Tài liệu Một số tính chất topo được bảo toàn trên siêu không gian

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– HỒ QUỐC TRUNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT TOPO ĐƯỢC BẢO TOÀN TRÊN SIÊU KHÔNG GIAN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Đà Nẵng - 2022 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– HỒ QUỐC TRUNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT TOPO ĐƯỢC BẢO TOÀN TRÊN SIÊU KHÔNG GIAN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Giảng viên hướng dẫn: TS. Lương Quốc Tuyển Đà Nẵng - 2022 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin được gửi lời cám ơn chân thành tới thầy giáo TS. Lương Quốc Tuyển đã tận tình hướng dẫn và động viên em trong suốt quá trình thực hiện luận văn, nhờ đó em có thể hoàn thành được bài luận văn tốt nghiệp này. Tuy gặp không ít khó khăn khi thực hiện đề tài nhưng nhờ sự giúp đỡ từ quý thầy cô, gia đình và bạn bè, em đã nỗ lực tìm tòi học hỏi được nhiều kiến thức bổ ích cho bản thân và hoàn thành luận văn này. Đây cũng là cột mốc, sản phẩm đánh dấu sự trưởng thành của bản thân em trong suốt thời gian học tập của em tại Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Đại học Đà Nẵng. Em xin chân thành cảm ơn! Hồ Quốc Trung MỤC LỤC MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1. Không gian topo, tập hợp mở và lân cận của một tập hợp . . . . 4 1.2. Tập hợp đóng, bao đóng và phần trong của một tập hợp . . . . . 9 1.3. Một số tiên đề tách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4. Không gian con, không gian compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 CHƯƠNG 2. Một số bảo toàn trên siêu không gian . . . . . . . 20 2.1. Siêu không gian F(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2. Sự bảo toàn của các tập trên siêu không gian . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3. Sự bảo toàn của một số tính chất mạng trên siêu không gian 33 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Năm 1931, K. Borsulk và S. Ulam đã giới thiệu khái niệm tích đối xứng cấp n của không gian topo và đã đưa ra một số tính chất quan trọng của nó ([4]). Từ đó, các siêu không gian khác được hình thành và thu hút được sự quan tâm của đông đảo các tác giả trên thế giới. Chính nhờ điều đó, trong những năm gần đây, mô hình về sự bảo toàn của một số tính chất topo từ một không gian lên tích đối xứng cũng như các siêu không gian được nghiên cứu một cách sôi nổi và thu về không ít các kết quả thú vị (xem [4]-[14]). Cụ thể, C. Good và S. Marcías đã chứng minh được sự bảo toàn của hàng loạt tính chất topo như mạng, họ rời rạc, họ CP,... lên tích đối xứng cấp n cũng như siêu không gian gồm các tập con hữu hạn của nó ([6]). Gần đây, L. Q. Tuyển và O. V. Tuyên đã đưa ra kết quả rằng, nếu là không gian topo có cn-mạng (ck -mạng) có tính chất σ -(P ), thì tích đối xứng cấp n của nó cũng có cn-mạng (tương ứng, ck -mạng) có tính chất σ -(P ) (xem [12]). Bên cạnh đó, các tác giả đã đặt ra một số bài toán mở liên quan đến tích đối xứng cấp n và siêu không gian F(X). Các bài toán này đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu topo đại cương và đến nay vẫn chưa có lời giải đáp. Nhận thấy xu hướng nghiên cứu cực kì mới mẻ và thú vị này, tôi đã dành thời gian nghiên cứu và với mong muốn cũng sẽ chứng minh được sự bảo toàn của một số tính chất topo khác lên siêu không gian gồm các tập con hữu hạn. Nhờ đó, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS. Lương Quốc Tuyển, tôi đã quyết định chọn đề tài: “Một số tính chất topo được bảo 2 toàn trên siêu không gian” làm đề tài cho luận văn tốt nghiệp của mình. 2. Mục đích nghiên cứu Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu các tính chất topo của không gian topo X được bảo toàn trên trên siêu không gian F(X). Đưa ra một số kết quả mới hoặc mở rộng một số kết quả của các tác giả đi trước. 3. Đối tượng nghiên cứu Các tính chất mạng, siêu không gian F(X). 4. Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu sự bảo toàn của một số tính chất topo của không gian topo X trên siêu không gian F(X). 5. Phương pháp nghiên cứu • Tham khảo tài liệu, hệ thống lại một số kiến thức về topo đại cương. • Thu thập các bài báo khoa học của các tác giả đi trước liên quan đến siêu không gian F(X). • Bằng cách tương tự hóa, khái quát hóa nhằm đưa ra các kết quả mới cũng như mở rộng một số kết quả của các tác giả đi trước. • Phân tích, đánh giá, tổng hợp và trao đổi với thầy hướng dẫn kết quả đang nghiên cứu để hoàn chỉnh khóa luận của mình. 6. Cấu trúc của đề tài Nội dung khóa luận được trình bày trong hai chương. Ngoài ra, đề tài có Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận và Tài liệu tham khảo. Chương 1, trình bày một số kiến thức cơ bản của topo đại cương nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu Chương 2. 3 Chương 2, trình bày về tính chất topo trên siêu không gian được chia làm 2 mục. Mục 2.1, trình bày về siêu không gian. Mục này dành cho việc trình bày và chứng minh chi tiết lại một số khái niệm và kết quả liên quan đến siêu không gian của các tác giả đi trước. Mục 2.2, trình bày một số tính chất mạng trên siêu không gian. Trong mục này, chúng tôi chứng minh được sự bảo toàn của tập mở (đóng, nửamở tương ứng) lên siêu không gian. Mục 2.3, trình bày sự bất biến của họ CF, T2 -không gian và không gian chính quy lên siêu không gian. 4 CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT Chương này dành cho việc trình bày một số kiến thức về topo đại cương. Các khái niệm và các tính chất trình bày trong chương này được chúng tôi lấy trong [5] nhằm phục vụ cho việc chứng minh các kết quả chính của chương sau. 1.1. Không gian topo, tập hợp mở và lân cận của một tập hợp Định nghĩa 1.1.1. Giả sử τ là họ nào đó gồm các tập con của tập hợp X thỏa mãn các điều kiện sau. (a) ∅, X ∈ τ ; (b) Nếu U , V ∈ τ , thì U ∩ V ∈ τ ; S (c) Nếu {Uα }α∈Λ ⊂ τ , thì Uα ∈ τ . α∈Λ Khi đó, (1) τ được gọi là một topo trên X . (2) Cặp (X, τ ) được gọi là một không gian topo. (3) Mỗi phần tử của τ được gọi là một tập hợp mở. (4) Mỗi phần tử của X được gọi là một điểm của nó. Nhận xét 1.1.2 ([5]). Đối với không gian topo X , các khẳng định sau là đúng. 5 (1) ∅, X là các tập hợp mở; (2) Giao hữu hạn tập hợp mở là một tập hợp mở; (3) Hợp tùy ý các tập hợp mở là một tập hợp mở. Ví dụ 1.1.3. (1) Giả sử X là một tập hợp tùy ý, T = {∅, X}. Khi đó, T là một topo trên X và nó được gọi là topo thô trên X , (X, T ) được gọi là không gian topo thô. (2) Giả sử X là một tập hợp tùy ý, T = P(X). Khi đó, T là một topo trên X và nó được gọi là topo rời rạc trên X . (3) Giả sử X = R. Ký hiệu [ τ= ∈ I(ai , bi ) : ai , bi ∈ R, ai ≤ bi . i Khi đó, τ là một topo trên X và nó là topo tự nhiên hay topo thông thường trên R. (4) Giả sử X là tập hợp vô hạn. Ta đặt τ = {U ⊂ X : U = ∅ hoặc X \ U hữu hạn}. Khi đó, τ là một topo trên X và được gọi là topo Zariski hay là topo đối hữu hạn trên X . Chứng minh. Khẳng định (1), (2), (3) là rõ ràng. Bây giờ ta chứng minh khẳng định (4). Thật vậy, ˆ Từ định nghĩa của τ ta suy ra ∅ ∈ τ . Mặt khác, vì X\X = ∅ là tập hữu hạn nên X ∈ τ . ˆ Giả sử {Ui : i ∈ I} ⊂ τ và U = S Ui . Khi đó, nếu U = ∅, thì rõ ràng i∈I U ∈ τ . Bây giờ, giả sử U ̸= ∅, khi đó tồn tại i ∈ I sao cho Ui ̸= ∅. 6 Bởi vì Ui ∈ τ nên X\Ui hữu hạn. Hơn nữa, vì Ui ⊂ U nên ta suy ra X \ U ⊂ X\Ui . S Do đó, X\U hữu hạn. Bởi vậy, U = Ui ∈ τ . i∈I ˆ Giả sử U1 , U2 ∈ τ , khi đó nếu U1 ∩ U2 = ∅, thì rõ ràng U1 ∩ U2 ∈ τ . Bây giờ, giả sử U1 ∩ U2 ̸= ∅. Khi đó, U1 ̸= ∅ và U2 ̸= ∅. Bởi vì U1 , U2 ∈ τ nên X\U1 và X\U2 hữu hạn. Hơn nữa, vì X\(U1 ∩ U2 ) = (X\U1 ) ∪ (X\U2 ) nên X\(U1 ∩ U2 ) hữu hạn. Do vậy, (U1 ∩ U2 ) ∈ τ . Như vậy, τ là một topo trên X . Định nghĩa 1.1.4. Giả sử A là một tập con khác rỗng của không gian topo (X, τ ). Khi đó, tập con U của X được gọi là một lân cận của A nếu tồn tại V ∈ τ sao cho A ⊂ V ⊂ U. Ngoài ra, nếu U ∈ τ , thì ta nói rằng U là lân cận mở của A. Đặc biệt, nếu A = {x}, thì ta nói rằng U là lân cận của x. Nhận xét 1.1.5 ([5]). Lân cận của một điểm không nhất thiết là một tập hợp mở, nhưng mỗi tập hợp mở là lân cận của mọi điểm thuộc nó. Chứng minh. Trên tập hợp các số thực R với topo thông thường τ , giả sử U = [−1; 1] và V = (−1; 1). Khi đó, V ∈ τ và U là một lân cận của điểm x = 0 vì x ∈ V ⊂ U nhưng U ∈ / τ . Do đó, lân cận của một điểm không nhất thiết là một tập mở. Ngược lại, giả sử U là tập mở và x ∈ U . Khi đó, nếu ta đặt V = U thì rõ ràng V ∈ τ và x ∈ V ⊂ U . Như vậy, U là một lân cận của x. 7 Bổ đề 1.1.6. Đối với không gian topo (X, τ ), các khẳng định sau là tương đương. (1) U là tập hợp mở; (2) U là lân cận của mọi điểm thuộc nó; (3) Với mọi x ∈ U , tồn tại lân cận Vx của x sao cho x ∈ Vx ⊂ U . Chứng minh. (1) =⇒ (2). Giả sử U là tập mở và x ∈ U . Khi đó, nếu ta đặt V = U , thì rõ ràng V ∈ τ và x ∈ V ⊂ U . Như vậy, U là một lân cận của x trong X . (2) =⇒ (3). Giả sử U là lân cận của mọi x ∈ U . Khi đó, với mọi x ∈ U , nếu ta đặt Vx = U , thì Vx là lân cận của x và x ∈ Vx = U ⊂ U. Do đó, (3) thỏa mãn. (3) =⇒ (1). Giả sử với mọi x ∈ U , tồn tại lân cận Vx của x sao cho x ∈ Vx ⊂ U . Khi dó, vì Vx là lân cận của x nên tồn tại Wx ∈ τ sao cho x ∈ Wx ⊂ Vx ⊂ U. Do đó, ta thu được U= S {x} ⊂ x∈U kéo theo U = S S Wx ⊂ U , x∈U Wx . Bởi vì Wx ∈ τ với mọi x ∈ U nên ta suy ra U ∈ τ , x∈U nghĩa là U mở trong X . Như vậy, (1) thỏa mãn. Định nghĩa 1.1.7. Giả sử (X, τ ) là một không gian topo và B ⊂ τ . Ta nói rằng B là cơ sở của (X, τ ) (hay là cơ sở của τ ) nếu mỗi phần tử của τ là hợp nào đó các phần tử của B . 8 Nhận xét 1.1.8. Giả sử (X, τ ) là một không gian topo và một họ B ⊂ τ . Khi đó, (1) Nếu B là cơ sở của τ , thì mỗi phần tử của B là một tập hợp mở trong X . Tuy nhiên, mỗi tập hợp mở trong X có thể không thuộc B . (2) B là cơ sở của không gian topo (X, τ ) khi và chỉ khi với mọi U ∈ τ và với mọi x ∈ U , tồn tại V ∈ B sao cho x ∈ V ⊂ U. Chứng minh. (1) Bởi vì B ⊂ τ nên mọi phần tử của B đều mở trong X . Bây giờ, ta chứng minh rằng có thể tồn tại những tập mở không thuộc cơ sở. Thật vậy, giả sử R là tập số thực với topo thông thường τ , ta lấy B = {(a, b) : a, b ∈ R, a ≤ b}, U = (1, 2) ∪ (3, 4). Khi đó, rõ ràng B là một cơ sở của (R, τ ) và U ∈ τ nhưng U ∈ / B. (2) ♣ Điều kiện cần. Giả sử họ B là một cơ sở của τ , U ∈ τ và x ∈ U . S Khi đó, theo Định nghĩa 1.1.7, tồn tại {Bi : i ∈ I} ⊂ B sao cho U = Bi . i∈I Bởi vì x ∈ U nên tồn tại i0 ∈ I sao cho x ∈ Bi0 ⊂ U . Như vậy, nếu ta đặt V = Bi0 , thì V ∈ B và x ∈ V ⊂ U . ♣ Điều kiện đủ. Giả sử U ∈ τ và B là họ nào đó gồm các tập con mở trong X thỏa mãn rằng với mỗi x ∈ U , tồn tại Vx ∈ B sao cho x ∈ Vx ⊂ U . Khi đó, ta thu được U= S {x} ⊂ x∈U Điều này chứng tỏ rằng U = S x∈U S Vx ⊂ U . x∈U Vx . Như vậy, B là một cơ sở của τ . 9 1.2. Tập hợp đóng, bao đóng và phần trong của một tập hợp Định nghĩa 1.2.1. Tập con X của một không gian topo (X, τ ) được gọi là tập hợp đóng trong X nếu X\A ∈ τ . Định lí 1.2.2. Đối với không gian topo (X, τ ), các khẳng định sau là đúng. (1) ∅, X là các tập hợp đóng; (2) Hợp hữu hạn tập hợp đóng là một tập hợp đóng; (3) Giao tùy ý các tập hợp đóng là một tập hợp đóng. Chứng minh. (1) Bởi vì X \ ∅ = X ∈ τ và X \ X = ∅ ∈ τ nên ∅ và X là các tập đóng trong X . (2) Giả sử F1 , . . . , Fn là các tập đóng. Khi đó, X \ F1 , . . . , X \ Fn là n T các tập mở. Theo Nhận xét 1.1.2, ta có (X \ Fi ) ∈ τ . Hơn nữa, i=1 n T (X \ Fi ) = X \ i=1 Do đó, X \ n S n S
Fi . i=1 n
S Fi ∈ τ . Điều này chứng tỏ rằng Fi là một tập đóng. i=1 i=1 (3) Giả sử {Fα : α ∈ Λ} là một họ gồm các tập con đóng. Khi đó, với mỗi α ∈ Λ, ta có X \ Fα là tập mở. Theo Nhận xét 1.1.2, ta thu được
S X \ Fα ∈ τ . Hơn nữa, vì α∈Λ S
X \ Fα = X \  T α∈Λ tập đóng trong X . Fα  α∈Λ α∈Λ nên ta suy ra rằng X \  T  Fα ∈ τ . Điều này chứng tỏ rằng T α∈Λ Fα là 10 Nhận xét 1.2.3. Hợp tùy ý các tập hợp đóng trong không gian topo có thể không đóng. Do đó, giao tùy ý các tập hợp mở có thể không mở. Chứng minh. Giả sử R là tập hợp số thực với topo τ thông thường và   1 An = 0, 1 − với mọi n ∈ N∗ . n Khi đó, • An là tập hợp đóng trong R với mọi n ∈ N∗ . S • An = [0, 1). n∈N∗ Thật vậy, giả sử x ∈ S n∈N∗ An . Suy ra tồn tại n ∈ N∗ sao cho   1 ⊂ [0, 1). x ∈ An = 0, 1 − n Ngược lại, giả sử x ∈ [0, 1), kéo theo 0 ≤ x < 1. Do đó, tồn tại n ∈ N∗ sao cho 1 0≤x≤1− . n Điều này suy ra rằng   S 1 = An ⊂ An . x ∈ 0, 1 − ∗ n n∈N • [0, 1) không là tập hợp đóng trong (R, τ ). Từ chứng minh trên ta suy ra rằng hợp tùy ý các tập hợp đóng có thể không đóng. Do đó, giao tùy ý các tập hợp mở có thể không mở. 11 Định nghĩa 1.2.4. Giả sử A là một tập con của không gian topo (X, τ ). Khi đó, giao của tất cả các tập con đóng trong X chứa A được gọi là bao đóng của A và ký hiệu là A. Định lí 1.2.5. Giả sử A, B là các tập con của không gian topo (X, τ ). Khi đó, các khẳng định sau là đúng. (1) A luôn tồn tại và A ⊂ A; (2) A là tập hợp đóng nhỏ nhất chứa A; (3) A đóng khi và chỉ khi A = A; (4) Nếu A ⊂ B , thì A ⊂ B ; (5) A ∪ B = A ∪ B ; (6) A ∩ B ⊂ A ∩ B , và đẳng thức không xảy ra. Chứng minh. (1) Từ Định nghĩa 1.2.4 và Định lí 1.2.2 ta suy ra A luôn tồn tại và A là một tập con đóng chứa A. (2) Giả sử G là tập đóng nhỏ nhất chứa A. Khi đó, vì A là tập đóng chứa A nên A ⊂ G. Như vậy, G = A, nghĩa là A là tập con đóng nhỏ nhất trong X chứa A. (3) Giả sử A ⊂ X là tập hợp đóng. Khi đó, vì A là tập đóng nhỏ nhất chứa A và A cũng là tập đóng chứa A nên A ⊂ A. Mặt khác, theo khẳng định (1), ta có A ⊂ A. Do vậy, A = A. Bây giờ, giả sử A = A, khi đó theo khẳng định (1) ta suy ra A là tập con đóng. (4) Giả sử A ⊂ B , khi đó theo khẳng định (1) ta có B ⊂ B , kéo theo A ⊂ B . Như vậy, ta suy ra B là tập con đóng chứa A. Mặt khác, lại theo khẳng định (1), A là tập đóng nhỏ nhất chứa A nên ta suy ra A ⊂ B . (5) Bởi vì A ⊂ A ∪ B và B ⊂ A ∪ B nên nhờ khẳng định (4), ta suy ra 12 A ⊂ A ∪ B và B ⊂ A ∪ B . Do đó, ta nhận được A ∪ B ⊂ A ∪ B. (1.1) Mặt khác, lại theo khẳng định (1) ta có A ⊂ A và B ⊂ B nên A ∪ B ⊂ A ∪ B. Hơn nữa, nhờ Định lí 1.2.2 và khẳng định (1) ta suy ra A ∪ B là tập đóng và A ∪ B ⊂ A ∪ B . Do đó, A ∪ B ⊂ A ∪ B. (1.2) Do vậy, từ (1.1) và (1.2) ta suy ra rằng A ∪ B = A ∪ B . (6) Bởi vì A ∩ B ⊂ A và A ∩ B ⊂ B nên theo khẳng định (4), ta suy ra A ∩ B ⊂ A và A ∩ B ⊂ B . Do đó, A ∩ B ⊂ A ∩ B . Bây giờ, ta xét R với topo thông thường. Giả sử A = (0, 1) và B = (1, 2). Khi đó, A ∩ B = ∅ = ∅, A ∩ B = {1}. Như vậy, A ∩ B ̸= A ∩ B. Bổ đề 1.2.6. Giả sử (X, τ ) là một không gian topo, A ⊂ X . Khi đó, x ∈ A khi và chỉ khi với mọi lân cận mở U của x ta đều có U ∩ A ̸= ∅. Chứng minh. • Điều kiện cần. Giả sử rằng x ∈ A và V là một lân cận mở của x. Ta cần chứng minh rằng V ∩ A ̸= ∅. Thật vậy, giả sử ngược lại rằng V ∩ A = ∅, kéo theo A ⊂ X\V . Bởi vì V ∈ τ nên X\V đóng trong X . Do đó, theo Nhận xét 1.2.5 ta suy ra rằng A ⊂ X\V = X\V, 13 kéo theo A ∩ V = ∅. Điều này mâu thuẫn với x ∈ A ∩ V. • Điều kiện đủ. Giả sử rằng với mọi lân cận V của x ta đều có V ∩A ̸= ∅. / A, kéo Ta cần chứng minh x ∈ A. Thật vậy, giả sử ngược lại rằng x ∈ theo x ∈ X\A. Bởi vì X\A là tập hợp mở chứa x nên V = X\A là lân cận mở của x trong X thỏa mãn V ∩ A = ∅. Điều này mâu thuẫn với giả thiết điều kiện đủ. Định nghĩa 1.2.7. Giả sử A là một tập con của không gian topo (X, τ ). Khi đó, hợp tất cả các tập mở nằm trong A được gọi là phần trong của A. Kí hiệu là IntA. Nhận xét 1.2.8. (1) IntA là tập mở lớn nhất nằm trong A. (2) A ⊂ X là tập mở khi và chỉ khi IntA = A; (3) Nếu A ⊂ B , thì IntA ⊂ IntB . Chứng minh. (1) Bởi vì hợp tùy ý các tập mở là mở nên theo Định nghĩa 1.2.7 ta suy ra IntA là tập hợp mở nằm trong A. Bây giờ, giả sử G là tập hợp mở lớn nhất nằm trong A. Khi đó, vì IntA là tập mở nằm trong A nên G ⊂ IntA. Mặt khác, vì G là tập mở nằm trong A nên nhờ Định nghĩa 1.2.7, IntA ⊂ G. Như vậy, IntA = G và G là tập hợp mở lớn nhất nằm trong A. (2) Giả sử A ⊂ X , khi đó (2.1) Điều kiện cần. Giả sử A là tập mở. Khi đó, theo khẳng định (1), IntA là tập mở lớn nhất nằm trong A. Mặt khác, vì A cũng là tập mở nằm trong A nên A ⊂ IntA. Hơn nữa, lại theo khẳng định (1), IntA ⊂ A. Do đó, A = IntA. (2.2) Điều kiện đủ. Giả sử A = IntA, khi đó theo khẳng định (1) ta suy ra rằng A là tập hợp mở. (3) Giả sử A ⊂ B , khi đó theo khẳng định (1), IntA là tập mở nằm 14 trong A, kéo theo IntA là tập mở nằm trong B . Mặt khác, vì IntB là tập mở lớn nhất nằm trong B nên IntA ⊂ IntB . Định lí 1.2.9. Giả sử (X, τ ) là không gian topo và A ⊂ X . Khi đó, IntA = X\X\A. Chứng minh. Theo Nhận xét 1.2.5, ta có X \ A là tập hợp đóng, kéo theo X\X\A ∈ τ . Nhờ bao hàm thức X\X\A ⊂ X\(X\A) = A ta suy ra X\X\A là tập hợp mở nằm trong X \ A. Theo Nhận xét 1.2.8, ta thu được X\X\A ⊂ IntA. (1.3) Lại theo Nhận xét 1.2.8, X \ IntA là tập hợp đóng và X \ A ⊂ X \ IntA. Do đó, nhờ Nhận xét 1.2.5 ta suy ra rằng X \ A ⊂ X \ IntA = X \ IntA. Từ đó ta thu được IntA ⊂ X \ X \ A. (1.4) Do vậy, từ (1.3) và (1.4) ta suy ra IntA = X \ X \ A. Định lí 1.2.10 ([5]). Đối với không gian topo (X, τ ), các khẳng định sau là tương đương. (1) x ∈ A; (2) U ∩ A ̸= ∅ với mọi lân cận U của x; (3) Tồn tại một cơ sở Bx của x sao cho U ∩ A ̸= ∅ với mọi U ∈ Bx . 15 1.3. Một số tiên đề tách Định nghĩa 1.3.1. Giả sử (X, τ ) là một không gian topo. Khi đó, (1) (X, τ ) được gọi là T1 -không gian nếu với mọi x, y ∈ X mà x ̸= y , tồn tại các lân cận mở U của x và V của y sao cho x ∈ / V và y ∈ / U; (2) (X, τ ) được gọi là T2 -không gian hay là không gian Hausdorff nếu với mọi x, y ∈ X mà x ̸= y , tồn tại các lân cận mở U của x và V của y sao cho U ∩ V = ∅. (3) (X, τ ) được gọi là không gian chính quy nếu với mọi tập F đóng và x∈ / F , tồn tại lân cận mở U của x, V của F sao cho U ∩ V = ∅. Định lí 1.3.2. Giả sử (X, τ ) là một không gian topo. Khi đó, (1) T2 -không gian =⇒ T1 -không gian; (2) T1 -không gian ̸=⇒ T2 -không gian. Chứng minh. (1) Giả sử (X, τ ) là T2 -không gian và x, y ∈ X . Khi đó, tồn tại các lân cận U của x và V của y sao cho U ∩ V = ∅. Kéo theo x ∈ /V và y ∈ / U . Do đó, (X, τ ) là T1 -không gian. (2) Giả sử X là tập hợp vô hạn, và τ là topo Zariski. Khi đó, • (X, τ ) là T1 -không gian. Giả sử x, y ∈ X sao cho x ̸= y . Khi đó, nếu ta lấy U = X \ {x}; V = X \ {y}, thì X \ U = {x} và X \ V = {y} là các tập hữu hạn. Do đó, V là lân cận mở của x không chứa y và U là lân cận mở của y không chứa x. Như vậy, (X, τ ) là T1 -không gian. • (X, τ ) không là T2 -không gian. 16 Thật vậy, giả sử U , V là hai tập hợp mở khác rỗng bất kỳ của X . Khi đó, X \U và X \V là các tập con hữu hạn của X . Như vậy, nếu U ∩V = ∅, thì U ⊂ X \ V hữu hạn, kéo theo U hữu hạn. Bởi vì X = U ∪ (X \ U ) nên ta suy ra X hữu hạn. Điều mâu thuẫn này chứng tỏ rằng U ∩ V = ∅. Do đó, (X, τ ) không là T2 -không gian. 1.4. Không gian con, không gian compact Định nghĩa 1.4.1. Giả sử (X, τ ) là một không gian topo và U là họ các tập con nào đó của X, A ⊂ X . Khi đó, (1) U được gọi là một phủ của A nếu A ⊂ ∪{U : I ∈ U}. (2) U được gọi là một phủ mở của A nếu U là một phủ của A và U ⊂ τ . (3) V được gọi là phủ con hữu hạn của U nếu V ⊂ U, V hữu hạn và V phủ A. Ví dụ 1.4.2. (1) Cho (X, d) là không gian metric và r > 0. Khi đó, S với mọi x ∈ X , vì x ∈ B(x, r) nên ta suy ra X = B(x, r). Do đó, x∈x {B(x, r) : x ∈ X} là một phủ mở của X . (2) Ta xét R với topo thông thường. Khi đó, U = {(−n, n) : n ∈ N} là một phủ mở của R nhưng không có phủ con hữu hạn. Thật vậy, rõ ràng S rằng R = (−n0 , n0 ). Do đó, U là một phủ mở của R. n∈N Bây giờ, giả sử U có phủ con hữu hạn, nghĩa là tồn tại n1 , . . . , nk ∈ N k S sao cho R = (−ni , ni ) = (−n0 , n0 ) với n0 = max{ni : i ≤ k}, đây là i=1 một mâu thuẫn.