Tài liệu Một số phương pháp giải bài toán cực trị của hàm số

Khoá luận tốt nghiệp Trần Đức Hải _K30D_Toán Lời cảm ơn Sau một thời gian miệt mài nghiên cứu cùng với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của thầy giáo Ths Phạm Lương Bằng , khóa luận của em đến nay đã hoàn thành . Qua đây em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy Phạm Lương Bằng người đã trực tiếp hướng dẫn , chỉ bảo và đóng góp nhiều ý kiến quý báu trong thời gian em thực hiện khoá luận này . Em xin chân thành cảm ơn các thầy giáo , cô giáo trong khoa toán đã tạo điều kiện tốt nhất cho em trong thời gian em làm khoá luận . Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu và năng lực của bản thân còn nhiều hạn chế nên không thể tránh khỏi những thiếu sót . Em rất mong nhận được sự giúp đỡ, đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn sinh viên để khoá luận của em được hoàn thiện hơn . Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội ,ngày 10 tháng 5 năm 2008 Sinh viên Trần Đức Hải - 1 - Khoá luận tốt nghiệp Trần Đức Hải _K30D_Toán Lời cam đoan Khoá luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập , nghiên cứu ở bậc đại học .Bên cạnh đó cũng được sự quan tâm , tạo điều kiện của thầy cô giáo trong khoa toán , đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo Ths Phạm Lương Bằng . Vì vậy em xin khẳng định kết quả của đề tài : “Một số phương pháp giải toán cực trị của hàm số ” không có sự trùng lặp với kết quả của đề tài khác . Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2008 Sinh viên Trần Đức Hải - 2 - Khoá luận tốt nghiệp Trần Đức Hải _K30D_Toán Mục lục Trang Mở đầu 1 Chương 1:Lý thuyết chung về bài toán cực trị của hàm số 3 1.1) Định nghĩa cực trị của hàm số 3 1.2) Các tính chất 4 Chương 2: Sử dụng tính đơn điệu trong việc giải bài toán cực trị 7 của hàm số. 2.1) Cơ sở lý thuyết 7 2.2) Sử dụng tính đơn điệu để tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất 8 của hàm số trên miền D 2.2.1) Các bài toán tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của 9 hàm số không có tham số 2.2.2 Các bài toán tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm 14 số có tham số Chương 3: Sử dụng định lý Lagrange trong việc giải bài toán cực 18 trị của hàm số. 3.1) Cơ sở lý thuyết 18 3.2) Phương pháp chung 19 3.3) Bài tập 19 Chương 4: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopxki trong 23 việc giải bài toán cực trị của hàm số. 4.1) Bất đẳng thức Cauchy 23 4.2) Bất đẳng thức Bunhiacopxki 32 Chương 5:Phương pháp hàm lồi trong việc giải bài toán cực trị 41 của hàm số 5.1 :Tập lồi và hàm lồi - 3 - 41 Khoá luận tốt nghiệp Trần Đức Hải _K30D_Toán 5.2) Bất đẳng thức Jexen 42 5.3)Bất đẳng thức Karamata 43 5.4) áp dụng hàm lồi tìm giá trị lớnnhất,nhỏ nhất của hàm 44 5.4.1) Sử dụng bất đẳng thức Jenxen 44 5.4.2) Sử dụng bất đẳng thức Karamata 53 số Chương 6: Giải bài toán cực trị của hàm số bằng miền giá trị 57 6.1 Phương pháp chung 57 6.2 Bài tập vận dụng 57 Chương 7 : Giải bài toán cực trị của hàm số bằng phương pháp 64 hình học 7.1 Cơ sở lý thuyết 64 7.2 Bài tập vận dụng 64 Kết luận 73 Tài liệu tham khảo 74 - 4 - Khoá luận tốt nghiệp Trần Đức Hải _K30D_Toán Mở đầu Trong chương trình toán phổ thông cực trị là phần hấp dẫn , lôi cuốn tất cả những người học toán và làm toán .Các bài toán này rất phong phú và đa dạng . Vì vậy, các bài toán cực trị của hàm số thường xuyên có mặt trong các kì thi phổ thông trung học cũng như trong các kì thi học sinh giỏi và các đề thi đại học , cao đẳng . Để giải quyết nó đòi hỏi người học toán và làm toán phải linh hoạt và vận dụng một cách hợp lý trong từng bài toán . Tất nhiên đứng trước một bài toán cực trị thì mỗi người đều có một hướng xuất phát riêng của mình . Nói như vậy có nghĩa là có rất nhiều phương pháp để đi đến kết quả cuối cùng của bài toán cực trị. Điều quan trọng là ta phải lựa chọn phương pháp nào cho lời giải tối ưu của bài toán . Thật là khó nhưng cũng thú vị nếu ta tìm được đường lối đúng đắn để giải quyết nó . Với những lý do trên , sự đam mê của bản thân cùng sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy thạc sĩ Phạm Lương Bằng tôi mạnh dạn thực hịên bài khoá luận của mình với tựa đề: “Một số phương pháp giải bài toán cực trị của hàm số”. Từ đó giúp những người học toán và làm toán có thêm công cụ để giải quyết các bài toán cực trị . Khoá luận gồm 7 chương Chương 1:Lý thuyết chung về bài toán cực trị của hàm số . Chương 2: Sử dụng tính đơn điệu trong việc giải bài toán cực trị của hàm số. Chương 3: Sử dụng định lý Lagrange trong việc giải bài toán cực trị của hàm số. Chương 4: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopxki trong việc giải bài toán cực trị của hàm số. Chương 5:Phương pháp hàm lồi trong việc giải bài toán cực trị của hàm số. - 5 - Khoá luận tốt nghiệp Trần Đức Hải _K30D_Toán Chương 6: Giải bài toán cực trị của hàm số bằng miền giá trị . Chương 7 : Giải bài toán cực trị của hàm số bằng phương pháp hình học . Trong các chương 2,3,4,5,6,7 thì sau phần trình bày lý thuyết là một số bài tập đưa ra nhằm minh hoạ cho lý thuyết đã đưa ra ở trên . Do trình độ và kinh nghiệm còn hạn chế nên bài luận văn này còn nhiều hạn chế , khó tránh khỏi những sai sót . Em rất mong được sự góp ý của các thầy cô trong khoa toán và các bạn sinh viên . Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội ,tháng 5 năm 2008 Sinh viên Trần Đức Hải - 6 - Khoá luận tốt nghiệp Trần Đức Hải _K30D_Toán Chương 1: Lý thuyết chung về bài toán cực trị của hàm số 1.1 Định nghĩa cực trị của hàm số Định nghĩa 1.1 Cho hàm số f(x) xác định trên miền D. + M lµ gi¸ trÞlí n nhÊt cña hµm sè f (x) (kh M=maxf(x) ) nÕu tháa m· n hai xÎ D ®iÒu kiÖn * f(x) ≤ M ,  x  D *  x0 D sao cho M=f(x0). + m lµ gi¸ trÞbÐnhÊt cña hµm sè f (x ) (kh m=minf(x) ) nÕu tháa m· n hai xÎ D ®iÒu kiÖn * f(x)  m ,  x  D *  x0 D sao cho m=f(x0). Định nghĩa 1.2 Cho hàm số f(x) xác định trên miền D , x0  D .Ta nói rằng f(x) đạt cực tiểu địa phương tại x0 nếu như tồn tại lân cận V  x 0  sao cho f  x   f  x 0  , x  D  V  x 0  Hàm số f(x,y) xác định trên D được gọi là đạt cực tiểu địa phương tại (x0,y0),(x0,y0)  D nếu như tồn tại lân cận V  x 0 ,y 0  sao cho f  x,y   f  x 0,y 0  ,  x,y   D  V  x 0,y 0  Tương tự ta có định nghĩa hàm số đạt cực đại địa phương trên tập xác định của nó . Nhận xét :Nếu f(x) đạt cực tiểu địa phương tại x0  D thì nói chung ta có f  x 0   m  minf  x  xD - 7 - Khoá luận tốt nghiệp Trần Đức Hải _K30D_Toán Nếu f(x) đạt cực đại địa phương tại x0  D thì ta có f  x 0   M  max f  x  xD Vậy giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f không trùng với cực đại địa phương (cực tiểu địa phương) trên một miền xác định D nào đó. 1.2 .Các tính chất Định lý 1.1 :Hàm số f(x) liên tục trên một đoạn [a,b] thì đạt giá trị lớn nhất,nhỏ nhất trên đoạn đó. Định lý 1.2 : Cho hàm số f(x) xác định trên miền D và A,B là 2 tập con của D trong ®ã A  B .Ngoµi ra  maxf(x) , maxf(x) , minf(x) , minf(x). xA xB xA xB Khi đó ta có: max f  x   maxf  x  xA x B min f  x   minf  x  xA xB (1.1) (1.2) Ta chỉ cần chứng minh (1.1) ,còn (1.2) chứng minh tương tự Thật vậy ,giả sử max f (x) = f (x0) , x0  A . Do A  B ,nên từ x0  A ta suy ra x 0  B .Từ đó theo định nghĩa ta có f(x 0 )  max f  x  hay max f x   max f x  xB x A x B Định lý 1.3 : Giả sử hàm số f(x) xác định trên miền D .Khi đó ta có max f  x  =-min -f  x   xD xD Thật vậy giả sử M = max f(x) , x  D (1.3) Khi đó theo định nghĩa giá trị lớn nhất ta có f  x 0   M,x 0  D   f  x   M, x  D - 8 -   f  x 0    M,x 0  D  f  x    M, x  D Khoá luận tốt nghiệp Trần Đức Hải _K30D_Toán Điều này theo định nghĩa giá trị nhỏ nhất có nghĩa là min(-f(x))=-M (1.4) Từ (1.3) và (1.4) ta có điều phải chứng minh. Nhận xét : Định lý này cho phép ta chuyển bài toán tìm giá trị lớn nhất về bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số và ngược lại. Định lý 1.4 : Giả sử f(x),g(x) là hai hàm số cùng xác định trên miền D và thoả mãn điều kiÖn f  x   g x  , x  D .Khi ®ã ta cã max f  x   maxg x  xD xD Chứng minh: Giả sử max g(x) = g(x0), x0  D .Từ giả thiết ta có f  x 0   g x 0  . (1.5) Vì x0  D ,nên theo định nghĩa giá trị lớn nhất ta có f  x 0   maxf  x  xD (1.6) Tõ (1.5) vµ (1.6) ta suy ra max f  x   maxg x  xD xD Ta có nhận xét :từ giả thiết max f(x)  maxg(x), x  D ,nói chung ta không thể suy ra f  x   g x , x  D . Định lý 1.5 :(nguyên lý phân rã ) :Giả sử hàm số f(x) xác định trên miền D và miền D được biểu diễn dưới dạng D  D1  D2  ...  Dn .Giả thiết tồn tại max f  x  , min f  x  i=1,n. Khi ®ã ta cã x  Di x  Di max f (x)  max maxf(x),maxf(x), ,maxf(x) xD x  D1 x  D2 x  Dn (1.7) minf (x)  minminf(x),minf(x),,minf(x) xD x  D1 x  D2 x  Dn (1.8) Chứng minh :Thật vậy theo định lý 1.2 và do Di  D với i  1,n nên ta có - 9 - Khoá luận tốt nghiệp Trần Đức Hải _K30D_Toán maxf  x   maxf  x  x  Di xD  max maxf(x),maxf(x),,maxf(x)  maxf(x) x  D1 x  D2 x  Dn x D MÆ t kh¸ c ta coi (1.9) (1.10) maxf  x   f  x 0  ,x 0  D xD Lại do x0  D , D  D1  D2  ...  Dn nên tồn tại k (1  k  n) sao cho x 0  Dk Theo ®Þnh nghÜa ta cã f  x 0   maxf  x   max maxf(x),maxf(x),,maxf(x) x  Dk x  D1 x  D2 x  Dn VËy maxf  x   max maxf(x),maxf(x),,maxf(x) (1.11) xD x  D1 x  D2 x  Dn Từ (1.10) & (1.11) ta có điều phải chứng minh . Chú ý :Nguyên lý phân rã nói trên cho phép ta biến bài toán tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số trên miền xác định phức tạp thành một dãy các bài toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số trên miền đơn giản hơn . - 10 - Khoá luận tốt nghiệp Trần Đức Hải _K30D_Toán Chương 2 : Sử dụng tính đơn điệu trong việc giải bài toán cực trị của hàm số Trong chương này ta sẽ sử dụng mối liên hệ giữa tính đơn điệu và tính khả vi để giải bài toán tìm cực trị của hàm số .Phương pháp này dựa trên các định lý về điều kiện đủ để hàm số có cực trị kết hợp với việc so sánh các giá trị cực trị của hàm số tại một điểm đặc biệt khác . 2.1 Cơ sở lý thuyết 2.1.1 Hàm đơn điệu trên một khoảng Định nghĩa :Cho hàm số f(x) xác định trên [a,b] , lấy  x1,x2  [a,b] tương ứng có 2 giá trị f(x1),f(x2) (với x1< x2) +Nếu f(x1) < f(x2) thì f(x) được gọi là hàm tăng (đồng biến) / [a,b] +Nếu f(x1)  f(x2) thì f(x) được gọi là hàm không giảm / [a,b] +Nếu f(x1) > f(x2) thì f(x) được gọi là hàm giảm (nghịch biến) / [a,b] +Nếu f(x1)  f(x2) thì f(x) được gọi là hàm không tăng / [a,b] - Các hàm trên được gọi chung là các hàm đơn điệu trên 1 khoảng . -Hàm tăng hoặc giảm trong một khoảng được gọi là hàm đơn điệu thực sự trên khoảng ấy. Định lý 2.1( Điều kiện cần và đủ để hàm số tăng hoặc giảm / [a,b]) Giả sử hàm y=f(x) liên tục trên [a,b] và có đạo hàm hữu hạn trong (a,b) khi đó a) Nếu f(x) là hàm tăng (giảm) trên [a,b] thì đạo hàm f  x   0  f   x   0  x   a,b  b) Nếu f   x   0  f   x   0  x   a,b  thì f(x) là hàm tăng (giảm) trên [a,b] 2.1.2: Cực trị của hàm số : - 11 - Khoá luận tốt nghiệp Trần Đức Hải _K30D_Toán Định lý 2.2 (Điều kiện cần để hàm số có cực trị địa phương ) : Nếu f(x) đạt cực trị điạ phương tại x 0  a,b thì chỉ có thể xảy ra 1 trong các khả năng sau : a) f(x) không có đạo hàm tại x0 b) f(x) có đạo hàm tại x0 thì f   x 0   0 Nhận xét 2.1 :Nếu gọi những điểm mà tại đó không có đạo hàm hoặc nếu có thì đạo hàm đó bằng không là các điểm tới hạn .Khi đó theo điều kiện cần ở trên muốn tìm cực trị của hàm số ta chỉ cần xét các điểm tới hạn của hàm số Định lý 2.3 :(Điều kiện đủ thứ nhất để hàm số có cực trị địa phương ) Giả sử hàm f(x) liên tục trên [a,b] có chứa điểm x 0 và có đạo hàm trong khoảng (a,b) (có thể trừ tại điểm x0 ) a) Nếu khi x đi qua x0 mà f   x  đổi dấu từ dương sang âm thì f(x) đạt cực đại tại x0 . b) Nếu khi x đi qua x0 mà f   x  đổi dấu từ âm sang dương thì f(x) đạt cực tiểu tại x0 . c) Nếu khi x đi qua x0 mà f   x  không đổi dấu thì hàm f(x) không đạt cực trị tại x0 . Định lý 2.4:( điều kiện đủ thứ 2 để hàm số có cực trị địa phương ) Giả sử f(x) có đạo hàm liên tục đến cấp 2 ở lân cận của điểm x0 .Khi đó : a) Nếu f   x 0  =0 , f   x 0   0 thì f(x) đạt cực tiểu tại x0 b) Nếu f   x 0  =0 , f   x 0   0 thì f(x) đạt cực đại tại x0 2.2 Sử dụng tính đơn điệu để tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số trên miền D - Tìm các điểm tới hạn của hàm số trên miền D - Lập bảng biến thiên của hàm số trên miền D - Dựa vào bảng biến thiên và so sánh các giá trị của những điểm đặc biệt - 12 - Khoá luận tốt nghiệp Trần Đức Hải _K30D_Toán (đó là điểm cực đại,cực tiểu của hàm số ,các điểm đầu mút của những đoạn đặc biệt nằm trong miền xác định của hàm số ) Khi sử dụng các phương pháp này cần lưu ý các điều sau đây : -Nếu trong quá trình giải ta dùng phép đổi biến để cho bài toán đơn giản hơn thì bài toán mới phải xác định lại miền xác định của biến mới . -Nếu bài toán đã cho là hàm nhiều biến ,có thể sử dụng định lý 2.6 và phép biến đổi để đưa bài toán tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số nhiều biến về việc tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số một biến theo phương pháp chiều biến thiên hàm số như đã được trình bày ở trên . 2.2.1 Các bài toán tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số không có tham số Bài 2.1 : Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số f  x,y   x4 y4  x2 y2  x y      y4 x4  y2 x2  y x trên miền D    x,y  :1  x  2 ; 3  y  4  Giải Hàm số đã cho được viết lại dưới dạng sau: 2  x2 y2   x2 y2   x y   2  2   2 2  2      x  x  y x y y 4 2 x y x y x y      5        4 y x y x y x (2.1) x y Đặt t     khi đó hàm số đã cho có dạng y x F t   t 4  5t 2  t  4 ,Với Thật vậy đặt z  13 17 t 6 4 x thì khi x  1,2,y  3,4  y - 13 - 1 2  z vì vậy 4 3 (2.2) Khoá luận tốt nghiệp Trần Đức Hải _K30D_Toán x y 1  max g x,y   max     max G z  max  z   ;ming  x,y   minG z z y x 1  2  1 x  2 1 x  2  z 4 3 3 y  4 3 y  4 1 1 z2  1 G z  z  , G  z  1  2  2  0 z z z 2  1  2  do 4  z  3  z  1  0    1 2  1  17  2  13 Vì thế max G z  G   , minG z  G   với  z  4 3  4 4  3 6 Do đó ta có 13 17 t .Từ (2.1),(2.2) bài toán đã cho được đưa về 6 4 max f  x,y   max F  t  13 17 t  x,y   D 6 4 ; Trong đó F t   t 4  5t 2  t  4 Với T a có Do minf  x,y   minF  t  . 13 17 t  x,y   D 6 4 13 17 t . 6 4 5  F  t   4t 3  10t  1  4t  t 2    1 2  13 17  t 6 4 t2  5  13 17   0 nên F  t   0 Với t   ,  2 6 4  13 17  Từ đây ta suy ra F(t) đồng biến trên  ,  .Vậy ta có kết quả 6 4  17  4249  13  1083 max f  x,y   F    ; minf  x,y   F    16  4  6  54  x,y   D  x,y   D Bài 2.2 :Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x,y   x 1  y  y 1  x   trên miền D   x,y  : x2  y2  1 Giải     Đặt D1   x,y  : xy  0 vµx 2  y 2  1 , D2   x,y  : xy  0 vµx 2  y 2  1 Khi đó D=D1  D2 .Theo định lý 1.5 (nguyên lý phân rã) thì - 14 - Khoá luận tốt nghiệp Trần Đức Hải _K30D_Toán minf (x,y)  min minf(x,y) , minf(x,y)  x,y   D  x,y   D1  x,y   D2 (2.3)    x,y  : x  0,y  0 vµ x   1 D11   x,y  : x  0,y  0 vµx 2  y 2  1 Ta lại có D1=D11  D12 với D12 2  y2 L¹i ¸ p dông ®Þnh lý 1.5 ta cã minf (x,y)  min minf(x,y) , minf(x,y)  x,y   D1  x,y   D11  x,y   D12 (2.4) Lấy (x,y) tuỳ ý thuộc vào D11 khi đó x  0,y  0 vµx2  y2  1 suy ra x 1  y  y 1  x  0  f  x,y   0 ,   x,y   D11  minf  x,y   0  x,y   D11 (2.5) Lấy (x,y) tuỳ ý thuộc vào D12 khi đó x  0,y  0 vµx2  y2  1 . Ta đặt x  x ; y  y khi đó x  0 , y  0 , x2  y2  1 và  f  x,y   x 1  y  y 1  x   x 1  y  y 1  x  (2.6) Do 0  y  1,0  x  1  y  y2,x  x2 vì thế x 1  y  y 1  x  x2  y2  1 (2.7) Từ (2.6),(2.7) ta đi đến f  x,y   1 ,   x,y   D12 . Lại có f  0, 1  1,  0, 1  D12  minf  x,y   1,  x,y   D12 (2.8) Từ (2.4), (2.5), (2.8) suy ra các điều kiện nguyên lý phân rã đúng trên D1 do đó minf  x,y   1  x,y   D1 (2.9) Bây giờ ta tính minf  x,y  ,  x,y   D2 . Đặt t= x + y  t 2  x2  y2  2xy vµdo xy  0  t2  1 0 xy   t 2  x2  y2  1   2 1  t  1  - 15 - Khoá luận tốt nghiệp Trần Đức Hải _K30D_Toán Ta có f 2  x,y   x2 1  y   y 2 1  x   2xy = x2  y2  xy  x  y   2xy 1  x 1  y  1  x 1  y  t2  1 t2  1 2 =1  t  t  1 1 t  2 2   t3  t  t  1 =1   t2  1   2  2    do t  1  0  (2.10)    Ta xét hàm số F  t   1  2  t  2t  1  2  t  2  2 ,với -1 < t < 1 Có F  t   31  2  t  2 2t  1  2  .Ta lập bảng biến thiên của hàm số :  2f 2  x,y   1  2 t 3  2t 2  1  2 t  2  2 3 2 2 t  -1 F¢(t ) + 2 1  3 3 0 2 1 - 0 1 + 76  12 2 27 F(t) 2 F(-1) = F(1) = 2 ; F  2  2  1  76  12 2 2  1  0; F     3 27     2  1  76  12 2  maxF  t   F     3 27   f 2  x,y   như vậy từ (2.10) ta có 38  6 2 38  6 2   x,y   D2  f  x,y     x,y   D2 27 27  f  x,y    38  6 2   x,y   D2 . 27 - 16 - Khoá luận tốt nghiệp Trần Đức Hải _K30D_Toán Từ lập luận trên rõ ràng   x1,y1   D2 và f  x1,y1    38  6 2 38  6 2  minf  x,y    ,  x,y   D2 27 27 (2.11) Từ (2.3),(2.9),(2.11) ta thấy các điều kiện của định lý phân rã cho hàm f(x,y) đúng trên D  38  6 2  38  6 2  ,  x,y   D Vậy minf  x,y   min  1 ;    27 27   Bài 2.3 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f (x,y)= 1 1 x + y + 1 (x + 1)(y + 1) x,y là các số tự nhiên. Giải Đặt D = Trong đó {(x,y): x,y Î ¥ } , khi đó ta có D  D1  D2 D1 = {(x,y): x,y Î ¥ & x + y + 2 < 6}, D2 = {(x,y): x,y Î ¥ & x + y + 2 ³ 6} (2.12) áp dụng định lý 1.5 (nguyên lý phân rã ) thì minf (x,y)  min minf(x,y) , minf(x,y)  x,y   D  x,y   D1  x,y   D2 (2.13) Ta kiểm tra lại các điều kiện của định lý 1.5 .Ta có ïìï 1 £ x £ 4 ïü ïï ïï D1 = {(0,0),(1,1)(1,2),(2,1)}È í 1 £ y £ 4 x,y Î ¥ ïý . ïï ïï ïîï (0,y),(x,0) ïïþ f 1,1  f  2,1  f 1,2  1 ; f (0,0)= f (x,0)= f (0,y)= 0, " x,y Î [1,4],x,y Î ¥ 12 Từ đó suy ra max f  x,y   1 ,  x,y   D1 . 12 - 17 - (2.14) Khoá luận tốt nghiệp Trần Đức Hải _K30D_Toán Theo bất đẳng thức Cauchy thì  x,y   D2 , ta có 1 4   x  1 y  1  x  y  22 Vậy f  x,y   1 4 1 4   f x,y     x  y  1  x  y  22  x  y  2  1  x  y  22 Đặt t = x+y+2  t  6  max f  x,y   max F  t  t6  x,y   D2 F t   (2.15) 1 4  2; t 1 t F  t    1  t  1 2       t  2 t  3  5 t  3  5 8   2 t3  t  1 t 3   0 , t  6 Suy ra F(t) là hàm nghịch biến trên 6,  suy ra F t   F 6 ,t 6,   Vậy maxF  t   F  6  1 4 4   với t  6 5 36 45 (2.16) Từ (2.12)  (2.16) các điều kiện của của định lý 1.5 đúng cho hàm f  x,y  1 4 4 trªn D .VËy maxf  x,y   max  ,   12 45  45  x,y   D 2.2.2 :Các bài toán tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số có tham số Bài 2.4: Cho hàm số : f  x   1  sin2x 1  tanx   m  1  m xét trên miền 1  sin2x 1  tanx   D  x : 0  x   .Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên miền D . 4  Giải 1  sin2x  sinx  cosx  1  tanx    1  sin2x  sinx  cosx 2 1  tanx 2 2 Ta có Đặt t  2 1  tanx  , khi đó từ 0  x  suy ra 1  t    1  tanx 4 - 18 - Khoá luận tốt nghiệp Trần Đức Hải _K30D_Toán Bµi to¸ n ®- î c ®- a vÒt×m min f  x   minF  t  , F  t   t 2   m  1 t  m xD 1 t    Ta có F  t   2t   m  1 ,F'  t   0 có nghiệm t  m1 do đó sẽ dẫn đến hai 2 khả năng sau : a) nếu t m1  1 tức m  1 ,ta có bảng biến thiên sau 2 m1 2 - ¥ F  t  - +¥ 1 0 + F t  + 0 VËy minF(t ) = F(1) = 0 Þ minf (x) = 0 1£ t £ + ¥ xÎ D b) Nếu t m1  1 tức m > 1 ,có bảng biến thiên : 2 m1 2 1  F  t  -  0 + 0 F t   m  1  4  m  1 ,1  t   .  m  1 minF  t   F     4  2  m1 0  Kết luận minf  x     m  12 m1   4 2 - 19 - 2 Khoá luận tốt nghiệp Trần Đức Hải _K30D_Toán Bài 2.5 Cho hµm sè f  x   x3  3x 2  m , xÐt ®¹i l- î ng sau :P m =max f  x  .  1 x  3 Tìm m để P(m) nhận giá trị bé nhất. Giải : Đặt x  0 g x   x3  3x 2  m  g  x   3x 2  6x  0   x  2 . Ta có bảng biến thiên :  x -1 g  x  0 - 0 2 + 0 g x  Ta có g(-1) = m+4 ; g(0) = m , g(2) = m+4 , g(3) = m Nhận thấy m 4  m nếu m  2 m 4  m nếu m  2 Từ bảng biến thiên và nhận xét trên ta suy ra ìï m + 4 nÕu m ³ - 2 max f (x) = max g(x ) = ïí ïï m nÕu m < - 2 î  m  4 nÕu m  2 Ta xét hàm số P(m) =  nÕu m  2  m Khi đó ta có bảng biến thiên sau : - 20 - 3 - 