TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************
NGUYỄN THỊ HÒA
NỬA NHÓM SỐ SINH BỞI BA PHẦN TỬ
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số
HÀ NỘI – 2018
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************
NGUYỄN THỊ HÒA
NỬA NHÓM SỐ SINH BỞI BA PHẦN TỬ
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số
Người hướng dẫn khoa học
ThS. ĐỖ VĂN KIÊN
HÀ NỘI – 2018
Líi c£m ìn
º ho n th nh khâa luªn n y, tæi xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn s¥u
sc ¸n
ThS. é V«n Ki¶n
- Ng÷íi trüc ti¸p tªn t¼nh h÷îng d¨n, ch¿
b£o v ành h÷îng cho tæi trong suèt qu¡ tr¼nh tæi l m b i khâa luªn
cõa m¼nh. çng thíi tæi công xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c th¦y cæ trong
tê ¤i sè v c¡c th¦y cæ trong khoa To¡n - Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m H
Nëi 2, Ban chõ nhi»m khoa To¡n ¢ t¤o i·u ki»n cho tæi ho n th nh
tèt b i khâa luªn n y º câ k¸t qu£ nh÷ ng y hæm nay.
M°c dò ¢ câ r§t nhi·u cè gng, song thíi gian v kinh nghi»m b£n
th¥n cán nhi·u h¤n ch¸ n¶n khâa luªn khæng thº tr¡nh khäi nhúng thi¸u
sât r§t mong ÷ñc sü âng gâp þ ki¸n cõa c¡c th¦y cæ gi¡o, c¡c b¤n sinh
vi¶n v b¤n åc.
Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn!
H Nëi, ng y 2 th¡ng 05 n«m 2018
T¡c gi£ khâa luªn
Nguy¹n Thà Háa
Líi cam oan
Tæi xin cam oan Khâa luªn n y l cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa ri¶ng
tæi d÷îi sü h÷îng d¨n cõa th¦y
ThS. é V«n Ki¶n
. Trong khi nghi¶n
cùu, ho n th nh b£n khâa luªn n y tæi ¢ tham kh£o mët sè t i li»u ¢
ghi trong ph¦n t i li»u tham kh£o.
Tæi xin kh¯ng ành k¸t qu£ cõa · t i:
ba ph¦n tû
Nûa nhâm sè sinh bði
l k¸t qu£ cõa vi»c nghi¶n cùu v né lüc håc tªp cõa b£n
th¥n, khæng tròng l°p vîi k¸t qu£ cõa c¡c · t i kh¡c. N¸u sai tæi xin
chàu ho n to n tr¡ch nhi»m.
H Nëi, ng y 2 th¡ng 5 n«m 2018
T¡c gi£ khâa luªn
Nguy¹n Thà Háa
Möc löc
Mð ¦u
1 Nûa nhâm sè
1
3
1.1
Nûa nhâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
Nûa nhâm con sinh bði mët tªp hñp
. . . . . . . . . . .
4
1.3
Nûa nhâm sè
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.4
Mët sè b§t bi¸n cõa nûa nhâm sè . . . . . . . . . . . . .
7
1.5
Ph¥n lo¤i nûa nhâm sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.5.1
Nûa nhâm sè èi xùng . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.5.2
Nûa nhâm sè gi£ èi xùng . . . . . . . . . . . . .
15
2 Nûa nhâm sè sinh bði ba ph¦n tû
2.1
21
I ¶an ành ngh¾a cõa v nh nûa nhâm sè sinh bði ba ph¦n
tû
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.2
Gièng cõa nûa nhâm sè sinh bði ba ph¦n tû
. . . . . . .
29
2.3
V½ dö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
K¸t luªn
T i li»u tham kh£o
36
36
Mð ¦u
1. Lþ do chån · t i
Lþ thuy¸t nûa nhâm l mët ph¦n t÷ìng èi tr´ cõa To¡n håc. Nh÷
mët h÷îng t¡ch bi»t cõa ¤i sè vîi möc ti¶u ri¶ng cõa nâ, vi»c x¡c ành
rã c¡c b i to¡n v ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu cõa l½ thuy¸t nhâm ÷ñc
h¼nh th nh c¡ch ¥y kho£ng 70 n«m. Khi nghi¶n cùu v· lþ thuy¸t nûa
nhâm, nâ s³ gióp ta t¼m hiºu ÷ñc c¡c thæng tin c¦n thi¸t v· c¡c t½nh
ch§t cõa nûa nhâm. Ng y nay lþ thuy¸t nûa nhâm âng vai trá quan
trång trong vi»c nghi¶n cùu mët sè ng nh khoa håc cì b£n nh÷ To¡n
håc, Vªt l½,... Nghi¶n cùu nûa nhâm sè t÷ìng ÷ìng vîi vi»c gi£i ph÷ìng
tr¼nh nghi»m nguy¶n khæng ¥m cõa ph÷ìng t¼nh tuy¸n t½nh khæng thu¦n
nh§t bªc nh§t vîi h» sè nguy¶n d÷ìng. ¥y l v§n · cê iºn ¢ ÷ñc
nghi¶n cùu trong nhi·u t i li»u.
Vîi mong muèn t¼m hiºu s¥u v· l¾nh vüc n y d÷îi gâc ë mët sinh vi¶n
s÷ ph¤m To¡n håc v trong ph¤m vi cõa mët khâa luªn tèt nghi»p, còng
sü gióp ï tªn t¼nh cõa th¦y gi¡o - Th.S. é V«n Ki¶n em ¨ lüa chån
· t i :
"Nûa nhâm sè sinh bði ba ph¦n tû"
. Möc ½ch v nhi»m
vö ch½nh cõa · t i l cung c§p mët sè ki¸n thùc cì sð v· nûa nhâm sè
v cung c§p °c tr÷ng v· i ¶an ành ngh¾a cõa v nh nûa nhâm sè sinh
bði ba ph¦n tû, gièng cõa nûa nhâm sè sinh bði ba ph¦n tû.
2. Möc ½ch nghi¶n cùu
B÷îc ¦u l m quen vîi cæng t¡c nghi¶n cùu khoa håc çng thíi muèn
i s¥u t¼m tái nghi¶n cùu v· nûa nhâm sè, nûa nhâm sè sinh bði ba ph¦n
tû.
1
3. èi t÷ñng nghi¶n cùu
Nghi¶n cùu v· nûa nhâm sè, nûa nhâm sè sinh bði ba ph¦n tû.
4. C§u tróc khâa luªn
Ngo i ph¦n mð ¦u, k¸t luªn, danh möc t i li»u tham kh£o, khâa
luªn gçm 2 ch÷ìng:
•
Ch÷ìng 1: Nûa nhâm sè.
Trong ch÷ìng n y, khâa luªn tr¼nh b y c¡c kh¡i ni»m cì b£n nh÷
kh¡i ni»m nûa nhâm, nûa nhâm con sinh bði mët tªp hñp, mët sè
b§t bi¸n cõa nûa nhâm sè, nûa nhâm sè èi xùng v nûa nhâm sè
gi£ èi xùng.
•
Ch÷ìng 2: Nûa nhâm sè sinh bði ba ph¦n tû.
Nëi dung chõ y¸u cõa ch÷ìng n y tr¼nh b y v· i ¶an ành ngh¾a
c£u v nh nûa nhâm sè sinh bði ba ph¦n tû v gièng cõa nûa nhâm
sè sinh bði ba ph¦n tû.
2
Ch֓ng 1
Nûa nhâm sè
Trong ch÷ìng n y tæi tr¼nh b y ành ngh¾a v· nûa nhâm, nûa nhâm sè,
mët sè b§t bi¸n cõa nûa nhâm sè v ph¥n lo¤i nûa nhâm sè.
1.1 Nûa nhâm
ành ngh¾a 1.1.1.
nhâm
X
Cho
l mët tªp hñp kh¡c
n¸u câ ph²p to¡n hai ngæi
∗ tr¶n X
∅. Ta nâi X
l mët
thäa m¢n vîi måi
nûa
x, y, z ∈ X
th¼
(x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z)
Hìn núa n¸u tçn t¤i
e∈X
sao cho
a ∗ e = e ∗ a = a, ∀a ∈ X
÷ñc gåi l mët và nhâm v
e
ành ngh¾a 1.1.2.
l mët nûa nhâm vîi ph²p to¡n
X 6= ∅.
Ta nâi
to¡n tr¶n
X
A
Cho
l
X
gåi l ph¦n tû ìn và cõa nûa nhâm
nûa nhâm con
, tùc l vîi måi
th¼
a, b ∈ A
cõa
th¼
X
X
X.
∗, A ⊆ X ,
n¸u nâ ên ành vîi ph²p
a ∗ b ∈ A.
M»nh · 1.1.3. Giao cõa mët hå kh¡c réng c¡c nûa nhâm con cõa mët
nûa nhâm X l mët nûa nhâm con cõa X .
V½ dö 1.1.4.
Tªp sè tü nhi¶n
N
vîi ph²p to¡n + l mët và nhâm.
3
Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc
Nguy¹n Thà Háa
1.2 Nûa nhâm con sinh bði mët tªp hñp
ành ngh¾a 1.2.1.
X
Cho
t§t c£ c¡c và nhâm con cõa
A,
l mët và nhâm,
X
chùa
và nhâm con n y ÷ñc gåi l
K½ hi»u l
A
l mët và nhâm con cõa
và nhâm con sinh bði A
X
chùa
.
Tø ành ngh¾a ta câ nhªn x²t
l và nhâm con nhä nh§t cõa
(ii) N¸u
Khi â giao cõa
hAi.
Nhªn x²t 1.2.2.
(i)
A
A ⊆ X.
A 6= ∅
X
chùa
A.
th¼
hAi = {λ1 x1 + λ2 x2 + . . . + λn xn | n ∈ N\ {0} , ai ∈ A, λi ∈ N ∀i} .
1.3 Nûa nhâm sè
ành ngh¾a 1.3.1.
Cho
H ⊆ N.
Ta nâi
H
l mët nûa nhâm sè n¸u nâ
thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau
(i)
0 ∈ H;
(ii)
H + H ⊆ H;
(iii)
|N\H| < ∞.
N¸u
{a1 , a2 , . . . , an }
l mët
h» sinh tèi tiºu cõa H , tùc
ai ∈
/ ha1 , a2 , . . . , ai−1 , ai+1 , . . . , an i , 1 ≤ ∀i ≤ n
th¼ ta vi¸t
H = ha1 , a2 , . . . , an i.
4
Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc
Nguy¹n Thà Háa
Theo nhªn x²t 1.2.2(ii) ta câ
H = {c1 a1 + c2 a2 + . . . + cn an | c1 , c2 , . . . , cn ∈ N} .
M»nh · 1.3.2. Cho n ∈ N∗, n ≥ 2 v H = ha1, a2, . . . , ani , trong â
a1 , a2 , . . . , an ∈ N∗ .
Khi â H l mët nûa nhâm sè khi v ch¿ khi
gcd (a1 , a2 , . . . , an ) = 1.
Chùng minh.
i·u ki»n c¦n. Gi£ sû H l mët nûa nhâm sè, khi â bði i·u ki»n (iii)
trong ành ngh¾a 1.3.1 ta câ
Ta chùng minh
°t
|N\H| < ∞.
gcd (a1 , a2 , . . . , an ) = 1.
d = gcd (a1 , a2 , . . . , an ).
H
Måi sè thuëc
d>1
th¼ t§t c£ c¡c sè tü nhi¶n câ d¤ng
thuëc
H.
Vªy
Do â tªp
d=1
hay
N\H
·u chia h¸t cho
nd + 1
vîi
n∈N
d
n¶n n¸u
·u khæng
l væ h¤n, i·u n y l m¥u thu¨n.
gcd (a1 , a2 , . . . , an ) = 1.
i·u ki»n õ.
Gi£ sû
gcd (a1 , a2 , . . . , an ) = 1,
H
ta c¦n chùng minh
l nûa nhâm sè.
B¬ng c¡ch kiºm tra 3 i·u ki»n cõa nûa nhâm sè :
(i) D¹ th§y r¬ng
(ii)
H + H ⊆ H.
0 ∈ H.
Thªt vªy, vîi måi
x, y ∈ H, x =
n
P
ci ai , y =
i=1
vîi c¡c
ci , di ∈ N, ∀i = 1, n
x+y =
n
X
i=1
(iii) Ta chùng minh
ta câ
ci ai +
n
X
di ai =
i=1
|N\H| < ∞
n
X
(ci + di )ai ∈ H.
i=1
b¬ng quy n¤p theo
5
n.
n
P
i=1
di ai ,
Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc
Vîi
n=2
v gi£ sû
Nguy¹n Thà Háa
H = ha, bi, gcd (a, b) = 1.
Khi â
H
câ d¤ng
H = {c1 a + c2 b | c1 , c2 ∈ N} .
N¸u
a=1
N¸u
a, b 6= 1,
ho°c
b=1
th¼
H≡N
suy ra
N\H = ∅
khæng m§t têng qu¡t ta gi£ sû
Ta th§y vîi måi
m ∈ Z,
hay
|N\H| < ∞.
1 < a < b.
tçn t¤i duy nh§t c°p
x, y ∈ Z
sao cho
m = ax + by, 0 ≤ y < a.
Thªt vªy, v¼
gcd (a, b) = 1
n¶n tçn t¤i
u, v ∈ Z
sao cho
au + bv = 1.
Suy ra
m = amu + bmv = amu + b (aq + y)
vîi
0≤y
c
th¼
m ∈ H,
vªy n¶n
6
|N \ H| ≤ c.
H
l
Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc
Gi£ sû
X²t
n>2
v
(iii)
Nguy¹n Thà Háa
óng vîi
n − 1.
H = ha1 , a2 , . . . an i.
an−1
°t d = gcd (a1 , a2 , . . . , an−1 ) suy ra gcd
,...,
= 1.
d
d
Da
E
an−1
1
Theo gi£ thi¸t quy n¤p th¼ N \
,...,
< ∞ tùc
d
Da d
an−1 E
1
,...,
.
m1 ∈ N sao cho vîi måi m ≥ m1 th¼ m ∈
d
d
Suy ra vîi måi m ≥ m1 th¼ md ∈ ha1 , . . . , an−1 i.
a
°t
1
l tçn t¤i
c = dm1 + (d − 1) an + 1 . Ta chùng minh vîi måi m ≥ c th¼ m ∈ H .
Thªt vªy, v¼
gcd (d, an ) = 1
n¶n
m
câ biºu di¹n duy nh§t l
m = dx + an y
vîi
0 ≤ y < d.
Do â
dx = m − an y ≥ (d − 1) an + dm1 + 1 − an y
= (d − 1 − y) an + m1 d + 1 ≥ dm1 .
Do â
Vªy
x ≥ m1
n¶n
dx ∈ ha1 , . . . , an−1 i
v suy ra
m = dx + an y ∈ H .
|N\H| < c < ∞.
1.4 Mët sè b§t bi¸n cõa nûa nhâm sè
ành ngh¾a 1.4.1.
cho
a1 , a2 , . . . , an
Cho
H = ha1 , a2 , . . . , an i
l h» sinh tèi tiºu cõa
H.
l mët nûa nhâm sè sao
Khi â
• m (H) := minH\ {0} = min {a1 , a2 , . . . , an }
• g (H) := |N\H|
• emb (H) := n
gièng H
chi·u nhóng
÷ñc gåi l
÷ñc gåi l
cõa
.
cõa
7
gåi l
H.
bëi
cõa
H.
Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc
• F (H) := max (N\H)
•
V nh
Nguy¹n Thà Háa
֖c goi l
sè Frobenius
k [H] := k th |h ∈ H = k [ta1 , . . . , tan ]
l bi¸n sè, ÷ñc gåi l
V½ dö 1.4.2.
Cho
v nh nûa nhâm sè
H = h3, 5, 7i
cõa
vîi
k
cõa
H.
H.
l mët tr÷íng,
t
l mët nûa nhâm sè. Ta câ
• m (H) = 3
• g (H) = 3
• emb (H) = 3
• F (H) = 4
ành ngh¾a 1.4.3.
H\ {0}.
H
Ta gåi tªp
t÷ìng ùng vîi
Cho mët nûa nhâm sè
H = ha1 , a2 , . . . , an i
Ap (H, a) = {h ∈ H|h − a ∈
/ H}
l
v
tªp Ap²ry
a∈
cõa
a.
M»nh · 1.4.4. Cho H l mët nûa nhâm sè , a ∈ H\ {0}. Khi â
Ap (H, a) = {0 = ω (0) , ω (1) , . . . , ω (a − 1)} ,
trong â ω (i) l ph¦n tû b² nh§t thuëc H sao cho ω (i) ≡ i (mod a) vîi
måi i = 0, 1, 2, . . . , a − 1.
Chùng minh.
Ta c¦n chùng minh
{h ∈ H|h − a ∈
/ H} = {0 = ω (0) , ω (1) , . . . , ω (a − 1)} .
¦u ti¶n ta s³ ch¿ ra
{h ∈ H| h − a ∈
/ H} ⊆ {0 = ω (0) , ω (1) , . . . , ω (a − 1)} ,
8
Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc
tùc vîi måi
Nguy¹n Thà Háa
h ∈ Ap (H, a)
i ∈ {0, . . . , a − 1}
tçn t¤i
sao cho
h = ω (i).
Ta câ thº vi¸t
h = aq + i, 0 ≤ i ≤ a − 1.
V¼
h ∈ H, h ≡ i (mod a)
Ta câ
hay
suy ra
N¸u
h, ω (i) ≡ i (mod a)
h − ω (i) = ap.
Do
ω (i) ≤ h.
n¶n
h ≡ ω (i) (mod a)
n¶n
h ≥ ω (i)
n¶n
p≥0
do â
suy ra
.
(h − ω (i)) .. a
h − ω (i) − ap = 0,
h − a − ω (i) − a (p − 1) = 0, hay h − a = ω (i) + a (p − 1) .
p>0
suy ra
ω (i) + a (p − 1) ∈ H
h − a ∈ H,
do â
i·u n y l
m¥u thu¨n.
Vªy
p=0
v
h = ω (i).
Ng÷ñc l¤i vîi måi
Gi£ sû
ω(i)
ω (i)
ω (i) − a ∈ H
ta suy ra
ω (i) ∈ H .
ω (i) − a ≡ i (mod a),
n¶n
ω (i) ≤ ω (i) − a,
n y l m¥u thu¨n do
Vªy
ta câ
theo t½nh nhä nh§t cõa
b§t ¯ng thùc n y chùng tä
a ∈ H \ {0}
cho n¶n
a ≤ 0,
i·u
ω (i) − a ∈
/ H.
ω (i) ∈ Ap (H, a).
V½ dö 1.4.5.
Cho
H = h5, 9, 13i.
Khi â
Ap(H, 5) = ω(i) | i = 0, 4
= {0, 9, 13, 22, 26} .
ành ngh¾a 1.4.6.
Cho
H
l mët nûa nhâm sè.
(i) Ta gåi sè nguy¶n lîn nh§t khæng thuëc
k½ hi»u l
F (H),
tùc
H
F (H) = max(Z\H).
9
l
sè Frobenius
cõa
H,
Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc
Nguy¹n Thà Háa
(ii) Ta gåi tªp hñp
P F (H) = {x ∈
/ H| x + h ∈ H, ∀h ∈ H\ {0}} ,
tªp c¡c sè gi£ Frobenius
gi£ Frobenius
l
sè
, méi ph¦n tû cõa nâ ÷ñc gåi l
. Sè ph¦n tû cõa tªp
H,
k½ hi»u l
P F (H)
÷ñc gåi l
kiºu
cõa
t (H).
Nhªn x²t 1.4.7.
1. Theo i·u ki»n (iii) cõa ành ngh¾a 1.3.1 th¼ sè Frobenius cõa
H
l
tçn t¤i.
2.
F (H) ∈ P F (H).
Thªt vªy, gi£ sû ng÷ñc l¤i
sao cho
F (H) + h ∈
/H
F (H) + h > F (H).
F (H) ∈
/ P F (H)
i·u n y væ l½ v¼
Do â
l húu h¤n n¶n
h ∈ H\ {0}
F (H) = max (Z \ H)
m
F (H) ∈ P F (H).
3. Tªp c¡c sè gi£ Frobenius cõa
(N \ H)
th¼ tçn t¤i
H
l con cõa tªp
(N \ H),
m tªp
t(H) < ∞.
M»nh · 1.4.8. Cho ≤H l mët quan h» thù tü x¡c ành tr¶n Z bði
n¸u y − x ∈ H . Khi â tªp c¡c sè gi£ Frobenius cõa H l nhúng
ph¦n tû cüc ¤i cõa Z \ H theo quan h» ≤H .
x ≤H y
Chùng minh. Vîi måi x ∈ P F (H) suy ra x ∈ Z \ H .
Gi£ sû tçn t¤i
N¸u
y−x>0
y ∈Z\H
th¼ do
x ≤H y
sao cho
x ∈ P F (H)
n¶n
suy ra
y − x ∈ H.
x + (y − x) ∈ H
n y l m¥u thu¨n.
Do â
y−x=0
hay
x = y.
Vªy
x ∈ max≤H (Z \ H).
10
hay
y ∈ H,
i·u
Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc
Ng÷ñc l¤i, vîi måi
Nguy¹n Thà Háa
x ∈ max≤H (Z \ H) gi£ sû tçn t¤i h ∈ H \ {0} sao cho
x+h∈
/ H.
Suy ra
(x + h) − x = h ∈ H .
x ≤H x + h,
Do â
i·u n y m¥u thu¨n vîi
x ∈ max≤H (Z \ H).
Tªp Apery cho ta mët cæng thùc º t¼m sè Frobenius v c¡c sè gi£
Frobenius nh÷ sau
M»nh · 1.4.9. Cho H = ha1, a2, . . . , ani l mët nûa nhâm sè,
a ∈ H\ {0}.
Khi â
1. F (H) = maxAp (H, a) − a;
2. P F (H) = {ω − a |ω ∈ max≤
H
Ap (H, a)}
Chùng minh.
1. Chùng minh
F (H) = maxAp (H, a) − a.
maxAp (H, a) ∈ Ap (H, a)
ta suy ra
Do â
maxAp (H, a) − a ≤ F (H)
Gi£ sû
F (H) + a > maxAp (H, a).
Ta câ
a > 0, F (H) + a ∈ H
m
Theo ành ngh¾a
maxAp (H, a) − a ∈
/ H.
hay
F (H) + a ≥ max Ap (H, a).
F (H) + a − a ∈
/H
suy ra
F (H)+a ∈ Ap (H, a), i·u n y m¥u thu¨n vîi ành ngh¾a maxAp (H, a).
Vªy
F (H) = maxAp (H, a) − a.
2. Chùng minh
Vîi måi
x ∈ P F (H) ta chùng minh x ∈ {ω − a | ω ∈ max≤H Ap (H, a)}.
Thªt vªy, ta câ
°t
cho
N¸u
P F (H) = {ω − a | ω ∈ max≤H Ap (H, a)}.
x+a∈H
v
ω = x + a ∈ Ap (H, a).
ω ≤H w
suy ra
w−x−a > 0
(x + a) − a ∈
/H
x + a ∈ Ap (H, a).
Hìn núa gi£ sû tçn t¤i
w−ω ∈H
th¼
n¶n
suy ra
sao
w − x − a ∈ H.
x + (w − x − a) ∈ H
11
w ∈ Ap (H, a)
hay
w − a ∈ H,
i·u n y
Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc
w ∈ Ap (H, a) .
m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t
Do â
w =x+a=ω
Ng÷ñc l¤i, vîi måi
Nguy¹n Thà Háa
hay
ω ∈ max≤H Ap (H, a)
ω ∈ max≤H Ap (H, a),
v
x = ω − a.
ta c¦n chùng minh
ω − a ∈ P F (H).
Do
ω ∈ Ap (H, a)
n¶n
ω−a∈
/ H.
Gi£ sû
ω−a ∈
/ P F (H)
Suy ra
(ω + ai ) − a ∈
/H
m
Nh÷ng
ω ≤H ω + ai
ω 6= ω + ai ,
v
th¼ tçn t¤i
ai , 1 ≤ i ≤ n
ω + ai ∈ H
n¶n
sao cho
ω + ai ∈ Ap (H, a).
i·u n y m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t
ω ∈ max≤H Ap (H, a).
Do â
Vªy
ω − a ∈ P F (H).
P F (H) = {ω − a |ω ∈ max≤H Ap (H, a)}.
V½ dö 1.4.10.
Cho
Tªp Ap²ry cõa
H
H h4, 7, 9i.
ùng vîi
7
Khi â ta câ
l
Ap(H, 7) = {0, 4, 8, 9, 12, 13, 17} ,
v tªp
max≤H Ap(H, 7) = {12, 17} .
Do â
P F (H) = {5, 10}.
12
ω − a + ai ∈
/ H.
Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc
Nguy¹n Thà Háa
Nûa nhâm sè èi xùng v nûa nhâm sè gi£ èi xùng l c¡c èi t÷ñng
r§t quan trång trong vi»c nghi¶n cùu v· nûa nhâm sè. Trong ph¦n ti¸p
theo tæi ÷a ra ành ngh¾a v mët sè t½nh ch§t cõa hai lo¤i nûa nhâm sè
n y.
1.5 Ph¥n lo¤i nûa nhâm sè
1.5.1 Nûa nhâm sè èi xùng
ành ngh¾a 1.5.1. H
Cho
n¸u vîi måi
x∈Z
Nhªn x²t 1.5.2.
th¼
l mët nûa nhâm sè ta nâi
x∈H
ho°c
H
l
èi xùng
F (H) − x ∈ H.
H l èi xùng th¼ F (H) l´. Thªt vªy, gi£ sû
F (H)
F (H)
F (H) l sè ch®n, tùc l
∈ Z. N¸u
∈ H th¼
2
2
F (H)
F (H)
2.
= F (H) ∈ H , væ l½. Cho n¶n
∈
/ H th¼ do H èi xùng
2
2
F (H)
F (H)
n¶n F (H) −
∈ H , suy ra
∈ H , i·u n y l m¥u thu¨n.
2
2
Vªy F (H) l sè l´.
N¸u
Nûa nhâm sè èi xùng cán ÷ñc °c tr÷ng bði c¡c i·u ki»n sau.
M»nh · 1.5.3. Cho H l nûa nhâm sè, a ∈ H\ {0}. °t tªp Ap (H, a) =
{0 = w1 < w2 < . . . < wa }.
C¡c i·u ki»n sau l t÷ìng t÷ìng.
(1) H èi xùng.
(2) wi + wa−i+1 = wa vîi 2 ≤ i ≤ a − 1.
(3) t (H) = 1.
(4) P F (H) = {F (H)}.
13
Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc
Nguy¹n Thà Háa
(5) 2g (H) = F (H) + 1.
Chùng minh.
(1) ⇒ (2).
V¼
H
èi xùng n¶n vîi måi
suy ra
°t
F (H) = maxAp (H, a) − a = wa − a ∈
/ H.
Ta câ
wi ∈ Ap (H, a)
ta câ
F (H) − (wi − a) ∈ H ,
wa − wi ∈ H .
j = wa −wi ∈ H , n¸u j ∈
/ Ap (H, a) th¼ j−a ∈ H
d¨n tîi
wa −wi −a ∈
H.
Suy ra
Vªy
wa − a = (wa − wi − a) + wi ∈ H ,
j ∈ Ap (H, a)
M°t kh¡c
(2) ⇒ (1).
tùc l
wa − wi = w k
w1 < w2 < . . . < wa−1
n¶n
i·u n y l m¥u thu¨n.
vîi
wk ∈ {w1 , w2 , . . . , wa }.
k = a − i + 1.
F (H) = maxAp (H, a) − a = wa − a,
Ta câ
v
P F (H) = {ω − a | ω ∈ max≤H Ap (H, a)} = {wa − a} = F (H).
Khi â vîi måi
cho
x ≤H α,
x ∈ Z\H
m
ta suy ra tçn t¤i
max≤H (Z \ H) = {F (H)}
α ∈ max≤H (Z \ H)
n¶n
x ≤H F (H) .
sao
Do â
F (H) − x ∈ H .
Vªy
H
l èi xùng.
(1) ⇒ (4).Vîi
V¼
H
N¸u
V¼
måi
èi xùng v
x ∈ P F (H),
x∈
/H
F (H) − x 6= 0
x ∈ P F (H)
th¼
n¶n
n¶n
ta c¦n chùng minh
x = F (H).
F (H) − x ∈ H .
0 < F (H) − x ∈ H .
x + (F (H) − x) ∈ H
do â
F (H) ∈ H ,
i·u n y l
m¥u thu¨n.
Suy ra
F (H) − x = 0
(4) ⇒ (1).
Vîi måi
Gi£ sû tçn t¤i
V¼
hay
F (H) = x.
x∈Z\H
, ta c¦n ch¿ ra
y ∈ max≤H (Z \ H)
sao cho
max≤H (Z \ H) = P F (H) = {F (H)}
14
F (H) − x ∈ H .
x ≤H y .
n¶n
y = F (H).
Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc
Suy ra
x ≤H F (H)
(1) ⇔ (5). H
th¼
hay
Nguy¹n Thà Háa
F (H) − x ∈ H .
x ∈ N\H
l nûa nhâm sè èi xùng khi v ch¿ khi vîi måi
F (H) − x ∈ H .
Tùc l trong tªp
{0, 1, . . . , F (H)}
nûa sè khæng thuëc
H.
câ óng mët nûa sè thuëc
H
v mët
i·u n y t÷ìng ÷ìng vîi
g (H) =
F (H) + 1
,
2
ho°c t÷ìng ÷ìng vîi
2g (H) = F (H) + 1.
(3) ⇔ (4).
i·u n y l hiºn nhi¶n.
V½ dö 1.5.4.
Ta câ
Cho
H = h4, 5, 6i.
P F (H) = {7}.
Khi â
H
l èi xùng.
1.5.2 Nûa nhâm sè gi£ èi xùng
ành ngh¾a 1.5.5. H
F (H)
xùng F (H)
x ∈ Z\H, x 6=
2
Cho
n¸u
l mët nûa nhâm sè, ta nâi
ch®n v vîi måi
H
th¼
l
gi£ èi
F (H) − x ∈
H.
M»nh · 1.5.6. Cho H l mët nûa nhâm sè, F (H) ch®n v
a ∈ H \ {0}.
Khi â c¡c m»nh · sau t÷ìng t÷ìng.
(1) H l gi£ èi xùng.
(2) Tªp Ap (H, a) câ d¤ng
Ap (H, a) = {0 = w0 < w1 < . . . < wa−2
15
F (H)
= F (H) + a}∪
+a ,
2
.PDF 
42 
53 
108 
