Tài liệu Luận văn thạc sĩ khoa học giáo dục thống kê bose einstein biến dạng q tổng quát

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 ====== ĐÀO THỊ PHƢƠNG LAN THỐNG KÊ BOSE - EINSTEIN BIẾN DẠNG q TỔNG QUÁT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT Ngƣời hƣớng dẫn khoa học : PGS. TS. LƢU THỊ KIM THANH HÀ NỘI - 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 ====== ĐÀO THỊ PHƢƠNG LAN THỐNG KÊ BOSE - EINSTEIN BIẾN DẠNG q TỔNG QUÁT Chuyên ngành: Vật lí thuyết và vật lí toán Mã số: 8 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. LƢU THỊ KIM THANH HÀ NỘI - 2018 LỜI CẢM ƠN Cho phép em nói lời cảm ơn tới các cô giáo , thầy giáo trong trƣờng và khoa Vật lí của Trƣờng Đại học sƣ phạm Hà Nội 2. Ở nơi đây chúng em đã đƣợc truyền thụ tri thức bằng sự nhiệt tình, tận tâm của các nhà giáo.Từ đó là nguồn động viên giúp em thuận lợi hoàn thành khóa học thạc sĩ của mình. Em xin cảm ơn cô giáo PGS.TS Lƣu Thị Kim Thanh, một nhà giáo giàu kinh nghiệm, đã tận tình hƣớng dẫn em hoàn thành luận văn này. Và em cảm ơn những ngƣời thân đã chia sẻ những khó khăn và tạo điều kiện tốt nhất để em hoàn thành khóa luận của mình. Em xin chân thành cảm ơn ! Hà nội, ngày 15 tháng 6 năm 2018 Học viên Đào Thị Phƣơng Lan LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là luận văn do tôi thực hiện và không giống bất kì đề tài nào khác. Các dữ liệu thông tin thứ cấp đƣợc sử dụng trong khóa luận đƣợc trích dẫn, có nguồn gốc và đã đƣợc cảm ơn. Hà nội, ngày 15 tháng 6 năm 2018 Học viên Đào Thị Phƣơng Lan MỤC LỤC MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 1 1. Lí do chọn đề tài ................................................................................................ 1 2. Mục đích nghiên cứu ......................................................................................... 2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu ........................................................................................ 2 4. Đối tƣợng nghiên cứu........................................................................................ 2 5. Phƣơng pháp nghiên cứu................................................................................... 2 6. Giả thuyết khoa học ......................................................................................... 2 CHƢƠNG 1 THỐNG KÊ BOSE-EINSTEIN ...................................................... 3 1.1. Dao động tử điều hòa ..................................................................................... 3 1.2. Hệ nhiều hạt đồng nhất .................................................................................. 9 1.2.1. Nguyên lý bất khả phân biệt các hạt đồng nhất .......................................... 9 1.2.2. Các trạng thái đối xứng hóa và phản đối xứng ........................................ 9 1.2.3. Dao động tử Boson.................................................................................... 12 1.2.3.1. Ngƣng tụ Bose - Einstein ....................................................................... 12 1.2.3.2. Các hệ thức giao hoán của các toán tử sinh, hủy của các hạt Boson ..... 12 1.3. Thống kê Bose-Einstein ............................................................................... 14 CHƢƠNG 2 THỐNG KÊ BOSE - EINSTEIN BIẾN DẠNG q ....................... 19 2.1. Lý thuyết q -số ............................................................................................. 19 2.2. Dao động tử biến dạng q .............................................................................. 20 2.3. Phổ năng lƣợng của dao động tử biến dạng q .............................................. 24 2.4. Tính phi tuyến của dao động tử biến dạng q ................................................ 25 2.5. Thống kê Bose - Einstein biến dạng q ........................................................ 26 CHƢƠNG 3 PHÂN BỐ THỐNG KÊ BOSE - EINSTEIN BIẾN DẠNG q TỔNG QUÁT ...................................................................................................... 32 3.1. Dao động tử có thống kê vô hạn .................................................................. 32 3.2. Dao động tử biến dạng q tổng quát .............................................................. 33 3.3. Phổ năng lƣợng của dao động tử biến dạng q tổng quát ............................. 34 3.4. Thống kê Bose - Einstein biến dạng q tổng quát ........................................ 35 KẾT LUẬN ......................................................................................................... 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 42 1 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Bƣớc sang thế kỉ 20, khi khoa học càng phát triển thì vật lí Newton không thể giải thích đƣợc nhiều hiện tƣợng trong tự nhiên từ cấp độ vi mô đến vĩ mô, do vậy vật lí hiện đại ra đời để giải thích nhiều hiện tƣợng vật lí mới, từ đó mang lại những góc nhìn sâu sắc cho con ngƣời về tự nhiên cũng nhƣ đồng thời thúc đẩy sự tiến bộ khoa học kĩ thuật nói chung và khoa học vật lí nói riêng. Planck, Einstein, Bohr ...xây dựng thuyết lƣợng tử để giải thích cho các kết quả thí nghiệm bất thƣờng. Heisenberg, Schrodinger , Dirac... đã công thức hóa cơ học lƣợng tử để giải thích lí thuyết lƣợng tử tƣờng minh bằng các công thức toán học. Từ đó tạo ra những bƣớc đột phá khi miêu tả các đặc điểm và tính chất của thế giới vi mô, thế giới của các hạt cơ bản. Trong vài thập kỉ gần đây, xuất phát từ các bài toán áp dụng trong vật lí lƣợng tử, các khái niệm về toánitửisinh, hủy hạt hay cácchệ thức giaoohoán và phản giao hoán đƣợc xây dựng, là vấn đề trọng tâm khi xây dựng các hàm sóng hay các hàm phân bố thống kê ... Một dạng đại số liên quan đến đại số lƣợng tử và hay đƣợc đề cập trong vật lí lƣợng tử và vật lí hạt cơ bản là đại số biến dạng, từ đó mở ra một hƣớng quan tâm mới đối với những ngƣời yêu bộ môn khoa học vật lí. Vật lý thống kê có nhiệm vụ khảo sát tính chất vật lý của hệ vĩ mô, là hệ đƣợc cấu thành từ một số rất lớn các hạt vi mô. Thông qua tính chất của nó để tìm ra các quy luật phân bố chúng ... Từ đó giải thích các hiện tƣợng, các quy luật, các tính chất của hệ , đồng thời cho phép dự đoán những chất mới có thể đƣợc tạo thành khi thay đổi tính chất, cấu trúc của hệ hạt vi mô đó. 2 Nghiên cứu các thống kê biến dạng là một nội dung đƣợc nhiều nhà khoa học vật lí tìm hiểu , vì vậy tôi lựa chọn đề tài “Thống kê Bose Einstein biến dạng q tổng quát ” làm đề tài nghiên cứu luận văn của mình. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu thống kê Bose - Einstein biến dạng q tổng quát , trong đó bao gồm thống kê biến dạng q và thống kê Bose - Einsteinnlà các trƣờng hợp riêng khi nhận giá trị đặc biệt. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu biểu thức thống kê Bose - Einsteinnbiếnndạng q tổng quát trên cơ sở nghiên cứu các dao động tử biếnndạng q tổng quát và lí thuyết biến dạng . 4. Đối tƣợng nghiên cứu Dao động tử điều hòa biến dạng 5. Phƣơng pháp nghiên cứu Phƣơng pháp vật líilí thuyết 6. Giả thuyết khoa học - Sử dụng phƣơng pháp lí thuyết biến dạng để đi tìm biểu thức thống kê Bose - Einstein biến dạng q tổng quát. Từ đó tìm trở lại các hàm phân bố thông thƣờng với những tham số đặc biệt. 3 CHƢƠNG 1 THỐNG KÊ BOSE-EINSTEIN 1.1 Dao động tử điều hòa "Trong cơ học lƣợng tử, dao động tử điều hòa là một hạt có khối lƣợng m, chuyển động một chiều theo trục ox dƣới tác dụng của lực đàn hồi F=kx"[2] Hàm Hamiltonian của nó có dạng: kxˆ 2 Pˆx 2 ˆ ˆ ˆ H U T   2 2m m. 2 2 1 ˆ 2 ˆ H .xˆ  .Px 2 2m 2 2 d2 ˆ m. 2 H 2 .xˆ  (1.1) . 2m dx 2 Với kí hiệu: xˆ  qˆ ; pˆ x  pˆ  i . d ( là toánttử tọa độ và xungllƣợng) dx Hàm Hamiltonian lúc này 2 m. 2 2 d 2 m. 2 .qˆ 2 pˆ 2 ˆ H  .xˆ  .   2 2m dx 2 2 2m (1.2 ) Phƣơng trình Schrodinger của dao động tử ở trạng thái dừng: Hˆ n ( x)  En n ( x) (1.3) Ta tìm năng lƣợng và hàm sóng của dao động tử điều hòa . Gọi ˆ  ,ˆ là các toán tử sinh, hủy của dao động tử, lúc đó p̂ và q̂ đƣợc đƣa vào nhƣ sau: p̂  i 21.m .(ˆ   ˆ ) qˆ  21. m  (ˆ   ˆ )  .(ˆ   ˆ ) pˆ i 21 m.  i. pˆ 1 2 m. 1 4  ˆ   ˆ  qˆ 21. m  qˆ. m 21 lúc đó : pˆ  21 m  ˆ     qˆ  i  . m   (1.4) 21 m  pˆ   ˆ     qˆ  i  .   m (1.5) Lúc này các toán tử ˆ  ,ˆ thỏa mãn ˆ  ,ˆ    ˆ ,ˆ   0     ˆ ,ˆ    1    pˆ , qˆ .  i Vì: (1.6)  Ta có thể chứng minh ˆ ,ˆ    ˆ ˆ   ˆ ˆ  1   21 m  ipˆ  21 m  ipˆ  21 m  ipˆ  21 m  ipˆ   ˆ ˆ   qˆ    qˆ     qˆ    qˆ     m   m   m   m i i ˆ ˆ  qp ˆˆ   .(i )  1   pq Hamiltonian đƣợc viết theo ˆ  ,ˆ : 1 m 2 qˆ 2 pˆ 2 1 21 2 1 2 2  2 ˆ ˆ ˆ H   m . .(   )  i .2 m .(ˆ  ˆ  )2 2 2m m m    ˆ ˆ 2 ˆ  ˆ  ) 2    (    )  (    ˆˆ 2  4 4 1  Hˆ   . ˆ ˆ   . 2     1 ˆ ˆ   ˆ ˆ  2ˆ ˆ    2  (1.7) 5 Để tìm phổ năng lƣợng của dao động tử điều hòa , lúc đó ta phải xác định trị riêng Hamiltonian và các vectơ giá trị riêng. Lúc này ta đƣa vào toán tử số hạt N̂ , (1.7) đƣợc viết lại : 1  Hˆ   . Nˆ   2  Với ˆ ˆ  Nˆ   ˆ ˆ  ˆ ˆ  1   ˆ ˆ   Nˆ  1  (1.8) Phƣơng trình (1.3) lúc này : 1  Hˆ n  E n  n   . Nˆ   n 2  (1.9) 1  En    n   2  (1.10) Trong đó n là trị riêng của toán tử số hạt, tƣơng ứng với hàm riêng n . Ta có Nˆ n  n n Ta hãy nghiên cứu tính chất trị riêng n của toán tử N̂ . Chú ý rằng  Nˆ ,ˆ    ˆ    (1.11)  Nˆ ,ˆ   ˆ   (1.12) Vận dụng (1.11); (1.12) ˆ  ( Nˆ ˆ ) n  (ˆ Nˆ  ˆ ) n  (n  1). n  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ  ( N ) n  ( N   ) n  (n  1).  n (1.13) Từ các hệ thức này ta thấy rằng  n là hàm riêng của N̂ tƣơng ứng ˆ ; ˆ  lần lƣợt là hàm riêng của N̂ tƣơng ứng lần lƣợt với trị riêng n,  n n 6 với trị riêng (n-1) ; (n+1) . Gọi n0 là giá trị riêng bé nhất của N̂ tƣơng ứng với ˆ ứng với (n0-1)  n 0 thì không tồn tại trạng thái  n0 Điều đó có nghĩa : ˆ =0  n0 Để tìm giá trị riêng bé nhất của n0 của toán tử N̂ . Ta biết rằng : ˆ Nˆ n 0  ˆ   n0 n 0 n0 Do hàm  n 0 khác không, nên ta có n0=0. Các trị riêng của toán tử liên tiếp khác nhau một đơn vị (n-1); n ; (n+1) và nmin =0 Chứng minh tƣơng tự , ta thấy (ˆ )2 n ; (ˆ  )2 n là các hàm riêng của toán tử N̂ tƣơng ứng với trị riêng là (n-2); (n+2). Mở rộng cho tất cả : (ˆ)3 n ,(ˆ)4 n .....(ˆ) p n của toán tử N̂ sẽ lần lƣợt tƣơng ứng có trị riêng là (n-3), (n-4),....,(n-p). Và (ˆ  )3 n ,(ˆ  )4 n .....(ˆ  ) p n sẽ lần lƣợt tƣơng ứng có trị riêng là ( n+3), (n+4),..., (n+p), với p =1,2,3 ...với p khác q. Như vậy những giá trị riêng có thể có của N̂ là những số nguyên, không âm (n=0,1,2,3...) Kí hiệu vecto trạng thái riêng chứa n lƣợng tử của toán tử N̂ là n , hệ thức (1.13) đƣợc viết lại nhƣ sau : N̂ n  n n Nˆ ˆ  n  (n  1)ˆ  n (1.14) Nˆ ˆ n  (n  1)ˆ n (1.15) 7 Phổ năng lƣợng của dao động tử xác định bởi phƣơng trình hàm riêng, trị riêng của Ĥ Hˆ n  En n 1    . Nˆ   n  En n 2  1    . n   n  En n 2  Ta suy ra 1 1  n  0   . 0   0  E0 0  E0   2 2  1  1 n  1   .1   1  E1 1  E1      E0   . 2  2 1 1  n  2   . 2   2  E2 2  E2    2.  E1   . 2 2  1 1  n  3   . 3   3  E3 3  E3    3.  E2   2 2  .... Các trạng thái dừng của dao động tử điều hòa có năng lượng gián đoạn, giữa hai trạng thái tiên tiếp thì hiệu số năng lượng luôn là    . Hạt có năng lượng  được gọi là phonon. Phonon không phải là hạt thực , mà là chuẩn hạt có spin bằng không thuộc loại boson. Chúng ta thấy khi tác dụng các toán tử ̂  và ̂ lên các trạng thái n lúc này thu đƣợc công thức ˆ n  n n  1 ;(n  0)   ˆ  n  n  1 n  1 ;(n  0)  ˆ 0  0   (1.16) 8 Nhƣ vậy , việc nêu lên số lƣợng tử n hoàn toàn tìm đƣợc trạng thái của dao động tử. Số lƣợng tử tăng lên ( giảm đi) một thì tƣơng ứng năng lƣợng của nó cũng tăng lên ( giảm đi) một lƣợng  . Ngƣời ta gọi n là trạng thái n phonon. Các phonon là các kích thích nguyên tố của dao động tử . đƣợc biểu diễn nhƣ một hệ có n phonon ( n ) Dao động tử ở trạng thái n . Lúc này ̂ (hoặc ̂  ) tác dụng lên n làm giảm số phonon đi một đơn vị (hoặc làm tăng số phonon lên một đơn vị ) gọi là toán tử hủy phonon ( hoặc toán tử sinh phonon).Tác dụng của N̂ lên n cho giá trị riêng bằng số phonon n. Nhƣ vậy toán tử N̂ mang ý nghĩa là toán tử sốphonon. . Tác dụng n lần liên tiếp toán tử sinh ̂  lên trạng thái 0 ta có hàm sóng trạng thái : n  1 ˆn  0 n! (1.17) Ta có thể chứng minh (1.17) bằng cách sử dụng ˆ  n  n  1 n  1 và nếu ˆ  n  1  thay n bằng giá trị (n-1) khi đó ˆ n  1  n n suy ra n  n Hoàn toàn tƣơng tự khi thay lần lƣợt n bằng các giá trị (n-2), (n-3),...., (n-n) thì ta tìm đƣợc các trạng thái n  1  Thay vào n  n  ˆ  n  1 n ˆ  n  1 n  ˆ  n  2 n 1 , n2  ˆ  n  3 n2 , ta đƣợc:   ˆ  n 0 n . n  1. n  2. n  3.... 3 2 1    ˆ  n 0 n! ....., 9 1.2. Hệ nhiều hạt đồng nhất 1.2.1. Nguyên lý bất khả phân biệt các hạt đồng nhất Nếu có hệ N hạt có các đặc trƣng nhƣ điện tích , khối lƣợng , spin ,... không phân biệt đƣợc với nhau thì chúng ta có hệ N hạt đồng nhất. Trong hệ nhƣ vậy thì làm thế nào để phân biệt đƣợc hai hạt với nhau? Trong vật lí cổ điển đối với trƣờng hợp tƣơng tự ngƣời ta có thể phân biệt các hạt theo trạng thái của chúng nghĩa là nêu ra các xung lƣợng hoặc tọa độ của từng hạt. Từ đó mỗi hạt có những quỹ đạo khác nhau trong quá trình chuyển động . Trong vật lí lƣợng tử, một đặc thù rất cơ bản của việc quan sát các hiện tƣợng xảy ra trong thế giới vi mô là chúng ta không thể dùng trực giác để nhận biết đƣợc. Hàng loạt các quy luật mới xuất hiện, kéo theo sự thay đổi một số khái niệm đã đƣợc hình thành đối với vật lí cổ điển. Ví dụ một hạt có xung lƣợng xác định thì tọa độ không xác định và ngƣợc lại, hay thừa nhận rằng một hạt chuyển động không có quỹ đạo rõ rệt. Do vậy không phân biệt đƣợc từng hạt có số lƣợng tử nội giống nhau, riêng biệt trong một hệ nhiều hạt. Vì vậy nó đƣợc phát biểu ở dạng nguyên lý “ Các trạng thái của hệ nhiều hạt đồng nhất phải là các trạng thái bất biến đối với bất kì phép hoán vị nào giữa các hạt”[3] 1.2.2. Các trạng thái đối xứng và phản đối xứng. Kí hiệu toán tử hoán vị hạt i và hạt k với nhau là P̂ik và kí hiệu  là hàm sóng miêu tả trạng thái của hệ N hạt có số lƣợng tử nội giống nhau ( hạt đồng nhất)  1,...,i,...,k..., N,t    i,k  Lúc đó P̂ik  (i ,k)   (k ,i); P̂ik  (k ,i)   (i ,k) 10 Phƣơng trình cho hàm riêng và trị riêng của toán tử P̂ik P̂ik  (i,k)   (i,k) Do vậy   Pˆik 2(i ,k)  2(i ,k)  Pˆik Pˆik (i,k)  Pˆik(k,i)  (i,k) Từ đây suy ra trị riêng của P̂ik là   1 Do đó, các hàm riêng của toán tử hoán vị P̂ik đƣợc chia thành hai lớp: -Với   1 có P̂ik    . Lớp hàm đổi dấu khi hoán vị một cặp hạt bất kì gọi là hàm phản đối xứng , lúc này các hạt sẽ tuân theo thống kê Fermi - Dirac. -Với   1 có P̂ik    . Lớp hàm không đổi dấu khi hoán vị một cặp hạt bất kì gọi là hàm đối xứng , lúc này các hạt sẽ tuân theo thống kê Bose- Einstein . Tính chất đối xứng và phản đối xứng của hàm sóng phụ thuộc vào tính chất nội tại của một hạt. Pauli đã chứng minh rằng hàm sóng của hệ các hạt bose hay các boson ( spin nguyên 0, 1, 2...) không thay đổi dấu khi ta hoán vị hai hạt i,k tùy ý nên gọi là hàm sóng đối xứng, ví dụ nhƣ các hạt photon, Kmeson.... Còn hàm sóng của hệ các hạt Fermi hay các fermion ( spin nửa nguyên 1/2, 3/2...) thay đổi dấu khi ta hoán vị hai hạt i, k tùy ý nên gọi là hàm phản đối xứng ,ví dụ nhƣ các hạt electron.... Minh họa cho trƣờng hợp hệ gồm hai hạt (N=2) . Giải phƣơng trình Schrodinger Ĥ  (1, 2, t)  i . (1, 2, t) t (1.18) 11 Hàm sóng  1,2,t  mà hệ thu đƣợc không mang tính đối xứng hoặc phản đối     xứng. Ta có (i,k)  Pˆik (k,i)   2 ,1 ,t  Pˆ12 1, 2, t là nghiệm phƣơng trình Schrodinger . Lúc này ta thể viết   c1(1, 2, t)  c2Pˆ12(1, 2, t) cho ta c1,c2 tùy ý cũng là nghiệm của phƣơng trình Schrodinger Trƣờng hợp hai hạt là boson lúc này thì c1  c2  c thì ta có hàm sóng  s là hàm không thay đổi dấu khi ta hoán vị hai hạt (1,2) hay là hàm đối xứng. s  c  Pˆ12(1,2, t)  (1,2, t)  , Trƣờng hợp hai hạt là fermion lúc này thì c1  c2  c thì ta có hàm sóng  a là hàm thay đổi dấu khi ta hoán vị hai hạt (1,2) hay là hàm phản đối xứng a  c'  Pˆ12(1,2, t)  (1,2, t)  Hoàn toàn tƣơng tự trong trƣờng hợp xét cho cả hệ N hạt bất kì đồng nhất (N2), ta có thể viết đƣợc hàm sóng tổng quát cho trƣờng hợp hàm không đổi dấu khi hoán vị một cặp hạt bất kì ( hàm đối xứng  s ) và hàm thay đổi dấu khi hoán vị một cặp hạt bất kì ( hàm phản đối xứng  a )  s  c Pˆ  (1,2,3,4,....,i....,k,...., N, t) (1.19) P  a  c,  (1)P Pˆ  (1,2,3,4,....,i....,k,...., N, t) (1.20) P Với kí hiệu  là tổng theo mọi phép hoán vị i,k theo N!, P̂ là toán tử hoán vị P giữa các hạt bất kì. 12 1.2.3. Dao động tử Boson 1.2.3.1. Ngƣng tụ Bose - Einstein “Ngưng tụ Bose- Einstein là hiện tượng chuyển pha của các hạt boson, trong đó một lượng lớn các hạt boson cùng tồn tại trên cùng một trạng thái lượng tử, có mức năng lượng thấp nhất, khi nhiệt độ nhỏ hơn nhiệt độ chuyển pha.”[1] Hiện tƣợng này đƣợc dự đoán bởi Einstein vào năm 1925, dựa trên ý tƣởng về một phân bố lƣợng tử cho các phonon đƣợc đƣa ra bởi Bose. Nhƣng phải đến năm 1995 Eric A.Cornell và Carl E.Wieman mới tiến hành thực nghiệm. Hai ông đã kết hợp laser và nam châm làm lạnh mẫu rubidium từ nhiệt độ T đến nhiệt độ âm 273,150C. Khi đó có số lƣợng lớn các hạt boson (có spin nguyên) ở cùng trong một trạng thái cơ bản giống nhau. Vài chục năm trƣớc đây ít ai nghĩ rằng có thể tạo ra ngƣng tụ Bose – Einstein với nhiều hứa hẹn về ứng dụng vào khoa học và công nghệ. Năm 2005, những bộ óc thông minh nhất mới tập trung tìm hiểu kỹ hơn về cách ứng dụng các công trình của ông, và nhận thấy rằng cơ sở của nhiều công nghệ chính là ngƣng tụ Bose – Einstein. Einstein đã phát triển phƣơng pháp thống kê cả với những hạt có khối lƣợng và không có khối lƣợng. 1.2.3.2. Các hệ thức giao hoán của các toán tử sinh, hủy củacác hạt Boson Khi nghiên cứu bài toán hệ hạt vĩ mô, chúng ta rất hay sử dụng biến của hàm sóng là số hạt ở cùng trạng thái đơn hạt và lúc này toán tử của các đại lƣợng vật lí đƣợc biểu diễn thông qua toán tử sinh hạt và hủy hạt. Đây cũng chính là nội dung chỉ đạo của phƣơng pháp biểu diễn số hạt . Hạt boson có spin nguyên, không bị ràng buộc bởi nguyên lí Pauli cũng có toán tử sinh hủy thỏa mãn 13 ˆ , ˆ  ˆ . ˆ  ˆ  . ˆ 1    (1.21) ˆ ˆ  ˆ ˆ   ,     ,    0 Lúc này hoàn toàn tƣơng tự , ta có ˆ  ˆ N̂    N̂, ˆ   ˆ    N̂, ˆ    ˆ    Các toán tử này đƣợc thực hiện trong không gian Fock. Khi đó ở trạng thái 0 và n ta có : ˆ 0 0  ˆ  )n ( n  0 n! (n  0,1,2,...) Đối với hệ nhiều hạt, ở các trạng thái khác nhau có thể mở rộng : ˆ ˆ    ,     ˆ , ˆ    ˆ , ˆ  0         (1.22) Để biết đƣợc hạt thỏa mãn hệ thức (1.22) là boson hay fermion? Chúng ta đi xét các trạng thái  ;  của hệ hai hạt với  ≠  .    ˆ  ˆ  0   ˆ ˆ  0 (1.23) Ở trạng thái không chứa hạt ( chân không ) là 0 . (1.25) cho ta : ˆ  ˆ  ˆ  ˆ           Từ việc suy luận ở trên cho ta thấy các véc tơ trạng thái   ,   của hệ hai hạt có lƣợng tử nội nhƣ nhau có tính đối xứng khi hoán vị hai hạt. Vậy 14 ˆ  ˆ  trong trạng thái  các hạt trong hệ là boson. Lúc này trị riêng của N̂      nhận mọi giá trị n = 0,1,2,3.....N. 1.3. Thống kê Bose-Einstein Trong nội dung này chúng ta đi trình bày việc xây dựng thống kê Bose - Einstein nhƣ sau: Giá trị trung bình của đại lƣợng F và tƣơng ứng với nó là toán tử F̂ [7] 1 ˆ .N) ˆ   .( i .N   ˆ  kT1 .(Hi .N)ˆ  Tr  Fˆ .e kT Tr   F .e      F̂   1 1   .( i .Nˆ .Nˆ )    kT .(Hi .Nˆ )  Tr e kT Tr  e      (1.24) ˆ  N ˆ Với : Ĥ i -toán tử Hamiltonian, H i i Sử dụng toán tử số N̂ thay cho F̂   kT1 .( i .Nˆ .N)ˆ ˆ    kT1 .(Hi .N)ˆ ˆ  Tr e .N  Tr e .N     N̂   1 1   .( i .Nˆ .Nˆ )    kT .(Hi .Nˆ )  Tr e kT Tr  e      (1.25)   kT1 .(Hi . Nˆ )  Gọi tổng thống kê Z  Tr e    N̂ ˆ   kT1 .(Hi . N) ˆ  Tr e .N     Z (1.26) Tính mẫu số Z của (1.26) :   kT1 .(i .Nˆ   .Nˆ )   Z  Tr e    n 0 ne  1 ˆ   .N ˆ ) .(  i .N kT n