Tài liệu Một số kết quả chính quy nghiệm cho phương trình parabolic dạng divergence

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Cao Phi Thơ MỘT SỐ KẾT QUẢ CHÍNH QUY NGHIỆM CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC DẠNG DIVERGENCE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Cao Phi Thơ MỘT SỐ KẾT QUẢ CHÍNH QUY NGHIỆM CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC DẠNG DIVERGENCE Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 84 601 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : TS. NGUYỄN THÀNH NHÂN Thành phố Hồ Chí Minh - 2019 LỜI CẢM ƠN Trước hết tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Thành Nhân, người trực tiếp hướng dẫn tôi lựa chọn và thực hiện đề tài này, cảm ơn Thầy đã tận tâm chỉ bảo, giúp đỡ và truyền đạt kiến thức để tôi hoàn thành luận văn của mình. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến quý thầy cô trường Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, đặc biệt là khoa Toán- tin và phòng sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Qua đây tôi cũng xin gởi lời cảm ơn đến các bạn học viên trong lớp Toán giải tích k28, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn cổ cũ, động viên và giúp đỡ tôi hoàn thành khóa học này. Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 28 tháng 9 năm 2019 Học viên Cao Phi Thơ DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU x = x(x0 , xn ) một điểm điển hình trong Rn . Rn+ = {x ∈ R : xn > 0} không gian Rn với các điểm có xn > 0. Br = {x ∈ Rn : |x| < r} quả cầu mở tâm O, bán kính r trong Rn Br+ = Br ∩ {xn > 0} nửa quả cầu. Qr = Br × (−r2 , 0]  2 2i Cr = Br × − r2 , r2 hình lập phương parabolic. ΩT = Ω × (0, T ) Miền trụ với chiều cao T và đáy Ω ⊂ Rn . hình lập phương parabolic tâm gốc tọa độ. = {(x, t) : x ∈ Rn , t ∈ (0, T )} ∇u(x, t) = (ux1 (x, t), ..., uxn (x, t)) P divf(x, t) = Z ni=1 (f i (x, t))xi 1 f (x, t)dxdt f Qr = |Qr | Qr ∂p ΩT = (∂Ω × [0, T ]) ∪ (Ω × {0}) Gradient của u. ∂p Qr = (∂Br × [−r2 , 0]) ∪ (Br × {−r2 }) biên của parabolic. Divergence của f. giá trị trung bình của hàm f trên Qr . biên của parabolic. C0∞ (ΩT ) = {u ∈ C ∞ (ΩT ) : u có giá compact trong ΩT }. Không gian V2 (ΩT ) là tập hợp các hàm v ∈ W 1,2 (ΩT ) sao cho: kvkV2 (ΩT ) = sup kv(·, t)kL2 (ΩT ) + kvkW 1,2 (ΩT ) < ∞. 0≤t≤T n o R 1 p L (ΩT ) = u : kukLp (ΩT ) = ( Ω |u|p dxdt) p < ∞ (1 6 p < ∞) W01,p (ΩT ) là không gian Sobolev với kukW 1,p (ΩT ) = kukLp (ΩT ) + k∇ukLp (ΩT ) 0 Ta nói u ∈ W01,p (Ω) nếu u ∈ W 1,p (Ω) và u = 0 trên biên của Ω. Chuẩn trong không gian BM O (dao Z động trung bình BM O rất bé). 1 [A]BM O = sup sup |A(y, s) − Acr (x,t) |2 dyds  1. r>0 (x,t) |Cr | cr (x,t) Mục lục Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Phương trình parabolic với hệ số không liên tục . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.Sự tồn tại nghiệm yếu và bổ đề phủ Vitali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.Các đánh giá địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.Các đánh giá so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.Bất đẳng thức dạng “level sets” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5.Kết quả chính quy nghiệm địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Chương 2. Phương trình với hệ số BMO trên miền Lipschitz . . . . . . . . . . 22 2.1.Bổ đề phủ Vitali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.Các đánh giá địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.Các đánh giá so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4.Bất đẳng thức dạng “level sets” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5.Kết quả chính quy nghiệm trên miền Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Chương 3. Phương trình với hệ số BMO trên miền Reifenberg. . . . . . . . . 41 3.1.Bổ đề phủ Vitali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2.Các đánh giá địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3.Các đánh giá so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.4.Bất đẳng thức dạng “level sets” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.5.Kết quả chính quy nghiệm trên miền Reifenberg . . . . . . . . . . . . . . . 59 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Giới thiệu Phương trình đạo hàm riêng là một trong những chủ đề được nhiều nhà toán học nghiên cứu, mà một trong các vấn đề cơ bản nhất là sự tồn tại, duy nhất và các tính chất nghiệm. Bên cạnh bài toán về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình đạo hàm riêng, thì các câu hỏi về tính chính quy nghiệm cũng rất được quan tâm. Có khá nhiều phương pháp để khảo sát tính chính quy nghiệm của các lớp phương trình elliptic [2], [3], [8], [9], [7] hoặc parabolic [14], [15], [11], [5]. Gần đây, một số kết quả về chủ đề này cho các phương trình có dạng divergence với hệ số không liên tục được nghiên cứu trên các miền có biên Lipschitz [4] hoặc thỏa điều kiện Reifenberg [10], [11], [12]. Ý tưởng chứng minh các kết quả này dựa trên việc sử dụng bổ đề phủ Vitali và một số bất đẳng thức có dạng “level sets” thông qua các toán tử cực đại được nghiên cứu nhiều trong lĩnh vực giải tích điều hòa. Trong luận văn này, chúng tôi tìm hiểu một số kết quả về tính chính quy nghiệm của phương trình parabolic tuyến tính, có dạng divergence với điều kiện biên Dirichlet như sau  ut − div(A∇u) = divf  u =0 trong ΩT , trên ∂p ΩT , trong đó tham số 1 < p < ∞, u = u(x, t) với (x, t) ∈ ΩT = Ω × (0, T ] là nghiệm của phương trình và f ∈ Lp (ΩT ; Rn ) là hàm dữ liệu cho trước. Đặc biệt, chúng tôi khảo sát phương trình này với hệ số A không liên tục, nhưng có chuẩn BMO nhỏ và thỏa điều kiện sau: Λ−1 |ξ|2 6 ξ T A(x, t)ξ 6 Λ|ξ|2 , ∀(x, t) ∈ ΩT , ξ ∈ Rn , 1 2 với Λ là hằng số dương cho trước. Chính xác hơn, chúng tôi trình bày lại các chứng minh của tác giả S.-S. Byun và cộng sự về kết quả chính quy của nghiệm yếu phương trình (1.1) trong ba trường hợp, bao gồm kết quả chính quy địa phương bên trong miền xác định và kết quả chính quy toàn cục cho miền có biên thỏa mãn điều kiện Lipschitz hoặc Reifenberg. Phương pháp chung cho các chứng minh này là xây dựng bất đẳng thức sau đây mà chúng tôi gọi là bất đẳng thức dạng “level sets”: 
  (x, t) ∈ Q1 : M |∇u|2 > N12k  6 k X i1 n o    2(k−i)  2 2  (x, t) ∈ Q1 : M|f | > δ 2 N1  + k1  (x, t) ∈ Q1 : M|∇u| > 1  , i=1 với 1 = C, nếu giả thiết sau và một số giả thiết trên dữ liệu được thỏa mãn 
  (x, t) ∈ ΩT : M |∇u|2 > N12  <  |Q1 | . Với bất đẳng thức dạng “level sets” này, tính chính quy nghiệm của phương trình (1.1) sẽ được chứng minh dựa theo bổ đề sau đây: Bổ đề 0.1 ([13]). Giả sử f là một hàm không âm và đo được trong miền Ω bị chặn và hai hằng số θ > 0 và N1 > 0. Khi đó, với 0 < p < ∞, f ∈ Lp (Ω) khi và chỉ khi S= X N1k
p |{x ∈ Ω : f (x) > θN1k }| < ∞. (0.1) k>1 Hơn nữa, tồn tại hằng số dương C chỉ phụ thuộc vào θ, p, N1 sao cho 1 S 6 kf kpLp (Ω) 6 C(|Ω| + S). C Các bất đẳng thức dạng “level sets” như trên được chứng minh dựa trên một dạng bổ đề phủ Vitali được xây dựng lại trong mỗi trường hợp tương ứng với từng giả thiết khác nhau của bài toán. Ngoài ra, việc chứng minh các bất đẳng thức này còn dựa trên một số đánh giá địa phương cho nghiệm yếu của phương trình (1.1) và các đánh giá về sự sai khác giữa nghiệm này với nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng. Các đánh giá địa phương cho nghiệm yếu của phương trình thường là các dạng đánh giá cổ điển như sau   ku − uQ1 k2 L2 (Q1 ) 6 C k∇uk2L2 (Q1 ) + kf k2L2 (Q1 ) . 3 Về đánh giá so sánh, chúng tôi chứng minh lại kết quả với  > 0 tùy ý, tồn tại δ > 0 sao cho nếu v là nghiệm yếu của phương trình thuần nhất
vt − div AQ4 ∇v = 0 trong Q4 , và các hàm dữ liệu thỏa mãn Z Z  2   1 1 2 |∇u| dxdt 6 1 và |f |2 + A − AQ5  dxdt 6 δ 2 , |Q5 | Q5 |Q5 | Q5 thì ta thu được đánh giá so sánh dưới dạng: ku − vk2W∗1,2 (Q2 ) 6 2 . Dựa theo các ý tưởng này, chúng tôi phân chia chứng minh kết quả chính về tính chính quy nghiệm của phương trình parabolic thành nhiều công đoạn nhỏ, bao gồm việc xây dựng lại bổ đề phủ Vitali, các đánh giá địa phương, các đánh giá so sánh và bất đẳng thức dạng “level sets”. Các bước chứng minh này có sự khác nhau đôi chút khi xét bài toán trên các giả thiết khác nhau. Các kết quả tham khảo chủ yếu trong các bài báo của S.-S. Byun và L. Wang [4], [5], [10], [11]. Luận văn được trình bày theo ba chương: Chương 1. Phương trình parabolic với hệ số không liên tục. Chương này khảo sát tính chính quy nghiệm của phương trình parabolic với hệ số thỏa điều kiện BMO. Chúng tôi chứng minh kết quả chính quy nghiệm địa phương bên trong miền Ω. Kỹ thuật chính của chứng minh dựa trên một dạng của bổ đề phủ Vitali, được xây dựng lại cho trường hợp parabolic và các bất đẳng thức dạng “level sets”. Chúng tôi nhắn mạnh rằng chương này khảo sát tính chính quy nghiệm địa phương của phương trình trên các tập QR , do đó không cần giả thiết về biên của miền ΩT . Chương 2. Phương trình với hệ số BMO trên miền Lipschitz. Chương này khảo sát tính chính quy nghiệm toàn cục của phương trình parabolic với điều kiện BMO và điều kiện biên Dirichlet trên miền xác định có biên Lipschitz. Các kết quả về chính quy nghiệm địa phương được chứng minh tương tự Chương 1. Tuy nhiên, với giả thiết biên của miền xác định là Lipschitz, một số đánh giá gần biên cần được xử lý khác đi. Chương 3. Phương trình với hệ số BMO trên miền Reifenberg. Chưng này chúng tôi tiếp tục khảo sát tính chính quy nghiệm toàn cục trên miền có biên thỏa điều kiện Reifenberg. Chú ý rằng miền Reifenberg yếu hơn miền Lipschitz. Chương 1 Phương trình parabolic với hệ số không liên tục Trong chương này, ta sẽ xét tính chính quy nghiệm của phương trình parabolic dạng divergence trên không gian W∗1,p với 1 < p < ∞. Cụ thể, chúng tôi tìm hiểu một số kết quả về tính chính quy nghiệm của phương trình parabolic tuyến tính, có dạng divergence với điều kiện biên Dirichlet như sau  ut − div(A∇u) = divf  u =0 trong ΩT , (1.1) trên ∂p ΩT , trong đó u = u(x, t) với (x, t) ∈ ΩT = Ω × (0, T ] là nghiệm của phương trình và f ∈ Lp (ΩT ; Rn ) là hàm dữ liệu cho trước. Đặc biệt, chúng tôi khảo sát phương trình này với hệ số A không liên tục, nhưng có chuẩn BMO nhỏ và thỏa điều kiện sau: Λ−1 |ξ|2 6 ξ T A(x, t)ξ 6 Λ|ξ|2 , ∀(x, t) ∈ ΩT , ξ ∈ Rn , với Λ là hằng số dương cho trước. Khi A thỏa mãn điều kiện (1.2), ta nói P = (1.2) ∂ − ∂t ∂i (aij ∂j ) là một toán tử parabolic đều. Kết quả về sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu phương trình này là cổ điển, được chúng tôi nhắc lại và không chứng minh ở mục tiếp theo. Chứng minh định lý chính về tính chính quy nghiệm địa phương được chia thành nhiều bước, tương ứng với các mục bên dưới. 4 5 1.1. Sự tồn tại nghiệm yếu và bổ đề phủ Vitali Định nghĩa 1.1. Ta nói u ∈ V2 (ΩT ) là một nghiệm yếu của phương trình (1.1) nếu với mọi ϕ ∈ C0∞ (ΩT ), Z Z − uϕt dxdt + ΩT Z A∇u · ∇ϕdxdt = − ΩT f · ∇ϕdxdt. ΩT Định lý 1.2 ([4]). Nếu điều kiện (1.2) được thỏa mãn và f ∈ L2 (ΩT , Rn ) thì tồn tại một nghiệm yếu duy nhất của phương trình (1.1). Định nghĩa 1.3. Cho 1 < p < ∞, ta nói u ∈ W∗1,p (ΩT ) nếu u ∈ W01,p (ΩT ) và tồn tại hàm F ∈ Lp (ΩT , Rn ) và g ∈ Lp (ΩT ) sao cho ut = divF − g theo nghĩa phân phối, nghĩa là Z Z uϕt dxdt = trong (F · ∇ϕ + gϕ)dxdt, ΩT ∀ϕ ∈ C0∞ (ΩT ). ΩT ΩT Hơn nữa, ta xác định chuẩn sau   p1 p p p p kukW∗1,p (ΩT ) = kukLp (ΩT ) + k∇ukLp (ΩT ) + kFkLp (ΩT ,Rn ) + kgkLp (ΩT ) . 1 Không gian H 1, 2 (Ω∞ ) với Ω∞ = Ω × (−∞, ∞), bao gồm tất cả các phần tử u của H01 (Ω∞ ) sao cho tích phân sau hữu hạn Z ∞  21 2 −2 |kuk|Ω∞ = h ku(., . + h) − u(., .)kL2 (Ω∞ ) dh . 0 Định lý 1.4 ([4]). Nghiệm yếu u của phương trình (1.1) thuộc không gian W∗1,2 (ΩT ) với đánh giá   kukW∗1,2 (ΩT ) ≤ C kukL2 (ΩT ) + kf kL2 (ΩT ) . Trong các mục tiếp theo, chúng tôi xét phương trình ut − div(A∇u) = divf (1.3) trên QR với R > 0 và đánh giá tính chính quy nghiệm của phương trình này. Trước hết, chúng tôi nhắc lại bổ đề phủ Vitali tổng quát và chứng minh một dạng bổ đề phủ Vitali cho trường hợp parabolic. 6 Bổ đề 1.5 (Bổ đề phủ Vitali - [2]). Cho 0 <  < 1 và C ⊂ D ⊂ B1 là hai tập đo được, thỏa mãn hai điều kiện sau: i) |C| <  |B1 |; ii) ∀x ∈ B1 nếu |C ∩ Br (x)| ≥  |Br | thì Br (x) ∩ B1 ⊂ D. Khi đó, ta có bất đẳng thức sau |C| ≤ 10n  |D| . Bổ đề 1.6 ([4]). Cho 0 <  < 1 và A ⊂ B ⊂ Q1 là hai tập đo được sao cho |A| <  |Q1 | (1.4) và thỏa mãn điều kiện sau: với mọi (x, t) ∈ Q1 nếu |A ∩ Cr (x, t)| ≥  |Cr | thì Cr (x, t) ∩ Q1 ⊂ B. (1.5) Khi đó, ta có đánh giá |A| ≤ 2(10)n+2  |B| . (1.6) Chứng minh. Từ giả thiết (1.4), thì với (x, t) ∈ A hầu khắp nơi, tồn tại một r(x,t) > 0 đủ nhỏ, sao cho:          A ∩ C (x, t) =  C (1.7)    r(x,t)  , |A ∩ Cr (x, t)| <  |Cr (x, t)| , ∀r ∈ r(x,t) , 1 . r(x,t) n o Do Cr(x,t) (x, t) ∩ A : (x, t) ∈ A là một phủ của A, nên theo bổ đề phủ Vitali, tồn tại một dãy rời nhau {Cri (xi , ti ) ∩ C : (xi , ti ) ∈ A}∞ i=1 sao cho A⊂ [ C5ri (xi , ti ) và |A| 6 5n+2 X |Cri |. (1.8) i Khi đó từ (1.7) ta có |A ∪ C5ri (xi , ti )| < |C5ri | = 5n+2 |Cri | = 5n+2 |A ∪ Cri (xi , ti )|. (1.9) Chú ý rằng ri ≤ 1, dẫn đến |Cri | ≤ 2n+3 |Cri (xi , ti ) ∪ Q1 |. Do đó, với mọi r > 0 ta có inf (x,t)∈Q1 |Cr (x, t) ∩ Q1 | = |Cr (e1 , 0) ∩ Q1 | . Mặt khác, dễ dàng kiểm tra được rằng (1.10) 7 C r2  1−  r e1 , 0 ⊂ Cr (e1 , 0) ∩ Q1 , 2 nên ta suy ra được |Cr (x, t) ∪ Q1 | ≥ |Cr (e1 , 0) ∩ Q1 | ≥ |C r2 | = 2−(n+3) |Cr (x, t)|. Bất đẳng thức này kéo theo |Cr (x, t)| ≤ 2n+3 |Cr (x, t) ∪ Q1 |. Như vậy dẫn tới (1.10) được thỏa mãn. Ngoài ra, theo (1.8) ta có A= [ C5ri (xi , ti ) ∩ A. i Từ đó suy ra   [  X   |A| =  (C5ri (xi , ti ) ∩ A) ≤ |C5ri (xi , ti ) ∩ A|   i i X |C5ri (xi , ti )| (do (1.9)) X =5  |Cri (xi , ti )| i X   Cr (xi , ti ) ∩ Q+ ≤ 5n+2 2n+3 1 (do (1.10)) i  i  [    = 2.10n+2   (Cri (xi , ti ) ∩ Q+ ) 1    < i n+2 i ≤ 2.10n+2  |B| (do (1.5)). Vậy, bổ đề được chứng minh. 1.2. Các đánh giá địa phương Bổ đề 1.7. Giả sử u là một nghiệm yếu của phương trình parabolic (1.3) trong Q1 . Khi đó tồn tại hằng số C > 0 sao cho Z Z 2 |∇u| dxdt 6 C Q1 2 Q1 2
|u|2 + |f |2 dxdt. 8 Chứng minh. Trước hết ta sẽ chứng minh bất đẳng thức trên cho trường hợp u là một hàm trơn. Xét hàm chặt cụt (cut-off function) η = η(x, t) thỏa mãn  0 6 η 6 1, η ≡ 1 trên Q 1 , 2 (1.11) η = 0 gần ∂ Q . p 1 Nhân hai vế của phương trình (1.3) cho η 2 u và lấy tích phân trên B1 . Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta thu được Z Z Z 2 2 ut (η u)dx + A∇u · ∇(η u)dx = − f · ∇(η 2 u)dx. B1 B1 B1 Ta viết lại biểu thức trên dưới dạng I1 + I2 = I3 + I4 , trong đó I1 d dt Z = I2 = I3 = I4 = Z B1 η2 |u|2 dx, 2 η 2 (A∇u · ∇u)dx, ZB1 Z 2 ηηt |u| dx − 2 ηu(A∇u · ∇η)dx, B1 B1 Z − f · ∇(η 2 u)dx. B1 Ta lần lượt đánh giá các số hạng I2 , I3 và I4 như sau Z Z 2 −1 I2 = η (A∇u · ∇u)dx ≥ Λ B1 Z I3 = ≤ Z I4 = − ZB1 = ≤ ≤ η 2 |∇u|2 dx, B1 Z ηηt |u|2 dx − 2 ηu(A∇u · ∇η)dx B1 B1 Z  Z 1 2 |u| dx + Cτ η 2 |∇u|2 dx, C 1+ τ B1 B1 f · ∇(η 2 u)dx   − (f · ∇u)η 2 + 2(f · ∇η)ηu dx Z B1 Z Z
1 2 2 2 τ η |∇u| dx + |f | dx + C |u|2 + |f |2 dx 4τ B1 B  B1  Z Z 1 Z 1 τ η 2 |∇u|2 dx + C |u|2 dx + C 1 + |f |2 dx. τ B1 B1 B1 9 Từ đó ta suy ra ≥ I1 + I2 và I3 + I4 d dt Z η 2 2 |u| 2 B1 dx + Λ −1 Z η 2 |∇u|2 dx, B1  Z Z 1 2 C 1+ |u| dx + Cτ η 2 |∇u|2 dx τ B1 B1  Z Z Z 1 2 2 2 η |∇u| dx + C |u| dx + C 1 + |f |2 dx +τ τ B1 B1  B1  Z Z
1 η 2 |∇u|2 dx. C 1+ |u|2 + |f |2 dx + Cτ τ B1 B1 ≤ ≤ Do I1 + I2 = I3 + I4 nên ta suy ra được  Z Z Z Z 2
d 1 2 |u| −1 2 2 2 2 η 2 |∇u|2 dx. η dx+Λ η |∇u| dx ≤ C 1 + |u| + |f | dx+Cτ dt B1 2 τ B1 B1 B1 Đến đây ta chọn τ đủ nhỏ để có được Z Z Z 2
d 2 |u| 2 2 η dx + C1 η |∇u| dx ≤ C2 |u|2 + |f |2 dx. dt B1 2 B1 B1 Lấy tích phân theo biến thời gian từ −1 đến 0 và chú ý (1.11) ta có Z Z
2 |∇u| dxdt ≤ C |u|2 + |f |2 dxdt. Q1 Q1 2 Đến đây, trở lại trường hợp tổng quát khi u là nghiệm yếu của phương trình (1.3) trong Q1 , tồn tại một dãy hàm trơn hội tụ về u. Các hàm trơn này thỏa mãn bất đẳng thức trên nên ta suy ra được nghiệm yếu u cũng thỏa mãn. Bổ đề được chứng minh xong. Bổ đề 1.8. Giả sử u là một nghiệm yếu của phương trình parabolic (1.3) trong Q1 . Khi đó tồn tại hằng số C > 0 sao cho   kuk2 W∗1,2 (Q 1 ) 6 C kuk2L2 (Q1 ) + kf k2L2 (Q1 ) . 2 Chứng minh. Theo Định nghĩa 1.3 và Bổ đề 1.7 ta có đánh giá sau kuk2   W∗1,2 Q 1 = kuk2 2  L  Q1 + k∇uk2 2  L 2 2 ≤ kuk2 2   L Q1  Q1 + kA∇u + f k2 2  L 2 + 2  k∇uk2 2   L Q1 2 ≤ C kuk2L2 (Q1 ) + kf k2L2 (Q1 ) . Vậy bổ đề được chứng minh. 2 + 2 kAk 2   Q1 L∞   Q1 2 k∇uk2 2  L  Q1 2 + 2 kf k2L2 (Q1 ) 10 Bổ đề 1.9. Giả sử u là một nghiệm yếu của phương trình parabolic (1.3) trong Q1 . Khi đó tồn tại một hằng số C > 0, chỉ phụ thuộc số chiều sao cho   ku − uQ1 k2 L2 (Q1 ) 6 C k∇uk2L2 (Q1 ) + kf k2L2 (Q1 ) . (1.12) Chứng minh. Chúng ta chứng minh mệnh đề trên bằng phản chứng. Giả sử rằng, ∞ ∞ tồn tại các dãy {Ak }∞ k=1 , {uk }k=1 , {fk }k=1 sao cho uk là một nghiệm yếu của phương trình (uk )t − div(Ak ∇uk ) = divfk trong Q1 và tồn tại số nguyên k để   2 2 uk − ukQ 2 2 > k k∇u k + kf k 2 2 k k 1 L (Q1 ) L (Q1 ) . L (Q1 ) Ta có thể chuẩn hóa sao cho uk − ukQ1 L2 (Q1 ) = 1, và ta có   2 2 2 uk − ukQ 2 1,2 6 C kuk kL2 (Q1 ) + k∇uk kL2 (Q1 ) + kfk kL2 (Q1 ) . 1 W∗ (Q1 )   1 6C 1+ k 6C và k∇uk k2L2 (Q1 ) + kfk k2L2 (Q1 ) ≤ 1 −→ 0 khi k −→ +∞. k Lấy u◦ là giới hạn yếu của {uk − ukQ1 }. Khi đó ta có 
   uk − ukQ1 −→ u◦ ku◦ kL2 (Q1 ) = 1 trong L2 (Q1 ),    ∇uk * ∇u◦ (= 0) trong L2 (Q1 ),      uk * u◦ trong W∗1,2 (Q1 ). (1.13) (1.14) Bây giờ ta cần chứng minh u◦ là nghiệm yếu của phương trình (u◦ )t = 0 trong Q1 . (1.15) Để làm điều này, ta chọn bất kỳ hàm ϕ ∈ C0∞ (Q1 ). Khi đó theo (1.12) ta được Z Z Z
Ak ∇uk · ∇ϕt dxdt = fk · ∇ϕt dxdt. (1.16) uk − ukQ1 ϕt dxdt − Q1 Q1 Q1 11 Cho k −→ ∞ ta nhận được Z u◦ ϕt dxdt = 0, Q1 điều này cho thấy biểu thức (1.15) là thỏa mãn. Theo (1.14) ta suy ra u◦ = 0, điều này mâu thuẫn. Vậy, bổ đề được chứng minh. 1.3. Các đánh giá so sánh Giả sử v là nghiệm trơn của phương trình
vt − div AQ4 ∇v = 0 trong Q4 . Bổ đề 1.10. Với mọi  > 0 bất kỳ, tồn tại δ = δ() > 0 sao cho với mọi nghiệm yếu u của phương trình parabolic (1.3) trong Q5 thỏa hai điều kiện Z 1 |∇u|2 dxdt 6 1 |Q5 | (1.17) Q5 và 1 |Q5 | Z  2   |f |2 + A − AQ5  dxdt 6 δ 2 , (1.18) Q5 ta có đánh giá Z |u − v|2 dxdt 6 2 . (1.19) Q4 Chứng minh. Ta chứng minh mệnh đề trên bằng phản chứng. Giả sử rằng, tồn tại ∞ ∞ ◦ > 0, {Ak }∞ k=1 , {uk }k=1 và {fk }k=1 sao cho uk là một nghiệm yếu của phương trình (uk )t − div(Ak ∇uk ) = divfk thỏa mãn hai điều kiện Z 1 |∇uk |2 dxdt 6 1 và |Q5 | Q5 1 |Q5 | Z Q5  trong Q5  2  1  |fk | + Ak − AkQ5  dxdt 6 2 , k 2 (1.20) nhưng Z Q4 kuk − vk k2 dxdt > 2◦ , (1.21) 12 trong đó vk là nghiệm trơn của phương trình (vk )t − div(AkQ4 ∇vk ) = 0 trong Q4 . (1.22) 1,2 Từ (1.17), áp dụng Bổ đề 1.8 và Bổ đề 1.9, ta có {uk −ukQ4 }∞ k=1 bị chặn trong W∗ (Q4 ). Do đó, tồn tại dãy con mà ta vẫn kí hiệu là {uk − ukQ4 }, sao cho uk − ukQ4 −→ u◦ trong L2 (Q4 ) và uk − ukQ4 * u◦ trong W∗1,2 (Q4 ). (1.23) Do {AkQ4 } bị chặn, tồn tại dãy con mà ta vẫn kí hiệu là {AkQ4 }∞ k=1 , sao cho AkQ4 → A◦ khi k → ∞. (1.24) trong L2 (Q4 ). (1.25) Nhưng khi đó, từ (1.18), ta có Ak → A◦ Bây giờ, ta sẽ chỉ ra rằng u◦ là nghiệm yếu của (u◦ )t − div(A◦ ∇u◦ ) = 0 trong Q4 . (1.26) Để làm được điều này, chọn hàm thử ϕ ∈ C◦∞ (Q4 ). Từ (1.20), ta có Z − Z (uk − ukQ4 )ϕt dxdt + Q4 Ak ∇uk · ∇ϕ dxdt Q4 Z Z =− (uk − ukQ4 )ϕt dxdt + Ak ∇uk · ∇ϕ dxdt Q5 Q5 Z =− fk · ∇ϕ dxdt Q5 Z =− fk · ∇ϕ dxdt. Q4 Cho k −→ ∞, sử dụng (1.23), (1.24) và (1.20) ta thu được: Z Z A◦ ∇u◦ · ∇ϕ dxdt = 0, − u◦ ϕt dxdt + Q4 Q4 Điều này chỉ ra rằng u◦ là nghiệm yếu của phương trình (1.26). Chú ý rằng trong Q4 (u◦ )t − div(AkQ4 ∇u◦ ) = (u◦ )t − div[(AkQ4 − A◦ )∇u◦ ] − div(A◦ ∇u◦ ) = −div[(AkQ4 − A◦ )∇u◦ ] + (u◦ )t − div(A◦ ∇u◦ ) = −div[(AkQ4 − A◦ )∇u◦ ], 13 trong đó ta đã sử dụng (1.26). Bây giờ ta lấy hk là nghiệm của     (hk )t − div(AkQ ∇hk ) = −div (AkQ − A◦ )∇u◦ trong Q4 , 4 4   hk = 0 (1.27) trên ∂p Q4 , và ta khẳng định rằng u◦ − hk là nghiệm của
(u◦ − hk )t − div AkQ4 ∇(u◦ − hk ) = 0 trong Q4 . (1.28) Để chứng minh khẳng định trên, chọn bất kỳ ϕ ∈ C0∞ (Q4 ). Trong (1.26) và (1.27), Z Z (u◦ − hk )ϕt dxdt + (AkQ4 )∇(u◦ − hk ) · ∇ϕ dxdt − Q4 Q4 Z Z Z =− u◦ ϕt dxdt − hk ϕt dxdt + (AkQ4 )∇(u◦ − hk ) · ∇ϕ dxdt Q4 Q4 Q4 Z  Z Z   A◦ ∇u◦ · ∇ϕ dxdt + (AkQ4 )∇hk · ∇ϕ dxdt − =− (AkQ4 − A◦ )∇u◦ ∇ϕ dxdt Q4 Q4 Q4 Z + (AkQ4 )∇(u◦ − hk ) · ∇ϕ dxdt Q4 = 0, suy ra (1.28). Hơn nữa từ (1.27) ta có khk kL2 (Q4 ) 6 khk kH 1,2 (Q4 ) 6 Ck(AkQ4 − A◦ )∇u◦ kL2 (Q4 ) 6 C|(AkQ4 − A◦ )|k∇u◦ kL2 (Q4 ) 6 C|(AkQ4 − A◦ )|. Do vậy k(uk − ukQ4 ) − (uk − hk )kL2 (Q4 ) 6 k(uk − ukQ4 ) − u◦ kL2 (Q4 ) + khk kL2 (Q4 ) 6 k(uk − ukQ4 ) − u◦ kL2 (Q4 ) + C|AkQ4 − A◦ |. Từ đánh giá này và cùng với các kết quả gới hạn trong (1.23), (1.24), ta khẳng định k(uk − ukQ4 ) − (uk − hk )kL2 (Q4 ) −→ 0 khi k −→ ∞. Điều này mâu thuẫn với (1.21) bởi (1.28). Vậy, bổ đề được chứng minh. 14 Hệ quả 1.11. Với mọi  > 0 bất kỳ, tồn tại δ = δ() > 0 sao cho với bất kỳ nghiệm yếu u của phương trình parabolic (1.3) trong Q5 thỏa Z Z   2  1 1 2 2  |∇u| dxdt 6 1 và |f | + A − AQ5  dxdt 6 δ 2 . |Q5 | Q5 |Q5 | Q5 (1.29) ta có đánh giá ku − vk2W∗1,2 (Q2 ) 6 2 . (1.30) Chứng minh. Trong biểu thức (1.29) và Bổ đề 1.9, tồn tại nghiệm v của phương trình
vt − div AQ4 ∇v = 0 trong Q4 (1.31) sao cho Z |u − v|2 dxdt  1 với điều kiện Q4 1 |Q5 | Z   2  |f |2 + A − AQ5  dxdt  1. (1.32) Q5 Trước hết, ta chỉ ra rằng w = u − v là một nghiệm yếu của phương trình   wt − div(A∇w) = div f − (A − AQ4 )∇v (1.33) Thật vậy, chọn ϕ ∈ C◦∞ (Q4 ). Khi đó ta có Z Z wϕt dxdt − A∇w · ∇ϕt dxdt Q4 Q4 Z Z = (u − v)ϕt dxdt − A∇(u − v) · ∇ϕt dxdt Q4 Q4 Z Z Z Z = uϕt dxdt − A∇u · ∇ϕt dxdt − vϕt dxdt − A∇v · ∇ϕt dxdt Q5 Q5 Q4 Q4 Z Z Z f · ∇ϕt dxdt − vϕt dxdt + (A − AQ4 + AQ4 )∇v · ∇ϕ dxdt = Q4 Q4 Q5 Z  Z Z Z = f · ∇ϕ dxdt − vϕt dxdt − AQ4 ∇v · ∇ϕ dxdt + (A − AQ4 )∇v · ∇ϕ dxdt Q4 Q4 Q4 Q4 Z Z = f · ∇ϕ dxdt − 0 + (A − AQ4 )∇v · ∇ϕ dxdt Q4 Q4 Z   = f + (A − AQ4 )∇v · ∇ϕ dxdt, Q4 từ đó suy ra được (1.33). Mặt khác, theo Bổ đề 1.8 ta khẳng định rằng   2 2 2 2 ku − vkW 1,2 (Q2 ) 6 C ku − vkL(Q3 ) + k∇(u − v)kL(Q3 ) + kf + (A − AQ4 )∇vkL2 (Q3 ) ∗   6 C ku − vk2L(Q3 ) + kf k2L(Q3 ) + k(A − AQ4 )k2L2 (Q3 )   6 C ku − vk2L(Q4 ) + kf k2L(Q5 ) + k(A − AQ4 )k2L2 (Q5 ) . Ta thu được đánh giá (1.30) từ (1.32), (1.29) và Bổ đề 1.10 15 1.4. Bất đẳng thức dạng “level sets” Trong mục này, chúng tôi chứng minh lại một bất đẳng đẳng thức dạng “level sets” để thu được tính chính quy nghiệm của phương trình parabolic. Bất đẳng thức này được xây dựng thông qua toán tử cực đại Hardy-Littlewood, được nhắc lại ngay sau đây. Định nghĩa 1.12. Cho f (x, t) là hàm khả tích địa phương. Khi đó Z 1 Mf (x, t) = sup |f (y, s)|dyds r>0 |C| Cr (x,t) được gọi là hàm cực đại Hardy-Littlewood parabolic của hàm f . Dưới đây là hai kết quả cơ bản về tính bị chặn của hàm cực đại parabolic mà chúng ta sẽ sử dụng sau này (i ) Nếu f (x, t) ∈ Lp (Rn × R) với p > 1, thì Mf ∈ Lp (Rn × R). Hơn nữa, kMf kLp ≤ Ckf kLp . (ii ) Nếu f (x, t) ∈ L1 (Rn × R), thì C |{(x, t) ∈ R × R : Mf (x, t) > α}| ≤ α n Z |f |p dxdt. Bổ đề 1.13. Có một hằng số N1 để với bất kỳ  > 0, tồn tại δ = δ() > 0 sao cho với mọi nghiệm yếu u của phương trình ut − div(A∇u) = divf trong ΩT = Ω × (a, a + T ] ⊃ Q9 (0, 2) (1.34) với hai giả thiết sau thỏa mãn 

Q1 ∩ M |∇u|2 6 1 ∩ M |f |2 6 δ 2 6= φ (1.35) A − A 2L2 (Q (0,2)) 6 δ 2 , 9 (1.36)  
 M |∇u|2 > N12 ∩ Q1  <  |Q1 | . (1.37) và thì ta có đánh giá Chứng minh. Từ điều kiện (1.35), ta thấy rằng tồn tại điểm (x◦ , t◦ ) ∈ Q1 sao cho Z Z 1 1 2 |∇u| dxdt 6 1, kf k2 dxdt 6 δ 2 , ∀Cr (x◦ , t◦ ). (1.38) |C| Cr (x◦ ,t◦ )∩ΩT |C| Cr (x◦ ,t◦ )∩ΩT