Tài liệu Một vài tính chất định tính của bao hàm thức vi phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hoàng Trúc LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hoàng Trúc MỘT VÀI TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA BAO HÀM THỨC VI PHÂN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN ĐÌNH HUY Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 i MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Mục lục .............................................................................................................. i Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt............................................................iii MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .............................................................. 5 1.1. Không gian các tập đóng của một không gian metric ............................ 5 1.2. Trường hợp của không gian đều, đồng đều Hausdorff ......................... 12 1.3. Không gian các tập lồi đóng của không gian lồi địa phương ............... 15 1.4. Tính liên tục của hàm đa trị lồi ............................................................. 20 1.5. Định nghĩa hàm đa trị đo được ............................................................. 25 Chương 2. SỰ TỒN TẠI NGHIỆM ĐỊA PHƯƠNG, NGHIỆM TOÀN CỤC CỦA BAO HÀM THỨC VI PHÂN ............................................................... 33 2.1. Mở đầu. ................................................................................................. 33 2.2. Sự tồn tại nghiệm địa phương. .............................................................. 34 2.3. Sự tồn tại nghiệm toàn cục.................................................................... 38 2.4. Trường hợp bao hàm thức vi phân có chậm ......................................... 43 ii Chương 3. TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA TẬP NGHIỆM CỦA BAO HÀM THỨC VI PHÂN .................................................................................. 45 3.1. Mở đầu .................................................................................................. 45 3.2. Sự phụ thuộc của tập nghiệm vào điều khiện ban đầu. ........................ 46 3.3. Sự phụ thuộc của tập nghiệm vào tham số. .......................................... 52 3.4. Ứng dụng vào bài toán điều khiển tối ưu.............................................. 56 Chương 4. SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BAO HÀM THỨC VI PHÂN DẠNG CỰC BIÊN ......................................................................................... 61 4.1. Mở đầu. ................................................................................................. 61 4.2. Sự tồn tại nghiệm địa phương. .............................................................. 63 4.3. Sự tồn tại nghiệm toàn cục.................................................................... 71 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 76 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 77 iii Danh mục một số các kí hiệu và các chữ viết tắt  tập số thực  tập số tự nhiên n không gian Euclide n-chiều x trị tuyệt đối của số thực x x chuẩn Euclide của x x, y tích vô hướng của 2 vecto x, y x := y x được định nghĩa bằng y Gph S đồ thị của ánh xạ S int C phần trong của C C bao đóng của C d(x,C) khoảng cách từ x đến tập C h(A,B) khoảng cách Hausdorff giữa hai tập A và B C* nón đối ngẫu của C f* hàm liên hợp của f ∀x với mọi x ∃x tồn tại x xk → x dãy { x k } hội tụ tới x h.k.n (h.k) hầu khắp nơi (hầu khắp) n.l.t.d (n.l.t.t) nửa liên tục dưới (nửa liên tục trên) FDI bao hàm thức vi phân 1 MỞ ĐẦU Lý thuyết bao hàm thức vi phân, hay còn gọi là phương trình vi phân đa trị, là lĩnh vực nghiên cứu được phát triển rất mạnh trong lý thuyết tổng quát về phương trình vi phân hiện nay. Như mọi người đã biết, mọi lĩnh vực mới trong toán học đều xuất hiện và phát triển, hoặc là do mục đích phát triển tự nhiên của toán học, hướng đến các khái niệm và các kết quả ngày càng tổng quát hơn, hoặc do nhu cầu ứng dụng đòi hỏi. Lí thuyết bao hàm thức vi phân không phải là trường hợp ngoại lệ của qui luật này. Xuất hiện ban đầu như sự mở rộng của khái niệm phương trình vi phân thường, lý thuyết bao hàm thức vi phân ngày càng thâm nhập mạnh mẽ vào các lĩnh vực khác nhau của toán học và các ngành khoa học khác nhờ các ứng dụng to lớn của nó. Một cách tổng quát, lý thuyết bao hàm thức vi phân nghiên cứu phương trình dạng:  • x(t ) ∈ G (t , x(t )),   x(0) = x0 , (0.1) • trong đó x(.) là hàm chưa biết, x(.) là đạo hàm của x(.) theo nghĩa nào đó và G là hàm đa trị từ không gian tích [0, T ] × E của đoạn [0, T ] và không gian Banach E vào E. Có thể nói mọi vấn đề nghiên cứu trong lý thuyết phương trình vi phân thường đều đặt ra các bài toán tương tự trong lý thuyết bao hàm thức vi phân. Các vấn đề được nghiên cứu nhiều nhất là vấn đề tồn tại nghiệm, các tính chất định tính và cấu trúc của tập nghiệm, các tính chất phụ thuộc liên tục vào tham số và điều kiện ban đầu, các nghiệm tuần hoàn, lý thuyết rẽ nhánh và lí thuyết nhiễu,… Các nghiên cứu về vấn đề tồn tại nghiệm và về lí thuyết định tính của bao hàm thức vi phân được phát triển theo hai hướng rõ rệt. Đầu tiên, các nghiên 2 cứu tập trung vào dạng bao hàm thức vi phân với vế phải lồi (tức là hàm đa trị ở vế phải có giá trị lồi) với các công trình của Filippov (1959,1960), Plis (1965), Lasota và Opial (1965), Castaing (1966,1969)… Đối với bao hàm thức vi phân với vế phải không lồi, các kết quả ra đời muộn hơn, nhưng cũng thu được nhiều kết quả thú vị, như các kết quả của Olech (1975), Antosiewicz và Cellina (1975), Aubin và Cellina (1983), DeBlast và Piagiaru (1982, 1987), P.V. Chương (1985),… Một lĩnh vực nữa không kém phần quan trọng trong lí thuyết bao hàm thức vi phân là các nghiên cứu về các tính chất của tập nghiệm, có ý nghĩa quan trọng về phương diện ứng dụng. Các kết quả của Aubin và Clarke (1981), Haddad (1981), Bressan (1982), Tolstonogov (1986),… là những đóng góp đáng kể nhất trong lĩnh vực này. Trong nhiều bài toán điều khiển hệ thống người ta thường giả thiết rằng, hệ đang xét được điều khiển bởi nguyên lí nhân quả, tức là trạng thái tương lai của hệ đang xét độc lập với trạng thái quá khứ của hệ và chỉ xác định bởi hiện tại. Trong trường hợp đó, các mô hình toán học của hệ được mô tả bởi phương trình vi phân thường, hoặc bởi các bao hàm thức vi phân thường. Có nhiều vấn đề nếu không xét đến mối liên hệ với quá khứ sẽ không có nghĩa. Chính vì lẽ đó đã xuất hiện lí thuyết phương trình vi phân với biến số lệch, hay tổng quát hơn, lí thuyết phương trình vi phân phiếm hàm, và sau đó là sự ra đời tự nhiên của bao hàm thức vi phân phiếm hàm. Nội dung cơ bản của luận văn là các định lí tồn tại nghiệm địa phương và tồn tại nghiệm toàn cục của các bao hàm thức vi phân phiếm hàm, nghiên cứu các tính chất định tính của tập nghiệm của nó, ứng dụng vào bài toán điều khiển tối ưu và các định lí sự tồn tại nghiệm của bao hàm thức vi phân dạng cực biên. Các nội dung này được viết trong các bài báo “N.D. Huy and N.K. Son, On the Existence of Solutions for Fucctional Differential Inclusions 3 Banach Spaces ( ACTA MATHEMATICA VIETNAMICA, Volume 16, Number 1, (1991), 49-60) On The Qualitative Properties Of The Solution Set To Functional Differential Inclusions In Banach Spaces (ACTA MATHEMATICA VIETNAMICA 19(2)(1991), 45-58) On The Existence of Solution to Functional Differential Inclusions with Boundary Values (ACTA MATHEMATICA VIETNAMICA 25:4 (1997) 331340)” Luận văn sử dụng đắc lực các công cụ của giải tích hàm, giải tích đa trị và giải tích lồi; đặc biệt là sử dụng các kết quả mới nhất của lí thuyết ánh xạ đa trị đo được. Các định lí được sử dụng nhiều trong các chứng minh của luận văn là định lí điểm bất động Kakutani-Ky Fan, định lí Ascoli, định lí Baire về phạm trù, định lí Krein- Milmann, định lí tách Hahn – Banach, các định lí về ánh xạ đa trị đo được,… Ngoài lời nói đầu và tài liệu tham khảo luận văn chia làm 4 chương. Chương 1 nhắc lại một số kiến thức về khoảng cách Hausdorff, tính liên tục của hàm đa trị và khái niệm hàm đa trị đo được. Chương 2 phát biểu và trình bày chứng minh các định lí về sự tồn tại nghiệm của bao hàm thức vi phân phiếm hàm, trường hợp bao hàm thức vi phân có chậm. Chương 3 xét tính chất định tính của tập nghiệm của bao hàm thức vi phân: sự phụ thuộc của tập nghiệm vào điều kiện ban đầu và tham số, ứng dụng vào bài toán điều khiển tối ưu. Chương 4 phát biểu và trình bày chứng minh các định lí về sự tồn tại nghiệm của bao hàm thức vi phân dạng cực biên. Qua đây, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc PGS.TS Nguyễn Đình Huy đã hết lòng hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong quá trình hoàn thành luận văn này. 4 Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các PGS,TS của khoa Toán trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy, và hướng dẫn cho học viên chúng tôi hoàn thành các môn học và các kiến thức mới trong chương trình đào tạo cao học khóa 21, chuyên ngành Toán giải tích. Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng sau đại học Trường ĐHSP thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện tốt nhất cho học viên chúng tôi có điều kiện học tập và nghiên cứu trong suốt quá trình vừa qua. Tôi xin chân thành cảm ơn. Nguyễn Hoàng Trúc 5 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Không gian các tập đóng của một không gian metric Cho X là không gian metric với metric d . Chúng ta không giả thiết: d ( x, y ) < ∞ . Định nghĩa 1.1. Cho A, B là hai tập hợp con của X , độ dôi của A trên B được xác định như sau = e( A, B) sup{d ( x, B) / x ∈ A} . ( cận trên đúng nhận giá trị trong [0, ∞] , và sup ∅ =0 ). Khoảng cách Hausdorff của A và B là h( A, B) = max{e( A, B), e( B, A)} . Những tính chất cơ bản i) e( A, ∅) =∞ nếu A ≠ ∅ . e(∅, B) = 0 ii) e( A, B) =0 ⇔ A ⊂ B h( A, B ) =0 ⇔ A =B iii) e( A, C ) ≤ e( A, B) + e( B, C ) h( A, C ) ≤ h( A, B) + h( B, C ) . 6 Do đó f ( X ) , tập tất cả các tập con đóng của X , với khoảng cách Hausdorff trở thành một không gian metric. Chú ý. Trong tập f ( X ) , ∅ là điểm cô lập. Nếu d bị chặn, thì h cũng bị chặn trên f ( X ) − {∅} . Định lí 1.1. Nếu An → A trong không gian metric f ( X ) , thì = A =  Am    B= ( Am , ε ) n m≥ n ε >0 n m≥ n    W ( Am ) W ∈ n m ≥ n Trong đó B( Am , ε ) = {x ∈ X / d ( x, Am ) ≤ ε } , và  là tập tất cả các lân cận của cấu trúc đều của X và W ( Am ) = { y ∈ X / ∃x ∈ Am sao cho ( x, y ) ∈ W } . Chứng minh. 1) Giả sử B =   Am . Cho ε > 0, n ∈ , x ∈ A thì tồn tại m ≥ n sao cho n m≥ n h( Am , A) ≤ ε , suy ra d ( x, Am ) ≤ ε và tồn tại xm ∈ Am sao cho d ( x, xm ) ≤ 2ε . Bởi vậy x ∈  Am với mỗi n ∈  . Điều này chứng tỏ A ⊂ B . m≥ n Giả sử x ∈ B , ta chứng minh An → A ∪ {x} (điều này sẽ chứng tỏ B ⊂ A ). Từ An → A , suy ra e( An , A ∪ {x}) → 0 . Tiếp theo chúng ta sẽ kiểm tra e= ( A ∪ {x}, An ) max{e( A, An ), d ( x, An )} → 0 . Nó là đúng nếu chứng minh được d ( x, An ) → 0 . Cho p ∈  sao cho m, n ≥ p thì h( An , Am ) ≤ ε . Từ x ∈ B suy ra tồn tại m ≥ p sao cho d ( x, Am ) ≤ ε , do vậy nếu n ≥ p thì d ( x, An ) ≤ d ( x, Am ) + h( Am , An ) ≤ 2ε . 2) Cho B =    B( Am , ε ) . Nếu x ∈ A , và d ( x, Ap ) → 0 , dễ thấy x ∈ B . ε >0 n m≥ n 7 Ngược lại, nếu x ∈ B , với ε > 0, ∃n ∈  sao cho ∀m ≥ n , d ( x, Am ) ≤ ε , do vậy e( A ∪ {x}, An ) → 0 . Và dễ thấy e( An , A ∪ {x}) → 0 . Vậy h( An , A ∪ {x}) → 0 và A= A ∪ {x} . 3) Đẳng thức thứ ba là rõ ràng vì một lân cận cơ sở là họ = Wε {( x, y ) / d ( x, y ) ≤ ε }(ε > 0) ∧ Wε ( Am ) ⊂ B( Am , ε ) ⊂ W2ε ( Am ) . Định lí 1.2. Nếu X là không gian metric đầy đủ, thì f ( X ) là không gian metric đầy đủ. Chứng minh. Giả sử ( An ) là dãy Cauchy trong f ( X ) . 1) Thứ nhất lưu ý rằng có N sao cho n ≥ N , m ≥ N kéo theo h( An , Am ) ≤ 1 . Khi đó, hoặc An = ∅ ∀n ≥ N hoặc An ≠ ∅ ∀n ≥ N . Trong trường hợp thứ nhất dãy ( An ) hội tụ về ∅ . Giả sử chúng ta có trường hợp thứ hai. 2) Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng   Am ≠ ∅ . n m≥ n Cho ε > 0 (điều này sẽ được sử dụng đầy đủ trong 3)).Chọn ε = 1 là đủ. Với mỗi k ∈  tồn tại N k sao cho m, n ≥ N k thì có h( An , Am ) < 2− k ε . Giả sử (nk ) là dãy tăng nghiêm ngặt sao cho nk ≥ N k . Cho xo ∈ An , giả sử chúng o ta đã chọn được xo , x1 ,..., xk với tính chất xi ∈ An , d ( xi , xi +1 ) < 2− i ε . Khi đó xk +1 i được chọn trong An k +1 thỏa d ( xk , xk +1 ) < 2− k ε (điều này có thể thu được bởi vì d ( xk , Ank +1 ) ≤ h( Ank , Ank +1 ) < 2− k ε ). 8 Dãy ( xn ) là dãy Cauchy trong không gian metric đầy đủ X , nó giới hạn đến x . Khi đó x ∈   Am . n m≥ n 3) Điểm x thu được ở phần 2) thỏa mãn d ( xo , x) ≤ 2ε . Do đó: Với mọi no ≥ N o và xo ∈ An tồn tại x ∈ A ( A =   Am ) sao cho d ( xo , x) ≤ 2ε n m≥ n o e( Ano A) ≤ 2ε , ∀no ≥ N o . Vì vậy: 4) Bây giờ chúng ta chứng minh e( A, An ) → 0 . Khi đó theo phần 3) sẽ chứng tỏ được h( An , A) → 0 . Giả sử ε > 0 và N sao cho n, m ≥ N thì có h( An , Am ) < ε . Lấy x ∈ A . Khi đó x ∈  Am . Tồn tại no ≥ N và y ∈ An sao cho d ( x, y ) ≤ ε . Cho m ≥ N thì m≥ N o có d ( x, Am ) ≤ d ( x, An ) + h( An , Am ) ≤ 2ε . Vì vậy e( A, Am ) ≤ 2ε . o o Định lý 1.4. Cho tb ( X ) là tập hợp tất cả các tập đóng hoàn toàn bị chặn của . X . Khi đó  tb ( X ) là đóng trong  f (X ) Chứng minh. Giả sử ( An ) là dãy trong tb ( X ) hội tụ đến A ∈ f ( X ) . Cho ε > 0 tồn tại n sao cho e( A, An ) < ε và x1 ,..., x p sao cho họ các quả cầu tâm xi , bán kính ε phủ An . Khi đó họ các quả cầu tâm xi , bán kính 2ε phủ A . Do đó A ∈  tb ( X ) . Chú ý: Chúng ta có thể dễ dàng thấy rằng nếu X là hoàn toàn bị chặn, thì f ( X ) hoàn toàn bị chặn. Thực vậy với ε > 0 cho trước, giả sử x1 ,..., xn thỏa 9 mãn họ các quả cầu mở tâm xi , bán kính ε phủ X . Giả sử A ∈ f ( X ) và = I {i / B ( xi , ε ) ∩ A ≠ ∅} . Khi đó tập = B {xi / i ∈ I } có tính chất h( A, B ) ≤ ε . Tập các tập con của tập {x1 ,..., xn } là hữu hạn. Điều đó chứng tỏ f ( X ) hoàn toàn bị chặn. Do đó nếu X là compact thì f ( X ) là compact. Định lý 1.5. Nếu X là đầy đủ, thì k ( X ) , tập tất cả các tập con compact của X , là đầy đủ. Chứng minh. Điều này hiển nhiên theo định lý 1.3 và 1.4. Chú ý. Định lý 1.5 vẫn đúng nếu X là không gian đều. Định lý 1.6. Topo Hausdorff trên không gian tất cả các tập con compact của ( U mở) và X , k ( X ) , là được sinh ra bởi tập {K ∈  k ( X ) / K ⊂ U} {K ∈  k ( X ) / K ∩ V ≠ ∅} ( V mở). Cơ sở lân cận của K o bao gồm các tập {K / K ⊂ U , K ∩ V1 ≠ ∅,..., K ∩ Vn ≠ ∅} (ở đó U ,V1 ,...,Vn là mở) chứa K o . Chứng minh. 1) Chúng ta sẽ chứng minh  = {K ∈ k ( X ) / K ⊂ U } là mở. Giả sử K o ∈ Bởi tính compact của= K o , ε inf{d ( x, y ) / x ∈ K o , y ∈ E − U } > 0 . Khi đó . h( K , K o ) < ε ⇒ e( K , K o ) < ε ⇒ K ⊂ U , điều đó là K ∈ Chúng ta chứng minh  = {K ∈ k ( X ) / K ∩ V ≠ ∅} là mở. Giả sử K o ∈  . Tồn tại một quả cầu mở tâm xo ∈ K o ∩ V , bán kính ε chứa trong V . Khi đó nếu h( K , K o ) < ε , thì K gặp quả cầu. Do đó K ∩ V ≠ ∅ và K ∈  . 10 2) Ngược lại chúng ta sẽ chứng minh rẳng nếu K o ∈ k ( X ) và ε > 0 cho trước, quả cầu tâm K o và bán kính ε chứa tập: {K / K ⊂ U }  {K / K ∩ V1 ≠ ∅}  ...  {K / K ∩ Vn ≠ ∅} tập này chứa K o . Thật vậy, chọn U {x / d ( x, K o ) < ε } và V1 ,...,Vn là các quả cầu mở bán = kính 2−1ε phủ K o . Khi đó nếu K ⊂ U thì e( K , K o ) ≤ ε , nếu K gặp V1 ,...,Vn thì e( K o , K ) ≤ ε . Chú ý. Nếu T là không gian topo, Γ là hàm đa trị từ T đến k ( X ) , là liên tục nếu và chỉ nếu là n.l.t.d. và n.l.t.t Hệ quả 1.1. Nếu X là không gian metric, topo Hausdorff trên không gian tất cả các tập con compact của X , k ( X ) , chỉ phụ thuộc vào topo của X (không phụ thuộc metric). Định lý 1.7. Nếu X là không gian metric khả ly, thì k ( X ) là không gian metric khả ly. Chứng minh. Giả sử ( xn ) là dãy trù mật trong X . Giả sử  là tập hợp tất cả các tập hữu hạn {xi ,..., xi } . Khi đó  là một phần đếm được của k ( X ) , và dễ kiểm 1 n tra rằng  là tập trù mật trong k ( X ) . Hệ quả 1.2. Nếu X là một không gian Polish, thì k ( X ) với topo được mô tả trong định lý 1.6 là Polish. 11 Định lý 1.8. Nếu X là không gian metric khả ly, thì σ -trường Borel trong k ( X ) (với topo Hausdorff) được sinh bởi những tập {K ∈  k ( X ) / K ⊂ U } (U mở) và cũng sinh bởi các tập {K ∈ k ( X ) / K ∩ V ≠ ∅} ( V mở). Chứng minh. {K / K ∩ V ≠ ∅} . 1) Xét tập Chú ý rằng: 1 = Fn {x / d ( x, E − V ) ≥ } . V =  Fn với n n Khi đó: ≠ ∅} {K / K ∩ Fn ≠ ∅} {K / K ∩ V= n = [k ( X ) − {K / K ⊂ E − Fn }] . n Do vậy σ - trường sinh bởi tất cả các tập { K / K ∩ V ≠ ∅} là bao hàm σ trường sinh bởi tất cả các tập {K / K ⊂ U } . 2) Xem xét tập {K / K ⊂ U } . Vn = Đặt V . {x / d ( x, E − U ) < n } , khi đó E − U = −1 n n Chúng ta kiểm chứng K ∩ ( X − U ) ≠ ∅ ⇔ ∀n, K ∩ Vn ≠ ∅ . Chiều thuận là hiển nhiên. Đảo lại nếu K ∩ Vn ≠ ∅ ∀n , giả sử xn ∈ K ∩ Vn . Khi đó điểm tụ của dãy ( xn ) thuộc vào K và X − U . Do đó ⊂ U } {K / K ∩ Vn ≠ ∅} . k ( X ) − {K / K= n Điều đó chứng tỏ rằng σ - trường sinh bởi tất cả các tập {K / K ⊂ U } là bao hàm σ - trường sinh bởi tất cả các tập { K / K ∩ V ≠ ∅} . 12 3) Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh rằng mọi tập mở  ⊂ k ( X ) thuộc về σ - trường sinh bởi tất cả các tập {K / K ⊂ U } và {K / K ∩ V ≠ ∅} . Thật vậy  là hợp của một họ  của giao hữu hạn của các tập {K / K ⊂ U } và {K / K ∩ V ≠ ∅} (định lý 1.6). Nhưng vì k ( X ) khả li (định lý 1.8) nên  cũng là hợp của một họ con đếm được của  . 1.2. Trường hợp của không gian đều, đồng đều Hausdorff Trong phần này X là không gian đều Hausdorff, cấu trúc đều được định nghĩa bởi các nửa metric (di ) i∈I . Khi đó hàm ei và hàm hi được xác định như sau: = ei ( A, B) sup {di ( x, B) x ∈ A} Và hi ( A, B) = max{ei ( A, B), ei ( B, A)} có những tính chất: ei ( A, ∅) =∞ nếu A ≠ ∅ . ei (∅, B ) = 0 ei ( A, C ) ≤ ei ( A, B ) + ei ( B, C ) hi ( A, C ) ≤ hi ( A, B) + hi ( B, C ) ∀i, ei ( A, B) =0 ⇔ A ⊂ B ∀i, hi ( A, B) =0 ⇔ A =B . Họ {hi } là lọc. Chứng minh ba tính chất cuối. 13 1) Thứ nhất ⇐ là hiển nhiên. Ngược lại, nếu ∀i, ei ( A, B) = 0 và nếu a ∈ A , ta có ∀i, di (a, B) = 0 . Khi đó mọi di -quả cầu bán kính dương và tâm a có phần chung với B . Do đó mọi lân cận của a có phần chung với B . Vì vậy a ∈ B . 2) Tính chất cuối cùng được suy ra từ tương ứng d  h là tăng. Chúng ta xem xét một định nghĩa khác về cấu trúc đồng đều trong f ( X ) Giả sử  là cơ sở lân cận của cấu trúc đồng đều của X . Nếu W ∈  ta định nghĩa W bởi .2 W ={( A, B ) ∈  f ( X ) / A ⊂ W ( B ), B ∈ W ( A)} W ( B ) = { y ∈ E / ∃x ∈ B : ( x, y ) ∈ W } Nhắc lại:  của tất cả W là cơ sở lân cận trong  ( X ) . Nó xác định Định lý 1.9. Tập  f  cùng cấu trúc đồng đều như họ của các nửa khoảng cách (hi ) . Chứng minh. Thứ nhất ánh xạ W  W là tăng. Khi đó nếu o là một cơ sở lân cận khác của X , mỗi Wo ∈ o chứa một W ∈  và ngược lại. Bây giờ ta xem xét o tập của tất cả U i= ,ε Khi đó và {( x, y) ∈ X 2 / d ( x, y ) < ε } (ε > 0, i ∈ I ) ei ( A, B ) < ε ⇒ A ⊂ U i ,ε ( B ) ⇒ ei ( A, B ) < 2ε hi ( A, B ) < ε ⇒ A ⊂ U i ,ε ( B ) và B ⊂ U i ,ε ( A) ⇒ hi ( A, B ) < 2ε . 14 Điều đó chứng tỏ o là một cơ sở của cấu trúc đồng đều xác định bởi họ (hi ) . Chú ý. 1) Nếu X là một nhóm topo Abel, giả sử  là một cơ sở lân cận của 0 . Khi đó các tập {( A, B) / A ⊂ B + V , B ⊂ A + V } (V ∈  ) tạo thành cơ sở lân cận của cấu trúc đều của f ( X ) . Nếu X là không gian Fréchet thì f ( X ) là metric hóa, nhưng nó có thể thích hợp hơn để định nghĩa Haudroff đều bởi tập của các lân cận {( A, B) / A ⊂ B + V , B ⊂ A + V } với V là lân cận đóng của 0 (hoặc lân cận mở). 2) Định lý 1.6 vẫn đúng: Cho X là một không gian đều Hausdorff. Topo Hausdorff trong f ( X ) thì được sinh ra bởi những tập {K ∈  ( X ) / K ⊂ U }  f ( U mở) và {K / K ∩ V ≠ ∅} ( V mở). Chứng minh vẫn có giá trị, sử dụng họ (di ),(ei ),(hi ) , ngoại trừ luận điểm = {K / K ⊂ U } là mở. Giả thứ nhất. Nó phải được thay thế bởi chứng minh sử K o ∈ . Tồn tại một lân cận W sao cho W ( K o ) ⊂ U . Do đó có i ∈ I và ε > 0 sao cho {x / di ( x, K o ) < ε } ⊂ U . Khi đó hi ( K , Ko) < ε ⇒ ei ( K , Ko) < ε ⇒ K ⊂ U , nghĩa là K chứa trong  . 15 1.3. Không gian các tập lồi đóng của không gian lồi địa phương Cho E là không gian vector lồi địa phương Hausdorff. Giả sử ( pi )i∈I là họ lọc của nửa chuẩn xác định topo của E . Khi đó di ( x= , y ) pi ( x − y ) là nửa khoảng cách, và áp dụng 1.2 vào E với họ (di )i∈I . Định lý 1.10. Giả sử {Fα }α∈A là dãy suy rộng những tập đóng của E . Giả sử {Fα } hội tụ đến F đối với topo được xác định ở 1.2. Khi đó nếu tất cả Fα là lồi thì F là lồi, nếu tất cả Fα bị chặn thì F bị chặn. Chứng minh. 1) Giả sử Fα là lồi. Lấy x, y ∈ F , λ ∈ [0;1] và z = λ x + (1 − λ ) y . Với mỗi lân cận lồi của 0 , V , tồn tại α sao cho: cho β ≥ α thì F ⊂ Fβ + V và Fβ ⊂ F + V . Do đó F ∪ {z} ⊂ Fβ + V và Fβ ⊂ ( F ∪ {z}) + V . Cho nên F ∪ {z} cũng là giới hạn của ( Fα ) . Điều đó chứng tỏ rằng z ∈ F . 2) Giả sử các Fα là bị chặn. Với mỗi lân cận lồi của 0 , V , tồn tại α sao cho F ⊂ Fα + V . Mà Fα là bị chặn nên có λ > 0 sao cho Fα ⊂ λV , do đó F ⊂ (λ + 1)V , và F là bị chặn. Chú ý: Nếu E là metric hóa được phần thứ nhất suy ra từ công thức cuối cùng của định lý 2 := nếu W {( x, y ) / pi ( x − y ) ≤ ε } thì W ( Am ) là lồi, do đó  W ( Am ) m≥ n là lồi, và   W ( Am ) là lồi, vì vậy nó là hợp của dãy suy rộng những tập lồi. n m≥ n Định lý 1.11. Nếu E là không gian vector Fréchet thì những không gian sau đây với metric hóa được Hausdorff đều là đầy đủ: - tập tất cả các tập lồi đóng