Tài liệu Nghiên cứu didactic toán về hoạt động của công cụ vectơ trong hình học lớp 10

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH HOÀNG HỮU VINH NGHIÊN CỨU DIDACTIC TOÁN VỀ HOẠT ĐỘNG CỦA CÔNG CỤ VECTƠ TRONG HÌNH HỌC LỚP 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành :LÍ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN Mã số :60.14.10 TP. HỒ CHÍ MINH – 2002 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH HOÀNG HỮU VINH NGHIÊN CỨU DIDACTIC TOÁN VỀ HOẠT ĐỘNG CỦA CÔNG CỤ VECTƠ TRONG HÌNH HỌC LỚP 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành :LÍ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN Mã số :60.14.10 TP. HỒ CHÍ MINH – 2002 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH HOÀNG HỮU VINH NGHIÊN CỨU DIDACTIC TOÁN VỀ HOẠT ĐỘNG CỦA CÔNG CỤ VECTƠ TRONG HÌNH HỌC LỚP 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành :LÍ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN Mã số :60.14.10 TP. HỒ CHÍ MINH – 2002 LỜI CẢM ƠN Trƣớc hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Cô LÊ THỊ HOÀI CHÂU, giảng viên khoa toán - tin học Trƣờng Đại học Sƣ phạm TPHCM, ngƣời đã bỏ rất nhiều thời gian và công sức để hƣớng dẫn tôi một cách tận tình, kỹ lƣỡng trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Cô cũng là cầu nối giữa giáo sƣ đồng hƣớng dẫn và tôi kể từ lúc bắt đầu cho đến lúc hoàn tất luận văn. Cô còn là ngƣời đã giúp tôi dịch luận văn này sang tiếng Pháp để gởi đến giáo sƣ phản biện mặc dù cô rất bận rộn với công tác giảng dạy và nghiên cứu khoa học. Tôi xin trân trọng cảm ơn bà Claude Comiti. Với vai trò là giáo sƣ đồng hƣớng dẫn, bà đã cho tôi những ý kiến quý báu để hoàn thiện bản luận văn này. Sự hiện diện của bà Annie Bessot, thầy Trần Văn Tấn, thầy Lê Văn Tiến, thầy Đoàn Hữu Hải trong hội đồng bảo vệ luận văn thạc sỹ là một niềm vinh hạnh đối với tôi. Tôi xin trân trọng cảm ơn những ý kiến đóng góp của các thầy cô trong hội đồng đối với bản luận văn của tôi. Cho phép tôi gởi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô trong chuyên ngành Lý luận và phƣơng pháp dạy học Toán cũng nhƣ các thầy cô ở các bộ môn khác đã tận tâm giảng dạy chúng tôi trong suốt hai năm học qua. Tôi cũng rất cảm động và biết ơn hai giáo sƣ ngƣời Pháp đã không quản ngại xa xôi, đến tham gia giảng dạy, giúp đỡ chúng tôi bƣớc đầu làm quen với ngành Didactic Toán. Tôi xin cảm ơn Phòng Khoa Học Công Nghệ - Sau Đại học và trƣờng Đại học Sƣ phạm TP. Hồ Chí Minh đã giúp tôi hoàn tất chƣơng trình và các thủ tục bảo vệ luận văn. Tôi sẽ không thể có thời gian để tham dự đầy đủ khóa học nếu thiếu sự quan tâm tạo mọi điều kiện thuận lợi của BGH trƣờng PTTH Lƣơng Văn Can, Q.8 và sự sẵn sàng đảm nhiệm giúp tôi phần việc giảng dạy của các đồng nghiệp trong tổ toán. Xin BGH và các bạn nhận ở tôi lời cảm ơn sâu sắc. Tôi cũng xin cảm ơn tất cả các bạn lớp Lý luận và Phƣơng pháp dạy học toán khóa 11 đã cùng tôi chia xẻ những niềm vui cũng nhƣ những khó khăn trong suốt hai năm học vừa qua. Cuối cùng tôi muốn nói lời cảm ơn đến vợ tôi, ngƣời đã luôn gần gũi, động viên và tạo điều kiện tốt nhất để tôi có thể tập trung nghiên cứu đồng thời đã giúp tôi rất nhiều trong việc đánh máy và in ấn bản luận văn này. MỤC LỤC MỞ ĐẦU ................................................................................................................................... 8 CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU ............................ 1 I/ Khung lý thuyết tham chiếu ............................................................................................... 1 1. Quan hệ thể chế:............................................................................................................. 1 2. Tổ chức toán học :.......................................................................................................... 2 II/ Trình bày lại những câu hỏi nghiên cứu ........................................................................... 3 III/ Phƣơng pháp nghiên cứu ................................................................................................. 4 1. Nghiên cứu chƣơng trình và sách giáo khoa :................................................................ 4 2. Nghiên cứu thực nghiệm :.............................................................................................. 5 CHƢƠNG 2: CÔNG CỤ VECTƠ TRONG CHƢƠNGTRÌNH VÀ SÁCH GIÁO KHOA...... 6 Mở đầu ................................................................................................................................... 6 I/ Công cụ Vectơ trong chƣơng trình 1989 ............................................................................ 6 I.1. Mục đích chủ yếu của việc đƣa vectơ vào chƣơng trình : cung cấp một công cụ hiệu quả để nghiên cứu hình học ............................................................................................... 6 I.2. Công cụ vectơ đƣợc tính đến nhƣ thế nào trong chƣơng trình 1989 : ......................... 7 II/ Công cụ vectơ trong chƣơng trình 1999 ......................................................................... 10 II.1. Không thay đổi mục đích đƣa vectơ vào chƣơng trình : .......................................... 10 II.2. Không thay đổi cấutrúc của chƣơng trình : .............................................................. 11 III. Công cụ vectơ trong sách năm 2000 .............................................................................. 12 III.1. Cách trình bày các tri thức cần phải dạy : ............................................................... 12 III.1.1. Vectơ và các hệ thức lƣợng: ............................................................................ 13 III.1.2. Vectơ và phép biến hình : ................................................................................ 14 III.2. Công cụ vectơ trong bài tập : .................................................................................. 15 III.2.1. Loại 1: Các bài tập nhằm củng cố định nghĩa vectơ, các quy tắc và các phép toán về vectơ ................................................................................................................ 18 III.2.2. Loại 2 : Các bài tập rèn luyện việc chuyển ngôn ngữ ...................................... 25 III.2.3. Loại 3 : Các bài tập sử dụng công cụ vectơ để giải các bài toán hình học. ..... 35 IV. Kết luận và nêu giả thuyết nghiên cứu .......................................................................... 66 CHƢƠNG 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM ..................................................................... 68 Mở đầu ................................................................................................................................. 68 I/ Các bài toán thực nghiệm ................................................................................................. 69 II/ Phân tích A-PRIORI các bài toán trên ............................................................................ 70 II.1. Phân tích a-priori bài toán 1 : ................................................................................... 70 II.2. Phân tích a-priori bài toán 2 : ................................................................................... 75 II.3. Phân tích a-priori bài toán 3 : ................................................................................... 80 III/ Phân tích A-posteriori bài toán ...................................................................................... 83 III.1. Phân tích a-posteriori bài toán 1: ............................................................................ 83 III.2. Phân tích a-posteriori bài toán 2 : ........................................................................... 88 III.3. Phân tích a-posteriori bài toán 3 : ........................................................................... 95 III.4. Tổng kết phần phân tích a-posteriori ba bài toán thực nghiệm : ............................ 96 IV/ Kết luận........................................................................................................................ 100 KẾT LUẬN ............................................................................................................................ 101 TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................................... 101 PHỤ LỤC MỞ ĐẦU Trƣớc năm 1956, vectơ đƣợc đƣa vào giảng dạy từ bậc trung học. Cuộc cải cách giáo dục thực hiện năm 1956 ở miền Bắc đã loại bỏ vectơ ra khỏi chƣơng trình môn toán ở bậc học này. Năm 1975, đất nƣớc thống nhất về mặt hành chính, song chƣa thống nhất về chƣơng trình giảng dạy : miền Bắc vẫn dạy theo chƣơng trình cũ, miền Nam dạy theo chƣơng trình mới, trong đó vectơ đƣợc đề cập đến ở lớp 10 và đƣợc dùng để xây dựng một số kiến thức hình học giải tích. Đƣa vectơ với tƣ cách là công cụ giải toán chƣa đƣợc xem là mục đích của chƣơng trình này. Năm 1989, một chƣơng trình mới đƣợc ban hành và kể từ 09/1990 sách giáo khoa biên soạn theo chƣơng tình đó đã thay thế cho những bộ sách cũ soạn theo chƣơng trình riêng cho từng miền trƣớc đây. Với chƣơng trình 1989, vectơ đƣợc đƣợc giảng dạy ở tất cả các lớp 10 trên toàn quốc. Mục đích của việc dạy học vectơ là cung cấp cho học sinh một đối tƣợng tri thức mới, xây dựng một phƣơng pháp mới để nghiên cứu hình học. Có ba bộ sách giáo khoa đƣợc biên soạn theo chƣơng trình 1989. Mƣời năm sau, năm 1999 theo tinh thần "giảm tải", ngƣời ta hạ thấp yêu cầu đối với việc học một số nội dung toán học. Năm 2000, với cuộc "giảm tải, chỉnh lý và hợp nhất", ngƣời ta thay sách giáo khoa một lần nữa ở bậc trung học. Kể từ đó, cả nƣớc dùng chung một bộ sách giáo khoa. Trong chƣơng trình 1999, cũng nhƣ trong chƣơng trình 1989, vectơ luôn giữ một vị trí quan trọng. Là giáo viên dạy toán ở bậc phổ thông trung học, tôi nhận thấy có nhiều vấn đề liên quan đến việc dạy học vectơ cần đƣợc nghiên cứu. Về phƣơng diện đối tƣợng của tri thức, luận án tiến sĩ của Lê Thị Hoài Châu đã vạch rõ những khó khăn trong học tập của học sinh lớp 10. Từ một nghiên cứu khoa học luận và nghiên cứu thể chế, từ một thực nghiệm đặt trong quan điểm so sánh, tác giả đã vạch rõ nguồn gốc của những khó khăn này. Liên quan đến phƣơng diện công cụ của vectơ, chúng tôi chỉ có bài báo của Bittar mà trong đó tác giả kết luận là " công cụ vectơ chỉ tỏ ra sẵn sàng đƣợc sử dụng" bởi một số ít học sinh, và "học sinh có khó khăn khi sử dụng công cụ này để giải toán" Ở Việt Nam, chúng tôi không biết một công trình didactic nào nghiên cứu việc sử dụng vectơ của học sinh bậc phổ thông trung học. Đã có vài quyển sách tổng kết những dạng toán có thể giải bằng vectơ và đƣa ra một hệ thống bài tập để học sinh luyện tập việc sử dụng công cụ này. Nhƣng đó là những tài liệu toán học đƣợc viết bởi những thầy giáo có kinh nghiệm chứ không phải là những nghiên cứu didactic. Đặt mình trong khuôn khổ của didactic toán, chúng tôi muốn tìm hiểu xem phƣơng diện công cụ của vectơ đƣợc đƣa vào nhƣ thế nào trong sách giáo khoa hình học 10 và học sinh sử dụng vectơ để giải toán ra sao. Câu hỏi xuất phát cho nghiên cứu của chúng tôi là : - Chƣơng trình và sách giáo khoa hiện hành đòi hỏi học sinh dùng vectơ để giải những loại toán nào? - Trong thực tế, học sinh có đạt đƣợc điều đó hay không? Để tìm những yếu tố cho phép trả lời những câu hỏi này, trƣớc hết chúng tôi cần nghiên cứu chƣơng trình và sách giáo khoa. Việc phân tích chƣơng trình và sách giáo khoa sẽ đƣợc tiến hành với những công cụ lý thuyết nào ? Trong chƣơng I chúng tôi sẽ trình bày khung lý thuyết tham chiếu và phƣơng pháp nghiên cứu mà chúng tôi thừa nhận. Trong khuôn khổ lý thuyết tham chiếu, ở chƣơng II chúng tôi sẽ tiến hành phân tích chƣơng trình và sách giáo khoa. Sự phân tích này sẽ giúp chúng tôi hình thành nên những giả thuyết về tính hiệu quả của công cụ vectơ đối với học sinh. Giả thuyết này cần phải đƣợc kiểm chứng bởi một thực nghiệm. Nghiên cứu thực nghiệm là đối tƣợng của chƣơng 3, trong đó chúng tôi sẽ trình bày phân tích a-priori những bài toán thực nghiệm và aposteriori kết quả thu đƣợc. Chƣơng I: Cơ sở lý thuyết và phƣơng pháp nghiên cứu Hoàng Hữu Vinh CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Để phân tích vai trò của một tri thức cần dạy, cách thức trình bày nó, mối liên hệ của nó với những tri thức khác có mặt trong chƣơng trình, những điều kiện và những ràng buộc cho việc dạy và học tri thức đó, lý thuyết didactic toán cung cấp cho chúng ta nhiều công cụ. Chúng tôi sẽ trình bày tóm tắt ở đây phạm vi lý thuyết làm cơ sở cho việc xác định phƣơng pháp luận nghiên cứu và nền tảng cho việc tìm các yếu tố trả lời những câu hỏi đƣợc định ra ở trên. I/ Khung lý thuyết tham chiếu Ở đây, chúng tôi tự đặt mình trong khuôn khổ của lý thuyết nhân chủng học của Chevallard. Lý thuyết này là kết quả của một quá trình lý thuyết hóa mà điểm xuất phát là lý thuyết chuyển đổi didactic. Quá trình lý thuyết hóa đó gắn liền với vân đề "sinh thái học". "Cách đặt vấn đề sinh thái học cho phép mở rộng phạm vi phân tích và đề cập đến những đòi hỏi đƣợc tạo ra giữa các đối tƣợng tri thức khác nhau cần dạy" (Bosch et Chevallard, 1999, 82). Những đối tƣợng này duy trì các mối quan hệ qua lại theo thứ bậc, tạo nên các cấu trúc sinh thái. Cấu trúc sinh thái này cho phép phân tích thực tiễn dạy học một tri thức. Trong thực tiễn này không chỉ có các đối tƣợng tri thức mà còn có những kiểu đối tƣợng đặc biệt : những thể chế, những cá thể và những vị trí đƣợc chiếm giữ bởi các cá thể trong thể chế. 1. Quan hệ thể chế: Khái niệm quan hệ thể chế đƣợc Chevallard đƣa vào từ quan niệm thừa nhận rằng: " Một tri thức không tồn tại trong một xã hội rỗng, mọi tri thức đều xuất hiện ở một thời điểm xác định, trong một xã hội nhất định và đƣợc cắm sâu vào một 1 Chƣơng I: Cơ sở lý thuyết và phƣơng pháp nghiên cứu Hoàng Hữu Vinh hoặc nhiều thể chế. Cụ thể hơn, mọi tri thức đều là tri thức của một thể chế và một tri thức có thể sống trong nhiều thể chế khác nhau" Một đối tƣợng tri thức O đƣợc coi là tồn tại đối với một thể chế I nếu có một mối quan hệ R(I,0) của I đối với O. Quan hệ này cho biết O xuất hiện nhƣ thế nào và ở đâu trong I, O giữ vai trò gì trong I và mối quan hệ giữa O với các đối tƣợng khác của I ra sao. Cũng tƣơng tự nhƣ vậy, một đối tƣợng tri thức O tồn tại đối với một cá nhân X nếu có mối quan hệ R(X,0) của X đối với O. Quan hệ này bao gồm tất cả các tác động qua lại của X đối với O nhƣ X có thể sử dụng O nhƣ thế nào, hiểu về O ra sao... Chevallard cũng chỉ rõ : "Vấn đề trung tâm của việc dạy học là nghiên cứu quan hệ thể chế, những điều kiện và những hiệu quả của nó. Việc nghiên cứu mối quan hệ cá nhân là vấn đề cơ bản về mặt thực tiễn, và là thứ về mặt khoa học luận của việc dạy học" (Chevallard 1989b,93) 2. Tổ chức toán học : Để có một phƣơng pháp phân tích thực tế của một thể chế, năm 1998, Chevallard đƣa ra khái niệm organisation praxéologique. Theo ông, một tổ chức praxéologique là một bộ bốn thành phần [T,τ,θ,Θ] : kiểu nhiệm vụ T, kỹ thuật τ để giải quyết T, công nghệ θ để giải thích cho kỹ thuật τ, lý thuyết Θ đóng vai trò công nghệ của θ, nghĩa là giải thích cho θ. Một tổ chức praxéologique mà các thành phần đều mang bản chất toán học thì đƣợc gọi là một tổ chức toán học Chevallard xem một kỹ năng (savoir-faire) nhƣ là cặp praco-technique [T,τ] và một tri thức là cặp công nghệ-lý thuyết [θ,Θ]. Tuy nhiên, thông thƣờng một tri thức bao hàm cả bốn thành phần [T,τ,θ,Θ]. 2 Chƣơng I: Cơ sở lý thuyết và phƣơng pháp nghiên cứu Hoàng Hữu Vinh Nhƣ vậy, kỹ năng về một kiểu nhiệm vụ T là những kỹ thuật để thực hiện những nhiệm vụ t ∈ T. Những kỹ thuật này đƣợc giải thích bởi tri thức [θ,Θ]. Nghiên cứu những kiểu nhiệm vụ T liên quan đến đối tƣợng tri thức O và những kỹ thuật thực hiện tƣơng ứng τ là tiếp cận mối quan hệ thể chế với đối tƣợng này, làm rõ những thực tế thể chế trong đó đối tƣợng O xuất hiện và hoạt động. Mặt khác, những kỹ thuật đƣợc đƣa vào trong một thể chế để thực hiện các nhiệm vụ đã cho thƣờng đòi hỏi phải đƣợc giải thích, nghĩa là đòi hỏi yếu tố công nghệ-lý thuyết. Tóm lại, việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế đối với một đối tƣợng tri thức toán học O có thể đƣợc thực hiện qua việc phân tích các tổ chức toán học gắn liền với O. II/ Trình bày lại những câu hỏi nghiên cứu Đặt nghiên cứu trong phạm vi của lý thuyết nhân chủng học, chúng tôi xác định thể chế mà chúng tôi quan tâm là việc giảng dạy toán ở lớp 10, lớp đầu tiên của bậc phổ thông trung học và đối tƣợng cần nghiên cứu là vectơ. Việc chọn khung lý thuyết tham chiếu nhƣ trên giúp chúng tôi có thể trình bày lại các câu hỏi xuất phát một cách cụ thể và rõ ràng hơn : - Vectơ đƣợc đƣa vào thời điểm nào trong chƣơng trình lớp 10 ? - Nó đƣợc trình bày ra sao ? Nhằm mục đích gì ? - Vectơ có mối quan hệ nhƣ thế nào với những vấn đề khác của chƣơng trình ? - Các kiểu nhiệm vụ toán học liên quan đến vectơ là các kiểu nhiệm vụ nào ? Trong các kiểu nhiệm vụ này thì đâu là kiểu nhiệm vụ trọng tâm ? Kỹ thuật giải quyết các kiểu nhiệm vụ đó đƣợc trình bày ra sao ? Phần lý 3 Chƣơng I: Cơ sở lý thuyết và phƣơng pháp nghiên cứu Hoàng Hữu Vinh thuyết nào về vectơ đƣợc dùng để giải thích các kỹ thuật đó ? Học sinh có nắm vững và giải quyết tốt các bài toán thuộc các kiểu nhiệm vụ đó không ? III/ Phƣơng pháp nghiên cứu Trong phạm vi lý thuyết đã đƣợc trình bày, để tìm cách trả lời các câu hỏi đƣợc đặt ra ở trên, chúng tôi sẽ thực hiện nghiên cứu sau đây : 1. Nghiên cứu chƣơng trình và sách giáo khoa : Vấn đề ở đây là phải chỉ ra những nét đặc trƣng của vectơ với tƣ cách là công cụ trong thể chế dạy học. Thể chế mà chúng tôi quan tâm đến là việc dạy học Hình học lớp 10, lớp đầu tiên của bậc PTTH. Chính ở bậc học này, học sinh lần đầu tiên đƣợc tiếp xúc với một phƣơng pháp mới trong nghiên cứu Hình học : phƣơng pháp sử dụng công cụ vectơ. a/ Thông qua "sách giáo viên" và "tài liệu Hƣớng dẫn Giảng dạy Toán 10", chúng tôi sẽ nghiên cứu nội dung chƣơng trình hình học lớp 10 bao gồm chƣơng trình cải cách giáo dục năm 1989 và chƣơng trình chỉnh lý hợp nhất năm 1999. Nghiên cứu này nhằm tìm hiểu các quy định về nội dung giảng dạy phần vectơ, yêu cầu về mức độ sử dụng vectơ trong giải toán ở học sinh lớp 10 b/ Chúng tôi sẽ nghiên cứu sách giáo khoa hình học 10 (sách chỉnh lý và hợp nhất năm 2000) ở các nội dung có liên quan đến vectơ. Mục đích của nghiên cứu này là tìm hiểu xem sách giáo khoa đã trình bày nội dung vectơ ra sao ? Tại sao phải trình bày nhƣ vậy ? Nhằm mục đích gì ? Về phƣơng diện công cụ, vectơ đƣợc dùng để xây dựng các vấn đề nào trong phần 4 Chƣơng I: Cơ sở lý thuyết và phƣơng pháp nghiên cứu Hoàng Hữu Vinh lý thuyết. Nó dùng để giải quyết các dạng toán nào trong phần bài tập? Độ khó, độ phức tạp của các dạng toán đó ra sao ? Nghiên cứu chƣơng trình và sách giáo khoa sẽ cho phép chúng tôi vạch rõ quan hệ thể chế đối với tri thức vectơ xét ở phƣơng diện công cụ. Nghiên cứu này là cần thiết, vì quan hệ của cá nhân đối với một tri thức không hoàn toàn độc lập với quan hệ thể chế. 2. Nghiên cứu thực nghiệm : Từ việc phân tích chƣơng trình và sách giáo khoa, chúng tôi đƣa ra các giả thuyết về khả năng sử dụng công cụ vectơ để giải toán của học sinh. Để kiểm chứng các giả thuyết đó, chúng tôi cần phải xây dựng một thực nghiệm. Thực nghiệm này phải cho chúng tôi biết công cụ vectơ có sẵn sàng đƣợc học sinh huy động không ? và học sinh sử dụng chúng có hiệu quả không ? Các bài toán mà chúng tôi đƣa ra thuộc các kiểu nhiệm vụ quen thuộc đối với học sinh lớp 10. Các bài toán này mặc dù có thể giải bằng nhiều cách khác nhau, nhƣng nếu giải chúng bằng công cụ vectơ thì lời giải sẽ gọn nhất. Tuy nhiên để có thể giải đƣợc trọn vẹn bài toán bằng công cụ vectơ, học sinh phải biết định hƣớng cách giải và chọn các phép biến đổi thích hợp. 5 Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh CHƢƠNG 2: CÔNG CỤ VECTƠ TRONG CHƢƠNGTRÌNH VÀ SÁCH GIÁO KHOA Mở đầu Kể từ cuộc cải cách giáo dục theo chƣơng trình năm 1989, vectơ đƣợc đƣa vào giảng dạy ở tất cả các lớp 10 trong cả nƣớc. Ta biết rằng mỗi tri thức cần dạy đƣợc xem xét trên hai phƣơng diện : phƣơng diện "đối tƣợng" và phƣơng diện "công cụ". Trong luận văn này, chúng tôi không tập trung sự chú ý đến phƣơng diện "đối tƣợng" của vectơ mà chỉ quan tâm nghiên cứu đến phƣơng diện "công cụ" của nó. Nhƣ chúng tôi đã nói, sau 10 năm thực hiện chƣơng trình CCGD, đến năm 1999, theo tinh thần giảm tải, chƣơng trình 1989 đƣợc chỉnh lý. Chúng tôi sẽ phân tích chƣơng trình 1989 và 1999 đồng thời nghiên cứu việc thể hiện phƣơng diện này trong sách chỉnh lý hợp nhất năm 2000 (gọi tắt là sách năm 2000). Khi phân tích bộ sách này, chúng tôi có đối chiếu so sánh với sách cải cách giáo dục năm 1990 của nhóm tác giả Trần Văn Hạo (gọi tắt là sách năm 1990). Thông qua việc phân tích chƣơng trình và sách giáo khoa, chúng tôi sẽ xác định vai trò của vectơ trong việc xây dựng các kiến thức thuộc phần lý thuyết và trong việc giải các dạng toán thuộc phần bài tập. I/ Công cụ Vectơ trong chƣơng trình 1989 I.1. Mục đích chủ yếu của việc đƣa vectơ vào chƣơng trình : cung cấp một công cụ hiệu quả để nghiên cứu hình học Trong cuộc cải cách giáo dục ở bậc trung học phổ thông, bắt đầu thực hiện từ 1990, việc đƣa vectơ vào giảng dạy đƣợc xem là "một thay đổi cơ bản của chƣơng trình hình học lớp 10. Một công cụ mới- công cụ vectơ- đƣợc đề cập đến ở đây. 6 Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh Đó là công cụ để xây dựng một phƣơng pháp toán học mới, phƣơng pháp vectơ, một trong những phƣơng pháp cơ bản của toán học" (Văn Nhƣ Cƣơng, 1990, tr.4) Tầm quan trọng của việc đƣa vectơ vào giảng dạy ở lớp 10 đƣợc giải thích bằng cách nhấn mạnh vai trò của vectơ trong toán học cũng nhƣ trong vật lý, kỹ thuật. Các tác giả chƣơng trình và sách giáo khoa đặc biệt lƣu ý đến lợi ích của việc sử dụng vectơ trong hình học : "Phƣơng pháp vectơ cho phép tiếp cận các kiến thức hình học sơ cấp theo một cách thức đơn giản và rõ ràng (chẳng hạn, chứng minh định lý Thalès, định lý Pythagore, định lý hàm số cosin, các hệ thức lƣợng trong tam giác và đƣờng tròn, ...). Nó còn là một phƣơng pháp rất hiệu quả để giải nhanh chóng các bài toán hình học, đôi khi không cần phải sử dụng hình vẽ{...}. Từ phƣơng pháp vectơ ta có thể xây dựng một cách chính xác phƣơng pháp tọa độ theo tinh thần của toán học hiện đại. Với phƣơng pháp này ta có thể xây dựng lại các lý thuyết hình học cũng nhƣ những công cụ giải toán, đƣa ra một cách đại số hóa hình học và hình học hóa đại số" (Văn Nhƣ Cƣơng, 1990, tr.8). Từ việc phân tích lợi ích của vectơ, các tác giả chƣơng trình 1989 khẳng định rằng một trong những nhiệm vụ chủ yếu của dạy học hình học lớp 10 là "đƣa vào một phƣơng pháp mới {...}. Phƣơng pháp này là mới vì ở trung học cơ sở, học sinh chỉ có phƣơng pháp tổng hợp để nghiên cứu các hình hình học" (Nguyễn Gia Cốc, 1990, tr. 1) I.2. Công cụ vectơ đƣợc tính đến nhƣ thế nào trong chƣơng trình 1989 : Chúng ta hãy xem mục đích trên đƣợc thể hiện nhƣ thế nào trong chƣơng trình hình học bậc trung học phổ thông. Trong cuộc cải cách giáo dục ở bậc trung học phổ thông bắt đầu thực hiện từ 1990, trong phần đầu tiên của chƣơng trình, các tác giả chƣơng trình đƣa vào vectơ một số phép toán của vectơ (nhƣ phép cộng, phép trừ, phép nhân với một số và 7 Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh phép nhân vô hƣớng). Nhƣ thế, xuất hiện ở đây một đối tƣợng hình học mới, trên đó ngƣời ta có thể định nghĩa các phép toán đại số. Những đối tƣợng này cung cấp một công cụ mới cho phép đại số hóa hình học . "Mặc dù từ "không gian vectơ" không xuất hiện, nhƣng trong thực tế thì một không gian vectơ trên trƣờng số thực đã đƣợc xây dựng. Đó là không gian các vectơ của mặt phẳng, đƣợc đƣa vào với các tính chất của phép cộng, phép nhân với một số thực. Hai tiên đề cho phép định nghĩa mặt phảng aphin từ không gian vectơ (hệ thức Chasles và đặc trƣng song ánh của ánh xạ đặt tƣơng ứng mỗi vectơ u với một điểm M sao cho u = OM , o là điểm cố định chọn trƣớc) đã đƣợc trình bày. Những kiến thức vectơ đƣa vào đủ để nghiên cứu các tính chất aphin và métric của hình học phang" (Lê Thị Hoài Châu, 1997, tr.123) Phần tiếp theo của chƣơng trình hình học lớp 10 dành cho việc nghiên cứu các hệ thức lƣợng trong tam giác, trong đƣờng tròn. Trong phần này, vectơ đƣợc sử dụng để chứng minh nhiều định lý và công thức. Chẳng hạn, tích vô hƣớng đƣợc dùng để chứng minh định lý hàm số cosin, các công thức tính độ dài đƣờng trung tuyến...Nó cũng còn đƣợc dùng để xây dựng khái niệm phƣơng tích của một điểm đối với một đƣờng tròn. Phần cuối cùng của chƣơng trình hình học lớp 10 là "Các phép biến hình". Ở đây vectơ đƣợc dùng để định nghĩa phép tịnh tiến, phép vị tự. Hơn thế nữa, các định lý về sự bảo toàn khoảng cách của những phép dời hình đƣợc nghiên cứu trong chƣơng trình (tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm, quay), sự bảo toàn tỷ số khoảng cách cũng nhƣ tính thẳng hàng của phép vị tự cũng đƣợc chứng minh nhờ vectơ. Phƣơng pháp này còn giữ vai trò quan trọng trong việc trình các kiến thức của hình học giải tích ở lớp 12. Từ sự phân tích chƣơng trình hình học dạy ở bậc trung 8 Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh học, Lê Thị Hoài Châu đã chỉ rõ thứ tự trình bày các phƣơng pháp tiếp cận hình học đƣợc lựa chọn ở Việt Nam là: Phƣơng pháp tổng hợp —► phƣơng pháp vectơ —► phƣơng pháp tọa độ phƣơng pháp vectơ - tọa độ "Trong lịch sử phát triển của toán học, phƣơng pháp giải tích ra đời trƣớc khi xuất hiện ý tƣởng xây dựng một hệ thống tính toán trong nội tại hình học, ý tƣởng đã dẫn đến lý thuyết vectơ, {...}. Thế nhƣng, theo một quan điểm chặt chẽ toán học, bƣớc chuyển từ hình học tổng hợp vào hình học vectơ không dựa vào hình học giải tích. Nói cách khác, xuất phát từ hình học tổng hợp (hình học Euclide), ta có thể xây dựng phƣơng pháp giải tích hay phƣơng pháp vectơ theo những cách thức độc lập với nhau. Nhƣ vậy, {... }phƣơng pháp giải tích không phải là một cái cầu bắt buộc phải qua để chuyển từ phƣơng pháp tổng hợp sang phƣơng pháp vectơ" (1997,tr.l15). Lƣu ý rằng "Vì các vectơ có thể đƣợc biểu diễn qua tọa độ của nó, vì thế tồn tại một phƣơng pháp thứ tƣ, lƣỡng tính, phƣơng pháp sử dụng vectơ trong phạm vi tọa độ" (Lê Thị Hoài Châu, 1997, tr.l14). Tác giả gọi đó là phƣơng pháp vectơ - tọa độ. Nhƣ tác giả đã nói, phƣơng này tạo nên sự liên thông giữa phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp giải tích. Các nhà xây dựng chƣơng trình đã tận dụng điều đó. Theo sơ đồ đã nêu ở trên, phƣơng pháp vectơtọa độ là trung gian để chuyển từ phƣơng pháp vectơ sang phƣơng pháp giải tích. Điều này thể hiện rất rõ trong chƣơng trình hình học 12 : ngƣời ta nghiên cứu các đƣờng thẳng, mặt phẳng qua vectơ chỉ phƣơng, vectơ pháp tuyến, dựa vào đó để lập phƣơng trình, để xét điều kiện song song, vuông góc giữa các đƣờng thẳng và mặt phẳng. Nói cách khác, các công thức của hình học giải tích đƣợc đƣa vào nhờ các tính chất vectơ. Chính vì thế mà các nhà lập 9 Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh chƣơng trình đã nói 'Từ vectơ ta có thể xây dựng một cách chính xác phƣơng pháp tọa độ" (Văn Nhƣ Cƣơng, 1990, tr.8). Kết luận : Những phân tích trên chứng tỏ phƣơng diện công cụ vectơ thực sự có một vị trí quan trọng trong chƣơng trình hình học ở trƣờng trung học phổ thông : Nó không chỉ mang lại một công cụ giải toán có hiệu quả, nó còn cho phép trình bày kiến thức của hình học một cách ngắn gọn, rõ ràng, và còn là cái cầu để chuyển qua phƣơng pháp giải tích trong nghiên cứu hình học. II/ Công cụ vectơ trong chƣơng trình 1999 II.1. Không thay đổi mục đích đƣa vectơ vào chƣơng trình : Trong chƣơng trình mới ngƣời ta "giảm nhẹ mức độ yêu cầu đồng thời giản lƣợc những nội dung quá phức tạp [...] bỏ bớt một số nội dung lý thuyết không cần thiết và giảm mức độ khó của bài tập" (Tài liệu hƣớng dẫn giảng dạy toán 10, 2000, tr.5). Cụ thể là : ý nghĩa vật lý của vectơ, khái niệm vectơ buộc và điều kiện bằng nhau của các vectơ xét theo tọa độ (1) đƣợc loại bỏ ra khỏi chƣơng trình. Tuy nhiên vai trò của vectơ không thay đổi. Chẳng hạn để khai thác công cụ vectơ, ngƣời ta đƣa thêm vào tính chất vectơ của trọng tâm tam giác (2). Nhƣ vậy so với chƣơng trình cũ thì mục đích của dạy học vectơ không thay đổi: việc đƣa tri thức này vào nhằm cung cấp một công cụ có hiệu quả để nghiên (1) : Nếu vectơ ⃗ = (a1,a2) và ⃗⃗ = (b1,b2) thì ⃗ = ⃗⃗ ⟺ { (2) - Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chi khi ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì với mọi điểm O ta có ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 10