ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN
----------
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Đề tài:
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Giáo viên hướng dẫn
:
ThS. NGÔ THỊ BÍCH THỦY
Sinh viên thực hiện
:
PHẠM VÂN KHÁNH
Lớp sinh hoạt
:
18ST
Đà Nẵng, tháng 01 năm 2022
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học
Sư phạm – Đại học Đà Nẵng đã tận tình giảng dạy và tạo điều kiện để tôi hoàn thành khóa
luận tốt nghiệp. Đặc biệt, cho phép tôi được gởi lời cảm ơn sâu sắc đến cô Ngô Thị Bích
Thủy, người đã trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt thời gian nghiên cứu. Cuối cùng, tôi xin
gởi lời cảm ơn những ý kiến quý báu, sự động viên, giúp đỡ nhiệt tình của gia đình, người
thân, bạn bè, nhất là các bạn lớp 18ST trong quá trình tôi làm khóa luận tốt nghiệp này.
Đà Nẵng, tháng 1 năm 2022
Sinh viên
Phạm Vân Khánh
1
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 4
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN ................................................................................... 6
1.1 Hàm số sin, hàm số cosin, hàm số tan và hàm số cotan .................................... 6
1.1.1 Định nghĩa ........................................................................................................ 6
1.1.2 Chú ý ................................................................................................................ 7
1.2 Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác ............................................................... 8
1.2.1 Định nghĩa ........................................................................................................ 8
1.2.2 Tính tuần hoàn .................................................................................................. 8
1.3 Sự biến thiên và đồ thị của hàm số lượng giác ................................................... 8
1.3.1 Hàm số y sin x ............................................................................................. 8
1.3.2 Hàm số y cos x ........................................................................................... 10
1.3.3 Hàm số y tan x .......................................................................................... 10
1.3.4 Hàm số y cot x ........................................................................................... 12
1.4 Quan hệ giữa các giá trị lượng giác................................................................... 13
1.4.1 Công thức lượng giác cơ bản.......................................................................... 13
1.4.2 Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt .................................... 14
1.5 Công thức lượng giác .......................................................................................... 15
1.5.1 Công thức cộng............................................................................................... 15
1.5.2 Công thức nhân đôi ........................................................................................ 15
1.5.3 Công thức hạ bậc ............................................................................................ 15
1.5.4 Công thức biến đổi tích thành tổng ................................................................ 16
1.5.5 Công thức biến đổi tổng thành tích ................................................................ 16
1.5.6 Một số công thức khác ................................................................................... 16
CHƯƠNG 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THPT ............................................................... 18
2.1. Dạng 1. Phương trình lượng giác cơ bản ......................................................... 18
2.1.1 Phương pháp giải ............................................................................................ 18
2
2.1.2 Ví dụ 1: ........................................................................................................... 20
2.2 Dạng 2. Phương trình theo một hàm lượng giác.............................................. 21
2.2.1 Phương pháp giải ............................................................................................ 21
2.2.2 Ví dụ ............................................................................................................... 21
2.3 Dạng 3. Phương trình bậc nhất theo sin, cos .................................................... 22
2.3.1 Phương pháp giải ............................................................................................ 22
2.3.2 Ví dụ ............................................................................................................... 23
2.4 Dạng 4. Phương trình đẳng cấp (thuần nhất) theo sin, cos ............................ 25
2.4.1 Phương pháp giải ............................................................................................ 25
2.4.2 Ví dụ ............................................................................................................... 25
2.5 Dạng 5. Phương trình đối xứng ......................................................................... 27
2.5.1 Phương pháp giải ............................................................................................ 28
2.5.2 Ví dụ ............................................................................................................... 28
2.6 Dạng 6. Phương trình chứa giá trị tuyệt đối .................................................... 30
2.6.1 Phương pháp giải ............................................................................................ 30
2.6.2 Ví dụ ............................................................................................................... 30
2.7 Dạng 7. Phương trình chứa căn ......................................................................... 32
2.7.1 Phương pháp giải ............................................................................................ 32
2.7.2 Ví dụ ............................................................................................................... 32
2.8 Dạng 8. Phương trình tích số ............................................................................. 35
2.8.1 Phương pháp giải ............................................................................................ 35
2.8.2 Ví dụ ............................................................................................................... 35
2.9 Dạng 9. Phương trình không mẫu mực ............................................................ 39
2.9.1 Phương pháp giải ............................................................................................ 39
2.9.2 Ví dụ ............................................................................................................... 40
KẾT LUẬN ................................................................................................................... 45
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 46
3
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Phương trình lượng giác là một mảng kiến thức quan trọng trong chương trình Đại
số và Giải tích lớp 11 (sách hiện hành). Học sinh gặp nhiều khó khăn khi giải phương trình
lượng trình lượng giác, đặc biệt là các phương trình lượng giác không mẫu mực. Làm thế
nào giúp các em học sinh biết phân tích phương trình đề cho, từ đó tìm các mối liên quan
kiến thức đã học để định hướng cách giải là một vấn đề quan trọng trong quá trình dạy học
phương trình lượng giác ở trường phổ thông.
Là sinh viên sư phạm, với mong muốn trang bị cho bản thân những kỹ năng giải
phương trình lượng giác nói riêng và các bạn sinh viên sư phạm toán nói chung, tôi đã chọn
đề tài nghiên cứu “Một số phương pháp giải phương trình lượng giác trong chương
trình toán THPT”.
2. Mục đích nghiên cứu đề tài
Tìm hiểu các kiến thức cơ bản về lượng giác, đặc biệt là phương trình lượng giác.
Hệ thống, phân loại phương trình lượng giác và phương pháp giải cho từng dạng
khác nhau.
3. Phạm vi nghiên cứu
Các phương trình lượng giác trong chương trình Đại số và Giải tích lớp 11 (sách
hiện hành).
4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu một số tài liệu liên quan tới phương pháp giải
phương trình lượng giác nhằm hiểu rõ nội dung phương trình lượng giác để từ đó rút ra
được cách giải phù hợp.
Nghiên cứu thực tế: Trao đổi với một số giáo viên THPT dạy chương hàm số lượng
giác và phương trình lượng giác – Đại số và Giải tích lớp 11 (sách hiện hành) để tham khảo
các kinh nghiệm khi hướng dẫn học sinh giải các bài toán phương trình lượng giác.
4
5. Cấu trúc của khóa luận: Khóa luận gồm hai chương sau:
Chương 1. Cơ sở lý luận
1.1 Hàm số sin, hàm số cosin, hàm số tan và hàm số cotan
1.2 Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác
1.3 Sự biến thiên và đồ thị của hàm số lượng giác
1.4 Quan hệ giữa các giá trị lượng giác
1.5 Công thức lượng giác
Chương 2. Một số phương pháp giải phương trình lượng giác trong chương trình
toán THPT
2.1 Phương trình lượng giác cơ bản
2.2 Phương trình theo một hàm lượng giác
2.3 Phương trình bậc nhất theo sin, cos
2.4 Phương trình đẳng cấp (thuần nhất) theo sin, cos
2.5 Phương trình đối xứng
2.6 Phương trình chứa giá trị tuyệt đối
2.7 Phương trình chứa căn
2.8 Phương trình tích số
2.9 Phương trình không mẫu mực
5
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1 Hàm số sin, hàm số cosin, hàm số tan và hàm số cotan
1.1.1 Định nghĩa
- Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sin x
sin :
x y sin x
được gọi là hàm số sin, kí hiệu y sin x . Tập xác định của hàm số sin là .
- Quy tắc tương ứng mỗi số thực x với số thực cos x
cos :
x y cos x
được gọi là hàm số cos, kí hiệu y cos x . Tập xác định của hàm số cos là
6
sin x
(cos x 0) , kí hiệu là
cos x
y tan x . Tập xác định của hàm số y tan x là D \ k , k .
2
- Hàm số tan là hàm số được xác định bởi công thức y
- Hàm số cotan là hàm số được xác định bởi công thức y
cos x
(sin x 0) , kí hiệu là
sin x
y cot x . Tập xác định của hàm số y cot x là D \ k , k .
1.1.2 Chú ý
1 sin x,cos x 1
7
1.2 Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác
1.2.1 Định nghĩa
Hàm số y f ( x) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn, nếu tồn tại một số
T 0 sao cho với mọi x D ta có:
x T D và x T D
f ( x T ) f ( x)
Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần
hoàn đó.
1.2.2 Tính tuần hoàn
Hàm số y sin x tuần hoàn với chu kì T 2 . Hàm số y cos x tuần hoàn với chu
kì T 2 . Hàm số y tan x tuần hoàn với chu kì T . Hàm số y cot x tuần hoàn
với chu kì T .
1.3 Sự biến thiên và đồ thị của hàm số lượng giác
1.3.1 Hàm số y sin x
- Tập xác định D
- Tập giá trị T 1;1
- Hàm số tuần hoàn với chu kì 2 , có nghĩa sin( x k 2 ) sin x với k
- Khảo sát đồ thị hàm số y sin x
Trên đoạn 0; , xét các số thực x1 , x2 trong đó 0 x1 x2
. Đặt x3 x2 ,
2
x4 x1 . Biểu diễn trên đường tròn lượng giác và xét sin xi tương ứng ( i 1,2,3,4 )
8
Với x1 , x2 tùy ý thuộc đoạn 0; và x1 x2 thì sin x1 sin x2 .
2
x3 , x4 thuộc đoạn , và x3 x4 thì sin x3 sin x4 .
2
Vậy hàm số y sin x đồng biến trên 0; và nghịch biến trên , .
2
2
Bảng biến thiên:
- Hàm số y sin x là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối
xứng. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (
2
3
k 2 ) , k .
khoảng ( k 2 ;
2
2
9
k 2 ;
2
k 2 ) và nghịch biến trên mỗi
1.3.2 Hàm số y cos x
- Tập xác định D
- Tập giá trị T 1;1
- Hàm số tuần hoàn với chu kì 2 , có nghĩa cos( x k 2 ) cos x với k
- Đồ thị hàm số y cos x
Với mọi x ta có đẳng thức sin( x
2
) cos x . Bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số
y sin x theo vecto u ( ;0) ta được đồ thị hàm số y cos x .
2
- Hàm số y cos x là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng.
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( k 2 ; k 2 ) và nghịch biến trên mỗi khoảng
(k 2 ; k 2 ) , k .
1.3.3 Hàm số y tan x
- Tập xác định D \ k , k
2
10
- Tập giá trị T
- Hàm số tuần hoàn với chu kì , có nghĩa tan( x k ) tan x với k
- Khảo sát đồ thị hàm số y tan x
AM
x
AM
,
với
,
,
x
,
x
0;
1
1
2 x2 , AT1 tan x1 ,
1
2
2
2
AT2 tan x2 , ta thấy x1 x2 tan x1 tan x2 . Hàm số đồng biến trên nửa khoảng
Trên nửa khoảng 0;
0; 2 .
Bảng biến thiên:
- Hàm số y tan x là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số có tâm đối xứng là gốc tọa độ O .
Lấy đối xứng qua tâm O , ta được đồ thị hàm số trên nửa khoảng ;0 .
2
11
Từ đó, ta được đồ thị hàm số y tan x trên khoảng ; . Hàm số đồng biến
2 2
trên mỗi khoảng k ; k với k và tuần hoàn với chu kì nên tịnh tiến
2
2
đồ thị hàm số trên khoảng ; song song với trục hoành từng đoạn có độ dài , ta
2 2
được đồ thị hàm số y tan x trên D .
1.3.4 Hàm số y cot x
- Tập xác định D \ k , k
- Tập giá trị T
- Hàm số tuần hoàn với chu kì , có nghĩa cot( x k ) cot x với k
- Khảo sát đồ thị hàm số y cot x
Ta xét sự biến thiên và đồ thị trên khoảng 0; với x1 , x2 sao cho 0 x1 x2
cot x1 cot x2
cos x1 cos x2 sin x2 cos x1 cos x2 sin x1
sin x1 sin x2
sin x1 sin x2
sin( x2 x1 )
0 hay cot x1 cot x2
sin x1 sin x2
Vậy hàm số y cot x nghịch biến trên khoảng 0; .
12
Bảng biến thiên
- Hàm số y cot x là hàm lẻ, nghịch biến trên mỗi khoảng (k ; k ) với k và
tuần hoàn với chu kì nên tịnh tiến đồ thị hàm số trên khoảng 0; song song với trục
hoành từng đoạn có độ dài , ta được đồ thị hàm số y cot x trên D .
1.4 Quan hệ giữa các giá trị lượng giác
1.4.1 Công thức lượng giác cơ bản
Đối với các giá trị lượng giác, ta có các đẳng thức sau:
sin 2 cos2 1
1 tan 2
1
k , k
với
cos 2
2
1
với k , k
sin 2
tan
sin
với k , k
cos
2
1 cot 2
cot
cos
với k , k
sin
tan .cot 1 với
13
k
,k
2
1.4.2 Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
a. Cung đối nhau: và
cos( ) cos
tan( ) tan
sin( ) sin
cot( ) cot
b. Cung bù nhau: và
sin( ) sin
tan( ) tan
cos( ) cos
cot( ) cot
c. Cung phụ nhau: và
2
sin( ) cos
2
tan( ) cot
2
cos( ) sin
2
cot( ) tan
2
d. Cung hơn kém : và
sin( ) sin
tan( ) tan
cos( ) cos
cot( ) cot
e. Cung hơn kém
2
: và
2
sin( ) cos
2
tan( ) cot
2
cos( ) sin
2
cot( ) tan
2
14
1.5 Công thức lượng giác
1.5.1 Công thức cộng
Công thức cộng là những công thức biểu thị cos(a b) , sin(a b) , tan(a b) ,
cot(a b) qua các giá trị lượng giác của các góc a và b .
sin(a b) sin a cos b sin b cos a
sin(a b) sin a cos b sin b cos a
cos(a b) cos a cos b sin a sin b
cos(a b) cos a cos b sin a sin b
tan a tan b
tan(a b)
1 tan a tan b
tan a tan b
tan(a b)
1 tan a tan b
1.5.2 Công thức nhân đôi
Cho a b trong các công thức cộng ta được các công thức nhân đôi sau.
sin 2a 2sin a cos a
cos 2a cos 2 a sin 2 a 2cos 2 a 1 1 2sin 2 a
tan 2a
2 tan a
1 tan 2 a
1.5.3 Công thức hạ bậc
Từ các công thức nhân đôi, ta có thể suy ra các công thức hạ bậc.
1 cos 2a
2
1 cos 2a
sin 2 a
2
1 cos 2a
tan 2 a
1 sin 2a
cos 2 a
15
1.5.4 Công thức biến đổi tích thành tổng
Từ công thức cộng, ta có thể suy ra công thức biến đổi tích thành tổng.
1
cos a cos b [cos(a b) cos(a b)]
2
1
sin a sin b [cos( a b) cos( a b)]
2
1
sin a cos b [sin(a b) sin(a b)]
2
1.5.5 Công thức biến đổi tổng thành tích
uv
u v
, b
. Từ công thức cộng, ta có
2
2
thể suy ra công thức biến đổi tổng thành tích.
Đặt u a b và v a b , khi đó a
uv
uv
cos
2
2
uv
u v
cos u cos v 2sin
sin
2
2
uv
uv
sin u sin v 2sin
cos
2
2
uv
uv
sin u sin v 2cos
sin
2
2
cos u cos v 2cos
1.5.6 Một số công thức khác
a. Công thức nhân ba:
sin 3 x 3sin x 4 sin 3 x
cos 3 x 4 cos 3 x 3cos x
b. Công thức tổng và hiệu của sin a và cos a
sin a cos a 2 sin( a
cos a sin a 2 cos(a
16
4
) 2 cos(
4
) 2 sin(
4
4
a)
a)
c. Công thức biểu diễn theo t tan
a
2
2t
1 t2
1 t2
cos a
1 t2
2t
tan a
1 t2
sin a
17
CHƯƠNG 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG
GIÁC TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THPT
2.1. Dạng 1. Phương trình lượng giác cơ bản
2.1.1 Phương pháp giải
a. Phương trình sin x m
- Nếu m 1 thì phương trình vô nghiệm.
- Nếu m 1 thì phương trình có nghiệm, cụ thể:
1
2
3
;
; 1 . Khi đó:
+ m 0; ;
2
2
2
x k 2
sin x m sin x sin
,k
x
k
2
1
2
3
;
; 1 . Khi đó:
+ m 0; ;
2
2
2
x arcsin m k 2
sin x m
,k
x
arcsin
m
k
2
- Đặc biệt:
+ m 1, phương trình sin x 1 có nghiệm x
2
k 2 , k .
+ m 1 , phương trình sin x 1 có nghiệm x
2
k 2 , k .
+ m 0 , phương trình sin x 0 có nghiệm x k , k .
18
b. Phương trình cos x m
- Nếu m 1 thì phương trình vô nghiệm.
- Nếu m 1 thì phương trình có nghiệm, cụ thể:
1
2
3
;
; 1 . Khi đó:
+ m 0; ;
2
2
2
x k 2
cos x m cos x cos
,k
x k 2
1
2
3
;
; 1 . Khi đó:
+ m 0; ;
2
2
2
x arccos m k 2
cos x m
,k
x arccos m k 2
- Đặc biệt;
+ m 1, phương trình cos x 1 có nghiệm x k 2 , k .
+ m 1 , phương trình cos x 1 có nghiệm x k 2 , k .
+ m 0 , phương trình cos x 0 có nghiệm x
2
k , k .
c. Phương trình tan x m
Điều kiện: x
2
k (k )
+ m 0;
1
; 1; 3 . Khi đó:
3
tan x m tan x tan x k , k
19
- Xem thêm -
.PDF 
47 
1 
82 
