Tài liệu Luận văn thạc sĩ khoa học giáo dục phân tích tính ổn định và thiết kế bộ quan sát cho một số lớp hệ dương trong mô hình mô hình roesser

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 TRẦN THANH THÁI PHÂN TÍCH TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ THIẾT KẾ BỘ QUAN SÁT CHO MỘT SỐ LỚP HỆ DƯƠNG TRONG MÔ HÌNH ROESSER TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 TRẦN THANH THÁI PHÂN TÍCH TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ THIẾT KẾ BỘ QUAN SÁT CHO MỘT SỐ LỚP HỆ DƯƠNG TRONG MÔ HÌNH ROESSER TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 8 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Lê Văn Hiện HÀ NỘI, 2018 LỜI CẢM ƠN Trước hết với tình cảm chân thành và lòng biết ơn sâu sắc, tôi xin gửi lời cám ơn đến các thầy giáo, cô giáo Khoa Toán - Trường ĐHSP Hà Nội 2 đã tận tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu để hoàn thành Luận văn tốt nghiệp. Đặc biệt tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS.Lê Văn Hiện đã dành nhiều thời gian tâm huyết, trực tiếp hướng dẫn tận tình, chỉ bảo và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình nghiên cứu đề tài và hoàn chỉnh bản Luận văn thạc sĩ chuyên nghành Toán giải tích. Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ, sẻ chia, giúp đỡ và đồng hành cùng tôi trong cuộc sống cũng như trong quá trình học tập nghiên cứu! TÁC GIẢ LUẬN VĂN Trần Thanh Thái LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng: Số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. TÁC GIẢ LUẬN VĂN Trần Thanh Thái MỤC LỤC Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Một số ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Chương 1. Sơ bộ về hệ 2-D dạng Roesser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 1.1. Ví dụ về mô hình hệ 2-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Mô hình Roesser tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3. Tính ổn định của hệ 2-D tuyến tính trong mô hình Roesser . . . . . . . . . . . 10 Chương 2. Tính ổn định và ổn định hóa của lớp hệ dương 2-D dạng Roesser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1. Hệ dương 2-D dạng Roesser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2. Tính ổn định của hệ dương 2-D tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3. Thiết kế điều khiển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.4. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Chương 3. Thiết kế bộ quan sát đối với hệ dương 2-D dạng Roesser có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.1. Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2. Phân tích tính ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.3. Thiết kế bộ quan sát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.4. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Kết luận chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Hệ hai chiều nảy sinh trong rất nhiều mô hình vật lí, kỹ thuật ở đó sự lan truyền thông tin trạng thái xảy ra theo hai hướng độc lập. Mô hình hệ hai chiều được ứng dụng để mô tả và phân tích tính chất của nhiều lớp hệ trong thực tiễn kỹ thuật như các hệ trong mạng viễn thông, xử lí ảnh, xử lí và truyền tín hiệu và đặc biệt trong việc thiết kế các lọc tín hiệu số đa chiều (xem [2, 9] và các tài liệu trích dẫn ở đó). Trong việc mô tả các mô hình thực tiễn đó, các hệ hai chiều thường được biễu diễn thông qua các phương trình trạng thái (state-space model). Một số lớp mô hình trạng thái thường được sử dụng như mô hình Roesser, mô hình Fornasini-Marchesini (FM) thứ nhất và thứ hai, mô hình Attasi hay mô hình Kurek [9]. Do cấu trúc đặc biệt, mô hình Roesser được sử dụng nhiều trong việc mô tả động lực các hệ trong thực tiễn kĩ thuật [1,5,6]. Mặt khác, trong thực tế, các đại lượng như số lượng các gói dữ liệu truyền tải, số cá thể trong một quần thể hay số nơ-ron trong một mạng lưới v.v luôn nhận giá trị không âm. Các mô hình như thế thường được mô tả bởi các hệ động lực mà các biến trạng thái của chúng luôn không âm. Nói cách khác, với các dữ kiện ban đầu không âm (nằm trong nón dương), quỹ đạo nghiệm của các hệ động lực đó luôn nằm trong nón dương tương ứng. Lớp hệ như vậy được gọi là các hệ dương [3]. Do các tính chất lý thuyết đặc biệt và những ứng dụng thực tiễn, lớp hệ dương đã và đang nhận được sự quan tâm đặc biệt của nhiều tác giả trong vài thập kỉ gần đây. Các kết quả nghiên cứu đã công bố đối với lớp hệ dương 2-D, đặc biệt các lớp hệ dương có 2-D trễ, vẫn còn khá khiêm tốn. Gần đây, trong bài báo [8] các tác giả nghiên cứu tính ổn định và ứng dụng trong thiết kế bộ quan sát cho lớp hệ dương 2-D trong mô hình Roesser tuyến tính có trễ. Cách tiếp cận chính là dựa trên tính đơn điệu cảm sinh bởi tính dương của hệ, các điều kiện cần và đủ dạng bài toán quy hoạch tuyến tính được thiết lập 2 để đảm bảo tính ổn định, sự tồn tại cũng như các điều kiện thiết kế các bộ quan sát. Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về lớp hệ dương 2-D rời rạc, trong luận văn này, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu “Phân tích tính ổn định và thiết kế bộ quan sát cho một số lớp hệ dương trong mô hình Roesser tuyến tính” dựa trên bài báo [8] và các tài liệu có liên quan. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận văn là nghiên cứu tính ổn định và bài toán thiết kế bộ quan sát dạng Luenberger và bộ quan sát giảm chiều cho một số lớp hệ dương 2-D trong mô hình Roesser tuyến tính dựa trên tài liệu [8]. 3. Nội dung nghiên cứu Các nội dung được nghiên cứu trong luận văn bao gồm: a) Hệ thống hóa mô hình hệ 2-D rời rạc. b) Nghiên cứu tính ổn định và ổn định hóa của lớp hệ dương 2-D tuyến tính. c) Phân tích, làm rõ kết quả trong [8] về bài toán thiết kế bộ quan sát đối với lớp hệ dương 2-D dạng Roesser có trễ. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Xét lớp hệ 2-D dạng Roesser có trễ sau đây      + 1, j) xh (i, j) xv (i, j + 1) xv (i, j) xh (i   = A  y(i, j) = C   + Ad    xh (i, j) xv (i, j) xh (i −  + Cd    + Bu(i, j), (0.1)  , (0.2) τh , j) xv (i, j − τv ) xh (i − τh , j) xv (i, j − τv ) ở đó xh ∈ Rnh , xv ∈ Rnv , u ∈ Rnu và y ∈ Rny tương ứng là vectơ trạng thái ngang, vectơ trạng thái dọc, điều khiển đầu vào và vectơ đo được đầu ra của hệ, A, Ad ∈ Rn×n (n = nh + nv ), B ∈ Rn×nu và C , Cd ∈ Rny ×n là các ma trận thực cho 3 trước, τh , τv là các số nguyên dương biểu thị độ trễ của hệ theo phương ngang và phương đứng. Điều kiện đầu của hệ (0.1) được xác định bởi các hàm φh , φv như sau: xh (i, j) = φh (i, j), (i, j) ∈ I[−τh , 0] × N0 xv (i, j) = φv (i, j), (i, j) ∈ N0 × I[−τv , 0] (0.3) ở đó φh (i, .) và φv (., j) thuộc không gian dãy c0 , tức là limj→∞ φh (i, j) = 0 và limi→∞ φv (i, j) = 0. Điều kiện đầu (0.3) là không âm, φh  0, φv  0, nếu φh (i, j) ∈ Rn+h và φv (i, j) ∈ Rn+v với mọi (i, j). a) Đối tượng nghiên cứu là lớp hệ 2-D dạng (0.1) và các dạng đặc biệt của nó, chẳng hạn lớp hệ không có trễ tương ứng. b) Phạm vi nghiên cứu bao gồm: • Đặc trưng tính dương của hệ, tức là tìm các điều kiện đảm bảo rằng với các dãy ban đầu và điều khiển đầu vào không âm, quỹ đạo trạng thái tương ứng của hệ luôn không âm. • Phân tích tính ổn định và ổn định hóa theo điều khiển phản hồi cho lớp hệ dương dạng (0.1). • Bài toán thiết kế các bộ quan sát kiểu Luenberger và bộ quan sát giảm chiều cho lớp hệ dương 2-D có trễ. 5. Phương pháp nghiên cứu Luận văn sử dụng phương pháp quy nạp hai thang để đánh giá trạng thái. Đối với bài toán ổn định, ổn định hóa và thiết kế bộ quan sát, chúng tôi sử dụng các kết quả trong giải tích ma trận với các ma trận không âm và xây dựng các điều kiện phân tích và thiết kế thông qua các bài toán dạng quy hoạch tuyến tính. 4 6. Bố cục của luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành ba chương. Chương 1: Giới thiệu sơ bộ về mô hình Roesser và lớp hệ 2-D rời rạc Chương 2: Phân tích tính ổn định và ổn định hóa theo điều khiển phản hồi cho lớp hệ dương 2-D tuyến tính không có trễ. Chương 3: Nghiên cứu bài toán thiết kế các bộ quan sát dạng Luenberger và bộ quan sát giảm chiều đối với lớp hệ dương 2-D có trễ dạng (0.1) dựa trên nội dung bài báo [8]. 5 MỘT SỐ KÝ HIỆU R+ Tập các số thực không âm N0 Tập các số nguyên không âm [n] Tập hợp n số tự nhiên đầu tiên, [n] = {1, 2, . . . , n} Rn Không gian Euclide n-chiều kxk∞ Chuẩn max của vectơ x = (xi ) ∈ Rn , kxk∞ = maxi∈[n] |xi | x0 Vectơ x không âm, tức là x = (xi ) ∈ Rn và xi ≥ 0, ∀i ∈ [n] xy nếu x = (xi ) ∈ Rn , y = (yi ) ∈ Rn và xi ≥ yi , ∀i ∈ [n] Rn+ Orthan dương {x ∈ Rn : x  0} x≻0 Vectơ x dương, tức là x = (xi ) ∈ Rn và xi > 0, ∀i ∈ [n] |x| = (|xi |) ∈ Rn+ với x = (xi ) ∈ Rn |A| = (|aij |)m×n với A = (aij ) ∈ Rm×n Rm×n Tập hợp các ma trận cỡ m × n. X⊤ Ma trận chuyển vị của X Sn Tập các ma trận đối xứng trong Rn×n Sn+ Tập các ma trận đối xứng xác định dương trong Rn×n I Ma trận đơn vị 6 Chương 1 SƠ BỘ VỀ HỆ 2-D DẠNG ROESSER Trong chương này, chúng tôi giới thiệu sơ lược về lớp hệ 2-D trong mô hình Roesser và một số khái niệm liên quan về tính ổn định và đưa ra các định nghĩa cần thiết bổ trợ cho việc trình bày nội dung các chương sau. 1.1. Ví dụ về mô hình hệ 2-D Xét hệ điều khiển mô tả bởi phương trình đạo hàm riêng cấp 1 sau đây:    ∂T (x,t) = − ∂T (x,t) − aT (x, t) + bu(x, t), ∂x ∂t (1.1)  y(x, t) = cT (x, t), ở đó T (x, t) là hàm ẩn (chẳng hạn hàm nhiệt độ) tại tọa độ x ∈ [0, xf ] và thời t ∈ [0, ∞), u(x, t) là hàm điều khiển và y(x, t) là tín hiệu đầu ra và a, b, c là các hằng số. Pipe ‫ݔ(ݑ‬, ‫)ݐ‬ ܶ(‫ݔ‬, ‫)ݐ‬ ‫ݔ(ݕ‬, ‫)ݐ‬ ‫ݔ‬ Steam (or water) Hình 1.1: Hệ điều khiển quá trình nhiệt Mô hình (1.1) được sử dụng trong một số quá trình nhiệt trong các phản ứng hóa học hay trong các ống nhiệt của lò hấp [9]. Trong thực tế, các tín hiệu 7 điều khiển thường được tổng hợp thông qua quá trình rời rạc hóa. Đặt T (i, j) = T (i∆x, j∆t), u(i, j) = u(i∆x, j∆t) ∂T (x, t) T (i, j) − T (i − 1, j) ≈ , ∂x ∆x ∂T (x, t) T (i, j + 1) − T (i, j) ≈ . ∂t ∆t Khi đó phương trình (1.1) có thể viết dưới dạng:   T (i, j + 1) = 1− ∆t ∆t − a∆t T (i, j) + T (i − 1, j) + b∆tu(i, j). ∆x ∆x (1.2) Hàm điều khiển theo tín hiệu đầu ra (output feedback control) được thiết kế dạng u(i, j) = ky(i, j) = kcT (i, j). Đặt xh (i, j) = T (i − 1, j) và xv (i, j) = T (i, j). Khi đó hệ đóng tương ứng của (1.1) có dạng     xh (i + 1, j) xv (i, j + 1) = − a∆t + bkc∆t  {z } 0 1 ∆t ∆x 1− | ∆t ∆x A0  xh (i, j) xv (i, j)  , i, j ∈ N. (1.3) Hệ (1.3) diễn tả một mô hình hệ 2-D dạng Roesser.   Mặt khác, từ (1.2) ta đặt x(i, j) =  T (i − 1, j) T (i, j) , khi đó (1.2) trở thành (1.4) x(i + 1, j + 1) = A1 x(i, j + 1) + A2 x(i + 1, j), ở đó  A1 =  0 0 1 0  ,  A2 =  0 ∆t ∆x 0 1− ∆t ∆x − a∆t + bkc∆t  . Hệ (1.4) diễn tả mô hình hệ 2-D trong mô hình Fornasini-Marchesini thứ hai (FM-II).  Trong hệ (1.3), vectơ trạng thái của hệ được xác định bởi x(i, j) =   xh (i, j) xv (i, j) . Sự lan truyền thông tin của vectơ xh theo trục i (phương ngang) trong khi sự lan truyền của vectơ xv theo trục j (phương đứng). Các hệ động lực mà sự lan truyền thông tin theo hai phương độc lập được gọi chung là các hệ 2-D. Việc nghiên cứu định tính các hệ 2-D nói chung khó khăn hơn rất nhiều so với các hệ 1-D tương ứng dạng x(k + 1) = A0 x(k). Một trong những khó khăn cơ bản là 8 nhiều phương pháp và công cụ nghiên cứu đã phát triển đối với hệ 1-D không còn phù hợp với hệ 2-D, chẳng hạn như công thức nghiệm cơ bản hay các ước lượng dựa trên quy nạp một thang theo thời gian k . 1.2. Mô hình Roesser tổng quát Trong các mô hình hệ hai chiều, mô hình Roesser (RM) được sử dụng một cách rộng rãi do cấu trúc tự nhiên và đơn giản. Mô hình 2-D Roesser được mô tả bởi hệ phương trình   xh (i + 1, j) xv (i, j + 1)   = A11 A12 A21 A22 | {z A0 h y(i, j) = C1   }  xh (i, j) xv (i, j)   + B1 B2   u(i, j), (1.5)  i xh (i, j)  + Du(i, j), C2  xv (i, j) ở đó i, j ∈ Z+ là các biến thời gian rời rạc theo tọa độ ngang và dọc, xh (i, j) ∈ Rn1 là vectơ trạng thái ngang, xv (i, j) ∈ Rn2 là vectơ trạng thái dọc, u(i, j) ∈ Rm là điều khiển đầu vào, y(i, j) ∈ Rp là vectơ đầu ra và A0 , B1 , B2 , C1 , C2 , D là các ma trận hằng với số chiều thích hợp. Điều kiện đầu đối với (1.5) được xác định bởi các dãy φh (j) và φv (i) xh (0, j) = φh (j), j ∈ N; xv (i, 0) = φv (i), i ∈ N. (1.6) Thông thường φh (.), φv (.) được giả thiết có giá hữu hạn, tức là tồn tại các số nguyên dương T1 , T2 sao cho φh (j) = 0, j ≥ T1 , φv (i) = 0, i ≥ T2 , hoặc tổng quát hơn các dãy φh , φv thuộc lớp c0 , tức là φh (k) → 0, φv (k) → 0 khi k → ∞. Một lớp điều kiện đầu khác được nghiên cứu nhiều đối với lớp hệ 2-D là các dãy φh ∈ l2 (N0 , Rnh ) và φv ∈ l2 (N0 , Rnv ), tức là X0 , ∞  X 2 kφh (k)k + kφv (k)k k=0 2  < ∞. Để cho gọn, trong các phần sau ta viết chung là φh , φv ∈ l2 . 9 1.3. Tính ổn định của hệ 2-D tuyến tính trong mô hình Roesser Xét hệ 2-D tuyến tính được mô tả bởi mô hình Roesser sau đây:       xh (i + 1, j) xv (i, j + 1) = A11 A12 A21 A22 | {z  xh (i, j) xv (i, j) } A0 , i, j ∈ N, (1.7) ở đó A0 ∈ Rn×n là ma trận hằng cho trước. Điều kiện đầu của (1.7) được cho bởi các dãy φh , φv ∈ l2 : xh (0, j) = φh (j), j ≥ 0, xv (i, 0) = φv (i), i ≥ 0. (1.8) Định nghĩa 1.3.1. Hệ (1.7) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nghiệm bất kì x(i, j) của (1.7) với điều kiện đầu (1.8) thỏa mãn lim χr , lim r→∞ r→∞  (1.9) sup kx(i, j)k = 0. i+j=r Đa thức đặc trưng của (1.7) được cho bởi  C(z1 , z2 ) = det   Inh − z1 A11 −z1 A12 −z2 A21 Inv − z2 A22  . Định lí 1.3.1 ( [9]). Hệ (1.7) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi C(z1 , z2 ) 6= 0 với mọi (z1 , z2 ) ∈ U , ở đó U = {(z1 , z2 ) ∈ C2 : |z1 | ≤ 1, |z2 | ≤ 1}. Từ Định lí 1.3.1 ta có điều kiện ổn định sau. Định lí 1.3.2. Hệ (1.7) ổn định tiệm cận nếu tồn tại ma trận P = diag(P h , P v ) ∈ S+ n thỏa mãn LMI sau A⊤ 0 P A0 − P < 0. Chứng minh. Xét hàm Lyapunov sau V (i, j) = V h (i, j) + V v (i, j) ở đó V h (i, j) = xh⊤ (i, j)P h xh (i, j) và V v (i, j) = xv⊤ (i, j)P v xv (i, j). Sai phân ∆V (i, j) được định nghĩa như sau ∆V (i, j) = ∂1 (V h (i, j)) + ∂2 (V v (i, j)) 10 (1.10) = V h (i + 1, j) − V h (i, j) + V v (i, j + 1) − V v (i, j). Chứng minh tương tự Mệnh đề 2.2.2, nếu ∆V (i, j) xác định âm thì hệ (1.7) ổn định tiệm cận. Bây giờ ta còn cần chứng minh rằng ∆V (i, j) xác định âm nếu (1.10) được thỏa mãn. Thật vậy, kí hiệu A1 = [A11 A12 ] và A2 = [A21 A22 ] thì từ hệ (1.7) có xh (i + 1, j) = A1 x(i, j), xv (i, j + 1) = A2 x(i, j). Do đó
h ⊤ v ∆V (i, j) = x⊤ (i, j) A⊤ 1 P A1 + A2 P A2 x(i, j) − xh⊤ (i, j)P hxh (i, j) − xv⊤ (i, j)P v xv (i, j)     ⊤ A1   A1 = x⊤ (i, j)   P   x(i, j) − x⊤ (i, j)P x(i, j) A2 A2
= x⊤ (i, j) A⊤ 0 P A0 − P x(i, j). Từ đó suy ra, nếu (1.10) được thỏa mãn thì ∆V (i, j) xác định âm và hệ (1.7) ổn định tiệm cận. 11 Chương 2 TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA CỦA LỚP HỆ DƯƠNG 2-D DẠNG ROESSER Trong chương này chúng tôi nghiên cứu tính ổn định của lớp hệ dương 2-D dạng Roesser. Dựa trên tính chất đơn điệu cảm sinh bởi tính dương của hệ, một điều kiện cần và đủ cho tính ổn định của hệ đặc trưng thông qua điều kiện dạng bài toán quy hoạch tuyến tính. Trên cơ sở kết quả nghiên cứu về tính ổn định, chúng tôi xét bài toán thiết kế điều khiển phản hồi sao cho hệ đóng tương ứng là hệ dương và ổn định. Kết quả của chương này được chúng tôi thực hiện dựa trên lược đề nghiên cứu trong [8]. Xét hệ 2-D dạng Roesser sau đây     xh (i + 1, j) xv (i, j + 1)  = A xh (i, j) xv (i, j)   + Bu(i, j), (2.1) ở đó, như đã giới thiệu ở Chương 1, xh ∈ Rnh và xv ∈ Rnv là các vectơ trạng thái theo phương ngang và dọc, u ∈ Rm là điều khiển đầu vào, A ∈ Rn×n (n = nh +nv ) và B ∈ Rn×nu là các ma trận thực cho trước. Điều kiện đầu của (2.1) được xác định bởi các dãy φh : N0 → Rnh và φv : N0 → Rnv như sau xh (0, j) = φh (j), j ∈ N0 , 2.1. xv (i, 0) = φv (i), i ∈ N0 . (2.2) Hệ dương 2-D dạng Roesser Trong mục này chúng tôi giới thiệu các điều kiện đặc trưng tính dương của hệ (2.1). Định nghĩa 2.1.1. Hệ (2.1) được gọi là hệ dương nếu với mọi điều kiện đầu φh  0, φv  0, và với đầu vào không âm, u(i, j) ∈ Rm + , quỹ đạo nghiệm tương 12  ứng của (2.1) thỏa mãn x(i, j) =  xh (i, j) xv (i, j)    0 với mọi i, j ∈ N0 . Theo Định nghĩa 2.1.1, hệ (2.1) là hệ dương nếu với đầu vào không âm, orthant dương Rn+h × Rn+v là tập bất biến của hệ. Kết quả sau đây cho một đặc trưng của tính dương của hệ (2.1). Mệnh đề 2.1.1. Hệ (2.1) là hệ dương khi và chỉ khi A, B là các ma trận không âm, tức là A ∈ Rn×n và B ∈ Rn×m . + + Chú ý 2.1.1. Mệnh đề 2.1.1 có thể chứng minh dựa trên các biễu diễn nghiệm kiểu chuỗi kép trong [10]. Tuy nhiên, ở đây chúng tôi trình bày một chứng minh kiểu quy nạp hai thang trên N20 . Chứng minh. Điều kiện cần: Nếu B có ít nhất một phần tử âm, giả sử bij < 0 thì với φh = φv = 0, u = ej là vectơ đơn vị chính tắc thứ j của Rm , quỹ đạo nghiệm tương ứng x(i, j) không thỏa mãn x(i, j)  0 với mọi i, j . Tương tự, nếu ma trận A có ít nhất một phần tử âm, khi đó ta có thể chọn các dãy ban đầu φh  0, φv  0 và u(i, j) = 0 sao cho x(i, j)  0 với mọi i, j ∈ N0 . Mâu thuẫn đó chứng tỏ A  0 và B  0. Điều kiện đủ: Giả sử A ∈ Rn×n và B ∈ Rn×m . Ta sẽ chứng minh với φh  0, + + φv  0 và đầu vào u(i, j)  0, x(i, j)  0 với mọi (i, j) ∈ Γq định nghĩa bởi Γq = {(i, j) ∈ N20 : i + j = q}. Thật vậy, rõ ràng kết luận đúng với q = 0. Với q = 1 ta có   xh (1, 0) = Jh Ax(0, 0) + Bu(0, 0)  0, h i ở đó Jh = Inh 0nh ×nv , và xv (1, 0) = φv (1)  0 nên x(1, 0)  0. Tương tự,   v x (0, 1) = Jv Ax(0, 0) + Bu(0, 0)  0 và xh (0, 1) = φh (1)  0 nên x(0, 1)  0, ở đó i h Jv = 0nh ×nv Inv . Do đó khẳng định đúng với q = 1. Bây giờ ta giả sử khẳng định đã được chứng minh cho Γp với 1 ≤ p ≤ q . Ta chứng minh khẳng định trên cũng đúng với Γq+1 . Thật vậy, với bất kì (i, j) ∈ Γq+1 ta có (i, j) = (is + 1, j) = (i, js + 1), ở đó is = i − 1 và js = j − 1. Chú ý thêm rằng 13 (is , j) ∈ Γq và (i, js ) ∈ Γq . Do đó,  h  x (i, j) = Jh Ax(is , j) + Bu(is , j)  0,  v  x (i, j) = Jv Ax(i, js ) + Bu(i, js )  0, tức là x(i, j)  0 trên Γq+1 . Vì N20 = S∞ q=0 Γq , nên ta có thể kết luận rằng x(i, j) ≥ 0 for all i, j ∈ N0 . Vậy hệ (2.1) là hệ dương. Mệnh đề được chứng minh. 2.2. Tính ổn định của hệ dương 2-D tuyến tính Giả sử hệ 2-D dạng Roesser (2.1) là hệ dương, tức là A  0 và B  0. Một điều khiển phản hồi đối với (2.1) được thiết kế dạng (2.3) u(i, j) = Kx(i, j), ở đó K ∈ Rm×n là ma trận đạt được của điều khiển cần thiết kế. Khi đó, hệ đóng của (2.1), (2.3) được cho bởi  ở đó Ac = A + BK .   xh (i + 1, j) xv (i, j + 1) (2.4)  = Ac x(i, j), Bài toán ổn định hóa chúng tôi nghiên cứu ở đây là thiết kế điều khiển (2.3) sao cho hệ đóng (2.4) là hệ dương ổn định tiệm cận.   φ h Để đơn giản, dưới đây chúng tôi ký kiệu φ =   ứng với điều kiện đầu φv (2.2) và x(i, j, φ) là nghiệm tương ứng (2.4). Mệnh đề 2.2.1. Giả sử hệ đóng (2.4) là hệ dương. Khi đó, với bất kì điều kiện đầu φ cho bởi (2.2), |x(i, j, φ)| ≤ x(i, j, |φ|) đúng với mọi (i, j) ∈ N20 . Chứng minh. Do giả thiết hệ (2.4) là hệ dương nên Ac  0. Từ đó suy ra     h  x (i + 1, j)    = |Ac x(i, j)| ≤ Ac |x(i, j)|. (2.5)   v  x (i, j + 1)  14 Mặt khác, 0  x(i, j, φ1 )  x(i, j, φ2 ) với mọi điều kiện đầu 0  φ1  φ2 . Do vậy, bằng phương pháp quy nạp tương tự trong chứng minh Mệnh đề 2.1.1 ta có điều phải chứng minh. Nhận xét 2.2.1. Do Mệnh đề 2.2.1, hệ dương (2.4) là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi nó ổn định tiệm cận với mọi điều kiện đầu φ ∈ l2+ , ở đó l2+ = l2 (N0 , Rn+ ). Điều kiện cần và đủ cho tính ổn định của hệ dương (2.4) được cho trong định lí dưới đây. Định lí 2.2.1. Hệ dương (2.4) là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi tồn tại một vectơ η ∈ Rn , η ≻ 0, thỏa mãn điều kiện (2.6) η ⊤ Ac − η ⊤ ≺ 0. Chứng minh. Điều kiện cần được chứng minh tương tự Định lí 1 trong [7]. Bây giờ ta chứng minh điều kiện  đủ. Giả sử x(i, j) là nghiệm bất kì của (2.4) với điều η h kiện đầu φ  0 và η =   ∈ Rn là một vectơ dương thỏa mãn (2.6). Ta xét ηv hàm Lyapunov 2-D sau đây (2.7) V (x(i, j)) = ηh⊤ xh (i, j) + ηv⊤ xv (i, j) . | {z Vh (i,j) Sai phân của V = V (x(i, j)) được cho bởi } | {z Vv (i,j) } ∆V = Vh (i + 1, j) − Vh (i, j) + Vv (i, j + 1) − Vv (i, j) = ηh⊤  h x (i + 1, j) − x (i, j)  = η ⊤   h xh (i + 1, j) xv (i, j + 1)    + ηv⊤   v x (i, j + 1) − x (i, j)  − x(i, j) = η ⊤ Ac − η ⊤ x(i, j). Từ (2.7) suy ra v  (2.8) V (x(i, j)) ≥ ηmin 1⊤ n x(i, j), ở đó ηmin = mini∈[n] ηi và 1n là vectơ trong Rn có các thành phần bằng 1. Mặt khác, từ (2.6) suy ra với ǫ > 0 đủ nhỏ ta có η ⊤ Ac − η ⊤  −ǫη ⊤ . Kết hợp với (2.8) 15 ta được ∆V ≤ −ǫη ⊤ x(i, j) = −ǫV (x(i, j)) (2.9) ≤ −ǫηmin 1⊤ n x(i, j). Lấy tổng hai vế (2.9) theo i từ 0 đến T1 và theo j từ 0 đến T2 ta được ǫηmin T1 X T2 X 1⊤ n x(i, j) ≤− i=0 j=0 T2 X T1  X Vh (i + 1, j) − Vh (i, j) j=0 i=0 − T1 X T2  X Vv (i, j + 1) − Vv (i, j) i=0 j=0 = T2  X Vh (0, j) − Vh (T1 + 1, j) j=0 + T1  X ≤ ηmax ∞ X kφ(k)k1 < ∞.   Vv (i, 0) − Vv (i, T2 + 1) i=0   (2.10) k=0 Cho T1 , T2 → ∞ ta được ∞ X 1⊤ n x(i, j) i,j=0 ∞ ηmax X ≤ kφ(k)k1 < ∞. ǫηmin i,j=0 Từ đó suy ra limr→∞ sup{kx(i, j)k1 : i + j = r} = 0. Do vậy hệ đóng (2.4) là ổn định tiệm cận. Định lí được chứng minh. Chú ý 2.2.1. Với điều kiện Ac  0, điều kiện (2.6) tương đương với điều kiện sau đây ∃ν ∈ Rn , ν ≻ 0 : Ac ν − ν ≺ 0. 2.3. (2.11) Thiết kế điều khiển Trong mục này chúng tôi xét bài toán thiết kế điều khiển phản hồi (2.3) sao cho hệ đóng (2.4) là hệ dương ổn định. Theo Mệnh đề 2.1.1, hệ (2.4) là hệ dương khi và chỉ khi điều kiện sau được thỏa mãn Ac = A + BK  0. 16 (2.12)