Tài liệu Nghiên cứu tính chất từ và nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại

BỘ GIÁO VÀƠN ĐÀO TẠO LỜI DỤC CẢM TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 Tôi xin bầy tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến PGS.TS. Lưu Thị Kim Thanh, cô đã tận tình hướng dẫn và tạo điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư ĐỖ NGỌC THỊNH phạm Hà Nội 2, Phòng Sau đại học và các thầy cô trong Khoa Vật lý đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành chương trình học và luận văn tốt nghiệp này. Cuối cùng tôi xin tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn ở bên tôi, cổ vũ, động viên tôi và giúp đỡ tôi vượt qua những khó khăn để hoàn NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT TỪ VÀ NHIỆT DUNG CỦA KHÍ ĐIỆN TỬ Hà nội, tháng 11 năm 2011 TỰ DO TRONG KIM LOẠI Tác giả thành luận văn. Đỗ Ngọc Thịnh LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ HÀ NỘI, 2011 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Lưu Thị Kim Thanh. Luận văn này không trùng lặp với các đề tài khác. Tác giả Đỗ Ngọc Thịnh 1 MỞ ĐẦU Kim loại là loại vật rắn có tính dẫn điện tốt, độ dẫn điện vào khảng từ 106 đến 108  1 m-1. Đó là vì trong kim loại có chứa rất nhiều electron có thể chuyển động tự do khắp tinh thể kim loại. Nếu mỗi nguyên tử cho một electron thì trong 1cm3 đã có khoảng 1022 electron hóa trị, liên kết rất yếu với các lõi nguyên tử. Chúng có thể chuyển động tự do trong tinh thể trở thành các hạt tải điện, quyết định tính dẫn điện của kim loại, nên được gọi là các electron dẫn [ 4], [5], [6]. Nếu coi một cách đơn giản rằng các điện tử tự do này không tương tác với nhau (nói chính xác hơn là coi rằng chúng chỉ tương tác với nhau theo một cách duy nhất là va chạm), thì khi đó các điện tử này tạo thành một chất khí lý tưởng, còn nếu coi các điện tử này có tương tác với nhau thì chúng tạo thành một chất lỏng. Việc nghiên cứu tính chất từ và nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà khoa học trong và ngoài nước cả về lý thuyết lẫn thực nghiệm. Tùy vào việc dùng hàm phân bố nào để xét khí điện tử tự do mà ta sẽ có các lý thuyết khác nhau [1], [2], [3]: - Lý thuyết Drude, coi các điện tử tự do có cùng một giá trị năng lượng, ta có hệ khí cổ điển đơn giản nhất. - Nếu dùng phân bố Maxwell - Boltzmann cổ điển, hệ khí điện tử tự do là hệ khí cổ điển, được khảo sát trong Lý thuyết Lorentz. - Lý thuyết Sommerfeld dùng phân bố Fermi - Dirac lượng tử, hệ khí điện tử tự do là hệ khí Fermi lý tưởng. C¸c tÝnh to¸n lý thuyÕt ®­îc x©y dùng ®èi víi m« h×nh lý t­ëng, do ®ã vÉn cã nh÷ng sai kh¸c gi÷a kÕt qu¶ lý thuyÕt vµ thùc nghiÖm thu ®­îc. Khi ®ã ng­êi ta th­êng dïng c¸c ph­¬ng ph¸p gÇn ®óng ®Ó gi¶i quyÕt. Nhãm l­îng tö mµ cÊu tróc nã lµ ®¹i sè biÕn d¹ng phï hîp víi nhiÒu m« h×nh cña vËt lý, lµ mét ph­¬ng ph¸p gÇn ®óng cña lÝ thuyÕt tr­êng l­îng tö. 2 Nhãm l­îng tö vµ ®¹i sè biÕn d¹ng ®­îc kh¶o s¸t thuËn lîi trong h×nh thøc luËn dao ®éng tö ®iÒu hoµ biÕn d¹ng. Trong nh÷ng n¨m gÇn ®©y viÖc nghiªn cøu nhãm l­îng tö vµ ®¹i sè biÕn d¹ng ®­îc kÝch thÝch thªm bëi sù quan t©m ngµy cµng nhiÒu ®Õn c¸c h¹t tu©n theo c¸c thèng kª kh¸c víi thèng kª Bose Einstein vµ thèng kª Fermi - Dirac nh­ thèng kª para Bose, para - Fermi, thèng kª v« h¹n, c¸c thèng kª biÕn d¹ng...., víi t­ c¸ch lµ c¸c thèng kª më réng [7, 8, 9, 10]. Cho ®Õn nay c¸ch më réng ®¸ng chó ý nhÊt lµ trong khu«n khæ cña ®¹i sè biÕn d¹ng. Trong quá trình học tập, tôi đã nhận thức được việc nghiên cứu tính chất từ và nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại là một việc có ý nghĩa khoa học trong nhiều lĩnh vực của khoa học kỹ thuật và đời sống. Vì vậy t«i ®· chän ®Ò tµi “Nghiên cứu tính chất từ và nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại”. Môc ®Ých cña ®Ò tµi lµ nghiên cứu một cách có hệ thống, đầy đủ về các thuyết nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại cả cổ điển và lượng tử; Nghiên cứu các tính chất từ của khí điện tử tự do. X©y dùng phân bố Fermi Dirac biến dạng b»ng ph­¬ng ph¸p lÝ thuyÕt tr­êng l­îng tö. Áp dụng phân bố Fermi - Dirac biến dạng -q để khảo sát hệ khí điện tử tự do trong kim loại, tính nhiệt dung và độ cảm từ của khí điện tử tự do; Sử dụng phần mềm toán học tính nhiệt dung đối với một số kim loại cụ thể, thông qua việc biện luận tham số biến dạng q cho kết quả lý thuyết phù hợp tốt với kết quả thực nghiệm. Các phương pháp chính của đề tài là phương pháp giải tích toán học, phương pháp lý thuyết trường lượng tử và các phương pháp nghiên cứu của vật lý chất rắn. 3 Chương 1 LÝ THUYẾT VỀ NHIỆT DUNG CỦA KHÍ ĐIỆN TỬ TỰ DO TRONG KIM LOẠI 1.1 Lý thuyết cổ điển về nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại Lý thuyết cổ điển về điện tử tự do đã được Drude và Lorentz xây dựng vào khoảng đầu thế kỷ XX. Theo lý thuyết này, lực tương tác giữa các electron hóa trị với các lõi nguyên tử được giả thiết là yếu, không đáng kể. Các electron dẫn được coi như một chất khí lí tưởng tự do, không tương tác. Khi chuyển động, các electron dẫn có thể va chạm với lõi nguyên tử, giữa hai lần va chạm liên tiếp electron chuyển động hoàn toàn tự do. 1.1.1. Lý thuyết Drude Các giả thuyết chính của Drude bao gồm: - Các điện tử tạo thành khí, chuyển động nhiệt hỗn loạn vô hướng. - Tại cùng một nhiệt độ, tất cả các điện tử đều có năng lượng như nhau:  mvT2 3 3kT )  kT (với vT  2 2 m - Khi có điện trường tác dụng lên hệ thì có thêm thành phần chuyển động có hướng, gọi là cuốn theo hướng của điện trường với tốc độ cuốn là vd , tuy vậy: v d << vT Sau mỗi lần va chạm, điện tử mất hoàn toàn chuyển động có hướng mà nó đã có trước đó. 1.1.2. Lý thuyết Lorentz Theo thuyết electron cổ điển, các electron dẫn trong kim loại được xem như chất khí electron lý tưởng. Các electron tự do tham gia vào chuyển động nhiệt hỗn độn, va chạm với các ion của mạng tinh thể và trao đổi năng lượng với 4 chúng. Lực tương tác giữa các electron này với các lõi nguyên tử được giả thiết là yếu không đáng kể. Khi đó, năng lượng toàn phần của các electron chỉ bao gồm động năng, bỏ qua thế năng. Các electron tự do này tuân theo định luật phân bố vận tốc Maxwell - Boltzmann. mv 2 3   m  2 f (v)  4   . v .e 2 kT  2kT  (1.3) Từ hàm phân bố này ta sẽ đi xác định giá trị của vận tốc vT   m  v =  v . f (v)dv  4    2kT  0 2 T 2 3 m  3 = 4   .   2kT  8  m     2kT   vT  3 5 3 v 2 2 .v .e  mv 2 2 kT dv 0 3 kT m kT m (1.4) Động năng trung bình của một phân tử khí: Eđ  mvT2 3  kT 2 2 Vì động năng trung bình của chuyển động nhiệt của các electron có thể coi là bằng động năng trung bình của các ion trong mạng, nên ta nói mỗi electron có năng lượng là 3 2  đ  kT (1.5) 1.1.3. Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại Giả sử có N nguyên tử kim loại, mỗi một ion dao động của mạng tinh thể ứng với một điện tử tự do. Khi đó năng lượng trung của các điện tử tự do trong kim loại bằng E  N . đ  3 3 NkT  RT 2 2 Ở đây N: là hằng số Avôgađrô. (1.6) 5 k: là hằng số Boltzmann. R: là hằng số khí, R  1,99 Kcall/độ. Vậy nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại là: C el  dE 3  R dT 2 (1.7) Mặt khác, như ta đã biết đóng góp của dao động mạng tinh thể vào nhiệt dung ở các nhiệt độ cao (từ nhiệt độ phòng trở lên) là:  ion  3NkT  3RT  C ion  d  ion  3R dT (1.8) (1.9) Khi đó, nhiệt dung của toàn bộ kim loại bao gồm nhiệt dung của ion và nhiệt dung của điện tử: CV  C el  Cion  3 9 R  3R  R 2 2 (1.10) Nhưng thực tế chỉ quan sát thấy CV  3R đối với mọi chất rắn (định luật Duylong - Petit). Vậy tại các nhiệt độ cao (từ nhiệt độ phòng trở lên) chuyển động của các electron chỉ đóng góp một phần rất nhỏ vào nhiệt dung của kim loại (chỉ vào khoảng 1/100 giá trị trên). Vậy nhiệt dung của kim loại tính theo thuyết electron cổ điển là không phù hợp. Lý thuyết này không chỉ ra được sự phụ thuộc vào nhiệt độ của nhiệt dung. Do vậy, ta cần sử dụng lý thuyết lượng tử để nghiên cứu. 1.2. Lý thuyết lượng tử về nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại Năm 1927, sử dụng các khái niệm cơ học lượng tử cho hệ vĩ mô, Sommerfeld là người đầu tiên đưa ra mô hình khí điện tử tự do đối với kim loại, trong đó sử dụng thống kê Fermi - Dirac thay cho thống kê cổ điển Maxwell - Botltzmann, nhờ đó đã khắc phục được nhiều thiếu sót của mô hình cổ điển của Drude và Lorentz. 6 Hệ các hạt đồng nhất là hệ các hạt có đặc trưng vật lý giống hệt nhau như có cùng khối lượng, điện tích, mômen từ, spin... được coi là các hạt đồng nhất. Trong cơ học lượng tử, khái niệm quĩ đạo của các hạt mất hết ý nghĩa. Thực ra, chỉ có thể biết mật độ xác suất ở một vị trí đã cho của hạt thuộc hệ đồng nhất là bao nhiêu. Hơn nữa, ta không thể phân biệt được các hạt trong hệ đồng nhất dù đã đánh dấu chúng. Đó chính là nội dung của nguyên lí không thể phân biệt được các hạt đồng nhất. Theo thuyết lượng tử: - Đối với tất cả các hạt có spin nguyên (gọi chung là các Boson) như photon,  - meson, K-meson... thì không bị hạn chế về số hạt cùng nằm trên một mức năng lượng, hàm sóng của hệ là đối xứng, nghĩa là không thay đổi khi hoán vị các hạt. Các hạt Boson tuân theo thống kê Bose - Einstein. - Đối với các hạt có spin bán nguyên (gọi là các hạt Fermion) như electron, proton, neutron, positron... thì chỉ có 0 hoặc 1 hạt cùng nằm trên một mức năng lượng (nói cách khác là tất cả các Fermion đều phải có năng lượng khác nhau). Hạn chế này gọi là nguyên lý loại trừ Pauli. Hàm sóng của hệ Fermion là đối xứng, nghĩa là khi hoán vị hai hạt bất kì cho nhau thì hàm sóng của hệ đổi dấu. Các hạt Fermion tuân theo thống kê Fermi - Dirac. 1.2.1 Hình thức luận dao động tử điều hòa Dao động tử điều hòa một chiều là một chất điểm có khối lượng m, chuyển động dọc theo một trục ox nào đó dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi F=-kx. Toán tử Hammiltonian của dao động tử điều hòa một chiều có dạng pˆ 2 1 Hˆ  x  kxˆ 2 2m 2 Với xˆ  x là toán tử tọa độ. pˆ x  i  d là toán tử xung lượng. dx k là tần số góc của dao động. m (1.11) 7 Thay toán tử tọa độ x̂ và toán tử xung lượng p̂ x bằng toán tử tọa độ và xung lượng chính tắc mới qˆ , pˆ , xˆ  qˆ  m x (1.12) i d m dx pˆ x  pˆ   Hệ thức giao hoán giữa p̂ và q̂ :  pˆ , qˆ   pˆ qˆ  qˆpˆ    i d  i d ( m x)  m x   m dx m dx   i  m . m i m . m x. d i d  . mx  i dx dx m (1.13) Từ (1.12) suy ra qˆ x m 2 d 2 d2 m pˆ 2      2 pˆ 2 2 2 m dx dx  (1.14) Thay (1.14) vào (1.11) ta được: 1 Hˆ  ( pˆ 2   2 qˆ 2 ) 2 (1.15) Đặt  aˆ  aˆ  2  qˆ     pˆ  i aˆ  aˆ 2  (1.16)  Khi đó pˆ 2  i  qˆ 2      aˆ  aˆ .i aˆ  aˆ 2 2      2 aˆ  aˆ  aˆ  aˆaˆ   aˆ 2 2    aˆ  aˆ  . aˆ  aˆ  2 2       8  2  2 aˆ  aˆ  aˆ  aˆaˆ   aˆ  2   Thay pˆ 2 , qˆ 2 vào (1.15) ta được 1    2 Hˆ   aˆ  aˆ  aˆ  aˆ aˆ   aˆ 2 2 2    12  2 . aˆ 2 2  2   aˆ  aˆ  aˆaˆ   aˆ       Hˆ  (2aˆ  aˆ  2aˆaˆ  )  (aˆ aˆ  aˆaˆ  ) 4 2 Dựa vào (1.13) ta xét  pˆ , qˆ   pˆ qˆ  qˆpˆ = i  2     aˆ  aˆ aˆ  aˆ   i (aˆ  aˆ  )(aˆ   aˆ ) 2 2 2    2 2 i  aˆ aˆ  aˆ   aˆ 2  aˆaˆ   aˆaˆ   aˆ 2  aˆ   aˆ  aˆ 2 i  2aˆ  aˆ  2aˆaˆ  2        Vậy aˆ  aˆ  aˆaˆ   1  aˆaˆ   aˆ  aˆ  1 Hay: aˆ , aˆ    1 (1.17) Ta cũng có:     1  Hˆ  aˆ aˆ  aˆaˆ   aˆ aˆ  1  aˆ  aˆ    aˆ  aˆ   2 2 2      Đặt: Nˆ  aˆ  aˆ Xét hệ thức giao hoán giữa toán tử N̂ với các toán tử aˆ  , aˆ . Nˆ , aˆ   Nˆ aˆ  aˆNˆ  aˆ aˆaˆ  aˆaˆ aˆ  aˆ aˆ  aˆaˆ aˆ  aˆ  Nˆ , aˆ   Nˆ aˆ  Vậy:      aˆ  Nˆ  aˆ  aˆaˆ   aˆ  aˆ  aˆ  aˆ  (aˆaˆ   aˆ  aˆ )  aˆ  (1.18) 9 Nˆ , aˆ   aˆ (1.19) Nˆ , aˆ   aˆ   Kí hiệu n là vector riêng của toán tử N̂ ứng với trị riêng n, ta có phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử N̂ như sau: Nˆ n  n n (1.20) Từ (1.20) ta có: n  2 n Nˆ n nn  n aˆ  aˆ n nn 0 (1.21)  Vì n n    n r  dr  0 Mà Nˆ , aˆ  , aˆ là các toán tử Hermite nên ta có  n Nˆ n  n aˆ  aˆ n   aˆ n r  dr 0 2 (1.22)  Kết luận 1: n  0 nghĩa là các trị riêng của toán tử N̂ là các số không âm.  Kết luận 2: Nếu n là hàm riêng của toán tử N̂ ứng với trị riêng n, thì â n cũng là hàm riêng của toán tử N̂ ứng với trị riêng (n-1), aˆ 2 n cũng là hàm riêng của toán tử N̂ ứng với trị riêng (n-2), ... aˆ p n là hàm riêng của toán tử N̂ ứng với trị riêng (n-p)... Và aˆ  n là hàm riêng của toán tử N̂ ứng với trị riêng (n+1), 2 aˆ  n là hàm riêng của toán tử N̂ ứng với trị riêng (n+2), P ... aˆ  n là hàm riêng của toán tử N̂ ứng với trị riêng (n+p)... Ta dễ dàng chứng minh được kết luận này như sau: Nˆ n  n n Mà Nˆ , aˆ   aˆ  Nˆ aˆ  aˆ  aˆNˆ  Nˆ aˆ n  aˆ n  aˆNˆ n  Nˆ aˆ n  aˆNˆ n  aˆ n  aˆn n  aˆ n  n  1aˆ n 10 Vậy â n là hàm riêng của toán tử N̂ ứng với trị riêng (n-1). Ta có: Nˆ , aˆ aˆ  aˆ 2  Nˆ aˆ 2  aˆNˆ aˆ  aˆ 2  Nˆ aˆ 2 n  aˆNˆ aˆ n  aˆ 2 n  aˆ n  1aˆ n  aˆ 2 n  n  1aˆ 2 n  aˆ 2 n  n  2 aˆ 2 n Vậy aˆ 2 n là hàm riêng của toán tử N̂ ứng với trị riêng (n-2). Chứng minh tương tự ta được aˆ p n là hàm riêng của toán tử N̂ ứng với trị riêng (n-p)... Đối với vector trạng thái aˆ  n , ta cũng tác dụng lên vector trạng thái này toán tử N̂ và sử dụng công thức (1.19) ta có: Nˆ aˆ  n  aˆ  Nˆ n  aˆ  n  Nˆ aˆ  n  aˆ  n n  aˆ  n  (n  1)aˆ  n Vậy aˆ  n là hàm riêng của toán tử N̂ ứng với trị riêng (n +1). Ta có: Nˆ , aˆ  aˆ   aˆ  2 2 2  Nˆ aˆ  n  (n  2)aˆ  n 2 Điều này chứng tỏ aˆ  n là hàm riêng của toán tử N̂ ứng với trị riêng (n +2). ...Tương tự ta cũng chứng minh được aˆ  p n là hàm riêng của toán tử N̂ ứng với trị riêng (n+p)...  Kết luận 3: Trị riêng nhỏ nhất của toán tử N̂ là nmin=0. Vì n  0  nmin=0. Trạng thái ứng với trị riêng nhỏ nhất này là trạng thái chân không: n  0 Trạng thái chân không được xác định bởi phương trình aˆ 0  0 11 Vì từ kết luận 2 ta thấy, n là trị riêng của toán tử N̂ thì chuỗi các số không âm (n-1), (n-2), (n-3)... cũng là trị riêng của toán tử N̂ . Chuỗi này giảm dần nên phải tồn tại một số không âm nhỏ nhất để aˆ nmin  0 . Nếu aˆ nmin  0 thì đó là vector trạng thái ứng với trị riêng nmin - 1< nmin, điều này trái với giả thiết nmin là nhỏ nhất. Vậy aˆ nmin  0 hay aˆ 0  0 . Trong trạng thái chân không này ta cũng có: aˆ 0  0 tỉ lệ với trị riêng 1 của toán tử N̂ ứng với trị riêng n=1. 2 aˆ  0  0 tỉ lệ với trị riêng 2 của toán tử N̂ ứng với trị riêng n=2. n ... aˆ  0  0 tỉ lệ với trị riêng n của toán tử N̂ ứng với trị riêng n. 1 Từ công thức (1.18) ta có: Hˆ    Nˆ   (1.23) 2  Phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử năng lượng Hˆ n  E n (1.24) Từ (1.23) ta cũng có: 1 1   Hˆ n   Nˆ   n   n   n 2 2   (1.25) 1 Từ (1.24) và (1.25) suy ra: E n   n    (1.26) 2 1 2 Nên: 0 là vector riêng của toán tử Ĥ ứng với trị riêng E 0   .  1 1 là vector riêng của toán tử Ĥ ứng với trị riêng E1  1   .  2 1 ... n là vector riêng của toán tử Ĥ ứng với trị riêng E n   n   .  2 Vậy các trạng thái dừng của dao động tử điều hòa có năng lượng gián đoạn với các giá trị cách đều nhau. Hiệu số năng lượng giữa hai trạng thái kề nhau luôn luôn bằng một lượng tử năng lượng  . 12 Trạng thái 0 ứng với mức năng lượng thấp nhất là E0. Trạng thái 1 ứng với mức năng lượng là E1= E0+  , có thể được xem là kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng  vào trạng thái 0 Trạng thái 2 ứng với mức năng lượng thấp nhất là E2= E1+  , có thể được xem là kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng  vào trạng thái 1 , hay thêm hai lượng tử năng lượng  vào trạng thái 0 ... Nếu lấy gốc năng lượng là E 0   thì E n  n. 2 Ta có thể coi 0 là trạng thái không chứa lượng tử năng lượng nào. là trạng thái chứa một lượng tử năng lượng. 1 ... n là trạng thái chứa n lượng tử năng lượng. Toán tử N̂ có các trị riêng không âm, cách nhau một đơn vị được đoán nhận là toán tử số lượng tử năng lượng nên gọi N̂ là toán tử ‘‘số hạt’’. Toán tử â khi tác dụng lên trạng thái n cho trạng thái n  1 , do đó â được đoán nhận là toán tử ‘‘hủy’’ lượng tử năng lượng, hay â được gọi là toán tử ‘‘hủy’’ hạt. Toán tử â  khi tác dụng lên trạng thái n cho trạng thái n  1 , do đó â  được đoán nhận là toán tử ‘‘sinh’’ lượng tử năng lượng, hay â  gọi là toán tử ‘‘sinh’’ hạt. Trong cơ học lượng tử trạng thái dừng của một dao động tử điều hòa có thể coi là tập hợp của nhiều hạt, mỗi hạt có năng lượng bằng  . Cuối cùng, ta đi tính các hệ số n Nˆ n trong các hệ thức aˆ n   n n  1 aˆ  n   n n  1 n n   n aˆ  0 Để cho các vector trạng thái là trực giao, chuẩn hóa (1.27) 13 (1.28) m n   m ,n n Nˆ n Từ (1.21) và (1.28) ta có n  nn  n Nˆ n (1.29) Vì aˆ , aˆ  là các vector Hermite nên: n aˆ   n* n  1 - n aˆ    n* n  1 n  n Nˆ n  n aˆ  aˆ n   n* n  1  n n  1   n  n 2 n 1 n 1 2 Coi  n là số thực nên  n  n Mặt khác ta lại có: n  n Nˆ n  n aˆaˆ   1 n  n aˆaˆ  n  n n   n* n  1  n n  1  1 2  n 1 Coi  n là số thực nên:  n  n  1 . n n 1 aˆ  0  aˆ  aˆ  0  aˆ  n 1 n 2 11  1aˆ  aˆ  1  1aˆ  ...  1.2...n aˆ  nn n2 22 n  n! n n  1 n! Vậy ta có các công thức sau: aˆ n  n n  1 aˆ  n  n  1 n  1 n  1 n! n aˆ  n (1.30) 14 Yếu tố ma trận của aˆ , aˆ  , Nˆ trong n biểu diễn có thể tính nhờ các biểu thức sau: n , aˆ n  n n , n  1  n n, ,n 1 n , aˆ  n  n  1 n , n  1  n  1 n, , n1 n , Nˆ n  n n , n  n n, ,n Dạng ma trận của các toán tử aˆ , aˆ  , Nˆ là: 0  0 aˆ    0 0  0 1  0 Nˆ   0   ... 0    1 0 0 ... 0 2 0 ... 0 ... 0 ... 3 ... ... ... 0 0 0 0 2 0 ... 0 0 0 3 ... 0 0 0 0 ... 0 ...  ...   ...  ...   n 1 ... aˆ   0   1 0  0  ...  0  0 0 ... 0 2 0 0 ... 0 ... 3 ... ... 0 ... 0 ... ... ...   ...  ...   ...  ...  n  1  ...  ... ...  ... n  (1.31) 1.2.2 Dao động tử Fermion, thống kê Fermi - Dirac 1.2.2.1 Dao động tử Fermion Các hạt Fermion được đặc trưng bởi các toán tử sinh hạt, hủy hạt Fermion bˆ  , bˆ và toán tử số hạt Nˆ  bˆ  bˆ . Hàm sóng của hệ N hạt Fermion đồng nhất  k ,k ,,,k ( x1 , x 2 ,...x N ) có thể lựa chọn 1 2 N là tổ hợp tuyến tính của tích các hàm sóng  k x1  của từng hạt Fermion  k ,k 1 2 ,...k N x1 , x 2 ,...x N   1   1 N! v  Pv  k1 ( x1 ) k2 ( x 2 )... k N ( x N )  v =  k x1   k ( x 2 ) ...  k ( x N ) 1  k ( x1 )  k ( x 2 ) ...  k ( x N ) 1 1 2 2 ... N ! ...  k N ( x1 )  k N ( x 2) 1 2 ... ... ...  k N ( x N ) Xét trạng thái được mô tả bởi hàm sóng  (0) . (1.32) 15 bˆk (0)   k ( x) (1.33) Tác dụng liên tiếp các toán tử sinh hạt Fermion lên trạng thái  (0) ta được 1 bˆk1 bˆk2  (0)  (1) v Pv  k1 ( x1 ) k 2 ( x 2 )  2! v  1  2!  k1   ( x1 ) k2 ( x 2 )   k1 ( x 2 ) k2 ( x1 ) 1 bˆk1 bˆk2 bˆk3  (0)   (1) v Pv  k1 ( x1 )k2 ( x 2 )k3 ( x3 ) 3! v   1 3!  k1  ( x1 ) k2 ( x 2 ) k3 ( x3 )   k1 ( x1 ) k2 ( x3 ) k3 ( x 2 )   k1 ( x 2 ) k2 ( x1 ) k3 ( x3 )   k1 ( x3 ) k2 ( x 2 ) k3 ( x1 )   k1 ( x 2 ) k2 ( x3 ) k3 ( x1 )   k1 ( x3 ) k2 ( x1 ) k3 ( x 2 ) 1 ... bˆk bˆk ...bˆk  (0)  1  (1) P  N! N 2 v v k1 ( x1 ) k 2 ( x 2 )... k N ( x N )   (1.34) v Khi hoán vị k i , k j thì tổng (1.34) đổi dấu, do đó hàm sóng đổi dấu. Ta có: bˆk, bˆk bˆk1 bˆk2 ...bˆkN  (0)  bˆk bˆk, bˆk1 bˆk2 ...bˆkN  (0)    bˆk bˆk,  bˆk, bˆk  bˆk , bˆk,  0 (tính chất giao hoán) (1.35) Vì toán tử b̂k liên hiệp với toán tử b̂k nên bˆ , bˆ  0 k (1.36) k, Khi k  k , ta thấy: bˆk bˆk  bˆk bˆk  0 Giả sử trạng thái hệ N hạt Fermion có n1 hạt ở trạng thái k1, n2 hạt ở trạng thái k2,...ns hạt ở trạng thái ks. Hàm sóng mô tả trạng thái của hệ N hạt Fermion trong biểu diễn số lấp đầy có dạng:   bˆ  ...bˆ   (n1 , n 2 ,...n s )  bˆk1 n1  k2 Với: N = n1 +n2+...ns Chú ý rằng   bˆk bˆk nk bˆ  nk  0   k khi nk  1 0 n2  ks ns  0 (1.37) 16   bˆk bˆl nl bˆk nl  0 khi  nl  1, l  k  bˆl bˆk n l n Suy ra: bˆk bˆk   (1  nk )bˆk  k   bˆk bˆl nl    (1) nl bˆl nl k bˆk khi l  k (1.38) Sử dụng (1.38) ta xét tác dụng của toán tử b̂k lên hàm sóng của hệ N hạt Fermion (n1 , n2 ,...n s ) ta có   bˆ  ...bˆ   (0) bˆ  bˆ  ...bˆ bˆ  ...bˆ   (0)  (1)  (1) (1  n )bˆ  bˆ  ...bˆ  ...bˆ  bˆk  (n1 , n2 ,...n s )  bˆk bˆk1 n1  k2 n2 n1  n2 ... nk 1  ks  k1 ns n1  k2 n1  n2 ... nk 1 k n2  k1  k n1  k2  k nk n2  ks  k ns 1 nk  ks ns  (0)  (1) v (1  nk ) (n1 , n2 ,...(1  nk ),...ns ) (Với v k  n1  n2  ...nk 1 : tổng các số lấp đầy đứng trước k). Vậy bˆk (n1 , n2 ,...ns )  (1) v (1  nk )(n1 , n2 ,...(1  nk ),...n s ) k (1.39) Tương tự, cho toán tử b̂k tác dụng lên hàm sóng (n1 , n2 ,...n s ) và dựa vào định nghĩa sau bˆk  (n1 , n 2 ,...0k ,...n s )  bˆk  (n1 , n2 ,...1k ,...n s )   1k  (n1 , n2 ,...,0k ,...n s ) (1.40) Với  là hệ số cần xác định. Ta có thể viết: bˆk (n1 , n2 ,...nk ,...ns )   nk  (n1 , n2 ,...,1  nk ,...n s ) (1.41) Với  nk  thỏa mãn điều kiện  nk  0  0 . Sử dụng điều kiện chuẩn hóa hàm sóng trong biểu diễn số lấp đầy, ta có: (n1 , n 2 ,..., (1  n k ),...n s ) bˆk  (n1 , n 2 ,..., nk ,...n s )  bˆk  (n1 , n2 ,...(1  nk ),...n s )  (n1 , n2 ,...n k ,...n s )  (1) vk 1  (1  n k )  (n1 , n2 ,...1  (1  n k ),...n s  (n1 , n2 ,...nk ,...n s )  (1) vk nk  (n1 , n 2 ,...n k ,...n s ) (n1 , n 2 ,...n k ,...n s )  (1) vk n k 17 Vậy  nk = (1) v nk k Suy ra: bˆk (n1 , n2 ,...n s )  (1) v nk  (n1 , n2 ,...,1  nk ,...ns ) k (1.42) Toán tử Nˆ k  bˆk bˆk là toán tử số hạt và nk=0 ;1 (do nguyên lý loại trừ Pauli). Nˆ k  (n1 , n2 ,...nk ,...n s )  bˆk bˆk  (n1 , n 2 ,...n k ,...n s )  (1) vk .n k bˆk (n1 , n 2 ,...(1  n k ),...n s )  (1) vk .n k .(1) vk 1  (1  n k ) (n1 , n 2 ,...1  (1  n k ),...n s )  nk2 (n1 , n 2 ,...nk ,...n s ) Vì nk=0 ;1 nên nk2  nk Suy ra: Nˆ (n1 , n2 ,...nk ,...n s )  nk  (n1 , n2 ,...nk ,...ns ) (1.43) Sử dụng các công thức (1.41),(1.42) ta dễ dàng thấy rằng các toán tử bˆk , bˆk tuân theo hệ thức phản giao hoán sau bˆ , bˆ  bˆ , bˆ  0 bˆ , bˆ   l k  l l  k l ,k  k (1.44) 1.2.2.2 Thống kê Fermi - Dirac Để xây dựng thống Fermi - Dirac ta có thể sử dụng phương pháp lý thuyết trường lượng tử như sau Xuất phát từ biểu thức tính trị trung bình của một đại lượng vật lý F, tương ứng với toán tử F̂ trên tập hợp chính tắc lớn:          Tr exp   Hˆ  Nˆ .Fˆ Fˆ  Tr exp   Hˆ  Nˆ trong đó (1.45)  : Thế hóa học Ĥ : Toán tử Hamiltonian của hệ  1 với k: Là hằng số Boltzmann kT T: Nhiệt độ của hệ. Chọn gốc tính năng lượng là E 0   . 2 18 Thì Hˆ n  .n , hay Hˆ  Nˆ (với  là năng lượng của một lượng tử năng lượng). Chú ý rằng TrFˆ   n Fˆ n n f ( Nˆ ) n  f (n) n Ta tính số hạt trung bình trên cùng một mức năng lượng là          Ta có: Tr exp  Hˆ  Nˆ .Nˆ   Tr exp     Nˆ .Nˆ  Tr exp   Hˆ  Nˆ .Nˆ Nˆ  bˆ  bˆ  Tr exp   Hˆ  Nˆ 1 (1.46) 1 ˆ   n e       N .Nˆ n   e      .n .n n 0 e    Tr exp   Hˆ  Nˆ   Tr e n 0             Nˆ 1  ˆ 1   n e       N n   e       n n 0  1 e e   (   ) Vậy Nˆ     (   ) 1 e n 0       1 e  (   ) 1 Đây chính là công thức xác định số hạt trung bình trong một trạng thái lượng tử, nên ta có thể viết 1 n ( )  f ( )  e (   ) kT (1.47) 1 Đây chính là hàm phân bố Fermi - Dirac. Ý nghĩa của phân bố này là nó biểu diễn xác suất có điện tử nằm trên mức năng lượng  tại nhiệt độ T Bây giờ ta sẽ xem xét một số tính chất của hàm phân bố này. a) Tại T=00K. Các điện tử sẽ lấp đầy các mức năng lượng từ dưới lên trên đến một mức cao nhất là mức Fermi  F trong đó  F  lim  . Thật vậy T 0