Tài liệu Maple và các bài toán ứng dụng

Phạm Minh Hoàng Maple và các bài toán ứng dụng Nhà xuất bản Khoa Học và Kỹ Thuật Lời nói đầu T ôi còn nhớ cách đây không lâu, một học sinh lớp 9 đặt cho tôi một bài toán như sau: ∼∼∼∼∼∼∼ Hai đội công nhân làm chung một công việc trong 2g24'. Nếu mỗi đội chia nhau làm nửa công việc thì thời gian hoàn tất là 5g. Hỏi thời gian mỗi đội làm xong công việc của mình? Loay hoay một lúc tôi mới tìm ra phương trình của bài toán và phải khó khăn lắm tôi mới cắt nghĩa được cho em, rồi lại phải mất thêm một ít thời gian mới có thể tự mình tìm được phương trình của bài toán. Nhưng đến khi thay số vào em lại làm sai, phải đợi đến khi em dùng máy tính thì mọi chuyện mới xong. Bất chợt tôi đặt câu hỏi: tìm ra được phương trình bài toán là co như đã đi được 3/4 đoạn đường, phần còn lại chỉ là thay số, vậy mà em học sinh này lại làm sai, thật uổng. Nếu là người chấm điểm, tôi có thể châm chước và cho em 7/10, nhưng nếu chỉ căn cứ vào kết quả hoặc thi bằng trắc nghiệm có thể em bị 0 điểm. Vậy thì rõ ràng máy tính đã thay đổi tất cả. Ngày nay, ở Việt Nam tất cả các kỳ thi cấp trung học trở lên đều được phép dùng máy tính (không lập trình), điều đó có nghĩa là xã hội đã chấp nhận cho các em miễn làm tính bằng tay, mà chẳng ai đặt vấn đề ''mất tư duy'' Toán học cả. Lên đến bậc đại học, công cụ này còn trở lên tối cần thiết hơn cho sinh viên khoa học tự nhiên. Bắt sinh viên tính các bước trong phương pháp Runge-Kutta không máy tính là các em chịu thua ngay mặc dù tất cả đều hiểu bài. Và lên cao hơn nữa, các nhà nghiên cứu còn phải hoàn toàn dựa vào những máy tính siêu mạnh với những phần mềm thích ứng để hỗ trợ họ trong các bài toán phức tạp. Như thế, họ đã ''khoán'' tất cả những tính toán tầm thường cho máy tính và để hết tâm trí của mình vào những chủ đề chuyên sâu của họ. Vị trí và vai trò của máy tính đã ngày một trở nên quan trọng, nhất là trong lãnh vực giáo dục. Tin học hầu như là một môn bắt buộc cho các sinh viên ngay từ bước đầu vào đại học, và càng lên cao, càng đi sâu vào một lãnh vực nào đó, con người bắt buộc phải dùng đến máy tính. Bước ra ngoài đời, bước vào kỹ nghệ, công nghiệp, vai trò của máy tính lại trở nên quan trọng hơn, đến nỗi chúng ta có thể khẳng định rằng: ngày nay nếu không có máy tính, con người sẽ không làm gì được cả. Không máy tính, ngày hôm nay con người không thể xây dựng những cây cầu hiện đại, không thể dự đoán được thời tiết, không thể vẽ được các vỏ tàu, cánh máy bay, không thể đo độ rung của một chiếc tên lửa... vốn là những vật dụng, những phương tiện gần gũi với chúng ta. Lý do là máy tính có một khả năng tính toán và một bộ nhớ gần như vô hạn. Tuy nhiên, cho dù có mạnh đến đâu đi chăng nữa, tất cả các máy tính đền tính toán trên các°con số. Chúng có thế tính một triệu số lẻ của số π trong nháy mắt nhưng không tai nào tìm 8 (
1)n π ra n=0 2n+1 = 4 . Điều này gây ít nhiều khó khăn cho những nhà khoa học vốn đã quen với các ký hiệu như x, BBx f (x, s), ln[sin(x2 + 1)] . . . nên họ vẫn ao ước có một công cụ thích ứng để làm việc, một phần mềm không chỉ thao tác các con số, mà phải làm được điều này trên các ký hiệu quen thuộc. Đó là một phần mềm tính toán hình thức1 . Và phải đợi tới năm 1980 đại học Waterloo (Canada) mới hoàn tất công trình đồ sộ của mình và cho ra đời Maple. Maple được viết ra từ mục đích đó. Vào năm 1867, nhà thiên văn Delaunay đã bỏ ra 20 năm đằng đẵng để thiết lập và tính toán quĩ đạo của mặt trăng dưới tác dụng của mặt trời. Biểu thức hoàn toàn bằng ký tự (hình thức) này dài gần 2000 trang giấy. Một thế kỷ sau, năm 1970, nhà toán học A. Deprit chỉ mất 9 tháng để viết một chương trình để tính toán lại2 . Ngày nay, có lẽ chúng ta chỉ mất khoảng nửa giờ! Maple quả là tiết kiệm cho người dùng một khoảng thời gian khổng lồ. Nhưng Maple có thể còn làm nhiều hơn thế. Tôi còn nhớ một trong những ''kinh nghiệm xương máu'' của mình hồi học lớp 12. Thầy dạy chúng tôi tính diện tích hình tròn bán kính r bằng cách chia nhỏ nó ra thành từng mảnh nhỏ và xem như đó là những hình chữ nhật rồi cộng diện tích chúng lại để có được kết quả là πr2 . Nhưng tôi mãi lấn cấn cái chuyện phải xem như đó là những hình chữ nhật. Vì nếu ''xem như'' thì rõ ràng đã có sai số, và nếu cộng hết các hình chữ nhật là cộng hết cả các sai số thì đâu thể ra một cái gì tròn trịa như πr2 . Chính cái lấn cấn ấy đã làm điểm toán của tôi sút giảm nghiêm trọng. Mãi đến khi có được Maple tôi mới nghiệm ra ''chân lý'' của vấn đề khi vẽ thật nhiều hình chữ nhật để thấy rằng rõ ràng là nó tiến về diện tích hình tròn. Đến đây , tôi nghĩ có nhiều thầy (thậm chí có cả các bạn sinh viên) phì cười cho rằng tôi thuộc loại ''chậm tiêu''. Tôi nghĩ điều ấy không sai, nhưng riêng tôi, tôi lại nhìn vấn đề cách khác. Cái gì đã làm cho mình hiểu ra vấn đề? câu trả lời là hình ảnh. Ngày xưa tôi không ''tiêu'' được chẳng qua là vì thầy không đủ sức vẽ thật nhiều những hình chữ nhật như Maple. Vậy tại sao chúng ta không tận dụng những khả năng vượt trội của máy tính để tiết kiệm thời gian?. Tôi nghĩ không cần dài dòng để thuyết phục về ưu điểm của máy tính trong một bài thuyết trình (chứ không riêng gì việc học). Một diễn giả ngồi đọc lê thê sẽ không cuốn hut bằng chiếu cùng một nội dung ấy lên màn hình. Mà đã không cuốn hút thì khó đưa nội dung ''vào đầu'' thính giả. Đặc biệt nếu những nội dung ấy là những trừu tượng như toán thì lại càng phải cụ thể hóa, sinh động hóa. Tôi còn nhớ khi dạy toán bằng Maple vào một ngày không có máy chiếu. Sinh viên ngồi nhìn bảng đen mà tôi cứ nghĩ tâm hồn các bạn đang lượn lờ ở ''chốn bồng lai'' nào (vì các khái niệm ấy các em đều đã học qua). Nhưng khi có máy chiếu, tôi thấy các em háo hức mừng lộ ra mặt. Cặp mắt lờ đờ khi nãy bỗng sinh động khác thường, cứ mỗi khi thay slide là khuôn mặt các em cũng thay đổi theo. Rồi đến khi thực hiện những bài tập lớn cuối học kỳ, rất nhiều bạn đã làm nhiều hơn những gì chủ đề đòi hỏi. Lý do là các bạn ấy đã hiểu rõ hiện tượng mà không ngần ngại sử dụng sức mạnh của máy tính để khai triển xa hơn. Điều đó là việc ''xưa nay hiếm''. Vậy thì rõ ràng Maple đã giúp ích cho việc học toán. Trên đây tôi vừa nhắc đến những hình chữ nhật xấp xỉ hình tròn. Điều ấy nếu là một người có ''hoa tay'', thầy tôi có thể vẽ được. Nhưng khi đó là những hình trong không gian, những hình co-nic 3 chiều thì không dễ dàng đề vẽ. Tôi còn nhớ khi dạy phương pháp đường dốc nhất (steepest descent) trong môn Tối Ưu hóa hàm nhiều biến, để cắt nghĩa phương pháp, tôi cứ phải liên tục làm những động tác một người đang lao xuống vực để các bạn hiểu ý nghĩa hình học của gradient. Nhưng đến khi hiển thị bằng máy tính thì tối chắc chắn các bạn sinh viên đã hiểu tại sao phương pháp steepest ascent (nghĩa là dốc lên) mà tối không cần phải làm động tác nào khác. Maple không chỉ giúp bằng hình ảnh mà còn kích thích óc sáng tạo. Chúng ta đã dạy cho học sinh làm thế nào để viết phương trình một đường thẳng qua hai điểm; vậy thì các em có thể 1 2 ii Tiếng Anh là formal computation tiếng Pháp là calcul formel. và đã tìm thấy chỉ một chỗ sai trong 2000 trang của Delaunay! Phạm Minh Hoàng dùng Maple xác định được đường cao, đường trung tuyến, sau đó xác định được trực tâm, trọng tâm rồi viết phương trình đường thẳng Euler. Tất cả các công đoạn ấy làm bằng máy tính đâu có làm ''nhụt'' tư duy toán học của các em đâu, trái lại nó làm cho các em có cơ hội sử dụng một vũ khí sắc bén của trí tuệ là trí tưởng tượng3 . Rồi ở bậc đại học, chúng ta đã dạy cho sinh viên điều kiện để chéo hóa một ma trận M và áp dụng nó để tính M n . Nếu làm bằng tay sẽ rất ''oải'', dễ chán, thậm chí mới chỉ là ma trận bậc 3; nhưng với Maple, sinh viên có thể ''vui chơi'' và tự tạo cho mình những trường hợp cực kỳ phức tạp và như thế các bạn sẽ hiểu rõ vấn đề. Các thí dụ như thế còn rất nhiều và trong mọi lãnh vực như lý, hóa, sinh, kỹ thuật, kiến trúc... Rõ ràng là nó giúp chúng ta học hiệu quả hơn. Tôi thực sự chưa bao giờ nghĩ rằng Maple có thể thay thế người thầy vì để đánh một lệnh Maple để tính diện tích hình tròn thì ai cũng có thể làm được, thậm chí là một học sinh cấp II! nhưng nếu hiểu được ý nghĩa hình học của nguyên hàm (và các vấn đề sau sa hơn) thì không thể thiếu thầy được. Maple chỉ cung cấp cho chúng ta một công cụ để hiểu rõ vấn đề và khơi nguồn sáng tạo mà thôi. Nhưng đó lại là yếu tố rất cần trong cuộc đời sinh viên kể cả khi đã ra trường. Với tất cả những tâm tình đó, tôi đã viết cuốn Maple và các bài toán ứng dụng này. Sau lần xuất bản thứ nhất tác giả bỏ đi những chủ đề phức tạp đồng thời thêm một số chương ích lợi hơn cho việc học Maple, trong đó có một chương nói về cú pháp dành cho các độc giả chưa có kinh nghiệm với phần mềm này. Tác giả cũng chân thành xin lỗi bạn đọc về những sơ sót đã mắc phải trong lần phát hành đầu tiên. Mọi ý kiến đóng góp xin chuyển về địa chỉ: Nhà xuất bản Khoa Học và Kỹ Thuật, 28 Đồng Khởi, phường Bến Nghé, quận I, TPHCM. ĐT: 822.50.62-829.66.28 Ước mong của tác giả là cuốn sách nhỏ bé này sẽ giúp bạn đọc có một cái nhìn mới về vũ trụ vô tận của Toán học. Sài Gòn Xuân Mậu Tí 2008 Phạm Minh Hoàng email: [email protected] Vài dòng về tác giả: Sinh năm 1955 tại Sài Gòn, đậu tú tài và đi du học Pháp năm 1973, tốt nghiệp Cao học Cơ Học Ứng Dụng tại Đại học Pierre & Marie Curie(Paris VI) và đã đi làm nhiều năm về tịn học quản lý và tin học kỹ nghệ tại Paris. Năm 2000 trở về Việt Nam và hiện công tác tại Bộ Môn Toán Ứng Dụng, Khoa Khoa Học Ứng Dụng, Trường Đại học Bách Khoa TPHCM. 3 Kiến thức không quan trọng bằng trí tưởng tượng. Kiến thức thì giới hạn nhưng trí tưởng tượng có thể vây quanh nhân loại (Albert Einstein) Phạm Minh Hoàng iii Mục lục Trang Lời nói đầu Chương 1. Cú pháp Maple 1.1 Tổng quan . . . . . . . . . . . . . 1.2 Các thao tác trên một biểu thức . . 1.2.1 Lệnh simplify: đơn giản . 1.2.2 Lệnh expand: khai triển . 1.2.3 Lệnh factor: thừa số . . . 1.2.4 Lệnh combine: gom . . . 1.2.5 Lệnh convert: biến đổi . . 1.3 Mệnh đề và hàm mũi tên . . . . . 1.4 Các thao tác trên một dãy . . . . . 1.5 Giải tích . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Đồ thị hai chiều . . . . . . . . . . 1.7 Giải phương trình . . . . . . . . . 1.7.1 Phương trình đại số . . . . 1.7.2 Phương trình quy nạp . . . 1.8 Phương trình vi phân . . . . . . . 1.8.1 Cách giải giải tích . . . . 1.8.2 Cách giải số . . . . . . . . 1.9 Đại số tuyến tính . . . . . . . . . 1.10 Lập trình trong Maple . . . . . . . 1.10.1 Khai thác sau khi biên dịch 1.11 Nguyên hàm . . . . . . . . . . . . 1.12 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . 1.12.1 Các lệnh cơ bản . . . . . . 1.12.2 Đại số . . . . . . . . . . . 1.12.3 Phương trình vi phân . . . 1.12.4 Nguyên hàm . . . . . . . 1.12.5 Lập trình . . . . . . . . . 1.13 Bài đọc thêm: Thalès . . . . . . . i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 3 3 5 5 6 7 8 8 10 11 13 13 14 14 14 16 18 20 21 23 26 26 26 27 27 27 32 Mục lục Chương 2. Bài toán cực trị 2.1 Tiết kiệm nhôm . . . . . . . . . . . . 2.2 Đoạn đường gần nhất . . . . . . . . . 2.3 Góc nhìn của phi hành gia . . . . . . 2.4 Hình nón và hình cầu . . . . . . . . . 2.4.1 Tính bằng thể tích . . . . . . 2.4.2 Tính bằng diện tích . . . . . . 2.5 Khúc cua gắt . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Vấn đề 1 . . . . . . . . . . . 2.5.2 Vấn đề 2 . . . . . . . . . . . 2.6 Ellipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Hình vẽ cho bài toán Ellipsoid 2.7 Cực trị của hàm hai biến: Thí dụ 2 . . 2.8 Cực trị của hàm ba biến . . . . . . . . 2.9 Bài đọc thêm: Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 33 34 36 37 37 40 42 43 44 47 48 48 50 53 . . . . . 54 54 57 60 63 67 . . . . . . . . . . . . 69 69 71 73 74 77 77 81 81 81 84 85 88 Chương 5. Bài toán mô phỏng 5.1 Cạnh tranh tay đôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Giải bằng hàm tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Gải bằng ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 89 90 90 Chương 3. Đồ thị ba chiều 3.1 Thí dụ 1 . . . . . . . . 3.2 Thí dụ 2 . . . . . . . . 3.3 Thí dụ 3 . . . . . . . . 3.4 Thí dụ 4 . . . . . . . . 3.5 Bài đọc thêm: Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 4. Hình học giải tích 4.1 Tìm và vẽ tiếp tuyến chung của hai vòng tròn 4.2 Diện tích phần giao của hai vòng tròn . . . . 4.3 Quỹ tích 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Quỹ tích 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Quỹ tích 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Cách giải thứ nhất . . . . . . . . . . 4.5.2 Cách giải thứ hai . . . . . . . . . . . 4.6 Giới hạn của Maple . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1 Một thí dụ thuần hình thức . . . . . . 4.6.2 Một khúc mắc... . . . . . . . . . . . 4.6.3 Một thí dụ điển hình . . . . . . . . . 4.7 Bài đọc thêm: Archimède . . . . . . . . . . . Phạm Minh Hoàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v Mục lục 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.1.3 Giải bằng hàm quy nạp rsolve 5.1.4 Biểu diễn trong không gian 3-D Kinh tế ASEAN . . . . . . . . . . . . . Lãi suất ngân hàng . . . . . . . . . . . 5.3.1 Lập trình . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Hàm số hợp . . . . . . . . . . . 5.3.3 Dãy truy hồi (quy nạp) . . . . . 5.3.4 Phương trình vi phân . . . . . . Nuôi tằm . . . . . . . . . . . . . . . . Bồn khuấy nước đều . . . . . . . . . . Bài toán cân bằng môi sinh . . . . . . . S.A.R.S . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.1 Giải với các đại lượng rời rạc . 5.7.2 Giải với các đại lượng liên tục . Bài đọc thêm: Eratosthene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 6. Bài toán kích thước hình xoay 6.1 Diện tích, thể tích ellipse và ellipsoid . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Diện tích một ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Thể tích một ellipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3 Diện tích một ellipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Thể tích sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox của một hàm . . 6.3 Thể tích sinh ra bởi phép quay quanh trục Oy của một hàm . . 6.4 Trường hợp một hàm nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Tìm thể tích sinh ra bởi phép quay của phần giao của hai hàm . 6.5.1 Xoay quanh Ox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.2 Xoay quanh Oy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Một trường hợp phức tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.1 Xoay quanh Ox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.2 Xoay quanh Oy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Bài đọc thêm: Galilée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 7. Bài toán sức bền vật liệu 7.1 Tải trọng đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Hai đầu gối đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2 Ngàm một đầu, đầu kia tự do . . . . . . . . . . . . . . 7.1.3 Ngàm hai đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.4 Ngàm một đầu, đầu kia gối đơn (hệ siêu tĩnh) . . . . . 7.1.5 Ngàm một đầu, đầu kia gối đơn ở một điểm bất kỳ u . 7.2 Tải trọng tập trung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Ngàm một đầu, lực tập trung ở đầu kia. [Hình 7.14 (a)] vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 91 92 93 93 94 94 95 97 102 103 105 105 108 112 . . . . . . . . . . . . . . 115 115 115 116 117 118 118 119 120 120 121 122 122 122 125 . . . . . . . . 127 127 128 129 129 131 131 137 137 Phạm Minh Hoàng Mục lục 7.3 7.2.2 Ngàm một đầu, lực tập trung ở x = u   l [Hình 7.14 (b)] . . . . . . . . 138 7.2.3 Hai gối đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Bài đọc thêm: Képler - Thái Dương hệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Chương 8. Bài toán đạn đạo 8.1 Môi trường không có ma sát không khí . . . . . 8.2 Môi trường có ma sát không khí . . . . . . . . 8.2.1 Thí dụ 1: nghiệm giải tích . . . . . . . 8.2.2 Thí dụ 2 : nghiệm bằng phương pháp số 8.2.3 Tìm góc bắn xa nhất . . . . . . . . . . 8.2.4 Nối dài tầm bắn . . . . . . . . . . . . . 8.2.5 Sức cản trong trường hợp phức tạp . . . 8.2.6 Dưỡng Do Cơ thế kỷ XXI! . . . . . . . 8.3 Bài đọc thêm: Shwerer Gustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 9. Bài toán dao động 1: Lò xo 9.1 Lò xo nằm ngang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.1 Trường hợp 1 : Không có lực giảm xóc, λ = 0 9.1.2 Trường hợp 2 : Lực giảm xóc, λ ¡ 0 . . . . . 9.1.3 Khảo sát hiện tượng cộng hưởng . . . . . . . . 9.2 Hệ ba lò xo nằm ngang . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Bài đọc thêm: Cầu Tacoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 10.Bài toán dao động 2: Con lắc toán học 10.1 Con lắc đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.1 Trường hợp 1: góc quay nhỏ . . . . . . . . . . . 10.1.2 Trường hợp 2: góc quay lớn không ma sát . . . . 10.1.3 Trương hợp 3: góc quay lớn với ma sát . . . . . 10.2 Con lắc kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.1 Trường hợp 1: góc quay nhỏ, tính toán hình thức 10.2.2 Trường hợp 2: góc quay lớn - Tính toán số . . . 10.2.3 Kiểm chứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Con lắc đơn đàn hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.1 Vẽ hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.2 Tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Bài đọc thêm: Lịch sử số π . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 11.Số học và ứng dụng 11.1 Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Số học mô-đun . . . . . . . . . . 11.1.2 Phép chia Eculide trong Z /mZ . 11.1.3 Ứng dụng của phép tính đồng dư . Phạm Minh Hoàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 145 148 149 149 151 154 156 157 165 . . . . . . 168 168 170 171 174 177 180 . . . . . . . . . . . . 183 183 184 185 188 189 191 193 195 198 198 199 204 . . . . 209 209 209 210 212 vii Mục lục 11.1.4 Định lý Trung Quốc . . . . . . . . . . . . 11.2 Mật mã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.1 Mã César . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.2 Mã Khối . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.3 Mã RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Bài đọc thêm Bẻ khóa RSA: Con đường chông gai Chương 12.Xử lý hình động 12.1 Chuyển động đơn giản . . . . . . . . . . 12.1.1 Thí dụ . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.2 Thí dụ 2 . . . . . . . . . . . . . . 12.1.3 Thí dụ 3 . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Chuyển động phức tạp . . . . . . . . . . 12.2.1 Thí dụ 1 . . . . . . . . . . . . . . 12.2.2 Thí dụ 2 . . . . . . . . . . . . . . 12.3 Chuyển động có sự thay đổi vận tốc . . . 12.3.1 Thay đổi đều . . . . . . . . . . . 12.3.2 Thay đổi không đều - Thí dụ 1 . . 12.3.3 Thay đổi không đều - Thí dụ 2 . . 12.4 Chuyển động với một hay nhiều hình tĩnh 12.4.1 Thí dụ 1 . . . . . . . . . . . . . . 12.4.2 Thí dụ 2 . . . . . . . . . . . . . . 12.5 Đường lập lên bởi hình động . . . . . . . 12.5.1 Viên bi lăn theo đường thẳng . . . 12.5.2 Viên bi lăn theo một đường bất kỳ 12.5.3 Cycloid . . . . . . . . . . . . . . 12.5.4 Điểm động học . . . . . . . . . . 12.6 Bài đọc thêm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 216 217 219 222 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 231 231 232 233 234 234 238 240 240 241 242 245 245 246 248 248 250 252 253 256 Tài liệu tham khảo 278 Chỉ mục 280 viii Phạm Minh Hoàng Danh mục hình minh họa Hình Trang 1.1 1.2 1.3 1.4 (a) Ba lời giải và (b) khi vẽ chung với tập hợp các lời giải Lời giải phương trình vi phân phương pháp giải tích . . . Lời giải phương trình vi phân và phương pháp số . . . . Sơ đồ tạo và sử dụng tập tin thực thi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 16 18 22 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (a) Hình nón nội tiếp (b) đương biểu diễn của thể tích theo h khi R = 3. . . (a) hình nón ngoại tiếp (b) đường biểu diễn của thể tích theo h khi R = 3. . Đồ thị của diện tích theo h khi R = 3: (a) trường hợp nội tiếp; (b) ngoại tiếp Hình nón nội tiếp và ngoại tiếp hình tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình hộp nội tiếp trong một ellipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình khối cực đại trong một ellipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 35 36 38 39 41 43 44 45 47 49 49 50 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Đường đồng mức của hàm f (x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cực trị hàm nhiều biến và hình chiếu của nó . . . . . . . . . . . . . . Các điểm dừng của f (x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Điểm cực đại và cực tiểu của f (x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . Điểm yên ngựa của hàm f (x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Đồ thị gradient, đường đồng mức và chuyển động của Pk . . . . . . . Chuyển động Pk trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Biểu diễn tham số của hàm ràng buộc g(x, y) trên f (x, y) . . . . . . . (a) Đường đồng mức và ellips 2D, (b) Véc-tơ gradient tại điểm cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 56 58 59 60 61 62 63 65 67 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 71 4.1 4.2 ix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Danh mục hình minh họa 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 (a), (b) Vị trí tương đối của H; (c) Quỹ tích H 4.8 Quỹ tích của H với các vị trí M . . . . . . . . 4.9 Vòng tròn trực giao . . . . . . . . . . . . . . 4.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 75 77 78 79 80 83 84 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Thương vụ với đồ thị 3-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sai biệt giữa phép giải rời rạc và liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . (a), (b) Phát triển ổn định sau 30 tháng và (c) phát triển không ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 và (b) trường hợp ⃝ 2 Đường biểu diễn của lượng muốn (a) trường hợp ⃝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lây lan của bệnh dịch khi không có và khi có thuốc chữa . . . . . . . . . 1 1 5.11 Lây lan của bệnh dịch với b = và b = . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 5.12 Lây lan của bệnh dịch trường hợp c) và d) . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.13 Thuật toán "Sàng Eratosthene" và cách đo chu vi trái đất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 92 95 96 98 101 102 104 105 107 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 x . . . 109 . . . 110 . . . 114 ellipse và ellipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Đồ thị y = f (x) = x3 và hình xoay quanh Ox . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1 Đồ thị x = f (y) và hình xoay quanh Oy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Đồ thị một hàm nội suy và hình xoay quanh Ox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phần giao của hai hàm và hình xoay quanh Ox, Oy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phần giao của hai hàm trong một trường hợp phức tạp và (b),(c) cách vẽ để tính thể tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chuyển vị, góc quay và moment trường hợp hai gối đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chuyển vị, góc quay và moment trường hợp ngàm một đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chuyển vị, góc quay và moment trường hợp ngàm hai đầu 127 128 130 131 132 133 134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 120 121 122 123 124 125 Phạm Minh Hoàng Danh mục hình minh họa 7.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.9 Chuyển vị, góc quay và moment trường hợp ngàm một đầu, đầu kia gối đơn . . 7.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.11 Chuyển vị, moment ngàm một đầu và gối đơn ở: (a) x = 8 và (b) x = 7 (cách giải thứ nhất) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.13 Chuyển vị, moment trường hợp ngàm một đầu và gối đơn ở: (a) x = 8 và (b) x = 7 (cách giải thứ hai) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.14 Các trường hợp tải trọng tập trung với ngàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.15 Chuyển vị, góc quay và moment trường hợp ngàm một đầu, lưu tập trung khi: (a) u = 4 và (b) u = 6 (các tỷ lệ được sửa đổi để dễ nhìn) . . . . . . . . . . . . 7.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.17 Lực tập trung, hai nối đơn qua hai cách giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.18 Thái Dương Hệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 136 137 8.1 8.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quỹ đạo trong trường hợp không ma sát với: (a) v0 = 300 và (b) v0 = 900m/s 1 Đạn đạo với hệ số ma sát bằng : (a) k = 1 (tối đa) và (b) k = . . . . . . . . 10 [ ] π 7π Đạn đạo 5 góc bắn α P , với ma sát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nối dài tầm bắn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . π (a), (b): Các hàm sức cản p(h) và (c) tầm bắn tương ứng với α = . . . . . . 4 π Đạn đọa của 6 góc bắn với độ gia tăng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Các hàm nội suy ftd(d), fdt(d) và fad(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Các hàm nội suy ftd(t), fad(a) và fda(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . π Đạn đạo của 6 góc bắn với độ gia tăng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Các hàm nội suy spline của fdt(t), fad(a), fda(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình 8.14: Đại bác Schwerer Gustav (hình mẫu trưng bày) . . . . . . . . . . . 145 147 Lò xo và khối m trên trục hoành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chuyển động với giảm xóc λ = df rac120 và . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Chuyển động với độ giảm xóc lớn ∆ ¡ 0 và (b) giảm xóc tớn hạn (∆ = 0) . . Chuyển động với ảnh hưởng ngoại lực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chuyển động khi ngoại lực (a) cùng vận tốc góc và (b) không cùng vận tốc góc Hệ ba lò xo trước và sau khi chuyển động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chuyển động của hệ thống . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 170 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 8.10 8.11 8.12 8.13 8.14 8.15 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 Phạm Minh Hoàng 137 138 138 139 139 140 141 143 151 153 154 155 157 158 160 161 162 163 164 165 166 172 173 174 176 177 179 xi Danh mục hình minh họa 9.9 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 Cầu Tacoma lúc sụp đổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Con lắc đơn với góc quay nhỏ . . . . . . . . . . . . . . . Con lắc đơn với góc quay lớn . . . . . . . . . . . . . . . . Con lắc đơn với góc quay lớn và lực ma sát . . . . . . . . Con lắc kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chuyển động cùng chiều với góc quay nhỏ . . . . . . . . . Chuyển động ngược chiều với góc quay nhỏ . . . . . . . . Chuyển động với u1 (0) = u2 (0) = 1 radian . . . . . . . . π 10.9 Chuyển động với u1 (0) = , u2 (0) = 1radian . . . . . . 2 10.10Đồ thị của động năng, thế năng và cơ năng của con lắc kép 10.11Con lắc đơn đàn hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.12Khai báo con lắc đàn hồi và vài chuyển động . . . . . . . 10.13(a) Quỹ đạo con lắc và (b) đồ thị năng lượng . . . . . . . . 10.14Con lắc kép đàn hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.17Tukey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 185 187 189 190 194 195 196 . . . . . . . . . . . 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 198 200 201 203 204 205 206 12.1 Hình tĩnh của hàm sin(x) và 4 chuyển động khác nhau . . . . . . . . . . 12.2 (a) Chong chóng ở vị trí đầu, (b) sau khi quay 30o và (c) 4 chuyển động 5o 12.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4 (a) Chuyển động tịnh tiến của bánh xe và (b) chuyển động quay của van . 12.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.6 Chuyển động của van xe trong 3 vòng quay . . . . . . . . . . . . . . . . 12.7 4 chuyển động với khoảng cách thời gian (a) đều và (b) không đều . . . . 12.8 (a) Cả hai xe ngừng cùng lúc và (b) lần lượt ngừng . . . . . . . . . . . . 12.9 (a) Chuyển động với thay đổi đều và (b) thay đổi không đều . . . . . . . 12.10Chuyển động theo định luật Képler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.11Chuyển động của mặt trăng quanh trái đất theo định luật Képler . . . . . x 2 12.12Tiếp tuyến của hàm f (x) = e
x sin( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 °k 1 12.13Sự hội tụ của n=1 [ cos(x)n cos(nx)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . n 12.14Chuyển động thẳng của viên bi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x sin x , (b)f (x) và (c)f ( ) nhân lên 30 lần . . . . . . 12.15Đồ thị của hàm (a), x 3 12.16Chuyển động của viên bi (a) trước và (b) sau khi chỉnh vận tốc . . . . . . 12.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.19Biểu diễn của vận tốc và gia tốc ở hình (a) cardiod và (b) hình ốc sên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 233 234 235 236 237 238 240 241 243 244 xii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 . . . 247 . . . 249 . . . 250 . . . . . . . . . . . . 251 252 254 256 Phạm Minh Hoàng Danh mục hình minh họa 12.20Babylone . . . . . . . . . . 12.21Pythagore . . . . . . . . . . 12.22Thales . . . . . . . . . . . . 12.23Hippocrates . . . . . . . . . 12.24Euclide . . . . . . . . . . . 12.25Aristote . . . . . . . . . . . 12.26Archimede . . . . . . . . . . 12.27Eratosthene . . . . . . . . . 12.28Apollonius . . . . . . . . . . 12.29Ptoleme . . . . . . . . . . . 12.30Liu Hui . . . . . . . . . . . 12.31Diophante . . . . . . . . . . 12.32Hệ Thập Phân . . . . . . . . 12.33Abu-bin-Musa-al-Khwarizmi 12.34Fibonacci . . . . . . . . . . 12.35Qin Jinshao . . . . . . . . . 12.36Nicolas . . . . . . . . . . . 12.37Copernic . . . . . . . . . . . 12.38Viète . . . . . . . . . . . . . 12.39Kepler . . . . . . . . . . . . 12.40Neper . . . . . . . . . . . . 12.41Cavalieri . . . . . . . . . . . 12.42Descartes . . . . . . . . . . 12.43Desargues . . . . . . . . . . 12.44Pascal . . . . . . . . . . . . 12.45Fermat . . . . . . . . . . . . 12.46Huygens . . . . . . . . . . . 12.47Leibniz . . . . . . . . . . . 12.48Seki Kowa . . . . . . . . . . 12.49Isaac Newton . . . . . . . . 12.50Jacques Bernoulli . . . . . . 12.51Rolle . . . . . . . . . . . . . 12.52Jean Bernoulli . . . . . . . . 12.53De Moivre . . . . . . . . . . 12.54Jacapo Riccati . . . . . . . . 12.55Euler . . . . . . . . . . . . . 12.56Simpson . . . . . . . . . . . 12.57D'Alembert . . . . . . . . . 12.58Lagrange . . . . . . . . . . 12.59Monge . . . . . . . . . . . . Phạm Minh Hoàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 257 257 257 257 258 258 258 258 259 259 259 259 260 260 260 261 261 261 261 262 262 262 262 263 263 263 263 264 264 264 265 265 265 265 266 266 266 266 267 xiii Danh mục hình minh họa 12.60Legendre . . . . . . . . . . 12.61Gauss . . . . . . . . . . . . 12.62Fourier . . . . . . . . . . . . 12.63Poisson . . . . . . . . . . . 12.64Laplace . . . . . . . . . . . 12.65Bolzano . . . . . . . . . . . 12.66Navier . . . . . . . . . . . . 12.67Green . . . . . . . . . . . . 12.68Galois . . . . . . . . . . . . 12.69Lobachevsky . . . . . . . . 12.70Cauchy . . . . . . . . . . . 12.71Dirichlet . . . . . . . . . . . 12.72Jacobi . . . . . . . . . . . . 12.73Cayley . . . . . . . . . . . . 12.74Boole . . . . . . . . . . . . 12.75Chebyshev . . . . . . . . . . 12.76Sylvester . . . . . . . . . . 12.77Venn . . . . . . . . . . . . . 12.78Poincaré . . . . . . . . . . . 12.79Frobenius . . . . . . . . . . 12.80Lyapunov . . . . . . . . . . 12.81RungeKutta . . . . . . . . . 12.82Carmichael . . . . . . . . . 12.83Borel . . . . . . . . . . . . 12.84Richardson . . . . . . . . . 12.85Turing . . . . . . . . . . . . 12.86George Dantzig . . . . . . . 12.87Shannon . . . . . . . . . . . 12.88Schwartz . . . . . . . . . . 12.89Hall . . . . . . . . . . . . . 12.90Edward Lorenz . . . . . . . 12.91Tukey . . . . . . . . . . . . 12.92Mandelbrot . . . . . . . . . 12.93Adleman, Rivest, and Shamir 12.94Wiles . . . . . . . . . . . . xiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 267 267 268 268 268 268 269 269 269 269 270 270 270 270 271 271 271 271 272 272 272 272 273 273 273 273 274 274 274 274 275 275 275 275 Phạm Minh Hoàng Danh mục bảng biểu Bảng biểu Trang 1.1 1.2 1.3 Sắp xếp một dãy số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sử dụng worksheet với tập tin thực thi là pgm1.m . . . . . . . . . . . . . . . . Sử dụng worksheet với tập tin thực thi là pgm2.m . . . . . . . . . . . . . . . . 21 22 23 2.1 Kết quả theo V và theo S của hình nón nội tiếp hình cầu . . . . . . . . . . . . . 42 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 106 107 110 111 113 7.1 Thái Dương hệ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 8.1 Chương trình của 5 góc bắn với độ gia tăng 9.1 Các lệnh tạo hình động cho hệ ba lò xo có một đầu tự do . . . . . . . . . . . . 180 π . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 30 10.1 Các lệnh để tạo hình tĩnh chuyển động con lắc đơn. . . . . . . . . . . . . . . . 186 10.2 Các lệnh để tạo hình tĩnh chuyển động con lắc đơn với ma sát. . . . . . . . . . 188 10.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 Bảng hoán chuyển mẫu tự ÐÑ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương trình mã César . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kết quả mã khối. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương trình mã khối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương trình mã RSA và phép bình phương liên tiếp . . . . . . . . . . . . Chương trình mã RSA có ký tên và liên kết với phép bình phương liên tiếp. . . . . . . . . . . . . 217 218 220 221 224 228 12.1 Chương trình cine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 12.2 Lịch sử các ký hiệu Toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 xv Chương1 Cú pháp Maple Chương này tóm tắt một số lệnh Maple cơ bản[1 ] và được dùng nhiều trong cuốn sách này. Để có thêm chi tiết cách hay nhất vẫn là tham khảo phần trợ giúp. 1.1 Tổng quan Khi khởi động maple chúng ta sẽ có một màn hình đơn giản: Ở trên cùng chúng ta có một menu với những chức năng quen thuộc của một phần mềm Windows: File,Edit,View,Insert... Cách sử dụng những chức năng này cũng khá dễ dàng. Phần lớn nhất của màn hình là một trang trắng, đó là nơi người sử dụng đánh các lệnh Maple và nhận kết quả. Một lệnh Maple được đánh sau dấu ">" và mặc định có nét chữ courier màu đỏ, một kết quả có màu xanh và nét chữ times. Thí dụ: > p:=x+3; p := x + 3 Trước khi vào từng câu lệnh Maple, một vài quy tắc chung cần nhớ: ˆ Lệnh đầu tiên là restart (không bắt buộc), để xoá sạch bộ nhớ và chuẩn bị cho những điều kiện làm việc tốt nhất cho Maple. > restart: ˆ Maple phân biệt chữ thường và chữ hoa: thí dụ simplify khác với Simplify. Trong Maple đại đa số các câu lệnh đều là chữ thường những có một số rất ít có cả chữ thường lẫn chữ hoa (và dĩ nhiên chức năng cũng khác). Thí dụ expand và Exphand, thậm chí có những option toàn viết bằng chữ in. ˆ Trong Maple, để gán giá trị vào một biến phải dùng dấu := Nếu ta đánh dấu =, Maple sẽ không thông báo sai. Thí dụ: > x:=Pi; x := π > y=sin(x); 1 Phiên bản Maple được dùng trong sách là phiên bản 8 Chương 1. Cú pháp Maple y=0 Maple hiển thị y = 0 vì nó lập lại những gì ta đánh nhưng trong biến y vẫn còn trống (người ta gọi biến y là biến tự do, trong khi x đã được gán cho giá trị π, x được gọi là biến ràng buộc). Kiểm chứng: > x,y; π, y ˆ Để giải phóng một biến ràng buộc, (ta lấy thí dụ ở trên, x đang ràng buộc vì nó bằng π): > x:='x'; > x; x ˆ Một lệnh của Maple được chấm dứt bằng dấu (;) hoặc dấu hai chấm (:). Nếu chấm phẩy, kết quả sẽ hiện ra ; nếu là hai chấm, lệnh sẽ được thực hiện nhưng kết quả không hiện ra (xem thí dụ trên). ˆ Dấu %: Đây là một ký hiệu quan trọng trong Maple. Dấu % biểu tượng cho kết quả vừa thực hiện. Thí dụ khi ta lấy nguyên hàm của 3sin(x): > int(3*sin(x),x);
3 cos(x) Ở đây, % biểu tượng cho
3 cos(x). Nếu lấy đạo hàm của nó ta sẽ tìm lại được 3 sin(x). Trong trường hợp này ta sẽ dùng dấu %: > diff(%,x); 3 sin(x) ˆ Mapple cho phép đánh nhiều lệnh trên một dòng. Lấy lại thí dụ trên: > int(3*sin(x),x): diff(%,x) 3 sin(x) » Dòng trên gồm 2 lệnh. Lệnh nguyên hàm 3 sin(x)d(x) chấm dứt bằng dấu hai chấm, kết quả (-3cos(x)) không được hiển thị nhưng nó đã gán vào biến %. Lệnh đạo hàm chấm dứt bằng dấu chấm phẩy, kết quả được hiện ra. ˆ Maple cho phép kết hợp nhiều lệnh vào một lệnh: > diff(int(3*sin(x),x),x); 3 sin(x) ˆ Hãy quan sát lệnh sau: > Int(3*sin(x),x):=value(%); » Lệnh Int (với chữ I được viết hoa) sẽ cho ra kết quả là ký hiệu nguyên hàm 3 sin(x)d(x), nhưng vì lệnh này chấm dứt bằng dấu hai chấm nên ký hiệu này ẩn và được gán vào biến %. 2 Phạm Minh Hoàng 1.2. Các thao tác trên một biểu thức » Lệnh tiếp theo bắt đầu bằng dấu %= có nghĩa là 3 sin(x)d(x) =, tiếp theo value(%) có tác dụng tính giá trị của biến %. Và vì lệnh này chấm dứt bằng dấu chấm phẩy nên kết quả của nó sẽ được in ra: » 3 sin(x)d(x) =
3 cos(x) Ở đây % biểu tượng cho kết quả của cả dòng trên. Để có được phần bên trái dấu bằng, ta dùng hàm lhs và bên phải bằng rhs[2 ]: > lhs(%); rhs(%%);[3 ] » 3 sin(x)d(x),
3 cos(x) ˆ Một vài quy tắc cần nhớ khi khai báo các hàm toán học: sin(x)2 chứ không phải sin2 (x), tan(x) chứ không phải tg(x). Hàm mũ của x là exp(x) chứ không phải là ex . Ký hiệu π là Pi, số phức là I... ˆ Dòng thuyết minh: Để đánh dòng thuyết minh (có thể dùng font tiếng Việt), nhấp chuột vào nơi muốn đánh thuyết minh sau đó nhấp vào nút T nằm dưới hàng menu. Dấu > sẽ biến mất và tất cả những gì bạn đánh sẽ mang màu đen và đều là nhữngŸdòng chữ không được biên dịch bởi Maple. Sau khi hoàn tất, dùng chuột hoặc mũi tên ž(trên bàn phím) để ra khỏi dòng thuyết minh, nhấp vào nút > để trở lại với các lệnh Maple. ˆ Lưu vào ổ cứng: Tất cả các câu lệnh Maple và kết quả được gọi là một worksheet và được lưu lại dưới 2 dạng: dạng cũ (MWS) và dạng mới (MW, kể từ phiên bản 9). Trong phạm vi cuốn sách này, chúng ta chỉ làm việc với dạng MWS. ˆ Maple có trên 1500 lệnh (phiên bản 8), trong đó có những lệnh ít được dung. Để tránh phải nhập tất cả các lệnh vào RAM của máy một cách vô ích, người ta gom những lệnh có cùng một ứng dụng voà những package (tạm dịch là gói). Những gói thường gặp là plots,linalg,geometry,plottools... Khi cần sử dụng, dùng hàm with để nhập: > with(plots): Ta cũng có thể dùng lệnh mà không cần nhập package bằng cách đánh (thí dụ lệnh display trong gói plots): > plots[display](...); 1.2 Các thao tác trên một biểu thức Lệnh simplify: đơn giản Đơn giản một biểu thức (expression) đại số. Đây có thể là một đa thức, một biểu thức lượng giác, logarithm, hàm mũ, hàm hữu tỷ... > p:=1/(a*(a-b)*(a-c))+1/(b*(b-a)*(b-c))+1/(c*(c-a)*(c-b)): > %=simplify(%); 2 right hand side Hàm rhs được dùng với 2 dấu %, vì sau khi thực hiện lệnh lhs(%);,biến % đã trở thành.phải thêm một dấu % thứ hai để có được đúng giá trị bên phải dấu bằng. 3 Phạm Minh Hoàng 3 Chương 1. Cú pháp Maple 1 1 1 1 + + = a(a
b)(a
c) b(b
a)(b
c) c(c
a)(c
b) cab > 2*cos(x)ˆ3+sin(x)*sin(2*x):=simplify(%); 2(cos(x))3 + sin(x) sin(2x) = cos(2x) > (x-2)ˆ3/(xˆ2-4*x+4):%=simplify(%); (x
2)3 =x
2 x2
4x + 4 Tuy nhiên có những trường hợp không "suôn sẻ" như ta nghĩ: ? > sqrt(xˆ2):%=simplify(%); x2 = csgn(x)x csgn(x) là hàm cho ra 1 nếu Re(x) ¥ 0[4 ],và cho -1 nếu Re(x)   0. Tại sao? Trước khi trả lời, chúng ta đừng bao giờ quên rằng đây là môi trường tính toán hình thức, điều đó có nghĩa là Maple phải làm việc trên các ký tự chứ không phải những con số. Khi ta viết ký tự x, trong đầu mình đã nghĩ ngay đến một con số (thậm chí là số dương). Nhưng Maple không nghĩ như thế, nó sẽ hiểu đây là một biến bất kỳ, có thể là một số phức, một ma trận, hay một đồ thị...Và trong tất cả những "giả thuyết" này, số phức là hợp lý hơn cả và câu trả lời của Maple (csgn(x)x) là hoàn toàn chính xác. Để kiểm chứng, ta có thể "bảo" cho Maple rằng x là một số thực bằng cách dùng hàm assume: > assume(x,real): ? > sqrt(xˆ2):%=simplify(%); x 2 = |x | Dấu đ̃ược thêm khi một biến được assume. Tuy nhiên kể từ bây giờ để dễ đọc chúng ta sẽ bỏ qua và không hiển thị ký tự này. Và khi x ¡ 0: > assume(x,real): ? > sqrt(xˆ2):%=simplify(%); x2 = x Nói tóm lại, trước khi áp dụng một quy tắc đơn giản, Maple phải xét đến bản chất của biến. Nhưng trước khi đi vào các thí dụ, chúng ta sẽ giải phóng x trở lại tình trạng ban đầu đồng thời để tránh lặp đi lặp lại chữ simplify, ta sẽ viết tắt thành Sp qua lệnh alias: > s:='x': alias(Sp=Simplify): p:=(x-2)ˆ3/ sqrt(xˆ2-4*x+4) > p:%=Sp(%) 3 ? (x2
2) = (x
2)2csgn(x
2) x
4x + 4 Maple đã đơn giản tử và mẫu cho (x
2) nhưng vẫn đặt dấu hỏi về dấu của x
2. Và khi x ¡ 2 mọi chuyện sẽ tốt đẹp. > assume (x>2): p:%=Sp(%); 3 ? (x2
2) = (x
2)2 x
4x + 4 Tương tự với hàm ln: > x:='x':p:=ln(xˆ3) - 2*ln(x): p=Sp(p); ln(x3 )
2 ln(x) = ln(x3 )
2 ln(x) > assume (x>0): 'ln(xˆ3)-2*ln(x)'=Sp(p);[5 ] 4 5 4 Trong Maple, phần thực của x ký hiệu là Re(x), phần phức là Im(x) Dấu nháy đơn để tránh Maple tự động đơn giản khi x>0 Phạm Minh Hoàng