Tài liệu Phương trình chuyển động của các trường thành phần trong phiến hàm dây

1 LỜI CẢM ƠN Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới GS.TSKH Đào Vọng Đức, người đã tận tình hướng dẫn em hoàn thành luận văn này. Em xin cảm ơn các thầy cô giáo khoa Vật lý và khoa Sau đại học trường Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho chúng em học tập. Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã luôn bên cạnh và giúp đỡ động viên tôi trong suốt quá trình học tập. Hà Nội, tháng 9 năm 2010 Tác giả NGUYỄN XUÂN HUY 2 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên cứu đưa ra trong luận văn chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác. NGUYỄN XUÂN HUY Mục lục 1 Các nguyên lý cơ bản của lý thuyết dây 2 6 1.1 Hạt điểm và hạt dây. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Phương trình Dây và khai triển tọa độ Dây. . . . . . . . . . 7 1.3 Đại số Dây. 1.4 Các trạng thái kích thích. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5 Siêu dây và siêu tọa độ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Hình thức luận phiếm hàm Dây. 20 2.1 Phiếm Hàm trường dây mở. . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 2.1.1 Miền NS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.2 Miền R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Phiếm hàm trường dây đóng. . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 2.2.1 Miền NS - NS . . . . . 2.2.2 Miền NS - R . . . . . 2.2.3 Miền R - NS . . . . . 2.2.4 Miền R - R . . . . . . Tải BRST trong lý thuyết dây. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 27 30 30 32 2.3.1 Tải BRST cho dây boson . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.2 Tải BTST cho siêu dây mở . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3.3 Tải BRST cho dây đóng . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.4 Tác dụng phiếm hàm dây boson. . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.5 Tác dụng phiếm hàm siêu dây . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.5.1 Tác dụng phiếm hàm siêu dây NS . . . . . . . . . . 51 3 4 2.5.2 3 Tác dụng phiếm hàm siêu dây R . . . . . . . . . . . 54 Các trạng thái chân không. 57 3.1 Chân không của dây boson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.2 Chân không của siêu dây mở. . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.3 3.2.1 Chân không của siêu dây mở NS . . . . . . . . . . . 59 3.2.2 Chân không của siêu dây mở R . . . . . . . . . . . 60 Chân không của siêu dây đóng. . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.3.1 Dây boson đóng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.3.2 Siêu dây đóng NS - NS. . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.3.3 Siêu dây đóng NS - R. . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.3.4 Siêu dây đóng R - NS. . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.3.5 Siêu dây đóng R - R. . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài. Lý thuyết Dây được xem là một phương hướng nghiên cứu có nhiều triển vọng trong việc xây dựng mô hình Đại thống nhất các tương tác cơ bản. Dây có thể ở vô số các trạng thái kích thích, mỗi trạng thái tương ứng với một trường thông thường. Với ý nghĩa đó có thể diễn tả bằng hình thức luận phiếm hàm Dây. Phiếm hàm Dây là tập hợp vô hạn các trường thông thường, mỗi trường ứng với một mode kích thích của Dây. Các trường thành phần này chính là các trường vẫn gặp trong lý thuyết trường thông thường hiện nay Phương trình cho các trường thành phần được suy ra từ một phương trình chung cho phiếm hàm Dây, và từ đó cũng suy ra các mối liên hệ giữa các trường thành phần. Đó là cơ sở để nghiên cứu về tương tác giữa chúng, và do vậy có ý nghĩa thiết thực trong việc đánh giá bàn luận về các mô hình lý thuyết qua các hệ quả định tính và định lượng. 2. Mục đích nghiên cứu. Tìm hiểu phương trình cho các trường thành phần được suy ra từ phương trình chung cho phiếm hàm Dây. 3. Những vấn đề chính được nghiên cứu. Nghiên cứu hình thức luận phiếm hàm Dây và tính toán các phương trình chuyển động. 4. Đối tượng nghiên cứu. Lập tác dụng Dây và suy ra phương trình cho phiếm hàm Dây. Các phương trình chuyển động và các phương trình tương quan về các trường thành phần. 5. Phương pháp nghiên cứu. Phương pháp nghiên cứu siêu đối xứng Hình thức luận đại số Dây. Phương pháp tính. Chương 1 Các nguyên lý cơ bản của lý thuyết dây 1.1 Hạt điểm và hạt dây. Trong lý thuyết trường lượng tử, chất người ta xem hạt như là một đối tượng không kích thước điểm chuyển động trong không - thời gian. Nhưng đến năm 1968 thì mô hình Veneziano hình thành, phản ánh mối quan hệ đối ngẫu giữa hai quá trình tán xạ và hủy cặp. Liền sau đó người ta nhận thức được rằng với mô hình này thì các hạt cơ bản cần được xem như các Dây, đối tượng có kích thước một chiều - dây chuyển động trong không thời gian. Cụ thể: Khi xem như một điểm thì khi chuyển động trong không - thời gian từ
vị trí 1 đến vị trí 2, hạt vẽ ra một đường gọi là đường thế xµ τ . Khi xem như một dây thì khi chuyển động trong không  - thời
gian  từ vị trí 1 đến vị trí 2, hạt quét nên một mặt gọi là lá thế. X µ τ, σ . Trong đó: τ : có thể xem như thời gian riêng của Dây, −∞ < τ < +∞. σ : có thể xem như độ dài xác định vị trí từng điểm trên dây, 0 ≤ σ ≤ π Ta viết dưới dạng vector hai chiều trên lá thế như:
λα = τ, σ , λ0 = τ, λ1 = σ Lúc này chuyển động của hạt dây trong không - thời gian được mô tả 6 7 bởi tác dụng: Z 1 S= d2 λη αβ ∂α X µ .∂β Xµ 2π Z
1 0 = dτ dσ ∂τµ ∂τ − ∂σ X µ .∂σ Xµ 2π (1.1) (1.2) η αη là metric MinKowski trên lá thế: η 00 = 1, 1.2 η 11 = −1, η 01 = η 10 = 0 Phương trình Dây và khai triển tọa độ Dây. Xuất phát từ phương trình Euler - Lagrange: δL δL α
=0 − ∂ δX µ δ ∂ αX µ (1.3) Ta có Lagrange trên lá thế: L= 1 αβ η ∂α X µ .∂β Xµ 2π δL =0 δX µ   δL δ 1 γδ
=
η ∂γ X λ ∂δ Xλ α µ α µ 2π δ ∂ X δ ∂ X Quy ước: α, β, γ, δ = 0, 1 : chỉ số trên lá thế. µ, ν, λ, ρ = 0, 1, 2, · · · , D − 1 : chỉ số trong không gian (1.4) (1.5) (1.6) 8   δL δ 1
=
ηγδ ∂ γ X λ ∂ δ Xλ α µ α µ 2π δ ∂ X δ ∂ X

 2 D 1 δ γ λ δ ρ
ηγδ ηλρ ∂ X ∂ X = 2π δ ∂ α X µ (

) γ λ δ ρ δ ∂ X δ ∂ X 1
∂δX ρ + ∂γ X λ
ηγδ ηλρ = α µ 2π δ ∂ X δ ∂ αX µ  1 ηγσ ηλρ σαγ σµλ ∂ σ X ρ + ∂ γ X σ ∂ασ σµρ = 2π 1  ηαδ ηµρ ∂ σ X ρ + ∂ γ X λ σασ δµρ = 2π 1 = {∂α Xµ + ∂α Xµ } 2π 1 = ∂α Xµ . π
Thay vào 1.4 ta được:
∂ α ∂α Xµ = 0 Hay: (1.7) (1.8) (1.9) (1.10) (1.11) (1.12) (1.13) (1.14) ∂α ∂ α X µ = 0 (1.15)
∂α ∂ α X µ ≡ ∂r2 − ∂σ2 Xµ = 0 (1.16) Đó là phương trình sóng một chiều với nghiệm tổng quát là:


X µ λ = XRµ τ − σ + XLµ τ + σ (1.17) Ở đây: XRµ mô tả các mode "chuyển động phải". XLµ mô tả các mode "chuyển động trái". Đối với dây mở ta đặt điều kiện biên là: X 0µ ≡ ∂σ X µ = 0 tại σ = 0, π (1.18) 9 Lúc này ta có biểu thức khai triển:
i X 1 µ in τ −σ
1 µ 1 µ α e τ −σ = x + p τ −σ − 2 2 2 n=±1,±2,··· n n
1 µ 1 µ
i X 1 µ in τ −σ
µ XL τ + σ = x + p τ + σ − α e 2 2 2 n=±1,±2,··· n n X 1
Xµ λ = xµ + pµ τ −i αnµ einτ . cos nσ n n=±1,±2,··· XRµ
(1.19) (1.20) (1.21)   xµ như tọa độ của khối tâm dây. Trong đó: pµ như xung lương của khối tâm dây.  αnµ như các dao động tử quỹ đạo. Yêu cầu X µ phải thực nên xµ và pµ phải thực và: µ αnµ+ = α−n Đối với dây đóng ta đặt điều kiện tuần hoàn:

X µ τ, σ = X µ τ, σ + π (1.22) Lúc này ta có biểu thức khai triển:
i X 1 µ 2in τ −σ
1 µ 1 µ τ −σ = x + p τ −σ − α e (1.23) 2 2 2 n=±1,±2,··· n n
1 µ 1 µ
i X 1 µ 2in τ −σ
µ XL τ + σ = x + p τ + σ − α̃ e (1.24) 2 2 2 n=±1,±2,··· n n 
i X 1 2inτ  µ −2inτ Xµ λ e αn e + α̃nµ e+2inσ = x µ + pµ τ − 2 n=±1,±2,··· n XRµ
(1.25) Với: αnµ : dao động tử quỹ đạo ướng với "chuyển động phải." α̃nµ : dao động tử quỹ đạo ướng với "chuyển động trái." Với dây mở ta có: Ẋ µ ≡ ∂τ X µ = X n=−∞ αnµ einτ . cos nσ (1.26) 10 µ X X 0 ≡ ∂σ X µ = αnµ einτ . sin nσ (1.27)   e2inτ αnµ e−2inτ + α̃nµ e+2inσ (1.28)   e2inτ αnµ e−2inτ − α̃nµ e+2inσ (1.29) n=+∞ Ở đây: α0µ ≡ pµ Với dây đóng ta có: Ẋ µ ≡ ∂τ X µ = X n=−∞ µ X 0 ≡ ∂σ X µ = X n=+∞ Ở đây: 1.3 α0µ ≡ α̃0µ ≡ 21 pµ Đại số Dây. Tensor năng - xung lượng trên lá thế: 1 Tαβ ≡ ∂α X µ .∂β Xµ − ηαβ ∂ γ X µ .∂γ Xm u 2 Ta lập các toán tử: Z
1 −inτ π Ln ≡ − e dσ T00 cos nσ − iT10 sin nσ , π 0 Đặc biệt: 1 L0 ≡ − π 1 Với: P0 ≡ π Z Z (1.30) n∈Z (1.31) π dσT00 = −P0 (1.32) 0 π dσT00 là véc tơ năng - xung lượng trên lá thế. 0 Từ 1.30 ta suy ra: 1 chỉ số lá thế là γ = 0, 1 T00 = ∂0 X µ ∂0 Xµ − ∂ γ X µ ∂γ Xµ 2
1 = ∂0 X µ ∂0 Xµ − ∂0 X µ ∂0 Xµ − ∂ 1 X µ ∂1 Xµ 2
1 = ∂0 X µ ∂0 Xµ + ∂ 1 X µ ∂1 Xµ 2
1 µ = Ẋ Ẋµ + X 0µ Xµ0 2 (1.33) (1.34) (1.35) (1.36) 11 Tương tự: 1 T10 = X 0µ Ẋµ 2 (1.37)
Thay vào biểu thức 1.31 và sử dụng biểu thức (1.11), 1.12 ta tính được: ∞ 1 X µ α−k αµ,n+k Ln = L n = − 2 với dây mở (1.38) với dây đóng (1.39) k=−∞ Ln = Ln + L̃n ∞ 1 X µ L̃n ≡ − α̃−k α̃µ,n+k 2 (1.40) k=−∞ Mặc khác ta cũng có: + L+ n = L−n và L̃n = L̃−n µ µ như , α̃−n Bây giờ ta xem αnµ , α̃nµ với n > 0 như các toán tử hủy và α−n các toán tử sinh. Như vậy ta định nghĩa lại Ln , L̃n dưới dạng tích normal: ∞ 1 X µ L̃n ≡ − : α−k αµ,n+k : 2 (1.41) ∞ 1 X µ L̃n ≡ − : α̃−k α̃µ,n+k : 2 (1.42) k=−∞ k=−∞ Ta tính được giao hoán tử: ∞   1 X  µ  γ Ln , Lm = α−k αµ,n+k , αn+k αγ,m+l 4 (1.43) k,l=−∞ Áp dụng đồng nhất thức dạng:           AB, CD = B, C DB + C A, D B + A B, C D + AC B, D  µ γ Kết hợp với αm , αn = −m.η µγ σm+n,0 Ta được:  
 1 Ln , Lm = n − m − 2 ∞ X k=−inf ty µ α−k αµ,n+m+k  (1.44) 12 Một cách tổng quá ta có:  

Ln , Lm = n − m Ln+m + A n .σn+m,0 (1.45)
Trong đó A n được gọi là số hạng dị thường và tính được là:
D
A n = n n2 − 1 12 D : số chiều không - thời gian Cuối cùng ta được:
 
D Ln , Lm = n − m Ln+m + n n2 − 1 .σn+m,0 12  

D L̃n , L̃m = n − m L̃n+m + n n2 − 1 .σn+m,0 12 (1.46) (1.47) Đại số được tạo nên như trên được gọi là đại số Virasoro dị thường hay còn gọi là đại số dây Boson, là nền tảng của lý thuyết dây Boson. Và Dây được xây dựng như trên có khả năng mô tả các trạng thái có spin nguyên. Để khắc phục nhược điểm này
người ta đã xét đến siêu Dây. Để mô tả siêu Dây, ngoài
tọa độ xµ τ, σ người ta đưa thêm vào tọa độ spinor trên lá thế ΨµA τ, σ , A = 1, 2. Tương tự đối với siêu Dây ta có siêu Đại số bao gồm các vi tử giao hoán Ln và các vi tử phản giao hoán Gr : X µ Gs = − α−k bµ,s+k (1.48) k∈Z Gr = − X µ α−k bµ,r+k (1.49) k∈Z
Trong đó bµs dµs là các siêu dao động tử, tuân theo hệ thức phản giao hoán: Miền NS : Siêu đại số Neveu - Schwars
 
1 Ln , Lm = n − m Ln+m + Dn n2 − 1 σn,−m 8 1  2 1 {Gs , Gr } = 2Ls+r + D s − σs,−r 2 4  
1 Ln , Gs = n − s Gn+s 2 (1.50) (1.51) (1.52) 13 Miền R: Siêu đại số Ramond  
1 Ln , Lm = n − m Ln+m + Dn3 σn,−m 8 1 2 {Gs , Gr } = 2Ls+r + Ds σs,−r 2  
1 Ln , Gs = n − s Gn+s 2 1.4 (1.53) (1.54) (1.55) Các trạng thái kích thích. Xét không gian Fock các trạng thái kích thích tạo nên do tác dụng các toán tử sinh αnµ+ và α̃nµ+ , n > 0, lên trạng thái nền chân không |0i. Chuẩn của các trạng thái này không phải tất cả đều > 0. Chẳng hạn:  0 0+    0 0+   0 αn αn  0 = 0  αn , αn  0 = −n < 0 (1.56) Do đó αn0+ |0i không thể xem là trạng thái vật lý. Không gian các trạng thái chỉ là một không gian con của toàn không gian Fock nói trên, thỏa mãn một số điều kiện nhất định. Trước hết, trạng thái vật lý phải có chuẩn > 0. Cụ thể, xét một không gian trạng thái vật lý |φi là không gian con của không gian Fock: • Đối với dây mở, ta có:
L0 − a0 |φi = 0 Ln |φi = 0, n>0 • Đối với dây đóng, ta có:
L0 − a0 |φi = 0, Ln |φi = 0, a0 : thông số Regge. (1.57) (1.58)
L̃0 − a0 |φi = 0 (1.59) L̃n |φi = 0, n > 0 (1.60) (1.61) Từ các phương trình trên ta tìm phổ khối lượng của các trạng thái kích thích: 14 • Đối với dây mở: ∞ 1 X µ αµk : : α−k L0 = − 2 1 =− 2 =− =− =− 1 2 1 2 1 2 k=−∞ −∞ X : k=−1 −∞ X k=−1 ∞ X k=1 ∞ X k=1 ∞ µ αµk α−k 1 1X µ : − : α0µ αµ0 : − : α−k αµk : 2 2 k=1 1 1 µ − α0µ αµ0 − αµk α−k 2 2 1 1 αµ,−k αkµ − p2 − 2 2 1 1 µ α−k αµk − p2 − 2 2 1 = − p2 − 2 ∞ X ∞ X k=1 ∞ X ∞ X µ αµk α−k k=1 µ αµk α−k µ α−k αµk k=1 µ α−k αµk (1.62) k=1

Thế 1.62 vào 1.58 ta được: ( p2 |φi = −2 a0 + ( M 2 ≡ −2 a0 + ∞ X ) µ α−k αµk k=1 ∞ X |φi (1.63) ) µ α−k αµk (1.64) k=1 Với M 2 là toán tử bình phương khối lượng của dây. Tác dụng nên trạng thái kích thích:    n1 n2 ···np
+ µ+ µ+ φ 1 αµ2 · · · α p |0i ∼ α (1.65) np n1 n2  Chính trạng thái riêng của M2 với trị riêng tương ứng: ! p X m2 = 2 −a0 + ni (1.66) i=1   M 2 φ n1 n2 ···np
 = 2 −a0 + p X i=1 !  ni φ n1 n2 ···np
 (1.67) 15 • Đối với dây đóng: ∞ ∞ X µ X µ 1 1 α−k αµk L̃0 = − p2 − α̃−k α̃µk L0 = − p2 − 8 8 k=1 (1.68) k=1
Thế vào 1.61 ta được: ) ) ( ( ∞ ∞ X X µ µ α̃µk |φi αµk |φi = −8 a0 + α̃−k α−k p2 |φi = −8 a0 + k=1 k=1 ( M2 ≡ −8 a0 + ∞ X ) µ αµk α−k ( ≡ −8 a0 + ∞ X (1.69) ) µ α̃µk α̃−k k=1 k=1 (1.70) Tương tự: Tác dụng lên trạng thái kích thích:    n1 n2 ···np ,m1 m2 ···mq
+ u+ γ+ u+ φ 1 · · · φ p .φ̃γ1 · · · φ̃ q ∼ φ n nq p n1 n1  Là trạng thái riêng của M 2 ứng với trị riêng tương ứng: ! ! p p X X m2 = 8 −a0 + ni = 8 −a0 + mi i=1   M 2 φ n1 n2 ···np ,m1 m2 ···mq
 (1.71) (1.72) i=1 = 8 −a0 + p X i=1 !  ni φ n1 n2 ···np ,m1 m2 ···mq
 (1.73) Suy ra: p X i=1 ni = q X mi (1.74) i=1 Chú ý: Ở trạng thái cơ bản ứng với p = 0, q = 0 thì m2 = −2a0 với dây mở và m2 = −8a
0 với2 dây đóng. Như vậy khi a0 > 0 chẳng hạn với dây Boson a0 = 1 thì m < 0 các hạt tương ứng gọi là tachyon. Hiện nay đang tìm cơ chế để khử tachyon đó là cơ sở đưa vào toán tử chiếu GSO. 16 1.5 Siêu dây và siêu tọa độ. Lý thuyết dây Boson có những hạn chế, chẳng hạn sự tồn tại các tachyon, số chiều không - thời gian ngoại phụ quá nhiều. Ngoài ra, như đã thấy cấu trúc lý thuyết, dây boson không có khả năng mô tả các trạng thái có spin bán nguyên. Nhằm khắc phục các nhược điểm này, người ta đưa vào siêu đối xứng trên lá thế,
thể hiện qua sự biến đổi qua lại giữa các tọa độ không - thời gian X
µ τ, σ với các đối tác của chúng - các siêu tọa độ phản giao hoán ψ µ τ, σ . Đối với không - thời gian của dây
đó là các vector, còn đối µ với lá thế là các spinor hai thành phần
ψA τ, σ , A = 1, 2. Ngoài ra, chúng là những đại lượng thực Majorana : + (ψAµ ) = ψ µ+
A = ψAµ (1.75) Lúc này
dây trong không - thời gian được xác định bởi cả
vị µtrí của X τ, σ và ψ τ, σ , và dây được gọi là siêu dây. µ Chuyển động của siêu dây được mô tả bởi tác dụng dạng:

x ψ S=S +S (1.76) Với: Z 1 S = d2 λη αβ ∂α X µ .∂β Xµ 2π Z
1 S ψ = d2 λη αβ ∂¯µ ρα ∂β ψµ 2π x
(1.77) (1.78)
Ta hãy tìm phương trình chuyển động cho ψAµ ..Từ 1.78 ta có: δL i 0 α
B = ρ ρ A ∂α ψµB δψAµ 2π
i δL α A
= ψ̄ρ 2π δ ∂α ψAµ
B i = − ψµB ρ0 ρα A 2π i 0 α
B =− ρ ρ A ψµB 2π (1.79) (1.80) (1.81) (1.82) 17 Thay kết quả vào phương trình Euler - Lagrange δL δL
=0 µ − ∂0 δψA δ ∂α ψAµ (1.83) ta được phương trình chuyển động: ρα ∂α ψµ = 0 (1.84) Viết tường minh cho từng thành phần:

∂τ + ∂σ ψ1µ = 0 , ∂τ − ∂σ ψ2µ = 0 (1.85) • Siêu dây mở: Điều kiện biên:

Ψµ1 τ, 0 = Ψµ2 τ, 0 (1.86) Khi đã buộc điều kiện trên thì dấu tương đối giữa ψ1µ và ψ2µ tại σ = 0 trở nên có ý nghĩa. Lúc này ta phân biệt làm hai trường hợp:
1. Điều kiện biên Neveu - Schwars miền NS :

Ψµ1 τ, π = −Ψµ2 τ, π (1.87)
2. Điều kiện biên Ramond miền R :

Ψµ1 τ, π = Ψµ2 τ, π (1.88) Nghiệm của các phương trình chuyển động thỏa mãn các điều kiện biên trên tương ứng có biểu thức tổng quát như sau: 1. Miền NS: ψ1µ 1 X µ ir τ, σ = √ br e 2 1
τ −σ
τ +σ
(1.89) r∈Z+ 2 ψ2µ 1 X µ ir τ, σ = √ br e 2 1
(1.90) r∈Z+ 2 2. Miền R: 1 X µ in τ, σ = √ dn e 2 n∈Z−0
1 X µ in ψ2µ τ, σ = √ dn e 2 n∈Z−0 ψ1µ
τ −σ
τ +σ
(1.91) (1.92) 18 Trong đó bµr , dµn được gọi là siêu dao động tử. Do ψAµ là Majorana nên: µ µ µ+ bµ+ r = b−r , ≡ dn = d−n (1.93) • Siêu dây đóng: Điều kiện biên: có thể là tuần hoàn

ΨµA τ, σ + π = ΨµA τ, σ (1.94) hoặc là phản tuần hoàn

ΨµA τ, σ + π = −ΨµA τ, σ (1.95) Do đó ta phân biệt bốn miền như sau: 1. Miền NS - NS 2. Miền NS - R 3. Miền R - NS 4. Miền R - R

Ψµ1 τ, σ + π = −Ψµ1 τ, σ

Ψµ2 τ, σ + π = −Ψµ2 τ, σ (1.96)

Ψµ1 τ, σ + π = −Ψµ1 τ, σ

Ψµ2 τ, σ + π = Ψµ2 τ, σ (1.98)

Ψµ1 τ, σ + π = Ψµ1 τ, σ

Ψµ2 τ, σ + π = −Ψµ2 τ, σ (1.100)

Ψµ1 τ, σ + π = Ψµ1 τ, σ

Ψµ2 τ, σ + π = Ψµ2 τ, σ (1.102) (1.97) (1.99) (1.101) (1.103) Nghiệm các phương trình chuyển động thỏa mãn các điều kiện trên có biểu thức khai triển tổng quát như sau: 1. Miền NS - NS ψ1µ
τ, σ = X bµr e2ir τ −σ
b̃µr e2ir τ +σ
(1.104) r∈Z+ 21 ψ2µ
τ, σ = X r∈Z+ 12 (1.105) 19 2. Miền NS - R ψ1µ
τ, σ = X bµr e2ir τ −σ
d˜µr e2ir τ +σ
dµr e2ir τ −σ
b̃µr e2ir τ +σ
bµr e2ir τ −σ
d˜µr e2ir τ +σ
(1.106) r∈Z+ 12 ψ2µ
τ, σ = X (1.107) r∈Z−0 3. Miền R - NS ψ2µ
τ, σ = X (1.108) r∈Z−0 ψ2µ
τ, σ = X (1.109) r∈Z+ 12 4. Miền R - R ψ1µ
τ, σ = X (1.110) r∈Z+ 21 ψ2µ
τ, σ = X (1.111) r∈Z−0 Điều kiện Majorana của ψAµ buộc: µ bµ+ r = b−r , µ b̃µ+ r = b̃−r , µ dµ+ n = d−n , ˜µ d˜µ+ n = d−n (1.112) Chương 2 Hình thức luận phiếm hàm Dây. Trong chương 1, số lượng tử hóa dây mới chỉ ở mức độ biến các tọa độ X µ , ψ µ , · · · thành các toán tử tuân theo các quy tắc giao hoán nhất định. Do đó vẫn chưa có khả năng mô tả các quá trình sinh và hủy dây, để có thể mô tả quá trình chuyển hóa giữa các dây cần phải xây dựng lý thuyết trường dây lượng tử. Để chuyển từ lượng tử hóa dây đơn lẻ sang lý thuyết trường dây lượng tử, ta chuyển từ hàm sóng mô tả trạng thái của dây sang phiếm hàm trường dây. 

 |φi → Φ X µ τ, σ , Ψµ τ, σ , · · · (2.1) Đây là phiếm hàm với các giá trị là các trường trong không - thời gian xµ . 2.1 2.1.1 Phiếm Hàm trường dây mở. Miền NS Phiếm hàm có biểu thức khai triển tổng quát như sau:
r+s ∞  µ
µ
 X
−i ···nr ,λ1 ···λs Ψ X τ, σ , ψ τ, σ = ψµn11···µ x . r ,γ1 ···γs r!s! r,s=0 + + µ+ µ+ .αnµ11 · · · αrµ1r bλ11 · · · bλss (2.2) với: n1 , · · · nr , λ1 , · · · , λs > 0
···nr ,λ1 ···λs Các hệ số khai triển ψµn11···µ x có thể xem là đối xứng theo các r ,γ1 ···γs

n cặp chỉ số µ và phản xứng theo các cặp chỉ số λγ . 20