Tài liệu Mô tả định lí cơ bản của lí thuyết galoa đối với mở rộng galoa qf(x)

Khoá luận tốt nghiệp Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán ======================================================= TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA: TOÁN ******** MAI XUÂN TRƢỜNG MÔ TẢ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN CỦA LÍ THUYẾT GALOA ĐỐI VỚI MỞ RỘNG GALOA Q f ( x )  Q,deg f ( x)  4 KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số HÀ NỘI – 2010 1 Khoá luận tốt nghiệp Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán ======================================================= TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA: TOÁN ******** MAI XUÂN TRƢỜNG MÔ TẢ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT GALOA ĐỐI VỚI MỞ RỘNG GALOA Qf ( x )  Q,deg f ( x)  4 KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Ngƣời hƣớng dẫn khoa học GVC: VƢƠNG THÔNG HÀ NỘI – 2010 2 Khoá luận tốt nghiệp Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán ======================================================= LỜI CẢM ƠN Trong quá trình thực hiện đề tài nghiên cứa khoa học này, em nhận được rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên. Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán – trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, các thầy cô đã dạy em trong 4 năm học vừa qua và qua đó đã giúp em hoàn thành khoá luận này. Em xin bầy tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy Vương Thông, người trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo em trong suốt quá trình thực hiện khoá luận này. Do còn nhiều hạn chế về kiến thức và thời gian, khoá luận này vẫn còn nhiều thiếu sót. Em rất mong nhận được sự giúp đỡ, góp ý nhận xét của các thầy cô, của các bạn để khóa luận này càng hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, ngày 12 tháng 05 năm 2010 Sinh viên Mai Xuân Trường 3 Khoá luận tốt nghiệp Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán ======================================================= LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan khoá luận này là công trình nghiên cứu của riêng em. Trong khi nghiên cứu, em đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn. Những kết quả nêu trong khoá luận chưa được công bố trên bất kỳ một công trình nghiên cứu nào khác. Hà Nội, ngày 12 tháng 05 năm 2010 Sinh viên Mai Xuân Trường 4 Khoá luận tốt nghiệp Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán ======================================================= MỤC LỤC Lời cảm ơn......................................................................................................... Lời cam đoan..................................................................................................... Mục lục............................................................................................................... Lời nói đầu......................................................................................................... Chƣơng 1: Một số loại mở rộng trƣờng và mối quan hệ giữa chúng........... 1. Những khái niệm cơ sở................................................................................1 1.1 Khái niệm trường.........................................................................................1 1.2 Khái niệm mở rộng trường..........................................................................1 1.3 Phần tử đại số và phần tử siêu việt..............................................................1 1.4 Đa thức bất khả quy.....................................................................................1 1.5 Đa thức tối tiểu............................................................................................2 1.6 Phần tử liên hợp.......................................................................................... 2 2. Một số loại mở rộng trƣờng........................................................................3 2.1 Trường ghép thêm một tập hợp...................................................................3 2.2 Mở rộng đơn................................................................................................3 2.3 Mở rộng có bậc hữa hạn..............................................................................4 2.4 Mở rộng đại số.............................................................................................4 2.5 Mở rộng tách được......................................................................................4 2.6 Mở rộng chuẩn tắc.......................................................................................5 2.7 Mở rộng Galoa............................................................................................5 3. Mối liên hệ giữa các loại mở rộng..............................................................8 Chƣơng 2: Mô tả định lý cơ bản của lý thuyết Galoa đối với mở rộng Galoa Q f ( x )  Q ................................................................................9 1. Đặt vấn đề.....................................................................................................9 1.1 Cơ sở lý luận................................................................................................9 5 Khoá luận tốt nghiệp Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán ======================================================= 2. Mô tả định lý cơ bản...................................................................................9 2.1 Mô tả định lý cơ bản của lý thuyết Galoa đối với mở rộng Galoa Q f ( x )  Q,deg f ( x)  1...........................................................................9 2.2 Mô tả định lý cơ bản của lý thuyết Galoa đối với mở rộng Galoa Q f ( x )  Q,deg f ( x)  2 ............................................................. ...........10 2.2.1 Nhóm Galoa của phương trình bậc 2 có cấp bằng 1..............................10 2.2.2 Nhóm Galoa của phương trình bậc 2 có cấp bằng 2..............................11 2.3 Mô tả định lý cơ bản của lý thuyết Galoa đối với mở rộng Galoa Q f ( x )  Q,deg f ( x)  3 .........................................................................12 2.3.1 Nhóm Galoa của phương trình bậc 3 có cấp bằng 1..............................14 2.3.2 Nhóm Galoa của phương trình bậc 3 có cấp bằng 2..............................14 2.3.3 Nhóm Galoa của phương trình bậc 3 cú cấp bằng 6..............................16 2.4 Mô tả định lý cơ bản của lý thuyết Galoa đối với mở rộng Galoa Q f ( x )  Q,deg f ( x)  4 .........................................................................24 2.4.1 f ( x) có 4 nghiệm hữu tỷ.......................................................................24 2.4.2 f ( x) có 3 nghiệm hữu tỷ.......................................................................24 2.4.3 f ( x) có 2 nghiệm hữu tỷ.......................................................................25 2.4.4 f ( x) có 1 nghiệm hữu tỷ.......................................................................29 2.4.5 f ( x) không có nghiệm hữu tỷ...............................................................35 Kết luận.............................................................................................................. Tài liệu tham khảo............................................................................................. 6 Khoá luận tốt nghiệp Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán ======================================================= LỜI NÓI ĐẦU Evariste Galois sinh năm 1811 tại một làng nhỏ bé vùng Bourgla – Reine ngoại ô Pari. Ông là một nhà toán học thiên tài, đặc biệt trong lĩnh vực đại số. Ông đã hoàn thành một công trình nghiên cứu xuất sắc mà ngày nay được biết đến với tên gọi “ Lý thuyết Galoa”. Nguồn gốc của lý thuyết Galoa là vấn đề giải các phương trình bằng căn thức. Thực chất của vấn đề là mở rộng trường bằng cách ghép thêm liên tiếp các căn thức. Galoa đã chuyển vấn đề này thành một vấn đề của lý thuyết nhóm. Lý thuyết Galoa nghiên cứu về các nhóm tự đẳng cấu ( gọi là nhóm Galoa ) và việc tìm nhóm Galoa của phương trình đại số trên một trường. Việc làm đó có ý nghĩa quan trọng trong việc xác định các trường trung gian và mở rộng của nó. Trước khi lý thuyết Galoa ra đời người ta chỉ quan tâm việc giải một bài toán dựng hình như thế nào, tuy nhiên với lý thuyết Galoa có thể xét được tính giải được của bài toán đó. Với lý do đó, với sự say mê của bản thân cùng sự giúp đỡ của thầy Vương Thông em đã mạnh dạn thực hiện khoá luận về đề tài: “ Mô tả định lý cơ bản của lý thuyết Galoa đối với mở rộng Galoa Q f ( x )  Q,deg f ( x)  4 ”. Khoá luận được chia làm 2 chương: Chƣơng 1: Một số loại mở rộng trƣờng và mối quan hệ giữa chúng Chƣơng 2: Mô tả định lý cơ bản của lý thuyết Galoa đối với mở rộng Galoa Q f ( x )  Q 7 Khoá luận tốt nghiệp Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán ======================================================= KẾT LUẬN Đại số là một môn khó, đặc biệt là lý thuyết Galoa lại càng khó hơn. Do đó trong quá trình thực hiện đề tài này em cũng gặp nhiều vấn đề tương đối khó hiểu, đó là việc tìm nhóm Galoa của phưong trình bậc 4 thuộc trường Q  x  tổng quát có 1 nghiệm hữu tỷ và 3 nghiệm không hữu tỷ. Qua việc nghiên cứu và hoàn thành khoá luận này, em thấy lý thuyết Galoa có rất nhiều ứng dụng: đã nghiên cứu được tính giải được của phương trình căn thức, các phép dựng hình bằng thước kẻ và compa... Hơn nữa nó đóng góp phần không nhỏ trong việc nghiên cứu các mở rộng trường, trường phân rã của một đa thức , nhóm Galoa của một số loại phương trình. Nhờ đó mà có thể xác định được các trường trung gian giữa các trường và mở rộng của nó. Tuy nhiên trong khoá luận này chưa trình bày hết lý thuyết Galoa và các ứng dụng của nó mà chỉ nêu một phần nhỏ, đó là: “ Mô tả định lý cơ bản của lý thuyết Galoa đối với mở rộng Galoa Q f ( x )  Q,deg f ( x)  4 ”. Còn rất nhiều vấn đề được quan tâm khai thác, chẳng hạn: nhóm Galoa của phương trình bậc n > 3 trên tập số thực R, trên tập số hữu tỷ một cách tổng quát,...,các phép dựng hình bằng thước kẻ và compa và các ứng dụng của nó. Một lần nữa em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt là thầy Vương Thông đã hướng dẫn, giúp đỡ tận tình và tạo mọi điều kiện thuận lợi để em thực hiện và hoàn thành khoá luận này. Hà Nội, ngày 12 tháng 05 năm 2010 Sinh viên Mai Xuân Trường 8 Khoá luận tốt nghiệp Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán ======================================================= TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Ngô Trúc Lanh (1987), Đại số và số học tập 3, NXBGD. 2. Nguyễn Tiến Quang (1987), Bài tập đại số và số học tập 3, NXBGD. 3. Nguyễn Tiến Quang, Cơ sở lý thuyết trường và lý thuyết Galoa, NXBĐHQGHN. 4. Hoàng Xuân Sính (1998), Đại số đại cương, NXBGD. 5. Vương Thông (2004), Lý thuyết Galoa và ứng dụng. 6. Nguyễn Quý Khang – Kiều Đức Thành (1992), Giáo trình đại số và số học tập 3, ĐHSPHN2. 7. ARTIN, Lý thuyết Galoa. 9 Khoá luận tốt nghiệp Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán ======================================================= Ch-¬ng 1: mét sè lo¹i më réng tr-êng vµ mèi quan hÖ gi÷a chóng 1. Nh÷ng kh¸i niÖm c¬ së 1.1 Kh¸i niÖm tr-êng * §Þnh nghÜa: Tr-êng lµ miÒn nguyªn X sao cho x  X * ®Òu cã nghÞch ®¶o tøc lµ x  X * x '  X * : x.x '  e . 1.2 Kh¸i niÖm më réng tr-êng * §Þnh nghÜa: Gi¶ sö A, K lµ hai tr-êng vµ K  A. Khi ®ã ta nãi r»ng K lµ mét më réng cña tr-êng A. Ký hiÖu là K  A. 1.3 PhÇn tö ®¹i sè vµ phÇn tử siªu viÖt * §Þnh nghÜa: Cho K  A, phÇn tö c  K ®-îc gäi lµ phÇn tö ®¹i sè trªn A nÕu tån t¹i f ( x)  A x ; f ( x)  0 sao cho f(c) = 0. Hay tån t¹i a0, a1 ... , an của A kh«ng ®ång thêi b»ng 0: a0 + a1c + ... + ancn = 0. NÕu c  K, c kh«ng lµ phÇn tö ®¹i sè trªn A th× c ®-îc gäi lµ ph©n tö siªu viÖt trªn A. 1.4 Đa thøc bÊt kh¶ quy * ĐÞnh nghÜa: Cho A lµ mét tr-êng, mét ®a thøc kh¸c kh«ng f ( x)  A x ; f ( x)  0 , f ( x) kh«ng kh¶ nghÞch gäi lµ bÊt kh¶ quy trong A x  ( hay bÊt kh¶ quy trªn A ) nÕu vµ chØ nÕu nã kh«ng cã -íc thùc sù trong A x  . 10 Khoá luận tốt nghiệp Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán ======================================================= 1.5 §a thøc tèi tiÓu * §Þnh lý 1: Cho K  A, gi¶ sö c  K lµ phÇn tö ®¹i sè trªn A. Khi ®ã tån t¹i duy nhÊt ®a thøc p( x )  A x  ; p( x ) bÊt kh¶ quy trªn A x  , hÖ tö cao nhÊt lµ phÇn tö ®¬n vÞ sao cho p(c) = 0. * §Þnh nghÜa: §a thøc duy nhÊt p( x ) x¸c ®Þnh nhtrªn gäi lµ ®a thøc tèi tiÓu cña phÇn tö c trªn A vµ ký hiÖu lµ mcA ( x ). 1.6 PhÇn tö liªn hîp * §Þnh nghÜa: Cho K  A, c1,c2  K. nÕu c1,c2 cã cïng ®a thøc tèi tiÓu trªn A th× c1 vµ c2 ®-îc gäi lµ liªn hîp víi nhau. 11 Khoá luận tốt nghiệp Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán ======================================================= 2. Mét sè lo¹i më réng tr-êng 2.1 Tr-êng ghÐp thªm mét tËp hîp 2.1.1 §Þnh nghÜa: Cho K  A, U lµ mét bé phËn bÊt kú cña K. Ta gäi tr-êng con cña K nhá nhÊt chøa tr-êng A, chøa tËp U lµ tr-êng con cña K mµ ghÐp thªm tËp U vµo trường A, ký hiÖu lµ A(U). 2.1.2 §Þnh lý 1:   P( x1 , x2 ,..., xn ) ; P ( x , x ,..., x )  A [ x , x ,..., x ]; 1 2 n 1 2 n   Q( y , y ,..., y ) 1 2 m   A(U )  Q( y1 , y2 ,..., ym )  A[ y1, y2 ,..., ym ]; .   m , n  N , x  U ,  i  1, n , y  U ,  j  1, m i i     2.1.3 §Þnh lý 2: NÕu U = U1  U2 th× A(U) = A( U1  U2 ) = A(U1)(U2). L-u ý: KÕt qu¶ nµy cã thÓ më réng cho nhiÒu tËp hîp nghÜa lµ: NÕu U = U1  U2  ... Un th× A(U) = A( U1  U2  ... Un ) = A(U i1 )(U i2 )...(U in ) víi ( i1,i2,...,in ) lµ c¸c ho¸n vÞ cña (1,2,...n). 12 Khoá luận tốt nghiệp Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán ======================================================= §Æc biÖt khi U = { S1,S2,...,Sn } th× A(  S1,S2,...,Sn ) = A Si1 , Si2 ,..., Sin  trong ®ã S ,S i1 i2 ,..., Sin  lµ c¸c ho¸n vÞ cña (S1,S2,...,Sn ). Nh»m môc ®Ých gi¶i quyÕt bµi to¸n t×m nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t f(x) = 0 nªn sau ®©y ta chØ xÐt mét sè lo¹i më réng sau: 2.2 Më réng ®¬n 2.2.1 §Þnh nghÜa: Cho K  A,   K. khi ®ã A(  ) ®-îc gäi lµ më réng ®¬n cña A. NÕu  lµ phÇn tö ®¹i sè trªn A th× A(  ) ®-îc gäi lµ më réng ®¬n ®¹i sè. NÕu  lµ phÇn tö siªu viÖt trªn A th× A(  ) ®-îc gäi lµ më réng ®¬n siªu viÖt. 2.3 Më réng cã bËc h÷u h¹n 2.3.1 §Þnh nghÜa 1: Ph-¬ng tr×nh bÊt kh¶ quy p(x) = 0 nhËn  lµm mét nghiÖm gäi lµ ph-¬ng tr×nh x¸c ®Þnh c¶ tr-êng A(  ). BËc cña nã gäi lµ bËc cña phÇn tö ®¹i sè  ®èi víi A. §a thøc p(x) ®-îc gäi lµ ®a thøc x¸c ®Þnh cña trường A(  ); bậc của  . KÝ hiÖu lµ [  : A]. 2.3.2 §Þnh nghÜa 2: Cho K  A, xem K nh- mét kh«ng gian vÐct¬ trªn A, nÕu K lµ kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu 13 Khoá luận tốt nghiệp Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán ======================================================= th× K ®-îc gäi lµ më réng cã bËc h÷u h¹n trªn A. Ký hiÖu [ K : A ] = dim A K. Tõ ®Þnh nghÜa trªn ta suy ra mét më réng ®¬n ®¹i sè A(  ) víi ph-¬ng tr×nh x¸c ®Þnh bËc n trªn A lµ mét më réng cã bËc h÷u h¹n [ A(  ) : A ] = n. Nh- vËy dim A K = deg mA (x) = [  : A] = [ A(  ) : A ]. 2.4 Më réng ®¹i sè 2.4.1 §Þnh nghÜa: Cho K  A, K ®-îc gäi lµ më réng ®¹i sè nÕu    K th×  lµ phÇn tö ®¹i sè trªn A. 2.5 Më réng t¸ch ®-îc 2.5.1 §Þnh nghÜa 1 ( §a thøc t¸ch ®-îc ): §a thøc f(x)  A[x] ®-îc gäi lµ ®a thøc t¸ch ®-îc trªn A nÕu nã kh«ng cã nghiÖm béi trong tr-êng ph©n r· cña nã. Trong tr-êng hîp ng-îc l¹i nã d-îc gäi lµ ®a thøc kh«ng t¸ch d-îc. 2.5.2 §Þnh nghÜa 2 ( PhÇn tö t¸ch ®-îc ): Cho   K  A,  ®-îc gäi lµ phÇn tö t¸ch ®-îc trªn A nÕu ®a thøc tèi tiÓu cña nã lµ ®a thøc t¸ch ®-îc trªn A. 2.5.3 §Þnh nghÜa 3 ( Më réng t¸ch ®-îc ): Më réng K  A gäi lµ më réng t¸ch ®-îc trªn A nÕu mäi phÇn tö cña K ®Òu lµ phÇn tö t¸ch ®-îc trªn A. 2.5.4 §Þnh nghÜa ( PhÇn tö nguyªn thuû ): *) §Þnh nghÜa: Cho K  A(  1,  2,...,  n ) nÕu   K sao cho 14 Khoá luận tốt nghiệp Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán ======================================================= K = A(  1,  2,...,  n ) = A(  ) th×  ®-îc gäi lµ phÇn tö nguyªn thuû. 2.6 Më réng chuÈn t¾c 2.6.1 §Þnh nghÜa: Më réng ®¹i sè cña tr-êng A gäi lµ më réng chuÈn t¾c trªn A nÕu mçi ®a thøc bÊt kh¶ quy p(x)  A[x] cã mét nghiÖm trong K th× nã cã tÊt c¶ c¸c nghiÖm trong K. ( ta nãi p(x) ph©n r· hoµn toµn trong K ) 2.7 Më réng Galoa 2.7.1 C¸c kh¸i niÖm *) A_tù ®¼ng cÊu: Cho K  A, tù ®¼ng cÊu  : K  K sao cho    A ta cã  ( )   th×  d-îc gäi lµ A_tù ®¼ng cÊu cña K. *) Nhãm Galoa: TËp hîp c¸c A_tù ®¼ng cÊu cña K lËp thµnh mét nhãm gäi lµ nhãm Galoa cña K trªn A, ký hiÖu lµ G(K,A). Nh- vËy G(K,A) = {   Aut(K)  ( a ) = a ,  a  A }. *) §Þnh lý: Cho G lµ mét tËp c¸c tù ®¼ng cÊu nµo ®ã cña tr-êng K. Khi ®ã C(K,G) = { x  K  (x) = x,    G }  K . *) Tr-êng ®iÓm bÊt ®éng: Ta gäi C(K,G) lµ tr-êng ®iÓm bÊt ®éng cña tËp G c¸c tù ®¼ng cÊu nào đó cña tr-êng K. 15 Khoá luận tốt nghiệp Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán ======================================================= *) Bæ ®Ò 1: Gi¶ sö  1,  2,...,  n lµ c¸c tù ®¼ng cÊu ®«i mét kh¸c nhau cña tr-êng K. Khi ®ã víi mäi m a 1, a 2,..., a m  K:  a  ( x)  0 i 1 i i víi  x  K th× a 1 = a 2 =...= a m = 0. *) Bæ ®Ò 2: Cã m tù ®¼ng cÊu kh¸c nhau tõng ®«i mét, gi¶ sö A1 lµ mét tr-êng ®iÓm bÊt động cña chóng, khi ®ã m  [K : A1 ], A1  C ( K , G1) . *) Bæ ®Ò 3: NÕu  1,  2,...,  m lËp thµnh mét nhãm c¸c tù ®¼ng cÊu cña K, A lµ tr-êng ®iÓm bÊt ®éng cña nã th× [K:A]  m. *) HÖ qu¶: Tõ c¸c bæ ®Ò trªn ta suy ra hÖ qu¶ sau :  1,...,  m lµ c¸c tù ®¼ng cÊu cña tr-êng K, A lµ tr-êng ®iÓm bÊt ®éng vµ bé phËn trªn trë thµnh mét nhãm th× [K :A] = m. +) §Þnh lý : Cho K  A, G lµ nhãm c¸c A_tù ®¼ng cÊu cña K. Khi ®ã hai ®iÒu kiÖn sau lµ t-¬ng ®-¬ng: a) C(K : G) = A b) G = [K : A] 2.7.2 Më réng Galoa *) Kh¸i niÖm: Cho K  A lµ më réng cã bËc h÷u h¹n tho¶ m·n mét trong hai ®iÒu kiÖn : a) C(K : G) = A 16 Khoá luận tốt nghiệp Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán ======================================================= b) G = [K : A] Khi ®ã K ®-îc gäi lµ më réng Galoa cña A. Tøc lµ tr-êng ®iÓm bÊt ®éng cña nhãm c¸c A_tù ®¼ng cÊu cña K trïng víi A. C(K:A) = A hay bËc cña më réng [K:A] b»ng cÊp cña nhãm c¸c A_tù ®¼ng cÊu cña K. *) C¸c tÝnh chÊt cña më réng Galoa: K  A, G = G(K,A), C = C(K,G). Khi ®ã bèn mÖnh ®Ò sau t-¬ng ®-¬ng: a) G = [K : A] b) C(K : G) = A ct td c) K  A và K  A d) K lµ tr-êng ph©n r· cña ®a thøc t¸ch ®-îc f(x)  A[x] *) §Þnh lý c¬ b¶n cña lý thuyÕt Galoa: Gi¶ sö K lµ mét më réng Galoa cña tr-êng A vµ G lµ nhãm Galoa cña K trªn A. Ký hiÖu X = { H nhãm con cña G } Y = { R A  R  K } khi ®ã tån t¹i song ¸nh  : X  Y 17 Khoá luận tốt nghiệp Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán ======================================================= H  C(K,G) = R tho¶ m·n 3 tÝnh chÊt sau: a) §¶o ng-îc quan hÖ thø tù b) H  [K : R] vµ G A  [R : A] c) Sè c¸c A_tù ®¼ng cÊu cña R b»ng [R:A] 3. Mèi liªn hÖ gi÷a c¸c lo¹i më réng: ë phÇn nµy chóng ta chØ xem xÐt mèi liªn hÖ gi÷u c¸c lo¹i më réng ®· tr×nh bµy ë phÇn trªn, ®ã lµ mèi liªn hÖ gi÷a më réng ®¬n, më réng có bËc h÷u h¹n, më réng ®¹i sè, më réng chuÈn t¾c, më réng t¸ch ®-îc vµ më réng Galoa. 18 Khoá luận tốt nghiệp Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán ======================================================= 3.1 §Þnh lý 1: Mäi më réng ®¬n ®¹i sè A(  ) ®Òu lµ më réng cã bËc h÷u h¹n. 3.2 §Þnh lý 2: Mäi më réng h÷u h¹n ®Òu lµ më réng ®¹i sè. 3.3 §Þnh lý 3: Trªn mét tr-êng A cã ®Æc sè lµ kh«ng hoÆc A lµ tr-êng h÷u h¹n th× mäi më réng ®¹i sè K  A lµ më réng t¸ch ®-îc. 3.4 §Þnh lý 4: Mét më réng K cã bËc h÷u h¹n cña tr-êng A lµ chuÈn t¾c nÕu vµ chØ nÕu nã lµ tr-êng ph©n r· cña mét ®a thøc t¸ch ®-îc f(x) trªn A. 3.5 §Þnh lý 5: NÕu E lµ më réng Galoa cña A th× E lµ më réng chuÈn t¾c vµ t¸ch ®-îc cña A. 3.6 §Þnh lý 6: NÕu E lµ më réng chuÈn t¾c, t¸ch ®-îc vµ cã bËc h÷u h¹n cña A th× E lµ më réng Galoa cña A. 19 Khoá luận tốt nghiệp Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán ======================================================= Ch-¬ng 2 : M« t¶ ®Þnh lý c¬ b¶n cña lý thuyÕt Galoa ®èi víi më réng Galoa Q f ( x )  Q,deg f ( x)  4 1. §Æt vÊn ®Ò 1.1 C¬ së lý luËn : Theo ®Þnh nghÜa nhãm Galoa cña ph-¬ng tr×nh f(x) = 0 trªn A lµ nhãm G = G(Af(x),A) trong ®ã Af(x) lµ tr-êng nghiÖm cña f(x) vµ ®-îc x¸c ®Þnh Af(x) = A(  1,...,  n) víi  i (i = 1,...,n) lµ c¸c nghiÖm cña f(x) trong tr-êng ph©n r· cña nã. 2. M« t¶ ®Þnh lý c¬ b¶n : §Ó M« t¶ ®-îc ®Þnh lý c¬ b¶n cña lý thuyÕt Galoa ®èi víi më réng Galoa GL Q f ( x )  Q ta ph¶i ®i t×m tr-êng nghiÖm Qf(x). Tr-êng nµy phô thuéc vµo sè c¸c nghiÖm h÷u tû cña f(x) nªn ta sÏ xem xÐt Qf(x) theo sè nghiÖm h÷u tû cña f(x). Trong mçi tr-êng hîp ta chia thµnh c¸c b-íc sau: B-íc 1: T×m tr-êng ph©n r· Qf(x) B-íc 2: T×m nhãm Galoa G = G(Qf(x),Q) B-íc 3: M« t¶ ®Þnh lý c¬ b¶n. Ta cã c¸c tr-êng hîp sau: 2.1 M« t¶ ®Þnh lý c¬ b¶n cña lý thuyÕt Galoa ®èi víi më réng Galoa Q f ( x )  Q,deg f ( x)  1 20