy 4 GVHD: TS. Lê Hải Trung CHƯƠNG I SAI PHÂN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN THỰC, CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 1.1 Sai phân hữu hạn của hàm số một biến thực Xét hàm số một biến thực 𝑦(𝑡) và ℎ > 0. Định nghĩa 1.1. Biểu thức ∆𝑦 (𝑡) = 𝑦(𝑡 + ℎ) − 𝑦(𝑡) (1.1) được gọi là sai phân hữu hạn thứ nhất hay sai phân hữu hạn cấp một của 𝑦(𝑡). Một cách tự nhiên ta sẽ mặc định rằng hàm 𝑦(𝑡) là xác định tại các điểm mà ta tiến hành xem xét. Chú ý rằng trong lý thuyết vi phân thì ℎ chính là số gia của đối số, còn ∆𝑦(𝑡) chính là số gia của hàm số tại điểm 𝑡. Trong tài liệu của chúng ta, số ℎ còn có tên là bước. Sai phân hữu hạn cấp cao được xác định bởi biểu thức: ∆𝑛 𝑦(𝑡) = ∆(∆𝑛−1 𝑦(𝑡)). (1.2) Ví dụ, đối với 𝑛 = 2. Ta có: ∆2 𝑦(𝑡) = ∆(∆𝑦(𝑡 )) = ∆(𝑦(𝑡 + ℎ) − 𝑦 (𝑡)) = ∆𝑦(𝑡 + ℎ) − ∆𝑦(𝑡) = (𝑦(𝑡 + ℎ + ℎ) − 𝑦 (𝑡 + ℎ)) − (𝑦(𝑡 + ℎ) − 𝑦(𝑡)) = 𝑦(𝑡 + 2ℎ) − 2𝑦 (𝑡 + ℎ) + 𝑦 (𝑡). Để tiện lợi và nhất quán về mặt logic ta sẽ kí hiệu ∆0 𝑦(𝑡 ) = 𝑦(𝑡). Bằng phương pháp quy nạp toán học, không khó để chứng minh được sai phân hữu hạn cấp 𝑛 là tuyến tính, tức là: ∆𝑛 (𝑓(𝑡) + 𝑔(𝑡)) = ∆𝑛 (𝑓(𝑡)) + ∆𝑛 (𝑔(𝑡)); ∆𝑛 (𝐶𝑓(𝑡)) = 𝐶∆𝑛 𝑓(𝑡 ). Giá trị ∆𝑛 𝑦(𝑡) dễ dàng được biểu diễn qua các giá trị của hàm 𝑦(𝑡 ) tại các điểm 𝑡, 𝑡 + ℎ, … , 𝑡 + 𝑘ℎ. Ta có được công thức sau đây: n  y (t )   (1) n  k Cnk y (t  kh). n k 0 (1.3) Ta đi chứng minh công thức trên bằng phương pháp quy nạp toán học. SV: Nguyễn Thị Thu Thủy 5 GVHD: TS. Lê Hải Trung Hiển nhiên với 𝑛 = 1 công thức (1.3) có dạng: ∆𝑦(𝑡) = (−1)1−0𝐶10 𝑦(𝑡 + 0. ℎ) + (−1)1−1 𝐶11 𝑦(𝑡 + 1. ℎ) = −𝑦 (𝑡) + 𝑦(𝑡 + ℎ) chính là (1.1). Giả sử (1.3) thỏa mãn khi đối với sai phân hữu hạn cấp 𝑛 − 1. Ta có: 𝑛−1 𝑘 ∆𝑛 𝑦(𝑡) = ∆(∆𝑛−1 𝑦(𝑡 )) = ∆(∑(−1)𝑛−𝑘−1 𝐶𝑛−1 𝑦(𝑡 + 𝑘ℎ) 𝑘=0 𝑛−1 𝑛−1 𝑘 𝑘 = ∑(−1)𝑛−𝑘−1 𝐶𝑛−1 𝑦(𝑡 + (𝑘 + 1)ℎ) − ∑(−1)𝑛−𝑘−1 𝐶𝑛−1 𝑦(𝑡 + 𝑘ℎ). 𝑘=0 𝑘=0 Ở số hạng thứ nhất ta đặt 𝑘 + 1 = 𝑚, khi đó: 𝑛−1 𝑛 𝑘 ∑(−1)𝑛−𝑘−1 𝐶𝑛−1 𝑦(𝑡 𝑘=0 𝑚−1 + (𝑘 + 1)ℎ) = ∑ (−1)𝑛−𝑚 𝐶𝑛−1 𝑦(𝑡 + 𝑚ℎ) 𝑚=1 và lại viết 𝑚 ≔ 𝑘, ta nhận được biểu thức 𝑛 𝑘−1 ( ∑(−1)𝑛−𝑘 𝐶𝑛−1 𝑦 𝑡 + 𝑘ℎ). 𝑘=1 Khi đó: 𝑛 𝑛 ∆ 𝑦(𝑡) = ∑(−1) 𝑛−1 𝑛−𝑘 𝑘−1 𝐶𝑛−1 𝑦(𝑡 𝑘 + 𝑘ℎ) − ∑(−1)𝑛−𝑘−1 𝐶𝑛−1 𝑦(𝑡 + 𝑘ℎ) 𝑘=1 𝑘=0 𝑛−1 𝑘−1 𝑛−1 = ∑(−1)𝑛−𝑘 𝐶𝑛−1 𝑦(𝑡 + 𝑘ℎ) + (−1)0 𝐶𝑛−1 𝑦(𝑡 + 𝑘ℎ) 𝑘=1 𝑛−1 𝑘 + ∑(−1)𝑛−𝑘 𝐶𝑛−1 𝑦(𝑡 + 𝑘ℎ) 𝑘=0 𝑛−1 𝑘−1 ( 𝑛−1 ( = ∑(−1)𝑛−𝑘 𝐶𝑛−1 𝑦 𝑡 + 𝑘ℎ) + 𝐶𝑛−1 𝑦 𝑡 + 𝑛ℎ) + 𝑘=1 𝑛−1 𝑘 0 ∑(−1)𝑛−𝑘 𝐶𝑛−1 𝑦(𝑡 + 𝑘ℎ) + (−1)𝑛 𝐶𝑛−1 𝑦(𝑡 ). 𝑘=1 SV: Nguyễn Thị Thu Thủy 6 GVHD: TS. Lê Hải Trung 𝑘−1 𝑘 0 𝑛−1 Mặc khác ta lại có 𝐶𝑛−1 + 𝐶𝑛−1 = 𝐶𝑛𝑘 và 𝐶𝑛−1 = 𝐶𝑛−1 = 1. Do đó công thức cuối ta viết được dưới dạng: 𝑛−1 ∆𝑛 𝑦(𝑡) = 𝑦(𝑡 + 𝑛ℎ) + ∑(−1)𝑛−𝑘 𝐶𝑛𝑘 𝑦(𝑡 + 𝑘ℎ) + (−1)𝑛 𝑦(𝑡 ) 𝑘=1 n   (1) n  k Cnk y (t  kh). k 0 (1.4) Vậy công thức (1.3) đã được chứng minh. Để ý rằng, nếu như trong công thức (1.3) ta thực hiện phép đổi biến của chỉ số 𝑚 = 𝑛 − 𝑘 và sử dụng công thức 𝐶𝑛𝑘 = 𝐶𝑛𝑛−𝑘 , khi đó ta nhận được: 𝑛 𝑛 ∆ 𝑦(𝑡) = ∑ (−1)𝑚 𝐶𝑛𝑚 𝑦(𝑡 + (𝑛 − 𝑚)ℎ). 𝑚=0 Một cách hoàn toàn tương tự, bằng phương pháp quy nạp toán học, ta cũng chứng minh được công thức: n y (t  nh)   Cnk  k y (t ). k 0 (1.5) 1.2 Các khái niệm cơ bản của phương trình sai phân Định nghĩa 1.2. Phương trình có dạng: 𝐹(𝑡, 𝑦 (𝑡), ∆𝑦(𝑡), ∆𝑛 𝑦(𝑡)) = 0 (1.6) được gọi là phương trình sai phân. Nếu trong (1.6) ta biểu diễn các sai phân hữu hạn bởi công thức (1.3) thì ta nhận được phương trình: 𝐺(𝑡, 𝑦(𝑡), 𝑦(𝑡 + ℎ), … , 𝑦(𝑡 + 𝑛ℎ)) = 0. (1.7) Định nghĩa 1.3. Phương trình (1.7) được gọi là phương trình sai phân cấp n. Ví dụ 1.1. Xác định cấp của phương trình sau đây: ∆3 𝑦(𝑡) + ∆2 𝑦 (𝑡) − ∆𝑦(𝑡 ) + 𝑦(𝑡) = 0. Ta có: ∆𝑦(𝑡) = 𝑦 (𝑡 + ℎ) − 𝑦(𝑡 ) ∆2 𝑦(𝑡) = 𝑦(𝑡 + 2ℎ) − 2𝑦 (𝑡 + ℎ) + 𝑦 (𝑡) SV: Nguyễn Thị Thu Thủy 7 GVHD: TS. Lê Hải Trung ∆3 𝑦(𝑡) = 𝑦(𝑡 + 3ℎ) − 3𝑦(𝑡 + 2ℎ) + 3𝑦(𝑡 + ℎ) − 𝑦(𝑡). Nên: ∆3 𝑦(𝑡) + ∆2 𝑦(𝑡) − ∆𝑦 (𝑡) − 𝑦(𝑡) = 𝑦(𝑡 + 3ℎ) − 3𝑦(𝑡 + 2ℎ) + 3𝑦(𝑡 + ℎ) − 𝑦(𝑡) + 𝑦 (𝑡 + 2ℎ) − 2𝑦 (𝑡 + ℎ) + 𝑦(𝑡) − 𝑦 (𝑡 + ℎ) − 𝑦 (𝑡) + 𝑦(𝑡) = 𝑦(𝑡 + 3ℎ) − 2𝑦(𝑡 + 2ℎ). Đặt   t  2h , khi đó phương trình cuối viết được dưới dạng: y (  h)  2 y ( )  0 là phương trình sai phân cấp một. Định nghĩa 1.4. Một hàm liên tục 𝑦(𝑡) được gọi là nghiệm của phương trình (1.7) trên tập , nếu thay nó vào phương trình thì ta nhận được đẳng thức đúng trên . Ví dụ, hàm số 𝑦 = 3𝑡 là nghiệm của phương trình 𝑦(𝑡 + 2) − 9𝑦(𝑡) = 0 trên . Rõ ràng rằng mọi hàm số có dạng 𝑦 = 𝐶(𝑡)3𝑡 , với 𝐶(𝑡) là hàm tuần hoàn với chu kì 𝑇 = 2 cũng là nghiệm của phương trình đã cho. Tiếp theo ta sẽ luôn giả sử ℎ = 1. Khi đó phương trình (1.7) có dạng: 𝐺(𝑡, 𝑦(𝑡 ), 𝑦(𝑡 + 1), … , 𝑦(𝑡 + 𝑛)) = 0. (1.8) Định nghĩa 1.5. Nghiệm (rời rạc) của phương trình (1.8) tương ứng tại điểm 𝑡0   là chuỗi số 𝑦0 , 𝑦1 , … , 𝑦𝑘 , … sao cho: 𝐺 (𝑡0 + 𝑘, 𝑦𝑘 , … , 𝑦𝑘+𝑛 ) = 0 với 𝑘 = 0,1,2, …, còn  (1.9) là tập các số nguyên dương. Bài toán Cauchy cho việc tìm nghiệm của phương trình (1.7) nằm ở việc xác định 𝑦(𝑡) của phương trình này và đồng thời thỏa mãn các điều kiện sau đây: 𝑦(𝑡0 ) = 𝑦0 , 𝑦(𝑡0 + 1) = 𝑦1 , … , 𝑦(𝑡0 + 𝑛 − 1) = 𝑦𝑛−1 . Các số 𝑦0 , 𝑦1 , … , 𝑦𝑛−1 được gọi là các giá trị đầu của nghiệm 𝑦(𝑡), 𝑡0 được gọi là điểm đầu. SV: Nguyễn Thị Thu Thủy 8 GVHD: TS. Lê Hải Trung Nếu 𝑦(𝑡) là nghiệm liên tục của phương trình (1.7) trên [𝑡0 ; +∞) thì khi đó dãy 𝑦(𝑡0 ), 𝑦(𝑡0 + 1), … , 𝑦(𝑡0 + 𝑘 ) … sẽ là nghiệm rời rạc của (1.7). Tiếp theo ta sẽ lấy 𝑡0 = 0. Lúc đó nghiệm rời rạc ta sẽ viết dưới dạng 𝑦(𝑡) và được ngầm hiểu là hàm này chỉ xác định tại các điểm của tập 0 = {𝑡0 , 𝑡0 + 1, … , 𝑡0 + 𝑘, … } và 𝑦(𝑡0 + 𝑘 ) = 𝑦𝑘 . Chúng ta sẽ giả sử phương trình (1.7) chỉ có thể giải được tương ứng đối với 𝑦(𝑡 + 𝑛) và 𝑦(𝑡), tức là biểu diễn được dưới dạng: 𝑦(𝑡 + 𝑛) = 1 (𝑡, 𝑦(𝑡), 𝑦(𝑡 + 1), … , 𝑦(𝑡 + 𝑛 − 1)) (1.10) và 𝑦(𝑡) =  2(𝑡, 𝑦(𝑡 + 1), … , 𝑦 (𝑡 + 𝑛)). (1.11) Nếu hàm 1 (𝑡, 𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑛 ), xác định bởi vế phải của phương trình (1.10), xác định tại mọi điểm 𝑡   và mọi giá trị của 𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑛 , thì một nghiệm rời rạc duy nhất được xác định, nếu với mọi số 𝑡0   , 𝑦0 , 𝑦1 , … , 𝑦𝑛−1 được cho trước. Lúc đó biểu thức 𝑦𝑛+𝑘 = 1 (𝑡0 + 𝑘, 𝑦𝑘 , … , 𝑦𝑛+𝑘−1 ) biểu diễn công thức truy hồi, để thông qua đó ta xác định được 𝑦𝑛 , 𝑦𝑛+1 , … Tiếp theo, để đi đến khái niệm điểm duy nhất nghiệm Cauchy của phương trình (1.7), ta xem xét một ví dụ đơn giản sau đây. Ví dụ 1.2. Đối với phương trình 𝑦 (𝑡 + 1) = 𝑦 2 (𝑡) thì dãy {1,1, … ,1 … } là nghiệm của bài toán Cauchy với điều kiện đầu 𝑦(0) = 1, còn nghiệm của bài toán Cauchy với điều kiện đầu 𝑦 (0) = −1, là dãy {−1,1, … ,1 … }. Hiển nhiên từ 𝑘 ≥ 1 thì với các điều kiện đầu khác nhau ta thu được nghiệm như nhau. Định nghĩa 1.6. Điểm 𝑡0 , 𝑦0 , 𝑦1 , … , 𝑦𝑛−1    n được gọi là điểm duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy (1.7), nếu với bất kì nghiệm (𝑡) của bài toán Cauchy, thỏa mãn điều kiện đầu: (𝑡0 ) = 0 , (𝑡0 + 1) = 1 , … , (𝑡0 + 𝑛 − 1) = 𝑛−1 (𝑦0 , 𝑦1 , … , 𝑦𝑛−1 ) ≠ (0 , 1 , … , 𝑛−1). Suy ra với mọi 𝑘 ≥ 1, thì: SV: Nguyễn Thị Thu Thủy 9 GVHD: TS. Lê Hải Trung (𝑦𝑘 , 𝑦𝑘+1 , … , 𝑦𝑘+𝑛−1) ≠ (1 , 𝑘+1 , … , 𝑘+𝑛−1 ). Tức là với các điều kiện khác nhau thi sinh ra các nghiệm khác nhau. Nhìn chung phương trình sai phân là có vô số nghiệm, ta cũng có thế lấy ví dụ cho trường hợp vô nghiệm (thực), chẳng hạn như phương trình: 𝑦 2 (𝑡 + 1) + 𝑦 2 (𝑡) + 1 = 0. Nếu như ta đòi hỏi hàm 2 (𝑡, 𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑛 ) vế phải của phương trình (1.11) thỏa mãn các điều kiện tương tự như các điều kiện đối với 1 (𝑡, 𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑛 ), thì mỗi điểm của tập 0  n là điểm tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy. Định nghĩa 1.7. Giả sử 𝐷 là một tập con của không gian 𝑛 + 1 chiều n1 và mỗi điểm của 𝐷 đều là điểm tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy (1.7). Hàm 𝑦(𝑡) = 𝑦(𝑡, 𝐶1 , … , 𝐶𝑛 ) được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (1.7), nếu thỏa mãn hai điều kiện: (i) Với mọi giá trị cho trước 𝐶1 , … , 𝐶𝑛 hàm đã cho là nghiệm của phương trình (1.7). (ii) Mọi nghiệm của bài toán Cauchy (1.7) với điều kiện đầu được lấy từ 𝐷 có thể nhận được từ nghiệm tổng quát một cách duy nhất. SV: Nguyễn Thị Thu Thủy 10 GVHD: TS. Lê Hải Trung CHƯƠNG II PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN CẤP MỘT 2.1 Phân loại phương trình sai phân cấp một Tiến hành xem xét một vài phương trình sai phân cấp một. Xét phương trình: ∆𝑦 (𝑡) = 𝑓(𝑡), 𝑡 0 (2.1) hay 𝑦(𝑡 + 1) = 𝑦(𝑡) + 𝑓(𝑡 ). Đặt vào phương trình lần lượt các giá trị 𝑡 = 𝑡0 , 𝑡 = 𝑡0 + 1, … , 𝑡 = 𝑛 − 1, rồi cộng dồn lại và tiến hành đổi biến 𝑛 ≔ 𝑡 ta nhận được: t 1 y (t )  C   f (k ), C  y (t0 ). k t0 (2.2) Để ý rằng nghiệm của phương trình vi phân cấp một 𝑦 ′ (𝑥 ) = 𝑓(𝑥) tương ứng với (2.2) có dạng: 𝑥 𝑦(𝑥 ) = 𝐶 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 . 𝑥0 Bây giờ ta tiến hành xem xét phương trình: 𝑦(𝑡 + 1) = 𝑦(𝑡)𝑝(𝑡), 𝑝(𝑡) ≠ 0, 𝑡  0. (2.3) Lần lượt đặt vào (2.3) các giá trị 𝑡 = 𝑡0 , 𝑡 = 𝑡0 + 1, … , 𝑡 = 𝑛 − 1 rồi nhân vế với vế, sau đó thực hiện đổi biến 𝑛 ≔ 𝑡, ta nhận được: t  k t0 1 t 1 t 1 k t0 k  t0 y (k )   p(k ) y (k ). (2.4) Nếu 𝑦(𝑡0 ) ≠ 0 thì từ điều kiện 𝑝(𝑡) ≠ 0, 𝑡 0 suy ra 𝑦(𝑡) ≠ 0, 𝑡 0. t 1 Giản ước cả hai vế của phương trình (2.4) cho  y (k )  0 ta nhận được các k t0 nghiệm không suy biến của phương trình (2.3). SV: Nguyễn Thị Thu Thủy 11 GVHD: TS. Lê Hải Trung t 1 y (t )  y (t0 ) p(k ), y (t0 )  0. (2.5) k t0 Đặt 𝑦(𝑡0 ) ≔ 𝐶 ta nhận được nghiệm tổng quát của (2.4) có dạng: t y (t )  C  p(k ). (2.6) k t0 Chú ý rằng, trên thực tế thì công thức (2.6) có chứa cả nghiệm tầm thường của phương trình (2.4), khi 𝐶 = 0. Tương tự, ta gặp lại công thức mô tả nghiệm của phương trình vi phân cấp một với biến số phân ly 𝑦 ′ = 𝑝(𝑥)𝑦. Trong trường hợp này ta có được công thức tương tự (2.6): x y ( x)  Ce x0 p ( x ) dx (2.7) . Phương trình (2.3) còn được coi là trường hợp riêng của phương trình sau đây: 𝑦(𝑡 + 1) = 𝑝(𝑡)𝑦(𝑡) + 𝑓(𝑡 ), 𝑝(𝑡) ≠ 0, 𝑡  . (2.8) Bài toán xây dựng nghiệm tổng quát của phương trình trên được giải quyết bởi Lagrange. Tiến hành xem xét phương pháp xây dựng nghiệm tổng quát của phương trình trên, được gọi là phương pháp biến thiên hằng số hay còn gọi là phương pháp Lagrange. Ta coi 𝐶 trong (2.6) như là một hàm phụ thuộc vào 𝑡, để cho công thức: t 1 y (t )  C (t ) p(k ). (2.9) k t0 Cho ta nghiệm của phương trình (2.8). đặt (2.9) vào (2.8) ta nhận được: 𝑡 𝑡−1 𝐶(𝑡 + 1) ∏ 𝑝(𝑘 ) = 𝑝(𝑡)𝐶(𝑡) ∏ 𝑝(𝑘 ) + 𝑓(𝑡), 𝑘=𝑡0 𝑡 𝑘=𝑡0 𝑡 ∏ 𝑝(𝑘 ). ∆𝐶 (𝑡) = 𝑓 (𝑡), ∆𝐶 (𝑡 ) = 𝑓(𝑡)(∏ 𝑝(𝑘))−1 . 𝑘=𝑡0 𝑘=𝑡0 Phương trình cuối có dạng (2.1), do đó nghiệm tổng quát của phương trình có thể viết được dưới dạng (2.2): SV: Nguyễn Thị Thu Thủy 12 GVHD: TS. Lê Hải Trung 𝑡−1 𝑘 𝐶 (𝑡) = 𝐶 + ∑ 𝑓 (𝑘 ). ( ∏ 𝑝(𝑚))−1 . 𝑘=𝑡0 𝑚=𝑡0 Đặt biểu thức nhận được đối với 𝐶(𝑡) vào (2.9) ta thu được: 1  t 1  k   y (t )   p(k ) C   f (k ).   p(m)   .  k t0 k  t0  m  t0    t 1 (2.10) Ta tiến hành xem xét thêm một phương pháp nữa để xác định nghiệm tổng quát của phương trình (2.8), có tên gọi là phương pháp Bernoulli. Ta sẽ đi tìm 𝑦(𝑡) dưới dạng 𝑦(𝑡) = 𝑢 (𝑡)𝑣 (𝑡). Ta có: 𝑦(𝑡 + 1) = 𝑢 (𝑡 + 1)𝑣 (𝑡 + 1) = 𝑝(𝑡 )𝑢 (𝑡)𝑣 (𝑡) + 𝑓 (𝑡), 𝑢 (𝑡 + 1)∆𝑣 (𝑡) = 𝑝(𝑡 )𝑢(𝑡 )𝑣 (𝑡) − 𝑢 (𝑡 + 1)𝑣 (𝑡) + 𝑓 (𝑡). t 1 Ta chọn hàm 𝑢(𝑡) sao cho 𝑢(𝑡 + 1) = 𝑢(𝑡)𝑝(𝑡), ví dụ như 𝑢(𝑡) =  p(k ) . k t0 Còn hàm 𝑣(𝑡) được xác định từ phương trình 𝑢(𝑡 + 1)∆𝑣 (𝑡) = 𝑓(𝑡 ). Hay t v(t )  f (t )[ p(k )]1 , do đó theo (2.2) ta nhận được: k t0 𝑡−1 𝑘 𝑣 (𝑡) = 𝐶 + ∑ 𝑓(𝑘 )[ ∏ 𝑝(𝑚)]−1 . 𝑘=𝑡0 𝑚=𝑡0 Từ đó 𝑡−1 𝑡−1 𝑘 𝑦(𝑡) = ∏ 𝑝(𝑘 )[𝐶 + ∑ 𝑓(𝑘) . ( ∏ 𝑝(𝑚))−1 ] 𝑘=𝑡0 𝑘=𝑡0 𝑚=𝑡0 và công thức cuối nhận được cũng như (2.10). Đến đây ta cũng lưu ý, đối với phương trình vi phân tuyến tính cấp một dạng 𝑦 ′ = 𝑝(𝑥 )𝑦 + 𝑓(𝑥) thì công thức nghiệm tổng quát có dạng: x x t x0 x0 x0 y ( x)  exp(  p(t )dt )[C   f (t ) exp(  p( )d )dt ] . Trong mục này và trở về sau ta thống nhất rằng, nếu như trong phép tính tổng mà giá trị của chỉ số bên trên nhỏ hơn giá trị của chỉ số bên dưới thì tổng đó SV: Nguyễn Thị Thu Thủy 13 GVHD: TS. Lê Hải Trung bằng 0, còn trong phép tính nhân điều tương tự xảy ra thì tích đó nhận giá trị bằng 1. Tiếp theo ta tiến hành xem xét phương trình sai phân cấp một Riccati có dạng sau đây: 𝑦(𝑡 + 1)𝑦 (𝑡) + 𝑎𝑦(𝑡 + 1) + 𝑏𝑦(𝑡 ) + 𝑐 = 0 (2.11) với a, b, c là các hằng số thực. Thực hiện phép đổi biến 𝑦(𝑡) = 𝑢 (𝑡) + 𝛿, với 𝛿 là một hằng số bất kì, đặt vào phương trình đã cho ta được: [𝑢 (𝑡 + 1) + 𝛿 ](𝑢 (𝑡) + 𝛿 ) + 𝑎 [𝑢(𝑡 + 1) + 𝛿 ] + 𝑏 [𝑢(𝑡) + 𝛿 ] + 𝑐 = 0 𝑢 (𝑡 + 1)𝑢 (𝑡) + 𝛿𝑢(𝑡 + 1) + 𝛿𝑢 (𝑡) + 𝛿 2 + 𝑎𝑢(𝑡 + 1) + 𝑎𝛿 + 𝑏𝑢 (𝑡) + 𝑏𝛿 +𝑐 = 0 𝑢(𝑡 + 1)𝑢 (𝑡) + (𝑎 + 𝛿 )𝑢(𝑡 + 1) + (𝑏 + 𝛿 )𝑢 (𝑡) + (𝛿 2 + (𝑎 + 𝑏)𝛿 + 𝑐 ) = 0. Lấy 𝛿 chính là giá trị nghiệm của phương trình 𝛿 2 + (𝑎 + 𝑏)𝛿 + 𝑐 = 0. Nghiệm tầm thường của phương trình 𝑢 (𝑡) = 0 tương ứng với nghiệm 𝑦(𝑡) = 𝛿. Nếu cho 𝑦(𝑡) ≠ 𝛿, thực hiện phép đổi biến v(t )  1 1  . Khi u (t ) y (t )   đó đối với 𝑣 (𝑡) ta nhận được phương trình: (𝑏 + 𝛿 )𝑣 (𝑡 + 1) + (𝑎 + 𝛿 )𝑣 (𝑡) + 1 = 0. Nếu 𝑏 + 𝛿 ≠ 0 và 𝑎 + 𝛿 ≠ 0 thì đây chính là phương trình sai phân tuyến tính cấp một. Nếu 𝑏 + 𝛿 = 0 thì ta có được 𝑐 = 𝑎𝑏, từ 𝑎 + 𝛿 = 0 ta cũng nhận được 𝑐 = 𝑎𝑏. Phương trình (2.11) trong trường hợp này (𝑎 + 𝛿 ≠ 0) có dạng 𝑦(𝑡 + 1)𝑦 (𝑡) + 𝑎𝑦(𝑡 + 1) + 𝑏𝑦(𝑡 ) + 𝑎𝑏 = 0  𝑦(𝑡 + 1)[𝑦(𝑡 ) + 𝑎] + 𝑏[𝑦(𝑡) + 𝑎] = 0  [𝑦(𝑡 + 1) + 𝑏][𝑦 (𝑡) + 𝑎] = 0. Phương trình nhận được chỉ có hai nghiệm 𝑦(𝑡) = −𝑏 và 𝑦(𝑡) = −𝑎. Ví dụ 2.1. Giải phương trình 𝑦 (𝑡 + 1)𝑦(𝑡) + 2𝑦(𝑡 + 1) + 𝑦(𝑡 ) − 4 = 0. SV: Nguyễn Thị Thu Thủy 14 GVHD: TS. Lê Hải Trung Để triệt tiêu được số hạng tự do (−4) ta thực hiện phép biến đổi 𝑦(𝑡) = 𝑢(𝑡) + 𝛿. Khi đó 𝛿 là nghiệm của phương trình 𝛿 2 + (2 + 1)𝛿 − 4 = 0 hay 𝛿 2 + 3𝛿 − 4 = 0. Giả sử ta lấy 𝛿 = 1, thu được phương trình 𝑢 (𝑡 + 1)𝑢(𝑡 ) + (2 + 1)𝑢 (𝑡 + 1) + (1 + 1)𝑢(𝑡) = 0 hay 𝑢 (𝑡 + 1)𝑢(𝑡 ) + 3𝑢(𝑡 + 1) + 2𝑢(𝑡) = 0. Nghiệm 𝑢 (𝑡) = 0 của phương trình cuối tương ứng với nghiệm 𝑦(𝑡) = 𝛿 = 1 của phương trình ban đầu. Tiếp theo thực hiện phép đổi biến u (t )  1 (đi tìm v(t ) nghiệm 𝑦(𝑡) ≠ 1), nhận được phương trình: (1 + 1)𝑣 (𝑡 + 1) + (2 + 1)𝑣 (𝑡) + 1 = 0  2𝑣 (𝑡 + 1) + 3𝑣 (𝑡 ) + 1 = 0 3 1  v(t  1)   v(t )  . 2 2 Nghiệm tổng quát của phương trình này tìm được theo công thức (2.10), và đặt vào 𝑡0 = 0. Ta có được: t 1 3 1 3 3 1 v(t )  (  )t [C   (  )(  )  k 1 ]  C (  )t  . 2 2 2 2 5 k 0 Nghiệm tổng quát của phương trình ban đầu được cho bởi công thức: 𝑦(𝑡 ) = 1 + 𝛿𝑣(𝑡) 1 1 = +𝛿 = + 1. 3 𝑡 1 𝑣 (𝑡 ) 𝑣(𝑡) 𝐶(− ) − 2 5 Để ý rằng nghiệm 𝑦 (𝑡) = 1 có thể nhận được một cách hình thức khi trong công thức nghiệm tổng quát ta cho 𝐶 = ∞. Ví dụ 2.2. Giải phương trình: 𝑝(𝑡)𝑦(𝑡 + 1) + 𝑞 (𝑡)𝑦(𝑡 + 1)𝑦 (𝑡) − 𝑦(𝑡) = 0, 𝑝(𝑡) ≠ 0, t   và xem xét trường hợp riêng khi 𝑝(𝑡) = 2, 𝑞 (𝑡) = 3. SV: Nguyễn Thị Thu Thủy 15 GVHD: TS. Lê Hải Trung Chú ý rằng 𝑦(𝑡) = 0 là một nghiệm của phương trình đã cho. Tiếp theo ta đặt v(t )  1 (tức là đi tìm những nghiệm 𝑦(𝑡) ≠ 0), nhận được phương trình y (t ) 𝑣 (𝑡 + 1) = 𝑝(𝑡)𝑣 (𝑡 ) + 𝑞(𝑡) với nghiệm tổng quát là 𝑡−1 𝑡−1 𝑘 𝑣 (𝑡 ) = ∏ 𝑝(𝑘 )[𝐶 + ∑ 𝑞 (𝑘 ) . (∏ 𝑝(𝑚))−1 ]. 𝑘=0 𝑘=0 𝑚=0 Do đó nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là 𝑡−1 𝑡−1 𝑘 𝑘=0 𝑘=0 𝑚=0 1 𝑦(𝑡) = = [∏ 𝑝(𝑘 )[𝐶 + ∑ 𝑞 (𝑘 ) . (∏ 𝑝(𝑚))−1 ]]−1 𝑣(𝑡) và nghiệm 𝑦(𝑡) = 0. Trong trường hợp 𝑝(𝑡) = 2, 𝑞(𝑡 ) = 3 ta có được 𝑦 (𝑡) = (𝐶2𝑡 − 3)−1 . 2.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một Phương trình sai phân thường được sử dụng để mô tả vận động của một hiện tượng nào đó trong tự nhiên mang tính quy luật theo thời gian. Ví dụ như việc mô tả quá trình phát triển dân số từng năm của một quốc gia hay một cùng nào đó. Nếu gọi 𝑥(𝑡 + 1) là dân số tại thời điểm năm thứ (𝑡 + 1) thì 𝑥 (𝑡 + 1) là một hàm theo 𝑥(𝑡). Sự liên hệ này được biểu thị bởi phương trình sai phân sau đây: 𝑥(𝑡 + 1) = 𝑓(𝑥 (𝑡)). (2.12) Trong phần này chúng ta nghiên cứu dạng đặc biệt của (2.12), đó là các phương trình tuyến tính. Phương trình tuyến tính cấp một thuần nhất được cho bởi công thức: 𝑥 (𝑡 + 1) = 𝑎(𝑡)𝑥(𝑡), 𝑥(𝑡0 ) = 𝑥0 , 𝑡 ≥ 𝑡0 ≥ 0, (2.13) và phương trình tuyến tính không thuần nhất được cho bởi phương trình: 𝑦(𝑡 + 1) = 𝑎 (𝑡)𝑦 (𝑡) + 𝑔(𝑡), 𝑦(𝑡0 ) = 𝑥0 , 𝑡 ≥ 𝑡0 ≥ 0. (2.14) Đối với cả hai phương trình trên, giả sử 𝑎(𝑡) ≠ 0, 𝑎(𝑡) và 𝑔(𝑡) là hàm thực xác định với 𝑡 ≥ 𝑡0 ≥ 0. SV: Nguyễn Thị Thu Thủy 16 GVHD: TS. Lê Hải Trung Ta đi tìm lời giải cho (2.13) bằng các bước lặp: 𝑥(𝑡0 + 1) = 𝑎(𝑡0 )𝑥(𝑡0 ) = 𝑎(𝑡0 )𝑥0 𝑥(𝑡0 + 2) = 𝑎(𝑡0 + 1)𝑥 (𝑡0 + 1) = 𝑎(𝑡0 + 1)𝑎(𝑡0 )𝑥0 𝑥(𝑡0 + 3) = 𝑎(𝑡0 + 2)𝑥 (𝑡0 + 2) = 𝑎 (𝑡0 + 2)𝑎(𝑡0 + 1)𝑎 (𝑡0 )𝑥0 . Bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng thấy rằng: 𝑥(𝑡 ) = 𝑥(𝑡0 + 𝑡 − 𝑡0 ) 𝑥(𝑡 ) = 𝑎(𝑡 − 1)𝑎 (𝑡 − 2) … 𝑎(𝑡0 )𝑥0 𝑡−1 𝑥 (𝑡) = [∏ 𝑎(𝑖)𝑥0 ]. (2.15) 𝑖=𝑡0 Nghiệm duy nhất của phương trình không thuần nhất (2.14) được tìm như sau: 𝑦(𝑡0 + 1) = 𝑎 (𝑡0 )𝑦 (𝑡0 ) + 𝑔(𝑡0 ) 𝑦(𝑡0 + 2) = 𝑎(𝑡0 + 1)𝑦(𝑡0 + 1) + 𝑔(𝑡0 + 1) = 𝑎(𝑡0 + 1)𝑎 (𝑡0 )𝑦0 + 𝑎 (𝑡0 + 1)𝑔(𝑡0 ) + 𝑔(𝑡0 + 1).  Sử dụng quy nạp toán học để chứng minh rằng với mọi t  𝑡−1 𝑡−1 , ta được: 𝑡−1 𝑦(𝑡) = [∏ 𝑎 (𝑖 )] 𝑦0 + ∑ [ ∏ 𝑎 (𝑖 )] 𝑔(𝑟). 𝑖=𝑡0 (2.16) 𝑟=𝑡0 𝑖=𝑟+1 Thật vậy, giả sử (2.16) đúng với mọi 𝑡 = 𝑘. Từ phương trình (2.14) ta có: 𝑦(𝑘 + 1) = 𝑎(𝑘 )𝑦(𝑘 ) + 𝑔(𝑘 ). Thay vào phương trình (2.16) ta được: 𝑘−1 𝑘−1 𝑘−1 𝑦(𝑘 + 1) = 𝑎(𝑘 ) [∏ 𝑎(𝑖 )] 𝑦0 + ∑ [𝑎(𝑘 ) ∏ 𝑎(𝑖 )] 𝑔(𝑟) + 𝑔(𝑘) 𝑖=𝑡0 𝑘 𝑟=𝑡0 𝑘−1 𝑖=𝑟+1 𝑘 𝑘 = [∏ 𝑎(𝑖)] 𝑦0 + ∑ ( ∏ 𝑎(𝑖 )) 𝑔(𝑟) + ( ∏ 𝑎 (𝑖 )) 𝑔(𝑘) 𝑖=𝑡0 𝑟=𝑡0 𝑖=𝑟+1 𝑘 𝑘 𝑘 𝑖=𝑘+1 = [∏ 𝑎(𝑖)] 𝑦0 + ∑ ( ∏ 𝑎(𝑖 )) 𝑔(𝑟). 𝑖=𝑡0 𝑟=𝑡0 𝑖=𝑟+1 SV: Nguyễn Thị Thu Thủy 17