Tài liệu Luận văn thạc sĩ khoa học giáo dục rã vi phạm số lepton thế hệ của lepton mang điện ei ejγ trong mô hình zee

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THỊ QUỲNH LÂM RÃ VI PHẠM SỐ LEPTON THẾ HỆ CỦA LEPTON MANG ĐIỆN ei → ej γ TRONG MÔ HÌNH ZEE LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT HÀ NỘI, 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ QUỲNH LÂM RÃ VI PHẠM SỐ LEPTON THẾ HỆ CỦA LEPTON MANG ĐIỆN ei → ej γ TRONG MÔ HÌNH ZEE Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán Mã số: 8 44 01 03 Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN HUY THẢO LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI—2018 Lời cảm ơn Lời đầu tiên tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Huy Thảo người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tôi trong quá trình hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô tại viện Vật lý Viện khoa học và công nghệ Việt Nam, các thầy cô trong khoa Vật lý Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tận tình chỉ dạy, trang bị cho tối những kiến thức vô cùng quý báu trong quá trình học tập, nghiên cứu dưới mái trường Sư phạm 2. Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Ban lãnh đạo, phòng sau Đại học trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện tốt nhất để chúng tôi học tập và làm việc. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm tới gia đình đã động viên, ủng hộ và tạo điều kiện về mọi mặt để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Hà Nội, ngày 18 tháng 06 năm 2018 Học viên Nguyễn Thị Quỳnh Lâm Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các luận văn đã có. Tôi cũng xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn này đã được chỉ rõ nguồn gốc. Hà Nội, ngày 18 tháng 06 năm 2018 Học viên Nguyễn Thị Quỳnh Lâm Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Mở đầu 1 1 Giới thiệu mô hình 4 1.1 Một số mở rộng mô hình chuẩn . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Mô hình Zee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Các biểu thức giải tích tính tỉ lệ rã nhánh 2.1 2.2 15 Đỉnh tương tác liên quan đến đóng góp bậc 1 vòng và rã vi phạm số lepton thế hệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Giản đồ Feynman, biên độ rã và tỉ lệ rã nhánh . . . . . . 17 3 Khảo sát số 34 Kết luận 38 Phụ lục 38 A Các hàm Passarino - Veltman 39 Danh mục các công trình 42 1 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài. Trong Vật lý hạt cơ bản, các hạt cơ bản và các lực tương tác sinh ra thế giới vật chất. Ngày nay, cùng với sự phát triển của thực nghiệm dựa trên năng lượng hoạt động ngày càng lớn của các máy gia tốc hiện tại và tương lai, việc dự đoán, xác định các đặc tính mới của hạt vật lý trong các mô hình lý thuyết đã và đang đóng góp nhiều vai trò quan trọng. Để giải thích tính chất của các hạt và sự tương tác giữa chúng, các nhà Vật lý xây dựng được lý thuyết mô hình chuẩn (SM), dự đoán hầu hết các hạt đã biết và được thực nghiệm xác nhận với độ chính xác rất cao. Vì thế mô hình chuẩn được xem là một mô hình lý thuyết hạt cơ bản thành công nhất. Tuy nhiên SM vẫn có một số hạn chế nhất định. Trong mô hình chuẩn các lepton được phân làm ba thế hệ. Mỗi thế hệ bao gồm một trong các lepton mang điện e, µ, τ và một neutrino phân cực trái tương ứng. Các neutrino đều có khối lượng bằng không và không có sự chuyển hóa lẫn nhau giữa các thế hệ lepton (sự dao động neutrino). Nhưng thực nghiệm đã chỉ ra rằng neutrino có khối lượng khác không dù rất nhỏ và có sự chuyển hóa lẫn nhau giữa các neutrino khác thế hệ. Sự chuyển hóa lẫn nhau của các lepton trung hòa khác thế hệ chính là bằng chứng cho sự vi phạm số lepton thế hệ trong thế giới hạt cơ bản. Điều này vượt ra ngoài dự đoán của mô hình chuẩn. Vì vậy người ta phải nghiên cứu cơ chế và nguồn 2 gốc sinh khối lượng và dao động neutrino trong các mô hình mở rộng của mô hình chuẩn. Một trong số các mô hình được biết đến rộng rãi nhất giải thích khối lượng neutrino được đề xuất bởi Zee. Mô hình Zee được Anthony Zee đề xuất vào năm 1980, xây dựng bằng cách thêm vào SM một lưỡng tuyến Higg mới và một đơn tuyến vô hướng mang điện đơn. Khi đó, khối lượng nhỏ của neutrino được sinh ra ở bậc một vòng qua hạt ảo là vô hướng mang điện chứa tương tác vi phạm số lepton thế hệ (LFV) một cách tường minh. Mô hình này được xây dựng dựa trên mô hình rất phổ biến là hai lưỡng tuyến Higgs, tương ứng với việc thêm vào SM một lưỡng tuyến Higgs với số lượng tử giống hệt lưỡng tuyến Higgs trong SM. Tuy nhiên hai lưỡng tuyến Higgs riêng lẻ không thể sinh được khối lượng neutrino, bởi vì nó không tạo ra được số hạng tương tác phá vỡ số lepton thế hệ. Vì vậy, Zee đã thêm vào một đơn tuyến mang điện h+ , cho phép xuất hiện thêm số hạng tương tác ba trong thế Higgs phá vỡ số lepton thê hệ. Tương tác này đủ để sinh khối lượng neutrino qua giản đồ một vòng. Như vậy mô hình Zee sẽ chứa toàn bộ các tương tác đã có trong mô hình chuẩn, ngoài ra mô hình còn chứa đựng các tương tác mới ngoài SM, đặc biệt là các tương tác sinh ra các quá trình rã LFV mà thực nghiệm đang tìm kiếm. Mô hình này được kì vọng sẽ mang lại cho Vật lý các kết quả rất thú vị, có thể là tín hiệu vật lý mới được thực nghiệm tìm thấy trong thời gian tới. Vì vậy tôi chọn đề tài nghiên cứu: “RÃ VI PHẠM SỐ LEPTON THẾ HỆ CỦA LEPTON MANG ĐIỆN ei → ej γ TRONG MÔ HÌNH ZEE” . 2. Mục đích nghiên cứu • Tính tỉ lệ rã nhánh (Br – Branching ratio) cho quá trình rã 3 ei → ej γ trong mô hình Zee, so sánh kết quả với thực nghiệm. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu • Tìm hiểu về mô hình Zee. • Tính biên độ rã và tỉ lệ rã nhánh của quá trình rã ei → ej γ. • Khảo sát số và so sánh với thực nghiệm. 4. Đối tượng nghiên cứu. • Quá trình rã ei → ej γ trong mô hình Zee. 5. Phương pháp nghiên cứu. • Quy tắc Feynman. • Lí thuyết trường lượng tử. • Ứng dụng phần mềm Mathematica trong giải số. 4 Chương 1 Giới thiệu mô hình 1.1 Một số mở rộng mô hình chuẩn Mô hình chuẩn là một mô hình thống nhất mô tả tương tác mạnh, tương tác yếu và tương tác điện từ. Đây là mô hình lí thuyết dựa trên cấu trúc nhóm chuẩn SU (3)C ⊗SU (2)L ⊗U (1)Y . Trong đó nhóm đối xứng SU (3)C mô tả tương tác mạnh và là nhóm đối xứng màu của quark, hạt truyền tương tác là 8 gluon không khối lượng. Nhóm đối xứng SU (2)L ⊗ U (1)Y mô tả tương tác điện yếu, hạt truyền tương tác là 4 boson chuẩn. Phổ hạt trong mô hình chuẩn được sắp xếp như sau: - Higgs Boson:   +   φ   ∼ (1, 2, 1). Φ=    0  φ - Fermion: được chia thành 2 loại là lepton và các quark được sắp xếp thành 3 thế hệ, trong đó lepton là đơn tuyến đối với nhóm màu, các quark là tam tuyến đối với nhóm màu. Lepton + Lepton phân cực trái biến đổi theo lưỡng tuyến SU (2)L và có siêu 5 tích yếu bằng tổng các điện tích của lưỡng tuyến:     νaL    La =      ∼ (1, 2, −1). eaL trong đó a = 1, 2, 3 tương ứng với e, µ, τ . + Lepton phân cực phải biến đối theo đơn tuyến SU (2)L : eR , µR , τR ∼ (1, 1, −2). Quark 1 + Quark phân cực trái:(uL , dL )T , (cL , sL )T , (tL , bL )T ∼ (3, 2, ). 3 −2 4 ). + Quark phân cực phải: uR , cR , tR ∼ (3, 1, ) và dR , sR , bR ∼ (3, 1, 3 3 Lagrangian của mô hình chuẩn không kể số hạng động năng hiệp biến của trường chuẩn là:
L =iLi γ µ Dµ Li + ieRi γ µ Dµ eRi − Yiie Li φeRi + h.c. + iQLi γ µ Dµ QLi + iuRi γ µ Dµ uRi + idRi γ µ Dµ dRi   d u − Yij QLi φ̃ uRj + Yij QLi φ dRj + h.c. + Dµ φ† Dµ φ − V (φ). trong đó thế Higgs có biểu thức sau: V (φ) = −µ2 φ+ φ + λ φ+ φ
2 . Y Đạo hàm hiệp biến định nghĩa như sau Dµ = ∂µ − igT a W a − ig 0 Bµ . 2 Cho dù rất thành công nhưng SM vẫn còn một số hạn chế nhất định: trong SM các neutrino có khối lượng bằng không và không có sự chuyển hóa lẫn nhau giữa các lepton thế hệ mặc dù thực nghiệm đã chỉ ra rằng neutrino có khối lượng khác không dù rất nhỏ và có sự chuyển hóa lẫn nhau giữa các lepton trung hòa khác thế hệ. Chính vì vậy người ta đã nghiên cứu, xây dựng một số mô hình mở rộng mô hình chuẩn để giải thích cho vấn dề này. Dưới đây là một số mô hình mở rộng của SM: 6 - Mô hình Seesaw: đây là mô hình đơn giản nhất mở rộng từ mô hình chuẩn bằng cách thêm vào các đơn tuyến neutrino phân cực phải, dẫn đến sự xuất hiện của số hạng tương tác Yukawa mới và số hạng khối lượng vi phạm số lepton, chính là nguồn gốc sinh khối lượng cho tất cả các neutrino trong mô hình. Cơ chế này giúp giải thích hợp lí tại sao neutrino hoạt động có khối lượng nhỏ như đã được thực nghiệm phát hiện, đồng thời các neutrino mới có khối lượng lớn thoát khỏi tầm phát hiện của các thiết bị dò hiện nay. - Mô hình Zee: là mô hình mở rộng từ mô hình chuẩn bằng cách thêm vào một lưỡng tuyến Higgs mới biến đổi hoàn toàn giống như mô hình SM và một đơn tuyến Higgs mang điện đơn, cho phép xuất hiện thêm số hạng tương tác ba trong thế Higgs phá vỡ số lepton thế hệ, tương tác này đủ để sinh ra khối lượng neutrino qua giản đồ một vòng. Tuy nhiên thực nghiệm cho thấy neutrino còn trộn với nhau, góc trộn của neutrino là không phù hợp với thực nghiệm. - Mô hình Babu: Babu đã phát triển mô hình Zee bằng cách thêm vào các hạt mang điện tích đơn h+ và điện tích đôi k ++ . Ở mô hình này khối lượng neutrino sẽ xuất hiện thông qua bổ đính hai vòng và chỉ ra được góc trộn neutrino là phù hợp với thực nghiệm. Trong phạm vi luận văn của mình tôi chỉ dừng lại ở việc nghiên cứu mô hình Zee để giải quyết vấn đề khối lượng neutrino thông qua bổ đính một vòng. 1.2 Mô hình Zee • Phổ hạt mô hình Zee. Mô hình Zee được Anthony Zee đề xuất vào năm 1980, là một trong số các mô hình được biết đến rộng rãi nhất giải thích khối lượng neutrino. Mô hình này được xây dựng bằng cách thêm vào 7 mô hình chuẩn một lưỡng tuyến Higgs mới và một đơn tuyến vô hướng mang điện đơn. Các hạt trong mô hình được sắp xếp như sau:[1] - Lepton: Các hạt phân cực trái được xếp vào lưỡng tuyến, còn các hạt phân cực phải được xếp vào đơn tuyến của nhóm SU ()2)L + ψaL = (νa , ea )TL ∼ (1, 2, −1). + eaR ∼ (1, 1, −2). - Quark: Các hạt phân cực trái được xếp vào lưỡng tuyến, còn các hạt phân cực phải xếp vào đơn tuyến của nhóm SU (2)L 1 + QaL = (ua , da )TL ∼ (3, 2, ). 3 4 + uaR ∼ (3, 1, ). 3 2 + daR ∼ (3, 1, − ). 3 Với a = 1, 2, 3 tương ứng là chỉ số thế hệ, còn bộ 3 số trong ngoặc đơn tương ứng là số lượng tử của các nhóm SU (3)C , SU (2)L , U (1)Y . - Vô hướng: 0 + Φ 1 = φ+ 1 , φ1
T ∼ (1, 2, 1).
0 T + Φ 2 = φ+ ∼ (1, 2, 1). 2 , φ2 + h+ ∼ (1, 1, 2). Thành phần lưỡng tuyến được biểu diễn với sự xuất hiện của các giá trị trung bình chân không v1 , v2 như sau:   φ+  1 
Φ1 =   1   √ v1 + φ01R + iφ01I 2   φ+  2 
Φ2 =   1   √ v2 + φ02R + iφ02I 2      .         .    (1.1) 8 Trong mô hình Zee, thế Higgs tổng quát được viết cụ thể: λ1 + 2 λ2 + 2 (φ φ1 ) + (φ2 φ2 ) 2 1 2  λ5  + 2 + + + +λ3 (φ+ φ )(φ φ ) + λ (φ φ )(φ φ ) + (φ φ ) + h.c 1 2 4 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (1.2) +µ2h h+ h− + λh (h+ h− )2 + λ6 (h+ h− )(φ+ 1 φ1 ) 2 + V =µ21 φ+ 1 φ1 + µ2 φ2 φ2 + + ∗ + +λ7 (h+ h− )(φ+ 2 φ2 ) + µ(φ1 iσ2 φ2 h + h.c) + 2 + + + − +(φ+ 1 φ2 + φ2 φ1 )(−µ12 + λ8 φ1 φ1 + λ9 φ2 φ2 + λ10 h h ). • Lagrangian tương tác của mô hình Zee. Do việc thêm vào các vô hướng mới, Lagrangian tổng quát trong mô hình Zee là: Ltot = LSM + LZee . Trong đó, số hạng thứ nhất là Lagrangian tương tự như đối với mô hình chuẩn (SM), số hạng thứ hai là đặc trưng cho mô hình Zee. Lagrangian tương tác Yukawa các lepton ở trạng thái đầu:
LYl = −LL f1+ Φ1 + f2+ Φ2 ER −(LL )C f iσ2 LL h+ −µΦ+ iσ2 Φ∗2 h+ +h.c. (1.3) với LL = (L1L , L2L , L3L )T , ER = (E1R , E2R , E3R )T , LCL là liên hợp điện tích LCL = (LL )C = CLL = CLTL . f1+ , f2+ là tương tác Yukawa tổng quát. Từ điều kiện cực tiểu của thế Higgs, ta xác định được khối lượng của các Higgs boson và Higgs mang điện. Ma trận khối lượng của các lepton mang điện: v mE = √ (cβ f1+ + sβ f2+ ) 2 √ 2mE − tβ f2+ . ⇒ f1+ = cβ v 9 p v2 và v = v12 + v22 ≈ 246GeV Ta làm việc trên cơ v1 sở mE là ma trận khối lượng của lepton mang điện được chéo hóa, trong đó tβ = mE = diag(me , mµ , mτ ). Để đơn giản ta chuyển về cơ sở Higgs. Kí hiệu các trạng thái của Higgs Boson mang điện là: ! ! ! H1 cos β sin β Φ1 = H2 − sin β cos β Φ2 ! ! ! Φ1 cos β − sin β H1 ⇒ = Φ2 sin β cos β H2 ( ⇒ (1.4) Φ1 = cβ H1 − sβ H2 Φ2 = sβ H1 + cβ H2 Khi đó lưỡng tuyến Higgs có dạng:   + G 
. H1 = 1 √ v + ϕ01 + iG0 2   + H 
. H2 = 1 √ ϕ02 + ia 2 (1.5) Với ϕ01 , ϕ02 là trường Higgs CP - chẵn trung hòa, a là trường Higgs CP - lẻ trung hòa. G+ , G0 là các Goldstone Boson chúng bị ăn bởi W + , Z. H+ ! = G+ ⇒ φ+ 1 φ+ 2 ! = cos β − sin β sin β cos β ! − sin β cos β ! φ+ 2 cos β sin β φ+ 1 ! H + G+ ! (1.6) 10 ! A = G0 ⇒ sin β ! φ0I1 φ0I2 ! cos β − sin β = ! φ0I2 cos β cos β φ0I1 ! sin β A (1.7) ! G0 − sin β cos β Sự trộn giữa các trường CP-chẵn φ0R1,2 được mô tả dưới góc trộn α ! h H φ0R1 ⇒ − sin α cos α = cos α ! = φ0R2 ( ⇒ ! sin α − sin α cos α cos α φ0R1 φ0R2 ! h ! ! sin α (1.8) H φ0R1 = −sα h + cα H φ0R2 = cα h + sα H Tương ứng ta có sự trộn các trường CP-chẵn trung hòa ϕ01,2 là: h ! = H ⇒ ϕ01 ϕ02 sin(β − α) ! ϕ01 sin(β − α) = cos(β − α) ! h cos(β − α) − sin(β − α) ( ϕ01 = sβ−α h + cβ−α H ⇒ ϕ02 = cβ−α h − sβ−α H h+ 1 h+ 2 + h H+ ! = ! = sin ϕ cos ϕ ! sin ϕ cos ϕ cos ϕ − sin ϕ ! ! (1.9) H + h ! H+ cos ϕ − sin ϕ ! ϕ02 cos(β − α) − sin(β − α) ! ⇒ cos(β − α) h+ 1 h+ 2 ! (1.10) 11 ( + h+ = sin ϕh+ 1 + cos ϕh2 ⇒ + H + = cos ϕh+ 1 − sin ϕh2 √ 2 2µMW , M1 , M2 lần lượt là khối lượng Trong đó sin 2ϕ = g(m2h+ − m2h+ ) 2 1 của boson vô hướng mang điện h+ 1,2 . Tất cả các tương tác được đưa ra từ Lagrangian tổng quát của mô hình, tuy nhiên chúng tôi chỉ chú ý đến các tương tác dẫn đến quá trình rã vi phạm số lepton thế hệ (LFV) ei → ej γ. Khối lượng bổ đính của neutrino được xác định từ các đóng góp ở bậc một vòng. Trong cơ sở khối lượng, số hạng khối lượng neutrino được viết (1/2)νLc M̂ν νL . Trong đó: Mν = U ∗ M̂ν U † = A[f m2E + m2E f T − √ v (f mE f2 + f2T mE f T )], 2cosβ với U = VP M N S là ma trận trộn PMNS. Các đỉnh tương tác được xác định thông qua các trạng thái vật lí. Nghĩa là khi đó ta phải làm việc trong các hệ cơ sở mới mà ma trận khối lượng của các fermion có dạng chéo. Sự chuyển đổi giữa 0 cơ sở thế hệ νaL , e0aL,R và cơ sở khối lượng được νaL , eaL,R được định nghĩa như sau: e0aL,R = eaL,R , ē0aL,R = ēaL,R , 0 νaL = Uab νbL . trong đó Uab là các ma trận chuyển cơ sở của các lepton. Ở đây chú ý rằng: c 0 c ∗ c = (ν̄aL ) = Uab ν̄bR , ν̄aR c T ) , νac = νa ≡ (νaL , νaR 12 νaL = PL νac = PL νa , c = PR νac = PR νa . νaR Các đỉnh tương tác giữa lepton và vô hướng được xác định từ số hạng Lagrangian Yukawa. Từ các biến đổi trên thay vào biểu thức Lagrangian Yukawa ta được: ! √ +
(f2 )ab 2mE + −LYl = νaL − δab tβ EbR cϕ h+ − s h ϕ 2 1 cβ v
+ − 2(νaL )C fab EbL sϕ h+ + ϕ h z 1 2 ! (f2 )+ mE sα δab + EaL − + cβ−α √ ab EbR h vcβ 2cβ ! + (f2 ) mE cα + EaL δab − sβ−α √ ab EbR H vcβ 2cβ ! + (f2 ) mE tβ δab + √ ab EbR a + h.c. + iEaL − v 2cβ (1.11) Các đỉnh tương tác của photon và Higgs mang điện được xác định từ số hạng Lagrangian chứa số hạng động năng hiệp biến sau: L = (Dµ H1 )+ (Dµ H1 ) + (Dµ H2 )+ (Dµ H2 ) + (Dµ h+ )+ (Dµ h+ ). ! + H 1 ∗ Dµ H2 = (∂µ − igW 3 T 3 − ig 0 Bµ ) 2 0 ! ! ! + 3 + ∂µ H 0 H ig W + tw Bµ = − 2 0 0 −W 3 + tw Bµ 0 g0 trong đó: tw = , Wµ3 = cw Zµ + sw Aµ , g −s2w Zµ + sw Aµ . Bµ = −sw Zµ + cw Aµ ⇒ tw Bµ = cw ! ! ! ∂µ H + H+ ig 2sw Aµ 0 ⇒ Dµ H2 = − 2 0 0 0 0 13 + = µ + (D H2 ) = ∂µ H − igsw Aµ H + ! 0  µ − µ − ∂ H − igsw A H , 0  ⇒ (Dµ H2 )+ (Dµ H2 ) = (∂ µ H − + igsw Aµ H − )(∂µ H + − igsw Aµ H + ) = igsw Aµ [−(∂ µ H − )H + + H − (∂µ H + )] (1.12) ∗ Dµ h+ = (∂µ −ig 0 Bµ )h+ = ∂µ h+ −ig 0 cw Aµ h+ = ∂µ h+ −igsw Aµ h+ (Dµ h+ )+ = (∂ µ + ig 0 B µ )h− = ∂ µ h− + ig 0 cw Aµ h− = ∂ µ h− + igsw Aµ h− ⇒ (Dµ h+ )+ (Dµ h+ ) = (∂ µ h− + igsw Aµ h− )(∂µ h+ − igsw Aµ h+ ) = igsw Aµ [−(∂ µ h− )h+ + h− (∂µ h+ )] (1.13) Ở đây ta chỉ xét các tương tác giữa một photon và hai Higgs mang điện do đó ta bỏ qua số hạng (Dµ H1 )+ (Dµ H1 ) và số hạng chứa Aµ H − Aµ H + , Aµ h− Aµ h+ , (∂ µ h− )(∂µ h+ ), (∂ µ H − )(∂µ H + ). Từ 1.12 và 1.13 ta có: L = igsw Aµ [−(∂ µ H − )H + + H − (∂µ H + )] + [−(∂µ h− )h+ + h− (∂µ h+ )] " !   h+ = −igsw Aµ ∂ µ h− , ∂ µ H − H+ !#   ∂ h+ µ + h− , H − ∂µ H + " ! !#   h+   ∂ h+ µ 1 1 − − µ − = −igsw Aµ + ∂ µ h− h , h 1 , ∂ h2 1 2 h+ ∂µ h+ 2 2 + − + µ − + − + = −igsw Aµ {[−(∂ µ h− 1 )h1 + h1 (∂µ h1 )] + [−(∂ h2 )h2 + h2 (∂µ h2 )]} − + − = −igsw Aµ {[(ip−µ ) + (−ip+µ )]h+ 1 h1 + [(ip−µ ) + (−ip+µ )]}h2 h2 − + − = −gsw [(p+µ − p−µ )Aµ h+ 1 h1 + (p+µ − p−µ )Aµ h2 h2 ] (1.14) 14 Tương tác của các boson chuẩn với các fermion mang điện được xác định từ số hạng Lagrangian của các đa tuyến fermion sau: X f ψ̄iγ µ Dµ ψ Lkin ⊃ f Dµ ψaL ⇒ Lkin = ! ν 1 1 aL = (∂µ − igW 3 T 3 − ig 0 Bµ ) 2 2 eaL ! ! √ ∂µ νaL 0 2Wµ+ ig = − √ 2 ∂µ eaL 2Wµ− 0  0 , ē0aL ν̄aL  γµ g 2 √ 0 2Wµ− √ 2Wµ+ 0  0 ! g  0 µ + 0 = √ ν̄aL γ Wµ eaL + ē0aL γ µ Wµ− νaL 2  g  ∗ = √ Uab ν̄b γ µ PL Wµ+ ea + ēa γ µ Wµ− Uab νb PL 2  g  ∗ µ = √ Uab γ PL ν̄b Wµ+ ea + Uab γ µ PL ēa Wµ− νb 2 νaL ! eaL 0 νaL e0aL ! (1.15) 15 Chương 2 Các biểu thức giải tích tính tỉ lệ rã nhánh 2.1 Đỉnh tương tác liên quan đến đóng góp bậc 1 vòng và rã vi phạm số lepton thế hệ Từ các kết quả trên ta có các đỉnh tương tác cho các giản đồ rã vi phạm số lepton thế hệ của lepton mang điện ei → ej γ trong mô hình Zee như sau: Bảng 2.1: Đỉnh tương tác liên quan đến quá trình rã vi phạm số lepton thế hệ trong mô hình Zee Đỉnh Hệ số Aµ h+ (p+ )h− (p− ) ig (p+ − p− )µ sw Ēa Wµ− νb ig √ Uab γµ PL 2 ν̄a Wµ+ Eb ig ∗ √ Uab γµ PL 2 Aµ (q)Wµ+ (p)Wµ− (p0 ) −ie[(q − p)λ gµν + (p − p0 )µ gνλ +(p0 − q)ν gλµ ]