Tài liệu Luận văn thạc sĩ khoa học giáo dục về điều kiện tối ưu bậc hai cổ điển của các bài toán tối ưu phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ====== BÙI ANH ĐỨC VỀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU BẬC HAI CỔ ĐIỂN CỦA CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ====== BÙI ANH ĐỨC VỀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU BẬC HAI CỔ ĐIỂN CỦA CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU PHI TUYẾN Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 8 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN TUYÊN HÀ NỘI - 2018 Lời cảm ơn Luận văn “Về điều kiện tối ưu bậc hai cổ điển của các bài toán tối ưu phi tuyến” là kết quả của quá trình cố gắng không ngừng của bản thân tác giả và được sự giúp đỡ, động viên khích lệ của các thầy cô, bạn bè đồng nghiệp và người thân. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với T.S. Nguyễn Văn Tuyên đã trực tiếp tận tình hướng dẫn, cũng như cung cấp tài liệu thông tin khoa học cần thiết cho luận văn này. Tác giả xin chân thành cảm ơn toàn thể các thầy cô giáo giảng viên Khoa Toán, các thầy cô phòng Sau Đại học và các thầy cô của Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy cũng như đã tạo điều kiện để cho tác giả hoàn thành tốt công việc nghiên cứu khoa học của mình. Cuối cùng tác giả xin chân thành cảm ơn đồng nghiệp, đơn vị công tác, gia đình và bạn bè đã động viên, tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn. Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Tác giả luận văn Bùi Anh Đức Mục lục 1 Một số kiến thức chuẩn bị 8 1.1. Tập lồi và hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.1. Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.2. Hàm lồi trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2. Nón tiếp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2. Ràng buộc trơn và tính chính quy metric . . . . . 13 1.3. Điều kiện tối ưu bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.1. Bài toán trơn không có ràng buộc . . . . . . . . . 20 1.3.2. Bài toán trơn có ràng buộc . . . . . . . . . . . . . 22 2 Điều kiện tối ưu bậc hai cổ điển 2.1. Điều kiện MFCQ và điều kiện tối ưu bậc hai cổ điển . . 28 28 2.2. Điều kiện MFCQ cải biên và điều kiện tối ưu bậc hai cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.1. Mở rộng của bổ đề Hestenes . . . . . . . . . . . . 38 1 2.2.2. Mở rộng bổ đề Yuan . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2.3. Kết quả tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.4. Kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.2.5. Một điều kiện chính quy mới . . . . . . . . . . . . 50 2 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Trong luận văn này, chúng tôi sẽ tập trung nghiên cứu các điều kiện cần tối ưu bậc hai cho các bài toán tối ưu phi tuyến có dạng sau min f (x) (P) n x ∈ X := {x ∈ R : gi (x) 5 0, i ∈ I, hj (x) = 0, j ∈ J}, ở đó I = {1, . . . , p}, J = {1, . . . , q}, các hàm f : Rn → R, gi : Rn → R, và hj : Rn → R là các hàm số thực và khả vi liên tục đến cấp hai trên Rn . Hàm Lagrange suy rộng của bài toán (P) được định nghĩa bởi L(x, λ0 , λ, µ) = λ0 f (x) + p X λi gi (x) + i=1 q X µj hj (x). j=1 Hàm L(x, λ, µ) := L(x, 1, λ, µ) được gọi là hàm Lagrange của Bài toán (P). Với mỗi x ∈ X, tập chỉ số hoạt I(x), nón các hướng tới hạn C(x), tập các nhân tử Lagrange suy rộng Λ0 (x), và tập các nhân tử Lagrange Λ(x) được định nghĩa bởi: I(x) = {i ∈ I | gi (x) = 0}, C(x) = {d | ∇f (x)t d 5 0, ∇gi (x)t d 5 0, i ∈ I(x), ∇hj (x)t d = 0, j ∈ J}, 3 Λ0 (x) = {(λ0 , λ, µ) 6= 0 | ∇x L(x, λ0 , λ, µ) = 0, (λ0 , λ) ∈ Rp+1 + , λi gi (x) = 0, i ∈ I}, Λ(x) = {(λ, µ) | (1, λ, µ) ∈ Λ0 (x)}. Như chúng ta biết rằng một nghiệm tối ưu địa phương x∗ của bài toán (P) thỏa mãn điều kiện cần bậc nhất và bậc hai kiểu Fritz-John như sau: (1) Λ0 (x∗ ) 6= ∅; (2) với mọi phương d ∈ C(x∗ ), tồn tại một nhân tử Lagrange suy rộng (λ0 , λ, µ) sao cho dt ∇2xx L(x∗ , λ0 , λ, µ)d = 0; (0.1) xem [4]. Điều kiện cần tối ưu bậc hai (0.1) có thể viết lại tương đương như sau: sup (λ0 ,λ,µ)∈Λ0 (x∗ ) dt ∇2xx L(x∗ , λ0 , λ, µ)d = 0 ∀d ∈ C(x∗ ). (0.2) Điều kiện này có hai hạn chế. Hạn chế thứ nhất đó là nhân tử Lagrange λ0 của hàm mục tiêu có thể bằng không; tức là khi đó hàm mục tiêu không đóng vai trò gì trong điều kiện tối ưu này. Hạn chế thứ hai đó là nhân tử (λ0 , λ, µ) không nhất thiết giống nhau cho tất cả các hướng tới hạn. Muốn kiểm tra được điều kiện (0.2) ta phải kiểm tra tính nửa xác định dương của cận trên đúng trên tập tất cả các nhân tử Lagrange của một dạng toàn phương. Tuy nhiên, việc tính toán tập tất cả các nhân tử Lagrange của (P) là một bài toán khó. Quan trọng hơn nữa đó là một thuật toán chỉ đảm bảo được tính xấp xỉ nghiệm cho một cặp nhân tử Lagrange. 4 Khi nhân tử Lagrange λ0 của hàm mục tiêu khác không, thì ta nói x∗ thỏa mãn điều kiện tối ưu kiểu Karush–Kuhn–Tucker (KKT). Để đạt được điều này thì x∗ phải thỏa mãn một điều kiện chính quy nào đó. Như chúng ta đã biết, x∗ thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa ràng buộc độc lập tuyến tính (LICQ); tức là nếu các véctơ ∇gi (x∗ ), i ∈ I(x∗ ), ∇hj (x∗ ), j ∈ J, độc lập tuyến tính, thì Λ(x∗ ) = {(λ, µ)} là tập một điểm và ta có dt ∇2xx L(x∗ , λ, µ)d = 0 ∀d ∈ C(x∗ ). (0.3) Điều kiện (0.3) được gọi là điều kiện cần tối ưu bậc hai cổ điển cho Bài toán (P). Như đã phân tích ở trên, các điều kiện tối ưu kiểu này đóng vai trò quan trọng về cả phương diện lý thuyết và ứng dụng của lý thuyết tối ưu. Điều kiện (LICQ) là một điều kiện đủ để đảm bảo điều kiện cần tối ưu bậc hai cổ điển. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, điều kiện (LICQ) là rất chặt. Nếu điều kiện (LICQ) không thỏa mãn, thì tập các nhân tử (KKT) có thể không là tập một điểm và khi đó điều kiện (0.3) không được thỏa mãn. Điều kiện tối ưu (0.3) đúng trong một số trường hợp đặc biệt sau (xem [3]): (i) tất cả các hàm gi và hj là affine; (ii) các hàm f và gi là lồi, các hàm hj là affine và x∗ thỏa mãn điều kiện Slater; (iii) tồn tại (λ, µ) ∈ Rp+ × Rq sao cho (x∗ , λ, µ) là một điểm yên ngựa của hàm Lagrange của Bài toán (P) khi λ0 = 1. Gần đây, Baccari [1] đã chỉ ra rằng nếu điều kiện chuẩn hóa ràng 5 buộc Mangasarian–Fromovitz (MFCQ) thỏa mãn tại x∗ thì điều kiện (0.3) chỉ đúng trong một số trường hợp như sau: (C1) n 5 2, (C2) px∗ 5 2, ở đó px∗ là số ràng buộc hoạt bất đẳng thức tại x∗ . Sau đó, Baccari và Trad [2] đã đề xuất một số điều kiện mới được gọi là điều kiện chuẩn hóa ràng buộc Mangasarian-Fromovitz cải biên (MMF) và điều kiện bù chặt (GSCS). Các tác giả đã chỉ ra rằng các điều kiện (MMF) và (GSCS) là đủ để đảm bảo cho tính đúng đắn của các điều kiện tối ưu bậc hai cổ điển. Trên cơ sở các tài liệu tham khảo được trích dẫn ở trên, trong luận văn này chúng tôi sẽ khảo sát các điều kiện tối ưu bậc hai cổ điển cho các bài toán tối ưu phi tuyến với dữ liệu trơn C 2 . 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu các điều kiện tối ưu bậc hai cổ điển cho các bài toán tối ưu phi tuyến. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu các điều kiện chính quy và các điều kiện cần tối ưu bậc hai cho các bài toán tối ưu phi tuyến với dữ liệu trơn C 2 . 6 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Điều kiện tối ưu bậc hai • Phạm vi nghiên cứu: Lý thuyết tối ưu 5. Phương pháp nghiên cứu Tham khảo và cập nhật những nghiên cứu của các tác giả trong nước cũng như ngoài nước liên quan đến đề tài. 6. Dự kiến đóng góp mới Luận văn sẽ trình bày một cách hệ thống về các điều kiện tối ưu bậc hai cổ điển cho các bài toán tối ưu phi tuyến. 7 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1. Tập lồi và hàm lồi 1.1.1. Các khái niệm cơ bản Kí hiệu R := R ∪ {±∞} và gọi là tập số thực mở rộng. Cho f : Rn → R là một hàm số. Miền hữu hiệu và tập trên đồ thị của f tương ứng được kí hiệu bởi: domf = {x ∈ Rn : f (x) < +∞} , epif = {(x, v) ∈ Rn × R : v ≥ f (x)} . Định nghĩa 1.1. Một tập X ∈ Rn được gọi là lồi nếu với mọi x1 , x2 ∈ X và α ∈ [0, 1], ta có (1 − α)x1 + αx2 ∈ X. Định nghĩa 1.2. Bao lồi của một tập X được kí hiệu là conv X là giao của tất cả các tập lồi chứa X. Định nghĩa 1.3. Một điểm x0 của tập lồi X được gọi là điểm cực biên nếu x0 không là điểm trong của bất cứ đoạn thẳng nào nằm trong X. Tức là không tồn tại hai điểm x1 , x2 ∈ X và λ ∈ (0; 1) để x0 = λx1 +(1 − λ) x2 . 8 Định nghĩa 1.4. Một tập K ⊂ Rn được gọi là một nón nếu αx ∈ K với mọi α > 0 và x ∈ K. Bổ đề 1.1. Giả sử X là một tập lồi. Khi đó tập cone(X) = {γx : x ∈ X, γ ≥ 0} là một nón lồi. Định nghĩa 1.5. Cho K là một nón. Tập hợp K ◦ := {y ∈ Rn : hy, xi ≤ 0, ∀x ∈ K} được gọi là nón cực của K. Định nghĩa 1.6. Cho X là một tập lồi đóng và x ∈ X. Tập hợp NX (x) = {v ∈ Rn : ΠX (x + v) = x} được gọi là nón pháp tuyến của X tại x. Theo định nghĩa, dễ dàng chứng minh được rằng NX (x) = [cone(X − x)]◦ . Định nghĩa 1.7. Một hàm số f được gọi là lồi nếu epif là một tập lồi. Định nghĩa 1.8. Một hàm f được gọi là lõm nếu −f lồi. Định nghĩa 1.9. Một hàm f được gọi là chính thường nếu f (x) > −∞ với mọi x và f (x) < +∞ với ít nhất một x. Bổ đề 1.2. Một hàm f là lồi khi và chỉ khi với mọi x1 , x2 và 0 ≤ α ≤ 1 ta có f (αx1 + (1 − α)x2 ) ≤ αf (x1 ) + (1 − α)f (x2 ). 9 (1.1) Định nghĩa 1.10. Một hàm f được gọi là lồi chặt nếu bất đẳng thức (1.1) là chặt với mọi x1 6= x2 và 0 < α < 1. Bổ đề 1.3. Nếu f lồi thì domf là một tập lồi. Chứng minh. Nếu x1 ∈ domf và x2 ∈ domf , thì theo Bổ đề 1.2, ta có f (αx1 + (1 − α)x2 ) < +∞. Khi đó αx1 + (1 − α)x2 ∈ domf , nên domf là một tập lồi. Bổ đề 1.4. Nếu fi , i ∈ I, là một họ các hàm lồi, thì f (x) = sup fi (x) i∈I là một hàm lồi. Bổ đề 1.5. Nếu f là một hàm lồi, thì với mọi x1 , x2 , . . . , xn và α1 ≥ 0, α2 ≥ 0, . . . , αm ≥ 0 sao cho α1 + α2 + . . . + αm = 1, ta có f (α1 x1 + α2 x2 + . . . + αm xm ) ≤ α1 f (x1 ) + α2 f (x2 ) + . . . + αm f (xm ). Một hàm f : Rn → R được gọi là nửa liên tục dưới, nếu với mỗi chuỗi hội tụ của các điểm xk thì ta có f ( lim xk ) ≤ lim inf f (xk ). k→∞ k→∞ Bổ đề 1.6. Một hàm f : Rn → R nửa liên tục dưới nếu và chỉ nếu tập epif là một tập đóng. Bổ đề 1.7. Cho X ⊂ Rn là một tập lồi và f : Rn → R là một hàm lồi. b các nghiệm của bài toán tối ưu Khi đó tập X min f (x) x∈X là tập lồi. 10 1.1.2. Hàm lồi trơn Kí hiệu ∇f (x) cho gradient của hàm f tại x,   ∂f (x)  ∂x1   ∂f (x)   ∂x2  ∇f (x) =  .  ,  ..    ∂f (x) ∂xn ở đây x1 , x2 , . . . , xn biểu thị tọa độ của véctơ x. Định lý 1.1. Giả sử rằng hàm f khả vi liên tục. Khi đó (i) f lồi nếu và chỉ nếu với mọi x và y f (y) ≥ f (x) + h∇f (x), y − xi; (ii) f lồi chặt nếu và chỉ nếu với mọi x 6= y f (y) > f (x) + h∇f (x), y − xi. 1.2. Nón tiếp tuyến 1.2.1. Định nghĩa Định nghĩa 1.11. Một phương d được gọi là phương tiếp tuyến của tập X ⊂ Rn tại điểm x ∈ X nếu tồn tại dãy các điểm xk ∈ X và các vô hướng τk > 0, k = 1, 2, . . . , sao cho τk ↓ 0 và xk − x . d = lim k→∞ τk Từ định nghĩa này ta suy ra rằng xk → x vì nếu trái lại thì giới hạn ở trên không tồn tại. 11 Bổ đề 1.8. Cho X ⊂ Rn và x ∈ X. Tập TX (x) của tất cả các phương tiếp tuyến của X tại x là một nón đóng. Chứng minh. Giả sử d ∈ TX (x). Với mọi β > 0 ta có xk − x , k→0 (τk /β) βd = lim vì vậy dãy xk và τk /β thỏa mãn Định nghĩa 1.11 với phương βd. Do đó TX (x) là một nón. Lấy dj là một phương tiếp tuyến của X tại x và các dãy xj,k và τj,k , k = 1, 2, . . . , thỏa mãn Định nghĩa 1.11, và limj→∞ dj = d. Vì dj là phương tiếp tuyến, với mọi j, tồn tại k(j) sao cho j,k(j) x − x j − d ≤ kdj − dk. τ j,k(j) Do đó j,k(j) x − x ≤ 2kdj − dk. − d τ j,k(j) Điều đó kéo theo rằng dãy xj,k(j) và τj,k(j) , j = 1, 2, . . ., thỏa mãn Định nghĩa 1.11 với phương d. Vì vậy, nón TX (x) là đóng. Các nón tiếp tuyến đóng vai trò quan trọng trong các điều kiện tối ưu cho các bài toán tối ưu phi tuyến. Trong Định lí 1.4 (xem Mục 1.3.1.), chúng ta chỉ ra rằng một tối ưu địa phương của bài toán min f (x) x∈X thỏa mãn hệ thức −Of (x̂) ∈ [TX (x̂)]◦ . Nói chung, các nón tiếp tuyến có thể không lồi. Điều này làm cho việc phân tích các điều kiện tối ưu trở nên khó khăn. Tuy nhiên, trong 12 một số trường hợp đặc biệt và có ý nghĩa trong ứng dụng các nón này là lồi. Để thuận tiện ta kí hiệu KX (x) = {d ∈ Rn : d = β(y − x), y ∈ X, β ≥ 0}, và gọi là nón của các hướng chấp nhận được tại x ∈ X. Bổ đề 1.9. Cho X ⊂ Rn là tập lồi và x ∈ X. Khi đó TX (x) = KX (x). Chứng minh. Với mỗi d ∈ KX (x) là phương tiếp tuyến được định nghĩa. Hơn nữa, KX (x) là nón lồi. Vì nón tiếp tuyến là đóng, KX (x) ⊂ TX (x). Nếu các tập này không bằng nhau, thì tồn tại h ∈ TX (x)\KX (x). Từ Định lí tách [6, Theorem 2.14] tồn tại y 6= 0 sao cho hy, hi > 0 và hy, di ≤ 0 với tất cả d ∈ KX (x). Từ h là phương tiếp tuyến của X tại x, tồn tại một dãy các điểm xk của X và một dãy các vô hướng τk ↓ 0 thỏa mãn Định nghĩa 1.11 với phương h. Do đó, ta được 1 1 hy, hi = hy, lim (xk − x)i = lim hy, xk − xi. k→∞ τk k→∞ τk Mỗi vectơ xk − x là phần tử của KX (x) và vì thế hy, xk − xi ≤ 0. Phương trình hiển thị cuối cùng đưa ra hy, hi ≤ 0, mâu thuẫn với giả thiết về tính chất tách của y. 1.2.2. Ràng buộc trơn và tính chính quy metric Trong các ứng dụng, ta thường gặp các tập hợp được định nghĩa bởi một giao của một họ tập hợp có dạng sau X = X 1 ∩ X2 ∩ . . . ∩ Xm . 13 Với một điểm x ∈ X ta luôn có TX (x) ⊂ Tx1 (x) ∩ TX2 (x) ∩ ... ∩ TXm (x). nhưng dấu đẳng thức không được đảm bảo. Mục đích chính của phần này là đưa ra các điều kiện để đảm bảo đẳng thức này, cho các dạng đặc biệt của tập Xi . Hơn nữa, chúng ta tính toán được nón cực [TX (x)]◦ trong trường hợp này. Tập hợp chấp nhận được của các bài toán tối ưu phi tuyến thường được định nghĩa bởi hệ các bất phương trình và phương trình: gi (x) ≤ 0, i ∈ I, hj (x) = 0, j ∈ J. Ngoài ra, chúng ta có thể có các ràng buộc trừu tượng với dạng x ∈ X0 . Để thuận tiện ta xét một hệ ràng buộc có dạng tổng quát sau g(x) ∈ Y0 (1.2) x ∈ X0 , ở đó g : Rn → Rm là khả vi liên tục, Y0 là tập lồi đóng trong Rm và X0 là tập lồi đóng trong Rn . Ví dụ, khi Y0 = {y ∈ Rp : y ≤ 0}, hệ (1.2) chỉ có những ràng buộc về bất đẳng thức. Khi Y0 = {0} hệ chỉ có các ràng buộc đẳng thức. Sự kết hợp của các ràng buộc về bất đẳng thức và đẳng thức có thể nhận được bằng cách biểu diễn Y0 như là tích của các nửa đường thẳng và các số 0. Chúng ta sử dụng kí hiệu g 0 (x) để biểu thị Jacobian của hàm g(·) 14 tại điểm x:  ∂g1 (x)  ∂x1  ∂g2 (x)  ∂x1 g 0 (x) =    .. . ∂gm (x) ∂x1 ∂g1 (x) ∂x2 ∂g2 (x) ∂x2  ∂g1 (x) ∂xn  ∂g2 (x)  ∂xn  ... ... .. . ... .. . ∂gm (x) ∂x2 ... ∂gm (x) ∂xn .   Kí hiệu X là tập hợp được định nghĩa bởi hệ (1.2), X = {x ∈ X0 : g(x) ∈ Y0 }, và xét điểm x0 ∈ X. Cho d là một phương tiếp tuyến của X tại x0 , điều đó suy ra d ∈ TX0 (x0 ). Hơn nữa, khi x0 bị nhiễu theo phương d, thì g(x0 ) bị nhiễu theo phương g 0 (x0 )d. Do đó, g 0 (x0 )d ∈ TY0 (y0 ). Vì vậy, TX (x0 ) ⊂ {d ∈ Rn : d ∈ TX0 (x0 ), g 0 (x0 )d ∈ TY0 (g(x0 ))}. Bao hàm thức trên trở thành đẳng thức nếu các tập X0 và Y0 là các tập lồi đa diện và nếu hàm số g(·) là affine. Tuy nhiên, trong trường hợp tổng quát đẳng thức trên không đúng, trừ khi hệ (1.2) có thêm tính chất, gọi là tính chính quy metric. Định nghĩa 1.12. Hệ (1.2) được gọi là chính quy metric tại điểm x0 ∈ X nếu tồn tại ε > 0 và C sao cho tất cả x̃ và ũ thỏa mãn kx̃ − xk ≤ ε và kũk ≤ ε ta có thể tìm thấy xR ∈ X0 thỏa mãn g(xR ) − ũ ∈ Y0 , và sao cho kxR − x̃k ≤ C(dist(x̃, X0 ) + dist(g(x̃) − ũ), Y0 )). Trong [6, Theorem A.10] đã chỉ ra rằng tính chính quy metric tương đương với điều kiện Robinson sau: {g 0 (x0 ) − υ : d ∈ KX0 (x0 ), υ ∈ KY0 (g(x0 ))} = Rm . 15 (1.3) Ta thấy rằng tập hợp vế trái của (1.3) là một nón, và do đó một cách khác để biểu diễn điều kiện Robinson là 0 ∈ int{g 0 (x0 )(x − x0 ) − (y − g(x0 )) : x ∈ X0 , y ∈ Y0 )}. Đối với hệ chỉ gồm các ràng buộc đẳng thức g(x) = 0, khi X0 = Rn và Y0 = 0, tính chính quy metric tương đương với độc lập tuyến tính của các gradient của các ràng buộc Ogi (x0 ), i = 1, . . . , m. Vai trò của tính chính quy metric được thể hiện trong định lí sau. Định lý 1.2. Nếu hệ (1.2) là chính quy metric, thì TX (x0 ) = {d ∈ Rn : d ∈ TX0 (x0 ), g 0 (x0 )d ∈ TY0 (g(x0 ))}. (1.4) Chứng minh. Trước tiên chúng ta hãy chứng minh rằng mọi phương tiếp tuyến d là một phần tử của tập hợp ở vế bên phải của (1.4). Do X ⊂ X0 , phương d là một phần tử của Tx0 (x0 ). Từ Định nghĩa 1.11 tồn tại các điểm xk ∈ X và đại lượng vô hướng τk ↓ 0 sao cho xk − x d = lim . k→∞ τk Đặt y k = g(xk ), y0 = g(x0 ). Ta có y k = y0 + g 0 (x0 )(xk − x) + ok , với limk→∞ oτkk = 0. Chia phương trình cuối cùng cho τk và chuyển qua giới hạn, ta được yy − y 0 = g 0 (x0 )d. k→∞ τk với y k ∈ Y0 , ta nhận được g 0 (x0 )d ∈ TY0 (y0 ). Do đó, bao hàm thức “⊂” là lim đúng trong (1.4). 16