Tài liệu Phổ nguyên tố của vành phổ nguyên tố của đồng cấu vành

BỘ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KHOA TOÁN ------------------- LÊ QUỐC HÙNG PHỔ NGUYÊN TỐ CỦA VÀNH PHỔ NGUYÊN TỐ CỦA ĐỒNG CẤU VÀNH LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH : TOÁN ĐẠI SỐ MÃ SỐ : 1.01.02 Thành phố Hồ Chí Minh 05 - 1998 BỘ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KHOA TOÁN ------------------- LÊ QUỐC HÙNG PHỔ NGUYÊN TỐ CỦA VÀNH PHỔ NGUYÊN TỐ CỦA ĐỒNG CẤU VÀNH LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH : TOÁN ĐẠI SỐ MÃ SỐ : 1.01.02 Thành phố Hồ Chí Minh 05 - 1998 LUẬN VĂN ĐƢỢC HOÀN THÀNH TẠI: TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Người hướng dẫn: PTS. Mỵ Vinh Quang Khoa toán ĐHSP Tp. Hồ Chí Minh Người nhận xét 1: PTS. Nguyễn Viết Đông Khoa Toán ĐHKH Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh Người nhận xét 2: PTS. Trần Huyên Khoa Toán ĐHSP Tp. Hồ Chí Minh Người thực hiện: Lê Quốc Hùng Khoa tự nhiên Trƣờng CĐSP Bến Tre Luận văn khoa học đƣợc bảo vệ tại. Hội Đồng chấm luận văn Thạc Sỹ toán học Trƣờng Đại Học Sƣ Phạm - Thành Phố Hồ Chí Minh LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên trong bản luận văn này, tôi xin kình gởi đến Thầy PTS. Mỵ Vinh Quang - Khoa Toán Đại Học Sƣ Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh - ngƣời đã tận tính hƣớng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc. Xin chân thành cảm ơn Quý Thầy: PTS. Trần Huyên - Khoa Toán Đại Học Sƣ Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, PTS. Nguyễn Viết Đông - Khoa Toán Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Thành Phố Hồ Chì Minh đã đọc bản thảo và đóng góp nhiều ý kiến quý báu. Chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô thuộc Khoa Toán, Khoa Tâm Lý - Giáo Dục, Phòng Nghiên Cứu Khoa Học thuộc Trƣờng Đại Học Sƣ Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, Khoa Triết Trƣờng Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Thành Phố Hồ Chì Minh đã tận tình truyền đạt kiến thức cũng nhƣ hỗ trợ về tƣ liệu, thủ tục hành chánh cho tôi trong suốt quá trình học tập và làm việc. Xin cám ơn các bạn cùng khóa Cao học 4 Khoa Toán Đại Học Sƣ Phạm Thành Phố Hồ Chì Minh đã quan tâm, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và làm luận văn. Một lần nữa xin đƣợc kính gởi đến Quý Thầy, Cô và Bạn Hữu lời cảm ơn chân thành, sâu sắc. Thành phố Hồ Chì Minh tháng 05 năm 1998. Lê Quốc Hùng Lời nói đầu Trong lớp các vành giao hoán các Ideal nguyên tố , Ideal tối đại có vai trò cất quan trọng. Để nghiên cứu cấu trúc các Ideal. nguyên tố . Ideal tối đại của một vành giao hoán và mối liên hệ giữa tập các ldeal nguyên tố của các vành, chúng tôi đƣa vào khái niệm phổ nguyên tố của vành hay còn gọi là không gian tôpô Zariski xác định trên vành , mỗi một kết quả của tôpô có thể kéo theo một kết quả về cấu trúc các Ideal nguyên tố của vành và ngƣợc lại. Mục tiêu chính của luận văn nay là nghiên cứu một số tính chất cơ bản của phổ nguyên tố của vành , phổ nguyên tố của đồng cấu vành và mô tả phổ nguyên tố của một số vành đặc biệt ,cụ thể là phổ nguyên tố của vành chính ,vành Bull ,vành Noëther ,vành Artin ,vành tích trực tiếp ,vành các thƣơng . Luận văn nầy gồm 3 chƣơng. Chƣơng I : Xác định và nghiên cứu một số tính chất của phổ nguyên tố của một vành giao hoán có đơn vị. Chƣơng II : Mô tả và nghiên cứu một số tính chất của phổ nguyên tố của các vành : Vành chính ,vành Bull ,vành Noëther ,vành Artin ,vành tích trực tiếp . Chƣơng III : Xác định và nghiên cứu một số tính chất của phổ nguyên tố của đồng cấu vành.Trên cơ sở các tính chất của phổ nguyên tố của đồng cấu vành mô tả phổ nguyên tố của vành các thƣơng Mục lục CHƢƠNG 0 : CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN ............................................................................. 1 CHƢƠNG I: PHỔ NGUYÊN TỐ CỦA VÀNH....................................................................... 4 I.Phổ nguyên tố của một vành................................................................................................ 4 II.Tính chất của phổ nguyên tố của một vành ...................................................................... 16 CHƢƠNG II: PHỔ NGUYÊN TỐ CỦA MỘT SỐ VÀNH ĐẶC BIỆT ................................. 23 I.Phổ nguyên tố của vành chính ........................................................................................... 23 II. Phổ nguyên tố của vành Bull........................................................................................... 27 III.Phổ nguyên tố của vành Noëther .................................................................................... 33 IV.Phổ nguyên tố của vành ARTIN ..................................................................................... 51 V. Phổ nguyên tố của vành tích trực tiếp ............................................................................. 54 CHƢƠNG III: PHỔ NGUYÊN TỐ CỦA ĐỒNG CẤU VÀNH ............................................. 64 I.Định nghĩa phổ nguyên tố của đồng cấu vành................................................................... 64 II.Tính chất của phổ nguyên tố của đồng cấu vành ............................................................. 65 III.Phổ nguyên tố của vành các thƣơng ............................................................................... 85 CHƢƠNG 0 : CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong luận văn nầy chúng tôi chỉ nghiên cứu các vành giao hoán có đơn vị là phần tử 1 khác phần tử 0, trừ trƣờng hợp có lƣu ý ngƣợc lại. Do đó nếu không có gì nhầm lẩn,để đơn giản chúng tôi chỉ nêu là một vành. Trong phần nầy chúng tôi nêu lại một số kiến thức mà tính chân thực đã đƣợc xác định. 1. Các phần tử đặc biệt trong vành: + Cho A là một vành,với bất kỳ phần tử a ∈ A , ta có: • a là khả nghịch nếu tồn tại a'∈ A sao cho aa'=l. • a là ƣớc của 0 nếu tồn tại a' ∈ A , a'≠0 sao cho aa'=(). • a lũy đẳng nếu a2=a. • a lũy linh nếu tồn tại n ∈ N ,n ≥ 1 sao cho an=(). + Cho A là một vành , a ∈ A.Ta có: Nếu a là lũy linh thí 1-a là khả nghịch. 2. Ideal của một vành: + Cho A là một vành,một tập con α ≠ của A đƣợc gọi là một Ideal của vành A. Ký hiệu: α ∆ A ,nếu: là một nhóm con của nhóm (a,+) + α ∆ A nếu α đƣợc sinh bởi các phần tử a i ∈ A,i ∈ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , Ký hiệu: α = < a i , i ∈ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , > + Một Ideal α của vành A,đƣợc gọi là Ideal nguyên tố, Ký hiệu + Một Ideal α của vành A đƣợc gọi là Ideal tối đại, Ký hiệu: Trang | 1 + Mệnh đề: Cho A là một vành, α ∆ A.Ta có là miền nguyên là một trƣờng + Đinh lý: Mọi vành A ≠ {0} đều tồn tại ít nhất một Ideal tối đại. • Hệ quả: Cho A là một vành,ta có • Hệ quả: Cho A là mội vành,với mọi phần tử a ∈ A, nếu a không khả nghịch thì tồn tại 3.Nilradical của một vành: + Tập N tất cả các phần tử lũy linh của một vành A đƣợc gọi là Nilradical của vành A. Ký hiệu: N = rad A +Mệnh đề: Cho A là một vành , ta có: 4.Radial extention: + Cho A là một vành ,α ∆ A .Ta định nghĩa radial extention hay còn gọi là mở rộng căn của Ideal α là tập + Mệnh đề: Cho A là một vành , ta có: Trang | 2 5. Đồng cấu vành: +Một ánh xạ f từ một vành A tới một vành B đƣợc gọi là một đồng cấu nếu và chỉ nếu ∀a,b∈A , ta có: f(a+b) = f(a) + f(b) f(a.b) = f(a).f(b) f(l) =1 +Mệnh đề: f: A → B là đồng cấu vành.Ta có 6. Cái mở rộng và tạo ảnh của Ideal: Cho đồng cấu vành f: A → B .Khi đó : +Với mọi α ∆A , ta gọi cái mở rộng của Ideal α là Ideal của B sinh bởi f(α). Ký hiệu : αe = < f(α) > = l(α) B. +Với mọi β∆B,ta có tạo ảnh f1(β) là một Ideal của A Ký hiệu: βc = f1(β) Trang | 3 CHƢƠNG I: PHỔ NGUYÊN TỐ CỦA VÀNH I.Phổ nguyên tố của một vành Nhƣ chúng ta đã biết , giả sử X là một tập hợp , một họ T những tập con của X đƣợc gọi là một tôpô trên X nếu họ T thỏa mãn các điều kiện sau: Một không gian tôpô là một tập hợp X cùng với một tôpô trên tập ấy.Khi đó các phần tử của họ T đƣợc gọi là các tập mở của không gian tôpô X.Nhƣ vậy trong một không gian tôpô X: 1.Tập ϕ là tập mở,tập X là tập mở. 2. Hợp của một họ tùy ý những tập mở là tập mở. 3. Giao của hai tập mở là một tập mở và vì vậy giao một số hữu hạn các tập mở là một tập mở. Một tập hợp F trong không gian tôpô X đƣợc gọi là một tập đóng nếu phần bù X \ F của nó là một tập mở. Từ các tính chất của tập mở,ta suy ra trong không gian tôpô X: 1 .Tập ϕ là tập đóng,tập X là tập đóng. 2. Giao của một họ tùy ý những tập đóng là một tập đóng. 3. Hợp của hai tập đóng là một tập đóng và ví vậy hợp của một số hữu hạn các tập đóng là một tập đóng. Trong chƣơng nầy chúng ta sẻ nghiên cứu một không gian tôpô đặc biệt. Không gian tôpô đƣợc xây dựng trên cơ sở tập tất cả các Ideal nguyên tố của một vành giao hoán có đơn vị. Trang | 4 I.Các Mệnh Đề Cơ Sở Định nghĩa 1.1: Cho A là một vành , với bất kỳ tập con E của A , ta định nghĩa tập V(E) là tập hợp tất cả các Ideal nguyên tố của A mà chứa E. Từ định nghĩa 1.1 ta suy ra được hệ quả sau: Hệ quả 1.2 : Cho A là một vành, E1 , E2 là hai tập con tùy ý của A. Ta có: Mệnh đề 1.3 : Cho A là một vành , E là tập con tùy ý của A Khi đó ta có: a.Nếu α là Ideal của A sinh ra bởi E thì V(E) = V( α) = V(r ( α)) b.Gọi X là tập tất cả các Ideal nguyên tố của A. Ta có V(0) = X và V(1) = . Chứng minh: Trang | 5 Từ đó suy ra: Hiển nhiên do định nghĩa V(0) và định nghĩa tập X. Điều này mâu thuẫn với định nghĩa Ideal nguyên tố. Vậy V(1) = Mệnh đề 1.4 Cho A là một vành ,(Ei )i ∈ I là một họ tùy ý các tập con của A.Ta có: Trang | 6 Chứng minh: Ta có Vậy Mệnh đề 1.5 : Cho A là một vành , α và β là hai Ideal tùy ý của A.Khi đó ta có : Chứng minh : Ta có Do hệ quả 1.2 , suy ra Suy ra Trang | 7 •V(α∩β) ⊂ V(α) ∪ V(β) Ta có V γ ∈ V(α ∩ β) Ta cần chứng minh γ ⊃ α hoặc γ ⊃ β Giả sử γ đồng thời không chứa cả α và β. Từ đó tồn tại a,b ∈ A sao cho: Mà α ∆ A , β ∆ A nên ta có: Suy ra ab ∈ γ. Mâu thuẫn vì Vậy Suy ra Vậy Từ(l),(2) suy ra : Ta có Suy ra Trang | 8 • V(αβ) ⊂ V(α ∩β) Ta có : ∀ γ ∈ V(αβ) Ta cần chứng minh γ ⊃ (α ∩β) Giả sử (α ∩β) ⊄ γ ∃a ∈ A: a ∈ (α ∩β)\γ a.a ∈ αβ Suy ra a.a ∈ γ A nên suy ra a ∈ γ Mà γ Mâu thuẫn vì a ∈(α ∩β)\γ Vậy γ ⊃(α ∩β) Suy ra γ ∈ V(α ∩β) Vậy V(α β) ⊂ V(α ∩β) (4) Từ (3) và (4) suy ra : V(α ∩β) = V(α β) b. V(α) ⊂V(β) ⟺ r(α) ⊃r(β) (=> )V(α) ⊂ V(β) ta cần chứng minh r(α) ⊃ r(β) Ta có V(α) ⊂ V(β) Suy ra ∀ γ A, γ⊃α => γ ⊃ β Từ đó ta đƣợc : ∩ γ ⊃ ∩ γ γ A γ⊃α γ A γ⊃β Vậy r(α) ⊃ r(β) (<= ) r(α) ⊃ r(β) ,ta chứng minh V(α) ⊂ V(β) Ta có r(α) ⊃ r(β) Suy ra V(r(α)) ⊂ V(r(β)) Do mệnh đề 1.3.a , suy ra: V(α)⊂V(β) Từ mệnh đề 1.5.b ta suy ra đƣợc hệ quả sau: Trang | 9 Hệ quả 1.6 : Cho A là một vành , α ∆ A , β ∆ A.Ta có V(α) = V(β) ⟺r(α) = r(β) Chứng minh: II.Phổ Nguyên Tố Của Một Vành 1.Định nghĩa phổ nguyên tố của một vành: Cho A là một vành, gọi X là tập hợp tất cả các Ideal nguyên tố của vành A.Các mệnh đề 1.3 , 1.4 , 1.5 chỉ ra rằng lớp các tập V(E) với E ⊂ A thỏa mãn các tiên đề tập đóng của một tôpô trên tập X. Từ đó ta có định nghĩa sau: Định nghĩa. 1.7: Cho A là một vành, gọi X là tập hợp tất cả các Ideal nguyên tố của vành A.Lớp các tập V(E) ,E⊂A xác định trên X một tôpô có lớp các tập đóng trùng với lớp các tập V(E), E ⊂ A.Tôpô đƣợc xác định trên X gọi là phổ nguyên tố của vành A. Ký hiệu: X = spec (A) Phổ nguyên tố của vành A còn đƣợc gọi là tôpô Zariski xác định trên tập X tất cả các Ideal nguyên tố của vành A. Trang | 10 Nhận xét: + Mỗi điểm của không gian tôpô X = spec(A) là một Ideal nguyên tố của vành A.Để thuận tiện ta ký hiệu các điểm của không gian tôpô X = spec(A) bởi các chữ x,y,z...Nếu điểm x ∈X = spec(A) đƣợc xét nhƣ một Ideal nguyên tố trong vành A , ta ký hiệu là αx .Nếu không có gì nhầm lẩn,ta có thể viết: + Do mệnh đề 1.3a và định nghĩa 1.7 ,mỗi tập đóng F trong không gian X = spec(A) đều có thể viết dƣới dạng F = V ( ), A. +Mỗi tập mở của không gian tôpô X = spec(A) là phần bù của một tập V(α) với A. 2.Cơ sở của không gian tôpô Zaricki: Một họ B những tập mở của không gian tôpô X đƣ ợc gọi là một cơ sỏ tôpô của X nếu mỗi tập mở trong không gian tôpô X là h ợp của một họ con của B. Trong phần nầy chúng ta nghiên cứu một cơ sở của không gian tôpô Zariski . Mệnh đề 1.8 : Với mỗi tập mở U của không gian tôpô X = spec(A), tồn tại α ∆ A sao cho: Ký hiệu : U = Xα Chứng minh: Lấy U là tập mở tùy ý trong không gian tôpô X = Spec(A). Khi đó tồn tại α ∆ A sao cho : U = X \ V(α) Mà: Trang | 11 Suy ra : U = Từ mệnh đề 1.8 ta suy ra đƣợc hệ quả sau: Hệ quả 1.9 : Cho Xα là tập mở tùy ý trong không gian X=Spec(A), β A khi đó ta có : Chứng minh: Ta có: Từ đó suy ra: Suy ra : γ ∈ Xα Định nghĩa 1.10 : Cho A là một vành , f là phần tử tùy ý thuộc A. Ta định nghĩa Xf là phần bù của V(f) trong không gian X=spec(A). Nhận xét: + Do V(f) là tập đóng trong x=spec(A) nên tập Xf là tập mở. + Với mọi phần tử f ∈ A ,ta có Trang | 12 + Các tập Xf , f ∈ A đƣợc gọi là các tập mở chính của không gian X = Spec(A). Mệnh đề 1.11: Cho A là một vành.Ta có họ các tập Xf ,f ∈ A tạo thành một cơ sở gồm các tập mở trong không gian X=Spec(A). Chứng minh : Lấy Xα là tập mở tùy ý trong không gian X = Spec(A). Ta có: Do mệnh đề 1.4 suy ra: Vậy họ các tập Xf , f ∈ A tạo thành một cớ sở gồm các tập mở của không gian X = Spec(A). Mệnh đề 1.12 : Cho A là một vành , X = Spec(A).Với các phần tử tùy ý f,g ∈ A , ta có các khẳng định sau: f lũy linh trong A f khả nghịch trong A Trang | 13 Chứng minh : Ta có Do mệnh đề 1.5.a ta đƣợc : b.Xf = ϕ ⟺ f lũy linh trong A Ta có ⟺ f ∈ rad A ⟺ f lũy linh c. Xf = X ⟺ f khả nghịch trong A ( => ) Xf = X ,ta chứng minh f khả nghịch trong A Giả sử f không khả nghịch trong A.Ta có : Mà Từ đó suy ra Suy ra Mâu thuẫn vì Xf = X Vậy f khả nghịch trong A. Trang | 14