Tài liệu Mức năng lượng kích thích thấp của nguyên tử hydro trong từ trường có cường độ bất kỳ theo phương pháp toán tử

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH HUỲNH NGUYỄN THANH TRÚC MỨC NĂNG LƯỢNG KÍCH THÍCH THẤP CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO TRONG TỪ TRƯỜNG CÓ CƯỜNG ĐỘ BẤT KỲ THEO PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ Chuyên ngành: VẬT LÝ NGUYÊN TỬ HẠT NHÂN VÀ NĂNG LƯỢNG CAO Mã số: 60 44 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN VĂN HOA Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 1 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Tp. Hồ Chí Minh, ngày … tháng … năm 2011 2 MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN .......................................................................................................1  MỤC LỤC ...................................................................................................................2  CHƯƠNG 1.  LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO TRONG TỪ TRƯỜNG .........................................................................8  1.1  Bài toán nguyên tử hydro ...............................................................................8  1.2  Bài toán nguyên tử hydro trong từ trường ...................................................10  1.3  Giải phương trình Schrödinger bằng lý thuyết nhiễu loạn ...........................12  1.3.1  Lý thuyết nhiễu loạn đối với các trạng thái dừng không suy biến ...............12  1.3.2  Ứng dụng lý thuyết nhiễu loạn để giải bài toán nguyên tử hydro trong từ trường 13  CHƯƠNG 2.  PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO 18  2.1  Các bước cơ bản để giải bài toán bằng phương pháp toán tử ......................18  2.2  Phương trình Schrödinger của bài toán nguyên tử hydro ............................19  2.3  Xây dựng bộ hàm cơ sở đối xứng cầu..........................................................20  2.4  Biểu diễn hamiltonian qua các toán tử sinh, hủy .........................................25  2.5  Tính yếu tố ma trận của Hˆ o và V̂ ...............................................................26  2.6  Sơ đồ vòng lặp tìm nghiệm chính xác bằng số của phương trình Schrödinger 29  CHƯƠNG 3.  PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO TRONG TỪ TRƯỜNG CÓ CƯỜNG ĐỘ BẤT KỲ ..........................32  3.1  Phương trình Schrödinger của bài toán nguyên tử hydro trong từ trường ...33  3.2  Xây dựng bộ hàm cơ sở đối xứng trụ ...........................................................34  3.2.1  Hàm riêng của toán tử lˆ3 ..............................................................................35  3.2.2  Bộ hàm cơ sở đối xứng trụ ...........................................................................38  3 3.3  Biểu diễn hamiltonian của bài toán nguyên tử hydro trong từ trường qua các toán tử sinh hủy .........................................................................................................42  3.4  Tính các yếu tố ma trận của bài toán nguyên tử hydro trong từ trường.......44  3.5  Sơ đồ vòng lặp tìm nghiệm của phương trình Schrödinger của bài toán nguyên tử hydro trong từ trường ...............................................................................48  3.6  Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường có cường độ bất kỳ 49  3.7  Mức năng lượng kích thích đầu tiên của nguyên tử hydro trong từ trường có cường độ bất kỳ .........................................................................................................56  KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI.........................................63  DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ .........................................................65  TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................................................66  PHỤ LỤC ..................................................................................................................68  4 MỞ ĐẦU 1. Giới thiệu tổng quan Từ khi xuất hiện vào nửa đầu của thế kỷ XX, cơ học lượng tử đã làm thay đổi cơ bản những quan niệm về thế giới vi mô trong vật lý học và có tác động không nhỏ đến nhiều ngành khoa học kỹ thuật hiện đại. Cơ học lượng tử được xây dựng bằng một hệ thống các tiên đề dựa trên một loạt các công cụ toán học nhằm mô tả thế giới vi mô. Trong cơ học lượng tử, trạng thái lượng tử của một hệ vật lý được mô tả một cách đầy đủ nhất bởi một vector trạng thái là nghiệm của phương trình Schrödinger. Ngày nay, cùng với sự phát triển của khoa học kỹ thuật, các hệ lượng tử được xét đến ngày càng phức tạp và đa dạng, trong đó có nhiều bài toán chưa tìm được lời giải chính xác, từ đó phát sinh nhu cầu xây dựng và phát triển các phương pháp giải bài toán cơ học lượng tử, cụ thể là giải phương trình Schrödinger. Một trong những phương pháp mạnh và phổ biến, được trình bày trong hầu hết các giáo trình cơ học lượng tử là lý thuyết nhiễu loạn. Ý tưởng chính của phương pháp này là tách hamiltonian của bài toán thành hai phần: thành phần chính có nghiệm được xác định một cách chính xác, phần còn lại được xem là nhiễu loạn sẽ góp phần vào kết quả thông qua các bổ chính, với điều kiện áp dụng là thành phần nhiễu loạn phải nhỏ hơn rất nhiều so với thành phần chính. Vì thế, rất khó khăn cho việc áp dụng lý thuyết nhiễu loạn vào các bài toán phi nhiễu loạn. Cụ thể đối với bài toán nguyên tử hydro trong từ trường, phương pháp này chỉ giải quyết được cho trường hợp nguyên tử hydro đặt trong từ trường có cường độ yếu (khi đó tương tác Coulomb giữa hạt nhân nguyên tử và electron trong nguyên tử hydro là tương tác chính, tương tác giữa electron trong nguyên tử hydro với từ trường là thế nhiễu loạn) và trường hợp nguyên tử hydro được đặt trong từ trường có cường độ mạnh (tương tác giữa electron trong nguyên tử hydro với từ trường là tương tác chính, tương tác Coulomb giữa hạt nhân nguyên tử và electron trong nguyên tử hydro là thế nhiễu loạn), tuy nhiên trường hợp nguyên tử hydro trong từ trường trung bình đến nay vẫn còn là bài toán chưa được giải quyết triệt để. 5 Trước tình hình đó, việc tìm ra những phương pháp mới hiệu quả, có phạm vi áp dụng rộng rãi đang được các nhà vật lý học quan tâm nghiên cứu trong những năm gần đây. Như đã biết, bài toán nguyên tử hydro là bài toán kinh điển của cơ học lượng tử, và là một trong số rất ít những bài toán của cơ học lượng tử có lời giải chính xác, vì thế nó được xem là thước đo tính đúng đắn của phương pháp mới. Phương pháp toán tử (Operator Method) với những tính toán thuần đại số, được xây dựng cho nhóm các bài toán nguyên tử là một phương pháp đang được các nhà Vật lý lý thuyết quan tâm nghiên cứu. Ý tưởng về phương pháp toán tử (OM) xuất hiện vào năm 1979. Tuy nhiên, phương pháp toán tử được đưa ra đầu tiên vào năm 1982 do nhóm nghiên cứu của giáo sư Kamarov L. I. thuộc trường đại học tổng hợp Belarus và được áp dụng thành công cho một nhóm các bài toán trong vật lý chất rắn, vật lý nguyên tử, lý thuyết trường,… Ý tưởng chính của phương pháp toán tử là hamiltonian được tách thành hai thành phần: 1. Thành phần trung hòa có ma trận là một ma trận chéo. 2. Thành phần không trung hòa có các yếu tố ma trận nằm trên đường chéo chính bằng không. Khó khăn lớn nhất cho việc áp dụng phương pháp toán tử vào bài toán nguyên tử hydro là hamiltonian có thành phần tương tác Coulomb chứa biến số động lực nằm ở mẫu số. Trong phương pháp toán tử, các biến số động lực sẽ được chuyển về biểu diễn qua các toán tử sinh, hủy và sau đó tác dụng lên vector trạng thái. Chính vì thế các toán tử này không thể ở dưới mẫu số. Trong luận này, chúng tôi giải quyết khó khăn trên bằng cách sử dụng phép biến đổi Laplace. Phương pháp toán tử, phép biến đổi Laplace cùng với sơ đồ vòng lặp ứng dụng trong bài toán nguyên tử hydro trong từ trường đồng nhất có cường độ bất kỳ, bước đầu đã thu được kết quả của mức năng lượng cơ bản ứng với m  0 với độ chính xác là hai chữ số thập phân [7], điều này đã kiểm chứng tính đúng đắn của phương pháp. Đối với các mức kích thích do không còn tính đối xứng cầu và m  0 6 nên cần phải xây dựng lại bộ hàm cơ sở và lập trình tính toán cho các mức năng lượng này. Trong luận văn này, chúng tôi sẽ xây dựng bộ hàm cơ sở cho hai bài toán: bài toán nguyên tử hydro và bài toán nguyên tử hydro trong từ trường; lập trình tính toán cho mức năng lượng cơ bản 1s 0 và mức kích thích đầu tiên 2p 1 , so sánh kết quả thu được với kết quả tính toán của các tác giả khác, với mục đích kiểm chứng tính đúng đắn của phương pháp toán tử và các bộ hàm cơ sở. Các tính toán phức tạp về phổ năng lượng của nguyên tử hydro trong từ trường sẽ thực hiện trong những công trình tiếp theo. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của luận văn là xây dựng các bộ hàm cơ sở và xác định giá trị năng lượng kích thích đầu tiên ứng với trạng thái 2p 1 của nguyên tử hydro trong từ trường có cường độ bất kỳ. Để đạt được mục đích trên chúng tôi cần thực hiện các nhiệm vụ sau: 1. Tìm hiểu phương pháp toán tử, phép biến đổi Laplace cho thế tương tác Coulomb; 2. Xây dựng bộ hàm cơ sở đối xứng cầu cho bài toán nguyên tử hydro; 3. Tìm hiểu thuật toán và lập trình tính số theo sơ đồ vòng lặp cho mức năng lượng cơ bản, mức kích thích thứ nhất và thứ hai của nguyên tử hydro khi không có từ trường để kiểm chứng tính đúng đắn của phương pháp. 4. Xây dựng bộ hàm cơ sở đối xứng trụ là hàm riêng của toán tử lˆ3 cho bài toán nguyên tử hydro trong từ trường đồng nhất. 5. Áp dụng phương pháp toán tử tìm năng lượng của nguyên tử hydro trong từ trường đồng nhất có cường độ bất kỳ ở hai trạng thái 1s 0 và 2p 1 . 3. Đối tượng nghiên cứu Bài toán nguyên tử hydro trong từ trường đồng nhất có cường độ bất kỳ xét mức năng lượng cơ bản và mức kích thích đầu tiên tương ứng với trạng thái 1s 0 và 2p 1 . 7 4. Các phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp đại số qua biểu diễn các toán tử sinh hủy; Phương pháp giải tích để tính toán; Phương pháp lập trình tính số trên máy tính. 5. Nội dung và phạm vi của vấn đề sẽ đi sâu nghiên cứu Theo các nhiệm vụ cụ thể nêu trên, nội dung và phạm vi của vấn đề sẽ đi sâu nghiên cứu trong luận văn này bao gồm: 1. Tìm lại hamiltonian của nguyên tử hydro trong biểu diễn toán tử; 2. Xây dựng bộ hàm cơ sở đối xứng cầu. Tìm hiểu thuật toán và viết chương trình tính số theo sơ đồ vòng lặp cho các mức năng lượng thấp của nguyên tử hydro khi không có từ trường ngoài; 3. Xây dựng bộ hàm cơ sở đối xứng trụ. Lập trình tính số trên máy tính và xác định nghiệm chính xác bằng số của các mức năng lượng ứng với hai trạng thái 1s0 và 2p 1 của nguyên tử hydro trong từ trường đồng nhất có cường độ bất kỳ. 8 CHƯƠNG 1. LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO TRONG TỪ TRƯỜNG Phương trình Schrödinger là phương trình gắn liền với chuyển động của hạt trong thế giới vi mô. Đây là phương trình vi phân tuyến tính với các đạo hàm riêng phần và các hệ số biến đổi. Nghiệm chính xác của nó chỉ có thể tìm được trong số nhỏ các trường hợp đơn giản nhất như: bài toán nguyên tử hydro, dao động tử điều hòa,…Sự phức tạp của việc giải phương trình này phụ thuộc vào dạng thế năng và số chiều không gian trong bài toán cần giải. Phần lớn các bài toán của cơ học lượng tử dẫn đến những phương trình rất phức tạp về mặt toán học và không thể giải được một cách chính xác, do đó thường phải ứng dụng phương pháp gần đúng để giải bài toán, nghĩa là phải tìm một cách gần đúng trị riêng và hàm riêng của nó. Lý thuyết nhiễu loạn là một phương pháp gần đúng rất quan trọng để giải bài toán cơ học lượng tử, nếu chuỗi bổ chính tiến đến vô cùng thì sẽ thu được nghiệm chính xác của bài toán. Cùng với sự xuất hiện và phát triển của máy tính điện tử, lý thuyết nhiễu loạn gắn liền với phương pháp tính số trở thành công cụ có tầm quan trọng rất lớn trong việc giải quyết các bài toán của cơ học lượng tử. Bên cạnh những ưu điểm của nó thì lý thuyết nhiễu loạn cũng bộc lộ một số hạn chế như tính hội tụ của chuỗi nhiễu loạn và miền ứng dụng của phương pháp này. Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày kết quả của cơ học lượng tử về bài toán nguyên tử hydro để làm cơ sở chứng minh tính đứng đắn của phương pháp toán tử và việc ứng dụng lý thuyết nhiễu loạn cho bài toán nguyên tử hydro trong từ trường qua đó sẽ nói lên những ưu, khuyết điểm của phương pháp này. 1.1 Bài toán nguyên tử hydro Hamiltonian của bài toán nguyên tử hydro có dạng: 1 ˆ 2 Ze 2 Hˆ  p  2m r Hay: (1.1) 9 Ze 2 2   2 2 2  Hˆ   ,      2   x 2 y 2 z 2  x2  y2  z 2 (1.2) với: Z là số proton trong hạt nhân, trong nguyên tử hydro Z  1 , e là điện tích nguyên tố, r là khoảng cách từ electron đến hạt nhân,  là khối lượng rút gọn. Phương trình Schrödinger trong bài toán nguyên tử hydro là: Hˆ  n  En n (1.3) Có thể coi nguyên tử hydro là trường hợp riêng của bài toán thế xuyên tâm, do đó có thể áp dụng các kết quả nhận được trong bài toán về trường thế xuyên tâm. Hàm riêng của phương trình Schrödinger không phụ thuộc thời gian đối với thế xuyên tâm trong hệ tọa độ cầu ( r , ,  ) có dạng:  nlm (r , ,  )   Cnlm Rnl (r )Yl m ( ,  ) , (1.4) nlm trong đó: R (r ) là hàm bán kính được xác định khi giải phương trình bán kính. Yl m là hàm cầu theo hai biến góc  và  . n, l, m lần lượt là số lượng tử chính, số lượng tử quỹ đạo và số lượng tử từ. Kết quả của cơ học lượng tử cho trị riêng chính xác của phương trình Schrödinger (1.3) trong bài toán nguyên tử hydro là: En    Z 2e 4 2 2  n  1 2 (1.5) 10 Trong hệ không thứ nguyên, đơn vị độ dài là bán kính Borh: a  năng lượng là 2 lần năng lượng Rydberg: E   e4 2 2 2 , đơn vị  e2  hcR , với R là hằng số Rydberg. Vậy En ở (1.5) được viết thành: En   1 2  n  1 2 , (1.6) với: n  0, 1, 2,... 1.2 Bài toán nguyên tử hydro trong từ trường Phương trình Schrödinger cho bài toán nguyên tử hydro trong từ trường có dạng: Hˆ  n  En  n (1.7) Trong từ trường, ngoài tương tác Coulomb, electron trong nguyên tử hydro còn chuyển động dưới tác dụng của từ trường đồng nhất. Hamiltonian của bài toán nguyên tử hydro trong từ trường có dạng:   2 2    1  ˆ e ˆ  ˆ ˆ  1  pˆ 2  e pˆ . Aˆ  Aˆ . pˆ  e Aˆ 2   Uˆ ,   H p A U   c  c c 2  2  2   (1.8) trong đó:  p̂ là vector động lượng, ˆ A là thế vector. ˆ   Thế vector A ứng với từ trường đồng nhất B  const có dạng: với: ˆ 1   A   B, rˆ  , 2 (1.9)     r  xi  yj  zk , (1.10)    trong đó: i , j , k là các vector đơn vị trên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz . 11 Không mất tính tổng quát của bài toán, chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho từ trường hướng theo trục Oz , vậy:   B  Bk (1.11)  Biểu thức của thế vector A được viết thành:    i j k   ˆ 1   1 i j 1 A 0 0 B  B   B  yi  xj  2 2 x y 2 x y z (1.12) Suy ra: B2 2 Aˆ 2  x  y2   4 (1.13) B  ˆ ˆ  pˆ . A  A. pˆ    px y  p y x  ypx  xp y    Blˆ3 2 (1.14) Và: Vậy hamiltonian của bài toán nguyên tử hydro trong từ trường có dạng: 1 2 eB ˆ e 2 B 2 2 Ze 2 2 ˆ ˆ Hˆ  pˆ  l3  x y     r 2 2c 8 c 2 (1.15) Trong hệ không thứ nguyên, từ trường không thứ nguyên  được xác định bằng biểu thức B  2 cE  . Để đánh giá độ lớn tương đối giữa tương tác của e electron trong nguyên tử hydro với từ trường và tương tác Coulomb, chúng tôi đưa ra phép so sánh sau: thang năng lượng tương tác của electron trong nguyên tử hydro với từ trường được đặc trưng bởi giá trị c  eB , trong khi thang năng lượng c tương tác Coulomb được đặc trưng bởi năng lượng Rydberg E . Như vậy, hệ số so sánh giữa hai thang năng lượng là   c . Trong hệ 2 E không thứ nguyên, từ trường ngoài gọi là yếu khi   2.102 , trung bình khi 12 2.102    2 và mạnh khi 2     [10]. Từ định nghĩa từ trường không thứ nguyên  , ta có   1 tương ứng B  2.35  109 G  2.35  105 T . Trong hệ không thứ nguyên, hamiltonian của bài toán nguyên tử hydro trong từ trường đồng nhất có dạng: 2 2  1 1  2 1 Z Hˆ    2  2  2    lˆ3   2  x 2  y 2   y z  2 2  x 8 x2  y 2  z 2 (1.16) 1.3 Giải phương trình Schrödinger bằng lý thuyết nhiễu loạn 1.3.1 Lý thuyết nhiễu loạn đối với các trạng thái dừng không suy biến Giả sử hamiltonian của hệ vật lý có dạng: Hˆ  Hˆ 0  Vˆ (1.17) Và phương trình Schrödinger là: Hˆ  n  En n (1.18) Trong đó, Ĥ 0 là thành phần chính của Ĥ với các trị riêng En(0) và các vector riêng n không suy biến đã được biết chính xác: Hˆ 0 n  En(0) n (1.19) Và Vˆ là yếu tố nhiễu loạn nhỏ hơn rất nhiều so với Ĥ 0 . Theo lý thuyết nhiễu loạn, hàm sóng  n được biểu diễn qua bộ hàm đủ, trực giao, chuẩn hóa n :  n  n   Ck k (1.20) k n Thay (1.20) vào (1.18) chú ý đến (1.17), ta có:  Hˆ o      Vˆ  n   Ck k   En  n   Ck k  k n k n      (1.21) Trong lý thuyết nhiễu loạn, năng lượng En và hệ số biễu diễn C j được viết thành: 13  0 s En  En     s E   (1.22) s 1  0 s C j  C j     s C j  , jn (1.23) s 1 Thay (1.22) và (1.23) vào (1.21) sau đó đồng nhất hai vế những số hạng cùng bậc của  , ta có: 0 o En   H nn (1.24) 0 C j   0 (1.25) En   Vnn (1.26) 1 C j   1 V jn 0 En   H ojj  j  n (1.27) Khi s  2 : s En   s C j     Vnk Ck s1 (1.28) k 0  k n s 1     s 1  s t   t  V C E C    jk k  n j  , 0 En   H ojj  k 0  k  n  t 1  1  j  n (1.29) Đây chính là sơ đồ Rayleigh- Schrödinger cho phương pháp nhiễu loạn dừng không suy biến. 1.3.2 Ứng dụng lý thuyết nhiễu loạn để giải bài toán nguyên tử hydro trong từ trường Phương trình Schrödinger của bài toán nguyên tử hydro trong từ trường: Hˆ  n  En  n , (1.30) với: 1  2 1 Z 2 2  1 , (1.31) Hˆ    2  2  2    lˆ3   2  x 2  y 2   2  x 8 y z  2 x2  y 2  z 2 trong đó: 14 1. Thành phần chính của hamiltonian thế tương tác Coulomb: 2 2  1  2 Z o ˆ H    2  2  2  2 y z  2  x x  y2  z2 (1.32) có trị riêng chính xác, hệ hàm riêng đủ, trực giao và chuẩn hóa. 2. Thành phần nhiễu loạn là hamiltonian tương tác của nguyên tử hydro với từ trường ngoài đồng nhất: 1 1 Vˆ   lˆ3   2  x 2  y 2  2 8 (1.33) Ở trạng thái cơ bản 1s0 , hàm riêng của electron trong nguyên tử hydro khi không có từ trường trong hệ không thứ nguyên có dạng: 1 e r (1.34) E0(0)  0.5 (1.35) 0   Tương ứng với trị riêng: Theo lý thuyết nhiễu loạn, bổ chính bậc một của mức năng lượng cơ bản của electron trong nguyên tử hydro trong từ trường có dạng: E0(1)  V00  0 Vˆ 0  2 4 (1.36) Vậy, mức năng lượng cơ bản của electron trong nguyên tử hydro trong từ trường theo lý thuyết nhiễu loạn xét đến bổ chính bậc một là: E0  E0(0)  E0(1)  0.5  2 4 (1.37) Để thuận tiện việc so sánh kết quả với kết quả tính toán của các tác giả khác, ta tính thêm năng lượng liên kết I 0 ở trạng thái cơ bản: I 0    2 E0   2 2   1 (1.38) Kết quả tính toán các giá trị năng lượng và năng lượng liên kết ở trạng thái cơ bản 1s 0 của nguyên tử hydro trong từ trường đồng nhất bằng lý thuyết nhiễu loạn được so sánh với kết quả tính toán của các tác giả khác trong bảng 1.1. 15 Bảng 1.1 Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường theo lý thuyết nhiễu loạn xét đến bổ chính bậc 1 và kết quả tính toán của các tác giả khác.  E0 I0 Tài liệu 11 Tài liệu 12 Tài liệu 10 0.001 - 0.499999 1.0009995 1.00099950 - - 0.02 - 0.499900 1.0198000 - - 1.0198 0.04 - 0.499600 1.0392000 - - 1.0392 0.1 - 0.497500 1.0950000 1.09505296 1.09505296 1.0951 0.14 - 0.495100 1.1302000 - - 1.1304 0.2 - 0.490000 1.1800000 - - 1.1808 0.4 - 0.460000 1.3200000 - - 1.3293 1.0 - 0.250000 1.5000000 1.66233779 1.66233200 1.6624 1.4 - 0.010000 1.4200000 - - 1.8324 2 - 0.500000 1.0000000 2.04442780 - 2.0445 3 1.750000 - 0.500000 2.32906599 - - 4 3.500000 - 3.000000 - - 2.5616 10 24.50000 - 39.00000 - 3.49480000 3.4956 14 48.50000 - 83.00000 - - 3.9225 20 99.50000 - 179.0000 4.43079703 - 4.4308 100 2499.500 - 4899.000 - 7.5640000 - Từ kết quả thu được ở bảng 1.1, ta xây dựng đồ thị biểu diễn năng lượng liên kết ở trạng thái cơ bản 1s 0 của nguyên tử hydro trong từ trường đồng nhất trong hai trường hợp từ trường yếu và từ trường có cường độ bất kỳ và so sánh với kết quả tính toán của các tác giả khác như ở hai hình 1.1 và 1.2: 16 LTNL NĂNG LƯỢNG LIÊN KẾT TL.10 Hình 1.1 Năng lượng liên kết ở trạng thái cơ bản 1s0 của nguyên tử hydro trong từ trường có cường độ yếu theo lý thuyết nhiễu loạn và tài liệu tham khảo [10] LTNL NĂNG LƯỢNG LIÊN KẾT TL.10 Hình 1.2 Năng lượng liên kết ở trạng thái cơ bản 1s0 của nguyên tử hydro trong từ trường có cường độ bất kỳ theo lý thuyết nhiễu loạn và tài liệu tham khảo [10] 17  . Kết quả của tài liệu tham khảo [10]  . Kết quả thu được bằng lý thuyết nhiễu loạn Qua việc so sánh các kết quả thu được bằng những phương pháp khác nhau trên bảng 1.1, hình 1.1 và hình 1.2 cho thấy: trong khoảng từ trường có cường độ yếu: kết quả tính toán bằng lý thuyết nhiễu loạn trùng với kết quả tính toán của các phương pháp khác; trong khoảng từ trường có cường độ trung bình và mạnh: kết quả tính toán bằng lý thuyết nhiễu loạn không còn chính xác. Kết quả thu được cho thấy sự hạn chế của lý thuyết nhiễu loạn, nó chỉ áp dụng được trong những bài toán có cường độ trường ngoài rất yếu được xem như nhiễu loạn, khi trường ngoài có cường độ trung bình và mạnh thì thành phần tách ra không đủ nhỏ để coi là “nhiễu loạn”, chính vì vậy đòi hỏi phải có một phương pháp tốt hơn để giải quyết bài toán cho trường hợp từ trường ngoài có cường độ không yếu. Trong các chương sau chúng tôi sẽ giới thiệu phương pháp toán tử, chỉ ra tính ưu việt và kiểm chứng lại tính đúng đắn của phương pháp này thông qua bài toán nguyên tử hydro của cơ học lượng tử, sau đó ứng dụng phương pháp toán tử để giải quyết bài toán nguyên tử hydro trong từ trường đồng nhất có cường độ bất kỳ. 18 CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO Phương pháp toán tử được đưa ra đầu tiên vào năm 1982 bởi một nhóm các giáo sư ở trường đại học Belarus và được ứng dụng thành công cho một nhóm rộng rãi các bài toán như các polaron, bipolaron trong trường điện từ, bài toán tương tác các chùm điện tử với cấu trúc tinh thể... trong vật lý chất rắn; bài toán tương tác hệ các boson trong lý thuyết trường. Qua việc nghiên cứu và ứng dụng trong nhiều bài toán cụ thể, phương pháp toán tử đã tỏ ra là một phương pháp nổi trội hơn hẳn phương pháp nhiễu loạn truyền thống như: 1. Đơn giản hóa việc tính toán các yếu tố ma trận phức tạp mà thông thường phải tính tích phân các hàm đặc biệt. Trong suốt quá trình tính toán, sử dụng các phép biến đổi đại số và những chương trình tính toán như Maple, Mathematica,… trong luận văn này chúng tôi sử dụng chương trình Fortran 90 để tự động hóa quá trình tính toán chạy trên nền UBUNTU 11.4. 2. Cho phép giải các hệ cơ học lượng tử với từ trường ngoài có cường độ bất kỳ. Với những ưu điểm của phương pháp toán tử, bước đầu đã giải quyết một phần những khó khăn về phương pháp của Vật lý lý thuyết. Trong chương này, chúng tôi sẽ giới thiệu về phương pháp toán tử và ứng dụng phương pháp này trong việc tính toán mức năng lượng cơ bản và các mức kích thích thấp của nguyên tử hydro như là một bước để kiểm chứng tính đúng đắn của phương pháp toán tử. 2.1 Các bước cơ bản để giải bài toán bằng phương pháp toán tử Bước 1: Xây dựng bộ hàm cơ sở phù hợp cho bài toán. Bước 2: Biểu diễn hamiltonian qua các toán tử phù hợp với bộ hàm cơ sở vừa xây dựng. Bước 3: Tách hamiltonian thành hai phần: 19 Hˆ  Hˆ o  Vˆ (2.1) Thành phần trung hòa Hˆ o khi tác dụng lên một trạng thái sẽ không làm thay đổi trạng thái đang xét và ma trận của toán tử Hˆ o là một ma trận chéo. Thành phần không trung hòa Vˆ khi tác dụng lên một trạng thái sẽ làm thay đổi trạng thái đang xét và ma trận của toán tử Vˆ có thành phần nằm trên đường chéo bằng không. Khai triển  n theo bộ hàm đủ, trực giao, chuẩn hóa n :  n  n   Ck k (2.2) k n Bước 4: Dựa vào bộ hàm cơ sở và đặc điểm của các toán tử Hˆ o và Vˆ xác định các yếu tố ma trận của hai toán tử này. Bước 5: Xây dựng sơ đồ vòng lặp phù hợp với bộ hàm cơ sở, sử dụng sơ đồ vòng lặp để tính nghiệm chính xác bằng số của bài toán đang xét. 2.2 Phương trình Schrödinger của bài toán nguyên tử hydro Khi không có từ trường ngoài, phương trình Schrödinger của bài toán nguyên tử hydro có dạng: Hˆ  n  En n , (2.3) Hˆ  Tˆ  Uˆ , (2.4) 1  2 2 2  Tˆ    2  2  2  , 2  x y z  (2.5) Z Uˆ   r (2.6) với: cụ thể: Trong biểu thức (2.6) toán tử thế năng Û có chứa biến động lực ở mẫu số sẽ gây khó khăn khi sử dụng phương pháp toán tử. Cụ thể trong phương pháp toán tử các biến số động lực sẽ được chuyển về biểu diễn qua các toán tử sinh hủy và sau