Tài liệu Phương trình loại elliptic

Đại học sư phạm Hà Nội 2 1 Khoá luận tốt nghiệp KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Phương trình loại Elliptic Người hướng dẫn: TS. Trần Văn Bằng Sinh viên: Vũ Thị Mai Khoa: Toán Khóa : 2006-2010 Vũ Thị Mai K32B-Khoa Toán Đại học sư phạm Hà Nội 2 2 Khoá luận tốt nghiệp Lời cảm ơn Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy giáo và cô giáo trong khoa Toán Học – Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo trong suốt thời gian tôi theo học tại khoa và trong thời gian làm khóa luận. Đặc biệt tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới T.S Trần Văn Bằng – Giảng viên khoa Tóan Học - Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, người trực tiếp hướng dẫn tôi, luôn tận tâm chỉ bảo và định hướng cho tôi trong suốt quá trình làm khóa luận để tôi có được kết quả như ngày hôm nay. Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song thời gian và kinh nghiệm bản thân còn nhiều hạn chế nên khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu sót rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, các bạn sinh viên và bạn đọc. Hà Nội, tháng 4 năm 2010 Sinh viên Vũ Thị Mai Vũ Thị Mai K32B-Khoa Toán Đại học sư phạm Hà Nội 2 3 Khoá luận tốt nghiệp Mục lục Nội dung Trang 4 Mở đầu Chương 1 Những kiến thức chuấn bị 1. Các khái niệm tổng quát 5 2. Một số phương trình Vật Lí-Toán 7 3. Phân loại phương trình tuyến tính cấp 2 9 13 Phương trình chính tắc 16 4. Bài toán Côsi Chương 2 Phương trình loại Elliptic 1. Thiết lập phương trình 19 2. Phương trình Laplace. Hàm điều hòa. 30 3. Tính duy nhất và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm của 34 bài toán biên. 4. Một số ví dụ về hàm Green 40 5. Phương pháp tách biến Fourier giải bài toán biên 57 6. Bài toán Dichlet trong miền bị chặn 62 7. Bài toán Dirichlet trong miền không bị chặn 60 8. Bài toán Newman 72 Kết luận 73 Tài liệu tham khảo 74 Vũ Thị Mai K32B-Khoa Toán Đại học sư phạm Hà Nội 2 4 Khoá luận tốt nghiệp Mở đầu Toán học là một môn khoa học gắn liền với thực tiễn. Sự phát triển của Toán học được đánh dấu bởi những ứng dụng của Toán học vào việc giải quyết các bài toán thực tiễn. Trong lĩnh vực toán học ứng dụng thường gặp rất nhiều bài toán liên quan đến phương trình vi phân đạo hàm riêng. Ra đời từ những năm 60, phương trình đạo hàm riêng đã nhanh chóng khẳng định được vị trí và tầm quan trọng của mình trong khoa học nói chung và Toán học nói riêng. Đặc biệt phương trình đạo hàm riêng loại Elliptic có ứng dụng rất lớn trong khoa học và trong thực tiễn. Chúng ta biết rằng, việc nghiên cứu tính chất định tính và việc tìm nghiệm của phương trình đạo hàm riêng loại Elliptic rất khó khăn và phức tạp. Với khả năng ứng dụng rộng rãi trong khoa học và trong thực tiễn, vì vậy các nhà Toán học đã tập trung nghiên cứu và tìm được nhiều phương pháp để giải các bài toán về phươg trình đạo hàm riêng loại Elliptic Được sự hướng dẫn tận tình của T.S Trần Văn Bằng cùng với lòng yêu thích môn này em xin mạnh dạn nghiên cứu đề tài :Phương trình loại Elliptic Khoá luận gồm 2 phần *Chương 1 : *Chương 2: Vũ Thị Mai Những kiến thức chuẩn bị Phương trình Elliptic K32B-Khoa Toán Đại học sư phạm Hà Nội 2 5 Khoá luận tốt nghiệp Chương 1: Những kiến thức chuẩn bị Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính §1: Các khái niệm tổng quát 1. Một phương trình liên hệ giữa ẩn hàm u  x1 , x2 ,..., xn  , các biến độc lập  x1 , x2 ,..., xn  và các đạo hàm riêng của nó được gọi là phương trình vi phân đạo hàm riêng. Nó có dạng:   u u ku F  x1 ,..., xn , u, ,..., ,..., k1 ,... 0 kn  x  x  x ...  x 1 n 1 n   trong đó F là hàm nào đó của các đối số của nó. 2. Cấp cao nhất của u có mặt trong phương trình được gọi là cấp của phương trình . Ví dụ: Phương trình đạo hàm riêng cấp 1 có dạng:  u u  F  x1 ,..., xn , u, ,...,  =0 x1 xn   (1.1) Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 của hàm 2 biến có dạng:  u u  2u  2u  2u  F  x, y , u , , , 2 , 2 , 0 x y x y xy   3. Phương trình đạo hàm riêng được gọi là tuyến tính nếu như nó tuyến tính đối với ẩn hàm và tất cả các đạo hàm riêng của nó: Ví dụ  2u  2u  2u u u a  x, y  2  2b  x, y   c  x, y  2  d  x, y   e  x, y  x xy y x y  f  x, y  u  g  x , y  Đây là phương trình tuyến tính cấp 2. Vũ Thị Mai K32B-Khoa Toán Đại học sư phạm Hà Nội 2 6 Khoá luận tốt nghiệp 4. Phương trình đạo hàm riêng được gọi là á tuyến tính nếu như nó tuyến tính với mọi đạo hàm cấp cao nhất của ẩn hàm. Ví dụ a  x, y , u , u x , u y   2u  2u  2u  2 b x , y , u , u , u  c x , y , u , u , u   x y x y x 2 xy y 2  d  x, y , u , u x , u y   0 Đây là phương trình á tuyến tính cấp 2 trong đó ux , u y là kí hiệu của u u , . x y 5. Giả sử F xác định trong miền G của không gian 2n+1 chiều. Hàm u  u  x1, x2 ,..., xn  liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp 1 của nó trong miền D của không gian n chiều được gọi là nghiệm của phương trình (1.1) trong D nếu : a. Với mọi  x1, x2 ,..., xn   D thì  u u  x ,..., x , u x ,..., x , ,...,    1  G n 1 n x1 xn   b. Khi thay u  u  x1, x2 ,..., xn  vào (1.1) thì ta được đồng nhất thức trên D 6. Bài toán Côsi: Tìm nghiệm u    x1, x2 ,..., xn  của phương trình (1.1) sao cho khi x1  x10 thì u    x1, x2 ,..., xn  trong đó  là một hàm cho trước. Ở đây ta cũng có thể thay vai trò x1 bằng một trong các biến còn lại. Vũ Thị Mai K32B-Khoa Toán Đại học sư phạm Hà Nội 2 7 Khoá luận tốt nghiệp §2: Một số phương trình Vật lí-Toán 1. Phương trình truyền nhiệt Giả sử   R3 là vật thể với biên trơn. Gọi u  x, t   u  x1, x2 , t  là nhiệt độ tại thời điểm t (t>0). Theo các định lí vật lí trong mốt số điều kiện nhất định (  -đẳng hướng, u  x, t   C 2.1    [0,T ] ,... ). u ( x, t ) thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng cấp 2 sau: C ( x)  ( x) u 3   u     k ( x)   f ( x, t ) t i 1 xi  xi  (2.1) Trong đó C ( x ) -nhiệt dung riêng của  tại x  ( x) -khối lượng riêng k ( x) -hệ số truyền nhiệt trong  của x f ( x, t ) -hệ số nguồn nhiệt riêng của x tại thời điểm t. Đặc biệt khi C ( x ) ,  ( x) , k ( x) là các hằng số c,  , k thì (2.1) trở 3 u  2u    2  f ( x, t ) t i 1 xi thành Với   Kí hiệu: k là hệ số khuếch tán. c n u   i 1  2u xi2 n=3 ta có phương trình u   .u  f ( x, t ) t (2.2) Phương trình (2.2) được gọi là phương trình truyền nhiệt  Các điều kiện bổ sung: . Điều kiện ban đầu u( x,0)  0 với x  (2.3) . Điều kiện biên Vũ Thị Mai K32B-Khoa Toán Đại học sư phạm Hà Nội 2 8 + Thứ nhất  + Thứ hai  u t  1 ( x, t )  Khoá luận tốt nghiệp ( x, t )   [0,T] (2.4)  2 (2.5) Khái niệm: Bài toán tìm nghiệm của phương trình đạo hàm riêng (2.2) thỏa mãn 2 điều kiện bổ sung: điều kiện ban đầu (2.3) và điều kiện biên (2.4) hoặc (2.5) được gọi là bài toán biên ban đầu thứ nhất (thứ hai) đối với phương trình truyền nhiệt. 1. Phương trình Laplace, Poison Trong phương trình truyền nhiệt, nếu nhiệt độ được giữ ổn định (không phụ thuộc vào thời gian t) thì u ( x) cho chúng ta phân bố nhiệt dừng của  . Và khi đó (2.2) có dạng: u  f ( x) (2.6) x (2.6) được gọi là phương trình Poisson f ( x)  0  u  0 -phương trình Laplace Hàm u  C 2 () thỏa mãn u  0 được gọi là hàm điều hòa  Các điều kiện bổ sung: . Điều kiện biên thứ nhất (Dirichlet) u . Điều kiên biên thứ hai (Newman) u    0   1  u  |    2   2  0 . Điều kiện biên thứ 3(hỗn hợp)   u       2. Phương trình truyền sóng Nhiều phương trình dao động (truyền sóng) có dạng:  2u  a 2 u  f ( x, t ) 2 t Vũ Thị Mai K32B-Khoa Toán Đại học sư phạm Hà Nội 2 9 Khoá luận tốt nghiệp * Các điều kiện bổ sung: u ( x,0)  0  . Điều kiện ban đầu: u  t ( x,0)  1  2u  a 2 u  f ( x, t ) 2 t Với n=1: ( x, t )  R  [0, T ] Đây là phương trình mô tả sự dao động của sợi dây . Điều kiện biên x [0, L] Sợi dây hữu hạn u (0, t )  u( L, t )  0t [0, T ] Sợi dây nửa vô hạn x[0, ] u (0, t )  0 và điều kiện về dáng điệu khi x   Sợi dây vô hạn x  (, ) thì điều kiện biên là điều kiện về dáng điệu khi x   Khi n=2 thì phương trình mô tả dao động của màng mỏng: 2  2u  2u  2 u  a  2  2   f ( x, y , t ) t 2 y   x §3: Phân loại phương trình tuyến tính cấp 2 Phương trình chính tắc 1. Phân loại phương trình tuyến tính cấp 2 trong trường hợp 2 biến Xét phương trình tuyến tính cấp 2 với các hệ số thực: a( x, y)U xx  2b( x, y)U xy  c( x, y)U yy  F ( x, y, u, u x , u y )  0 (*) Xét 1 điểm ( x0 , y0 ) cố định. Phương trình (*) tại điểm ( x0 , y0 ) được gọi là: Vũ Thị Mai K32B-Khoa Toán Đại học sư phạm Hà Nội 2 10 Khoá luận tốt nghiệp a. Thuộc loại Elliptic nếu như tại điểm đó   b 2  ac <0. b. Thuộc loại hypebonic nếu như tại điểm đó   b 2  ac >0. c. Thuộc loại parabonic nếu như tại điểm đó   b 2  ac =0. Nếu phương trình (*) tại mọi điểm trong miền G đều thuộc cùng một loại thì ta nói rằng phương trình ấy thuộc loại đó trong miền G 2. Phương trình chính tắc Nhận xét : Loại của phương trình (*) không thay đổi qua các phép đổi biến không suy biến. Chứng minh Giả sử có phép đổi biến    ( x, y)     ( x, y) Khi đó ta có với D ( x, y )  x  x  0 D( , )  y  y U x  U  x  Ux U y  U  y  U y Từ đó U xx  ( x )2U  2 x xU  ( x )2U  U  xx  U xx U yy  ( y )2U  2 y yU  ( y )2U  U  yy  U yy U xy   x yU  ( x y   yx )U  x yU  U xy  Uxy thay vào (*) ta được: a1 ( , )U  2b1 ( , )U  c1( , )U  M ( ,, u, u , u )  0 Với (**) a1  a x2  2b x y  c y2  b1  a x x  b( x y   y x )  c y y  2 2 c1  a x  2b x y  c y (3.1)  D( , )  Ta có b  a1c1  (b  ac)( x y   y x )  (b  ac)    D ( c, y )  2 1 Vũ Thị Mai 2 2 2 2 K32B-Khoa Toán Đại học sư phạm Hà Nội 2 11 Khoá luận tốt nghiệp Suy ra nếu (*) thuộc loại phương trình nào thì (**) cũng thuộc loại tương ứng tại điểm đó Xét phương trình vi phân a(dy)2  2bdxdy  c(dx)2  0  a( y ')2  2by ' c  0 (3.2) Từ (3.1) ta thấy nếu chọn (0 ,0 ) là nghiệm của phương trình đạo hàm azx2  2bzx z y  cz y2  0 riêng (3.3) Khi đó ở (3.1) có a1  c1  0 Bổ đề: Hàm z  z ( x, y ) là nghiệm của phương trình đạo hàm riêng (3.3) khi và chỉ khi z ( x, y)  c là tích phân tổng quát của phương trình vi phân (3.2). Do đó ta có cách đổi biến số sau: a. Nếu   b 2  ac >0 thì (3.2) có 2 nghiệm y'  b   a Giải 2 phương trình ta có: 1 ( x, y )  c1  2 ( x, y )  c2   1 ( x, y) từ đó đặt    2 ( x, y) Thay vào (*) ta được U  N ( , , u, u , u ) Đây là phương trình chính tắc của phương trình loại Hypebonic Đặt      thì phương trình có dạng       U  U   N1 ( ,  , u, u , u ) Đây là phương trình chính tắc thứ hai của phương trình loại Hypebonic Vũ Thị Mai K32B-Khoa Toán Đại học sư phạm Hà Nội 2 12 Khoá luận tốt nghiệp b. Nếu   b 2  ac =0 b (3.2) có một nghiệm y '     ( x, y )  c a    ( x, y) Đặt  sao cho    ( x , y )  D( , ) 0 D ( x, y ) Thay vào (*) ta được U  N ( , , u, u , u ) Đây là phương trình chính tắc của phương trình loại Parabonic c. Nếu   b 2  ac <0 b2  i  y'  a (3.2) có 2 nghiệm phức Tích phân ta được  ( x, y )  i ( x, y )  c Đặt    ( x, y )     ( x, y ) Thay vào (*) ta được U  U  N ( , , u, u , u ) Đây là phương trình chính tắc của phương trình loại Elliptic 3. Phương trình đạo hàm riêng cấp 2 của hàm n biến Phương trình đạo hàm riêng cấp 2 của hàm n biến có dạng: n  a ( x)U i , j 1 ij n xi x j   ai ( x)U xi  a( x)u  g ( x)  0 i 1 Giả sử aij ( x)  a ji ( x) Đặt A  A( x)  [aij ( x)]nn là ma trận thực, đối xứng cấp n Tại x cố định A có n giá trị thực Gọi n , n , n0 lần lượt là số giá trị dương, âm, bằng 0 Định nghĩa: phương trình (*) được goi là thuộc loại: Vũ Thị Mai K32B-Khoa Toán Đại học sư phạm Hà Nội 2 13 Khoá luận tốt nghiệp . Elliptic tại x nếu ( (n  n hoặc n  n ) . Hypebonic tại x nếu (n  n  1 và n  1 hoặc n  1 và n  n  1) . Parabonic tại x nếu (n0  1, n  n  1 hoặc n0  1, n  n  1) Dạng chính tắc: Ta dùng phương pháp đổi biến 1  1 ( x1 ,..., xn )    ( x ,..., x )  2 2 1 n  ...  n   n ( x1 ,..., xn )    ( x) 1  n  x1 x1 D  Dx 1  n  xn xn Rồi dùng phương pháp như trên để sy ra phương trình dạng chính tắc đối với từng loại &4: Bài toán Côsi 1. Bài toán Côsi. Định lí Kovalepskaia Giả sử  là miền nào đó trong không gian R n Xét trong  phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 n  2u u aij ( x)   ai ( x)  a( x)u  f ( x)  xi x j i 1 xi i , j 1 n (4.1) Trong đó aij , ai , a, f là các hàm phức đủ trơn Nếu n=1 và a11  0 thì (4.1) còn được viết dưới dạng u '' b(t )u ' c(t )u  f (t ) t  x1 (4.2) Bài toán tìm nghiệm của phương trình (4.2) tỏa mãn điều kiện ban đầu u(t 0 )  u0 , u '(t0 )  u1 là bài toán Côsi trong phương trình vi phân thường Mổ rộng sang phương trình đạo hàm riêng ta làm như sau: Vũ Thị Mai K32B-Khoa Toán Đại học sư phạm Hà Nội 2 14 Khoá luận tốt nghiệp Tách 1 biến trong các biến ( x1,..., xn ) giả sử là xn Đặt t  xn Trong vật lí, t -thời gian, x '  ( x1,..., xn ) là các tọa độ không gian Giả sử trên mặt phẳng và trong lận cận điểm x0'  ( x10 ,..., xn01 ) cho các điều kiện ban đầu u t t 0  u0 ( x '); u t t t 0  u1 ( x ') Bài toán tìm nghiệm của phương trình (4.1) trong một lân cận nào đó của x0  ( x10 ,..., xn01, t 0 ) với các điều kiện (4.3) được gọi là các bài toán Côsi. Định lí Kovalepskaia: Giả sử phương trình (4.1) viết được dưới dạng: n 1  2u n1  2u  2u n1 u  b ( x )  b ( x )   bi ( x)  b( x)u  h( x) (4.4)   ij in 2 t  x  x  x  t  x i , j 1 i , j 1 i , j 1 i j i i Giả sử bij , bin , bi , b, h là các hàm giải tích trong lân cận của điểm x 0 còn u j , j  0,1 là các hàm giải tích trong 1 lân cận của điểm x0' . Khi đó bài toán Côsi (4.3) (4.4) có nghiệm giải tích trong một lân cận nào đó của điểm x 0 và là nghiệm duy nhất trong lớp các hàm giải tích. 2. Bài toán Côsi tổng quát Giả sử trong miền  cho mặt (n-1) chiều đủ trơn S và tại mỗi điểm của mặt cho một đường cong  nào đó không tiếp xúc với mặt S, biến thiên đủ trơn trên mặt S. Bài toán tìm nghiệm của phương trình (4.1) trong một lân cận nào đó của S sao cho : Vũ Thị Mai K32B-Khoa Toán Đại học sư phạm Hà Nội 2 u S u  15 Khoá luận tốt nghiệp  u0 ( x ) S  u1  x  ở đó u0 , u1 là các hàm đã cho trên mặt S, được gọi là hàm toán Coossi tổng quát của phương trình (4.1). Các hàm u0 , u1 được gọi là các dữ kiện biên Côsi S được gọi là mặt Côsi Vũ Thị Mai K32B-Khoa Toán Đại học sư phạm Hà Nội 2 16 Khoá luận tốt nghiệp Chương 2: Nội dung Phương trình loai Elliptic §1: Thiết lập phương trình Bài toán: Xét một vật thể rắn  mà nhiệt độ của nó tại điểm x  x( x1, x2 , x3 ) và tại thời điểm t được xác định bởi hàm u( x, t )  C 2.1 ( [0,T ]) . Ta coi  là vật thể đẳng hướng, tức là truyền nhiệt theo phương nào cũng như nhau. Giả sử 1 là miền con của  với biên 1 trơn. Gọi V là một thể tích bất kì trong vật thể giới hạn bởi 1 . Ta tính phần thể tích V trong khoảng thời gian từ t1 đến t2 sẽ hấp thụ thêm một nhiệt lượng Q1 . H ay nhiệt lượng bên trong 1 sau khoảng thời gian từ t1 đến t2 có thể xác định qua sự thay đổi của nhiệt độ Q1  u( x, t2 )  u( x, t1 )c( x)  ( x)V Hay Q1   c( x)  ( x) u ( x, t2 )  u ( x, t1 ) dx 1 ở đây  ( x) là mật độ c ( x ) là nhiệt dung của vật thể taị điểm x Theo định luật Newton, sau khoảng thời gian từ t1 đến t2 lượng nhiệt truyền qua mặt 1 bằng : t2 Q2   dt t1 Vũ Thị Mai  1 k ( x) u ds n K32B-Khoa Toán Đại học sư phạm Hà Nội 2 Với 17 Khoá luận tốt nghiệp u là đạo hàm theo hướng pháp tuyến ngoài đối với mặt 1 , n k ( x) là các hàm dương và được gọi là hệ số truyền nhiệt bên trong vật thể tại thời điểm x . Trong vật thể có thể tự sinh ra nhiệt (chẳng hạn do tác động của các dòng điện hay các phản ứng hóa học). Khi đó lượng nhiệt tỏa ra hay mất đi trong một đơn vị thể tích và đơn vị thời gian từ t1 đến t2 là: t2 t2 Q3   dt  f ( x, t )dV   dt t1 1 t1  f ( x, t )dx 1 ở đó f ( x, t ) là mật độ nguồn nhiệt tại thời điểm x và tại thời điểm t. Giả sử h( x)  C1 () , f ( x, t )  C 0 ( [0, T ] ,  ( x)  C 0 () , c( x)  C 0 () Theo định luật bảo toàn năng lượng ta có: Q2  Q1  Q3 2 u   c( x)  ( x) u ( x, t2 )  u ( x, t1 ) dx   dt  k ( x) ds   dt  f ( x, t )dx n 1 t1  t1 1 t2 t Theo công thức Gauss-Ostrogradski ta có: 3 t2 u   u  k ( x ) ds  dt k ( x )  t  t  xi  xi dx  n i  1 1 1 1 1 t2 Khi đó ta có:  t2 t1 t2 3 t2 u   u  dt  c( x)  ( x) dx    dt   k ( x) dx   dt  f ( x, t )dx  t  x  x i 1 t1 i  i  1 1 t1 1 Vũ Thị Mai K32B-Khoa Toán Đại học sư phạm Hà Nội 2 18 Khoá luận tốt nghiệp Vì 1 là miền con tùy ý của  trong khoảng thời gian (t1, t2 ) tùy ý, các hàm dưới dấu tích phân liên tục nên ta có: c( x)  ( x) u 3   u     k ( x)   f  x, t  t i 1 xi  xi  Với t [0,T ] và x  Nếu vật thể thuần nhất, thì c( x),  ( x), k ( x) là các hằng số ta có: 3 u  2u 2  a  2  g ( x, t ) t i 1 xi Với a  f ( x, t ) k và g ( x, t )  c c Nếu trong vật thể không có nguồn nhiệt, nghĩa là: f ( x, t )  0 thi khi đó ta có : 3 u  2u 2 a  2 t i 1 xi Nếu nhiệt độ của vật thể được ổn định, tức là không phụ thuộc vào thời gian thì hàm u ( x) cho phân bố dừng nhiệt độ và thỏa mãn phương trình :  2u  f ( x)  2 i 1 xi 3 Khi f ( x)  0 được gọi là phương trình Laplace. Khi f ( x)  0 được gọi là phương trình Poisson. Bài toán tìm phân bố nhiệt dừng của nhiệt độ bên trong vật thể theo nhiệt độ đã cho trên biên được gọi là bài toán Dirichlet . Vũ Thị Mai K32B-Khoa Toán Đại học sư phạm Hà Nội 2 19 Khoá luận tốt nghiệp §2: Phương trình Laplace Hàm điều hòa Phương trình Laplace có dạng:  2u  2 u  2u   ...  2  0 x12 x22 xn ở chương trước khi phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2, n biến thì ta dễ dàng thấy được phương trình Laplace thuộc loại Elip với số giá trị dương n  n . Từ đó khi nghiên cứu về phương trình loại Elip thì người ta thường nghiên cứu về hàm Laplace và hàm điều hòa. 1. Xét bài toán biên (Dirichlet) u  0  u    x   R n a. Nếu  là miền bị chặn Định nghĩa: Hàm điều hòa tại điểm x  ( x1, x2 ,..., xn ) nếu tại điểm đó nó có đạo hàm cấp 2 liên tục và thỏa mãn phương trình Laplace. Định nghĩa: Hàm u ( x) , x  ( x1, x2 ,..., xn ) được gọi là hàm điều hòa trong miền  bị chặn nếu nó là hàm điều hòa tại tất cả các mọi điểm trong miền đó Ví dụ: Hàm u( x, y.z)  x2  y 2  2 z 2 là hàm điều hòa trong mọi miền bị chặn của không gian ( x, y, z ) . b. Nếu  là miền không bị chặn Định nghĩa: Hàm u ( x) , x  ( x1, x2 ,..., xn ) được gọi là hàm điều hòa Vũ Thị Mai K32B-Khoa Toán Đại học sư phạm Hà Nội 2 20 Khoá luận tốt nghiệp trong miền không bị chặn  nếu như trong đó nó có đạo hàm cấp 2 liên tục, thỏa mãn phương trình Laplace và thỏa mãn điều kiện về độ tăng như sau: +Với n=2 thì ta có: u ( x)  c khi ( x, y )   + Trong không gian n chiều thì ta có: u ( x)  c r n2 Với r  x12  x22  ...  xn2 Ví dụ: Hàm u ( x, y )  x x  y2 2 là hàm điều hòa trong mặt phẳng trừ gốc tọa độ (0,0) n Ví dụ: Hàm u ( x)   ai xi  a0 i 1 là hàm điều hòa trong miền  - bị chặn bất kì nhưng không là hàm điều hòa trong  -không bị chặn. 2. Nghiệm cơ bản của phương trình Laplace. Giả sử  là một miền bị chặn trong R n với biên thuộc lớp B1 và giả   sử u ( x), v( x) là các hàm thuộc lớp C 2 ()  C1  -Công thức Green thứ nhất: n v u u dx   v  j ds  j x j   vudx    x   i 1 -Công thức Green thứ hai:  (vu  uv)dx   Vũ Thị Mai  u v  v  u     ds   K32B-Khoa Toán