Tài liệu Những bài toán trong đại số sơ cấp có liên quan đến đa thức

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC. Vương Thông Lời cảm ơn! Trong quá trình làm khóa luận, em đã nhận được sự giúp đỡ và chỉ bảo rất tận tình của thầy Vương Thông. Em xin chân thành cảm ơn và bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy. Em cũng xin cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong khoa Toán, các thầy cô trong tổ Đại số và Thư viện trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện tốt nhất giúp em hoàn thành khóa luận này. Hà Nội, tháng 5 năm 2010 Sinh viên Đỗ Hồng Thắm Đỗ Hồng Thắm 1 K32B- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC. Vương Thông Lời cam đoan Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy Vương Thông cùng với sự cố gắng của bản thân. Trong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận em có tham khảo một số tài liệu của một số tác giả (đã nêu trong mục tài liệu tham khảo). Em xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này là kết quả nghiên cứu của bản thân em, không trùng với kết quả của tác giả nào khác. Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. Sinh viên Đỗ Hồng Thắm Đỗ Hồng Thắm 2 K32B- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC. Vương Thông Mục lục Trang Mở đầu ........................................................................................................................ 1 Chương 1. Những kiến thức liên quan đến đề tài ................................................ 2 Phần 1. Đa thức một ẩn .......................................................................... 2 1. Xây dựng vành đa thức một ẩn .......................................................... 2 1.1. Xây dựng vành đa thức một ẩn ...................................................... 2 1.2. Bậc của đa thức một ẩn .................................................................. 3 2. Phép chia với dư ................................................................................ 3 3. Nghiệm của đa thức ........................................................................... 3 3.1. Định nghĩa...................................................................................... 3 3.2. Nghiệm bội .................................................................................... 4 3.3. Định lý Bezout ............................................................................... 4 3.4. Công thức Viéte ............................................................................. 4 3.5. Lược đồ Horner.............................................................................. 5 4. Phần tử đại số, phần tử siêu việt ........................................................ 5 5. Đại số các đa thức .............................................................................. 6 Phần 2. Đa thức nhiều ẩn ....................................................................... 8 1. Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn ....................................................... 8 1.1. Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn ................................................... 8 1.2. Bậc của đa thức nhiều ẩn ............................................................... 8 2. Đa thức đối xứng ............................................................................... 9 2.1. Định nghĩa...................................................................................... 9 2.2. Tính chất ........................................................................................ 9 Chương 2. Những bài toán trong đại số sơ cấp có liên quan đến đa thức ......... 11 Phần 1. Đối với đa thức một ẩn ............................................................. 11 1. Bài toán 1. Trục căn thức ở mẫu ........................................................ 11 Đỗ Hồng Thắm 3 K32B- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC. Vương Thông 2. Bài toán 2. Nhận biết đa thức không phân tích được ........................ 15 3. Bài toán 3. Chứng minh các đa thức chia hết cho nhau .................... 17 4. Bài toán 4. Sử dụng định lý Viéte...................................................... 21 4.1. Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức đối xứng K giữa các nghiệm .. 21 4.2. Dạng 2: Tìm mối quan hệ giữa các hệ số của một số phương trình bậc ba, bậc bốn khi biết mối quan hệ giữa các nghiệm của nó ............... 24 4.3. Dạng 3: Tìm miền giá trị của tham số để các nghiệm của phương trình f  x, m   0 thỏa mãn K điều kiện nào đó ......................................... 30 5. Bài toán 5. Chứng minh đẳng thức .................................................... 34 6. Bài toán 6. Tìm điểm cố định của họ đồ thị hàm số .......................... 36 7. Bài toán 7. Phân tích đa thức thành nhân tử ...................................... 40 Phần 2. Đối với đa thức nhiều ẩn ........................................................... 45 1. Bài toán 1. Trục căn thức ở mẫu ........................................................ 45 2. Bài toán 2. Phân tích đa thức thành nhân tử ...................................... 47 3. Bài toán 3. Chứng minh hằng đẳng thức trong trường hợp có điều kiện hoặc không có điều kiện .............................................. 50 4. Bài toán 4. Chứng minh bất đẳng thức .............................................. 52 5. Bài toán 5. Xác định phương trình bậc hai ........................................ 56 6. Bài toán 6. Giải hệ phương trình ....................................................... 59 7. Bài toán 7. Giải phương trình căn thức ............................................ 62 8. Bài toán 8. Tìm nghiệm nguyên của phương trình ............................ 65 Chương 3. Kết luận ................................................................................................. 69 Tài liệu tham khảo ..................................................................................................... 70 Đỗ Hồng Thắm 4 K32B- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC. Vương Thông Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Trong nhà trường phổ thông, môn toán giữ một vị trí hết sức quan trọng. Nó giúp học sinh học tốt các môn học khác, là công cụ của nhiều ngành khoa học và cũng là công cụ để hoạt động trong đời sống thực tế. Môn toán có tiềm năng to lớn trong việc khai thác và phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện các thao tác và phẩm chất tư duy. Đại số là một bộ phận lớn của Toán học, trong đó đa thức là một khái niệm cơ bản và quan trọng được sử dụng nhiều không những trong đại số mà còn trong Giải tích, toán cao cấp và toán ứng dụng. Tuy nhiên cho đến nay, vấn đề đa thức mới chỉ được trình bày sơ lược, chưa được phân loại và hệ thống một cách chi tiết. Tài liệu về đa thức còn ít, chưa được hệ thống theo dạng toán cũng như phương pháp giải, cho nên việc nghiên cứu về đa thức còn gặp nhiều khó khăn. Với lý do trên, cùng với lòng say mê nghiên cứu và được sự giúp đỡ, chỉ bảo tận tình của thầy Vương Thông em đã mạnh dạn chọn đề tài: “Những bài toán trong đại số sơ cấp có liên quan đến đa thức” để làm khóa luận tốt nghiệp, nhằm phân loại ,hệ thống một số bài toán về đa thức. Bên cạnh đó, cũng thấy rõ vai trò của đa thức trong môn toán ở nhà trường phổ thông. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu về những bài toán trong Đại số sơ cấp có liên quan đến đa thức một ẩn và đa thức nhiều ẩn. 3. Đối tượng nghiên cứu Các dạng toán cơ bản trong Đại số sơ cấp có liên quan đến đa thức. 4. Phương pháp nghiên cứu Tham khảo tài liệu, phân tích, so sánh, hệ thống hóa. Đỗ Hồng Thắm 5 K32B- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC. Vương Thông Chương 1 Những kiến thức liên quan đến đề tài Phần 1 Đa thức một ẩn 1. Xây dựng vành đa thức một ẩn 1.1. Xây dựng vành đa thức một ẩn Cho A là vành giao hoán có đơn vị ( kí hiệu là 1 ). Khi đó, ta có tập hợp: p   a0 , a1 ,..., an ,... / ai  A, ai  0 hầu hết, i    , cùng với hai phép toán: - Phép cộng: (a0 , a1 ,..., an ,...)  (b0 , b1,..., bn ,...)  ( a0  b0, a1  b1,..., an  bn,...) - Phép nhân: (a0 , a1 ,..., an ,...).(b0 , b1,..., bn,...)  ( c0, c1,..., cn,...) với ck   a b , k  0,1,..., n,... i  j k i j lập thành một vành giao hoán có đơn vị 1  (1, 0, 0,..., 0,...) . Ta gọi P là vành đa thức, mỗi phần tử thuộc P gọi là một đa thức. Ta có thể chuyển cách viết đa thức về dạng sau: Xét ánh xạ f: A P a  (a,0,...,0,...) là một đơn cấu vành. Do vậy, ta đồng nhất a   với phần tử f (a)  (a, 0,..., 0,...)  . Khi đó, A là vành con của P. Kí hiệu: x  (0,1, 0,..., 0,...), Ta có: x 2  (0, 0,1, 0,..., 0,...), x3  (0, 0, 0,1, 0,..., 0,...), Đỗ Hồng Thắm 6 K32B- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC. Vương Thông … x n  (0,...,0,1,0,...,0,...)  n Khi đó, mỗi phần tử  , có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng:   a0  a1 x  ...  an x n    x . Thay cho P viết   x  và gọi là vành đa thức của ẩn x , lấy hệ tử trong A.Mỗi phần tử thuộc   x  gọi là đa thức của ẩn x được kí hiệu là: f  x  , g  x  ,... 1.2. Bậc của đa thức Cho f  x   a0  a1 x  ...  an x n    x . - Nếu an  0 thì n được gọi là bậc của đa thức f  x  . Kí hiệu: deg f  x   n. - Nếu f  x   0 (đa thức không), ta nói f  x  không có bậc hoặc có bậc là  . 2. Phép chia với dư Cho   x là vành đa thức, A là một trường. Khi đó, f  x  , g  x     x  với g  x   0 , tồn tại duy nhất q  x  , r  x     x  sao cho: f  x   g  x  .q  x   r  x  Trong đó: - Nếu r  x   0 thì ta nói f  x  g  x  trong   x  . - Nếu r  x   0 thì ta có: deg r  x   deg g  x  và ta gọi q  x  là thương, r  x  là dư trong phép chia f  x  cho g  x  trong   x  . 3. Nghiệm của đa thức 3.1. Định nghĩa Cho K là một trường nào đó, A là trường con của K. Một phần tử   gọi là nghiệm của đa thức f  x     x  nếu và chỉ nếu f    0 . Đỗ Hồng Thắm 7 K32B- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC. Vương Thông Ta cũng có thể nói  là nghiệm của phương trình đại số f  x   0 trong K. Nếu deg f  x   n thì phương trình f  x   0 gọi là phương trình đại số bậc n  n  1 . 3.2. Nghiệm bội Giả sử k là một số tự nhiên khác 0. Một phần tử    gọi là nghiệm bội k của đa thức f  x     x  nếu và chỉ nếu f  x   x    và không chia k hết cho  x    , k    . k 1 3.3. Định lý Bezout - Định lý Bezout: Cho vành đa thức   x  , f  x     x  ,    . Khi đó, dư trong phép chia f  x  cho  x    là f   . - Hệ quả: Phần tử    là nghiệm của đa thức f  x     x  , A là một trường, khi và chỉ khi f  x   x    trong   x  . 3.4. Công thức Viéte f  x   a0 x n  a1 x n 1  ...  an 1 x  an    x  , deg f  x   n . Cho Giả sử f  x  có n nghiệm 1 ,  2 ,...,  n   với    . f  x   a0  x  1  x   2  ...  x   n  . Khi ta nhân các thừa số vào với nhau và nhóm các hệ số theo dạng đa thức chuẩn tắc và so sánh các hệ số của đa thức f  x  , ta được công thức Viéte như sau: 1   2  ...   n   a1 ; a0 1 2  1 3  ...   n 1 n  Đỗ Hồng Thắm a2 ; a0 8 K32B- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC. Vương Thông … 1 2 ... k  ...   n k 1 n k  2 ... n   1 k ak ; a0 … 1 2 ... n   1 n an . a0 3.5. Lược đồ Horner Cho f  x     x  là đa thức bậc n . f  x   a0 x n  a1 x n 1  ...  an 1 x  an ,  là trường,    . Chia f  x  cho  x    trong   x  , giả sử thương của phép chia đó là: q  x   b0 xn1  b1 xn2  ...  bn2 x  bn1 , bi  , i  0, n  1 nghĩa là: a0 x n  a1 x n 1  ...  an 1 x  an   x    b0 x n 1  b1x n 2  ...  bn 2 x  bn 1   f   . Đồng nhất hệ số ta lập được bảng sau, gọi là lược đồ Horner: a0  b0  a0 … a1 b1  a1   b0 … an f    an   bn 1 4. Phần tử đại số, phần tử siêu việt Giả sử A là một trường con của một trường K. Một phần tử c  K , c được gọi là phần tử đại số trên trường A nếu tồn tại đa thức f  x   0, f  x   A  x  : Đỗ Hồng Thắm 9 K32B- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC. Vương Thông f  c   0 hoặc tồn tại a0 , a1 ,..., an  A không đồng thời bằng không tất cả: a0  a1c1  ...  an c n  0 , c  K nếu không phải là phần tử đại số trên A thì được gọi là phần tử siêu việt trên A. 5. Đại số các đa thức 5.1. Định nghĩa Cấu trúc đại số là bộ (tập X   , ,., nhân vô hướng) thỏa mãn: +,  X , ,. lập thành một vành +,  X , , K  lập thành một K _ môđun ( K là vành giao hoán có đơn vị). Có A  x  là vành giao hoán có đơn vị, ta xác định thêm phép nhân vô hướng sau: n a  A, f  x    ai x i  A  x  i 0 n a. f  x     a.ai x i i 0 Ta có: A _ đại số các đa thức A  x  . Giả sử có K _ không gian vectơ X , hữu hạn chiều, giả sử e1 , e2 ,..., en  là cơ n sở  x  X , x   ai ei . i 1 n n i 1 j 1 Khi đó với x, y  X , giả sử x   ai ei ; y   b j e j n   n  n  xy    ai ei    b j e j    ai b j ei e j  i 1   j 1  i , j 1 5.2. Phép hợp thành đa thức n m 10 j 0 Cho hai đa thức f  x    ai xi  A  x  ; g  x    b j x j  A  x  Đỗ Hồng Thắm 10 K32B- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC. Vương Thông n  f  g  x   f  g  x    ai  g  x    A  x  , đây là đa thức hợp thành i i 0 của đa thức f , g . m  g  f  x    b j  f  x   j 0 j  A  x  , đây là đa thức hợp thành. Bậc của đa thức hợp thành luôn nhỏ hơn hoặc bằng tích hai bậc. 5.3. Phép đạo hàm đa thức n Cho một đa thức f  x    ai x i  A  x  i 0 n Ta xác định được f   x    iai xi 1 cũng là đa thức của ẩn x lấy hệ tử trong i 0 A và gọi là đa thức đạo hàm của đa thức f  x  . Đỗ Hồng Thắm 11 K32B- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC. Vương Thông Phần 2 Đa thức nhiều ẩn 1. Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn 1.1. Xây dựng vành đa thức nhiểu ẩn Cho A là vành giao hoán có đơn vị (ký hiệu là 1), ta xây dựng được vành đa thức một ẩn A1  A  x1  , A1 là vành giao hoán có đơn vị. Xây dựng được vành: A2  A1  x2   A  x1  x2   A  x1 , x2  gọi là vành đa thức của hai ẩn x1 , x2 Tương tự, ta có: A3  A2  x3   A  x1 , x2 , x3  gọi là vành đa thức của ba ẩn x1 , x2 , x3 Lặp lại nhiều lần phép dựng trên, ta sẽ được vành: An  An 1  xn   A  x1 , x2 ,..., xn  , gọi là vành đa thức n ẩn x1 , x2 ,..., xn trên A. Các phần tử của A  x1 , x2 ,..., xn  , ký hiệu là f  x1 , x2 ,..., xn  , g  x1 , x2 ,..., xn  ,... có dạng: f  x1 , x2 ,..., xn    ci x1ai1 x2 ai 2 ...xn ain  c1 x1a11 x2a12 ...xn a1n  c2 x1a21 x2 a22 ...xn a2 n  ...  cm x1am1 x2 am 2 ...xn amn trong đó ci  A, aij  ,  ai1 , ai 2 ,..., ain    a j1 , a j 2 ,..., a jn  , i  j, i  1, m, j  1, n. Đỗ Hồng Thắm 12 K32B- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC. Vương Thông 1.2. Bậc của đa thức nhiều ẩn Giả sử f  x1 , x2 ,..., xn   A  x1 , x2 ,..., xn  là một đa thức khác 0 f  x1 , x2 ,..., xn   c1 x1a11 ...xn a1n  ...  cm x1am1 ...xn amn với các ci  0, i  1,..., m và  ai1 ,..., ain    a j1 ,..., a jn  khi i  j . Ta gọi là bậc của đa thức f  x1 , x2 ,..., xn  đối với ẩn xi số mũ cao nhất mà xi có được trong các hạng tử của đa thức. Nếu trong đa thức f  x1 , x2 ,..., xn  ẩn xi không có mặt thì bậc của f  x1 , x2 ,..., xn  đối với nó là 0. Gọi ai1  ai 2  ...  ain là bậc của hạng tử thứ i của f  x1 , x2 ,..., xn  . Bậc của đa thức là số lớn nhất trong các bậc của các hạng tử của nó. Đa thức 0 là đa thức không có bậc. Nếu các hạng tử của f  x1 , x2 ,..., xn  có bậc bằng nhau và bằng k thì f  x1 , x2 ,..., xn  gọi là một đa thức đẳng cấp bậc k hay một dạng bậc k . Đặc biệt, một dạng bậc nhất gọi là dạng tuyến tính, một dạng bậc hai gọi là dạng toàn phương, một dạng bậc ba gọi là dạng lập phương. 2. Đa thức đối xứng 2.1. Định nghĩa Một đa thức nhiều ẩn f  x1 , x2 ,..., xn   A  x1 , x2 ,..., xn  được gọi là đa thức đối xứng nếu:   f  x1 , x2 ,..., xn   f xi1 , xi2 ,..., xin với  i1 , i2 ,..., in  là hoán vị của 1, 2,..., n . Nói cách khác, một đa thức là đa thức đối xứng nếu nó không thay đổi khi thay đổi biến cho nhau trong dạng khai triển của nó. Những đa thức đối xứng sau được gọi là những đa thức đối xứng cơ bản Đỗ Hồng Thắm 13 K32B- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC. Vương Thông n  1   xi  x1  x2  ...  xn i 1  2   xi x j  x1 x2  x1 x3  ...  x1 xn  x2 x3  x2 xn  ...  xn 1 xn i j 3   xx x i j k i j k  x1 x2 x3  x1 x2 x4  ...  xn 2 xn 1 xn ...  n  x1 x2 ...xn 2.2. Tính chất Định lý 1 : Tập hợp các đa thức đối xứng lập thành một vành con của vành A  x1 , x2 ,..., xn  . Định lý 2 : Mọi đa thức đối xứng f  x1 , x2, ..., xn   A  x1 , x2 ,..., xn  đều đưa được về dạng đa thức của các đa thức đối xứng cơ bản và cách biểu diễn đó là duy nhất. Phương pháp đưa đa thức đối xứng về đa thức của các đa thức đối xứng cơ bản (có hai phương pháp): - Phương pháp với hạng tử cao nhất. - Phương pháp hệ tử bất định. Đỗ Hồng Thắm 14 K32B- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC. Vương Thông Chương 2 Những bài toán trong đại số sơ cấp có liên quan đến đa thức Phần 1 Đối với đa thức một ẩn 1. Bài toán 1: Trục căn thức ở mẫu Giả sử cần trục căn thức dạng 1    với    là đa thức của  với hệ số hữu tỉ,  có dạng n a , a   . 1.1. Cơ sở lý luận Dựa vào dạng viết chính tắc của các phần tử trong mở rộng đơn đại số   n a  . 1.2. Thuật toán Bước 1: Tìm m  x  . Bước 2: Do     0 , thay   x ta có mẫu là đa thức   x  nên   x  không chia hết cho m  x  trong   x  .      x  , m  x   1 . Khi đó, theo thuật toán Euclid ta tìm được đa thức u  x  , v  x     x  sao cho: u  x  .  x   v  x  .m  x   1 . Bước 3: Thay x   , ta được: u   .    v   .m  x   1 Từ đó suy ra: 1     u   (vì m    0 ). 1.3. Ví dụ minh họa Ví dụ 1 :Trục căn thức ở mẫu phân số sau: Đỗ Hồng Thắm 15 1 2 4  3 2 1 3 K32B- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC. Vương Thông Giải Ta thấy   3 2 Đa thức tối tiểu của số   3 2 là m  x   x3  2 . Ký hiệu đa thức   x   2 x 2  x  1 . Khi đó, phân số là 1   2 3 . Vì   3 2   0 nên dễ thấy m  x  và   x  nguyên tố cùng nhau, nghĩa là tồn tại đa thức u  x  , v  x     x  sao cho: u  x  .  x   v  x  .m  x   1 Nhưng khi đó: 1  u  3 2  .  3 2   v  3 2  .m  2   u  2 .  2  , nghĩa là: 3 3 1 1  u 3 2 4  2 1  3 2 3   3  2 3 Như vậy. để giải được bài toán chỉ cần tìm dạng cụ thể của những đa thức u  x  , v  x  . Điều này có thể thực hiện được theo thuật toán Euclid như sau: 4m  x   4 x3 8 4 x3  2 x 2  2 x 2x2  x  1 2x 1 2 x 2  2 x  8 2 x 2  x  1 x  7 2 x2  x  1 x7 2 x 2  14 x 2 x  13 13 x  1 13 x  91 92 Đỗ Hồng Thắm 16 K32B- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC. Vương Thông Từ đây ta nhận được:   92  2 x 2  x  1   x  7  2 x  13    x    4m  x    2 x  1   x    2 x  13    8 x  52  m  x   1   2 x  1 2 x  13     x      8 x  52  m  x   4 x 2  28 x  12   x  hoặc là: x 2   7 x  3   x    2 x  13 m  x   23 Khi đó u  x    x 2  7 x  3 , và cuối cùng ta nhận được: 1 3 4  73 2 3  23 2 3 4  3 2 1 Ví dụ 2 : Trục căn thức ở mẫu phân số sau 1 2 25  6 3 5  8 3 Giải Ta thấy   3 5 Đa thức tối tiểu của   3 5 là m  x   x3  5 .Ta ký hiệu đa thức   x   2 x 2  6 x  8 . Khi đó, phân số là: 1   5 3 . Vì   3 5   0 nên dễ thấy m  x  và   x  nguyên tố cùng nhau, nghĩa là tồn tại đa thức u  x  , v  x     x  sao cho: u  x  .  x   v  x  .m  x   1 Nhưng khi đó: 1  u  3 5  .  3 5   v  3 5  .m  5   u  5 .  5  , nghĩa là: 3 1 1  u 3 2 25  6 5  8  3 5 3 Đỗ Hồng Thắm   17 3 3  5 . 3 K32B- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC. Vương Thông Như vậy, để giải được bài toán chỉ cần tìm dạng cụ thể của những đa thức u  x  , v  x  . Điều này có thể thực hiện được theo thuật toán Euclid như sau: 5 x3 x3  5 x  12 2 x2  6 x  8 1 3 x 2 2 5 x  17 2 x2  6 x  8 2 x2  6 x  5 x  17 68 2 4 x 25 5 25 268 25 Từ đây ta nhận được: 268 4  2  2 x 2  6 x  8   5 x  17   x   25 25  5    4   3 2 1    x    x   .  m  x    x     x   25   2 5 2   2 4  1 3  4  2  1   x   x      x    x   m  x  25  2 2  25  5  5 17 31  4  1 2   x2  x     x    x   m  x  25 25  25  5 5 hoặc là: 5x 2   17 x  31   x   10 x  4  m  x   268 Khi đó u  x   5 x 2  17 x  31 , và cuối cùng ta nhận được: 1 5 3 25  17 3 5  31  . 268 2 3 25  6 3 5  8 1.4. Bài tập áp dụng Bài tập 1: Trục căn thức ở mẫu phân số sau 4 Đỗ Hồng Thắm 7 1 7  7 1 18 K32B- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC. Vương Thông Bài tập 2: Trục căn thức ở mẫu phân số sau 1 1 4 2  2 Bài tập 3: Trục căn thức ở mẫu phân số sau 3 2 3 5 1 25  3 5  2 Bài tập 4: Trục căn thức ở mẫu phân số sau 4 1 3  9  4 27  3 4 2. Bài toán 2: Nhận biết đa thức không phân tích được 2.1. Cơ sở lý luận Đa thức bất khả quy là đa thức không phân tích được. Một đa thức có hệ số thuộc trường số phức luôn phân tích được thành tích các nhân tử là các đa thức bậc nhất như cách biểu diễn đa thức qua các nghiệm. Sau đây ta chỉ xét các đa thức với hệ tử là các số thuộc trường  ,  ,  . 2.2. Thuật toán Sử dụng tiêu chuẩn Eidenstein để chứng minh đa thức bất khả quy trong   x  : Cho đa thức f  x   a0  a1 x  ...  an x n    x  , n  1. Nếu tồn tại một số nguyên tố p, thỏa mãn các điều kiện sau: i) Hệ số cao nhất an không chia hết cho p. ii) Tất cả các hệ số khác chia hết cho p. iii) Số hạng tự do a0 không chia hết cho p2. thì f  x  bất khả quy trên  . 2.3. Ví dụ minh họa Đỗ Hồng Thắm 19 K32B- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC. Vương Thông Ví dụ 1: Chứng minh đa thức sau là bất khả quy trong   x  f  x   x 4  8 x3  12 x 2  4 x  6 Giải áp dụng tiêu chuẩn Eidenstein với p=2 ta có: i) Hệ số cao nhất a4  1 không chia hết cho p  2 . ii) Tất cả các hệ số khác: a3  8, a2  12, a1  4, a0  6 đều chia hết cho p2. Số hạng tự do a0  6 không chia hết cho p 2  4 . iii) Do đó đa thức f  x   x 4  8x3  12 x 2  4 x  6 bất khả quy trong   x  theo tiêu chuẩn Eidenstein. Ví dụ 2: Chứng minh đa thức sau không phân tích được trên tập số hữu tỉ f  x   x 4  x3  2 x  1 Giải Đa thức f  x  có liên quan đến số nguyên tố nhưng ta chưa thể áp dụng ngay tiêu chuẩn Eidenstein để chứng minh. Tuy nhiên, ta có thể biến đổi f  x  để áp dụng được tiêu chuẩn Eidenstein như sau: Đặt y  x  1  x  y  1 , thay vào đa thức ta nhận được: f  x    y  1   y  1  2  y  1  1 4 3  y 4  4 y3  6 y 2  4 y  1  y3  3 y 2  3 y  1  2 y  2  1  y 4  3 y3  3 y 2  3 y  3  g  x Với p=3 , ta kiểm tra 3 điều kiện: i) Hệ số cao nhất a4  1 không chia hết cho p=3. Đỗ Hồng Thắm 20 K32B- Toán