Tài liệu Một số kết quả chính quy nghiệm cho phương trình dạng divergence

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Quỳnh Như MỘT SỐ KẾT QUẢ CHÍNH QUY NGHIỆM CHO PHƯƠNG TRÌNH DẠNG DIVERGENCE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Quỳnh Như MỘT SỐ KẾT QUẢ CHÍNH QUY NGHIỆM CHO PHƯƠNG TRÌNH DẠNG DIVERGENCE Chuyên ngành: Toán giải Tích Mã số : 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THÀNH NHÂN Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn thạc sĩ với tên đề tài: “Một số kết quả chính quy nghiệm cho phương trình dạng Divergence” là do tôi thực hiện, dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Nguyễn Thành Nhân. Các nội dung nghiên cứu và kết quả trong luận văn được trích dẫn và liệt kê đầy đủ trong tài liệu tham khảo. TP. Hồ Chí Minh, ngày 25 tháng 3 năm 2019 Học viên Nguyễn Thị Quỳnh Như LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn này, lời đầu tiên tôi xin tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến thầy TS. Nguyễn Thành Nhân đã hướng dẫn tôi hết sức tận tình và đầy nhiệt tâm trong suốt quá trình viết luận văn. Những nhận xét và đánh giá của thầy, đặc biệt là những gợi ý về hướng giải quyết vấn đề trong suốt quá trình nghiên cứu, thực sự là những bài học vô cùng quý giá đối với tôi không chỉ trong quá trình viết luận văn mà cả trong hoạt động nghiên cứu chuyên môn sau này. Tôi xin cảm ơn Ban Giám Hiệu nhà trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, các thầy cô giáo trong bộ môn Toán cùng quý thầy cô giáo đã tận tình truyền đạt kiến thức trong thời gian tôi học tập và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu thực hiện đề tài. Cuối cùng tôi kính chúc quý thầy, cô giáo dồi dào sức khỏe và thành công trong sự nghiệp cao quý. Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình và tất cả bạn bè đã giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài. Tôi xin chân thành cảm ơn! TP.Hồ Chí Minh, ngày 25 tháng 3 năm 2019 Học viên Nguyễn Thị Quỳnh Như MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan ..................................................................................................... 1 Lời cảm ơn ......................................................................................................... 2 Mục lục .............................................................................................................. 3 Danh mục các kí hiệu ........................................................................................ 4 MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 Chương 1. KHÁI QUÁT VÀ CÁC KÝ HIỆU .............................................. 4 1.1. Tính giải được của bài toán divergence .................................................. 4 1.2. Định nghĩa một số miền có liên quan ...................................................... 6 1.3. Một số kết quả tương đương trong các miền chính quy ......................... 7 Chương 2. BÀI TOÁN DIVERGENCE TRÊN MIỀN HOLDER-𝜶 ......... 9 2.1. Bất đẳng thức dạng Korn trên miền Holder-𝛂 ........................................ 9 2.2. Nghiệm của bài toán divergence trong miền Holder-𝛂......................... 13 2.2.1. Hàm trọng bên trái........................................................................... 14 2.2.2. Hàm trọng ở cả hai bên ................................................................... 16 2.3. Một số miền Holder-𝛂 đặc biệt với đỉnh bên ngoài .............................. 17 Chương 3. BÀI TOÁN DIVERGENCE TRÊN MIỀN CHÍNH QUY..... 22 3.1. Lớp hàm Muckenhoupt 𝐀𝐩 ................................................................... 22 3.2. Toán tử divergence có trọng trên miền hình sao ................................... 22 Chương 4. MỘT SỐ ỨNG DỤNG ............................................................... 28 4.1. Sự tương đương với bất đẳng thức Korn............................................... 28 4.1.1. Bài toán divergence kéo theo bất đẳng thức Korn .......................... 30 4.1.2. Bất đẳng thức Korn kéo theo bài toán divergence .......................... 31 4.2. Ứng dụng vào phương trình Stokes....................................................... 33 KẾT LUẬN..................................................................................................... 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................. 39 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU Div u / ∇ . u divergence của hàm vector u 𝜕Ω biên của miền Ω 𝜕u đạo hàm của hàm u Diam 𝐹 đường kính của tập 𝐹 rot/curl rota của trường vector ∆u toán tử Laplace của hàm vector u ∇u gradient của hàm vector u ∇u ∶ ∇ũ tích tensor của u và ũ ℝ≥0 tập hợp các số thực không âm ℝ>0 tập hợp các số thực dương 𝑠𝑢𝑝𝑝 u support của hàm u 𝐴𝑝 các lớp hàm Muckenhoupt 𝑊 1,𝑝 (Ω, 𝜔) không gian Sobolev có hàm trọng 𝐿𝑝 (Ω, 𝜔) không gian Lebesgue có hàm trọng 𝐿20 (𝛀) không gian 𝐿2 với tích phân bằng 0 𝐿1𝑙𝑜𝑐 (𝛀) không gian 𝐿1 khả tích địa phương 𝑝 𝐿𝑠𝑦𝑚 (Ω, 𝛾)2×2 không gian con của tensơ đối xứng của không gian 𝐿𝑝 (Ω, 𝛾)2×2 ‖.‖ 𝑘,𝑝(𝛀) 𝑘,𝑝 ∞ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑊 𝑊0 (Ω) :=𝐶 0 (Ω) 𝑊 𝑘,2 (𝛀) ≔ 𝐻𝑘 (𝛀) H10 (Ω)𝑛 = 𝐻 ⏟01 × 𝐻01 × ⋯ × 𝐻01 n lần bao đóng của 𝐶0∞ (Ω) trong 𝑊 𝑘,𝑝 (Ω) 1 MỞ ĐẦU Ngày nay, lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng được rất nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu bởi tính ứng dụng rộng rãi của nó. Các phương trình này thường được xây dựng từ các mô hình thực tế nên đôi khi phức tạp và chưa tìm được nghiệm giải tích. Thay cho việc tìm nghiệm của phương trình này, các đánh giá định tính về sự tồn tại, cấu trúc tập nghiệm, các tính chất về dáng điệu tiệm cận, sự ổn định, tính chính quy của nghiệm trở nên có ích. Một trong các lớp phương trình đạo hàm riêng cơ bản được khảo sát là phương trình dạng divergence. Luận văn này tập trung khảo sát một số kết quả chính quy nghiệm của phương trình đạo hàm riêng dạng divergence. Các kết quả này có thể ứng dụng vào phương trình Stokes. Mục tiêu thứ nhất của đề tài là chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình div u = 𝑓 trong không gian Sobolev có trọng trên một số miền đặc biệt, có biên không trơn. Cụ thể, với Ω ⊂ ℝ𝑛 là miền bị chặn, ta muốn tìm hàm trọng 𝜔1 và 𝜔2 sao cho với mọi 𝑓 ∈ 𝐿𝑝 (Ω, 𝜔2 ) có tích phân bằng không, tồn tại một 1,𝑝 nghiệm u ∈ 𝑊0 (Ω, 𝜔1 )𝑛 của div u = 𝑓 thỏa mãn ‖u‖𝑊 1,𝑝(Ω,𝜔1)𝑛 ≤ 𝐶‖𝑓‖𝐿𝑝 (Ω,𝜔2 ) , với 𝐶 là hằng số dương chỉ phụ thuộc Ω, 𝑝, 𝜔1 , 𝜔2 . Trong đó, với hàm trọng 𝜔 ∶ ℝ𝑛 → ℝ≥0 là hàm khả tích địa phương, không gian Lebesgue có trọng 𝐿𝑝 (Ω, 𝜔) ứng với chuẩn 1 ‖𝜑‖𝐿𝑝(Ω,𝜔) =(∫Ω|𝜑(𝑥)|𝑝 𝜔(𝑥)𝑑𝑥 )𝑝 , 2 và không gian Sobolev có trọng 𝑊 1,𝑝 (Ω, 𝜔) ứng với chuẩn 1 𝑝 𝑛 ‖𝜑‖𝑊 𝑝(Ω,𝜔) = (∫ |𝜑(𝑥)|𝑝 𝜔(𝑥)𝑑𝑥 ) + (∑ ∫ | Ω 𝑖=1 Ω 𝑝 1 𝑝 𝜕𝜑(𝑥) | 𝜔(𝑥)𝑑𝑥 ) . 𝜕𝑥𝑖 1,𝑝 Ta kí hiệu 𝑊0 (Ω, 𝜔1 ) là bao đóng của 𝐶0∞ (Ω) trong 𝑊 1,𝑝 (Ω, 𝜔). Mục tiêu thứ hai là ứng dụng các kết quả tìm được trong không gian có hàm trọng vào việc đánh giá tính chính quy nghiệm của phương trình Stokes và bất đẳng thức Korn. Trong luận văn này, tác giả sẽ đọc hiểu, tổng hợp và trình bày một cách chi tiết một số bài báo khoa học liên quan đến tính chính quy nghiệm của phương trình divergence. Từ đó hướng đến một vài ý tưởng mở rộng kết quả dựa trên các nghiên cứu đã được công bố gần đây. Công việc đòi hỏi phải vận dụng các kiến thức đã học về phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng và giải tích hàm. Nội dung luận văn tập trung khảo sát một số kết quả về tính chính quy nghiệm của phương trình dạng divergence cùng với một số ứng dụng. Luận văn được trình bày gồm 4 chương: Chương 1. Khái quát và ký hiệu. Nội dung chương 1 trình bày về phương trình divergence, trong đó với một số định nghĩa cơ bản về không gian có hàm trọng, một số miền như miền Lipschitz, miền hình sao, miền John, miền Holder-𝛼, bất đẳng thức Korn, bổ đề Lions để làm tiền đề sử dụng cho các chương tiếp theo. Nội dung chương 1 được tham khảo trong tài liệu [1], [3], [5]. Chương 2. Nghiệm có trọng của bài toán divergence trên miền phẳng. Nội dung chương 2 là nội dung chính của luận văn này giới thiệu về nghiệm của phương trình Divergence trên miền Holder-𝛼, hàm trọng bên trái, hàm trọng ở cả hai bên và một số miền Holder-𝛼 đặc biệt với 3 đỉnh bên ngoài. Nội dung chương 2 được tham khảo trong tài liệu [1], [2], [5]. Chương 3. Nghiệm có trọng của bài toán divergence trên miền chính quy. Chương 3 giới thiệu về Lớp hàm Muckenhoupt 𝐴𝑝 , toán tử Divergence có trọng trên miền hình sao. Nội dung chương 3 được tham khảo trong tài liệu [6]. Chương 4. Một số ứng dụng. Cuối cùng ta nói về sự tương đương giữa bất đẳng thức Korn và bài toán Divergence có trọng tổng quát, bài toán Divergence kéo theo bất đẳng thức Korn, bất đẳng thức korn kéo theo bài toán Divergence và ứng dụng vào phương trình Stokes. Nội dung chương 4 được tham khảo trong tài liệu [2], [4], [7]. 4 Chương 1. KHÁI QUÁT VÀ CÁC KÝ HIỆU Trong luận văn này ta nói về tính giải được của bài toán divergence trong không gian Sobolev có trọng với miền bị chặn. Ta giới thiệu các định nghĩa về hàm trọng, không gian Sobolev có hàm trọng, tập m-chính quy, mặt nón, miền Lipschitz, miền hình sao ứng với quả cầu, miền John, miền Holder−𝛼, bổ đề Korn, bổ đề Lions. 1.1. Tính giải được của bài toán divergence Cho Ω ⊂ ℝn là một miền bị chặn và 1 < p < ∞. Ta nói rằng (div)p là giải 1,p được trong Ω nếu tồn tại một nghiệm u ∈ W0 (Ω)n của phương trình div u = 𝑓, (1.1) với 𝑓 ∈ 𝐿𝑝 (Ω) có trung bình tích phân bằng 0, sao cho ‖u‖𝑊 1,𝑝(Ω) 0 ≤ 𝐶‖𝑓‖𝐿𝑝(Ω), (1.2) với hằng số 𝐶 chỉ phụ thuộc Ω và 𝑝. Bây giờ ta sẽ giới thiệu không gian Sobolev có hàm trọng. Định nghĩa 1.1 ([5]) Ta nói hàm 𝜔 trong ℝ𝑛 là một hàm trọng nếu nó khả tích địa phương và nhận giá trị trong (0, ∞) hầu khắp nơi. Vì thế, hàm trọng chỉ có thể bằng không trong tập Lebesgue có độ đo không. Cho một tập Ω ⊂ ℝ𝑛 , không gian Lebesgue có hàm trọng 𝐿𝑝 (Ω, 𝜔) với 1 < 𝑝 < ∞ là không gian có các hàm khả tích địa phương 𝜑: Ω → ℝ được trang bị chuẩn như sau 1 ‖𝜑‖𝐿𝑝(Ω,𝜔) = (∫Ω|𝜑(𝑥)|𝑝 𝜔(𝑥)d𝑥)𝑝. Tương tự, cho hàm trọng 𝜔1 , 𝜔2 ∶ ℝ𝑛 → [0, ∞] ta định nghĩa không gian Sobolev có hàm trọng như sau 5 𝑊 1,𝑝 (Ω, 𝜔1 , 𝜔2 ) = {𝜑 ∈ 𝐿𝑝 (Ω, 𝜔1 ): 𝜑 khả tích địa phương và với đạo hàm riêng 𝜕𝜑 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝜑 ∈ 𝐿𝑝 (Ω, 𝜔2 ), ∀𝑖}, 𝜕𝑥𝑖 theo hướng phân phối với chuẩn là ‖𝜑‖𝑊 1,𝑝(Ω,𝜔1 ,𝜔2 ) 𝑛 = (∫ |𝜑(𝑥)|𝑝 𝜔(𝑥)d𝑥 + ∑ ∫ | Ω 𝑖=1 Ω 1 𝑝 𝑝 𝜕𝜑(𝑥) | 𝜔2 (𝑥)d𝑥 ) . 𝜕𝑥𝑖 (1.3) Trong trường hợp 𝜔1 = 𝜔2 = 𝜔 ta viết 𝑊 1,𝑝 (Ω, 𝜔) thay vì 𝑊 1,𝑝 (Ω, 𝜔, 𝜔). Ta sẽ làm việc với hai lớp khác nhau của hàm trọng, lớp đầu tiên là lũy thừa của khoảng cách tới một tập con 𝑀. Ta ký hiệu 𝛽 𝜔(𝑥) = 𝑑𝑀 (𝑥) = (dist(𝑥, 𝑀))𝛽 , với 𝛽 là một số thực. Trong trường hợp đặc biệt 𝑀 là biên của miền Ω, ta viết 𝑑(𝑥) thay cho 𝑑𝜕Ω (𝑥). Ngoài ra, với số thực 𝛽 ta ký hiệu 𝛽 𝛽 𝐿𝑝 (Ω, 𝛽) = 𝐿𝑝 (Ω, 𝑑𝜕Ω ) và 𝑊 1,𝑝 (Ω, 𝛽) = 𝑊 1,𝑝 (Ω, 𝑑𝜕Ω ). (1.4) Lớp thứ hai của hàm trọng là lớp Muckenhoupt 𝐴𝑝, với 1 < 𝑝 < ∞. Nhắc lại rằng hàm trọng 𝜔 được gọi là hàm trọng 𝐴𝑝 nếu nó thỏa mãn 𝑝−1 −1 1 1 sup ( ∫ 𝑤(𝑥)𝑑𝑥) ( ∫ 𝑤(𝑥)𝑝−1 𝑑𝑥 ) |𝐵| 𝐵 𝐵⊂ℝ𝑛 |𝐵| 𝐵 < ∞, (1.5) với |𝐵| là độ đo Lebesgue của 𝐵. Để phân tích tính giải được của bài toán Divergence trong các miền xác định khi (div)𝑝 không giải được, ta thay điều kiện (1.2) bằng một điều kiện khác tổng quát hơn liên quan đến chuẩn hàm trọng. Do đó, ta nói rằng (div)p,w là giải được trong Ω đối với hàm trọng 𝜔1 và 𝜔2 nếu tồn tại một nghiệm 1,𝑝 u ∈𝑊0 (Ω, 𝜔1 )𝑛 của phương trình div u = 𝑓, 6 𝑝 với 𝑓 ∈ 𝐿0 (Ω, 𝜔2 )𝑛 , sao cho ‖u‖𝑊 1,𝑝(Ω,𝜔1 ) ≤ 𝐶‖𝑓‖𝐿𝑝(Ω,𝜔2) , (1.6) với 𝐶 chỉ phụ thuộc Ω, 𝜔1 , 𝜔2 và 𝑝. 1.2. Định nghĩa một số miền có liên quan Ta giới thiệu định nghĩa và một số tính chất quan trọng của các miền khác nhau được xét trong luận văn này. Định nghĩa 1.2 ([5]) Với 0 ≤ 𝑚 ≤ 𝑛, một tập compact 𝐹 ⊂ ℝ𝑛 là một tập mchính quy nếu tồn tại hằng số dương 𝐶 sao cho 𝐶 −1 𝑟 𝑚 < ℋ 𝑚 (𝐵(𝑥, 𝑟) ∩ 𝐹) < 𝐶𝑟 𝑚 , với mọi 𝑥 ∈ 𝐹, 0 < 𝑟 ≤ 𝑑𝑖𝑎𝑚 𝐹, ℋ 𝑚 là độ đo Hausdorff m-chiều và 𝐵(𝑥, 𝑟) là hình cầu bán kính 𝑟, tâm 𝑥. Định nghĩa 1.3 ([1]) Ta nói rằng một tập 𝒞 ⊂ ℝ𝑛 là một mặt nón nếu tồn tại 𝑟1 , 𝑟2 ∈ ℝ>0 sao cho nếu trong một số hệ trục tọa độ trực giao (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ), 𝒞 = {(𝑥 ′ , 𝑥𝑛 ) ∈ ℝ𝑛−1 × ℝ ∶ 0 < 𝑥𝑛 < 𝑟1 và 𝑥𝑛−1 𝑥 ′ ∈ 𝐵𝑟2 }, (1.9) với 𝐵𝑟2 là hình cầu với tâm là điểm gốc của ℝ𝑛−1 và bán kính 𝑟2 . Định nghĩa 1.4 ([1]) Miền bị chặn Ω ⊂ ℝ𝑛 là Lipschitz nếu với mọi 𝑥0 ∈ 𝜕Ω, tồn tại một mặt nón 𝒞 ⊂ ℝ𝑛 và lân cận 𝑈 của 𝑥0 sao cho 𝑥 + 𝒞 ⊂ Ω với mọi 𝑥 ∈ 𝑈 + Ω . Định nghĩa 1.5 ([1]) Một miền Ω ⊂ ℝ𝑛 là một miền hình sao ứng với quả cầu 𝐵 ⊂ ℝ𝑛 nếu với mọi 𝑥 ∈ Ω và 𝑦 ∈ 𝐵, đoạn nối 𝑥 và 𝑦 nằm trong Ω. Miền này chứa các miền lồi và được chứa trong miền Lipschitz. Do đó, tính giải được của phương trình divergence cho miền hình sao có thể được suy rộng từ Lipschitz. Định nghĩa 1.6 ([3]) Một miền bị chặn Ω là miền John đối với 𝑥0 ∈ 𝛺 nếu với mọi 𝑥 ∈ 𝛺 tồn tại đường cong 𝜎 ∶ [0, 𝑙] → 𝛺 sao cho 𝜎(0) = 𝑥 và 𝜎(𝑙) = 𝑥0 thỏa mãn 7 dist(𝜎(𝑡), 𝜕𝛺) ≥ 𝐶𝑡. Định nghĩa 1.7 ([1]) Cho 0 < 𝛼 ≤ 1, có thể định nghĩa lớp của các miền Holder- 𝛼 là miền Lipschitz thay thế mặt nón trong phương trình (1.9) bởi 𝛼 − 𝑐𝑢𝑠𝑝. Một tập 𝒞 ⊂ ℝ𝑛 là một 𝛼 − 𝑐𝑢𝑠𝑝 nếu tồn tại 𝑟1, 𝑟2 ∈ ℝ>0 sao cho trong hệ trục tọa độ trực giao (𝑥1 , … , 𝑥2 ), −𝛾 𝒞 = {(𝑥 ′ , 𝑥𝑛 ) ∈ ℝ𝑛−1 × ℝ ∶ 0 < 𝑥𝑛 < 𝑟1 và 𝑥𝑛 𝑥 ′ ∈ 𝐵𝑟2 }, với 𝛾 = 1⁄𝛼 và 𝐵𝑟2 là hình cầu với tâm là điểm gốc của ℝ𝑛−1 và bán kính 𝑟2 . Trong trường hợp đặc biệt 𝛼 = 1 ta có miền Lipchitz. 1.3. Một số kết quả tương đương trong các miền chính quy Trong phần này chúng ta sẽ nhắc lại một vài kết quả tương đương về sự tồn tại một nghiệm của phương trình (1.1) thỏa mãn phương trình (1.2). Bất đẳng thức Korn. ([5]) Cho 𝐵 là quả cầu nhỏ chứa trong Ω, tồn tại hằng số 𝐶 chỉ phụ thuộc Ω, 𝐵 và 𝑝 sao cho ‖𝐷v‖𝐿𝑝(Ω)𝑛×𝑛 ≤ 𝐶{ ‖𝜀(v)‖𝐿𝑝(Ω)𝑛×𝑛 + ‖v‖𝐿𝑝(B)𝑛 }, với v trong 𝑊 1,𝑝 (Ω)𝑛 , 𝜀(v) là phần đối xứng của ma trận vi phân của v với 1 𝜕v 𝜕v𝑗 𝜀(v)𝑖𝑗 = ( 𝑖 + ). 2 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝑗 𝑖 Bổ đề Lions. ([5]) Bổ đề Lions cũng tương đương với sự tồn tại nghiệm của bài toán divergence với 𝑝 = 2. Kết quả này khẳng định rằng ‖𝑓‖𝐿2 (Ω) ≤ 𝐶(‖∇𝑓‖𝐻 −1(Ω)𝑛 + ‖𝑓‖𝐻 −1(Ω) ), với 𝑓 ∈ 𝐿2 (Ω), 𝐶 chỉ phụ thuộc vào Ω và 𝐻 −1 (Ω) là đối ngẫu của không gian Sobolev 𝐻01 (Ω). Trong trường hợp đặc biệt của hàm số với giá trị trung bình bằng 0, ta có bất đẳng thức sau ‖𝑓‖𝐿2(Ω) ≤ 𝐶‖∇𝑓‖𝐻 −1(Ω)𝑛. Viết lại bổ đề Lions cho hàm số với giá trị trung bình bằng không ta có đánh giá sau 8 ∫Ω 𝑞 div u ≥𝐶 0≠𝑞∈𝐿0 (Ω) 0≠u∈𝐻 1 (Ω)𝑛 ‖𝑞‖𝐿2 (Ω) ‖u‖𝐻 1 (Ω)𝑛 0 0 0 inf2 sup (1.10) với 𝐶 là hằng số dương. Trên thực tế, phương trình (1.10) bao hàm sự tồn tại của nghiệm duy nhất (u, 𝑝) trong 𝐻01 (Ω)𝑛 × 𝐿20 (Ω) của hệ phương trình sau ∫ 𝐷u : 𝐷v − ∫ 𝑝 div v = ∫ f ∙ v Ω ∫ 𝑞 div u { Ω Ω ∀v ∈𝐻01 (Ω)𝑛 Ω ∀q ∈ 𝐿20 (Ω), =0 với 𝑓 ∈ 𝐻−1 (Ω)𝑛 , 𝐷v là ma trận của các đạo hàm từng phần của v và tích giữa hai ma trận 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) và 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗 ) trong ℝ𝑛×𝑛 được định nghĩa bởi 𝑛 𝐴∶𝐵= ∑ 𝑖,𝑗=1 𝑎𝑖𝑗 𝑏𝑖𝑗 . Hơn nữa, bất đẳng thức phương trình (1.10) được gọi là điều kiện inf-sup. 9 Chương 2. BÀI TOÁN DIVERGENCE TRÊN MIỀN HOLDER-𝜶 Trong chương này ta nghiên cứu bài toán Divergence trong miền liên thông thỏa mãn điều kiện Holder-𝛼, với 𝛼 là số thực trong (0,1]. Để chứng minh sự tồn tại nghiệm trong các không gian có hàm trọng Sobolev ta sử dụng các kết quả của bất đẳng thức Korn và Poincare. 2.1. Bất đẳng thức dạng Korn trên miền Holder-𝜶 Bất đẳng thức Korn cổ điển phát biểu rằng một trường vectơ u = (u1 , … , u𝑛 ) xác định trong Ω và thỏa mãn một số điều kiện ta có bất đẳng thức sau ‖𝐷u‖𝐿𝑝(Ω) ≤ 𝐶‖𝜀(u)‖𝐿𝑝(Ω) , với 𝐷u là ma trận Jacobian, (𝐷u)𝑖𝑗 = 1 𝜕𝑢𝑖 ( 2 𝜕𝑥𝑗 + 𝜕𝑢𝑗 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑥𝑗 (2.1) và thành phần của 𝜀(u) là 𝜀(u)𝑖𝑗 = ). Hai điều kiện Korn xét là u(𝑥) = 0 trong 𝜕Ω (gọi là trường 𝜕𝑢 𝜕𝑢 hợp thứ nhất) và ∫Ω rot u = 0 (trường hợp thứ hai), với rot u = − 1 + 2 . 𝜕𝑥 𝜕𝑥 2 1 Nhận xét rằng bất đẳng thức Korn trong trường hợp thứ nhất đúng trong miền tùy ý nhưng trường hợp thứ hai thì không, chẳng hạn như miền có một đỉnh. Mặt khác, tồn tại bất đẳng thức khác tương đương với (2.1) trong cả hai trường hợp cho miền Lipschitz là ‖𝐷u‖𝐿𝑝(Ω) ≤ 𝐶{‖u‖𝐿𝑝(Ω) + ‖𝜀(u)‖𝐿𝑝(Ω) }, (2.2) với mọi trường u ∈ 𝑊 1,𝑝 (Ω)𝑛 . Cho Ω ⊂ ℝ𝑛 là tập mở bị chặn và 𝑑(𝑥) là khoảng cách từ 𝑥 ∈ Ω tới biên 𝜕Ω. Ta kí hiệu 𝐿𝑝 (Ω, 𝛾) là không gian Banach cho bởi chuẩn ‖𝑢‖𝐿𝑝(Ω,𝛾) ≔ ‖𝑢 𝑑 𝛾 ‖𝐿𝑝(Ω) 10 và tương tự, 𝑊 1,𝑝 (Ω, 𝛾) là không gian Banach với chuẩn ‖𝑢‖𝑊 1,𝑝(Ω,𝛾) ≔ ‖𝑢 𝑑 𝛾 ‖𝐿𝑝(Ω) + ‖∇𝑢 𝑑 𝛾 ‖𝐿𝑝(Ω) . 𝑝 Khi 𝐿𝑝 (Ω, 𝛾) ⊂ 𝐿1 (Ω) thì 𝐿0 (Ω, 𝛾) là không gian con của 𝐿𝑝 (Ω, 𝛾). Bất đẳng thức Poincare. ([1]) Nếu Ω là một miền Holder-𝛼, 0 < 𝛼 ≤ 1, 𝐵 ⊂ Ω là một hình cầu và 𝜙 ∈ 𝐶0∞ (𝐵) sao cho ∫𝐵 𝜙(𝑥)𝑑𝑥 = 1 thì với 𝛼 ≤ 𝛽 ≤ 1 và 𝑓 thỏa mãn ∫𝐵 𝑓(𝑥) 𝜙(𝑥)𝑑𝑥 = 0 tồn tại một hằng số 𝐶 chỉ phụ thuộc vào Ω, 𝐵 và 𝜙 sao cho ‖𝑓‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(1−𝛽)) ≤ 𝐶‖∇𝑓‖𝐿𝑝 (Ω,𝑝(1+𝛼−𝛽)) . (2.3) Định lí 2.1 ([1]) Cho Ω ⊂ ℝ𝑛 là một miền Holder-𝛼, 𝐵 ⊂ Ω là một hình cầu và u ∈ 𝑊 1,𝑝 (Ω, 𝛾) với 1 < 𝑝 < ∞. Khi đó, với 𝛼 ≤ 𝛽 ≤ 1 ta có bất đẳng thức sau ‖𝐷u‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(1−𝛽)) ≤ 𝐶 {‖𝜀(u)‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(𝛼−𝛽)) + ‖u‖𝐿𝑝(Ω) }, với hằng số 𝐶 chỉ phụ thuộc vào Ω, 𝐵 và 𝑝. Chứng minh. Ta cần chỉ ra rằng tồn tại v ∈ 𝑊 1,𝑝 (Ω)𝑛 sao cho trong Ω ∆v = ∆u (2.4) và ‖v‖𝑊 1,𝑝(Ω) ≤ 𝐶‖𝜀(u)‖𝐿𝑝(Ω). (2.5) Xét 𝜙 ∈ 𝐶0∞ (𝐵) sao cho ∫𝐵 𝜙(𝑥)𝑑𝑥 = 1. Với 𝑖 = 1, … , 𝑛 định nghĩa hàm tuyến tính 𝐿𝑖 (𝑥) ∶= (∫ ∇(u𝑖 − v𝑖 )𝜙 (𝑥)𝑑𝑥 ) . 𝑥 𝐵 và L(𝑥) là vectơ với các thành phần là 𝐿𝑖 (𝑥). Khi đó, 𝐷L = ∫ D(u − v) 𝜙(𝑥)𝑑𝑥 𝐵 lấy tích phân từng phần và áp dụng bất đẳng thức Holder ta có 11 |𝐷L| ≤ ‖u − v‖𝐿𝑝(𝐵) ‖∇𝜙‖𝐿𝑞(𝐵) . Từ (2.5) tồn tại một hằng số 𝐶 chỉ phụ thuộc Ω, 𝑝 và 𝜙 sao cho ‖𝐷L‖𝐿𝑝(Ω) ≤ 𝐶{‖u‖𝐿𝑝(𝐵) + ‖ε(u)‖𝐿𝑝(Ω) }. (2.6) Đặt w ≔ u−v−L Theo (2.5) và (2.6), ta chỉ cần đánh giá w. Từ (2.4) và do L tuyến tính nên ∆w = 0 tương đương với ∆𝜀𝑖𝑗 (w) = 0. Nhưng, nếu 𝑓 là một hàm điều hòa trong Ω thì ta có đánh giá sau ‖∇𝑓‖𝐿𝑝(Ω,𝑝−𝜇) ≤ 𝐶‖𝑓‖𝐿𝑝 (Ω,−𝜇) , với mọi 𝜇 ∈ ℝ. Lấy 𝜇 = 𝑝(𝛽 − 𝛼) ta thu được ‖∇𝜀𝑖𝑗 (w)‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(1+𝛼−𝛽)) ≤ 𝐶‖𝜀𝑖𝑗 (w)‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(𝛼−𝛽)) sử dụng đồng nhất thức 𝜕 2 w𝑖 𝜕𝜀𝑖𝑘 (w) 𝜕𝜀𝑖𝑗 (w) 𝜕𝜀𝑗𝑘 (w) = + − 𝜕𝑥𝑗 𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑥𝑗 𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑥𝑖 ta kết luận rằng 𝜕 2 w𝑖 ‖ ‖ 𝜕𝑥𝑗 𝜕𝑥𝑘 𝐿𝑝(Ω,𝑝(1+𝛼−𝛽)) ≤ 𝐶‖𝜀(w)‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(𝛼−𝛽)) , (2.7) với 𝑖, 𝑗, 𝑘 bất kỳ. Vì ∫ 𝜕𝑤𝑖 𝜕𝑥𝑗 𝜙 = 0 (do định nghĩa L) nên từ bất đẳng thức Poincare (2.3) ta có 𝜕w𝑖 𝜕w𝑖 ≤ 𝐶 ‖∇ . ‖ ‖ ‖ 𝜕𝑥𝑗 𝐿𝑝(Ω,𝑝(1−𝛽)) 𝜕𝑥𝑗 𝐿𝑝(Ω,𝑝(1+𝛼−𝛽)) 12 Áp dụng (2.7) ta thu được ‖𝐷w‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(1−𝛽)) ≤ 𝐶‖ε(w)‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(𝛼−𝛽)) ≤ 𝐶‖ε(u)‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(𝛼−𝛽)) Suy ra điều phải chứng minh.□ Trong hệ quả sau ta đưa ra bất đẳng thức Korn có hàm trọng trong miền Holder-𝛼, nó là sự tổng quát hóa trường hợp thứ hai của bất đẳng thức Korn. Để phát biểu bất đẳng thức này ta xét không gian sau 𝒩 = {v ∈ 𝑊 1,𝑝 (Ω)𝑛 ∶ ε(v) = 0}. Hệ quả 2.2 Cho Ω ⊂ ℝ𝑛 là một miền Holder-𝛼 và 1 < 𝑝 < ∞. Khi đó, với 𝛼 ≤ 𝛽 ≤ 1 ta có bất đẳng thức sau inf ‖u − v‖𝑊 1,𝑝(Ω,𝑝(1−𝛽)) v∈𝒩 ≤ 𝐶‖𝜀(u)‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(𝛼−𝛽)) . (2.8) Chứng minh. Cho 𝐵 và 𝜙 như các định lí trước với 𝐵 ⊂ Ω. Định nghĩa 𝑥𝑖 = ∫𝐵 𝑥𝑖 𝜙(𝑥)𝑑𝑥 và v ∈ 𝑊 1,𝑝 (Ω) xác định bởi 𝑛 v𝑖 (𝑥) = 𝑎𝑖 + ∑ 𝑏𝑖𝑗 (𝑥𝑗 − 𝑥𝑗 ) 𝑗=1 với 𝑎𝑖 = ∫ u𝑖 𝜙(𝑥)𝑑𝑥 𝐵 và 𝑏𝑖𝑗 = 1 𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑢𝑗 ∫( − ) 𝑑𝑥. 2|𝐵| 𝐵 𝜕𝑥𝑗 𝜕𝑥𝑖 Dễ dàng kiểm tra v ∈ 𝒩. Bây giờ, khi ∫𝐵(u − v)𝜙(𝑥)𝑑𝑥 = 0, từ (2.3) và định lí 1.1 ta có ‖u − v‖𝑊 1,𝑝(Ω,𝑝(1−𝛽)) ≤ 𝐶 {‖u − v‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(𝛼−𝛽)) + ‖u − v‖𝐿𝑝(𝐵) } sử dụng bất đẳng thức Poincare trong 𝐵 ta có ‖u − v‖𝑊 1,𝑝(Ω,𝑝(1−𝛽)) ≤ 𝐶 {‖𝜀(u − v)‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(𝛼−𝛽)) + ‖𝐷(u − v)‖𝐿𝑝(𝐵) }. (2.9) Nhưng, 13 𝜕(u − v)𝑖 𝜕(u − v)𝑗 ∫( − )=0 𝜕𝑥𝑗 𝜕𝑥𝑖 𝐵 do đó, áp dụng trường hợp thứ hai của bất đẳng thức Korn trong 𝐵 ta có ‖𝐷(u − v)‖𝐿𝑝(𝐵) ≤ 𝐶‖𝜀(u − v)‖𝐿𝑝(𝐵) . Sử dụng bất đẳng thức này trong (2.9) và cho 𝜀(v) = 0 ta được ‖u − v‖𝑊 1,𝑝(Ω,𝑝(1−𝛽)) ≤ 𝐶 {‖𝜀(u)‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(𝛼−𝛽)) + ‖𝜀(u)‖𝐿𝑝(𝐵) }. điều này dẫn đến (2.8) do 𝐵 ⊂ Ω. □ 2.2. Nghiệm của bài toán divergence trong miền Holder-𝜶 Trong phần này Ω là miền liên thông thỏa mãn điều kiện Holder-𝛼. Cho hàm vô hướng 𝜓 với curl 𝜓 = ( 𝜕𝜓 𝜕𝑥2 ,− 𝜕𝜓 𝜕𝑥1 ) và trường vectơ Ψ = (𝜓1 , 𝜓2 ), Curl Ψ là ma trận có thành phần là curl 𝜓𝒊 theo hàng. Hơn nữa, nếu 𝜎 ∈ 𝐿𝑝 (Ω)2×2 , Div 𝜎 là trường vecto với thành phần tìm được bằng cách lấy vi phân theo hàng của 𝜎. Để giải bài toán (div)𝑝 tìm một nghiệm u của div u = 𝑓 sao cho giới hạn tới 𝜕Ω của cả hai thành phần của u là hằng số ta thế đánh giá (2.2) như sau ‖𝐷u‖𝐿𝑝(Ω) ≤ 𝐶‖𝑓‖𝐿𝑝(Ω) . Giả sử rằng Ω là một miền Lipschitz. Khi đó, nếu 𝜓 ∈ 𝑊 1,𝑝 (Ω) thỏa mãn ∫Ω 𝐜𝐮𝐫𝐥 𝜓 . ∇ 𝜙 = 0 ∀𝜙 ∈ 𝑊 1,𝑝 (Ω) (2.10) lấy tích phân từng phần ta thu được 𝜕𝜓 ∫𝜕Ω 𝜕𝑡 𝜙 = 0 với 𝜕𝜓 𝜕𝑡 ∀𝜙 ∈ 𝑊 1,𝑝 (Ω) là đạo hàm tiếp tuyến của 𝜓. Vì vậy 𝜕𝜓 𝜕𝑡 = 0 và hạn chế của 𝜓 lên 𝜕Ω là hằng số. Xét không gian 1,𝑝 𝑊𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (Ω) ⊂ 𝑊 1,𝑝 (Ω) xác định bởi (2.11) 14 1,𝑝 𝑊𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (Ω) = {𝜓 ∈ 𝑊 1,𝑝 (Ω) ∶ ∫Ω 𝐜𝐮𝐫𝐥 𝜓 . ∇ 𝜙 = 0 ∀𝜙 ∈ 𝑊 1,𝑞 (Ω)} (2.12) Tổng quát hơn, với bất kỳ 𝛾 ∈ ℝ, 1,𝑝 𝑊𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (Ω) = {𝜓 ∈ 𝑊 1,𝑝 (Ω, 𝛾) ∶ ∫Ω 𝐜𝐮𝐫𝐥 𝜓 . ∇ 𝜙 = 0 ∀𝜙 ∈ 𝑊 1,𝑞 (Ω, (1 − 𝑞)𝛾)}. Trong suốt mục này chúng ta sẽ phân tích tính giải được của bài toán 1,𝑝 Devergence div u = 𝑓 trong không gian Sobolev có trọng 𝑊𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (Ω, 𝛾1 )2 với điều kiện ‖𝐷(u)‖𝐿𝑝(Ω,𝛾1) ≤ 𝐶‖𝑓‖𝐿𝑝(Ω,𝛾2) , (2.13) Với 𝛾1 và 𝛾2 là số thực và là lũy thừa trong hàm trọng được giới thiệu trong (1.4). 2.2.1. Hàm trọng bên trái Để thỏa mãn đánh giá và điều kiện trên miền, đầu tiên ta sẽ xét 𝛾2 = 0 trong (2.13). 𝑝 Cho 1 < 𝑝 < ∞ và 𝛾 ∈ ℝ, 𝐿𝑠𝑦𝑚 (Ω, 𝛾)2×2 là không gian con của tensơ đối xứng trong 𝐿𝑝 (Ω, 𝛾)2×2 . Bổ đề 2.3 Cho Ω ⊂ ℝ2 là miền Holder-𝛼 và u ∈ 𝑊 1,𝑝 (Ω, 𝑝(𝛽 − 1))2 , với 𝑝 𝛼 ≤ 𝛽 ≤ 1, sao cho ∫Ω div u = 0. Khi đó, tồn tại 𝜎 ∈ 𝐿𝑠𝑦𝑚 (Ω, 𝑝(𝛽 − 𝛼))2×2 thỏa mãn ∫ 𝜎 ∶ 𝐷w = ∫ Curl u : 𝐷w, Ω ∀w ∈ 𝑊 1,𝑞 (Ω, 𝑞(𝛼 − 𝛽))2 Ω và ‖𝜎‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(𝛽−𝛼)) ≤ 𝐶‖Curl u‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(𝛽−1)) . Bổ đề 2.4 Cho Ω ⊂ ℝ2 là một miền bị chặn và 𝜔 ∶ Ω → ℝ>0 là hàm trọng sao cho 𝜔−1 bị chặn địa phương. Cho một trường vecto v ∈ 𝐿𝑝 (Ω, 𝜔)2 sao 1,𝑝 cho div v = 0, tồn tại 𝜙 ∈ 𝑊𝑙𝑜𝑐 (Ω) sao cho curl 𝜙 = v.