Tài liệu Phương pháp spline collocation và một số ứng dụng

LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Tuấn người thầy đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, giúp đỡ trong quá trình nghiên cứu và hoàn chỉnh luận văn này. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các GS, TS giảng dạy chuyên ngành Toán Giải Tích, cùng các thầy giáo, cô giáo phòng sau đại học trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, ban Giám hiệu và tổ Toán trường THPT Phương Sơn Lục Nam Bắc Giang đã tạo điều kiện, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài. Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, các bạn đã luôn quan tâm, động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn . Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 2011 Tác giả Trần Việt Phương LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của T.S Nguyễn Văn Tuấn. Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Một số kết quả đã đạt được trong luận văn là mới và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác. Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 2011 Tác giả Trần Việt Phương Mục lục Lời mở đầu 6 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 9 1.1 1.2 1.3 Các khái niệm cơ bản của giải tích hàm . . . . . . . . . . . 9 1.1.1 Không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2 Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.3 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.4 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Số gần đúng và sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.1 Số gần đúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.2 Làm tròn số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.3 Quy tắc làm tròn số . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.4 Sai số tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ma trận đường chéo trội và tốc độ hội tụ . . . . . . . . . . 20 1.3.1 Ma trận đường chéo trội . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.2 Tốc độ hội tụ của nghiệm xấp xỉ . . . . . . . . . . 20 Chương 2. Phương pháp spline collocation 2.1 21 Khái niệm spline đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.1 Spline đa thức bậc ba với mốc cách đều . . . . . . . 21 2.1.2 Spline đa thức tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . 27 4 2.2 Sử dụng phương pháp spline collocation cho phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.1 Phương pháp spline collocation . . . . . . . . . . . 32 2.2.2 Giải một lớp phương trình vi phân thường bậc 2 bằng phương pháp spline collocation . . . . . . . . 2.3 2.4 34 Sử dụng phương pháp spline collocation cho một lớp phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3.1 Sự tồn tại nghiệm duy nhất . . . . . . . . . . . . . 42 2.3.2 Đánh giá tốc độ hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Phương pháp spline collocation cho phương trình vi tích phân Fredholm bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.4.1 Định lý sự tồn tại và duy nhất . . . . . . . . . . . . 47 2.4.2 Đánh giá tốc độ hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Chương 3. Một số ứng dụng 61 3.1 Ứng dụng giải phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . 61 3.2 Ứng dụng giải phương trình vi tích phân Fredholm bậc hai 64 Kết luận 66 Tài liệu tham khảo 67 BẢNG KÝ HIỆU N Tập số tự nhiên N∗ Tập số tự nhiên khác không R Tập số thực C Tập số phức C[a;b] Tập tất cả các hàm số thực liên tục trên [a, b] S3 (π) Tập tất cả các hàm spline đa thức bậc 3 k.k Chuẩn ∅ Tập hợp rỗng 6 LỜI MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong khoa học tự nhiên, kĩ thuật, trong kinh tế, cũng như các lĩnh vực khác của cuộc sống chúng ta gặp rất nhiều vấn đề, rất nhiều bài toán đưa tới việc nghiên cứu các phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng... Việc tìm nghiệm đúng của các phương trình này thường gặp khó khăn, hơn nữa nghiệm đúng tìm được khi áp dụng vào thực tiễn tính toán lại phải lấy các giá trị gần đúng. Vì vậy để tìm nghiệm của chúng người ta thường áp dụng các phương pháp giải gần đúng khác nhau. Những năm gần đây các nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu phương pháp spline collocation giải gần đúng phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng... Sở dĩ như vậy vì phương pháp spline collocation có một số ưu điểm sau: - Phương pháp này sử dụng các hàm đa thức trong giải gần đúng. Các hàm đa thức rất dễ dàng lập trình đưa lên máy tính, tính toán thuận lợi, hiệu quả. - Trong một số trường hợp phương pháp spline collocation thường đạt tốc độ hội tụ nhanh, độ chính xác của nghiệm gần đúng tốt hơn các phương pháp khác. - Có thể khái quát cho nghiệm xấp xỉ bằng spline bậc cao hoặc các hàm B-spline. Do đó với sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Tuấn, tôi đã chọn đề tài: ”Phương pháp spline collocation và một số ứng dụng.” 7 2. Mục đích nghiên cứu Tổng hợp các kiến thức về phương pháp spline collocation. Ứng dụng phương pháp để giải gần đúng một số lớp phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống các kiến thức liên quan tới phương pháp spline collocation. Nghiên cứu sử dụng phương pháp giải gần đúng một số lớp phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Luận văn trình bày các vấn đề: Các hàm spline, phương pháp spline collocation, ứng dụng phương pháp spline collocation giải một số lớp phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp phân tích, tổng hợp. Tham khảo ý kiến chuyên gia. 6. Dự kiến đóng góp mới Đề tài đã trình bày cơ sở lý thuyết của phương pháp spline collocation tương đối rõ ràng, được minh họa bằng ví dụ đơn giản. Lấy được ví dụ về một số lớp phương trình riêng. Ứng dụng phền mềm Maple vào tính toán cho phương pháp trên. NỘI DUNG Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này trình bày hệ thống các kiến thức cần thiết sử dụng trong luận văn. 8 Chương 2 Phương pháp spline collocation Trình bày hệ thống cơ bản nhất về các hàm spline, phương pháp spline collocation. Minh họa phương pháp cho một số lớp phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng... Chương 3 Một số ứng dụng Trong chương này sử dụng phương pháp spline collocation để giải gần đúng một số lớp phương trình vi phân. Sử dụng phần mềm Maple trong tính toán. Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm cơ bản của giải tích hàm 1.1.1 Không gian vectơ → − − − Định nghĩa 1.1.1. Cho tập hợp E mà các phần tử được kí hiệu: → α, β ,→ γ , ... và trường K mà các phần tử được kí hiệu là: x, y, z, ... Giả sử trên E có hai phép toán: 1) Phép toán cộng, kí hiệu + : E × E −→ E → − → − − − (→ α , β ) 7−→ → α + β 2) Phép toán nhân, kí hiệu là . : K × E −→ E − − (x, → α ) 7−→ x.→ α thỏa mãn các tiên đề sau: → − → − − → → − − a) → α + β = β +→ α , ∀− α , β ∈ E; → − → − − → − − − − − − b) (→ α + β)+→ γ =→ α +(β +→ γ ), ∀→ α, β ,→ γ ∈ E; → − → − − → − − − − c) Tồn tại θ ∈ E sao cho θ + → α =→ α + θ =→ α , ∀→ α ∈ E; → − → − − → − → − − − d) Với mỗi → α tồn tại α0 ∈ E sao cho α0 + → α =→ α + α0 = θ ; − − − − e) (x + y)→ α = x→ α + y→ α , ∀→ α ∈ E và x, y ∈ K; → − → − − → − − − f) x(→ α + β ) = x→ α + x β , ∀→ α , β ∈ E và x ∈ K; 10 − − − g) x(y → α ) = (xy)→ α , ∀→ α ∈ E và x, y ∈ K; − − − h) 1 · → α =→ α , ∀→ α ∈ E và 1 là phần tử đơn vị của trường K; Khi đó E cùng với hai phép toán trên gọi là không gian vectơ trên trường K, hay K-không gian vectơ, hay không gian tuyến tính. Khi K = R thì E được gọi là không gian vectơ thực. Khi K = C thì E được gọi là không gian vectơ phức. Ví dụ 1.1.1. Dễ dàng kiểm tra C[a, b] là một không gian vectơ. − Định nghĩa 1.1.2. Hệ vectơ (→ αi ), ∀i = 1, 2, ..., n gọi là độc lập tuyến n P → tính nếu xi − αi = 0 kéo theo xi = 0, ∀i = 1, 2, ..., n. i=1 − Hệ vectơ (→ αi ), ∀i = 1, 2, ..., n gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu nó không độc lập tuyến tính. Định nghĩa 1.1.3. Giả sử E là một không gian vectơ. Một hệ vectơ trong E được gọi là một hệ sinh của E nếu mọi vectơ của E đều biểu thị tuyến tính qua hệ đó. Khi E có một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử thì E được gọi là không gian vectơ hữu hạn sinh. Một hệ vectơ trong E được gọi là cơ sở của E nếu nó là hệ sinh độc lập tuyến tính. Định nghĩa 1.1.4. Cho E là không gian vectơ có cơ sở gồm hữu hạn phần tử thì số phần tử trong cơ sở đó được gọi là số chiều của không gian vectơ. Khi E là một K-không gian vectơ có số chiều n ta kí hiệu dimE = n (hay dimK E = n). 11 Định nghĩa 1.1.5. Tập con W 6= ∅ của một K-không gian vectơ E được gọi là không gian vectơ con của E nếu nó ổn định với hai phép toán của E, nghĩa là thỏa mãn các điều kiện sau: → − → − − − 1) ∀→ α , β ∈ W, → α + β ∈ W, − − 2) ∀→ α ∈ W và ∀x ∈ K thì x→ α ∈ W. 1.1.2 Không gian metric Cho X là một tập tùy ý. Định nghĩa 1.1.6. Một metric trong X là một ánh xạ d:X ×X →R của tích X × X vào đường thẳng thực R, thỏa mãn các điều kiện sau đây: 1) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X và d(x, y) = 0 ⇔ x = y; 2) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X; 3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X, (bất đẳng thức tam giác). Tập hợp X cùng với d là một không gian metric, ánh xạ d là hàm khoảng cách (hay metric) trong X. Các phần tử của một không gian metric gọi là các điểm của không gian ấy, số d(x, y) gọi là khoảng cách giữa các điểm x và y. Ví dụ 1.1.2. C[a, b] là không gian metric với khoảng cách d(x, y) = max |x(t) − y(t)|. a≤t≤b 12 Định nghĩa 1.1.7. Một dãy điểm (xn ), n = 1, 2, ... trong không gian metric X gọi là hội tụ đến điểm a ∈ X nếu lim d(xn , a) = 0. Khi đó, ta n→∞ kí hiệu lim xn = a hoặc xn → a, khi n → ∞. n→∞ Định nghĩa 1.1.8. Dãy điểm (xn ) được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Côsi) trong không gian metric X nếu với mọi ε > 0 cho trước, đều tồn tại một số n0 sao cho với mọi n ≥ n0 và m ≥ n0 ta đều có d(xn , xm ) < ε. Dễ thấy mọi dãy điểm hội tụ trong không gian metric đều là dãy cơ bản. Định nghĩa 1.1.9. Một không gian metric X được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ tới một phần tử trong X. Định nghĩa 1.1.10. Cho X và Y là hai không gian metric tùy ý. Ánh xạ A : X → Y được gọi là liên tục tại x0 ∈ X nếu như ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho ∀x ∈ X thỏa mãn d(x, x0 ) < δ thì d(A(x), A(x0 )) < ε. Định nghĩa 1.1.11. Cho X và Y là hai không gian metric tùy ý. Ánh xạ A : X → Y được gọi là một ánh xạ co nếu ∃α với 0 ≤ α < 1 sao cho với 0 ∀x, x ∈ X ta đều có 0 0 d(A(x), A(x )) ≤ α d(x, x ). Định lý 1.1.1. (Nguyên lý ánh xạ co) Giả sử X là một không gian metric đầy đủ, và A : X → X là một ánh xạ co của X vào chính nó. Khi đó tồn tại một và chỉ một điểm x∗ ∈ X sao cho A(x∗ ) = x∗ . 13 1.1.3 Không gian định chuẩn Cho X là một không gian vectơ trên trường P (P = R hoặc C). Định nghĩa 1.1.12. Một chuẩn, kí hiệu || · ||, trong X là một ánh xạ đi từ X vào R thỏa mãn các điều kiện: 1) ||x|| ≥ 0, ∀x ∈ X ; 2) ||x|| = 0 khi và chỉ khi x = θ (θ là kí hiệu phần tử không); 3) ||λx|| = |λ|||x||, ∀λ ∈ P, ∀x ∈ X; 4) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, ∀x, y ∈ X. Số ||x|| được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ x ∈ X. Một không gian vectơ X cùng với một chuẩn xác định trong không gian ấy, được gọi là một không gian định chuẩn (thực hoặc phức, tùy theo P thực hay phức). Định lý 1.1.2. Giả sử X là một không gian định chuẩn. Với mọi x, y ∈ X, đặt d(x, y) = ||x − y||. Khi đó, d là một metric trên X. Định nghĩa 1.1.13. Dãy (xn ) trong không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ đến x0 ∈ X nếu lim ||xn − x0 || = 0. n→∞ Khi đó, ta kí hiệu lim xn = x0 hoặc xn → x0 , khi n → ∞. n→∞ 14 Định nghĩa 1.1.14. Dãy (xn ) trong không gian định chuẩn X được gọi là một dãy cơ bản nếu lim ||xm − xn || = 0. m,n→∞ Định nghĩa 1.1.15. Giả sử không gian định chuẩn X là một không gian metric đầy đủ (với khoảng cách d(x, y) = ||x − y||). Khi đó X được gọi là một không gian định chuẩn đầy đủ, hay còn gọi là không gian Banach. Định nghĩa 1.1.16. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường P . Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y được gọi là ánh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu A thỏa mãn: 1) A(x + y) = Ax + Ay, với mọi x, y ∈ X; 2) A(αx) = αAx, với mọi x ∈ X, α ∈ P . - Nếu A chỉ thoả mãn 1) thì A được gọi là toán tử cộng tính. - Nếu A chỉ thỏa mãn 2) thì A được gọi là toán tử thuần nhất. - Khi Y = P thì toán tử tuyến tính A được gọi là phiếm hàm tuyến tính. Định nghĩa 1.1.17. Cho không gian định chuẩn X và Y . Toán tử tuyến tính A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số c > 0 sao cho ||Ax|| ≤ c||x||, với mọi x ∈ X. Định nghĩa 1.1.18. Cho hai không gian định chuẩn X và Y . Kí hiệu L(X, Y ) là tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian X vào không gian Y . Ta đưa vào L(X, Y ) hai phép toán: 15 1) Tổng của hai toán tử A, B ∈ L(X, Y ) là toán tử, kí hiệu A + B, xác định bởi biểu thức (A + B)(x) = Ax + Bx, với mọi x ∈ X; 2) Tích vô hướng của α ∈ P (P = R hoặc P = C) với toán tử A ∈ L(X, Y ) là toán tử, kí hiệu αA, được xác định bởi biểu thức (αA)(x) = α(Ax). Dễ kiểm tra được rằng A + B ∈ L(X, Y ), αA ∈ L(X, Y ) và hai phép toán trên thỏa mãn tiên đề tuyến tính. Khi đó, tập L(X, Y ) trở thành một không gian tuyến tính trên trường P . Định lý 1.1.3. Nếu Y là một không gian Banach thì L(X, Y ) là không gian Banach. 1.1.4 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.19. Cho không gian tuyến tính X trên trường P (P = R hoặc P = C). Ta gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X × X vào trường P , kí hiệu (·, ·), thỏa mãn các tiên đề: 1) (y, x) = (x, y), ∀x, y ∈ X; 2) (x + y, z) = (x, z) + (y, z), ∀x, y, z ∈ X; 3) (αx, y) = α(x, y), ∀α ∈ P và ∀x, y ∈ X; 4) (x, x) > 0, nếu x 6= θ (θ là kí hiệu phần tử không), ∀x ∈ X; 16 5) (x, x) = 0, nếu x = θ, ∀x ∈ X. Các phần tử x, y, z, ... gọi là các nhân tử của tích vô hướng. Số (x, y) gọi là tích vô hướng của hai nhân tử x và y, các tiên đề 1), 2), 3), 4), 5) gọi là hệ tiên đề tích vô hướng. Định nghĩa 1.1.20. Không gian tuyến tính X trên trường P cùng với một tích vô hướng trên X gọi là không gian tiền Hilbert. Định lý 1.1.4. Cho X là một không gian tiền Hilbert. Với mỗi x ∈ X, p ta đặt ||x|| = (x, x). Khi đó, ta có bất đẳng thức sau (gọi là bất đẳng thức Schwarz). |(x, y)| ≤ ||x||.||y||, ∀x, y ∈ X. Định lý 1.1.5. Mọi không gian tiền Hilbert X đều là không gian định p chuẩn, với chuẩn ||x|| = (x, x). Định nghĩa 1.1.21. Ta gọi không gian tuyến tính H 6= ∅ trên trường P là không gian Hilbert H thỏa mãn các điều kiện: 1) H là không gian tiền Hilbert; 2) H là không gian Banach với chuẩn ||x|| = p (x, x) với x ∈ X. Ta gọi mỗi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là không gian Hilbert con của không gian H. 1.2 1.2.1 Số gần đúng và sai số Số gần đúng Định nghĩa 1.2.1. Ta nói rằng số a là số gần đúng của a∗ nếu a không sai khác a∗ nhiều. Đại lượng ∆ = |a − a∗ | phản ánh mức độ sai lệch giữa 17 a và a∗ gọi là sai số thật sự của a. Định nghĩa 1.2.2. Số ∆a ≥ 0 gọi là sai số tuyệt đối của a∗ nếu thỏa mãn điều kiện: |a − a∗ | ≤ ∆a . (1.1) hay a − ∆a ≤ a∗ ≤ a + ∆a . Bởi vậy ∆a thỏa mãn điều kiện (1.1) càng nhỏ thì độ sai lệch giữa a và a∗ càng ít. Định nghĩa 1.2.3. Số δa = 1.2.2 ∆a |a| gọi là sai số tương đối của a. Làm tròn số Số thập phân tổng quát có dạng: a = ±(αp 10p + ... + αi 10i + ... + αp−s 10p−s ). (1.2) trong đó αj ∈ N, 0 ≤ αj ≤ 9, j = p − 1, p − s, αp > 0, a) Nếu p − s > 0 thì a là số nguyên nên a có giá trị chính xác, b) Nếu p − s = −k(k > 0)) thì a có phần lẻ là k chữ số, c) Nếu p − s → −∞(s → +∞) thì a là số thập phân vô hạn. Làm tròn số a là bỏ đi một số các chữ số bên phải của số a gọn hơn và gần đúng nhất với a. 1.2.3 Quy tắc làm tròn số Giả sử a có dạng (1.2) ta sẽ giữ lại đến bậc thứ i phần bỏ đi là µ thì a = ±(αp 10p + ... + αi+1 10i+1 + αi 10i ), 18 trong đó   αi nếu 0 ≥ µ ≥ 0, 5.10i hoặc µ = 0, 5.10i mà αi là số chẵn, αi =  α + 1 nếu µ > 0, 5.10i hoặc µ = 0, 5.10i mà α là số lẻ. i i Định nghĩa 1.2.4. Sai số thu gọn Γa ≥ 0 là mọi số thỏa mãn điều kiện: |a − a| ≤ Γa . Ta có   |a − a| = (αi − α)10i + µ ≤ 0, 5.10i . Sau khi thu gọn sai số tuyệt đối tăng lên |a∗ − a| ≤ |a∗ − a| + |a − a| ≤ ∆a + Γa . 1.2.4 Sai số tính toán Giả sử phải tìm đại lượng y theo công thức y = f (x1 , x2 , ..., xn ). Gọi x∗ = (x∗1 , x∗2 , ..., x∗n ), y ∗ = f (x∗ ) là giá trị đúng còn x = (x1 , x2 , ..., xn , ), y = f (x) là các giá trị gần đúng của y ∗ , ∆xi = |x∗i − xi | . Nếu f (x1 , x2 , ..., xn ) là hàm khả vi liên tục thì ∗ ∆y = |y − y | = |f (x1 , ..., xn ) − f (x∗1 , ..., x∗n )| n   X  0  = f xi  · |xi − x∗i | , i=1 0 với f xi là đạo hàm theo xi tại điểm trung gian.Vì f khả vi liên tục ∆xi khá bé nên có thể coi n X  0  fx (x1 , x2 , ..., xn ) ∆x . ∆y = i i i=1 Vậy  n    X ∆y  ∂  δy = = ln f  ∆xi .  |y|  i=1 ∂xi 19 1) Sai số của phép toán cộng, trừ n n P P 0 Nếu y = xi thì yxi = 1, vậy ta có ∆y = ∆xi . i=1 i=1 n P Chú ý 1. Nếu tổng đại số y = xi rất bé về giá trị tuyệt đối thì i=1 ∆y |y| lớn, do đó kết quả sẽ không chính xác. Vậy ta nên tránh công thức đưa đến hiệu hai số gần nhau. 2) Sai số của phép toán nhân, chia Giả sử n Q y= xi i=1 n−p Q , xp+i i=1 khi đó ln y = n X i=1 ln xi − n X ln xj ⇔ δy = j=p+1 p X δx i , i=1 3) Sai số của phép tính lũy thừa Xét y = xα (α ∈ R, x > 0), khi đó ln y = α ln x suy ra    d ln y   ∆x = |α| ∆x = |α| δx . δy =  dx  |x| • Nếu α > 1 thì độ chính xác giảm. • Nếu α < 1 thì độ chính xác tăng. • Nếu α = −1 thì độ chính xác không đổi. • Nếu α = k1 , k ∈ N∗ thì độ chính xác tăng lên. 4) Sai số của phép tính logarit y = ln x ∆y = |y| δy . 20 Xét y = ln x(x > 0), ta có    1   ∆x = δx . ln y = ln ln x ⇔ δy =  x ln x  |y| Vậy ∆y = δx . 1.3 Ma trận đường chéo trội và tốc độ hội tụ 1.3.1 Ma trận đường chéo trội Định nghĩa 1.3.1. Cho ma trận vuông A = (a)ni,j=1 . Ta nói ma trận A là ma trận đường chéo trội nếu thỏa mãn một trong hai điều kiện sau: 1) n P |aij | < |aii |, ∀i = 1, 2, ..., n, j=1,j6=i 2) n P |aij | < |ajj |, ∀j = 1, 2, ..., n. i=1,i6=j Định lý 1.3.1. Mọi ma trận đường chéo trội đều không suy biến. 1.3.2 Tốc độ hội tụ của nghiệm xấp xỉ Định nghĩa 1.3.2. Cho π là phân hoạch đều của đoạn [a, b] với các mốc là: a = x0 < x1 < ... < xn = b, h = b−a n = xi − xi−1 , i = 1, ..., n. Giả sử xn là nghiệm xấp xỉ của phương trình toán tử Lx = f trong không gian C[a, b] và x là nghiệm đúng của phương trình đó. Nếu có đánh giá ||xn − x|| ≤ chk , với c là hằng số dương không phụ thuộc h, k ∈ N∗ thì ta nói nghiệm xỉ xn đạt tốc độ hội tụ bậc k tới nghiệm chính xác x (hay độ chính xác bậc hk ).