Tài liệu Một số áp dụng của biến đổi fourier vào biến đổi laplace ngược

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trịnh Văn Hạnh MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER VÀO BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh 2012 1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trịnh Văn Hạnh MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER VÀO BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC Chuyên ngành Mã số : Toán Giải Tích : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN CAM Thành phố Hồ Chí Minh 2012 2 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .................................................................................................................. 4 LỜI MỞ ĐẦU .................................................................................................................. 5 Chương 1: GIỚI THIỆU .................................................................................................. 6 1.1. Biến đổi Fourier .................................................................................................... 6 1.2. Đưa tích phân Mellin về biến đổi Fourier ........................................................... 12 Chương 2: BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC BẰNG GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỦA CHUỖI FOURIER ......................................................................................................... 14 2.1. Trường hợp hàm gốc f(x) giảm nhanh ................................................................ 14 2.2. Trường hợp giảm nhanh của giá trị tuyệt đối của hàm ảnh F(p) ........................ 15 Chương 3: CÔNG THỨC NỘI SUY ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN FOURIER .................... 18 3.1. Một số chú ý sơ bộ .............................................................................................. 18 3.2. Phép nội suy đại số của hàm f(x) ........................................................................ 19 3.2.1. Các công thức bổ trợ. ................................................................................... 19 3.2.2 Xây dựng công thức tính toán ...................................................................... 20 3.3. Phép nội suy bởi các hàm hữu tỷ ........................................................................ 51 3.3.1. Chọn phép nội suy và sai số của nó ............................................................. 51 3.3.2. Công thức cầu phương nội suy tổng quát. ................................................... 63 3.3.3. Phép nội suy với các điểm cách đều ............................................................ 66 3.3.4. Quy tắc tính kết hợp với nghiệm của đa thức trực giao. .............................. 66 KẾT LUẬN .................................................................................................................... 76 TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................................. 77 3 LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Cam, người Thầy đã hướng dẫn, động viên, khuyến khích tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn Thầy - Cô trong hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian quý báu của mình cho việc nhận xét và phản biện luận văn; cảm ơn các Thầy đã truyền đạt kiến thức trong các học phần. Cảm ơn quý Thầy – Cô thuộc các phòng, khoa, thư viện của trường ĐHSP TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, thực hiện và bảo vệ luận văn. Cuối cùng, tôi gởi lời cảm ơn đến tất cả các bạn bè gần xa, người thân đã hổ trợ, giúp đỡ nhiều mặt. 4 LỜI MỞ ĐẦU Biến đổi Laplace có nhiều áp dụng quan trọng trong khoa học và kỹ thuật. Bài toán khôi phục hàm gốc từ hàm ảnh trong phép biến đổi Laplace được nhiều nhà toán học quan tâm khảo cứu và cho đến nay có rất nhiều phương pháp được đưa ra. Trong luận văn này, chúng tôi tính xấp xỉ biến đổi Laplace ngược thông qua việc áp dụng biến đổi Fourier vào biến đổi Laplace ngược. Cụ thể là tính tích phân Mellin bằng biến đổi Fourier, từ đó xét các công thức nội suy để tính tích phân Fourier. 5 Chương 1: GIỚI THIỆU Bài toán tính tích phân Mellin có thể được quy về biến đổi Fourier, và đó là một phương pháp cổ điển để nghiên cứu khá nhiều bài toán áp dụng. Việc tính tích phân Mêllin bằng cách quy về tích phân Fourier là hữu ích, do hai lý do sau đây. Thứ nhất, nó là một trong nhiều phương pháp có thể tính toán khi các điểm của công thức cầu phương được lấy trên đường tích phân p= c + iτ (−∞ < τ < ∞) . Thứ hai, phương pháp này có thể hữu ích trong thực hành ít nhất như là để kiểm tra về mặt tính toán khi giải bằng các phương pháp khác. 1.1. Biến đổi Fourier Chúng ta xem xét tích phân Fourier kép 1 π ∞ ∞ ∫0 du −∞∫ f (t ) cos u( x − t )dt (1.1.1) Và giả sử rằng hàm f là khả tích tuyệt đối trên trục số −∞ < t < ∞ . Tích phân bên trong sẽ hội tụ tuyệt đối với mọi giá trị thực của x và u , và sự hội tụ là hội tụ đều. 1.1.1Định nghĩa giả sử hàm f ( x) với giá trị hữu hạn trên khoảng [a, b] . Chia [a, b] thành hữu hạn phần bởi các điểm x0 = a < x1 < ... < xn = b . Xét tổng V ( x0 = , x1 ,..., xn ) n −1 ∑ k =0 f ( xk +1 ) − f ( xk ) Cận trên của tổng V ( x0 , x1 ,..., xn ) , Var ( f ) = sup V ( x0 , x1 ,..., xn ) a ≤ x ≤b x1 ,..., xn−1 6 được gọi là biến phân toàn phần của hàm f trên đoạn [a, b] . Nếu Var ( f ) có a ≤ x ≤b giá trị hữu hạn, thì ta nói f là một hàm có biến phân hữu hạn trên [a, b] . 1.1.2.Định lý 1. Lấy f là một hàm khả tích tuyệt đối trên trục số −∞ < t < ∞ . Cho f có biến phân hữu hạn trên đoạn [a, b] thì với x ∈ [a, b] , ta có công thức sau: ∞ ∞ 1 1 [f ( x= du ∫ f (t ) cos u ( x − t )dt + 0) + f ( x − 0)] 2 π ∫0 −∞ (1.1.2) Nếu f có biến phân hữu hạn và liên tục trên đoạn [a, b] , thì với x ∈ [a, b] , ta có: f ( x) = 1 π ∞ ∞ 0 −∞ ∫ du ∫ f (t ) cos u ( x − t )dt (1.1.3) Ở đây, tích phân kép hội tụ đều về f ( x) với x ở trong bất kì đoạn đóng con của [a, b] . Phương trình (1.1.2) và (1.1.3) gọi là các công thức Fourier. Trong phần sau ta giả sử rằng f ( x) có biến phân hữu hạn trên bất kì các đoạn hữu hạn của trục thực. Vậy thì (1.1.2) sẽ đúng với tất cả các giá trị hữu hạn của x . Ta giả sử hệ thức f (= x) 1 [f ( x + 0) + f ( x − 0)] đúng tại tất cả các 2 điểm x . Khi đó (1.1.2) và (1.1.3) là giống nhau và từ bây giờ trở đi ta sẽ sử dụng (1.1.3) . Dùng cos u (= x − t) 1 π ∞ ∞ ∫0 du −∞∫ 1 iu ( x −t ) −iu ( x −t ) +e [e ] , ta có: 2 ∞ ∞ 1 f (= t ) cos u ( x − t )dt du ∫ f (t )[eiu ( x −t ) + e−iu ( x −t ) ]dt ∫ 2π 0 −∞ 7 Bằng cách thay biến u bằng −u ta có thể đưa công thức Fourier (1.1.3) về dạng 1 f ( x) = 2π ∞ ∫e − ixu −∞ ∞ du ∫ f (t )eiut dt (1.1.4) −∞ Thật vậy: = f ( x) ∞ 1 ∞ du π∫ ∫ ) cos u ( x − t )dt f (t= −∞ 0 1 ∞ du π∫ ∫ 0 ∞ ∞ ∞ ∞ −∞ 1 f (t ) [eiu ( x −t ) + e − iu ( x −t ) ]dt 2 ∞ 1 1 du ∫ f (t )eiu ( x −t ) dt + du ∫ f (t )e − iu ( x −t ) = I1 + I 2 = ∫ ∫ 2π 0 −∞ 2π 0 −∞ Đổi biến u = −u ta có: −∞ ∞ ∞ 0 1 1 I1 = d (−u ) ∫ f (t ).ei ( − u )( x −t ) dt = du ∫ f (t )e − iu ( x −t ) dt ∫ ∫ 2π 0 2π −∞ −∞ −∞ 1 f ( x) = I1 + I 2 = 2π ∞ ∞ ∫ du ∫ −∞ f (t )e − iu ( x −t ) −∞ 1 dt = 2π ∞ ∫e −∞ − iux ∞ du ∫ f (t )eiut dt −∞ (1.1.4) cho ta mối liên hệ giữa hai hàm sau: ϕ (u ) = ∞ ∫ f (t )eiut dt (1.1.5) −∞ f ( x) = 1 2π ∞ ∫ ϕ (u )e − ixu du (1.1.6) −∞ Công thức (1.1.5) là phép biến đổi Fourier phức và đưa hàm gốc f vào trong hàm ảnh ϕ .Công thức (1.1.6) cho ta quy tắc chuyển từ hàm ảnh ϕ sang hàm gốc f . Cho hai công thức Fourier đặc biệt tương dương với công thức (1.1.3) : ∞ = f ( x) ∫ [a(u ) cos ux + b(u )sin ux]du, 0 8 (1.1.7) ∞ ∞ 0 1 1 1 a (u ) = J1 + J 2 ∫ f (t ) cos ut dt = ∫ f (t ) cos utdt + ∫ f (t ) cos utdt = π π −∞ ∞ π −∞ 0 ∞ 0 1 1 1 b(u ) = H1 + H 2 ∫ f (t )sin ut dt = ∫ f (t )sin utdt + ∫ f (t )sin utdt = π π −∞ π −∞ 0 Khi f là hàm chẵn, đặt x = −t , ta có: 0 1 J1 = π ∫ f (t ) cos utdt = −∞ 1 π 0 ∫ f (− x) cos u (− x)d (−= x) ∞ a (u ) = J 1 + J 2 = 2 J 2 = 1 H1 = π 0 ∫ 2 π ∞ 1 = ∫ f ( x) cos ux dx π 0 ∞ ∫ f (t ) cos ut dt . 0 ∞ 0 −∞ J2 1 1 f (t )sin ut dt = ∫ f (− x)sin u ( − x)d ( − x) = − ∫ f ( x)sin uxdx = −H 2 π π ∞ 0 b(u ) = H1 + H 2 = −H 2 + H 2 = 0 và (1.1.7) trở thành công thức Fourier cosine: ∞ a(u ) cos uxdu ∫0 = = f ( x) 2 π ∞ ∞ ∫0 cos ux du ∫0 f (t ) cos ut dt (0 ≤ x < ∞) (1.1.8) Khi f là hàm lẽ, đặt x = −t ta có: 1 J1 = π Do đó 0 ∫ 0 −∞ 1 1 f (t ) cos ut dt = ∫ f (− x)cos u (− x)d (− x) = − π π ∞ ∞ ∫ f ( x) cos ux dx =−J 0 a (u ) = J1 + J 2 = −J2 + J2 = 0 H1= 0 1 π ∫ f (t ) sin utdt= −∞ = 1 π 1 π 0 ∫ f (− x) sin u (− x)d (− x) ∞ 0 ∫ (− f ( x))(− sin ux)(−dx) = ∞ Do đó b(u ) = H1 + H 2 = 2 H 2 = 2 π 1 π ∞ ∫0 f (t )sin utdt khi đó (1.1.7) trở thành công thức Fourier sine: 9 ∞ ∫ f ( x) sin uxdx = 0 H2 2 = f ( x) ∞ b(u )sin uxdu ∫0 = 2 π ∞ ∞ ∫0 sin ux du ∫0 f (t )sin ut dt (0 ≤ x < ∞) (1.1.9) Công thức Fourier tổng quát (1.1.3) có thể xem như sự tổ hợp của các công thức riêng (1.1.8) và (1.1.9) . Thật vậy, mọi hàm f có thể miêu tả thành tổng của phần chẵn và phần lẽ của nó: 1 1 [f ( x) + f (− x)], h(= x) [f ( x) − f (− x)] 2 2 f (= x) g ( x) + h( x), g (= x) g ( x) là phần chẵn, h( x) là phần lẽ. Tích phân bên trong của (1.1.3) sẽ có biểu diễn sau theo g và h : ∞ ∞ ∫ f (t ) cos u ( x − t )dt = −∞ ∫ ( g (t ) + h(t ))(cos ux cos ut + sin ux sin ut )dt −∞ ∞ ∞ ∞ ∞ −∞ −∞ −∞ −∞ = cos ux ∫ g (t ) cos utdt + sin ux ∫ g (t ) sin utdt + cos ux ∫ h(t ) cos utdt + sin ux ∫ h(t ) sin utdt Mà: ∞ 0 ∞ −∞ −∞ 0 0 ∞ ∞ 0 ∫ g (t ) cos utdt= ∫ g (t ) cos utdt + ∫ g (t ) cos utdt= ∫ g (−t ) cos u (−t )d (−t ) + ∫ g (t ) cos utdt ∞ 0 ∫ g (t ) cos ut (−dt ) + ∫ g (t ) cos utdt = ∞ 0 ∞ = 2 ∫ g (t ) cos utdt 0 ∞ 0 ∞ −∞ −∞ 0 0 ∞ ∞ 0 ∫ g (t ) sin utdt= ∫ g (t ) sin utdt + ∫ g (t ) sin utdt= ∫ g (−t ) sin u (−t )d (−t ) + ∫ g (t ) sin utdt ∞ 0 ∫ g (t )(− sin ut )(−dt ) + ∫ g (t ) sin utdt = ∞ 0 ∞ ∞ 0 0 = − ∫ g (t ) sin utdt + ∫ g (t ) sin utdt =0 Tương tự ta có: 10 ∞ ∞ ∞ −∞ −∞ 0 = ∫ h(t ) cos utdt 0,= ∫ h(t ) sin utdt 2∫ h(t ) sin utdt Thay các kết quả vào phương trình trên ta có: ∞ ∫ −∞ ∞ ∞ 0 0 f= (t ) cos u ( x − t )dt 2 cos xu ∫ g (t ) cos ut dt + 2sin xu ∫ h(t ) sin ut dt và từ (1.1.3) ta có f ( x ) = g ( x ) + h( x ) = 2 π ∞ ∞ 0 0 2 ∞ ∞ 0 0 ∫ cos xu du ∫ g (t ) cos ut dt + π ∫ sin xu du ∫ h(t ) sin ut dt và công thức Fourier tổng quát là tổng của công thức cosine cho g ( x) và công thức sine cho h( x) . Công thức Fourier (1.1.8) cho ta mối liên hệ giữa hai hàm f và ϕc : ϕc (u ) = ∞ ∫ f (t )cos ut dt (0 ≤ x < ∞) (1.1.10) 0 f ( x) = 2 π ∞ ∫ ϕ (u )cos xu du c (1.1.11) 0 Công thức (1.1.10) là biến đổi cosine của hàm gốc f thành hàm ảnh ϕc , công thức (1.1.11) là biến đổi ngược. Công thức Fourier sine (1.1.9) cho ta mối liên hệ giữa hai hàm f và ϕ s : = ϕs (u ) f ( x) = ∞ ∫0 f (t )sin ut dt 2 π (0 ≤ x < ∞) (1.1.12) ∞ ∫0 ϕs (u)sin xu du (1.1.13) Phương trình (1.1.12) là biến đổi Fourier sine, và (1.1.13) là biến đổi ngược của nó. 11 Ta có thể thấy rằng biến đổi Fourier phức (1.1.5) có thể quy về biến đổi (1.1.10) và (1.1.12) . Trong (1.1.5) , thay f (t ) bởi tổng phần chẵn và phần lẽ của nó f= (t ) g (t ) + h(t ) , g (t ) và h(t ) được chỉ ra ở trên ∞ ∞ ϕ (u ) = ∫ f (t )e dt = ∫ [g (t ) + h(t )][cos ut + isin ut ]dt iut −∞ −∞ ∞ ∞ 0 0 = 2 ∫ g (t )cos ut dt + 2i ∫ h(t )sin ut dt = 2 gc (u ) + 2ihs (u ) Do đó biến đổi phức (1.1.5) là một sự tổ hợp tuyến tính đơn giản của các biến đổi Fourier cosine và Fourier sine. 1.2. Đưa tích phân Mellin về biến đổi Fourier Bây giờ chúng ta nghiên cứu mối quan hệ giữa biến đổi Laplace ngược và biến đổi Fourier. Xét tích phân Mellin c + i∞ 1 = f ( x) F ( p)e xp dp (−∞ < x < ∞) ∫ 2π i c −i∞ (1.2.1) Với hàm F ( p) xác định và khả tích tuyệt đối trên đường thẳng p= c + iτ (−∞ < τ < ∞) . Tích phân hội tụ đều với x nằm trên trục −∞ < x < ∞ và là một hàm liên tục theo x trên trục đó. Nếu trong (1.2.1) ta đặt p= c + iτ , vậy thì ta có thể biến đổi (1.2.1) về dạng c + i∞ ∞ 1 1 f ( x) = F ( p)e xp dp = ∫ F (c + iτ )e x ( c +iτ ) d (c + iτ ) ∫ 2π i c −i∞ 2π i −∞ = ∞ ∞ 1 cx 1 cx e ∫ F (c + iτ )eixτ idτ= e ∫ F (c + iτ )eixτ dτ 2π i −∞ 2π −∞ Hay 1 = e f ( x) 2π − cx ∞ ∫ F (c + iτ )e −∞ ixτ dτ (1.2.2) 12 Công thức trên cho thấy rằng việc tính tích phân Mellin f ( x) dẫn đến biến đổi Fourier phức của hàm F (c + iτ ) . Trong mục 1.1 ta chú ý rằng biến đổi Fourier của hàm F (c + iτ ) có thể quy về biến đổi Fourier cosine và sine của phần chẵn và phần lẽ của hàm F (c + iτ ) : F (c + iτ ) = g (τ ) + h(τ ) 1 g (τ= ) [F (c + iτ ) + F (c − iτ )] 2 1 h(τ= ) [F (c + iτ ) − F (c − iτ )] 2 e− cx f ( x) = 1 2π ∞ ixτ ∫ [g (τ ) + h(τ )]e dτ = −∞ ∞ 1 2π ∞ ∫−∞ [g (τ ) + h(τ )]( cos xτ + isin xτ )dτ ∞ i 1 1 = [g c ( x) + ihs ( x)] ∫ g (τ )cos xτ dτ + ∫ h(τ )sin xτ dτ = π 0 π π 0 13 (1.2.3) Chương 2: BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC BẰNG GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỦA CHUỖI FOURIER 2.1. Trường hợp hàm gốc f(x) giảm nhanh Đặt : f= ( x)e− cx g ( x), F= (c + iτ ) G (τ ) Vậy thì biến đổi Laplace ∞ − ( c + iτ ) t F (c + iτ ) = dt ∫ f (t )e 0 1 e f ( x) và biến đổi ngược = 2π − cx ∞ ∫ F (c + iτ )e −∞ ixτ dτ có thể viết như sau ∞ G (τ ) = ∫ g (t )e−iτ t dt 0 g ( x) = 1 2π ∞ ∫−∞ G(τ )e ixτ dτ (2.1.1) Bây giờ giả sử hàm gốc f (t ) triệt tiêu ở mọi nơi bên ngoài khoảng hữu hạn [0, T ] . Khai triển g (t ) dạng chuỗi Fourier trên [0, T ] và viết khai triển ở dạng phức: g (t ) = ở ∞ ck eikωt ∑ k =−∞ (2.1.2) đây ω = 2π T T 1 ck = ∫ g (t )e−ikωt dt T0 (2.1.3) Vì g (t ) có giá trị nhỏ không đáng kể bên ngoài khoảng [0, T ] , ta có xấp xỉ : 14 và ∞ 1 1 ck ≈ ∫ g (t )e−ikωt dt = G ( kω ) T0 T (2.1.4) Sai số của phương trình có giá trị là ∞ 1 1 G (kω ) − ck =∫ g (t )e−ikωt dt T TT Và có ước lượng bởi bất đẳng thức sau: ∞ 1 1 G (kω ) − ck ≤ ∫ g (t ) dt T TT (2.1.5) Ta thay thế giá trị xấp xỉ của ck ở (2.1.4) vào (2.1.2) , ta được biểu thức sau của g (t ) : − ct f (t )e= g (t ) ≈ ≈ ∞ 1 G (kω )eikωt ∑ k =−∞ T ω 2π ∞ F (c + ikω )eikωt ∑ k =−∞ (2.1.6) 2.2. Trường hợp giảm nhanh của giá trị tuyệt đối của hàm ảnh F(p) Xét hàm G (= τ ) F (c + iτ ) là khả tích tuyệt đối trên trục −∞ < τ < ∞ và nhỏ không đáng kể bên ngoài khoảng hữu hạn [ − T ≤ τ ≤ T ] . Khai triển G (τ ) ở dạng chuỗi Fourier: = G (τ ) ∞ c e τ, Ω ∑= − ik Ω k = −∞ ck = k 1 2π T ∫ G(t )e ik Ωt π (2.2.1) T (2.2.2) dt −T 15 Vì bên ngoài khoảng [ − T , T ] hàm G (τ ) xem như nhỏ không đáng kể, phương trình sau luôn đúng với độ chính xác chấp nhận được: g ( x) ≈ T 1 2π ∫ G(τ )e ixτ dτ (−T ≤ x ≤ T ) (2.2.3) −T Sai số có thể ước lượng với sự giúp đỡ của bất đẳng thức: g ( x) − 1 2π T ∫ G(τ )e ixτ dτ −T = −T 1 2π ∞ ixτ ixτ ∫ G(τ )e dτ + ∫ G (τ )e dτ −∞ T ∞ ≤ 1 [ G (τ ) + G (−τ ) ] dτ 2π T∫ Trong tích phân (2.2.3) , ta đưa vào khai triển (2.2.1) thay cho G (τ ) và thực hiện phép lấy tích phân của chuỗi. Trước tiên ta có phương trình sau: T T 1 1 = dτ = ei ( x − k Ω )τ d (i ( x − k Ω)τ ) ei ( x − k Ω )τ ∫−T e ∫ i ( x − k Ω) −T i ( x − k Ω) i ( x − k Ω )τ τ =T τ = −T 1 [ei ( xT − kπ ) − e − i ( xT − kπ ) ] i ( x − k Ω) 1 2i sin( xT − kπ ) = i ( x − k Ω) sin xT π , Ω = , x ≠ kΩ = (−1) k 2T xT − kπ T = ( 2.2.4 ) Khi đó ta được biểu thức xấp xỉ sau: ∞ 1 1 ixτ ( ) f ( x)e − cx = g ( x) ≈ G e d ck .e − ik Ωτ .eixτ dτ τ τ = ∑ ∫ ∫ 2π −T 2π −T k = −∞ T = = T ∞ 1 2π ∑ ck T ∞ π −∞ T i ( x − k Ω )τ dτ ∫ e= −T ∑ c (−1) k = −∞ π π T ∞ ∑ c .(−1) −∞ k k 2T sin xT xT − kπ sin xT xT − kπ k k x≠k 1 2π , (2.2.5) −T < x < T Khi x= m = mΩ , từ (2.2.2) và (2.2.3) , ta được giá trị sau của hàm f ( x) : T 16 f (mΩ).e 1 = g (mΩ) ≈ 2π − cmΩ T ∫ G(τ )e imΩτ dτ= cm (2.2.6) −T Áp dụng (2.2.5) để tính hàm gốc đòi hỏi phải tính các hệ số Fourier (2.2.2) của hàm F (c + iτ ) . 17 Chương 3: CÔNG THỨC NỘI SUY ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN FOURIER 3.1. Một số chú ý sơ bộ Để tính các tích phân sau ∞ ϕc (u ) = ∫ f (t )cos ut dt (3.1.1) ϕs (u ) = ∫ f (t )sin ut dt (3.1.2) ∫ f (t )e −∞ (3.1.3) 0 ∞ ϕ (u ) = 0 ∞ iut dt ta có thể làm bằng nhiều quy tắc cổ điển của phép lấy tích phân. Thế nhưng chúng sẽ cho ta sai số khá lớn khi f (t ) được biết gần đúng. Hàm được lấy tích phân trong (3.1.1) là tích f (t )cos ut . Nếu tham số u là một số lớn, hàm cos ut sẽ dao động nhanh. Điều này có thể làm cho việc tính toán trở nên khó khăn thậm chí không có lời giải. Điều tương tự đối với (3.1.2) và (3.1.3) . Ta giả sử rằng hàm f (t ) tiến về 0 nhanh, khi t → ∞ , vì thế sự hội tụ của ∞ tích phân ∫0 f ( x) dx hoặc ∞ ∫ f ( x) dx là chắc chắn. Ta giả sử rằng với giá trị −∞ lớn của t bất đẳng thức sau đúng: f (t ) ≤ A t −1−ε , ε >0 (3.1.4) 18 3.2. Phép nội suy đại số của hàm f(x) Phép nội suy đại số là sử dụng hàm xấp xỉ liên tục và đủ trơn trên các khoảng hữu hạn. 3.2.1. Các công thức bổ trợ. Chúng ta bắt đầu bởi việc đưa ra các công thức bổ trợ đơn giản để phục vụ cho việc tính các tích phân của các hàm chứa các thừa số lượng giác. Lấy [a, b] là một khoảng hữu hạn bất kì và l ( x) là một đa thức đại số có bậc n . Sử dụng phép lấy tích phân từng phần n lần ta đạt được phương trình sau: b ∫a l ( x)e ipx dx =eipb [ − il (b) l / (b) il // (b) l /// (b) + 2 + − 4 − ...] p p p3 p −e ipa [ − = e ip b+a 2 {[ − il (a) l / (a) il // (a) l /// (a) + 2 + − − ...] p p p3 p4 b−a ip il (b) l / (b) il // (b) l /// (b) 2 + 2 + − − ...]e 3 4 p p p p b−a − ip il (a) l / (a) il // (a) l /// (a) −[ − + 2 + − − ...]e 2 } p p p3 p4 (3.2.1) Nếu ta xem l ( x) là một đa thức thực, và nếu thay thế hàm số mũ bởi biểu thức Euler với các số hạng là hàm lượng giác, và so sánh phần thực và phần ảo, ta sẽ được các công thức hữu dụng để tính các tích phân có chứa các thừa số lượng giác: 19 b os px dx cos p ∫ l ( x) c= a a + b l (b) + l (a) l // (b) + l // (a) b−a {[ − + ...]sin p 3 2 2 p p +[ l / (b) − l / (a) l /// (b) − l /// (a) b−a − + ...]cos p } 2 4 2 p p a + b l (b) − l (a) l // (b) − l // (a) b−a {[ + sin p − + ...]cos p 3 2 2 p p b−a l / (b) + l / (a) l /// (b) + l /// (a) } −[ − + ...]sin p 2 4 2 p p b = px dx sin p ∫ l ( x)sin a +[ (3.2.2) b + a l (b) + l (a) l // (b) + l // (a) b−a − + ...]sinp {[ 3 2 2 p p l / (b) − l / (a) l /// (b) − l /// (a) b−a − + ...]cos p } 2 4 2 p p b + a l (b) − l (a) l // (b) − l // (a) b−a {[ − cos p − + ...]cos p 3 2 2 p p −[ b−a l / (b) + l / (a) l /// (b) + l /// (a) } − + ...]sinp 2 4 2 p p (3.2.3) 3.2.2 Xây dựng công thức tính toán Xét biến đổi ( 3.1.1) , ta chia nửa trục của phép lấy tích phân [0, ∞] thành hữu hạn các khoảng bởi các điểm 0 = a0 < a1 < ... < ak < ... Lấy một trong các khoảng [ak , ak +1 ] và trên nó nội suy hàm f . Chúng ta cho ví dụ chọn phép nội suy với mối liên hệ các giá trị của hàm. Trên [ak , ak +1 ] chọn nk + 1 điểm tùy k ý x j ( j = 0,1,..., nk ; ak ≤ x0k < ... < xnk ≤ ak +1 ) và thực hiện phép nội suy với lưu k k (k ) ý các giá trị f ( x j ) = f j bằng giá trị trung bình của đa thức Pk ( x) có bậc n 20