Tài liệu Một số kết quả về tính đồng dạng cho các toán tử quạt trong các không gian hilbert

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Trần Nguyễn Vân Nhi MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ TÍNH ĐỒNG DẠNG CHO CÁC TOÁN TỬ QUẠT TRONG CÁC KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Trần Nguyễn Vân Nhi MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ TÍNH ĐỒNG DẠNG CHO CÁC TOÁN TỬ QUẠT TRONG CÁC KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. TRẦN TRÍ DŨNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2019 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là luận văn do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Trần Trí Dũng. Các nội dung nghiên cứu và kết quả tham khảo trong luận văn được trích dẫn và liệt kê đầy đủ trong mục Tài liệu tham khảo. Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng 9 năm 2019 Trần Nguyễn Vân Nhi Lời cám ơn Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. TRẦN TRÍ DŨNG đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn để tác giả có thể hoàn thành luận văn. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giảng viên trong khoa Toán - Tin học của trường Đại Học Sư Phạm Tp.HCM đã giảng dạy, truyền đạt kiến thức cho tác giả trong quá trình học tập tại khoa. Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cám ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn giúp đỡ, động viên tác giả trong suốt quá trình thực hiện luận văn tốt nghiệp. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, do hạn chế về thời gian thực hiện nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả kính mong nhận được ý kiến đóng góp quý báu của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Xin trân trọng cám ơn. Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng 9 năm 2019 Trần Nguyễn Vân Nhi Mục lục Lời cam đoan ......................................................................................................................... 3 Lời cám ơn ............................................................................................................................. 4 Mục lục .................................................................................................................................. 5 Danh mục các ký hiệu ........................................................................................................... 1 MỞ ĐẦU............................................................................................................................... 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị ........................................................................................... 5 1.1 Toán tử quạt (Sectorial operator) ............................................................................ 5 1.2 Không gian các hàm chỉnh hình ( Spaces of holomorphic functions ) ................... 7 1.3 Natural functional calculus ..................................................................................... 9 1.3.1 Functional calculus theo tích phân loại Cauchy ................................................... 9 1.3.2 The natural functional calculus .......................................................................... 11 1.3.3 Luật hợp thành .................................................................................................... 12 1.4 Kỹ thuật xấp xỉ của McIntosh ............................................................................... 12 1.5 Tính bị chặn của H  - Calculus (The boundedness of the H  -Calculus) .......... 13 1.6 Toán tử hợp ( Multiplication Operators)............................................................... 14 1.7 Bậc phân số với phần thực dương......................................................................... 15 Chương 2. Lý thuyết toán tử trên không gian Hilbert ................................................... 17 Dạng nửa song tuyến tính ..................................................................................... 17 Toán tử liên hợp .................................................................................................... 19 Dãy trị số ............................................................................................................... 23 Tích vô hướng tương đương và định lý Lax-Milgram .......................................... 23 Toán tử accretive................................................................................................... 25 Chương 3. Một số kết quả về tính đồng dạng cho toán tử quạt .................................... 28 3.1 Vấn đề đồng dạng đối với toán tử biến phân ........................................................ 28 3.2 The Functional Calculus trên không gian Hilbert ................................................. 34 3.3 Bậc phân số của toán tử m- accretive và vấn đề căn bậc hai ................................ 40 3.4 Thuyết McIntosh- Yagi ......................................................................................... 43 3.5 Định lý Đồng Dạng ............................................................................................... 51 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ........................................................................................... 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................................. 55 Danh mục các ký hiệu A Bao đóng của toán tử đa trị A . A1 Nghịch đảo của toán tử đa trị A . Ax Ảnh của điểm x dưới tác động của toán tử đa trị A . D  A Miền xác định của toán tử đa trị A . LX  Không gian các toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Banach X N  A Nhân của toán tử đa trị A .   A Tập dải thức của toán tử đa trị A .   A Miền giá trị của toán tử đa trị A . R  , A Dải thức (ánh xạ) của toán tử đa trị A .   A Phổ của toán tử đa trị A .   Tích vô hướng trên không gian Hilbert H .   Tích vô hướng tương đương trên không gian Hilbert H . a A Toán tử A liên kết với dạng a . Ses V  Không gian dạng nửa song tuyến tính trên không gian vecto V . W  A Dãy trị số của toán tử A . BIP  X  Không gian các toán tử quạt A đơn ánh trên X sao cho  Ais  s là nhóm C0 . H   Không gian các hàm chỉnh hình bị chặn trên tập mở   . C0    Không gian các hàm liên tục triệt tiêu tại  trên không gian compact địa phương  . DR  S  Lớp Dunford – Riesz trên góc quạt S . DR0  S  Không gian các hàm chỉnh hình trên S DRext  S  Lớp Dunford – Riesz mở rộng trên góc quạt S . Sect   Lớp các toán tử quạt với góc  0 và tắt dần đều tại  . trên không gian Banach X . 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong toán học, lý thuyết toán tử là một nhánh của giải tích hàm liên quan đến các toán tử tuyến tính bị chặn và các tính chất của chúng. Một toán tử quạt (sectorial operator) A có phổ của nó chứa trong hình quạt S với số  R   , A  bị chặn đều bên ngoài hình quạt lớn hơn. Các toán tử này đóng vai trò nổi bật trong lý thuyết về phương trình vi phân và đạo hàm riêng elliptic và parabolic (elliptic and parabolic partial differential equations). Vào những năm 1960 , cái gọi là bậc phân số (fractional powers) A (với   ) của toán tử quạt A được định nghĩa (xem [10], [3], [24], [8]) và đã được nghiên cứu sâu rộng kể từ đó. Tuy nhiên, cho đến ngày nay vẫn chưa có sự phát triển về lý thuyết bậc phân số vào functional calculus, thậm chí cả trong các công trình nghiên cứu gần đây. Mọi thứ trở nên khả thi hơn khi natural functional calculus về các toán tử quạt được đưa ra. McIntosh đã phát triển functional calculus này trong nghiên cứu của ông ấy (xem [15], [2]). McIntosh nhận xét [14] rằng lý thuyết về bậc phân số có thể được sửa lại bởi functional calculus của ông. Tuy nhiên, trọng tâm chính trong nghiên cứu của ông là tính bị chặn của H  calculus, với sự giúp đỡ bởi ý tưởng của Yagi (xem [24]), có thể được chứng minh là tương đương với đánh giá bậc hai trong không gian Hilbert. Trọng tâm này vẫn nằm trong các nỗ lực tiếp theo để khái quát hoá các kết quả từ không gian Hilbert đến không gian Lp và không gian Banach tổng quát. Dựa theo những nhận xét của McIntosh, những đường dẫn mới và những sự liên hệ còn mơ hồ trước đây dần được khám phá. Sự liên hệ của functional calculus và những câu hỏi đồng dạng trên không gian Hilbert như: vấn đề đồng dạng cho toán tử biến phân, bậc phân số của toán tử m  accretive, vấn đề căn bậc hai…đều là những vấn đề thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới hiện nay. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn các kiến thức về giải tích hàm, giải tích phức, đại số Banach cùng với tình hình nghiên cứu như hiện nay, tác giả đã quyết định chọn đề tài “Một số kết quả về tính đồng dạng cho các toán tử quạt trong các không gian Hilbert”. 2. Mục tiêu của luận văn Mục tiêu của luận văn là bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, đồng thời định hướng một số hướng nghiên cứu về sau, thuộc chuyên ngành Toán giải tích. Về mặt khoa học, tác giả mong muốn đạt được mục tiêu: tìm hiểu một số kết quả về tính 2 đồng dạng cho các toán tử quạt trong không gian Hilbert như vấn đề đồng dạng cho toán tử biến phân, bậc phân số của toán tử m  accretive, vấn đề căn bậc hai; sau đó áp dụng để chứng minh lại một số định lý với cách tiếp cận dễ dàng hơn và không cần sử dụng những kết quả quá phức tạp. 3. Phương pháp nghiên cứu Trong luận văn này, tác giả sẽ thu thập các tài liệu liên quan đến đề tài, tự tìm hiểu, tổng hợp một số kiến thức cơ bản về toán tử quạt, tính bị chặn của H  calculus, bậc phân số và một số vấn đề liên quan khác. Công việc đòi hỏi tác giả phải biết vận dụng các kiến thức chuyên sâu của giải tích hàm, giải tích phức, đại số Banach. 4. Nội dung luận văn Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Phần chuẩn bị trình bày về khái niệm toán tử quạt, các mệnh đề cơ bản của toán tử quạt, không gian các hàm chỉnh hình, natural functional calculus, tính bị chặn của H  - calculus, bậc phân số và các kiến thức giải tích hàm, giải tích phức, đại số Banach có liên quan phục vụ cho các chương tiếp theo. Chương 2: Lý thuyết toán tử trên không gian Hilbert. Chương này tác giả trình bày những thông tin về các toán tử tuyến tính trên không gian Hilbert, bao gồm liên hợp (của toán tử đa trị), toán tử accretive, và định lý LaxMilgram. Các nội dung chủ yếu như sau: + Dạng nửa song tuyến tính + Toán tử liên hợp. + Tích vô hướng tương đương và định lý Lax-Milgram.. + Toán tử accretive. Chương 3: Một số kết quả về tính đồng dạng cho toán tử quạt. Chương này tác giả sử dụng những kết quả từ lý thuyết toán tử trên không gian Hilbert và functional calculus để đạt được định lý Đồng Dạng. Các nội dung chủ yếu như sau: 3 + Vấn đề đồng dạng cho toán tử biến phân. + Functional calculus trên không gian Hilbert. + Bậc phân số của toán tử m  accretive và vấn đề căn bậc hai. + Lý thuyết McIntosh-Yagi. + Định lý Đồng Dạng: dùng định lý McIntosh-Yagi để chứng minh hai vấn đề đồng dạng đã đề cập ở phần 1 và 3. 5. Đóng góp của đề tài Sự liên hệ của functional calculus và những câu hỏi đồng dạng trên không gian Hilbert là gồm hai phần. Một được cho bởi bất đẳng thức Neumann (xem [19]) nói rằng một phép co T trên không gian Hilbert H thỏa   p T   sup p  z  : z  1 . qua biến đổi Cayley có thể kết luận là nếu A là một toán tử đơn ánh m  accretive, H - calculus của nó phải bị chặn. Như vậy thông tin trên dãy trị số của A (phụ thuộc vào tích vô hướng đặc biệt) cung cấp thông tin trên functional calculus mà không phụ thuộc vào tích vô hướng đặc biệt. Mặt khác, đánh giá bậc hai mà tác giả đã đề cập ở trên trong sự liên hệ với công trình của McIntosh và Yagi, có thể được giải thích lại như một sự xây dựng của tích vô hướng tương đương (xem Mệnh đề 3.4.1, Hệ quả 3.4.6 và Định lý 3.4.7). Ví dụ, giả sử A đơn ánh và sinh ra một nửa nhóm chỉnh hình bị chặn trên không gian Hilbert H . Từ kết quả của McIntosh ta có natural functional calculus cho A là bị chặn khi và chỉ khi tích phân suy biến    A e  0  1 2  tA  x dt    2 1 2 xH  xác định một chuẩn Hilbert tương đương trên H . Dễ thấy nửa nhóm  e  tA t 0 là co (contractive) đối với chuẩn mới này. Trong chương 3, tác giả đưa ra một tính toán của kết quả này và sử dụng nó để suy ra một kết quả mạnh hơn đồng dạng (xem Định lý 3.5.2, khái quát hóa một định lý 4 của Lemerdy (xem [12] và [6])). Hơn nữa, chứng minh của tác giả không đòi hỏi kết quả sâu của Paulsen như những chứng minh trong [12] và [6]. Một hệ quả của định lý đồng dạng đạt đươc là sự mô tả đặc điểm của những toán tử biến phân ( variational operator) đồng dạng. Ở đây một toán tử đươc gọi là biến phân nếu nó có chứa dạng eliptic. Tác giả chỉ ra thêm, toán tử biến phân kia luôn có tính chất căn bậc hai đối với tích vô hướng tương đương. Vấn đề căn bậc hai nguyên bản có lịch sử lâu đời và chỉ được giải quyết gần đây (xem Chú ý 3.4.5 để biết thêm về vấn đề căn bậc hai và lịch sử những đánh giá đối với những vấn đề đồng dạng khác trong [1, chương IV phần 7] ). 6. Hướng phát triển của đề tài Sau khi thực hiện luận văn, một câu hỏi mở đặt ra là : Có hay không một toán tử m   1     1  accretive A trên không gian Hilbert H sao cho D  A 2   D  A 2  với mỗi tích vô  hướng tương đương    ? Đề tài có thể mở rộng nghiên cứu trả lời vấn đề này. 5 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Trong chương này sẽ trình bày vắn tắt về khái niệm toán tử quạt, các mệnh đề cơ bản của toán tử quạt, không gian các hàm chỉnh hình, natural functional calculus, tính bị chặn của H  - calculus, bậc phân số… có liên quan phục vụ cho các chương tiếp theo. Các khái niệm, định nghĩa chủ yếu dựa vào các luận điểm trong [7]. 1.1 Toán tử quạt (Sectorial operator) Kí hiệu X là không gian Banach và A là toán tử trên X với 0     , đặt: S  {z  | z  0,| arg z | } là hình quạt mở đối xứng qua trục thực với góc mở . Trường hợp 𝜔 = 0, ta định nghĩa S0   0,   . Định nghĩa 1.1.1 Toán tử A được gọi là toán tử quạt góc    nếu nó thỏa: (i)  ( A)  S (ii) M ( A,  ')  sup{||  R(, A) ||,   S' }  ,    '   . Kí hiệu: A  Sect () . Dưới đây là hình minh họa cho định nghĩa này. 6 Định nghĩa 1.1.2 Một họ các toán tử ( A ) được gọi là toán tử quạt đều góc 𝜔 nếu A  Sect ( ) với ' mọi  và sup M ( A ,  )   với mọi    '   . Đặt: A  min{0     | A  Sect ()} là góc phổ ( hay góc quạt ) của A . Mệnh đề 1.1.3 Cho A là một toán tử đóng trên không gian Banach X . a) Nếu  , 0     A  và M  A  M  A,    supt 0 t  t  A 1   thì M  A   1  1  và Sect    arctan  . M  A   1 b) Nếu A đơn ánh thì A  Sect   và đồng nhất thức :     A1   I  1 11   A     1 đúng với 0    . 7 Đặc biệt, M  A1 ,  '   1  M  A,  '  ,    '   . c) Cho n và x  X . Khi đó, ta có: x  D  A  lim t n  t  A n t  xx và x   A  lim An  t  A n x  x . t 0 d) Ta có N  A    A  0 . Nếu   A  X thì A là đơn ánh. e) Đồng nhất N  An   N  A đúng với mọi n f) Cho   0, n, m  . và x  X Khi đó, ta có:  A A     1 n x  D  Am   x  D  Am  . g) Nếu không gian Banach X phản xạ, ta có D  A   X và X  N  A    A . Chứng minh: Xem [7, chương 1]. 1.2 Không gian các hàm chỉnh hình ( Spaces of holomorphic functions ) Ký hiệu () là không gian các hàm chỉnh hình trên tập mở   . Giả sử A là một toán tử quạt góc  trên không gian Banach X . Ta định nghĩa toán tử dạng: f ( A)  1 f ( z ) R ( z , A) dz 2 i  trong đó f   ( S ),     , và đường cong T “bao quanh” hình quạt S . Điều này có nghĩa là trong trường hợp đặc biệt, nó được xem như một đường cong trên mặt cầu Riemann và đi qua điểm  . Để phân tích có nghĩa thì hàm f phải tắt dần nhanh tại  . Như vậy, ta nói f tắt dần đều tại   nếu f ( z )   (| z | ) khi | z |  với   0 .  Tương tự, f tắt dần đều tại 0 nếu f ( z )   (| z | ) khi | z | 0 và   0 . Theo tính chất quạt của A , hàm f tắt dần đều tại  đảm bảo tính khả tích tại  , ít nhất nếu  là đường thẳng. Ở 0, ta có hai khả năng. Nếu f là hàm chỉnh tại 0 nghĩa là nếu f hàm chỉnh hình liên tục tại lân cận của 0, ta có thể chon đường cong  theo cách tránh điểm 0. Nếu điều này không thể, ta không có cách chọn, đòi hỏi f phải chính quy tại 0. Một cách tự nhiên ta xét lớp Dunford-Riesz trên S được định nghĩa bởi: DR ( S )  { f  H  ( S ) | f là tắt dần đều tại 0 và tại  }, 8 trong đó H   S    f  O  S  f là bị chặn}. Là đại số Banach của tất cả các hàm chỉnh hình, bị chặn trên S . Rõ ràng, DR( S )  là ideal đại số trong đại số H ( S ) . Với mỗi f ( z ) thì f ( 1 ) cũng thuộc DR( S ) . z Bổ đề 1.2.1 Cho 0     và f : S  là chỉnh hình. Các khẳng định sau là tương đương: (i) Hàm f thuộc DR( S ). (ii) s s Tồn tại C  0 và s > 0 sao cho | f ( z ) | C min(| z | ,| z | ) với mọi z  S (iii) Tồn tại C  0 và s > 0 sao cho | f ( z ) | C (iv) |z| s ) với mọi z  S . Tồn tại C  0 và s > 0 sao cho | f ( z ) | C ( 1 | z |2 | z |s với mọi z  S . 1 | z |2 s Chứng minh: Xem [7, chương 1]. Ký hiệu tập: DR0 (S )  { f  H  (S ) | f là chỉnh hình trong 0 và tắt dần đều tại  }. Bổ đề 1.2.2 Cho 0     và f :S  chỉnh hình. Các khẳng định sau là tương đương: (i) Hàm số f thuộc DR(S )  DR0 (S ). (ii) Hàm số f là bị chặn và thỏa hai tính chất sau:  (1) f ( z )  (| z | ) ( z  ) với   0 và  (2) f ( z)  c  (| z | ) ( z  0) với   0 và c  . Chứng minh: Chiều thuận là hiển nhiên.  Ta chứng minh chiều ngược lại, lấy   0 và c  sao cho f ( z)  c  (| z | ) với z  0 . Không hạn chế, ta có thể giả sử   1 . Khi đó: 9 f ( z)  c f (z)  c z   f ( z )  DR0  DR  DR . 1 z 1 z 1 z Lưu ý hàm hằng 1 không thuộc trong đại số DR(S )  DR(S ). Thêm không gian các hàm hằng, ta thu được đại số: DRext ( S )  DR( S )  DR0 ( S )  1 gọi là lớp Dunford-Riesz mở rộng. Bổ đề 1.2.3 Cho 0     và f :S  chỉnh hình. Các khẳng định sau là tương đương: (i) Hàm số f thuộc DRext (S ). (ii) Tồi tại h  DR(S ) và g , g  DR0 (S ) sao cho: (iii) Hàm f f ( z )  h( z )  g ( z )  g ( z 1 ). bị chặn và thỏa các tính chất sau:  (1) f ( z)  d  (| z | ) ( z  ) với   0 và d  .  (2) f ( z )  c  (| z | ) ( z  0) với   0 và c  . Chứng minh: Xem [7, chương 1]. 1.3 Natural functional calculus 1.3.1 Functional calculus theo tích phân loại Cauchy Cho 0     và   0 . Ta gọi T  S là biên của hình quạt S định hướng theo chiều dương, nghĩa là: T    e i   e  i . Bên cạnh đó, ta kí hiêu T  ( S  B (0)) là biên định hướng dương của S  B (0) nghĩa là: T  ( , )ei  ( , )e  i   ei (   Với      , f  D( S ) và g  D0 ( S ) ta định nghĩa: 10 f ( A)  1 f ( z ) R( z, A)dz và 2 i r ' (3.4) g ( A)  1 g ( z ) R( z, A)dz, 2 i r', (3.5) trong đó    '   và   0 được chọn sao cho g chỉnh hình liên tục đến lân cận của B (0) . Sau đây là hình minh họa cho định nghĩa của f  A  . Tương tự ta có ảnh g  A  . 11 1.3.2 The natural functional calculus Ta giữ nguyên các giả thiết trên toán tử A . Sự mở rộng functional calculus cơ bản được mô tả ở trên càng trực quan càng tốt. Bởi vì nó không đúng với tích phân loại Cauchy nữa, nên ta phải sử dụng một thủ thuật nhỏ. Ta định nghĩa:  A( S )   f : S   và A[ S ]   | n  :  f ( z)  DR( S )  DR0 ( S )  n (1  z )  A( S ) . Nếu  đã xác định, ta viết đơn giản A thay cho A[S ] . Với f  A( S ), ta định nghĩa:  f ( z)  f ( A)  (1  A)n  ( A) n   (1  z )  n trong đó n là số thỏa f ( z )(1  z )  DR ( S )  DR0 ( S ) . Định nghĩa này không phụ thuộc giá trị riêng của n . Ta gọi ánh xạ: ( f  f ( A)) : A[S ]  { các toán tử đóng trên X } là natural functional calculus của A trên S . 12 1.3.3 Luật hợp thành Mệnh đề Cho 0       , 0   '   '   , và g  A( S ) sao cho g (S )  S ' . Giả sử A  Sect ( ), g ( A)  Sect ( ') và g ( A) đơn ánh. Khi đó, mỗi f  A( S ' ) với f g  A( S ) thỏa mãn luật hợp thành: (f g )(A)  f ( g (A)) . Chứng minh: Xem [7, chương 1]. 1.4 Kỹ thuật xấp xỉ của McIntosh Định nghĩa 1.4.1 Cho   DR  S  và định nghĩa  t  z     tz  với z  S và t  0 . Hơn nữa ta định nghĩa:  a ,b  z      tz  b a  dt dt . ,  0  a  b    và      t  0 t t Cuối cùng, ta định nghĩa với t  0 hàm số   tz    DR  S  . t  z Chọn một lần và cho tất cả các hằng số C , s  0 sao cho:   z  C z s 1 z 2s zS .  Mệnh đề 1.4.2  Cho  ,  , C , s như trên. Cho f  H ( S ) và A  Sect ( ) với    . Khi đó các khẳng định sau là đúng. (a) Ánh xạ (t  ( f  t )( A)) : (0, )  L(X) liên tục. (b)  a ,b ( A)    (tA) dt với mọi [a, b]  (0, ) . b a t  (c) lim a ,b  a ,b ( A) x    (tA) x dt   x với mọi x  D( A)  (A). 0 t