Tài liệu Một số phương pháp giải hệ phương trình ở bậc trung học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC ---------- ĐẶNG THỊ VUI MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH Ở BẬC TRUNG HỌC KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC SƠN LA, NĂM 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC ---------- MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH Ở BẬC TRUNG HỌC Thuộc nhóm chuyên ngành: Khoa học tự nhiên KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Sinh viên: Đặng Thị Vui Lớp: K55 ĐHSP Toán Ngƣời hƣớng dẫn: Th.S Nguyễn Thị Hƣơng Lan SƠN LA, NĂM 2018 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khóa luận này em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với GVC.ThS. Nguyễn Thị Hương Lan – người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em trong quá trình thực hiện khóa luận. Em xin trân trọng cảm ơn: Các thầy cô trong Khoa Toán – Lý – Tin, Trung tâm thư viện Trường Đại Học Tây Bắc, đã tạo điều kiện và nhiệt tình giúp đỡ em trong quá trình thực hiện khóa luận. Xin chân thành cảm ơn các bạn lớp K55 ĐHSP Toán đã động viên, giúp đỡ em trong quá trình học tập và hoàn thiện khóa luận. Em xin chân thành cảm ơn! Sơn La, tháng 5 năm 2018 Người thực hiện khóa luận Đặng Thị Vui MỤC LỤC MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 1. Lý do chọn khóa luận ..................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu ...................................................................................... 2 3. Đối tƣợng nghiên cứu ..................................................................................... 2 4. Nhiệm vụ nghiên cứu ..................................................................................... 2 5. Phƣơng pháp nghiên cứu ................................................................................ 3 6. Ý nghĩa lý luận và thực tiễn ............................................................................ 3 7. Bố cục của khóa luận...................................................................................... 3 CHƢƠNG I: MỘT SỐ HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐƠN GIẢN THƢỜNG GẶP ... 5 1.1. Hê ̣ hai phƣơng triǹ h bâ ̣c nhấ t hai ẩ n ............................................................ 5 1.1.1. Đinh ̣ nghiã .............................................................................................. 5 1.1.2. Phƣơng pháp giải .................................................................................... 5 1.1.3. Ví dụ ....................................................................................................... 5 1.1.4. Bài tập .................................................................................................... 6 1.2. Hệ ba phƣơng trình bậc nhất ba ẩn .............................................................. 6 1.2.1. Định nghĩa .............................................................................................. 6 1.2.2. Phƣơng pháp giải .................................................................................... 6 1.2.3. Ví dụ ....................................................................................................... 7 1.2.4. Bài tập .................................................................................................... 8 1.3. Hệ phƣơng trình đối xứng loại I .................................................................. 8 1.3.1. Đinh ̣ nghiã .............................................................................................. 8 1.3.2. Phƣơng pháp giải .................................................................................... 9 1.3.3. Ví dụ ....................................................................................................... 9 1.3.4. Bài tập .................................................................................................. 11 1.4. Hê ̣ phƣơng trình đối xứng loại II ............................................................... 11 1.4.1. Đinh ̣ nghiã ............................................................................................ 11 1.4.2. Phƣơng pháp giải .................................................................................. 12 1.4.3. Ví dụ ..................................................................................................... 12 1.4.4. Bài tập .................................................................................................. 13 1.5. Hệ phƣơng trình đẳng cấp bậc hai ............................................................. 13 1.5.1. Định nghĩa ............................................................................................ 14 1.5.2. Phƣơng pháp giải .................................................................................. 14 1.5.3. Ví dụ ..................................................................................................... 14 1.5.4. Bài tập .................................................................................................. 17 1.6. Hệ phƣơng trình dạng hoán vị vòng quanh ................................................ 17 1.6.1. Định nghĩa ............................................................................................ 17 1.6.2. Phƣơng pháp giải .................................................................................. 17 1.6.3. Ví dụ ..................................................................................................... 18 1.6.4. Bài tập .................................................................................................. 20 1.7. Kết luận chƣơng I ..................................................................................... 20 CHƢƠNG II. MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH Ở TRƢỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG .......................................................... 21 2.1. Phƣơng pháp biế n đổ i tƣơng đƣơng ........................................................... 21 2.1.1. Phƣơng pháp giải .................................................................................. 21 2.1.2. Ví dụ .................................................................................................... 21 2.1.2.1. Ví dụ Dạng 1 ................................................................................... 21 2.1.2.2. Ví dụ Dạng 2 ................................................................................... 26 2.1.3. Bài tập .................................................................................................. 31 2.1.3.1. Bài tập Dạng 1 ................................................................................ 31 2.1.3.2. Bài tập Dạng 2 ................................................................................ 31 2.2. Phƣơng pháp đă ̣t ẩ n phu ̣ ............................................................................ 32 2.2.1. Phƣơng pháp giải .................................................................................. 32 2.2.2. Ví dụ ..................................................................................................... 32 2.2.3. Bài tập .................................................................................................. 37 2.3. Phƣơng pháp đánh giá ............................................................................... 38 2.3.1. Phƣơng pháp giải .................................................................................. 38 2.3.2. Ví dụ ..................................................................................................... 38 2.3.3. Bài tập .................................................................................................. 42 2.4. Phƣơng pháp cộng đại số ........................................................................... 42 2.4.1. Phƣơng pháp giải .................................................................................. 42 2.4.2. Ví dụ ..................................................................................................... 43 2.4.3. Bài tập .................................................................................................. 46 2.5. Phƣơng pháp đƣa về dạng tích ................................................................... 46 2.5.1. Phƣơng pháp giải ................................................................................. 46 2.5.2. Ví dụ ..................................................................................................... 46 2.5.3. Bài tập .................................................................................................. 49 2.6. Phƣơng pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số ........................................ 49 2.6.1. Phƣơng pháp giải .................................................................................. 50 2.6.2. Ví dụ ..................................................................................................... 50 2.6.3. Bài tập .................................................................................................. 52 2.7. Kết luận chƣơng II .................................................................................. 53 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................. 55 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VIẾT TẮT BBT : Bảng biến thiên ĐK : Điều kiện ĐHSP : Đại học sƣ phạm PT : Phƣơng trình TM : Thỏa mãn THPT : Trung học Phổ thông TH : Trƣờng hợp THCS : Trung học Cơ sở VT : Vế trái VP : Vế phải MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn khóa luận Toán học là một môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Toán học là môn học cơ bản, có vai trò quan trọng trong đời sống và đƣợc ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn. Đây là một môn học tƣơng đối khó, mang tính chất tƣ duy cao, đòi hỏi ngƣời học phải chịu khó tìm tòi, khám phá và say mê nghiên cứu. Kiến thức về phƣơng trình, hệ phƣơng trình trong chƣơng trình toán ở bậc trung học là một nội dung rất quan trọng vì nó là nền tảng để giúp học sinh tiếp cận đến các nội dung khác trong chƣơng trình toán học, vật lý học, hóa học, sinh học của bậc học này. Trong chƣơng trình toán của bậc trung học, bắt đầu từ lớp 9 học sinh đƣợc học về hệ phƣơng trình, bƣớc đầu là hệ phƣơng trình bậc nhất hai ẩn. Cùng đó học sinh đƣợc học các quy tắc biến đổi tƣơng đƣơng một hệ phƣơng trình là “ Quy tắc thế”, “Quy tắc cộng đại số”. Và đƣợc tìm hiểu thêm các phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình ở bậc THPT. Các hệ phƣơng trình có các cách giải tùy thuộc vào đặc điểm riêng của hệ, ta gọi các hệ này là hệ phƣơng trình không mẫu mực. Việc giải các hệ phƣơng trình không mẫu mực đòi hỏi học sinh phải nắm rất vững các phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng một hệ phƣơng trình, đặc biệt phải rất tinh ý phát hiện ra những đặc điểm rất riêng của từng hệ để từ đó có những cách biển đổi hợp lý, nhờ đó mới giải đƣợc hệ. Mặc dù trong chƣơng trình toán ở bậc trung học đã trang bị cho học sinh khá đầy đủ kiến thức về phƣơng trình, hệ phƣơng trình đại số bậc nhỏ hơn hoặc bằng 3 cùng các phƣơng pháp giải. Tuy nhiên, các phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình không mẫu mực hầu nhƣ không đƣợc đề cập đến trong sách giáo khoa và ngay cả hệ thống sách tham khảo dành cho học sinh trung học. Tài liệu tham khảo đối với các giáo viên phụ trách bồi dƣỡng học sinh giỏi viết riêng cho chuyên đề này và thƣờng lƣớt qua bằng một số ví dụ minh họa chƣa làm rõ đƣợc những phƣơng pháp để giải các hệ phƣơng trình không mẫu mực. Trong khi đó, 1 việc giải hệ phƣơng trình không mẫu mực đòi hỏi yêu cầu cao ở học sinh. Chính vì vậy, trong các kỳ thi học sinh giỏi môn toán, kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 hay các kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng luôn xuất hiện các câu hỏi giải hệ phƣơng trình thuộc dạng hệ phƣơng trình không mẫu mực nhƣng đa phần các em đều sợ và bỏ qua, thậm chí không đọc đề khi gặp những bài toán liên quan đến hệ phƣơng trình. Việc tìm ra các phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình không mẫu mực phục vụ rất nhiều cho các em học sinh yêu thích môn toán. Xuất phát từ những lý do mang tính lý luận và thực tiễn trên mà tôi chọn khóa luận: “Một số phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình ở bậc trung học”. 2. Mục đích nghiên cứu Khóa luận này nhằm mục đích tập hợp, sắp xếp, hệ thống một số phƣơng pháp thƣờng đƣợc sử dụng để giải các hệ phƣơng trình không mẫu mực thƣờng gặp ở các kỳ thi học sinh giỏi, kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 hay kỳ tuyển sinh đại học, cao đẳng,... 3. Đối tƣợng nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu của khóa luận này là hệ thống một số phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình không mẫu mực, học sinh cần lƣu ý khi tiến hành giải hệ phƣơng trình loại này. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Chỉ ra đƣợc kiến thức về các hệ phƣơng trình không mẫu mực có liên quan mà học sinh cần nắm vững trƣớc khi tiếp cận với các phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình không mẫu mực. Đƣa ra hệ thống các phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình không mẫu mực có sự sắp xếp hợp lý, logic về mặt tƣ duy kiến thức bộ môn. Xây dựng đƣợc một số dạng bài tập phù hợp theo từng phƣơng pháp cụ thể. 2 5. Phƣơng pháp nghiên cứu Để hoàn thiện khóa luận này tôi đã sử dụng các phƣơng pháp nghiên cứu: Phân tích, tổng hợp, khai thác để tổng quan các công trình khoa học về các vấn đề thuộc phạm vi nghiên cứu của khóa luận, hệ thống lại một số phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình không mẫu mực thƣờng gặp ở bậc trung học. Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo chuyên đề hệ phƣơng trình. Tham khảo từ internet. Tham khảo ý kiến giảng viên hƣớng dẫn. 6. Ý nghĩa lý luận và thực tiễn Về lý luận: Đào sâu tìm hiểu một số phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình để có một kết quả nhanh và hiệu quả nhất. Về thực tiễn: Giúp học sinh trung học học tập tốt chuyên đề hệ phƣơng trình không mẫu mực. Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phƣơng pháp cơ bản và vận dụng để giải bài tập liên quan đến hệ phƣơng trình không mẫu mực. Gây hứng thú cho học sinh khi giải các bài tập hệ phƣơng trình không mẫu mực trong sách giáo khoa, sách tham khảo và các đề thi. 7. Bố cục của khóa luận Bố cục của khóa luận bao gồm:  Mục lục  Phần mở đầu  Phần nội dung có 2 chƣơng: Chƣơng I: Một số hệ phƣơng trình đơn giản thƣờng gặp Chƣơng II: Một số phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình ở trƣờng THPT  Phần kết luận 3  Tài liệu tham khảo. 4 CHƢƠNG I: MỘT SỐ HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐƠN GIẢN THƢỜNG GẶP 1.1. Hê ̣hai phƣơng trin ̀ h bâ ̣c nhấ t hai ẩ n 1.1.1. Đinh ̣ nghĩa Hê ̣ hai phƣơng triǹ h bâ ̣c nhấ t hai ẩ n là hê ̣ có da ̣ng: ax  by  c  a 'x  b' y  c' (1) (2) trong đó a, b, c, a’, b’, c’ là các số thực cho trƣớc, a 2  b2  0 và a '2  b'2  0 . Nghiê ̣m của hê ̣ là că ̣p số  x; y  thoả mãn đồng thời hai phƣơng trình (1) và (2) của hệ. Giải hệ tức là tìm tất cả các nghiệm của hệ . 1.1.2. Phƣơng pháp giải Trong chƣơng triǹ h toán trung ho ̣c cơ sở để giải hê ̣ hai phƣơng triǹ h bâ ̣c nhấ t hai ẩ n ta thƣờng sƣ̉ du ̣ng hai phƣơng pháp: - Phƣơng pháp thế nhờ sƣ̉ du ̣ng quy tắ c thế ; - Phƣơng pháp cô ̣ng đa ̣i số nhờ sƣ̉ du ̣ng quy tắ c cô ̣ng đa ̣i số . Để minh hoa ̣ cho hai phƣơng pháp này ta xét ví du ̣ sau: 1.1.3. Ví dụ Giải hệ phƣơng triǹ h: 3x  2y  4  2x  y  5 (1) (2) Lời giải: Đối với hệ phƣơng trình bậc nhất hai ẩn này ta sử dụng phƣơng pháp thế, rút y theo x để giải. - Tƣ̀ phƣơng triǹ h (2) của hệ , rút y theo x ta có y  5  2x . Thay vào 5 phƣơng triǹ h (1) của hệ ta đƣợc: 3x  2 5  2x   4 hay 7x  14 . Theo quy tắ c thế hê ̣ phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với hê ̣ phƣơng trình sau: 7x  14 x  2 .   y  5  2x y  1   Vâ ̣y hê ̣ có nghiệm duy nhất là:  x; y    2; 1. 1.1.4. Bài tập Giải các hệ phƣơng trình sau: 4x  3y  9 1)  2x  y  5  12 1  ĐS:  x; y    ;   5 5 3x  4y  5 2)  4x  2y  2 9 7 ĐS:  x; y    ;   11 11  2x  3y  1 3)   x  2y  3  11 5  ĐS:  x; y    ;   7 7 3x  5y  6 4)   x  4y  7  11 15  ĐS:  x; y     ;  .  7 7 1.2. Hệ ba phƣơng trình bậc nhất ba ẩn 1.2.1. Định nghĩa a1x  b1 y  c1z  d1  Hệ ba phƣơng trình bậc nhất ba ẩn có dạng: a 2 x  b 2 y  c 2 z  d 2 (3) a x  b y  c z  d 3 3 3  3 Trong đó x, y,z là ba ẩn; các chữ số còn lại là các hệ số. Mỗi bộ ba số  x ; y ;z  nghiệm đúng cả ba phƣơng trình của hệ đƣợc gọi là một nghiệm của 0 0 0 hệ phƣơng trình (3). 1.2.2. Phƣơng pháp giải 6 - Với hệ phƣơng trình này ta có thể giải bằng nhiều phƣơng pháp khác nhau nhƣ: Phƣơng pháp thế, phƣơng pháp cộng, sử dụng máy tính cầm tay, sử dụng phƣơng pháp tính định thức, phƣơng pháp khử Gauss,... - Mọi hệ ba phƣơng trình bậc nhất ba ẩn có D  0 đều biến đổi đƣợc về dạng tam giác bằng phƣơng pháp khử dần ẩn số ( hay còn gọi là phƣơng pháp khử Gauss). 1.2.3. Ví dụ Giải hệ các phƣơng trình sau:  x  3y  2z  1  3  1)  4y  3z  2  2z  3  (1) (2) (I) (3) Lời giải: Ta thấy hệ phƣơng trình (I) có dạng đặc biệt, đó là hệ phƣơng trình dạng tam giác. Việc giải hệ phƣơng trình này có khá đơn giản, từ phƣơng trình (3) ta tính đƣợc z, thay z vào phƣơng trình (2) ta tính đƣợc y, sau đó thay y và z vào phƣơng trình (1) ta đƣợc x . 17  x   4  3  Ta dễ dàng giải ra đƣợc  y   . 4  3   z  2  17 3 3  Vậy hệ phƣơng trình đã cho có nghiệm là:  x; y;z    ;  ;  .  4 4 2 1  x  2y  2z   2  2) 2x  3y  5z  2  4x  7y  z  4  1  2  3 (II) 7 Lời giải: Nhân hai vế của phƣơng trình thứ nhất của hệ (II) với -2 rồi cộng vào phƣơng trình thứ hai theo từng vế tƣơng ứng, nhân hai vế của phƣơng trình thứ nhất với 4 rồi cộng vào phƣơng trình thứ ba theo từng vế tƣơng ứng, ta đƣợc hệ phƣơng trình( đã khử x ở hai phƣơng trình cuối). 1  x  2y  2z   2    y  z  3 . Ta dễ dàng giải ra đƣợc  y  9z  2   7  x   2  5  . y  2  1  z    2  7 5 1 Vậy nghiệm của hệ phƣơng trình là:  x; y;z     ; ;   .  2 2 2 1.2.4. Bài tập Giải các hệ phƣơng trình sau: x  y  z  4  1) 2x  y  3z  19 4x  y  z  3  ĐS:  x; y;z   1; 2; 5  x  3y  2z  8  2) 2x  2y  z  6 3x  y  z  6  ĐS:  x; y;z   1;1;2   x  3y  2z  7  3) 2x  4y  3z  8  3x  y  z  5   11 5 1  ĐS:  x; y;z    ; ;   .  4 2 7 1.3. Hệ phƣơng trình đối xứng loại I 1.3.1. Đinh ̣ nghiã Hệ đối xứng loại I là hệ chứa 2 ẩn x, y mà khi ta thay đổi vai trò x, y cho nhau thì hệ phƣơng trình không thay đổi. 8 f  x , y   0 , trong đó Hệ phƣơng trình đối xứng loại I có dạng:  g x , y  0    f  x , y   f  y, x  .  g x , y  g y, x      1.3.2. Phƣơng pháp giải Bƣớc 1: Đặt điều kiện (nếu có). Bƣớc 2: Đặt S  x  y,P  xy với điều kiện của S,P và S2  4P . Bƣớc 3: Thay x, y bởi S,P vào hệ phƣơng trình. Giải hệ tìm S,P rồi dùng Vi-ét đảo tìm x, y . Chú ý: - Cần nhớ: x 2  y2  S2 – 2P,x 3  y 3 S 3 – 3SP . - Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ u  u  x  , v  v  x  và S  u  v, P  uv. - Có những hệ phƣơng trình trở thành đối xứng loại I sau khi đặt ẩn phụ. 1.3.3. Ví dụ Giải các hê ̣ phƣơng trình sau:  x  y  xy  11 1)  2 2  x  y  3  x  y   28 Lời giải: Đặt S  x  y và P  xy , khi đó hê ̣ đã cho có da ̣ng: (1) S  P  11  2 S  2P  3S  28 (2) Tƣ̀ (1) suy ra P  11  S , thay vào phƣơng triǹ h (2) ta đƣơ ̣c: S2  2 11  S  3S  28 hay S2  5S  50  0. Phƣơng trình này có hai nghiê ̣m phân biê ̣t: S  5; S  10. 9 * Với S  5 thì P  6, nên x, y là các nghiệm của phƣơng trình bậc hai: t  2 . t 2  5t  6  0   t  2  t  3  0   t  3  Suy ra  x; y    2; 3 hoă ̣c  x; y    3; 2 . * Với S  10 thì P  21, nên x, y là các nghiệm của phƣơng trình bậc hai:  t  3 . t  10t  21  0   t  3 t  7   0   t   7  Suy ra  x; y    3;  7  hoă ̣c  x; y    7;  3. Vâ ̣y hê ̣ phƣơng triǹ h đã cho có 4 nghiê ̣m là:  2; 3; 3; 2;  3;  7 ;  7;  3.  x  xy  y  5 2)  2 2 x  y  5 (I) Lời giải: Nhận thấy hệ đã cho là hệ phƣơng trình đối xứng loại I và khi ta thay x bởi y và thay y bởi x thì hệ đã cho không thay đổi nên ta giải hệ phƣơng trình (I) nhƣ sau:  x  y  xy  5  x  y  xy  5  Ta có:  I    2 .  2 2  x  2xy  y  2xy  5  x  y   2xy  5 S  x  y Đặt:  khi đó hệ trở thành: P  xy  S  P  5  2 S  2P  5 (1) (2) Từ phƣơng trình (1): S  P  5  P  5  S thay vào phƣơng trình (2) ta đƣợc: S2  2  5  S  5  S2  2S  15  0 . Ta có: S'  12  1.(15)  16  0, S'  4 S1  5; S2  3 . + S1  5 thay vào biểu thức P1  5  S  5  (5)  10 . 10 + S2  3 thay vào biểu thức P2  5  S  5  3  2 . S  5 * Với  1 ta thấy: S2  4P  25  40  15  0 . P1  10 Suy ra hệ đã cho vô nghiệm. S  3 x  y  3 * Với  2 ta thấy: S2  4P  9  8  1  0   .  x.y  2 P2  2 X  1 Suy ra x, y là nghiệm của hệ phƣơng trình: X 2  3X  2  0   . X  2  Vậy hệ phƣơng trình đã cho có 2 nghiệm là: (1;2) ;  2;1 . 1.3.4. Bài tập Giải các hệ phƣơng trình sau:  x  y  1  2xy 1)  2 2 x  y  1 ĐS:  x; y    0;1 ; 1;0  (x, y  ) x  y  2 2)  3 3  x  y  26 ĐS:  x; y    1;3 ;  3; 1  x 2  xy  y 2  7 3)  x  y  5 ĐS:  x; y    2;3 ;  3;2  . 1.4. Hê ̣phƣơng trin ̀ h đố i xƣ́ng loa ̣i II 1.4.1. Đinh ̣ nghiã Mô ̣t hê ̣ phƣơng trình hai ẩ n x, y đƣơ ̣c go ̣i là hê ̣ phƣơng trình đố i xƣ́ng loa ̣i II nế u trong hê ̣ phƣơng triǹ h , khi đổ i vai trò của x và y cho nhau thì phƣơng trình này trở thành phƣơng trình kia. f  x , y   0 . Hệ phƣơng trình đối xứng loại II có dạng:  f y, x  0    11 1.4.2. Phƣơng pháp giải - Trƣ̀ các vế tƣơng ƣ́ng của hai phƣơng triǹ h thì nhâ ̣n đƣơ ̣c phƣơng triǹ h x  y  0 tích dạng  x  y .f  x, y   0   . f x, y  0    - Tƣ̀ đó hê ̣ đã cho tƣơng đƣơng với hai hê ̣ đơn giản hơn có thể giải đƣơ ̣c. 1.4.3. Ví dụ Giải các hê ̣ phƣơng triǹ h sau:  x 3  1  2y (1) 1)  3  y  1  2x (2) Lời giải: Trƣ̀ tƣ̀ng vế của phƣơng triǹ h (1) cho phƣơng triǹ h (2) ta đƣơ ̣c: x 3  y3  2  y  x    x  y   x 2  xy  y 2  2   0 2 y 3   x  y  0 ( x  xy  y  2   x    y 2  2  0 x, y) 2 4   y  x. 2 2 Thay y  x vào phƣơng trình (1) ta đƣơ ̣c: x  1 x 3  2x  1  0   x  1  x 2  x  1  0    x  1  5  2 Vâ ̣y hê ̣ phƣơng trình đã cho có 3 nghiê ̣m là :  1  5 1  5   1  5 1  5  ; ; ;  . 2 2 2 2    1; 1;   x 2  2x  y 2)  2  y  2y  x (I) Lời giải: Trừ từng vế hai phƣơng trình trong hệ, ta đƣợc: 12 ( x  y)( x  y)  2( x  y)  ( x  y)  ( x  y)( x  y  1)  0  y0 .  x  y  1  0  Do đó, hệ phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với:  y  0 y  1  0 hoặc  Ib    2 . (Ia)   2  x  2x  y  x  2y  y Giải hệ  Ia  ta đƣợc nghiệm  0;0 ; 3;3  . 1 5 1 5  1 5 1  5  Giải hệ  Ib  ta đƣợc nghiệm  ; ; ;  . 2 2 2 2     Vậy hệ phƣơng trình có 4 nghiệm là: 1 5 1 5  1 5 1 5  ; ; ;  . 2 2 2 2      0;0  ;  3;3 ;  Nhận xét: Nếu thay đồng thời x bởi y và y bởi x thì phương trình thứ nhất sẽ trở thành phương trình thứ hai và ngược lại. 1.4.4. Bài tập Giải các hệ phƣơng trình sau: 3x  2y 1)  2  y  3y  2x ĐS:  x; y    0;0  ;  5;5 ;  1;2 ;  2; 1 2x  3  4  y  4 2)   2y  3  4  x  4  11 11  ĐS:  x; y    3;3 ;  ;  9 9 2x 2  xy  3x 3)  2 2y  xy  3y  3 3  ĐS:  x; y    0;0  ; 1;1 ;  0;  ;  ;0  .  2 2  1.5. Hệ phƣơng trình đẳng cấp bậc hai 13