Tài liệu Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC NGAN – KẸO PẠ SỚT MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Sơn La, năm 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Thuộc nhóm chuyên ngành: Khoa học tự nhiên KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Sinh viên: Ngan - Kẹo Pạ Sớt Lớp: K55 ĐHSP Toán Ngƣời hƣớng dẫn : TS. Hoàng Ngọc Anh Sơn La, năm 2018 MỤC LỤC MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 1. Lý do chọn khoá luận ..................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu ...................................................................................... 1 3. Nhiệm vụ nghiên cứu ..................................................................................... 1 4. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu ................................................ 1 5. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................ 2 6. Dự kiến đóng góp của khóa luận .................................................................... 2 7. Cấu trúc khoá luận.......................................................................................... 2 Chƣơng 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ..................................................... 3 1.1. Hệ phương trình tuyến tính .......................................................................... 3 1.1.1. Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính ..................................................... 3 1.1.2. Phân loại hệ phương trình tuyến tính ........................................................ 4 1.2. Ma trận ........................................................................................................ 6 1.2.1. Các khái niệm ........................................................................................... 6 1.2.2. Các tính chất của ma trận.......................................................................... 8 1.3. Định thức..................................................................................................... 8 1.3.1. Định nghĩa định thức ................................................................................ 8 1.3.2. Tính chất của định thức ............................................................................ 8 Chƣơng 2. MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH ................................................................................................ 10 2.1. Phương pháp thế ........................................................................................ 10 2.1.1. Phương pháp giải .................................................................................... 10 2.1.3. Bài tập áp dụng....................................................................................... 11 2.2. Phương pháp cộng đại số ........................................................................... 12 2.2.1. Phương pháp giải .................................................................................... 12 2.2.2. Một số ví dụ ........................................................................................... 13 2.2.3. Bài tập áp dụng....................................................................................... 14 2.3. Phương pháp dùng ma trận nghịch đảo ...................................................... 18 2.3.1. Phương pháp giải .................................................................................... 18 2.3.3. Bài tập áp dụng....................................................................................... 20 2.4. Phương pháp dùng định thức ..................................................................... 24 2.4.1. Phương pháp giải .................................................................................... 24 2.4.2. Một số ví dụ ........................................................................................... 25 2.4.3. Bài tập áp dụng....................................................................................... 26 2.5. Phương pháp khử dần ẩn số hay phương pháp Gauss ................................ 31 2.5.1. Phương pháp giải .................................................................................... 31 2.5.2. Một số ví dụ ........................................................................................... 32 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................. 36 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn khoá luận Việc giải bài toán tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính có ý nghĩa to lớn trong việc nghiên cứu khoa học cũng như trong thực tế. Rất nhiều sinh viên khi học môn Toán cao cấp nói chung và môn Đại số tuyến tính nói riêng đều có câu hỏi: Tại sao phải học những môn này mà khi ra trường chúng ta chỉ dạy toán Trung học phổ thông, kiến thức ở đó đâu liên quan gì đến kiến thức toán cao cấp vốn khó này? Nhưng trên thực tế, đối với tôi hệ phương trình tuyến tính là một chuyên đề quan trọng trong chương trình toán học phổ thông của nước CHDCND Lào. Đề thi tuyển sinh vào đại học của nước CHDCND Lào hàng năm đều có câu liên quan đến hệ phương trình tuyến tính. Đó cũng là phần học quan trọng ở nội dung đại số lớp 12. Từ khá lâu nay việc tìm cách tổng hợp các phương pháp để giải hệ phương trình tuyến tính cũng đã được rất nhiều người quan tâm. Các nhà toán học đã tìm ra nhiều phương pháp để giải hệ phương trình tuyến tính. Tuy nhiên đối với một hệ phương trình tuyến tính bất kì, việc áp dụng phương pháp nào sẽ cho kết quả tốt nhất đó là việc nghiên cứu rất quan trọng. Vì vậy, với mong muốn được tìm hiểu, tổng hợp và phân loại các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính, tôi đã chọn nghiên cứu khoá luận: “Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính”. 2. Mục đích nghiên cứu Tổng quan kiến thức về hệ phương trình tuyến tính, ma trận, định thức. Từ đó nghiên cứu một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính và làm rõ các kiến thức, các phương pháp nói trên để phân tích, tìm lời giải các bài tập áp dụng. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Khoá luận tập trung nghiên cứu một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính. 4. Đối tƣợng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu 1 4.1. Đối tƣợng nghiên cứu Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính. 4.2. Phạm vi nghiên cứu Giáo trình Toán học cao cấp về Đại số tuyến tính và sách giáo khoa môn Toán lớp 12 của nước CHDCND Lào. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu - Phân tích, tổng hợp các kiến thức - Trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn. 6. Dự kiến đóng góp của khóa luận Khoá luận trình bày một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản về hệ phương trình tuyến tính và các ví dụ áp dụng đối với mỗi phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính. 7. Cấu trúc khoá luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung khoá luận bao gồm 2 chương: Chương 1: Một số kiến thức cơ sở Chương 2: Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 2 Chƣơng 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1. Hệ phƣơng trình tuyến tính 1.1.1. Định nghĩa hệ phƣơng trình tuyến tính a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1 a x  a x  ...  a x  b  22 2 2n n 2 Hệ phương trình:  21 1  am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm n Hay a x j 1 ij j  bi , i  1, m (1) Trong đó aij , bi cho trước ( j  1, n; i  1, m) thuộc K, x j ( j  1, n) là các ẩn số gọi là hệ phương trình tuyến tính tổng quát (gồm m phương trình, n ẩn số) aij gọi là những hệ số, bi gọi là hệ số tự do.  a11 a 21 Ma trận A = (aij )      an1  a11 a 21 bs Ma trận A      an1 a12 a22 an 2 ... a1n  ... a2 n  gọi là ma trận các hệ số.   ... ann  a12 ... a1n a22 ... a 2n an 2 ... ann b1  b2  có được bằng cách thêm vào hệ   bn  số tự do vào cột thứ (n+1) gọi là ma trận bổ sung.  x1  x  2 Nếu kí hiệu ma trận cột các ẩn số x    và ma trận cột các hệ số tự do      xn   b1  b  2 β    thì hệ phương trình tuyến tính trên có thể viết được dưới dạng ma trận      bn  3 là: A.x = β. - Một nghiệm của hệ (1) là một bộ n số c1 , c2 ,..., cn   K sao cho khi thay t x j  c j thì mọi đẳng thức trong hệ (1) đều là những đẳng thức số đúng. - Hệ phương trình (1) được gọi là có nghiệm (hay tương thích) nếu tập hợp các nghiệm của nó khác rỗng . Ngược lại nếu tập hợp các nghiệm là tập rỗng thì hệ (1) gọi là vô nghiệm. - Hai hệ phương trình tuyến tính được gọi là tương đương nếu chúng có cùng ẩn số và cùng tập nghiệm. 1.1.2. Phân loại hệ phƣơng trình tuyến tính a) Hệ Cramer Hệ phương trình tuyến tính n phương trình, n ẩn số mà ma trận các hệ số của nó không suy biến ( det A  0 ) gọi là hệ Cramer. Hệ Cramer có duy nhất nghiệm. Phương pháp giải: Cách 1: Xét phương trình ma trận A. X  B vì det A  0 nên tồn tại ma trận nghịch đảo A1 ta có: X  A1.B Cách 2: Nếu ta gọi  j là định thức của ma trận nhận được bằng cách thay cột thứ j của ma trận A bởi cột hệ số tự do thì x j  j  j  1, n (ở đó  là định thức của ma trận A). b) Hệ phƣơng trình tuyến tính tổng quát n Hệ phương trình tuyến tính tổng quát a x j 1 ij j  bi i  1,m  có nghiệm khi và chỉ khi hạng A = hạng Abs . Phương pháp giải: Cách 1: Phương pháp dùng định thức Cách giải: Giả sử hạng A  hạng Abs  k - Nếu k  n thì hệ có duy nhất nghiệm (sử dụng cách giải như hệ Cramer) - Nếu k  n thì hệ vô số nghiệm (chọn k ẩn chính, còn n  k ẩn còn lại coi 4 là ẩn tự do ) Cách 2: Phương pháp khử dần ẩn số hay phương pháp Gauss n Nhận xét: Cho hệ phương trình tuyến tính :  aij x j  bi , i  1, m (1) j 1 Nếu dùng các phép biến đổi sau đây thì ta vẫn nhận được một hệ phuơng trình tương đương với hệ (1), nghĩa là hệ có cùng tập nghiệm với hệ (1). - Đổi chỗ cho hai phương trình của hệ - Nhân 2 vế của một phương trình nào đó với số k  0 - Cộng vào 1 phương trình một tổ hợp tuyến tính của các phương trình còn lại thì ta được một hệ phương trình tuyến tính mới tương đương với hệ phương trình đã cho. Khi giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss, ta sẽ dùng 3 phép biến đổi trên cho ma trận bổ xung để biến đổi ma trận đó về dạng tam giác hay dạng hình thang. Hay đưa hệ phương trình đã cho về hệ phương trình mới tương đương, sao cho các phương trình về sau số ẩn càng ít đi. c) Hệ phƣơng trình tuyến tính thuần nhất Hệ phương trình tuyến tính mà các hệ số tự do của nó đều bằng 0 gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. Như vậy hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có dạng: n a x j 1 ij j  0, i  1, m (1') - Hệ (1’) luôn có nghiệm (ít nhất là nghiệm  x1 , x2 ,..., xn  t  x1  x    2  , gọi là      xn  nghiệm tầm thường) - Hệ (1’) có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi hạng A  p  n . Cách giải tương tự như hệ (1) 5 1.2. Ma trận 1.2.1. Các khái niệm a) Định nghĩa Ma trận cấp  m, n  là một bảng gồm m.n số thực (phức) được viết thành m dòng và n cột như sau:  a11 a A   21    am1 a12 a22 am 2 ... a1n  ... a2 n     ... amn  Kí hiệu: A   aij  . ( m ,n ) b) Các ma trận đặc biệt 1. Ma trận không Aij  0, i, j (tất cả các phần tử đều bằng không) 0 0 0 Ví dụ. A  0 0 0    0 0 0  2. Ma trận đối xứng Ma trận vuông A   aij  cấp n được gọi là ma trận đối xứng nếu aij  a ji , i, j  1, n.  1 2 1 Ví dụ. A   2 0 3     1 3 4  3. Ma trận chuyển vị Cho ma trận A   aij  Đổi dòng thành cột (cột thành dòng) của ma trận A , ta được ma trận mới gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A . Kí hiệu: At . Vậy At   a ji  nm . Nếu A có m dòng và n cột thì At có n dòng và m cột. 6  1 4   1 2 3  Ví dụ. A   thì At   2 5      4 5 6   3 6  4. Ma trận chéo - ma trận đơn vị Cho A là ma trận vuông cấp n.  a11 a12 a a22 A   21    an1 an 2 a1n  a2 n     ann  Đường thẳng đi qua a11, a22 ,..., ann được gọi là đường chéo chính của ma trận A , mỗi phần tử aii được gọi là phần tử chéo của A . - Ma trận vuông A  (aij ) cấp n được gọi là ma trận chéo cấp n nếu aij  0, i  j , tức là A có dạng:  a11 0 0 a 22 A   0 0 0 0    ann  1 0 0  Ví dụ. Ma trận A  0 2 0  là ma trận chéo cấp 3   0 0 3 - Ma trận vuông cấp n 1 0 0 1 I    0 0 0 0    1 Trong đó các phần tử chéo đều bằng 1 còn tất cả các phần tử khác đều bằng 0, gọi là ma trận đơn vị cấp n. 5. Ma trận khả nghịch, ma trận nghịch đảo Cho ma trận vuông A   aij  nếu tồn tại ma trận vuông B cấp n sao ( n ,n ) 7 cho AB = BA = I (I - Ma trận đơn vị) thì ma trận A gọi là khả nghịch và ma trận B gọi là nghịch đảo của A, kí hiệu B = A-1 1 Nếu A   aij  thì A1   Aji  trong đó Aij là phần bù đại số của ( n ,n ) ( n ,n ) A phần tử aij. 1.2.2. Các tính chất của ma trận  ,   , A, B là hai ma trận cùng cấp, khi đó : 1.  ( A  B)   A   B 2. (   ) A   A   A 3.  ( A)  ( ) A 4. EA  AE  A 5. A2  AA, A3  AA2  A2 A,..., An  AAn1  An1 A ( E là ma trận đơn vị) 1.3. Định thức 1.3.1. Định nghĩa định thức  a11 a 21 Với ma trận vuông A      an1 ... a1n  ... a2 n     ... ann  a12 a22 an 2 Ta gọi tổng : A   Sgn( )a1 ( n ) .a2 (2) .....an ( n )  S Kí hiệu: a11 a21 a12 a22 ... a1n ... a2 n an1 an 2 ... ann , hay A , haydet A được gọi là định thức của ma trận A. 1.3.2. Tính chất của định thức Loại 1: A  0 khi: - Có một dòng bằng 0 - Hai dòng tỷ lệ 8 - Một dòng là tổ hợp tuyến tính của các dòng còn lại. Loại 2: A thay đổi khi Đổi chỗ hai dòng làm định thức đổi dấu Loại 3: A không thay đổi khi: - A  At - Nhân một số với một dòng rồi cộng vào dòng khác - Đưa thừa số chung của một dòng ra ngoài - Nếu một dòng là tổ hợp tuyến tính làm cho A bằng tổ hợp tuyến tính của các dòng còn lại. 9 Chƣơng 2. MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 2.1. Phƣơng pháp thế 2.1.1. Phƣơng pháp giải Bƣớc 1: Chọn một phương trình biểu diễn nghiệm đơn giản nhất. Bƣớc 2: Thế vào phương trình còn lại. 2.1.2. Một số ví dụ 4 x  3 y  6 Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau:  2 x  y  4 (1) (2) Lời giải: Ta nhận thấy phương trình (2) biểu diễn nghiệm đơn giản nhất. Theo quy tắc thế hệ phương trình tương đương với hệ phương trình sau: 4 x  3 y  6 4 x  3(4  2 x)  6 x  3     y  4  2x  y  4  2x  y  2 Vậy hệ có nghiệm duy nhất là ( x; y)  (3; 2) 2 x  y  5 Ví dụ 2. Giải hệ phương trình sau:  3x  2 y  4 (1) (2) Lời giải: Ta nhận thấy phương trình (1) biểu diễn nghiệm đơn giản nhất  y  5  2x và có hệ phương trình tương đương sau:  3x  2 y  4  y  5  2x Theo quy tắc thế ta được:  3x  2(5  2 x)  4  y  5  2x  y  5  2x  y  5  2.2 y 1     3x  10  4 x  4 7 x  14 x  2 x  2 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là : ( x; y)  (2;1) Ví dụ 3. (Phƣơng pháp trắc nghiệm) Các nghiệm sau đây, nghiệm nào là nghiệm của hệ phương trình A.(5;7) x  y  3  3x  4 y  2 B.(10;7) C.(7;10) 10 D.(7;5) Đáp số: Phương án B 2.1.3. Bài tập áp dụng 4 x  3 y  9 Bài 1. Giải hệ phương trình sau:  2 x  y  5 (1) (2) Lời giải: Ta nhận thấy phương trình (2) biểu diễn nghiệm đơn giản nhất 4 x  3 y  9 và có hệ phương tình tương đương sau:   y  5  2x 12  x   4 x  3(5  2 x)  9 10 x  15  9  5 Theo quy tắc thế ta được:     y  5  2x  y  5  2x y  1  5   12 1  Vậy nghiệm của hệ phương trình là: ( x; y )   ;  .  5 5  y  2 z  3 Bài 2. Giải hệ phương trình sau:  3 y  2 z  7 (1) (2) Lời giải: Ta nhận thấy phương trình (1) biểu diễn nghiệm đơn giản nhất  y  2z  3 và có hệ phương trình tương đương sau:  3 y  2 z  7 5  y    y  2z  3  y  2z  3   2 Theo quy tắc thế ta được:    3(2 z  3)  2z   7  8z  2 z  1   4  5 1 Vậy nghiệm của hệ phương trình là: ( y; z )    ;  .  2 4 2 y  2 z  3 Bài 3. Giải hệ phương trình sau:   2y  z  2 (1) (2) Lời giải: Ta nhận thấy phương trình (2) biểu diễn nghiệm đơn giản nhất 2 y  2 z  3 và có hệ phương trình tương đương sau:  z  2  2 y 11 1  y   2 y  2(2  2 y )  3   6 y  1  6 Theo quy tắc thế ta được:    z  2  2 y z  2  2y z  5  3  1 5 Vậy nghiệm của hệ phương trình là:  y;z    ;  .  6 3 2 y  3 z  1 Bài 4. Giải hệ phương trình sau:   y  3z  1 (1) (2) Lời giải: Ta nhận thấy phương trình (2) biểu diễn nghiệm đơn giản nhất 2 y  3 z  1 và có hệ phương trình tương đương sau:   y  3z  1 2(3z  1)  3z  1  3z  3  z  1 Theo quy tắc thế ta được:     y  3 z  1  y  3 z  1  y  2 Vậy nghiện của hệ phương trình là:  y; z    2; 1. Tương tự ta giải các bài toán sau: 3x  2 y  11 Bài 5. Giải hệ phương trình  4 x  5 y  3 Đáp án:  x; y    7;5. 5 x  2 y  9 Bài 6. Giải hệ phương trình  4 x  3 y  2 Đáp án:  x; y    1;2 . 2 x  3 y  13 Bài 7. Giải hệ phương trình  7 x  4 y  2 Đáp án:  x; y    2; 3. 2.2. Phƣơng pháp cộng đại số 2.2.1. Phƣơng pháp giải Cách giải Bƣớc 1: Nhân hai vế của hai phương trình với số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau . 12 Bƣớc 2: Sử dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn). Bƣớc 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho. Ngoài ra ta có thể sử dụng phương pháp khử ẩn số hay phương pháp Gauss trong Đại số tuyến tính để giải các hệ phương trình. Phương pháp này tương đương với phương pháp cộng đại số ở phổ thông. 2.2.2. Một số ví dụ 3x  y  3 Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau:  2 x  y  7 (1) (2) Lời giải: Cộng phương trình (1) với phương trình (2) ta có: 3x  y  2 x  y  3  7  5x  10 Theo quy tắc cộng đại số hệ phương trình đã cho tương đương với hệ x  2 5 x  10  phương trình sau:   9 2 x  y  7  y  2  9 Vậy hệ có nghiệm duy nhất là: ( x; y )   2;   2 3x  2 y  4 Ví dụ 2. Giải hệ phương trình sau:  2 x  y  5 (1) (2) Lời giải: Ta thấy rằng: khử biến y bằng cách nhân 2 vào hai vế phương trình (2), sau đó cộng từng vế của hai phương trình ta sẽ được hệ phương trình tương đương với hệ phương trình sau: 3x  2 y  4 7 x  14 x  2    4 x  2 y  10 2 x  y  5 y 1 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ( x; y)  (2;1) Ví dụ 3. (Phƣơng pháp trắc nghiệm) Các nghiệm sau đây, nghiệm nào là x  3y  5  0 nghiệm của hệ phương trình:  2 y  4  0 13 B.(  1;  2) A.(1;2) D.(  10;  5) C.(10;5) Đáp số: Phương án A 2.2.3. Bài tập áp dụng x  2 y  0 Bài 1. Giải hệ phương trình sau  2 x  4 y  1 Lời giải: Nhân (1) (2) 1 vào hai vế của phương trình (2), sau đó cộng từng vế 2 của hai phương trình ta sẽ được hệ phương trình tương đương sau: x  2 y  0   1 (vô lý) 0 y    2 Vậy hệ phương trình vô số nghiệm. 4 x  y  2  Bài 2. Giải hệ phương trình sau 2 x  y  3z  18 2 x  y  z  8  (1) (2) (3) Lời giải: Lấy (1)  2(2)  (2) và lấy (1)  2(3)  (3) ta sẽ được hệ 4 x  y  2  phương trình tương đương sau  y  6 z  34  y  2 z  14  (1) (2) (3) 1  x    4 x  y  2 2   Lấy (2)  (3) (3) ta được hệ sau:  y  6 z  34   y  4   z  5 4 z  20    1 Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x   , y  4 , z  5 . 2 4 x  2 y  z  3  Bài 3. Giải hệ phương trình sau 3x  y  6 2 x  y  1  Lời giải: Nhân 1 vào cả hai vế của (1) ta được: 4 14 (1) (2) (3) 1 1 3  x  y  z   2 4 4  3x  y  6 2 x  y  1   (1) (2) (3) 1 1 Lấy (1)  (2)  (2) và (1)  (3)  (3) ta sẽ được hệ phương trình tương 2 2 đương sau: 1 1 3  x  y  z   2 4 4 x  5  1 5  1  y  z     y  9  4 4  6 z  1  1 1  z  4 4 Vậy hệ phương trình có nghiệm là: x  5 , y  9 , z  1 .  x  5 y  7 z  7  Bài 4. Giải hệ phương trình sau 4 x  y  9 z  9 5 x  y  z  9  (1) (2) (3) Lời giải: Nhân 4(1)  (2)  (2) và nhân 5(1)  (3)  (3) ta sẽ được hệ  x  5 y  7 z  7  tương đương sau: 19 y  19 z  19 26 y  27 z  19  nhân (1) (2) (3) 1 (2)  (2) và nhân 26(1)  (3)  (3) ta sẽ được hệ phương trình 19  x  5 y  7 z  7  x   16   tương đương như sau:   y  z  1   y  8  z  7 z7   Vậy hệ phương trình có nghiệm là : x  16 , y  8 , z  7 . 2 x  3 y  z  8  Bài 5. Giải hệ phương trình sau:  x  4 y  2 z  4 3x  y  2 z  9  (1) (2) (3) Lời giải: Đổi phương trình(1) thành (2) và ngược lại ta có hệ : 15  x  4 y  2 z  4  2 x  3 y  z  8 3x  y  2 z  9  (1) (2) (3) Nhân 2(1)  (2)  (2) và nhân 3(1)  (3)  (3) ta sẽ được hệ phương  x  4 y  2 z  4  trình tương đương như sau:  5 y  5z  0  11y  8 z  3  Nhân (1) (2) (3) 1 (2)  (2) và nhân 11(2)  (3)  (3) ta được hệ tương đương sau: 5  x  4 y  2 z  4  x  2   y  z  0   y  1   z  1 3z  3   Vậy hệ phương trình có nghiệm là: x  2 , y  1 , z  1.  x  y  3z  2  Bài 6. Giải hệ phương trình sau: 2 x  y  z  3   2 y  2z  2  (1) (2) (3) Lời giải: Nhân 2(1)  (2)  (2) ta sẽ được hệ phương trình tương đương sau:  x  y  3z  2   3 y  5 z  1   2 y  2z  2  (1) (2) (3) Đổi phương trình (2) thành phương trình (3) và ngược lại thì ta có hệ:  x  y  3z  2    2 y  2z  2  3 y  5 z  1  Nhân (1) (2) (3) 1 (2)  (2) và sau đó nhân 3(2)  (3)  (3) ta được hệ phương 2  x  y  3z  2  x  3   trình tương đương như sau:   y  z  1   y  2  z  1 2z  2   16