Tài liệu Một vài mở rộng của định lý liouville

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN ------ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP NĂM HỌC: 2021-2022 ĐỀ TÀI MỘT VÀI MỞ RỘNG CỦA ĐỊNH LÝ LIOUVILLE Giảng viên hướng dẫn : TS. Lê Hoàng Trí Sinh viên thực hiện : Dương Quang Việt Hà Lớp : 18 ST Khoa : Toán Đà Nẵng, ngày 11 tháng 11 năm 2021 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo TS. Lê Hoàng Trí đã tận tình hướng dẫn và động viên em trong suốt quá trình thực hiện đề tài, nhờ đó em có thể hoàn thành được bài nghiên cứu này. Trong quá trình nghiên cứu đề tài, em đã gặp không ít khó khăn khi tìm tòi và dịch tài liệu cũng như những hạn chế về mặt kiến thức. Tuy vậy, nhờ sự giúp đỡ tận tình từ quý thầy cô giáo, sự quan tâm của gia đình cũng như bạn bè đã giúp chúng em có động lực phấn đấu và đã hoàn thành được bài nghiên cứu khoa học này. Đây cũng là kỷ niệm đáng nhớ của em trong thời gian học tập tại Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng. Em xin chân thành cảm ơn! Dương Quang Việt Hà MỤC LỤC I. MỞ ĐẦU .....................................................................................................................1 1. Lý do chọn đề tài ................................................................................................ 1 2. Mục đích nghiên cứu .......................................................................................... 1 4. Phạm vi nghiên cứu............................................................................................ 1 5. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................... 1 6. Cấu trúc của đề tài ............................................................................................. 2 II. CHƯƠNG 1: NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH PHỨC ............3 1. Số phức .............................................................................................................. 3 2. Đạo hàm ............................................................................................................. 8 3. Hàm giải tích .................................................................................................... 11 4. Tích phân hàm phức ........................................................................................ 12 5. Định lý Liouville............................................................................................... 16 III. CHƯƠNG 2: MỘT VÀI MỞ RỘNG CỦA ĐỊNH LÝ LIOUVILLE ..............18 1. Điểm bất thường .............................................................................................. 18 2. Một số mở rộng của định lý Liouville .............................................................. 19 IV. KẾT LUẬN ............................................................................................................24 V. TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................29 I. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Giải tích phức, hay còn gọi là lý thuyết hàm biến phức, là một nhánh của toán học nghiên cứu các hệ hàm số một hay nhiều biến và các biến số đều là số phức. Giải tích phức là một trong những ngành cổ điển của toán học, bắt nguồn từ khoảng thể kỷ 19. Một số nhà toán học nổi tiếng nghiên cứu lĩnh vực này như Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass và nhiều nhà toán học khác ở thế kỷ 20. Ngày nay giải tích phức được nghiên cứu nhiều với những ứng dụng trong cơ khí, động lực phức, và có nhiều ứng dụng trong nhiều ngành khác của toán học, trong đó có lý thuyết số và toán ứng dụng. Định lý Liouville được phát biểu rằng mỗi hàm nguyên bị chặn là một hàm hằng, đây là một trong những định lý cơ bản của ngành Giải tích phức, ứng dụng nó người ta chứng minh được định lý cơ bản của Đại số. Có nhiều mở rộng cho định lý Liouville này. Trong bài luận văn này, chúng tôi nghiên cứu mở rộng định lý Liouville theo hướng xét ảnh của hàm nguyên này trên một lân cận của vô cùng. Chúng tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu của mình là: “Một vài mở rộng của định lý Liouville”. 2. Mục đích nghiên cứu Trong đề tài này, chúng tôi nghiên cứu một số tính chất của các điểm bất thường, định lý Liouville, đưa ra một số kết quả mới về mở rộng định lý Liouville theo hướng xét ảnh của hàm nguyên trên một lân cận của vô cùng. 3. Đối tượng nghiên cứu Hàm Giải tích, hàm nguyên, lân cận của vô cùng, các điểm bất thường và mở rộng định lý Liouville theo hướng xét ảnh của hàm nguyên trên một lân cận của vô cùng. 4. Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu mở rộng định lý Liouville theo hướng xét ảnh của hàm nguyên này trên một lân cận của vô cùng 5. Phương pháp nghiên cứu  Tham khảo tài liệu, hệ thống lại một số kiến thức cơ bản về giải tích phức.  Thu thập các sách, các bài báo khoa học của các tác giả đi trước liên quan đến các định lý mở rộng của định lý Liouville.  Đọc kỹ và chứng minh chi tiết các kết quả đã tìm kiếm.  Phân tích, đánh giá, tổng hợp và trao đổi với thầy hướng dẫn kết quả đang nghiên cứu để hoàn chỉnh đề tài của mình. 1 6. Cấu trúc của đề tài Nội dung đề tài được trình bày trong hai chương. Ngoài ra, đề tài có Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận và Tài liệu tham khảo. Chương 1, trình bày một số kiến thức cơ bản của hàm biến phức nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu Chương 2. Chương 2, trình bày một số mở rộng của định lý Liouville bao gồm 2 mục: Mục 2.1, trình bày về các định nghĩa, tính chất của các điểm bất thường; Mục 2.2, trình bày các định lý mở rộng của định lý Liouville và chứng minh. 2 II. CHƯƠNG 1: NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH PHỨC Trong chương này, chúng tôi trình bày một số nội dung kiến thức về số phức, đạo hàm, hàm giải tích, tích phân và định lý Liouville. Các khái niệm và các tính chất trong chương này được trình bày nhằm phục vụ cho việc chứng minh các kết quả chính của chương sau. 1. Số phức 1.1. Các định nghĩa  Số phức là số có dạng z  x  iy , trong đó x, y  gọi là đơn vị ảo. . Số i thỏa i 2  1 được Trong đó: x được gọi là phần thực của số phức z , ký hiệu Re z . y được gọi là phần ảo của số phức z , ký hiệu Im z . Đặc biệt: z  x  i0 là số thực, z  iy  y  0  là số thuần ảo.  Hai số phức bằng nhau nếu và chỉ nếu có phần thực và phần ảo tương ứng bằng nhau.  Cho số phức z  a  bi. Số phức liên hợp của số phức z là z  a  bi.  Tập hợp tất cả các số phức được ký hiệu là .  z  x  iy | x, y  . Khi x   hoặc y   , ta kí hiệu z  x  iy   . Tập    được gọi là tập số phức mở rộng. 1.2. Các phép toán trên số phức Cho hai số phức z1  x1  iy1 và z2  x2  iy2 ta định nghĩa các phép toán như sau: a) Phép cộng và trừ số phức  x1  iy1    x2  iy2    x1  x2   i  y1  y2   x1  iy1    x2  iy2    x1  x2   i  y1  y2  Chú ý: Phép cộng số phức có tính giao hoán và kết hợp. b) Phép nhân số phức ( x1  iy1 )( x2  iy2 )  ( x1 x2  y1 y2 )  i( x1 y2  x2 y1 ) c) Phép chia số phức Giả sử z2  0 , khi đó ta có: 3 z1 : z2  z1 z z ( x  iy1 )( x2  iy2 )  1 2  1 z2 z2 z2 x22  y22 1.3. Ví dụ. Thực hiện phép tính  (2  i)  (1  5i)  (2 1)  (i  5i)  1  4i  3i  (1  5i)  3i  1  5i  1  8i 2  (1  i)(2  3i)  2  3i  2i  3i  1  5i  1  i (1  i )(2  i) 1  3i 1 3     i 2  i (2  i)(2  i) 5 5 5 d) Lũy thừa bậc n của số phức Quy ước: z 0  1với z  0 z n  z.z...z (n số z ). 1.4. Ví dụ. Thực hiện phép tính i3  i 2 .i  i ; i 4  (i 2 )2  1 3 2 3  (1  i )  1  3i  3i  i  2  2i 2  i  1 ; Cho z  x  iy, z1  x1  iy1 , z2  x2  iy2 , ta có: 1.5. Định lý. 1) z  z; z1  z2  z1  z2 ; z1 z2  z1 z2 . 2) z  z  2 Re z  2 x; z  z  2i Im z  2iy. 3) zz  ( x  iy)( x  iy)  x 2  y 2  0.  z1  z1 (z2  0). 4)    z z  2 2 1.6. Dạng lượng giác của số phức 1.6.1. Mặt phẳng phức  Về mặt hình học, số phức z  x  iy được biểu diễn bằng điểm 𝑀(𝑥; 𝑦) trong mặt phẳng tọa độ Descartes vuông góc Oxy . Khi đó, mặt phẳng Oxy được gọi là mặt phẳngphức.  Trong mặt phẳng phức, ta có: Im z  0  z  Ox. Re z  0  z  Oy. Do đó:  Trục hoành Ox được gọi là trục thực.  Trục tung Oy được gọi là trục ảo. 4 1.6.2. Modul và argument của số phức  Trong mặt phẳng phức, khoảng cách r từ gốc tọa độ O đến điểm M được gọi là modul của z , ký hiệu là z . Modul của z được xác định bởi: z  r  OM  x 2  y 2 .  Khi z  0 góc định hướng   (Ox, OM ) có tia đầu Ox và tia cuối OM , được gọi là argument của z.  Argument  của z thỏa mãn      được gọi là argument chính, ký hiệu là arg z .  Nếu z là số thực dương thì arg z  0 . Nếu z là số thực âm thì arg z   . Nếu z  0 thì argument của z không được định nghĩa.  Ký hiệu tập hợp tất cả argument của z là Arg z . Vậy Arg z  arg z  k 2 , k  . Cách xác định argument chính của z  x  iy  Bước 1: Xác định điểm M biểu diễn z trên mặt phẳng Oxy. x y  Bước 2: arg z   thỏa mãn cos   ,sin   ,      và phụ r r thuộc vào vị trí M . 1.7. Dạng lượng giác của số phức  Cho số phức z  x  iy có z  r và arg z   . y x  i   r  cos   i sin   . r r  Ta có: z  r   Vậy dạng lượng giác có số phức z là: z  r (cos  i sin  ). 1.8. Nhận xét:  Nếu z  r (cos   i sin  ) thì: z  r (cos   i sin  )  r cos     i sin   .  Nếu z  , z  x  i0 thì z  x 2  02  x . 1.9. Ví dụ. Tìm dạng lượng giác của số phức z  1  i 3 . 5   r  13  2 Ta có:  . Vì điểm M (1, 3) nằm ở phần tư thứ nhất của mặt phẳng Oxy 1  cos    2     nên ta có   . Vậy số phức đã cho có dạng lượng giác là z  2  cos  i sin  . 3 3 3  1.10. Công thức Moivre 1.10.1. Công thức Moivre Cho số phức z  r  cos   i sin   . Theo công thức, ta có: z 2  z.z  r 2  cos 2  i sin 2  z 3  z 2 z  r 3  cos3  i sin3  Bằng quy nạp ta được z n  r n (cos n  i sin n ), n  , n  1 Khi r  1 ta được công thức Moivre sau  cos  i sin   n  cos n  i sin n Công thức trên còn đúng đối với   và n  . 1.10.2. Ví dụ. Tính 1  i  . 8 Để áp dụng công thức Moivre ta phải tìm dạng lượng giác của số phức z  1  i .   r  1 1  2 Ta có:  . Vì điểm M (1; 1) nằm ở góc vuông thứ nhất của mặt phẳng x 2  cos     r 2 7 7   7 2 2 Oxy nên ta lấy   4 . Vậy z  2  cos  4  i sin  , theo công thức Moivre, ta 4  có: 7 7   (1  i)   2  cos  i sin 4 4   8 8     16  cos14  i sin14   16 .  1.11. Căn của số phức Với mỗi n  * , z  n , ta định nghĩa w  n z khi và chỉ khi z  w . Khi đó căn bậc n của số phức z  0 có n giá trị phân biệt n   2k   2k  z  n r  cos  i sin n n  trong đó r  z ,   Arg z. 6   , k  0,1,..., n  1  (*) 1.12. Ví dụ. Tìm căn bậc ba của số phức z  2  2i Trước hết ta biểu diễn số phức đã cho dưới dạng lượng giác ta có 3 3   2  2i  8  cos  i sin  4 4   Theo công thức (*) số phức z  2  2i có 3 giá trị căn bậc 3 sau đây : Vk  3 3 3   k 2  k 2  4 4 8  cos  i sin 3 3     3  8k 3  8k    i sin   2  cos  , k  0,1, 2. 14 14     1.13. Dạng mũ của số phức ta đặt e z  e x  cos y  i sin y  Với mỗi z  x  iy  i Để đơn giản cách viết các số phức ta đặt: cos   i sin  : e Do đó số phức có dạng lượng giác z  r  cos   i sin   có thể viết dưới dạng z  rei trong đó r  z ,   Arg z. 1.14. Nhận xét i 1) Nếu z  re thì z  rei . 2) Với mọi z1  x1  iy1 , z2  x2  iy2 , ta gọi z1  z2  ( x1  x2 )2  ( y1  y2 )2 là khoảng cách giữa z1 và z2 . i Khi đó z  a  r hay z  a  re    0;2  là phương trình đường tròn tâm a , bán kính r . i Đặc biệt z  1 hay z  e là phương trình của đường tròn đơn vị. 1.15. Các công thức cần nhớ i1  r1 (cos 1  i sin 1 ), z2  r2ei2  r2 (cos 2  i sin 2 ) ta Với z  rei , z1  re 1 có: i (  ) 1) z1 z2  r1r2e 1 2  r1r2 cos 1  2   i sin 1  2  . 2) z1 r1 i (  ) r1  e  cos 1  2   i sin 1  2   . z2 r2 r2 1 2 n n in 3) z  r e , n  . 4) n z  wk  re n i   k 2 n  n  2, k  0, n 1 . 1.16. Đường và miền trong mặt phẳng phức 1.16.1. Đường trong mặt phẳng phức Ảnh của ánh xạ w : a, b  , w  t   u  t   iv  t  , t  a, b trong đó x  t  và y  t  là các hàm thực liên tục gọi là một đường cong. 7 Cho đường cong C có biểu diễn tham số w  t   u  t   iv  t  với a  t  b. Ta nói C là đường cong kín nếu w  a   w  b  . Đường cong C được gọi là đường cong Jordan (hay đường cong đơn) nếu nó không tự cắt nhau hay w  t  là đơn ánh trên  a, b  , nghĩa là w  t1   w t2  khi a  t1  t2  b. Đường cong đơn và đóng gọi là chu tuyến. 1.16.2. Miền trong mặt phẳng phức  Lân cận   0 của z0 ( ) là hình tròn mở tâm tại z0 :  U  z0   z  z  z0    Lân cận  của điểm z   là z   .  Tập D  được gọi là một miền nếu D mở và liên thông. Nếu D là miền thì D gọi là miền đóng.  Miền D  được gọi là đơn liên nếu D trong là một tập liên thông.  Miền D gọi là n – liên nếu biên của nó trong là hợp của n tập liên thông, rời nhau không có điểm biên chung. 2. Đạo hàm 2.1. Định nghĩa. Cho hàm số f xác định trên miền D  . Hàm f được gọi là khả vi tại z0  D (hay hàm f có đạo hàm tại z0 ) nếu giới hạn f  z0  z   f ( z0 ) f ( z )  f ( z0 ) lim  lim z 0 zz z z  z0 tồn tại, và ta nói giới hạn đó là đạo hàm của hàm f tại điểm z0 . Ký hiệu df f '  z0    z0  dz 2.2. Ví dụ Hàm f  z   z 2 khả vi tại mọi điểm z0 . Thật vậy 0 f  z0  z   f ( z0 ) z0  z   z0 2 2 z z   z   f '( z0 )  lim  lim  lim 0 z 0 z 0 z 0 z z z  lim  2 z0  z   2 z0 . 2 2 z 0 Hơn nữa, f '  z    z 2  '  2 z. Chú ý:  Hàm f có đạo hàm tại điểm z0 thì được gọi là khả vi tại điểm z0 .  Hàm f có đạo hàm tại điểm z0 thì liên tục tại điểm z0 .  Đạo hàm của hàm biến phức có các tính chất và quy tắc tính tương tự hàm biến số thực. 8 2.3. Định lý Cauchy-Riemann. Cho hàm số phức f ( z )  f  x  iy   u  x, y   iv( x, y) xác định trong miền D và z0  x0  iy0  D . Cho u  x, y  và v  x, y  có đạo hàn trên miền D Khi đó, điều kiện cần và đủ để f khả vi tại z0 là  ux  x , y  yv  x , y   u  x , y  v  x , y   y x (2.4) 0 0 0 0 0 0 0 0 Hơn nữa, ta có f '  z0   u 'x  x0, y0   iv 'x  x0 , y0  . Hệ (2.4) được gọi là hệ phương trình Cauchy-Riemann hay điều kiện Cauchy-Riemann. Giả sử hàm f khả vi tại z0 . Theo định nghĩa ta có f  z0  z   f ( z0 ) f '  z0   lim z 0 z trong đó z  z  z0  x  x0  i  y  y0   x  iy . Cho y  0 , ta có z  x . Ta được f  z0  x   f  z0  f '  z0   lim x 0 x u  x0  x, y0   iv  x0  x, y0   u  x0 , y0   iv  x0 , y0   lim  x 0 x  u  x0  x, y0   u  x0 , y0  v  x0  x, y0   v  x0 , y0    lim  i  x 0 x x   Chứng minh.  u 'x  x0 , y0   iv 'x  x0 , y0 . Cho x  0, ta có z  iy, suy ra z  0 khi và chỉ khi y  0. Ta được f  z0  iy   f  z0  f '  z0   lim y 0 iy u  x0 , y0  y   iv  x0 , y0  y   u  x0 , y0   iv  x0 , y0   lim  x 0 iy  u  x0 , y0  y   u  x0 , y0  v  x0 , y0  y   v  x0 , y0    lim    y 0 iy y    iu ' y  x0 , y0   v ' y  x0 , y0  . Tóm lại ta được f '  z0   u 'x  x0 , y0   iv 'x  x0 , y0  f '  z0   v ' y  x0 , y0   iu ' y  x0 , y0  . Từ đó ta có được hệ (2.4). Ta còn phải chứng minh u  x, y  và v  x, y  khả vi tại  x0 , y0  . Từ định nghĩa của f '  z0  ta viết lại f  z0  z   f  z0   f '  z0  z    z    u '  x , y   iv '  x , y    x  iy     z  x 0 0 x 9 0 0  u 'x ( x0 , y0 )x  v 'x  x0 , y0  y i  v 'x  x0 , y0  x  u 'x ( x0 , y0 )y     z   u 'x ( x0 , y0 )x  u ' y  x0 , y0  y   x  z  (*) i v 'x  x0 , y0  x  v ' y ( x0 , y0 )y   y  z   trong đó   z    x  z   i y  z  thỏa lim   z  z Từ đó ta suy ra được z 0  x  z     lim  x  z  z z 0  x 2  y 2  lim  y  z  z z 0   0.  y  z    và   x 2  y 2 . Mặt khác, ta có f  z0  z   f  z0   u  x0  x, y0  y   iv  x0  x, y0  y    u  x0 , y0   iv  x0 , y0    u  x0 , y0   iv  x0 , y0  Từ (*) và (**) ta được (**)  v  x , y   v '  x , y  x  v '  x , y  y    u  x0 , y0   u 'x  x0 , y0  x  u ' y  x0 , y0  y   0 0 x 0 0 y 0 0 Vậy các hàm u và v khả vi tại  x0 , y0  .  x  y  . x 2  y 2 2 2 Ngược lại, giả sử hai hàm u  x, y  và v  x, y  khả vi tại  x0 , y0  và thỏa điều kiện (2.4). Do u  x, y  và v  x, y  khả vi tại  x0 , y0  nên ta có u  x0  x, y0  y   u  x0 , y0   u 'x  x0 , y0  x  u ' y  x0 , y0  y    z  v  x0  x, y0  y   v  x0 , y0   v 'x  x0 , y0  x  v ' y  x0 , y0  y    z  trong đó z  x  iy và lim z 0   z  z  lim z 0   z  z  0. Mặt khác, áp dụng điều kiện (2.4) ta có f  z0  z   f  z0  u  x0  x, y0  y   iv  x0  x, y0  y   u  x0 , y0   iv  x0 , y0   z z u '  x , y  x  u ' y  x0 , y0  y  iv 'x  x0 , y0  x  iv ' y  x0 , y0  y  x 0 0 z   z   i  z   z u '  x , y  x  v 'x  x0 , y0  y  iv 'x  x0 , y0  x  iu 'x  x0 , y0  y  x 0 0 z   z   i  z   z 10   u '  x , y   iv '  x , y   x  iy     z   i  z  x 0 0 x 0 0 z  u 'x  x0 , y0   iv 'x  x0 , y0   Vì lim   z  z z 0 lim  lim   z  z 0   z   i  z  z z 0 z  0 cho nên lim z 0   z   i  z    z  z z z  lim   z  z 0 z  0 do đó , ta có  0 . Vậy f  z0  z   f  z0   u 'x  x0 , y0   iv 'x  x0 , y0  . x  z Nghĩa là hàm f khả vi tại z0 . lim 2 2.5. Ví dụ. Xét tính khả vi của hàm w  f  z   z Ta có: f  z   x 2  y 2  2 xyi  u  x, y   x 2  y 2 , v  x, y   2 xy. Do  u '  2x  v ' nên hàm w thỏa mãn định lý Cauchy-Riemann u '   2 y  v ' x y y x Vậy w  f  z   z khả vi trên 2 . 2.6. Ví dụ. Xét tính khả vi của hàm w  f  z   z.Re z 2 2 Ta có: f  z   x  xyi  u  x, y   x , v  x, y   xy. 2x  x x  0 u '  v ' x y  0  y  y 0 . Điều kiện Cauchy-Riemann:  u '   v 'x  y Vậy w  f  z   z khả vi tại 2 z  0 và f '  0  u 'x  0,0  iv 'x  0,0  0 . 3. Hàm giải tích 3.1. Định nghĩa Hàm f xác định trên D  được gọi là giải tích hay chỉnh hình tại z0  D nếu tồn tại r  0 để hàm f khả vi tại mọi z   z : z  z0  r  D . Nếu hàm f giải tích tại mọi điểm của miền D thì ta nói f giải tích trên miền D . Nếu hàm f giải tích trên thì ta nói f là hàm nguyên. 3.2. Ví dụ Hàm đa thức giải tích trên . Hàm hữu tỷ cũng giải tích trên trừ đi các điểm mà nó không xác định. Hàm f  z   z z không giải tích tại bất kỳ điểm nào. Ta đã biết nó chỉ khả vi tại một điểm duy nhất là z  0 . 11 3.3. Định lý. hàm hằng. Nếu hàm f giải tích trên miền D và f chỉ nhận giá trị thực thì f là Chứng minh. Vì hàm f chỉ nhận giá trị thực nên có dạng f  x  iy   u  x, y  . Mặt khác, hàm f giải tích tại mỗi điểm  x, y   D , nên ta có hệ phương trình Cauchy-Riemann.  u '  x, y   0 u '  x, y   0 x suy ra u  x, y   c (hằng số). y Vậy f là hàm hằng. 3.4. Định lý. Nếu hàm f giải tích trên miền D và f '  z   0 z  D thì f là hàm hằng. Chứng minh. Ta có: Giả sử f  z   f  x  iy   u  x, y   iv  x, y  f '  z   u 'x  x, y   iv 'x  x, y  Vì f '  z   0 với mọi z  D   u 'x  x , y   0 v 'x  x , y   0 . Vì f giải tích trên miền D nên f giải tích tại mọi điểm z  D , theo điều kiện Cauchy-Riemann.  u 'x  x , y   v ' y  x , y   0 u ' y  x , y   v 'x  x , y   0  Suy ra  u 'x  x , y   u ' y  x , y   0 v 'x  x , y   v ' y  x , y   0 u  x, y   c và v  x, y   c ' . Do đó f  z   c  ic ' . Vậy f là hàm hằng. 3.5. Định lý. Nếu hàm f giải tích trên miền D và hàm g giải tích trên f  D  , thì hàm hợp g f giải tích trên D. Chứng minh. Lấy z0  D tùy ý. Do f giải tích trên D nên tồn tại   lân cận B  z0 ,   của z0 thỏa B  z0 ,    D và f khả vi trên B  z0 ,   . Ta có f  B  z0 ,     f  D  nên g khả vi trên f  B  z0 ,    . Do đó, g f khả vi trên B  z0 ,   . Suy ra g f giải tích tại z0 . Vậy g f giải tích trên D. 4. Tích phân hàm phức 4.1. Tích phân đường của hàm phức 4.1.1. Định nghĩa tích phân * Cho đường cong Jordan C trơn có điểm đầu z0 và điểm cuối là z . Hàm f xác định trên C . Thực hiện phép phân hoạch chia đường cong C thành một số n tùy ý các cung nhỏ bởi các điểm z0 , z1 ,..., zn1 , zn  z* nằm liên tiếp trên C (tức là z j đứng trước z j 1 , j  0,1,..., n  1). Trên mỗi cung z j z j 1 thuộc đường cong C ta lấy điểm  j tùy ý và lập tổng tích phân của hàm f . 12 n 1 J n   f  j z j , z j  z j 1  z j . j 1   Giả sử r  max diam z j z j 1 . 0 j  n 1 Nếu tồn tại giới hạn lim J n khi r  0 không phụ thuộc vào cách phân hoạch C thành các cung nhỏ và không phụ thuộc vào việc chọn các điểm trung gian  j thì giới hạn đó được gọi là tích phân đường của hàm f theo đường cong C : r 1 lim  f  j  z j   f  z  dz. r 0 j 0 C  f  z  dz.  Nếu đường cong có điểm đầu và cuối lần lượt là A và B thì ta kí hiệu AB  Nếu đường cong C có điểm đầu và cuối trùng nhau thì ta ký hiệu  f  z  dz với C chiều của C là chiều dương. 4.1.2. Tính chất tích phân hàm phức Tích phân đường của hàm phức dọc theo C có các tính chất sau:   af  z   bg  z dz  a  f  z  dz  b  f  z  dz. C C C  Nếu C  C1  C2 và C1  C2   thì:  f  z  dz   f  z  dz   f  z  dz. C  C1 C2  f  z  dz    f  z  dz. AB BA  Gọi L là độ dài của đường cong C và M  max f  z  , ta có công thức ước lượng z tích phân:  f  z  dz   f  z  dz  ML. C C 4.1.3. Phương pháp tính tích phân đường của hàm phức Trường hợp 1: Nếu đường cong C cho bởi phương trình tham số: z  z  t   x  t   iy  t  , t1  t  t2 với x  t  , y  t  có đạo hàm liên tục thì t2  f  z  dz   f  z  t .z ' t  dt C t1 Một số đường cong tham số đơn giản: 1. Đoạn thẳng nối z1 , z2 là: z  t   z1   z2  z1  t , 0  t  1 . it 2. Đường tròn tâm z0 bán kính r là: z  t   z0  re , 0  t  2 . Trường hợp 2: Nếu hàm f  z   u  x, y   iv  x, y  thì 13  f  z  dz   udx  vdy   i   vdx  udy  C C C   4.1.4. Ví dụ. Tính I   z  Re z dz , trong đó C là đường thẳng nối từ z1  1  i đến C z2  2  i . Bài giải: Cách 1: Phương trình tham số đoạn thẳng C : z  z  t   1  i  1  2i  t ,  0  t  1  dz  z '  t  dt  1  2i  dt Ta có: z  Re z  1  i  1  2i  t  Re 1  i  1  2i  t   2  i   2  2i  t Vậy   1 I   z  Re z dz    2  i   2  2i  t  1  2i  dt C 0 1 1   1   1  2i   2  i   dt   2  2i   tdt   1  2i   2  i  .1   2  2i  .  2  0 0    3  6i . Cách 2: Với z  x  yi ta có: f  z   z  Re z  x  yi  Re  x  yi   2 x  yi. Đường thẳng C nối từ z1  1  i đến z2  2  i có phương trình tham số là A1,1 Phương trình đoạn AB : x  xA y  yA x 1 y 1     xB  x A y B  y A 1 2 Ta có f  z   2 x  yi ; C : y  2 x  3 Vậy B  2; 1  xy:122x3  x :1  2 I    udx  vdy   i   vdx  udy  C C 2 2    2 xdx   2 x  3 . 2  dx   i    2 x  3 dx  2 x.  2  dx  1 1 2 2 1 1    6 x  6  dx  i   2 x  3 dx  3  6i . 4.2. Định lý Cauchy - Nếu f  z  là hàm giải tích trong miền đơn liên D thì với mọi đường cong kín C nằm trong miền D ta có:  f  z  dz  0 (4.2.1) C 14 Nếu hàm f  z  giải tích trong miền nhất liên D (kể cả biên), - giới hạn bởi đường cong ngoài C0 và đường cong trong C1 thì ta có:  f  z  dz   f  z  dz C0 (4.2.2) C1 trong đó các đường cong C0 , C1 đều lấy theo chiều dương. Nếu hàm f  z  giải tích trong miền đa liên D (kể cả biên), giới hạn bởi đường - cong ngoài C0 và các đường cong trong C1 , C2 ,..., Cn thì ta có công thức:  f  z  dz   f  z  dz   f  z  dz  ...   f  z  dz C0 C1 C2 Cn trong đó các đường cong C0 , C1 , C2 ,..., Cn đều lấy theo chiều dương. 4.2.1. Ví dụ. Hàm f  z   nên z giải tích trong D : z  1 và liên tục trên biên D z 4 2 zdz  0. z 1 z  4  2 4.3. Công thức Newton - Leibnitz Nếu f  z  là hàm giải tích trong miền đơn liên D , có nguyên hàm là F  z  và z0 , z1 là hai điểm thuộc miền D . Khi đó tích phân theo mọi đường cong nằm trong D nối z0 và z1 đều bằng nhau (tức là không phụ thuộc đường đi) và ta có: z1  f  z  dz  F  z   F  z  1 0 z0 4.3.1. Ví dụ. I  2 i  3z dz  z 2 3 2 i 1 3i   2  i    i  3i   28  7i 3 3 1 3i 4.4. Công thức tích phân Cauchy - Cho hàm f  z  giải tích trên miền D và C là một đường cong kín trong D sao cho miền C hữu hạn giới hạn bởi C nằm trong D . Khi đó với mọi z0  C ta có  Công thức tích phân Cauchy: 1 f  z f  z0   dz. 2 i C z  z0  Công thức tích phân Cauchy đối với đạo hàm: f  z n! f ( n )  z0   dz , n  0,1,2,... n 1  2 i C  z  z0  15 - Nếu hàm f  z  giải tích trên C , liên tục trên C thì với mọi z0  C ta có : f  z  z  z dz  2 if  z  . 0 C 0 f  z  z  z  C n 1 dz  0 4.4.1. Ví dụ. Tính I1  2 i ( n ) f  z0  . n! z 2  3iz z 3  2iz dz , I  dz 2 2   C: z 1 2 i  4 z  1  2i C: z  2 i  2  z  3  i  z 2  3iz dz  a) I1   C: z 1 2 i  4 z  1  2i tròn C)   C z 2  3iz dz (điểm z  1  2i nằm trong đường z  1  2i   I1  2 if  z0   2 i 1  2i   3i 1  2i   2  7  9i . 2 z 3  2iz z 3  2iz   z  3  i  dz   z  3  i    b) I 2  11 2 C : z  2 i  2 ( điểm z  3  i nằm trong đường C tròn C) I2  I2  2 i 2 f '  3  i   2 i 3  3  i   2i    40  48i  . 1!   5. Định lý Liouville Cho z0 là một số phức cố định. Nếu hàm f giải tích trong và trên đường tròn có phương trình z  z0  R , đường tròn này định hướng dương và kí hiệu là CR . Theo công thức tích phân Cauchy đối với đạo hàm : f ( n )  z0   f  z n! dz n 1 2 i C  z  z0  Kí hiệu M R là giá trị lớn nhất của f  z  trên đường tròn CR , khi đó f  z   M R với mọi z thỏa z  z0  R . Từ đó ta tính được f  n   z0   f  z n! dz n 1 2 i C  z  z0  R Ta có phương trình tham số của đường tròn CR : z  z  t   z0  Reit với 0  t  2 . f  n   z0    n ! 2 f  z  n ! 2 f  z  it i Re dt  z  z0  dt n 1 n 1  2 i 0  z  z0  2 0  z  z0  f  z n ! 2 n ! 2  f  z  . z  z0 z  z dt  dt   0 n 1 n 1 2 0  z  z0  2 0 z  z0 Vậy ta có được bất đẳng thức Cauchy 16 f  n   z0   n!M R Rn Trường hợp n  1 : f '  z0   MR . R Từ nhận xét trên ta có định lý sau. 5.1. Định lý Liouville. Nếu hàm f giải tích và bị chặn trên trên . Chứng minh: Vì hàm f bị chặn trên mọi z  thì f  z  là hàm hằng nên tồn tại M  0 sao cho f  z   M với . Lấy z0 tùy ý, theo bất đẳng thức Cauchy với n  1 ta có: MR M với mọi R  0  R R Qua giới hạn khi R   . Từ đó suy ra f '  z0   0 . f '  z0   Vậy f '  z   0 với mọi z  , theo định lý 3.4 suy ra f là hàm hằng. 17