Tài liệu Nghiên cứu didactic về các phép toán trên mệnh đề ở trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Thị Trang NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MỆNH ĐỀ Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Thị Trang NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MỆNH ĐỀ Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học Toán Mã số: 64 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 3 Lời cảm ơn Tôi xin dành những dòng đầu tiên để gửi lời cảm ơn sâu sắc đến TS. Trần Lương Công Khanh. Thầy là người luôn tận tình hướng dẫn, cho tôi nhiều lời góp ý quý báu, giúp đỡ tôi rất nhiều về mặt nghiên cứu khoa học trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến tập thể giảng viên Didactique toán của trường Đại học Sư phạm TP.HCM, đặc biệt là PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần Lương Công Khanh, PGS.TS Lê Văn Tiến, … và xin chân thành cảm ơn PGS. TS Annie Bessot, TS. Alain Birebent. Quý thầy cô là những người đã mang lại cho chúng tôi những tri thức quý báu và niềm say mê đối với chuyên ngành Didactic toán. Tôi xin trân trọng cảm ơn phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm TP.HCM đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn. Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, quý thầy cô và các em học sinh trường THPT Hoàng Hoa Thám – Khánh Hòa, trường THPT Phan Bội Châu – Phan Thiết đã tạo điều kiện cho tôi trong nghiên cứu thực nghiệm. Xin chân thành cảm ơn tất cả các bạn học viên lớp cao học khóa 21 chuyên ngành Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán đã trải qua những ngày vui buồn trong cả khóa học và đóng góp nhiều ý kiến bổ ích thiết thực cho luận văn. Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn những người thân yêu nhất trong gia đình tôi đã động viên và tiếp sức tinh thần để tôi hoàn thành luận văn. Tác giả 4 DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT SGK: Sách giáo khoa SGV: Sách giáo viên SBT: Sách bài tập THPT: Trung học phổ thông HS: Học sinh GV: Giáo viên 5 Mục lục LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................3 DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT ..........................................................................4 MỤC LỤC ..................................................................................................................5 PHẦN MỞ ĐẦU ........................................................................................................7 CHƯƠNG 1. MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MỆNH ĐỀ ................................................................................................................12 1.1 Mục đích của việc đưa các phép toán trên mệnh đề vào sách giáo khoa .....12 1.2 Các phép toán trên mệnh đề trong sách Đại số 10 nâng cao.........................14 1.2.1 Về phép phủ định, phép kéo theo, phép tương đương ..................................15 1.2.2 Về phép hội, phép tuyển ..............................................................................28 1.3 Sự liên hệ giữa logic và tập hợp trong sách Đại số 10 nâng cao ...................34 1.4 Vài kết luận ........................................................................................................36 CHƯƠNG 2. SỰ VẬN HÀNH CỦA CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MỆNH ĐỀ TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN ................................................................................39 2.1 Bài toán chứng minh bằng phản chứng ..........................................................40 2.2 Tính chẵn lẻ của hàm số ...................................................................................41 2.2.1 Một số ghi nhận ............................................................................................41 2.2.2 Tổ chức toán học liên quan đến chủ đề xét tính chẵn lẻ của hàm số trong SGK .......................................................................................................................42 2.2.3 Đánh giá về sự lựa chọn sư phạm của tác giả SGK và những ảnh hưởng có thể có đến đối tượng học sinh ................................................................................47 2.3 Phương trình ......................................................................................................50 2.4 Kết luận ..............................................................................................................51 CHƯƠNG 3. THỰC NGHIỆM .............................................................................53 3.1 Thăm dò ý kiến giáo viên ..................................................................................53 6 3.1.1 Phân tích a priori ...........................................................................................53 3.1.2 Phân tích a posteriori ....................................................................................57 3.2 Thực nghiệm đối với học sinh ..........................................................................61 3.2.1 Thực nghiệm thứ nhất ...................................................................................61 3.2.1.1 Phân tích a priori ........................................................................................61 3.2.1.2 Phân tích a posteriori .................................................................................63 3.2.2 Thực nghiệm thứ hai ......................................................................................65 3.2.2.1 Phân tích a priori ........................................................................................65 3.2.2.2 Phân tích a posteriori .................................................................................69 3.3 Kết luận thực nghiệm........................................................................................74 KẾT LUẬN ..............................................................................................................76 TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................78 PHỤ LỤC .................................................................................................................80 7 Phần mở đầu 1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát Logic toán là ngành toán học được hình thành vào nửa sau thế kỉ XIX. Logic toán cùng với lý thuyết tập hợp đóng vai trò nền tảng trong việc xây dựng toán học hiện đại. Các phép toán logic: phép phủ định, phép hội, phép tuyển, phép kéo theo, phép tương đương giữ một vai trò quan trọng trong sự cấu thành của logic toán. Tác giả Hoàng Chúng đã nhận định: “Việc nắm vững các phép toán logic là rất cần thiết để sử dụng chính xác ngôn ngữ trong toán học, để hiểu và trình bày chính xác các định nghĩa, định lý và chứng minh toán học.” (Những yếu tố logic trong môn toán ở trường phổ thông cấp II, trang 12). Với tầm quan trọng ấy, “một số kí hiệu và ngôn ngữ của logic toán đã được đưa vào chương trình toán ở trường phổ thông của nhiều nước, ngay từ các lớp dưới” (Tài liệu đã dẫn, trang 3). Ở Việt Nam, một số phép toán logic được đưa vào giảng dạy chính thức từ giai đoạn chỉnh lý hợp nhất năm 2000 đến nay. Qua tìm hiểu chương trình và sách giáo khoa (SGK) toán phổ thông hiện hành, chúng tôi chỉ thấy giới thiệu phép phủ định, phép kéo theo và phép tương đương các mệnh đề, còn phép tuyển và phép hội không được đề cập đến (không đưa ra định nghĩa và không đưa ra ký hiệu). Tuy nhiên, cấu trúc hội, tuyển các mệnh đề lại xuất hiện trong nhiều định lý, nhiều định nghĩa các khái niệm như: định nghĩa ba phép toán cơ bản của lý thuyết tập hợp, định nghĩa hàm số chẵn, hàm số lẻ, định nghĩa điều kiện xác định của phương trình, bất phương trình, định nghĩa hệ phương trình, hệ bất phương trình, định nghĩa quy tắc cộng, quy tắc nhân, phép thử ngẫu nhiên, biến cố hợp, biến cố giao…. Trong thực tế dạy học, thỉnh thoảng chúng tôi cũng thường bắt gặp một số lỗi sai liên quan đến việc vận dụng các phép toán logic khi giải toán. Chẳng hạn như: - Khi biến đổi phương trình tích vẫn có học sinh viết x(x –1) = 0 ⇔ x = 0 và x = 1. - Khi tìm điều kiện x ≠ 1 x2 – 3x +2 ≠ 0 ⇔ (x – 1)(x – 2) ≠ 0 ⇔  x ≠ 2 . 8 Khi thử hỏi học sinh về việc phủ định mệnh đề “ A = 0 hoặc B = 0” thì học sinh tỏ ra lúng túng, cho đáp án không chính xác. - Nhiều học sinh cho rằng mệnh đề “1≤7” là sai vì 1 nhỏ hơn hẳn 7 chứ không bằng 7, điều này dẫn tới việc lúng túng khi giải một số bài toán (chẳng hạn như trong việc kết luận tập nghiệm của phương trình, bất phương trình,…). Những ghi nhận trên lôi cuốn chúng tôi chú ý đặc biệt đến việc dạy và học các phép toán trên mệnh đề ở THPT và làm nảy sinh những câu hỏi ban đầu sau: 1/ Các tác giả viết sách giáo khoa xác định vai trò của các phép toán trên mệnh đề trong dạy học toán phổ thông là gì? 2/ Các phép toán trên mệnh đề được đưa vào như thế nào, tiến triển ra sao ở THPT? Có thể giải thích nguyên nhân của những sai lầm nêu trên từ sự lựa chọn sư phạm của các tác giả viết SGK trong dạy học các phép toán trên mệnh đề hay không? 3/ Kiến thức về các phép toán trên mệnh đề trình bày trong SGK có đáp ứng được yêu cầu của việc dạy học các nội dung tiếp theo trong chương trình của giáo viên và học sinh hay không? Việc bỏ đi phép hội, phép tuyển có gây nên khập khiễng gì trong chương trình hay không? 4/ Sự lựa chọn sư phạm của các tác giả SGK và giáo viên khi dạy học các nội dung có sự tham gia của phép hội, phép tuyển? Sự lựa chọn sư phạm này ảnh hưởng như thế nào đến đối tượng học sinh? Tìm kiếm câu trả lời cho các câu hỏi trên sẽ rất có ý nghĩa đối với với việc dạy học các yếu tố logic cơ bản trong môn toán ở trường phổ thông, nhất là trong bối cảnh đổi mới chương trình và SGK như hiện nay. Hy vọng rằng việc giải đáp những câu hỏi trên sẽ giúp người giáo viên có được một cái nhìn rõ nét hơn về các yếu tố logic trong môn toán, đặc biệt là các phép toán trên mệnh đề ở trường trung học phổ thông. Để từ đó có sự lựa chọn sư phạm hợp lý, nhằm đạt được hiệu quả giảng dạy tốt nhất, cung cấp đầy đủ cho học sinh những công cụ quan trọng phục vụ cho việc học tập, nghiên cứu toán trong tương lai. 2. Giới hạn đề tài, phạm vi lý thuyết tham chiếu, mục đích nghiên cứu Mục đích tổng quát của luận văn này là đi tìm một số yếu tố để trả lời cho các câu hỏi đã đặt ra ở trên. Để làm được điều đó, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình 9 trong phạm vi lý thuyết didactic toán. Cụ thể, chúng tôi sẽ vận dụng một số khái niệm công cụ của lí thuyết nhân học sư phạm (tổ chức toán học, sự chuyển đổi didactic, mối quan hệ thể chế, mối quan hệ cá nhân đối với một đối tượng tri thức) và lí thuyết tình huống (khái niệm hợp đồng didactic). Đối tượng tri thức O mà chúng tôi đã chọn là các phép toán trên mệnh đề (phép phủ định, phép hội, phép tuyển, phép kéo theo và phép tương đương). Thể chế I là thể chế dạy học toán ở THPT theo chương trình Việt Nam hiện hành. Trong khuôn khổ của phạm vi lý thuyết tham chiếu đã chọn, từ các câu hỏi đặt ra ban đầu, chúng tôi trình bày các câu hỏi nghiên cứu cụ thể như sau: CH1. Trong chương trình toán THPT hiện hành, các phép toán trên mệnh đề được đưa vào như thế nào, nhằm mục đích gì và tiến triển ra sao? CH2. Những điều kiện và ràng buộc của thể chế đối với việc dạy học các phép toán trên mệnh đề? CH3. Các phép toán trên mệnh đề vận hành như thế nào trong một số nội dung thuộc SGK Đại số lớp 10 nâng cao? Lựa chọn sư phạm của các tác giả SGK và giáo viên khi dạy học các nội dung có sự tham gia của phép hội, phép tuyển? Sự lựa chọn này tác động như thế nào đến đối tượng học sinh? 3. Phương pháp nghiên cứu Chúng tôi tiến hành nghiên cứu gồm các bước như sau: - Để trả lời cho các câu hỏi CH1, CH2 chúng tôi tìm hiểu sách giáo khoa, sách bài tập, sách giáo viên đại số 10 nâng cao và một số tài liệu hướng dẫn giảng dạy liên quan. Chúng tôi phân tích chương “Mệnh đề - Tập hợp” SGK Đại số lớp 10 nâng cao, bởi vì đây là nơi mà các phép toán trên mệnh đề lần đầu tiên được giới thiệu tường minh. Trong quá trình phân tích, chúng tôi sẽ dự đoán những giả thuyết, những quy tắc hợp đồng liên quan đến đối tượng O, sau đó sẽ tiến hành thực nghiệm để kiểm chứng hoặc bác bỏ chúng. - Để tìm kiếm câu trả lời cho câu hỏi CH3, chúng tôi chọn phân tích một số nội dung thuộc SGK Đại số 10 nâng cao, đồng thời tiến hành thực nghiệm thăm dò ý kiến giáo viên bằng cách thiết kế bộ câu hỏi điều tra để biết lựa chọn sư phạm của giáo viên trong dạy học các nội dung này. Ngoài ra, chúng tôi sẽ cố gắng dự đoán 10 những ảnh hưởng của sự lựa chọn sư phạm của SGK và giáo viên trong dạy học các nội dung đã phân tích đến đối tượng học sinh. - Đối tượng học sinh được lựa chọn để thực nghiệm là học sinh lớp 10 học chương trình nâng cao. 4. Cấu trúc của luận văn Luận văn gồm có phần mở đầu, phần kết luận và 3 chương. + Phần mở đầu trình bày một số ghi nhận ban đầu, câu hỏi xuất phát, phạm vi lý thuyết tham chiếu, mục đích nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc luận văn. + Chương 1: Mối quan hệ thể chế với các phép toán trên mệnh đề Nội dung của chương tập trung trả lời cho câu hỏi CH1, CH2. Chúng tôi sẽ làm rõ mối quan hệ thể chế với các phép toán trên mệnh đề. Dựa vào những phân tích trên dự đoán các quy tắc hợp đồng Didactic và các giả thuyết khác liên quan đến đối tượng O. + Chương 2: Sự vận hành của các phép toán trên mệnh đề trong một số bài toán Nội dung của chương tập trung trả lời cho nhóm câu hỏi CH3. Chúng tôi sẽ tiến hành phân tích sự vận hành của các phép toán trên mệnh đề trong một số bài toán (tập trung vào phép phủ định, phép tuyển, phép hội) để thấy được vai trò công cụ của các phép toán trên mệnh đề. Sau đó chúng tôi sẽ tập trung phân tích chi tiết về sự lựa chọn sư phạm của các tác giả SGK trong dạy học các nội dung có sự tham gia của phép hội, phép tuyển. Cuối cùng, dự đoán những ảnh hưởng của sự lựa chọn sư phạm của các tác giả SGK đến đối tượng học sinh. + Chương 3: Thực nghiệm Tiến hành thực nghiệm để kiểm chứng giả thuyết đã dự đoán và tìm các yếu tố trả lời cho các câu hỏi được đặt ra ở chương 1 và chương 2. Thực nghiệm sẽ được tiến hành trên cả hai đối tượng: giáo viên và học sinh. Thực nghiệm giáo viên được tiến hành trước bằng bộ câu hỏi điều tra, thăm dò ý kiến với mục đích thấy được sự lựa chọn sư phạm của giáo viên trong dạy học các phép toán trên mệnh đề và dạy học một số nội dung liên quan đến các phép toán trên mệnh đề. Tiếp đến là thực nghiệm trên đối tượng học sinh lớp 10 học chương trình nâng cao. 11 + Trong phần kết luận chúng tôi sẽ tóm tắt lại những kết quả đã đạt được ở chương 1, chương 2, chương 3, nêu lên những hạn chế của luận văn và một số hướng nghiên cứu mở ra cho luận văn. 12 Chương 1. Mối quan hệ thể chế đối với các phép toán trên mệnh đề Chương này nghiên cứu mối quan hệ thể chế với các phép toán trên mệnh đề ở trung học phổ thông để trả lời hai câu hỏi sau: CH1. Trong chương trình toán THPT hiện hành, các phép toán trên mệnh đề được đưa vào như thế nào, nhằm mục đích gì và tiến triển ra sao? CH2. Những điều kiện và ràng buộc của thể chế đối với việc dạy học các phép toán trên mệnh đề? Chúng tôi chọn sách Đại số 10 nâng cao và sách Bài tập Đại số 10 nâng cao hiện hành làm tư liệu phân tích chính vì hai lý do: - Các phép toán trên mệnh đề được giới thiệu tường minh lần đầu tiên ở phân môn đại số lớp 10. - Sách Đại số 10 nâng cao trình bày các phép toán trên mệnh đề chi tiết hơn sách Đại số 10. Do đó, quyển thứ nhất sẽ thể hiện rõ yêu cầu thể chế hơn quyển thứ hai. Ngoài ra, khi cần thiết, chúng tôi sẽ tham khảo sách giáo viên, các tài liệu bồi dưỡng giáo viên hoặc đối chiếu với sách giáo khoa các chương trình khác (chương trình chuẩn, chương trình chỉnh lý chỉnh lý hợp nhất 2000) để làm rõ đặc thù của tri thức cần dạy trong chương trình đang xét. 1.1 Mục đích của việc đưa các phép toán trên mệnh đề vào sách giáo khoa Phép phủ định, phép hội, phép tuyển, phép kéo theo, phép tương đương trong các giáo trình đại học có thể được gọi chung là phép toán logic, phép liên kết logic, phép logic hay chỉ ngắn gọn là phép toán. Chúng có thể được thực hiện trên các mệnh đề và trên các hàm mệnh đề. Vì sách Đại số 10 nâng cao xây dựng phép phủ định, phép kéo theo, phép tương đương chỉ trên các mệnh đề nên chúng tôi quy ước gọi chung các phép toán này là các phép toán trên mệnh đề 1. Sách Đại số 10 nâng cao không sử dụng thuật ngữ các phép toán trên mệnh đề nhưng có dùng thuật ngữ logic toán trong phần mở đầu chương I. 1 13 Mở đầu chương 1-Mệnh đề và tập hợp, sách Đại số 10 nâng cao có viết: Chương này sẽ cung cấp những kiến thức mở đầu về logic toán và tập hợp. Các khái niệm và các phép toán về mệnh đề và tập hợp sẽ giúp diễn đạt các nội dung toán học thêm rõ ràng, chính xác, đồng thời giúp chúng ta hiểu đầy đủ hơn về suy luận và chứng minh trong toán học. Bởi vậy chương này có ý nghĩa quan trọng đối với việc học tập môn Toán. Cũng như đa số các giáo trình đại học, cao đẳng, khi trình bày về logic toán, SGK xác định chỉ cung cấp những kiến thức cơ bản, ban đầu của logic toán mà thôi. Trong phần mở đầu chương 1- Cơ sở logic toán, giáo trình Đại số và số học, tập 2, tác giả Ngô Thúc Lanh có viết: “Cách trình bày ở đây là sơ lược và phổ cập. Nó nhằm giới thiệu những khái niệm cơ bản của logic toán làm nền cho sự suy luận và những kí hiệu logic thông dụng trong các giáo trình toán học hiện đại.” Đại số mệnh đề là bộ phận cơ bản và sơ cấp nhất của logic toán. Trong đại số mệnh đề, nhờ các phép toán trên mệnh đề mà từ các mệnh đề đơn giản, ta có thể xây dựng được những mệnh đề mới ngày càng phức tạp hơn, tạo thành các công thức của đại số mệnh đề. Do đó có thể nói các mệnh đề đơn giản và các phép toán trên mệnh đề là những nhân tố cơ bản, thiết yếu nhất cấu thành nên đại số mệnh đề. Đó là lý do mà các phép toán trên mệnh đề xuất hiện trong các chương nói về cơ sở logic toán thuộc các giáo trình đại học, và được lựa chọn đưa vào ngay bài 1, chương 1, sách Đại số 10 nâng cao, chương trình toán phổ thông hiện hành. Phần mở đầu trên còn cho thấy các tác giả SGK đánh giá cao vai trò của các phép toán trên mệnh đề trong chương trình. Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực hiện chương trình sách giáo khoa lớp 10 trung học phổ thông (Toán học nâng cao) ở trang 45 nhấn mạnh thêm rằng “chương này nhằm cung cấp cho học sinh công cụ quan trọng để suy luận và trình bày các suy luận toán học”. Sách giáo viên Đại số 10 ở trang 31 cũng nêu rõ mục tiêu: “Cung cấp các kiến thức ban đầu về logic và các khái niệm số gần đúng, sai số tạo cơ sở để học sinh học tập tốt các chương sau. Hình thành khả năng suy luận có lí, khả năng tiếp nhận, biểu đạt các vấn đề một cách chính xác”. Như vậy, với yêu cầu chỉ trình bày những kiến thức cơ bản, ban đầu của logic toán, các phép toán trên mệnh đề được đưa vào sách giáo khoa cùng với các khái 14 niệm và các phép toán trên tập hợp nhằm trình bày chính xác và chặt chẽ các khái niệm toán học, góp phần trang bị cho học sinh công cụ quan trọng để suy luận, trình bày suy luận, giúp học sinh tiếp thu, biểu đạt các vấn đề một cách rõ ràng, chính xác. Tất cả nhằm tạo cơ sở cho việc dạy - học các nội dung tiếp theo trong chương trình. Để thực hiện mục đích đã xác định, sách Đại số 10 nâng cao xây dựng các phép toán trên mệnh đề như thế nào? Những điều kiện và ràng buộc nào tác động lên việc dạy học các phép toán này? 1.2 Các phép toán trên mệnh đề trong sách Đại số 10 nâng cao Tri thức cơ bản về logic toán và về tập hợp được SGK xác định cùng giữ chung một vai trò, chức năng quan trọng trong chương trình. Do đó chúng được đưa vào cùng một chương, và tri thức về logic được trình bày trước tập hợp. Điều này là hợp lý vì nhìn từ góc độ tri thức bác học, logic và tập hợp có mối liên hệ với nhau. Logic cùng với tập hợp làm cơ sở nền tảng cho toán học hiện đại, có sự tương ứng một - một giữa một mệnh đề chứa biến xác định trên tập X với một tập con của tập X. Do đó trong nhiều trường hợp, ngôn ngữ logic và ngôn ngữ tập hợp có thể chuyển đổi cho nhau. Chẳng hạn, liên quan đến năm phép toán trên mệnh đề: mệnh đề kéo theo tương ứng với quan hệ bao hàm giữa hai tập hợp, mệnh đề tương đương tương ứng với quan hệ bằng nhau giữa hai tập hợp, mệnh đề hội tương ứng với kết quả của phép giao hai tập hợp, mệnh đề tuyển tương ứng với kết quả của phép hợp hai tập hợp. SGK có thể hiện mối liên hệ này khi trình bày các phép toán trên mệnh đề và tập hợp hay không? Chúng tôi sẽ trình bày chi tiết hơn về sự thể hiện mối liên hệ này trong SGK ở tiểu mục 3. Tuy cùng một yêu cầu chung khi trình bày về logic toán, nhưng khác với đa số các giáo trình đại học, sách Đại số 10 nâng cao chỉ giới thiệu phép phủ định, phép kéo theo và phép tương đương mà không đề cập đến phép hội và phép tuyển. Lý do được tác giả SGK giải thích: “do hạn chế của chương trình” và “hơn nữa mục đích cũng chỉ để học sinh làm quen với các dạng mệnh đề toán học thường gặp” (SGV 15 Đại số 10, trang 32). Ngoài ra, tác giả viết SGK chương trình chỉnh lý hợp nhất năm 2000 thì cho rằng mệnh đề phủ định, kéo theo, đương đương rất hay gặp trong các suy luận toán học nên nhất thiết phải trình bày, còn các mệnh đề thuộc dạng hội và tuyển do hơi phức tạp (đặc biệt là phép tuyển không loại trừ) nên không đưa vào SGK (Tài liệu hướng dẫn giảng dạy toán 10 chương trình chỉnh lý hợp nhất năm 2000). Việc bỏ đi hai trong năm phép toán thiết yếu cấu thành nên đại số mệnh đề có gây nên khập khiễng gì trong chương trình toán phổ thông hay không? 1.2.1 Về phép phủ định, phép kéo theo, phép tương đương Về phép kéo theo và phép tương đương trong sách Đại số 10 nâng cao, tác giả Đỗ Tất Thắng đã có nghiên cứu chi tiết trong luận văn Nghiên cứu Didactic về phép kéo theo và phép tương đương trong dạy và học toán ở THPT . Do đó, chúng tôi tập trung phân tích chi tiết về sự xuất hiện của phép phủ định, những kết quả liên quan đến phép kéo theo và phép tương đương sẽ được sử dụng khi cần. Ba phép toán trên được đưa vào ngay bài đầu tiên §1. Mệnh đề và mệnh đề chứa biến, của chương I – Mệnh đề và tập hợp. Sau khi giới thiệu khái niệm mệnh đề logic (gọi tắt là mệnh đề), SGK đưa vào khái niệm mệnh đề phủ định, tiếp đến là mệnh đề kéo theo, và sau đó là mệnh đề tương đương ở các trang 5, 6 như sau: ∗ Định nghĩa mệnh đề phủ định: (SGK trang 5) Cho mệnh đề P. Mệnh đề “Không phải P” được gọi là mệnh đề phủ định của P và kí hiệu là 𝑃� . Mệnh đề P và mệnh đề phủ định 𝑃� là hai câu khẳng định trái ngược nhau. Nếu P đúng thì 𝑃� sai, nếu P sai thì 𝑃� đúng. CHÚ Ý: Mệnh đề phủ định của P có thể diễn đạt theo nhiều cách khác nhau. Chẳng hạn, xét mệnh đề P: “ √2 là số hữu tỉ”. Khi đó, mệnh đề phủ định của P có thể phát biểu là 𝑃� : “ √2 không phải là số hữu tỉ” hoặc 𝑃� : “√2 là một số vô tỉ” ∗ Định nghĩa mệnh đề kéo theo: (SGK trang 5) Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là P ⇒ Q. Mệnh đề P ⇒ Q sai khi P đúng, Q sai và đúng trong các trường hợp còn lại. Tuỳ theo nội dung cụ thể, đôi khi người ta còn phát biểu mệnh đề P ⇒ Q là “P kéo theo Q” hay “P suy ra Q” hay “Vì P nên Q”. . . 16 Ta thường gặp các tình huống sau: - Cả hai mệnh đề P và Q đều đúng. Khi đó P ⇒ Q là mệnh đề đúng. - Mệnh đề P đúng và mệnh đề Q sai. Khi đó P ⇒ Q là mệnh đề sai. ∗ Định nghĩa mệnh đề tương đương: (SGK trang 6) Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề có dạng “P nếu và chỉ nếu Q” được gọi là mệnh đề tương đương và kí hiệu là P ⇔ Q. Mệnh đề P ⇔ Q đúng khi cả hai mệnh đề kéo theo P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng và sai trong các trường hợp còn lại. Đôi khi, người ta phát biểu mệnh đề P ⇔ Q là “P khi và chỉ khi Q”. Mệnh đề P ⇔ Q đúng nếu cả hai mệnh đề P và Q cùng đúng hoặc cùng sai. Khi đó ta nói rằng hai mệnh đề P và Q tương đương với nhau. Về định nghĩa của phép kéo theo và phép tương đương, tác giả Đỗ Tất Thắng đã nhận định như sau: “Các tên gọi phép kéo theo, phép tương đương không được đưa vào sách giáo khoa. Các khái niệm phép kéo theo, phép tương đương không được định nghĩa như là các phép toán (hai ngôi) trên tập hợp các mệnh đề, biến hai mệnh đề cho trước thành một mệnh đề thứ ba có chân trị thỏa mãn những điều kiện nào đó. Thay vào đó, sách giáo khoa định nghĩa các khái niệm mệnh đề kéo theo, mệnh đề tương đương mà bản chất toán học của chúng tương ứng là kết quả của phép kéo theo, phép tương đương. Bảng chân trị của hai loại mệnh đề này không được thể hiện rõ ràng trong định nghĩa. Chẳng hạn, trường hợp mệnh đề kéo theo P ⇒ Q, sách giáo khoa chỉ ghi “Mệnh đề P ⇒ Q sai khi P đúng, Q sai và đúng trong các trường hợp còn lại”. Sau đó, sách giáo khoa tiếp tục nhấn mạnh chân trị của P ⇒ Q trong hai trường hợp đặc biệt: P, Q đều đúng, P đúng và Q sai.” (trang 27, 28) Đối với phép phủ định, SGK cũng không nêu trực tiếp định nghĩa phép phủ định mà giới thiệu thông qua định nghĩa mệnh đề phủ định. Tên gọi phép phủ định, bảng chân trị cũng không hề xuất hiện trong SGK. Ngoài ra, trước khi đưa ra các định nghĩa trên, SGK luôn cho HS tiếp cận các ví dụ về mệnh đề phủ định, mệnh đề kéo theo, mệnh đề tương đương. Điều này là phù hợp với quan điểm biên soạn của các tác giả “Quán triệt phương pháp trực quan, nhờ đó có thể giảm tính hàn lâm và đơn giản hóa cách trình bày một số vấn đề phức tạp” ([13], trang 42). Như vậy, SGK không định nghĩa khái niệm phép phủ định như là phép toán một ngôi trên tập hợp các mệnh đề. Bù lại, SGK định nghĩa khái niệm mệnh đề phủ 17 định bằng cách đưa trực tiếp giá trị chân lý của mệnh đề phủ định vào ngay trong định nghĩa và tránh đề cập đến thuật ngữ bảng chân trị. Sự lựa chọn này có tác dụng đơn giản hóa trong chừng mực có thể được các nội dung cần dạy. Mặt khác, sự vắng mặt (trong khối logos) của bảng chân trị sẽ dẫn đến sự vắng mặt (trong khối praxis) của kiểu nhiệm vụ chứng minh sự tương đương lôgic của hai mệnh đề bằng cách lập bảng chân trị. Sau khi định nghĩa, SGK giới thiệu khái niệm mệnh đề chứa biến của lôgic vị từ (trong logic toán còn gọi là hàm mệnh đề hay vị từ) thông qua ví dụ về hai kiểu câu: (1) “n chia hết cho 3”, với n là số tự nhiên. (2) “y > x + 3, với x, y là hai số thực”. Sách còn nêu cách biến một mệnh đề chứa biến thành mệnh đề là “cho các biến những giá trị cụ thể trong tập X”, giúp học sinh hiểu rõ sự khác nhau cơ bản của mệnh đề chứa biến và mệnh đề. Sau đó, SGK tiếp tục giới thiệu hai lượng từ quan trọng ∀ và ∃ (đọc là “với mọi” và “tồn tại”) để biến mệnh đề chứa biến thành mệnh đề. Nhưng trường hợp tổng quát: nhiều lượng từ tác động lên mệnh đề nhiều biến không được trình bày, chỉ có trường hợp đơn giản nhất: một lượng từ tác động lên mệnh đề một biến mà thôi. Cụ thể, sách chỉ trình bày mệnh đề dạng “∀x ∈ X, P (x)” và “∃x ∈ X, P (x)” với tính đúng sai được nêu rõ ràng ở trang 7, 8: “Với mọi x thuộc X, P (x) đúng” (hay “P (x) đúng với mọi x ∈ X ”) (1) là một mệnh đề. Mệnh đề này đúng nếu với x 0 bất kì thuộc X, P (x 0 ) là mệnh đề đúng. Mệnh đề này sai nếu có x 0 ∈ X sao cho P (x 0 ) là mệnh đề sai. “Tồn tại x thuộc X để P (x) đúng” (2) là một mệnh đề. Mệnh đề này đúng nếu có x 0 ∈ X để P (x 0 ) là mệnh đề đúng. Mệnh đề này sai nếu với x 0 bất kì thuộc X , P (x 0 ) là mệnh đề sai (nói cách khác là không có x 0 nào thuộc X để P (x 0 ) là mệnh đề đúng). Từ đó làm cở sở để giới thiệu mệnh đề phủ định của mệnh đề có chứa kí hiệu ∀, ∃ như sau: Cho mệnh đề chứa biến P (x) với x ∈ X. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “∀x ∈ X, P (x)” ������”. là “∃ x ∈ X, 𝑃(𝑥) 18 Cho mệnh đề chứa biến P (x) với x ∈ X. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “∃x ∈ X, P (x)” là “∀x ∈ X, ������ 𝑃(𝑥)”. Từ trên ta thấy rằng khi lập mệnh đề phủ định của mệnh đề “∀x ∈ X, P (x)” và “∃x ∈ X, P (x)” đã có sự xuất hiện ngầm ẩn phép phủ định trên mệnh đề chứa biến mặc dù các phép toán trên các mệnh đề chứa biến không được giới thiệu trong SGK. Chúng tôi tự hỏi trong phần bài tập, kỹ thuật nào được đưa ra để lập ������ 𝑃 (𝑥 ) ? P (x) trong trường hợp này có đặc trưng gì? Chúng tôi sẽ tìm hiểu rõ trong phần phân tích các tổ chức toán học. Như vậy, trong phần bài học, thay vì đưa vào phép phủ định, phép kéo theo, phép tương đương, sách Đại số 10 nâng cao nêu định nghĩa mệnh đề phủ định, mệnh đề kéo theo, mệnh đề tương đương thông qua việc xác định tính đúng sai của chúng; còn khái niệm phép hội, phép tuyển cũng như mệnh đề hội, mệnh đề tuyển hoàn toàn không xuất hiện. Bên cạnh đó, các khái niệm mệnh đề và mệnh đề chứa biến, kí hiệu hai lượng từ ∀, ∃, mệnh đề phủ định của mệnh đề có chứa kí hiệu ∀ và ∃ cũng được đưa vào. Các nội dung được trình bày giản lược thông qua những ví dụ cụ thể, với yêu cầu về mặt kiến thức được các tác giả xác định là: - Nắm được khái niệm mệnh đề, nhận biết một câu có phải là mệnh đề hay không. - Nắm được khái niệm mệnh đề phủ định, kéo theo, tương đương. - Biết khái niệm mệnh đề chứa biến. ( SGV Đại số 10 nâng cao, trang 36) ∗ Các tổ chức toán học liên quan đến phép phủ định Trong phần này, chúng tôi chỉ xem xét các TCTH liên quan đến phép phủ định, vì các TCTH liên quan đến phép kéo theo và tương đương đã được tác giả Đỗ Tất Thắng khảo sát. Mục đích của phần này là hiểu rõ những ràng buộc của thể chế đối với việc dạy học các phép toán trên mệnh đề, tìm ra những quy tắc hợp đồng liên quan đến các phép toán trên mệnh đề (nếu có). Ở trang 37, SGV Đại số 10 nâng cao có nêu yêu cầu về kỹ năng đối với học sinh khi học mệnh đề và mệnh đề chứa biến như sau: - Biết lập mệnh đề phủ định của một mệnh đề, mệnh đề kéo theo, tương đương từ hai mệnh đề đã cho và xác định được tính đúng-sai của các mệnh đề này. 19 - Biết chuyển mệnh đề chứa biến thành mệnh đề bằng cách: hoặc gán cho biến một giá trị cụ thể trên miền xác định của chúng, hoặc gán các kí hiệu ∀ và ∃ vào phía trước nó. - Biết sử dụng các kí hiệu ∀ và ∃ trong các suy luận toán học. - Biết cách lập mệnh đề phủ định của một mệnh đề có chứa kí hiệu ∀, ∃. Chúng tôi sẽ xem xét những yêu cầu này được thể hiện qua những kiểu nhiệm vụ nào liên quan đến mệnh đề phủ định, và sẽ phân tích các tổ chức toán học gắn liền với các kiểu nhiệm vụ ấy ngay sau đây. Các ví dụ, hoạt động, bài tập luyện tập và ôn tập cuối chương liên quan đến mệnh đề phủ định trong SGK và SBT được phân loại thành 2 kiểu nhiệm vụ lớn:  T 1 : Lập mệnh đề phủ định của một mệnh đề  T 2 : Xét tính đúng sai của mệnh đề phủ định Đối với mỗi kiểu nhiệm vụ, chúng tôi sẽ chọn ra một số ví dụ, hoạt động, hoặc bài tập để minh họa, đồng thời trích dẫn cả phần lời giải sẵn có của chúng từ SGK, SBT, hoặc SGV để có thể xác định được các thành phần tương ứng của mỗi một tổ chức toán học, để biết được những gì thể chế mong đợi ở học sinh.  T 1 : Lập mệnh đề phủ định của một mệnh đề Có 3 kỹ thuật được sử dụng, tùy thuộc vào mệnh đề đã cho ban đầu:  Kỹ thuật τ 1a : (Mệnh đề cho trước được diễn đạt bằng câu thông thường, không chứa “với mọi” lẫn “tồn tại”) Thêm từ “không phải” (hoặc từ “không”) vào trước vị ngữ của mệnh đề P.  Kỹ thuật τ 1b : (Mệnh đề cho trước được diễn đạt bằng câu thông thường, có chứa “với mọi” hoặc “tồn tại”) Thay các từ “với mọi”, “mọi”, “tất cả” bằng một trong các từ: “tồn tại”, “có một”, “có”, “có ít nhất một” hoặc ngược lại, thay các từ “tồn tại”, “có một”, “có”, “có ít nhất một” bằng một trong các từ “với mọi”, “mọi”, “tất cả”. Sau đó, thêm từ “không” (hoặc từ “không phải”) trước vị ngữ của câu giống như kĩ thuật τ 1a .  Kỹ thuật τ 1c : (Mệnh đề cho trước có chứa ký hiệu ∀, ∃ và chứa biến) 20 Thay kí hiệu ∀ bằng kí hiệu ∃ (hoặc ngược lại, thay kí hiệu ∃ bằng kí hiệu ∀), rồi phủ định mệnh đề chứa biến P(x) theo kỹ thuật τ 1a để được mệnh đề phủ định ������”, mệnh đề phủ định của “∃x ∈ X, P (x)” là của “∀x ∈ X, P (x)” là “∃x ∈ X, 𝑃(𝑥) ������. “∀x ∈ X, 𝑃(𝑥) Chú ý: Trong nhiều trường hợp, ta có thể thay thế một số từ bằng những từ mang nghĩa tương đương với chúng, để được cách phát biểu khác, nhưng ý nghĩa vẫn không thay đổi.  Ví dụ minh họa cho T 1 : Bài tập 13, SGK, trang 13: Nêu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau: a) Tứ giác ABCD đã cho là hình chữ nhật. b) 9801 là số chính phương. Lời giải: (trích từ SGV, trang 49) a) Tứ giác ABCD đã cho không phải là hình chữ nhật. b) 9801 không phải là số chính phương. Bài tập 2, SGK, trang 9: Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau […] a) Phương trình x 2 – 3x + 2 = 0 có nghiệm. b) 2 10 – 1 chia hết cho 11. c) Có vô số số nguyên tố. Lời giải: (trích từ SGV, trang 40) a) Phương trình x 2 – 3x + 2 = 0 vô nghiệm. b) 2 10 – 1 không chia hết cho 11. c) Có hữu hạn số nguyên tố. Ví dụ 10, SGK, trang 8: 𝑛 Mệnh đề phủ định của mệnh đề “Với mọi số tự nhiên n, 22 + 1 là số 𝑛 nguyên tố” là “Tồn tại số tự nhiên n để 22 + 1 không là số nguyên tố” H7, SGK, trang 8: