Tài liệu Luật bảo toàn vô hướng (

Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận Tốt Nghiệp Mở Đầu Lý do chọn đề tài Có thể nói rằng Giải tích là một nghành chiếm vị trí quan trọng trong mọi nghành toán học hiện đại. Nó biểu hiện một cách rõ ràng nhất hai đặc tính cơ bản của toán học là tính trừu tợng và tính thực tiễn. Nói đến giải tích ngời ta không thể không thể nhắc đến môn ’Phơng trình đạo hàm riêng’ bởi nó đề cập đến những vấn đề có liên quan mật thiết đến thực tiễn. Chính vì vậy em chọn đề tài ‘Luật bảo toàn vô hớng ‘ để trình bày những vấn đề có ứng dụng thực tiễn sâu sắc, mà cụ thể là những bài toán liên quan đến một số định luật bảo toàn, chẳng hạn nh định luật bảo toàn động lợng, định luật bảo toàn động năng, định luật bảo toàn năng lợng...Mà vấn đề chúng ta quan tâm là kết quả nghiên cứu hay nghiệm của các bài toán trên Đề tài đã đề cập đến vấn đề tài này nh: Xây dựng các công thức nghiệm theo một nghĩa nào đó để đáp ứng nhu cầu thực tế. Hơn nữa, việc nghiên cứu đề tài này còn gúp phát triển tính t duy độc lập sáng tạo, tính cẩn thận chính xác của ngời học. Đó là một nhiệm vụ chung của toàn bộ lĩnh vực toán học khác nhau chứ không riêng gì vấn đề mà đề tài đề cập. Mục đích nghiên cứu Đa ra một số các loại công thức để xác đinh nghiệm của bài toán cần nghiên cứu. Tìm một số điều kiện để đẩm bảo tính duy nhất nghiệm của bài toán (do nhu cầu thực tế bao giờ cũng có một kết quả duy nhất). Nghiên cứu một vài bài toán điển hình có nhiều ứng dụng trong thực tế . Nhiệm vụ nghiên cứu: Nguyễn Văn Diễn K29H-Toán Trang: 7 Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận Tốt Nghiệp Tìm hiểu một số bài toán thực tế, đặc biệt là các bài toán trong lĩnh vực vật lý. Thu thập các tài liệu, số liệu có liên quan đến đề tài nghiên cứu. Đa ra đợc các kết quả nghiên cứu có ứng dụng thực tiễn.  Đối tợng nghiên cứu Nghiên cứu những phơng trình vi phân đạo hàm riêng liên quan đến các luật bảo toàn vô huớng tơng ứng với nó là các bài toán tìm nghiệm của bài toán Cauchy ( Những nghiệm này tối thiểu là có thể chấp nhận đợc theo một nghĩa nào đó, tuỳ theo yêu cầu của từng bài toán cụ thể ). Phạm vi nghiên cứu Chỉ nghiên cứu những phơng trình, bài toán có liên quan đến thực tế chẳng hạn nh các luật bảo toàn. Phơng pháp nghiên cứu Một bài toán phơng trình vi phân đạo hàm riêng nếu có ý nghĩa thực tiễn thì chắc chắn có nghiệm, chỉ có điều là nghiệm đó đợc hiểu theo nghĩa nào mà thôi Nhiều phơng trình đạo hàm riêng mà chúng ta nghiên cứu dới dạng tổng quát thờng không có nghiệm cổ điển. Vì vậy ta cố gắng xây dựng các công thức nghiêm suy rộng hoặc nghiệm yếu của chúng( nh nghiệm tích phân, công thức Lax-Olenik,nghiệm entropy) Đặc biệt, quan tâm đến tính duy nhất của nghiệm của bài toán mà chúng ta cần nghiên cứu (do nhu cầu của thực tế là bao giờ cũng tồn tại và duy nhất một kết quả ), từ đó nảy sinh ra nhiều vấn đề nh xây dựng một vài điều kiện nh là điều kiện entropy hay điều kiện entropy sửa đổi Ngoài ra tác giả cũng cố gắng đa ra chính xác các công thức nghiệm qua các ví dụ cụ thể để có thể áp dụng vào thực tế Đề tài cấu tạo gồm 2 chơng Nguyễn Văn Diễn K29H-Toán Trang: 8 Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận Tốt Nghiệp Chơng1: ‘Một số kiến thức bổ trợ . Bao gồm một số định nghĩa, ký hiệu hay một số kết quả cần thiết liên quan đến đề tài cần nghiên cứu của ‘Luật bảo toàn vô hớng’ ở chơng tiếp theo Chơng2:‘Luật bảo toàn vô hớng ‘. Xây dựng một vài loại nghiệm yếu hoặc nghiệm suy rộng nh nghiệm tích phân, côngthức Lax-Olenik, nghiệm entropy. Đặc biệt xây dựng một vài loại điều kiện nh điều kiện nh là điều kiên entropy hay điều kiện entropy sửa đổi để đảm bảo tính duy nhất nghiệm Ngoài ra còn giới thiệu thêm về bài toán Rieman là bài toán rất điển hình và có nhiều ứng trong thực tế. Tác giả cố gắng đa ra công thức nghiệm của bài toán này Nguyễn Văn Diễn K29H-Toán Trang: 9 Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận Tốt Nghiệp Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Văn Diễn K29H-Toán Trang: 10 Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận Tốt Nghiệp Chương 1. Một số kiến thức bổ trợ 1.1. Một số khái niệm 1.1.1. Hàm trơn Ta nói hàm u : U  R là hàm trơn nếu u khả vi vô hạn . 1.1.2. Hàm lồi n Một hàm f : R  R được gọi là hàm lồi nếu f (rx  (1  r ) y )  rf ( x)  (1  r ) f ( y ), n với mọi x, y  R và 0  r  1 . 1.1.3. Hàm liên tục Lip schitz: Hàm u : U  R được gọi là hàm liên tục Lipschitz nếu u ( x)  u ( y )  C x  y , với C  0 là hằng số nào đó và với mọi x, y U . 1.1.4. Nghiệm cổ điển Một cách tự nhiên là ta đòi hỏi nghiệm của phương trình đạo hàm riêng bậc k là hàm số k lần khả vi liên tục. Khi đó, ít nhất là tồn tại tất cả các đạo hàm của nghiệm xuất hiện trong phương trình và đạo hàm của nó đều liên tục. Những nghiệm có độ trơn như thế ta sẽ gọi là nghiệm cổ điển. 1.1.5. Nghiệm yếu n Ta nói rằng một hàm số liên tục Lipschitz u : R  (0, )  R là nghiệm yếu của bài toán giá trị ban đầu : n  ut  H ( D(u ))  0 trong R  (0, )  n  u  g tren R  {t  0}, n nếu: i) u ( x, 0)  g ( x), x  R , n ii) ut ( x, t )  H ( D(u ( x, t ))  0 với hầu hết ( x, t )  R  (0, ), Nguyễn Văn Diễn K29H-Toán Trang: 11 Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận Tốt Nghiệp 1 t iii) u ( x  z )  2u ( x, t )  u ( x  z ), t )  (1  ) z , 2 với hằng số C  0 nào đó và với mọi x, y  R n , t  0 . 1.1.6. Biến đổi Lagrange Giả sử hàm Lagrange L : R n  R thoả mãn các điều kiện : L(q) là hàm lồi theo biến q, và lim q  L(q )   thế thì biến đổi Lagrange của L là : q L* ( p )  sup { pq  L(q)}, ( p  R n ). n yR 1.17. Phương pháp đặc trưng Là phương pháp biến đổi một phương trình đạo hàm riêng thành một hệ phương trình vi phân thường tương ứng. 1.2. Một số ký hiệu Nếu u và v là hai hàm, ta viết u  v, có nghĩa là u đồng nhất bằng v . Ta đặt u : v để nói rằng u được định nghĩa bằng v . Giá của hàm u được ký hiệu là: suppu suppu  {x  R n : f ( x)  0}, hàm u có giá compak nếu sup pu là tập compak. p  L (u)  {u : U  / u đo được Lebesque và (  u dx)1/ p  } (1  p  ) . p U L (u)  {u : R n  R / u đo được Lebesque và ess supu u  }. 1.3. Một số kết quả Một hàm f  C 2 thì f là lồi nếu và chỉ nếu D 2 f  0. Nguyễn Văn Diễn K29H-Toán Trang: 12 Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận Tốt Nghiệp 2  Một hàm f  C 2 thì f là lồi đều nếu và chỉ nếu D f   I (  0 là hằng số nào đó ). Công thức Hofp-Lax : u ( x, t ) : minn  tL( yR x y )  g ( y) t , trong đó L  H ,* H : R n  R là hàm Hamilton, g : R n  R là hàm ban đầu.  Bổ đề (Tính liên tục Lipschit) Một hàm u được xác định bởi công thức Hopf –Lax u ( x, t ) : minn  tL( yR x y )  g ( y) t  n n là liên tục Lipschit trong miền R  {0, } và u  g trên miền R  {t  0}.  Định lý ( Công thức nghiệm) Một hàm u xác định bởi công thức công thức Hopf –Lax là liên tục Lipschit khả vi hầu khắp nơi trong miền R n  {0, } và thoả mãn bài toán giá trị ban đầu ut  H ( D(u ))  0 hkn trong R n  (0, )  trê R n  {t  0}. ug  n 1  Nếu U  C thì dọc theo U xác định một trường véc tơ pháp tuyến 1 n đơn vị hướng ra ngoài   ( ... ). 0 Pháp tuyến đơn vị hướng ra ngoài tại một điểm bất kỳ x  U là  ( x0 )  (1.....n ). Nguyễn Văn Diễn K29H-Toán Trang: 13 Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận Tốt Nghiệp Chương 2. Luật bảo toàn vô hướng 2.1. Mở đầu. 2.1.1. Y nghĩa vật lý Ta xét một hàm véc tơ u  u( x, t )  (u1( x, t ).....u m ( x, t)), ( x  R n, t  0), mà các thành phần của nó là mật độ của các hàm đại lượng được bảo toàn của một hệ vật lý nào đó.  Cho miền trơn, bị chặn U R n , ta thấy rằng tích phân  u ( x, t )dx, U biểu diễn tổng khối lượng của các đại lượng trong U , tại thời điểm t.  Định luật bảo toàn khẳng định rằng tốc độ thay đổi của các đai lượng trong miền U , đựơc khống chế bởi một hàm thông lượng F : R n  R m , hàm số đó điều khiển tốc độ tăng hoặc giảm của hàm u qua U . Mặt khác nếu ta giả thiết tại mỗi thời điểm t , ta có : d udx    F (u ) dS , dt U  trong đó,  là véc tơ pháp tuyến đơn vị hướng ra ngoài dọc U  u dx    F (u ) dS    divF (u)dx. t U  U Do miền U R n , là miền tuỳ ý, do đó ta có bài toán giá trị ban đầu đối với các hệ luật bảo toàn tổng quát: ut  divF (u )  0 trong R n  (0, )  u  g trê R n  {t  0},  n Nguyễn Văn Diễn K29H-Toán Trang: 14 Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận Tốt Nghiệp ở đây, hàm cho trước g  ( g ,..., g ) biểu diễn ban đầu của u  (u1,..., u m ). 1 m  Cho đến thời điểm này, lý thuyết của bài toán trên chưa được phát triển đầy đủ. Từ giờ trở đi, ta xét bài toán giá trị ban đầu cho các hệ luật bảo toàn trong không gian một chiều (n  1), ut  F (u ) x  0 trong R n  (0, )  u  g trê R n  {t  0}.  n 2.1.2. Bài toán Cauchy ( Bài toán giá trị ban đầu ) Định nghĩa: Là bài toán tìm hàm u : R n  (0, )  R ( x, t )  u ( x, t ) ut  F (u ) x  0 trong R  (0, ) thoả mãn:  (2.1) u  g trê R  {t  0},  n trong đó các hàm F : R  R và g : R  R là các hàm cho trước. Hàm F gọi là hàm thông lượng vô hướng, hàm g là hàm phân bố ban đầu. Ta gọi x là biến không gian và t gọi là biến thời gian. Ví dụ 1: Giả sử hàm F : R  R và g : R  R là các hàm cho trước, u  u 2  2u x  x2 ta phải tìm hàm u : R n  (0, )  R thoả mãn: ( x, t )  u ( x, t ) ut  (2u  2)u x  0 trong R  (0, )  u  x 2 trê R  {t  0}.  n Ví dụ 2: Giả sử hàm F : R  R và g : R  R nếu Nguyễn Văn Diễn K29H-Toán Trang: 15 Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận Tốt Nghiệp u2 u 2  1  x  1  x nếu  0 nếu  x 0 0  x 1 x 1 . Ta phải tìm hàm u : R  (0, )  R thoả mãn:  u2 ut  ( ) x  0 2   ug  trong R  (0, ) trê R {t  0}. n Chú ý : Nói chung ta không thể tìm được nghiệm trơn của bài toán (2.1) tại mọi thời điểm t  0 bằng phương pháp đặc trưng. Do đó buộc ta phải tìm một loại ngiệm suy rộng nào đó của bài toán đang xét. 2.2. Phương trình chuyển dịch tuyến tính 2.2.1. Dạng đơn giản của phương trình chuyển dịch tuyến tính  Định nghĩa : Là phương trình có dạng: ut  au·u  0 ( a là hằng số ). Ví dụ : ut  3u· x  0. Bài toán cauchy: Ta phải tìm hàm u : R  (0, )  R thoả mãn ( x, t )  u ( x, t ) ut  au x  0   u ( x,0)  u0 ( x) ở đây F : R  R u  au và g : R  R trong R  (0, ) trê R {t  0}, n x  g ( x)  u0 ( x). Ví dụ: Ta phải tìm hàm u : R  (0, )  R thoả mãn: ( x, t )  u ( x, t )  ut  3u x  0 trong R  (0, )    u ( x,0)  3 x trê R {t  0}. n Nguyễn Văn Diễn K29H-Toán Trang: 16 Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận Tốt Nghiệp  Nghiệm của bài toán Cauchy Cho một điểm ( x, t )  R  (0, ). Đường thẳng đi qua điểm ( x, t ) theo hướng (a,1) được tham số hoá là ( x  a s, t  s), ( s R ). Đường thẳng này cắt mặt phẳng R n  {t  0} khi s  t , tại điểm ( x  at ,0). Vì u là hằng số theo đường thẳng đó và u ( x  at ,0)  g ( x  at ) nên ta có u( x, t )  g ( x  at ), ( x  R n , t  0) . Do đó nếu (2.1) có nghiệm thì nghiệm đó phải tính bằng công thức trên. Vậy nghiệm của bài toán trên khá đơn giản là u( x, t )  u0 ( x  at ,0)  g ( x  at ). Chú ý : - Theo sự tiến hoá của thời gian nghiệm của bài toán sẽ dịch chuyển với vận tốc không đổi về bên phải nếu a  0 và sẽ dịch chuyển với vận tốc không đổi về bên trái nếu a  0. - Nghiệm u ( x, t ) là hằng số dọc theo mỗi tia x  at  x0 (mà ta đã biết như là các đặc trưng của phương trình). 2.2.2. Dạng tổng quát của phương trình chuyển dịch tuyến tính  Định nghĩa: Là phương trình có dạng: u t  (a( x)u ) x  0 (2.2), trong đó hệ số biến thiên a (x ) là một hàm trơn . Ví dụ: Phương trình ut  (3xu) x  0  Dạng khác của phương trình chuyển dịch tuyến tính ' Ta có thể viết lại (3.2) như sau : ut  a( x)ux  a ( x)u, hoặc ( hay    a( x) u ( x, t )  a ' ( x)u ( x, t ), t x d u ( x(t ), t )  a ' ( x(t ))u (t , x(t )). dt Nguyễn Văn Diễn K29H-Toán Trang: 17 Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận Tốt Nghiệp Như vậy sự tiến hoá của u đường cong C dọc theo một đường cong x(t )  x ' (t )  a( x(t )) thoả mãn:  (2.3) x (0)  0.  Chú ý : - Các đường cong xác định bơỉ (2.3) gọi là các đặc trưng của phương trình. -Trong trường hợp này, nghiệm u ( x, t ) không là hằng số dọc theo các đặc trưng. -Tuy nhiên ta có thể xác định được u ( x, t ) một cách dễ dàng nhờ việc giải hệ phương trình hai phương trình vi phân thường. 2.3. Nghiệm tích phân 2.3.1. Nghiệm tích phân  Đặt vấn đề Vì nói chung ta không thể tìm được nghiêm trơn của bài toán (2.1) nên ta phải chỉ ra một cách nào đó thể hiện rằng, mặc dù hàm u ít chính quy hơn cấp của phương trình nhưng vẫn là nghiệm của phương trình theo một ý nghĩa nào đó. Y tưởng dẫn đến nghiệm tích phân Nhân phương trình đạo hàm riêng (2.1) bằng một hàm trơn v rồi sau đó lấy tích phân từng phần để chuyển hết các đạo hàm từ u sang v . Bằng cách này ta đi đến khái niệm tích phân. Cụ thể như sau: Giả sử v : R  (0, )  R là hàm trơn với giá compak (2.4), ta gọi v là một hàm thử. Bây giờ ta giả thiết u là một hàm trơn. Ta nhân phương trình đạo hàm riêng ut  F (u ) x  0 với hàm v và lấy tích phân từng phần ta thu được, (u t  F (u ) x )v  0 , Nguyễn Văn Diễn K29H-Toán Trang: 18 Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận Tốt Nghiệp   và 0 =   [(u t  F (u ) x )v]dxdt 0    = -  0     0 uvt dxdt   uvdx / t 0   F (u )v x dxdt (2.5). Từ điều kiện u  g trên R n  {t  0} ta có đẳng thức     uvt  F (u )vx dxdt  0   gvdx / t 0 0 (2.6).  Ta nhận được đẳng thức này bằng việc giả sử u là hàm trơn của (2.1). Nhưng (2.6) có nghĩa thậm chí chỉ với giả thiết hàm u bị chặn. Từ đó ta có định nghĩa sau :   Định nghĩa : Ta nói hàm u  L (R  (0, )) là một nghiệm tích phân của (2.1) nếu như đẳng thức (2.6) đúng với mọi hàm thử v thoả mãn (2.4). Nhận xét : - Hàm u  L (R  (0, )) tức là hàm u bị chặn cốt yếu trên R. - Loại nghiệm suy rộng này không được cho dưới dạng tường minh mà cho dưới dạng ẩn, liên hệ với hàm ban đầu g và hàm thử v bằng một biểu thức có chứa dấu tích phân : F (u, v, g )  0 (đẳng thức 2.6).  Khai thác thông tin về nghiệm tích phân - Nếu như nghiệm tích phân được định nghĩa như trên thì ta chưa thấy được tính chất của loại nghiệm suy rộng này, ta muốn có nhiều thông tin hơn về nghiệm tích phân của (2.1) từ đẳng thức (2.6). - Giả sử V  R  (0, ) là một tập mở, u là một hàm trơn dọc theo đường cong C nằm trong V . Vl là phần của V nằm bên trái đường cong C. Vr là phần của V nằm bên trái đường cong C. Nguyễn Văn Diễn K29H-Toán Trang: 19 Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận Tốt Nghiệp Giả thiết u là nghiệm tích phân của (2.1). Hơn nữa u cùng đạo hàm bậc nhất của nó liên tục đều trên Vl , Vr . - Chọn hàm thử v có giá compak nằm trong Vl , nhưng nó không nhất thiết phải triệt tiêu dọc theo đường cong C. Khi đó (2.6) trở thành   0    [uvt  F (u )vx ]dx dt     [ut  F (u ) x v]dx dt . 0  0    Đẳng thức (2.7) đúng cho mọi hàm thử v có giá compak nằm trong V l nên ut  F (u ) x  0 , trong V l (2.8), tương tự ut  F (u ) x  0 , trong Vr (2.9). - Bây giờ chọn hàm thử v có giá compak nằm trong V , nhưng nó không t Vl V Vr C o R Hình 1. Điều kiện Rankine-Hugoniot nhất thiết phải triệt tiêu theo đường cong C. Lại sử dụng kết luận (2.6), ta kết luận   0    [uvt  F (u )v x ]dx dt 0    [uvt  F (u )vx ]dx dt  Vl Nguyễn Văn Diễn K29H-Toán  [uv t  F (u )v x ]vdx dt (2.10). Vr Trang: 20 Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận Tốt Nghiệp Vì v có giá compak trong V , từ (2.8) ta có :  [uv t  F (u )v x ]dx dt    [u t Vl Vl  F (u ) x ]vdx dt   (ul 2  F (ul ) 1 )vdl C 2 1 =  (ul  F (ul ) )vdl (2.11), C 1 2 ở đây   ( , ) là véc tơ pháp tuyến đơn vị của đường cong C hướng từ V l sang Vr . Chỉ số ' l ' ký hiệu cho giới hạn từ bên trái. Tương tự, từ (2.9)   [uv t 2 1  F (u )v x ]dx dt    (u r  F (u r ) )vdl C Vr Chỉ số ' r ' ký hiệu cho giới hạn từ bên phải. Cộng đẳng thức trên với đẳng thức (2.11) và kết hợp với đẳng thức (2.10) 1 ta được  [( F (u l  F (u r ))  (u l  u r ) 2  0 dọc theo đường cong C, C đẳng thức này đúng với mọi hàm thử v nên : ( F (ul )  F (u r )) 1  (ul  u r ) 2  0 dọc theo đường cong C (2.12). - Bây giờ, giả sử đường cong C được tham số hoá bởi : { ( x, t / x  s(t ) } với s (.) :[0,  )  R là một hàm trơn. 1 2 Khi đó có thể lấy   ( ,  )  1 1  s2 (1,  s). Vậy từ (2.12)  F (ul )  F (ur )  s(ul  ur ) trong V dọc theo đường cong C (2.13). [[u ]]  ul  ur  - Ký hiệu [[ F (u )]]  F (ul )  F (ur )   s,  trong đó [[u ]] là bước nhảy của u qua đường cong C. Nguyễn Văn Diễn K29H-Toán Trang: 21 Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận Tốt Nghiệp [[ F (u)]] là bước nhảy của F (u) qua đường cong C.  là vận tốc của đường cong C. Lúc đó (2.13) trở thành [[ F (u )   [[u ]] dọc theo đường cong C (2.14). Đây là điều kiện Rankine-Hugoniot. Chú ý: Vận tốc  và các giá trị F (ul ), F (ur ), ul , ur sẽ thay đổi dọc theo đường cong C. Mặc dù vậy, hai biểu thức [[ F (u )]],  [[u ]] sẽ vẫn luôn cân bằng. Ví dụ 1: (Sóng sốc) Xét bài toán giá trị ban đầu cho bởi phương trình Buger với dữ kiện ban đầu  1  g ( x)  1  x  0  nếu nế u nếu x 0 0  x 1 x  1. Theo các phương trình đặc trưng nghiệm u của bài toán nhận giá trị không 0 0 0 0 đổi z  g ( x ) dọc theo đặc trưng gốc y ( s)  ( g ( x ) s  x , s), ( s  0) với mỗi x0 R . Vì vậy :  1 1  x  u ( x, t )   1 t   0 nế x  t, 0  t  1 u nếu t  x  1, 0  t  1 nếu x  1, 0  t  1 Chú ý rằng với t  1 phương pháp này không thực hiên đựơc vì khi đó các đặc trưng gốc cắt nhau. Ta phải xác định hàm u như thế nào khi t  1. Ta đặt s(t )  1 nế 1 t , và xét u ( x, t ) :  u 2 0 nếu x  s(t ) (nếu t  1 ). x  s(t ) Bâygiờ dọc theo đường cong được tham số hoá s (t ) , ta có ul  1, ur  0, F (ul )  1/ 2(ul ) 2 , F (ur )  0, Nguyễn Văn Diễn K29H-Toán Trang: 22 Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận Tốt Nghiệp do đó [[ F (u )  1/ 2   [[u ]] là điều kiện cần tìm Rankine-Hugoniot. u= 1 shoc k u=0 Hình 2. Sự hình thành sóng sốc 2.3.2. Điều kiện entropy  Đặt vấn đề: Ví dụ 2: Ta xét phương trình Buger với hàm ban đầu 0 g ( x)   1 nế x  0 u nếu x  0 Lúc này phương pháp đặc trưng không những không xác định được u mà còn cung cấp thông tin sai lạc trong miền {0  x  t} . Để minh hoạ cho điều này trước hết ta xét -  0 u1 ( x, t )   1  nế u nế u t 2 t x 2 x Dễ thấy điều kiện Rankine –Hugoniot thoả mãn và hiển nhiên u1 là một nghiệm tích phân của bài toán đang xét. Tuy nhiên ta có thể tạo ra nghiệm khác bằng cách viết 1 x  u2 ( x, t )   t  0 nế u nế u nế u Nguyễn Văn Diễn K29H-Toán xt 0 xt x0 Trang: 23 Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận Tốt Nghiệp Hàm u 2 , gọi là sóng tạo chân không, cũng là nghiệm tích phân liên tục của bài toán trên. u=x /t u=1 u=0 Hình 3. Sóng tạo chân không. Ta biết rằng nghiệm tích phân nói chung là không duy nhất. Vậy ta có thể tìm đựơc một tiêu chuẩn nào đó để đảm bảo tính duy nhất của nghiệm tích phân hay không. ?  Điều kiện entropy Với luật bảo toàn vô hướng : u t  F (u ) x  0 . 0 0 Nghiệm u mỗi khi trơn đều mang giá trị không đổi z  g ( x ) dọc theo 0 0 đặc trưng gốc y ( s)  ( g ( x ) s  x , s), ( s  0), với mỗi x0 R (2.15) , ta sẽ không phải bất kỳ đường nào mà theo đó hàm u không liên tục. - Bây giờ giả sử tại một điểm nào đó trên đường cong C không liên tục của hàm u có giới hạn u l và giới hạn phải u r phân biệt. Hơn nữa, một đặc trưng từ bên trái và một đặc trưng từ bên phải cùng cắt C tại điểm đó. ' ' Khi đó, từ (2.15) ta kết luận : F (ul )    F (u r ) (2.16). Các bất đẳng thức trên được gọi là điều kiện entropy.  Định nghĩa : Một đường cong mà trên đó u không liên tục được gọi là một sốc nếu như cả đẳng thức Rankine-Hugoniot và các bất đẳng thức entropy (2.16) đều được thoả mãn. Nguyễn Văn Diễn K29H-Toán Trang: 24 Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận Tốt Nghiệp  Dạng khác của điều kiện entopy '' -Bổ sung giả thiết hàm F lồi đều, tức là F    0 (  là một hằng số nào đó ) (2.17). Như thế hàm F là hàm tăng thật sự. Khi đó (2.16)  u l  u r , dọc theo mọi đường cong sốc (2.18). Ví dụ 3: Ta lại xét phương trình Buger với hàm ban đầu 1  g ( x)  1 0  nế u nế u nế u x0 0  x 1 x  1, với 0  t  2 , ta kết hợp sự phân tích trong các ví dụ 1 và 2 ở trên để tìm được 0 x   t u ( x, t )   1  0  nếu x  0 nế u nế u nế u 0 xt t  x  1 x  1 t 2 ( 0  t  2) t 2 Với t  2 , ta hy vọng sóng sốc được tham số hoá bởi s (.) sẽ được tiếp tục với u  x tới bên trái của s (.), u =0 tới bên phải của s (.). Điều này là t tương thích với điều kiện entropy . Ta tìm dáng điệu của đường cong sốc bằng cách áp dụng điều kiện bước nhảy Ran-knine –Hugoniot. Ta có [[u ]]  s(t ) 1 s(t ) 2 , [[ F (u)]]  ( ) ,   s(t ), t 2 t dọc theo đường cong sốc với t  0 . Vì thế, từ (2.14) ta có: s (t ) = Nguyễn Văn Diễn K29H-Toán s (t ) 2t Trang: 25 Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận Tốt Nghiệp Ta có s(2)=2 và giải phương trình vi phân trên ta được S (t )  (2t )1/ 2 (t  2). Từ đó, ta có với t  2 0 x  u(x,t) =  t 0 nế u nế u nế u x< 0 0 < x < (2t)1/2 x > (2t)1/2 - Nếu  E  0 : a  0, t  0 và x R n , ta có: u ( x  a, t )  u ( x, t ) E  a t (2.18).  Dạng tổng quát của điều kiện entropy Nếu F là hàm thông lượng vô hương không lồi thì F (u )  F (ul ) F (u )  F (u r ) s , ul  u  u r (2.18). u  ul u  ur Nếu F là hàm lồi thì điều kiện này trùng với điều kiện entopy (2.16). 2.4. Công thức Lax-Oleinik 2.4.1. Tìm công thức nghiệm suy rộng  Ngoài công thức nghiệm tích phân ra, bây giờ ta cố gắng đưa ra công thức nghiệm suy rộng thích hợp của bài toán (2.1).  Vẫn cácgiả thiết hàm thông lượng vô hướng F là lồi. Không giảm tính tổng quát, giả sử : F (0)  0 (2.19). x Bây giờ, giả sử g  L ( R), ta đặt : h( x) :  g ( y )dy ( x  R ) (2.20).  0 Đặt w( x, t ) : min y  tL ( x y )  g (y) t  (t  0, x  R ) (2.21), ở đây L  F * (2.22). Nguyễn Văn Diễn K29H-Toán Trang: 26