Tài liệu Phương trình diophantine

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ************* VŨ THỊ HƯƠNG GIANG PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTINE KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số HÀ NỘI – 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN VŨ THỊ HƯƠNG GIANG PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTINE Chuyên ngành: Đại số KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. Nguyễn Thị Kiều Nga Hà Nội – 2018 LỜI CẢM ƠN Sau một thời gian dài nghiêm túc, miệt mài nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ tận tình của các Thầy Cô giáo và các bạn sinh viên, đến nay, khóa luận của em đã hoàn thành. Em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành, sâu sắc tới các Thầy Cô giáo trong tổ Đại số, các Thầy Cô trong khoa Toán, đặc biệt là T.S. Nguyễn Thị Kiều Nga - người đã trực tiếp tạo mọi điều kiện, tận tình giúp đỡ chỉ bảo cho em trong suốt thời gian nghiên cứu, hoàn thiện khóa luận. Mặc dù đã rất cố gắng xong do hạn chế về thời gian cũng như kiến thức của bản thân nên khóa luận của em không thể tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong nhận được sự góp ý từ Thầy Cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2018 Sinh viên Vũ Thị Hương Giang LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp "Phương trình diophantine" được hoàn thành do sự cố gắng nỗ lực tìm hiểu và nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ tận tình của cô giáo - T.S. Nguyễn Thị Kiều Nga. Trong quá trình thực hiện em đã tham khảo một số tài liệu như đã viết trong phần tài liệu tham khảo. Vì vậy, em xin cam đoan khóa luận này là kết quả nghiên cứu khoa học của riêng em, không trùng với bất kì kết quả của tác giả nào khác. Hà Nội, tháng 05 năm 2018 Sinh viên Vũ Thị Hương Giang Mục lục Lời mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 1.2 Lý thuyết chia hết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Quan hệ chia hết . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Số nguyên tố và hợp số. . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3 Ước chung lớn nhất . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.4 Bội chung nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Đồng dư thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Định nghĩa đồng dư thức và điều kiện tương đương 7 1.2.2 Một số tính chất của đồng dư thức . . . . . . . 7 2 Phương trình diophantine 9 2.1 Định nghĩa phương trình diophantine . . . . . . . . . . 10 2.2 Một số phương pháp giải phương trình diophantine . . 11 2.2.1 Phương pháp phân tích thành nhân tử . . . . . 11 2.2.2 Phương pháp sử dụng đồng dư thức . . . . . . . 14 2.2.3 Phương pháp đánh giá . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.4 Phương pháp tham số hóa . . . . . . . . . . . . 19 2.2.5 Phương pháp quy nạp toán học . . . . . . . . . 20 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga 2.2.6 Phương pháp lùi vô hạn Fermat . . . . . . . . . 2.2.7 Phương pháp dùng tính chất của số chính phương 24 2.2.8 Một số phương pháp khác giải phương trình diophantine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 27 3 Một số dạng phương trình diophantine dạng đặc biệt 30 3.1 3.2 3.3 3.4 Phương trình diophantine tuyến tính . . . . . . . . . . 30 3.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.1.2 Ví dụ: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Phương trình Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2.1 Bộ số Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2.2 Phương trình Fermat . . . . . . . . . . . . . . . 38 Phương trình Pell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.3.1 Phương trình Pell loại 1 . . . . . . . . . . . . . 41 3.3.2 Phương trình Pell loại 2 . . . . . . . . . . . . . 42 Một số phương trình diophantine qua các kì thi học sinh giỏi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 SV: Vũ Thị Hương Giang ii K40B-Sư Phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga Lời mở đầu Phương trình diophantine được nghiên cứu từ thời diophantine thế kỉ thứ 3 và nó mãi mãi là đối tượng nghiên cứu của Toán học. Phương trình diophantine là vấn đề nghiên cứu của Số học và Đại số. Chính vì thế mà phương trình diophantine thường có mặt trong các đề thi học sinh giỏi ở tất cả các cấp. Ngoài một số dạng phương trình diophantine có cách giải tổng quát, các bài toán liên quan đến phương trình diophantine thường không có quy tắc giải tổng quát. Tùy vào giả thiết mà mỗi bài toán đưa ra, ta có một cách giải riêng. Điều đó đòi hỏi người làm toán phải có tư duy toán học linh hoạt, sáng tạo, từ đó đem lại hứng thú và niềm đam mê trong Toán học. Học sinh nắm chắc về "Phương trình diophantine" là chìa khóa vàng giải được nhiều bài toán như : Toán số học, tìm giá trị lớn nhất, tìm giá trị nhỏ nhất, hệ phương trình nghiệm nguyên,... Với mong muốn giúp các em học sinh và các Thầy Cô có cái nhìn tổng quát hơn về một số phương trình diophantine, đồng thời với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về phương trình diophantine, em đã chọn đề tài "Phương trình diophantine" làm đề tài khóa luận của mình. Nội dung khóa luận chia làm 3 chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương này nhắc lại một cách sơ lược về các kiến thức liên quan đến phương trình diophantine như lý thuyết chia hết và đồng dư thức. Chương 2: Phương trình diophantine. Chương này đưa ra định nghĩa và một số phương pháp giải phương trình diophantine SV: Vũ Thị Hương Giang 1 K40B-Sư Phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga Chương 3: Một số dạng phương trình diophantine. Chương này đưa ra một số dạng phương trình cổ điển và một số bài toán thực tế giải bằng cách sử dụng phương trình diophantine. Do thời gian có hạn và năng lực của bản thân còn nhiều hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong sự đóng góp ý kiến của các Thầy Cô giáo và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn. Em xin trân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2018 Sinh viên Vũ Thị Hương Giang SV: Vũ Thị Hương Giang 2 K40B-Sư Phạm Toán Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Lý thuyết chia hết Quan hệ chia hết Định nghĩa 1.1. Cho 2 số nguyên tố a, b ∈ Z, b 6= 0. Số nguyên a được gọi là chia hết cho số nguyên b hay b chia hết a nếu tồn tại q ∈ Z thỏa mãn a = b.q. . Kí hiệu: a chia hết cho b là a .. b b chia hết a là b|a Khi a = b.q thì b được gọi là một ước của a. Sau đây ta có các tính chất cơ bản về quan hệ chia hết. 1. 1|a với ∀a ∈ Z. 2. a|a với ∀a ∈ Z, a 6= 0. 3. Nếu a|b và b|c thì a|c với ∀a, b, c ∈ Z và b 6= 0. 4. Nếu a|b thì |a| ≤ |b| với ∀a, b ∈ Z và b 6= 0. 5. Nếu a|bi với a, bi ∈ Z, i = 1, . . . , n thì a| n X i=1 3 bi xi với xi ∈ Z. Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga 6. Nếu a|b và b|a thì a = b hoặc a = −b với a, b ∈ Z và a, b 6= 0. Định lý 1.1. (Phép chia có dư). Với mỗi cặp số nguyên a, b ∈ Z, b 6= 0, tồn tại duy nhất một cặp số nguyên q, r ∈ Z sao cho a = bq + r, với 0 ≤ r < |b|. 1.1.2 Số nguyên tố và hợp số. Định nghĩa 1.2. Số tự nhiên p > 1chỉ có hai ước tự nhiên là 1 và chính nó được gọi là số nguyên tố. Số tự nhiên q > 1 có ước số dương khác 1 và chính nó được gọi là một hợp số. Số tự nhiên được gọi là số chính phương nếu tồn tại số tự nhiên d sao cho n = d2 . Định lý 1.2. Mỗi số nguyên dương lớn hơn 1 đều có ước nguyên tố. Định lý 1.3. (Định lý cơ bản của số học) Cho n là số nguyên dương lớn hơn 1. Khi đó n luôn có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng n = pα1 1 .pα2 2 . . . . .pαk k , trong đó k, αi (i = 1, 2, . . . , k) là các số tự nhiên và pi là các số nguyên tố thỏa mãn 1 < p1 < p2 < . . . < pk Định lý 1.4. (Định lý Euclid). Tồn tại vô hạn số nguyên tố. Định lý 1.5. Giả sử a, b là hai số nguyên dương, còn p là số nguyên . . . tố sao cho ab .. p. Khi đó a .. p hoặc b .. p Định lý 1.6. (Định lý Wilson) p là số nguyên tố khi và chỉ khi (p − 1)! + 1 chia hết cho p. SV: Vũ Thị Hương Giang 4 K40B-Sư Phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.1.3 GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga Ước chung lớn nhất Cho a, b là các số nguyên không đồng thời bằng 0, khi đó tập hợp các ước chung của a và b là hữu hạn. Định nghĩa 1.3. Ước chung lớn nhất của a, b là ước chung d của a và b và mọi ước chung của a và b là ước của d. Kí hiệu (a, b) là ước chung lớn nhất dương của a và b. Định nghĩa 1.4. Các số nguyên a và b được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu (a, b) = 1. Định lý 1.7. Cho a và b là hai số nguyên không đồng thời bằng 0. Khi đó, tồn tại số nguyên x0 , y0 sao cho ax0 + by0 = (a, b). Hơn nữa : {ax + by; x, y ∈ Z} = {k(a, b); k ∈ Z} Hệ quả 1.1. a) Ước chung lớn nhất của a, b chính là số nguyên dương nhỏ nhất biểu diễn dưới dạng ax + by với x, y ∈ Z. b) Mọi ước chung của a, b đều là ước của (a, b). c) Nếu a, b, c, d ∈ Z\0, a = b.c + d thì (a, b) = (b, d). d) (0, a) = |a| với ∀a ∈ Z, a 6= 0. e) Cho a, b ∈ Z không đồng thời bằng 0. Khi đó (a, b) = 1 khi và chỉ khi tồn tại x, y ∈ Z để ax + by = 1. f) Cho a, b ∈ Z và không đồng thời bằng 0. Nếu (a, c) = 1, (b, c) = 1 thì (a, b, c) = 1. g) Cho số nguyên tố p và số nguyên tùy ý m. Khi đó: SV: Vũ Thị Hương Giang 5 K40B-Sư Phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1. (m, n) = GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga   p nếu p|m  1 nếu p 6 |m 2. Nếu p|ab thì p|a hoặc p|b. Định lý 1.8. (Thuật toán Euclid) Cho a, b ∈ Z, b > 0. Thực hiện liên tiếp phép chia có dư, ta có: a = q0 b + r1 b = q1 r1 + r2 r1 = q2 r2 + r3 với 0 < r1 < b, với 0 < r2 < r1 với 0 < r3 < r2 ... rn−2 = qn−1 rn−1 + rn rn−1 = qn rn với 0 < rn < rn−1 với qn > 1 khi đó: (a, b) = rn . 1.1.4 Bội chung nhỏ nhất Định nghĩa 1.5. Cho các số a1 , a2 , . . . , an ∈ Z\{0}. Số nguyên m được gọi là bội chung của a1 , a2 , . . . , an nếu m chia hết cho tất cả số ai với i = 1, 2, . . . , n. Ta thường kí hiệu [a1 , a2 , . . . , an ] để chỉ bội chung nhỏ nhất của a1 . Định lý 1.9. Bội chung nhỏ nhất của các số nguyên a1 , a2 . . . , an là một bội chung b của a1 , a2 , . . . , an và mọi bội chung của a1 , a2 , . . . , an là bội của b. Kí hiệu [a1 , a2 , . . . , an ] là bội chung dương của a1 , a2 , . . . , an . SV: Vũ Thị Hương Giang 6 K40B-Sư Phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.2 1.2.1 GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga Đồng dư thức Định nghĩa đồng dư thức và điều kiện tương đương Định nghĩa 1.6. Cho số nguyên dương m. Hai số nguyên a và b được gọi là đồng dư theo môđun m nếu hiệu a − b chia hết cho m. Nếu a đồng dư với b theo môđun m thì ta viết a ≡ b(mod m) và gọi đó là một đồng dư thức. Ngược lại ta nói a không đồng dư với b theo môđun m và viết a 6≡ b(mod m). Mệnh đề 1.1. Cho số nguyên dương m, khi đó a ≡ b(mod m) khi và . chỉ khi a = b + mt, t ∈ Z hoặc khi và chỉ khi a − b .. m. 1.2.2 Một số tính chất của đồng dư thức 1. Nếu ai ≡ bi (mod m), i = 1, 2, . . . , n; thì n X ai = i=1 n X bi (mod m). i=1 2. Nếu a ≡ b + c(mod m) thì a − c ≡ b(mod m). 3. Nếu a ≡ b(mod m), i = 1, 2, . . . , n thì a + km ≡ b(modm). 4. Nếu ai ≡ bi (modm), i = 1, 2, . . . , n thì n Y ai = i=1 n Y bi (modm). i=1 5. Nếu a ≡ b thì ah ≡ bh(mod m). 6. Nếu ai ≡ bi ( mod m), i = 1, . . . , n và x ≡ y(mod m). thì: n X i=1 SV: Vũ Thị Hương Giang i ai x ≡ n X bi y i (mod m). i=1 7 K40B-Sư Phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga 7. Nếu a ≡ b (mod m), d|a, d|b và (m, d) = 1 thì a b = (mod m). d d 8. Nếu a ≡ b (mod m) thì ah = bh(mod mh). 9. Nếu a ≡ b (mod m), và d là một ước chung dương của a, b, m thì b m a = (mod ). d d d 10. Nếu a ≡ b (mod m) thì (a, m) = (b, m). 11. Nếu a ≡ b (mod m) thì P (a) = P (b)(mod m) với P (x) là đa thức với hệ số nguyên. Định nghĩa 1.7. (Định lý Fermat). Nếu p là một số nguyên tố và a là một số nguyên tùy ý thì ap ≡ p (mod p). Nếu (a, p) = 1, thì ap−1 ≡ 1(mod p). Định lý 1.10. Nếu m là số nguyên dương và (a, m) = 1, thì aϕ(m) ≡ 1(mod m). Ở đây ϕ(m) là các số nguyên dương nhỏ hơn m và nguyên tố cùng nhau với m (ϕ(m) được gọi là phi-hàm Euler). Định lý 1.11. Giả sử r và s là các số nguyên dương và nguyên tố cùng nhau, a và b là hai số nguyên tùy ý. Khi đó tồn tại một số nguyên n sao cho n ≡ a(mod r) và n ≡ b(mod s). Ngoài ra, n được xác định một cách duy nhất. SV: Vũ Thị Hương Giang 8 K40B-Sư Phạm Toán Chương 2 Phương trình diophantine Phương trình diophantine được đặt tên theo tên nhà toán học Hy Lạp là diophantine. Ông sống ở thế kỉ III trước công nguyên, sinh ra ở A-lếch-xăng-đan. Ông đã để tâm nghiên cứu sâu về phương trình này. Cuộc đời diophantine có thể tóm tắt bằng những hàng chữ trên bia mộ như sau: "Hỡi du khách! Nơi đây yên nghỉ một người tên Đi-ô-phăng. Và những con số nhiệm màu có thể nói cho bạn biết về những tháng ngày dài của đời ông. Ông đã sống thơ ngây trong một phần sáu cuộc đời. Một phần mười hai cuộc đời nữa, cằm ông đã lún phún râu. Thêm một phần bảy cuộc đời, ông mang nhẫn cưới trên tay và 5 năm sau, được một đứa con trai xinh xắn. Than ôi, dù rất được thương yêu, người con này đã chết khi anh ta vừa bằng nửa tuổi thọ của cha. Quá đau khổ, người cha bất hạnh chỉ sống thêm bốn năm sau cái chết của con. Bạn hãy nói đi: ông ta thọ bao nhiêu tuổi và cuộc đời ông ra sao?". Theo ngôn ngữ phương trình thì khi đạt tuổi thọ của Đi-ô-phăng là ẩn số x, phiên dịch từng câu trong lời trên bia mộ, ta sẽ được phương 9 Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga trình sau: x x x x + + +5+ +4=x 6 12 7 2 Giải phương trình này, ta dễ dàng tìm được x = 84. Vậy Đi-ô-phăng đã sống 84 năm. Thời niên thiếu của ông (84 : 6) là 14 năm. Vì 84 : 12 = 7 nên ông "có râu" lúc 14 + 7 = 21 (tuổi). Lại do 84 : 7 = 12 nên ông lấy vợ lúc 21 + 12 = 33 (tuổi). Ông có con trai lúc 38 (tuổi). Vì người con chỉ sống bằng nửa tuổi thọ của cha nên anh ta chết lúc 42 tuổi khi đó người cha đã 38 + 42 = 80 (tuổi). Và ông đã nhắm mắt lìa đời lúc 80 + 4 = 84 (tuổi). Thật là một tấm bia độc đáo! 2.1 Định nghĩa phương trình diophantine Định nghĩa 2.1. Phương trình diophantine là phương trình có dạng f (x1 ; . . . ; xn ) = 0 (∗) với f (x1 ; . . . ; xn ) ∈ Z[x1 ; . . . ; xn ], bộ số (x01 , x02 , x03 , . . . , x0n ) ∈ Zn thỏa mãn (∗) được gọi là một nghiệm của phương trình. Ví dụ 2.1. Phương trình x7 + x + 2 = 0 là phương trình diophantine một ẩn. Ví dụ 2.2. Phương trình x3 + y 3 + z 3 = 3 là phương trình diophantine 3 ẩn. SV: Vũ Thị Hương Giang 10 K40B-Sư Phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.2 GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga Một số phương pháp giải phương trình diophantine Phương trình diophantine thường không có cách giải tổng quát. Mỗi dạng phương trình có các cách giải khác nhau. Sau đây là một số phương pháp giải phương trình này. 2.2.1 Phương pháp phân tích thành nhân tử Xét phương trình f (x, y, . . . , z) = m. Giả sử ta có sự phân tích thành các nhân tử f (x, y, . . . , z) = f1 (x, y, . . . , z) . . . fs (x, y, z) Khi đó ta phân tích số nguyên m và tìm được nghiệm của phương trình. Ví dụ 2.3. Giải phương trình nghiệm nguyên sau x2 y + xy − 2x2 − 3x + 4 = 0. Lời giải. Phương trình đã cho tương đương xy(x + 1) − 2x(x + 1) − (x + 1) + 5 = 0, Hay Do đó (x + 1)(xy − 2x − 1) + 5 = 0. (x + 1)(2x + 1 − xy) = 5. Suy ra (x + 1) và (2x + 1 − xy) ∈ Ư(5) = {−5; −1; 1; 5} Ta có bảng sau: SV: Vũ Thị Hương Giang 11 K40B-Sư Phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga x+1 -5 -1 1 5 2x+1-xy -1 -5 5 1 x -6 -2 0 4 y -10/6 -1 L 2 Vậy nghiệm của phương trình là (x, y) = {(−2; −1); (4; 2)}. Ví dụ 2.4. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình x2 (y − 1) + y 2 (x − 1) = 1. Lời giải. Phương trình đã cho tương đương x2 y − x2 + y 2 x − y 2 = 1, Hay  xy(x + y) − (x + y)2 + 2xy = 1.  u = x + y Đặt  v = x.y Phương trình trở thành uv − u2 + 2v = 1 (uv + 2v) − (u2 − 4) = 5. Tương đương (u + 2)(v − u + 2) = 5. Do đó Suy ra (u + 2) và (v − u + 2) ∈ Ư(5) = {1; −1; 5; −5}. Ta có bảng sau: u+2 -5 -1 1 5 v-u+2 -1 -5 5 1 u -7 -3 -1 3 v -8 -10 2 2 SV: Vũ Thị Hương Giang 12 K40B-Sư Phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga Từ đó ta tìm được 4 nghiệm của phương trình là (x, y) = {(1; 2), (2; 1), (2; −5), (−5; 2)}. Ví dụ 2.5. Xác định tất cả các bộ ba số nguyên dương (x, y, z) thỏa mãn phương trình x3 +y 3 +z 3 −3xyz = p, với p là số nguyên tố, p > 3. Lời giải. Vì p = x3 +y 3 +z 3 −3xyz = (x+y+z)(x2 +y 2 +z 2 −xy−yz−zx) và (x + y + z > 1) nên x + y + z = p và x2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx = 1 hay (x − y)2 + (y − z)2 + (z − x)2 = 2. Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết x ≥ y ≥ z ≥ 1. Trường hợp 1: Nếu x > y > z thì x − y ≥ 1, y − z ≥ 1, x − z ≥ 2. Suy ra phương trình vô nghiệm. Vì p > 3 nên p = 3k + 1 và p = 3k + 2. Trường hợp 2: Nếu x = y, khi đó y = z +1, x = z +1 và x+y +z = p p−2 p+1 Vậy z = ,x = y = khi p = 3k + 2. 3 3 Trường hợp 3: x > y = z, khi đó y = z, x = y + 1 và x + y + z = p p−1 p+2 Vậy y = z = ,x = khi p = 3k + 1. 3 3 Kết luận: nếu p = 3k + 1 thì phương trình có 3 nghiệm       p−2 p+1 p+1 p+1 p−2 p+1 p+1 p+1 p−2 , , , , , , , , . 3 3 3 3 3 3 3 3 3 Ví dụ 2.6. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x3 − y 3 = xy + 61 Lời giải. Nhân cả hai vế của phương trình với 27 ta được phương trình tương đương (3x)3 + (−3y)3 + (−1)3 − 3(3x)(−3y)(−1) = 1642. SV: Vũ Thị Hương Giang 13 K40B-Sư Phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga Áp dụng Ví dụ 2.5 a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca) Phương trình đã cho tương đương (3x − 3y − 1)(9x2 + 9y 2 + 1 + 9xy + 3x − 3y) = 2.823 Vì (9x2 + 9y 2 + 1 + 9xy + 3x − 3y) > (3x − 3y − 1) và 823 là số nguyên  3x − 3y − 1 =2 tố nên ta có  9x2 + 9y 2 + 1 − 9xy + 3x − 3y = 823 Giải hệ phương trình ta thu được nghiệm là (6; 5). 2.2.2 Phương pháp sử dụng đồng dư thức Bằng cách xét đồng dư 2 vế của phương trình,ta chứng minh phương trình không có nghiệm nguyên hoặc dùng để hạn chế các khả năng của biến. Từ đó dễ dàng tìm được nghiệm nguyên của phương trình. Ta chú ý rằng a2 ≡ 0, 1(mod 3) a2 ≡ 0, 1(mod 4) a2 ≡ 0, 1, 4(mod 5) a2 ≡ 0, 1, 4(mod 8) a2 ≡ 0, 1, 4, 7(mod 9) a3 ≡ 0, 1, 8(mod 9) Ta thường sử dụng các điều kiện này để giải phương trình theo phương pháp đồng dư thức. Sau đây là một số ví dụ minh họa cho phương pháp này. Ví dụ 2.7. Giải phương trình nghiệm nguyên x2 = 2y 2 − 8y + 3. Lời giải. Ta có phương trình x2 = 2y 2 − 8y + 3 Tương đương với SV: Vũ Thị Hương Giang x2 = 2(y − 2)2 − 5 14 K40B-Sư Phạm Toán