Tài liệu Nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng cấp một và công thức kiểu hopf lax oleinik cho nghiệm nhớt

Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khoá Luận Tốt Nghiệp Lời Cảm ơn Trong suốt quá trình thực hiện đề tài, em nhận được sự hướng dẫn và chỉ bảo hết sức nhiệt tình của thầy giáo hướng dẫn: Th.S Trần Văn Bằng giảng viên tổ Toán Giải tích, cùng toàn thể các thầy cô trong khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2. Em xin chân trọng gửi lời cảm ơn sâu sắc của mình tới thầy giáo hướng dẫn: Th.S Trần Văn Bằng cùng toàn thể quý thầy, cô trong khoa Toán đã giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho em hoàn thành tốt bài khoá luận này. Bằng sự nỗ lực hết sức của bản thân, bài khoá luận đã được hoàn thành. Song trong khuôn khổ thời gian có hạn và năng lực của bản thân còn nhiều hạn chế nên bài khoá luận khó tránh khỏi sai sót. Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy, cô và các bạn sinh viên để bản thân có thể tiếp tục hoàn thiện hơn nữa trong quá trình học tập và giảng dạy. Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng 05 năm 2007 Sinh viên Thân Văn Tài GVHD:Th.S Trần Văn Bằng -1- SVTH: Thân Văn Tài Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khoá Luận Tốt Nghiệp Lời cam đoan Quá trình nghiên cứu khoá luận với đề tài: “Nghiệm nhớt của phƣơng trình đạo hàm riêng cấp một và công thức kiểu Hopf-Lax-Oleinik cho nghiệm nhớt” đã giúp em hiểu sâu hơn về bộ môn Giải tích hiện đại, đặc biệt là về phương trình vi phân ĐHR . Qua đó cũng giúp em bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học. Em xin cam đoan bài khoá luận được hoàn thành là do sự cố gắng nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân cùng với sự hướng dẫn, chỉ bảo hết sức nhiệt tình của thầy giáo hướng dẫn: Th.S Trần Văn Bằng cũng như các thầy, cô trong tổ Toán Giải tích của trường ĐHSP Hà Nội 2. Và đây cũng là một đề tài không trùng với các đề tài của các tác giả khác. Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy, cô và các bạn sinh viên để bản khoá luận được hoàn thiện hơn. Hà Nội, tháng 05 năm 2007 Sinh viên Thân Văn Tài GVHD:Th.S Trần Văn Bằng -2- SVTH: Thân Văn Tài Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khoá Luận Tốt Nghiệp Mục lục Lời cảm ơn …………………………………………………………………...1 Lời cam đoan ………………………………………………………………...2 Mục lục ………………………………………………………………………3 Lời nói đầu .………………………………………………………………….4 Chƣơng 1: Các ký hiệu và kiến thức mở đầu ……………………………..6 1.1 Ký hiệu …………………………………………………………….6 1.2 Kiến thức về giải tích thực…………………………………………8 1.3 Kiến thức về giải tích hàm ………………………………………...9 1.4 Kiến thức về lý thuyết Tôpô-Độ đo-Tích phân …………………..10 1.5 Một số bất đẳng thức …………………………………………......11 Chƣơng 2: Nghiệm nhớt của phƣơng trình đạo hàm riêng cấp một …12 2.1 Mở đầu …………………………………………………………....12 2.2 Khái niệm nghiệm nhớt …………………………………………..13 2.3 Tính duy nhất của nghiệm nhớt …………………………………..18 2.4 Các công thức Hopf-Lax .………………………………………23 Chƣơng 3: Công thức kiểu Hopf-Lax-Oleinik cho nghiệm nhớt ……….29 3.1 Các ký hiệu thường dùng………………………………………29 3.2 Công thức Hopf-Lax cổ điển …………………………………….30 3.3 Hamiltonian lồi và phụ thuộc vào u ……………………………..32 3.4 Hamiltonian phụ thuộc u và dữ kiện ban đầu tựa lồi ……………34 Kết luận …………………………………………………………………….43 Tài liệu tham khảo ………………………………………………………....44 GVHD:Th.S Trần Văn Bằng -3- SVTH: Thân Văn Tài Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khoá Luận Tốt Nghiệp Lời nói đầu 1. Lí DO CHỌN ĐỀ TÀI Như ta đó biết phương trỡnh vi phõn ĐHR núi chung và phương trỡnh phi tuyến núi riờng cú ứng dụng rất rộng rói trong thực tế. Cú rất nhiều lĩnh vực nghiờn cứu hiện đại mà trong đó phương trỡnh vi phõn ĐHR đóng một vai trũ hết sức quan trọng như: lý thuyết biểu diễn nhúm nhiều chiều, lý thuyết trường lượng tử, lý thuyết cỏc khụng gian thuần nhất và vật lý toỏn. Mặc dự đó được đề cập từ rất lõu (khoảng thế kỷ 18 và 19), nhưng lý thuyết cỏc phương trỡnh phi tuyến cho đến nay cơ bản vẫn chưa được hoàn thiện. Từ đầu thế kỷ 20 đến nay do nhu cầu nghiờn cứu một cỏch chặt chẽ những phương trỡnh vi phõn ĐHR đó kớch thớch sự phỏt triển cỏc phương phỏp cơ bản của Giải tớch thực,Giải tớch hàm và Tụpụ. Một bài toỏn phương trỡnh vi phõn ĐHR, nếu cú ý nghĩa thực tiễn thỡ chắc chắn cú nghiệm, vấn đề là nghiệm đó hiểu theo nghĩa nào mà thụi. Cú rất nhiều phương trỡnh vi phõn ĐHR mà ta nghiờn cứu, đặc biệt là phương trỡnh phi tuyến đều khụng cú nghiệm cổ điển. Vấn đề đặt ra là ta cố gắng xõy dựng lý thuyết cỏc nghiệm suy rộng hoặc nghiệm yếu của chỳng, và đặc biệt là tớnh duy nhất nghiệm (do nhu cầu ứng dụng thực tế). Khi nghiờn cứu phương trỡnh vi phõn ĐHR cấp một thỡ bằng kỹ thuật của phương pháp triệt tiêu độ nhớt, ta thu được nghiệm nhớt (một loại nghiệm yếu) của bài toỏn Cauchy đối với phương trỡnh Hamilton-Jacobi. Như vậy nghiệm nhớt cú ý nghĩa rất lớn trong việc nghiờn cứu phương trỡnh vi phõn ĐHR . Vỡ tầm quan trọng rất lớn của nú trong thực tế, trong nghiờn cứu khoa học và nhằm giỳp cho bạn đọc cú cỏi nhỡn tổng quỏt về phương trỡnh vi phõn ĐHR. GVHD:Th.S Trần Văn Bằng -4- SVTH: Thân Văn Tài Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khoá Luận Tốt Nghiệp Nờn trong quỏ trỡnh nghiờn cứu khoỏ luận em đó mạnh dạn lựa chọn đề tài “Nghiệm nhớt của phƣơng trỡnh đạo hàm riêng cấp một và cụng thức kiểu Hopf-Lax-Oleinik cho nghiệm nhớt” đây là một phần nhỏ của lý thuyết phương trỡnh vi phõn ĐHR. 2. NỘI DUNG ĐỀ TÀI Trong khuụn khổ thời gian cú hạn nờn khoỏ luận của em chủ yếu đi sõu vào một số nội dung chớnh sau: Chƣơng 1: “Ký hiệu và kiến thức mở đầu”. Nhằm mục đích cung cấp cho người đọc những ký hiệu thường dựng và cỏc kiến thức cú liờn quan để tiện theo dừi cỏc phần tiếp theo. Chƣơng 2: “Nghiệm nhớt của phƣơng trỡnh đạo hàm riờng cấp một”. Ta sẽ đề cập đến khỏi niệm nghiệm nhớt và cụng thức kiểu Hopf-Lax của chỳng, cựng cỏc ước lượng của nghiệm trong trường hợp khụng cổ điển. Chương này ta sẽ đưa ra một cỏi nhỡn tổng quỏt về tớnh duy nhất của nghiệm yếu và cụng thức Hopf-Lax cho trường hợp cỏc Hamiltonian là lồi (dữ kiện ban đầu là lồi). Chƣơng 3: “Cụng thức kiểu Hopf-Lax-Oleinik cho nghiệm nhớt”. Chương này cú 4 phần: Phần 1 đưa ra cỏc ký hiệu chung thường dựng cho cỏc phần tiếp theo. Phần 2 nhằm thiết lập cụng thức kiểu Hopf-Lax-Oleinik cho nghiệm nhớt với phương trỡnh Hamilton-Jacobi trong trường hợp Hamiltonian khụng phụ thuộc vào ẩn hàm và hàm ban đầu khụng nhất thiết liờn tục đều. Phần 3 thực hiện cụng việc tương tự nhưng đối với Hamiltonian lồi và phụ thuộc vào ẩn hàm cựng gradient theo cỏc biến khụng gian của nú. Phần 4 Hamiltonian sẽ chứa biến thời gian và ẩn hàm cựng với gradient theo cỏc biến khụng gian của nú. GVHD:Th.S Trần Văn Bằng -5- SVTH: Thân Văn Tài Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khoá Luận Tốt Nghiệp Chƣơng 1 Kí HIỆU VÀ KIẾN THỨC MỞ ĐẦU 1.1. Kí HIỆU 1.1.1 Ký hiệu hỡnh học (i)  n là khụng gian Euclide thực n chiều. (ii) U là biờn của U, U  U  U là bao đóng của U . (iii) UT  U   0,T  . (iv) T  U T  U T là biờn parabolic của U T . (v) B0 ( x, r )   y   n | x  y  r là hỡnh cầu mở trong  n với tõm x và bỏn kớnh r > 0. (vi) B ( x, r ) là hỡnh cầu đóng với tõm x và bỏn kớnh r > 0. (vii)  n   x  ( x1, x2 ,..., xn )   n | x j  0j  1,2,..., n là nửa khụng gian mở phớa trờn;    x   | x  0 . (viii) Một điểm bất kỳ trong  n1 thường được ký hiệu ( x, t )  ( x1, x2 ,..., xn , t ) và thường dựng t  xn1 là biến thời gian. 1.1.2. Ký hiệu cỏc hàm số (i) Nếu u : U   , ta viết u( x)  u( x1, x2 ,..., xn ) ( x U ) . Ta núi u là trơn nếu u là khả vi vụ hạn. (ii) u   max(u,0), u    min (u,0), u  u   u  , u  u   u  . (iii) Hàm u : U   được gọi là liờn tục Lipschitz nếu u ( x)  u ( y )  C x  y với hằng số C nào đó và với mọi x, y U . Ta viết GVHD:Th.S Trần Văn Bằng -6- SVTH: Thân Văn Tài Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khoá Luận Tốt Nghiệp Lip u  : sup x , yU , x  y u ( x)  u ( y ) . x y (iv) Tớch chập của cỏc hàm f , h được ký hiệu: f*h ( f * h)( x) :  f ( y)h( x  y)dy . 1.1.3. Các ký hiệu đạo hàm Giả thiết u : U   , x U . (i) u u ( x  h i )  u ( x) , nếu giới hạn này tồn tại. ( x)  lim h0 xi h (ii) Ta hay viết u xi thay cho u . xi  2u  3u  u xi x j ,  u xi x j xk , v.v. (iii) Tương tự xi x j xi x j xk n (iv) u   u xi xi  tr ( D 2u ) là toỏn tử Laplace của u. i 1 1.1.4. Cỏc khụng gian hàm (i) C (U )  u : U   | u liờn tục  C (U )  u  C (U ) | u liờn tục đều  C k (U )  u : U   | u là liờn tục khả vi k lần  C k (U )  u  C k (U ) | D u là liờn tục đều với mọi   k . (ii) Lp (U )  u : U   | u là đo được Lebesgue, u Lp (U )   , trong đó u Lp (U )   U p u dx  1 p (1  p  ). L (U )  u : U   | u là đo được Lebesgue, u L (U )   , trong đó GVHD:Th.S Trần Văn Bằng -7- SVTH: Thân Văn Tài Trường ĐHSP Hà Nội 2 u Khoá Luận Tốt Nghiệp L (U )  ess sup u . U Lp loc (U )  u : U   | u  Lp (V ) với mọi V  U  . 1.1.5. Hàm véctơ (i) Nếu m > 1 và u : U   m , u  (u1, u 2 ,..., u m ), ( x U ) D u  ( D u1, D u 2 ,..., D u m ) với mọi đa chỉ số  , 1 2  2 Dk u  D u |   k và D k u    D u  .   k    (ii) Khi k = 1 ta cú  u1   x1 Du     m  u  x  1 u1    xn    = ma trận gradient.  u m   xn mn 1.2. KIẾN THỨC VỀ GIẢI TÍCH THỰC 1.2.1. Tính chất của hàm trơn húa (i) f   C  (U ) . (ii) f   f hầu khắp nơi khi   0 . (iii) Nếu f  C (U ) , thỡ f   f đều trờn mỗi tập compact của U. (iv) Nếu 1  p   và f  Lploc (U ) thỡ f   f trong Lploc (U ) . 1.2.2. Định lý hàm ẩn Giả sử f  C1 (U ;  m ) và J y f(x0 , y0 )  0 . Khi đó tồn tại một tập mở V  U với ( x0 , y0 ) V , và tập mở W   n với x0  W , một C 1 ỏnh xạ g : W   m sao cho: GVHD:Th.S Trần Văn Bằng -8- SVTH: Thân Văn Tài Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khoá Luận Tốt Nghiệp (i) g ( x0 )  y0 , (ii) f(x, g ( x))  z0 ( x  W) , (iii) Nếu ( x, y ) V và f(x, y)  z0 thỡ y  g ( x) , (iv) Nếu f  C k thỡ g  C k (k  2,...), Hàm g được xỏc định ẩn gần x0 bởi phương trỡnh f(x, y)  z0 . 1.3. KIẾN THỨC VỀ GIẢI TÍCH HÀM 1.3.1. Khụng gian Banach 1.3.1.1. Định nghĩa về khụng gian định chuẩn Ta gọi khụng gian định chuẩn (hay khụng gian tuyến tớnh định chuẩn) là khụng gian tuyến tớnh X trờn trường P ( P  hoặc P  ) cựng với một ỏnh xạ từ X vào tập số thực  , ký hiệu là  và đọc là chuẩn, thỏa món cỏc tiờn đề sau: (i) (x  X ) x  0, x  0  x   (ký hiệu phần tử khụng là  ); (ii) (x  X ) (  P)  x   x ; (iii) (x, y  X ) x  y  x  y . 1.3.1.2. Định nghĩa về sự hội tụ trong khụng gian định chuẩn Dóy điểm ( xn ) của khụng gian định chuẩn X gọi là hội tụ tới điểm x  X , nếu lim xn  x  0 . Ký hiệu lim xn  x hay xn  x (n  ) . n n  1.3.1.3. Định lý về không gian Banach Khụng gian định chuẩn X là khụng gian Banach khi và chỉ khi trong khụng gian X mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ. 1.3.2. Khụng gian Hilber Cho H là khụng gian tuyến tớnh thực. Ánh xạ (, ) : H  H   được gọi là tớch vụ hướng nếu : GVHD:Th.S Trần Văn Bằng -9- SVTH: Thân Văn Tài Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khoá Luận Tốt Nghiệp (i) (u, v)  (v, u ), u, v  H . (ii) Ánh xạ u  (u, v) là tuyến tớnh với mọi v  H . (iii) (u, v)  0, u  H . (iv) (u, u )  0  u  0 . Khụng gian Hilbert là một khụng gian Banach với chuẩn được sinh bởi một tích vô hướng. 1.3.3. Toỏn tử tuyến tớnh bị chặn 1.3.3.1. Toỏn tử tuyến tớnh bị chặn trong khụng gian Banach (i) Ánh xạ A : X  Y gọi là toỏn tử tuyến tớnh nếu: A(u  v)   Au   Av, u, v  X ,  ,    . (ii) Cho khụng gian định chuẩn X và Y . Toỏn tử tuyến tớnh A từ khụng gian X vào khụng gian Y gọi là bị chặn, nếu tồn tại hằng số C sao cho: Ax  C x , x  X . 1.3.3.2. Toỏn tử tuyến tớnh bị chặn trong khụng gian Hilbert Cho H là khụng gian Hilbert với tớch vụ hướng (,). (i) Nếu A : H  H là toỏn tử tuyến tớnh bị chặn, toỏn tử liờn hợp của nú là A*: H  H thỏa món ( Au, v)  (u, A * v), u, v  H . (ii) A là đối xứng nếu A*  A . 1.4. KIẾN THỨC VỀ Lí THUYẾT Tễ Pễ - ĐỘ ĐO - TÍCH PHÂN 1.4.1. Khỏi niệm hầu khắp nơi Cho một khụng gian độ đo (X, M,  ), A  M. Ta núi một tớnh chất (T) nào đó xẩy ra hầu khắp nơi trờn A (viết tắt h.k.n) nếu tồn tại một tập hợp B M sao cho B  A,  (B)  0 và tại mỗi điểm x A\B đều cú tớnh chất (T). GVHD:Th.S Trần Văn Bằng - 10 - SVTH: Thân Văn Tài Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khoá Luận Tốt Nghiệp 1.4.2. Độ đo Lebesgue Một tập hợp M gồm cỏc tập con của  n được gọi là một  -đại số nếu: (i)  ,  n  M. (ii) A M kộo theo  n \ A M. (iii) Nếu  Ak   k 1  M thỡ    A ,  A  M. k k 1 k k 1 1.4.2. Hàm đo đƣợc (i) Cho f :  n   . Ta núi f là hàm đo được nếu f 1 (U )  M với mọi U là tập con mở trong  . (ii) Một hàm đo được f là khả tổng nếu:  n f dx   . 1.5. MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC 1.5.1. Hàm lồi Một hàm f :  n   được gọi là lồi nếu f ( x  (1   ) y)   f ( x)  (1   ) f ( y) với mọi x, y  n và với 0    1. 1.5.2. Bất đẳng thức Jensen Giả thiết f :    là lồi và U   n là mở và bị chặn. Cho u : U   là khả tổng. Khi đó f Nhớ rằng 1  udx  U  U U   udx    f (u)dx . U U udx là trung bỡnh của u trờn U . GVHD:Th.S Trần Văn Bằng - 11 - SVTH: Thân Văn Tài Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khoá Luận Tốt Nghiệp Chƣơng 2 NGHIỆM NHỚT CỦA PHƢƠNG TRèNH ĐẠO HÀM RIấNG CẤP MỘT 2.1. MỞ ĐẦU Xột bài toỏn Cauchy đối với phương trỡnh Hamilton- Jacobi tổng quỏt: ut  H (t , x, u, Du)  0 trong  0,     n (2.1) u  f trờn t  0   . n Trong đó: (i) Hamiltonian H :  0,     n     n   . (ii) Hàm giỏ trị ban đầu f :  n   đó được xỏc định ẩn hàm là u :  0,     n   với u  u (t , x) và Du  Dxu  (ux1 ,..., uxn ) . (iii) Ta viết H  H  t , x, , p  , trong đó  , p là cỏc biến thay thế cho hàm u, Du trong phương trỡnh đạo hàm riờng. Nhỡn chung bài toỏn giỏ trị ban đầu đối với phương trỡnh Hamilton-Jacobi đó được khẳng định là khụng cú nghiệm trơn u với mọi t . Nờn trong phần này chỳng ta xột một loại nghiệm suy rộng của (2.1) dựa trờn kĩ thuật của phương pháp triệt tiêu độ nhớt. Trước hết ta xột bài toỏn xấp xỉ : ut   H (t , x, u , Du )  u  0 trong  0,     n u f trờn (2.2) t  0   n . với   0 . Ta thấy (2.1) chứa phương trỡnh đạo hàm riờng cấp 1 hoàn toàn phi tuyến cũn (2.2) là bài toỏn giỏ trị ban đầu đối với phương trỡnh parabolic tựa GVHD:Th.S Trần Văn Bằng - 12 - SVTH: Thân Văn Tài Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khoá Luận Tốt Nghiệp tuyến tớnh mà ta đó biết nú cú nghiệm trơn. Thừa số  trong (2.2) là tỏc nhõn chớnh quy hoỏ của phương trỡnh Hamilton-Jacobi. Ta hi vọng khi cho   0 cỏc nghiệm u  của (2.2) sẽ hội tụ tới một loại nghiệm suy rộng của (2.1). 2.2. KHÁI NIỆM NGHIỆM NHỚT Cho H là một hàm liờn tục theo  x, , p  và đo được theo t ; hơn nữa H  t ,0,0,0   L1  0,T  và  H  t , x, , p   H  t , x, ' , p   R t , x  y     '  p  q với x , y , , ' , p , q  R(với R>0 nào đó) , R  t , s  là hàm liờn tục, khụng õm , khụng giảm theo s và đo được theo t và R , s   L1  0,T  với mọi s,R  t ,0  0 h.k.n. Ta cần đưa ra cỏch thiết lập cỏc dạng yếu của (2.1) với u  C 0,T    n  ; ở đây ta chỉ trỡnh bày cỏch thiết lập nghiệm dưới u của ut  H (t , x, u, Du)  0 trong  0,     n . (2.3) Đối với nghiệm trờn ta tiến hành tương tự. Hàm u  u (t , x) là nghiệm của bài toỏn nếu nú vừa là nghiệm trờn vừa là nghiệm dưới. Xột hàm thử v như sau: v  C1   n  , R  0,  x  R, u (t , x )  v ( x )  s up u (t , )  v(). n Kớ hiệu K (t ) là tập cỏc điểm cực đại của s up u (t , )  v() trờn  n (với mọi GVHD:Th.S Trần Văn Bằng - 13 - SVTH: Thân Văn Tài Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khoá Luận Tốt Nghiệp t 0.T  ), và m(t )  max u (t , x)  v( x) . Khi đó xột dạng yếu tương đương n  với (2.3) như sau: m, (t )  inf H  t , x, u (t , x), Dv( x)   0 trong D '  0, T  xK ( t ) (2.4) hoặc m, (t )  sup H  t , x, u (t , x), Dv( x)   0 trong D '  0, T  xK ( t ) (2.5) hay vt (t0 , x0 )  F (t0 , x0 , u((t0 , x0 ), Dv(t0 , x0 ))  0 với (t0 , x0 )   0, T    n . (2.6) Định lí 2.2.1 Cỏc hệ thức (2.3), (2.4), (2.5) và (2.6) là tương đương Chỳ ý : +Vỡ K (t )  BR nờn với mọi t ta cú (2.4), (2.5) hoàn toàn cú nghĩa. + Dựa vào định nghĩa nghiệm nhớt do Ishii đưa ra ta cú: Nếu b  L1  0,T  , F (t , x, , p )  C  0,T    n     n  và F thỏa món b(t )  F (t , x,  , p)  H t , x,  , p  , với x  x0  ,   u(t0 , x0 )  , p  Dv(t0 , x0 )   và h.k.n. t  t0   , trong đó   0, (t0 , x0 )   0,T    n , v  C1   0,T    n  và nếu u (t , x)   b( s)ds  v(t , x) t 0 đạt cực đại địa phương tại (t0 , x0 ) , thỡ ta được (2.6). Bõy giờ chỳng ta sẽ đưa ra định nghĩa nghiệm nhớt của bài toỏn Cauchy đối với phương trỡnh Hamilton-Jacobi dạng đơn giản: ut  H ( x, Du)  0 trong U : (0, )   n u (0, x)  f ( x) trờn t  0   n . GVHD:Th.S Trần Văn Bằng - 14 - (2.7) (2.8) SVTH: Thân Văn Tài Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khoá Luận Tốt Nghiệp Ở đây Hamiltonian H ( x, p) là hàm liờn tục theo x, p . Định nghĩa 2.2.1 Một hàm liờn tục đều, bị chặn u được gọi là một nghiệm nhớt của (2.7) -(2.8) nếu: (i) u=f trờn t  0   n . (ii) với mọi v  C   (0, )   n  , nếu u - v đạt cực đại địa phương tại (t0 , x0 )  (0, )   n thỡ vt (t0 , x0 )  H ( x0 , Dv(t0 , x0 ))  0, và nếu u - v đạt cực tiểu địa phương tại (t0 , x0 )  (0, )   n thỡ vt (t0 , x0 )  H ( x0 , Dv(t0 , x0 ))  0 . Trước tiờn ta chỉ ra rằng khỏi niệm nghiệm nhớt khụng mõu thuẫn với khỏi niệm nghiệm cổ điển . Trước hết giả sử u  C1 0,     n  thỏa món (2.7), nếu u liờn tục đều và bị chặn thỡ u là nghiệm nhớt của ut  H ( x, Du)  0 . Thật vậy, cho v là hàm trơn và u  v đạt cực đại địa phương tại  t0 , x0  , khi đó  Du  t0 , x0   Dv  t0 , x0   ut  t0 , x0   vt  t0 , x0 . Do u thoả món (2.7) nờn vt  t0 , x0   H  x0 , Dv  t0 , x0    ut  t0 , x0   H  x0 , Du  t0 , x0    0 . Đẳng thức tương tự cũng đạt được tại điểm mà u  v đạt cực tiểu địa phương. Tiếp theo ta chứng tỏ một nghiệm nhớt đủ trơn là nghiệm cổ điển. Để có GVHD:Th.S Trần Văn Bằng - 15 - SVTH: Thân Văn Tài Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khoá Luận Tốt Nghiệp điều đó ta sẽ chứng minh một số kết quả sau. Bổ đề 2.2.1 Giả thiết u :  n   khả vi tại x0 . Khi đó tồn tại hàm v  C1   n  sao cho u( x0 )  v( x0 ) và u  v đạt cực đại địa phương ngặt tại x0 . Chứng minh - Giả sử x0  0, u(0)  Du(0)  0 (2.9) - Từ giả thiết và (2.9) ta cú: u( x)  x 1 ( x) , với 1 :  n   liờn tục và 1 (0)  0 . Đặt  2 (r ) : max  1 ( x)  với r  0 . xB ( r ) Khi đó 2 : 0,    0,   liờn tục , 2 (0)  0 và  2 khụng giảm. (2.10) - Xột v( x) :  2x x 2 (r )dr  x 2 ( x n ) . Do v( x)  x  2 (2 x )  x , 2 nờn v(0)  Dv(0)  0 . Hơn nữa, nếu x  0 , Dv( x)  2x x 2 (2 x )  2 ( x )  2 x , x x GVHD:Th.S Trần Văn Bằng - 16 - SVTH: Thân Văn Tài Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khoá Luận Tốt Nghiệp từ đó suy ra v  C1   n  . - Với x  0 , u ( x)  v( x)  x 1 ( x)   2x x 2 (r )dr  x  x 2 ( x )    x 2 2x x 2 2 (r )dr  x 2 do (2.10) < 0 = u (0)  v(0) . Cú nghĩa là u  v đạt cực đại địa phương ngặt tại 0. Định lý 2.2.2 (Tớnh hợp lý của nghiệm nhớt) Cho u là một nghiệm nhớt của (2.7), và giả sử rằng u khả vi tại điểm (t0 , x0 )  (0, )   n . Khi đó ut (t0 , x0 )  H ( x0 , Du(t0 , x0 ))  0 . Chứng minh - Áp dụng bổ đề trờn cho u với (  n1 thay cho  n và (t0 , x0 ) thay cho x0 ), ta khẳng định rằng tồn tại một hàm v  C1 sao cho u  v đạt cực đại ngặt tại (t0 , x0 ) . (2.11) - Đặt v :   v , với  là hàm làm mịn theo (n  1) biến (t , x ) . Khi đó v   v    Dv  Dv v   v t  t đều gần (t0 , x0 ) (2.12) từ (2.11) ta suy ra u  v đạt cực đại tại điểm (t , x ) , với GVHD:Th.S Trần Văn Bằng - 17 - SVTH: Thân Văn Tài Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khoá Luận Tốt Nghiệp (t , x )  (t0 , x0 ) khi   0 . (2.13) Theo định nghĩa nghiệm nhớt ta cú vt  (t , x )  H ( x , Dv (t , x ))  0 . Cho   0 kết hợp với (2.12) và (2.13) ta được vt (t0 , x0 )  H ( x0 , Dv(t0 , x0 ))  0 . (2.14) Nhưng từ (2.11) kết hợp với u khả vi tại (t0 , x0 ) thỡ Du(t0 , x0 )  Dv(t0 , x0 ), ut (t0 , x0 )  vt (t0 , x0 ) . Thay vào (2.14) ta được ut (t0 , x0 )  H ( x0 , Du(t0 , x0 ))  0 . - (1.15) Áp dụng bổ đề trờn cho u trong  n1 tỡm được hàm v  C1 sao cho u  v đạt cực tiểu địa phương ngặt tại (t0 , x0 ) . Lý luận tương tự trờn ta cũng cú ut (t0 , x0 )  H ( x0 , Du(t0 , x0 ))  0 . Kết hợp với (2.15) ta suy ra điều phải chứng minh. 2.3. TÍNH DUY NHẤT CỦA NGHIỆM NHỚT Xột tớnh duy nhất của nghiệm nhớt đối với bài toỏn Cauchy: ut  H ( x, Du)  0 trong  0, T    n u  f trờn t  0   . (2.16) n Bổ đề 2.3.1 (Cực trị tại thời điểm cuối) Giả sử u là một nghiệm nhớt của (2.16), v  C1   0,T    n  và u – v đạt cực đại (cựu tiểu) địa phương tại điểm  t0 , x0    0, T    n . Khi đó vt (t0 , x0 )  H ( x0 , Dv(t0 , x0 ))  0 ( 0) . (2.17) Ở đây ta cú thể xột t0  T . GVHD:Th.S Trần Văn Bằng - 18 - SVTH: Thân Văn Tài Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khoá Luận Tốt Nghiệp Chứng minh Giả sử u  v đạt cực đại địa phương tại T , x0  ; ta cú thể giả sử nú là cực đại địa phương ngặt . Đặt  v (t , x) : v(t , x)  T t ( x   n ,0  t  T ) . Khi đó với   0 đủ nhỏ, u  v đạt cực đại địa phương tại (t , x ) với 0  t  T , (t , x )  (T , x0 ) . Do đó v (t , x )  H ( x , Dv (t , x ))  0 tức là vt (t , x )  H ( x , Dv(t , x ))   (T  t )2 0. Cho   0 , ta nhận được vt (T , x0 )  H ( x0 , Dv(T , x0 ))  0 . Nếu u  v đạt cực tiểu tại T , x0  , bằng cỏch làm tương tự ta chứng minh được bất đẳng thức ngược lại. Ta giả sử rằng hàm Hamilton H thoả món điều kiện Lipschitz :  H ( x, p)  H ( x, q)  C p  q   H ( x, p)  H ( y, q)  C x  y (1  p ) (2.18) với x, y, p, q  n và hằng số C  0 khi đó ta sẽ cú tớnh duy nhất của nghiệm nhớt thụng qua định lý 2.3.1 sau. Định lí 2.3.1 Với giả thiết (2.18), bài toỏn Cauchy (2.16) cú khụng quỏ một nghiệm nhớt. Chứng minh GVHD:Th.S Trần Văn Bằng - 19 - SVTH: Thân Văn Tài Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khoá Luận Tốt Nghiệp - Giả sử u , u là hai nghiệm nhớt của (2.16) với cựng một điều kiện ban đầu nhưng sup (u  u ) :   0 . (2.19) 0,T  n Chọn 0   ,   1 và đặt (t , s, x, y ) : u (t , x)  u( s, y)   (t  s)  1  2 ( x  y  (t  s ) 2 )   ( x  y ) , 2 2 2 (2.20) với x, y   n , t , s  0 . Khi đó tồn tại một điểm (t0 , s0 , x0 , y0 )  0, T    2 n 2 thỏa món (t0 , s0 , x0 , y0 )  max (t , s, x, y ). 2 2n 0,T  (2.21)  - Ta cố định 0   ,   1 đủ nhỏ để từ (2.19) suy ra (t0 , s0 , x0 , y0 )  sup (t , x, t , x)  0,T  n  2 . (2.22) Hơn nữa (t0 , s0 , x0 , y0 )  (0,0,0,0) , do đó  (t0  s0 )  1  2 ( x0  y0  (t0  s0 ) 2 )   ( x0  y0 ) 2 2 2  u (t0 , x0 )  u ( s0 , y0 )  u (0,0)  u(0,0). (2.23) Vỡ u , u bị chặn nờn ta cú x0  y0 , t0  s0  O( ) khi   0 . (2.24) Theo (2.23) ta cú  ( x0  y0 )  O(1) . 2 2 Suy ra GVHD:Th.S Trần Văn Bằng - 20 - SVTH: Thân Văn Tài