Tài liệu Luận văn thạc sĩ khoa học giáo dục điều khiển tối ưu bất đẳng thức biến phân elliptic

BË GIO DÖC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M H€ NËI 2 PHAN QUÈC V‹N I—U KHIšN TÈI ×U B‡T NG THÙC BI˜N PH…N ELLIPTIC LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC H€ NËI, N‹M 2018 BË GIO DÖC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M H€ NËI 2 PHAN QUÈC V‹N I—U KHIšN TÈI ×U B‡T NG THÙC BI˜N PH…N KIšU ELLIPTIC Chuy¶n ng nh: To¡n gi£i t½ch M¢ sè: 8 46 01 02 LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC NG×ÍI H×ÎNG DˆN KHOA HÅC TS. TR†N V‹N BŒNG H€ NËI, N‹M 2018 Líi c£m ìn Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi TS. Tr¦n V«n B¬ng, ng÷íi ¢ ành h÷îng chån · t i v  tªn t¼nh h÷îng d¨n º tæi câ thº ho n th nh luªn v«n n y. Tæi công xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh tîi c¡c th¦y cæ pháng Sau ¤i håc, còng c¡c th¦y cæ gi¡o d¤y lîp th¤c sÿ chuy¶n ng nh To¡n gi£i t½ch, tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m H  Nëi 2 ¢ gióp ï tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp. Nh¥n dàp n y tæi công xin ÷ñc gûi líi c£m ìn ch¥n th nh tîi gia ¼nh, b¤n b± ¢ luæn ëng vi¶n, cê vô, t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi cho tæi trong qu¡ tr¼nh håc tªp v  ho n th nh luªn v«n. H  Nëi, th¡ng 7 n«m 2018 T¡c gi£ Phan Quèc V«n 1 Líi cam oan Tæi xin cam oan luªn v«n Th¤c s¾ chuy¶n ng nh To¡n gi£i t½ch vîi · t i i·u khiºn tèi ÷u b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n elliptic l  k¸t qu£ cõa qu¡ tr¼nh t¼m hiºu, nghi¶n cùu cõa t¡c gi£ d÷îi sü h÷îng d¨n cõa TS. Tr¦n V«n B¬ng. Trong qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu thüc hi»n luªn v«n, t¡c gi£ ¢ k¸ thøa nhúng th nh tüu cõa c¡c nh  khoa håc vîi sü tr¥n trång v  bi¸t ìn. H  Nëi, th¡ng 7 n«m 2018 T¡c gi£ Phan Quèc V«n 2 Möc löc Mð ¦u 4 1 6 Ki¸n thùc chu©n bà 1.1 To¡n tû ìn i»u cüc ¤i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 To¡n tû phi tuy¸n t«ng tr÷ðng . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 B§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n elliptic trøu t÷ñng . . . . . . . . . 10 2 i·u khiºn tèi ÷u b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n elliptic 14 2.1 B§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n elliptic. Sü tçn t¤i nghi»m . . . . 2.1.1 B i to¡n vªt c£n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 B i to¡n  n hçi - d´o . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 B i to¡n elliptic vîi i·u ki»n bi¶n mët ph½a . . . . . 2.2 i·u khiºn tèi ÷u b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n elliptic . . . . . 2.2.1 B i to¡n i·u khiºn tèi ÷u têng qu¡t . . . . . . . . 2.2.2 C¡ch ti¸p cªn chung èi vîi nguy¶n lþ cüc ¤i . . . 2.2.3 i·u khiºn tèi ÷u ph÷ìng tr¼nh elliptic nûa tuy¸n t½nh 2.2.4 i·u khiºn tèi ÷u b i to¡n vªt c£n . . . . . . . . . . 14 14 25 27 30 31 34 46 58 K¸t luªn 64 T i li»u tham kh£o 65 3 Mð ¦u 1. L½ do chån · t i Lþ thuy¸t i·u khiºn tèi ÷u l  mët ph¦n mð rëng cõa ph²p t½nh bi¸n ph¥n, l  mët ph÷ìng ph¡p tèi ÷u ho¡ cho c¡c lþ thuy¸t i·u khiºn ph¡t sinh. Ph÷ìng ph¡p n y ph¦n lîn l  do cæng lao âng gâp cõa nh  to¡n håc Li¶n Xæ Pontryagin v  nh  to¡n håc Mÿ Richard Bellman. ¸n nay, lþ thuy¸t n y nhªn ÷ñc sü quan t¥m nghi¶n cùu cõa r§t nhi·u nh  khoa håc trong v  ngo i n÷îc. i·u khiºn tèi ÷u c¡c h» vi ph¥n trong khæng gian húu h¤n chi·u ¢ ¤t ÷ñc nhi·u k¸t qu£ quan trång, tuy nhi¶n èi vîi h» trong khæng gian væ h¤n chi·u th¼ v¨n cán kh¡ h¤n ch¸. Vîi mong muèn t¼m hiºu s¥u hìn v· v§n · n y, nhªn ÷ñc sü h÷îng d¨n cõa TS Tr¦n V«n B¬ng, tæi ¢ chån · t i: " i·u khiºn tèi ÷u b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n elliptic " l m luªn v«n cao håc cõa m¼nh. 2. Möc ½ch nghi¶n cùu T¼m hiºu v· b i to¡n i·u khiºn tèi ÷u x¡c ành bði b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n elliptic. °c bi»t l  vi»c mæ t£ i·u ki»n c¦n tèi ÷u v  kh£ n«ng ùng döng cõa chóng. 3. Nhi»m vö nghi¶n cùu T¼m hiºu v·: 4 + To¡n tû ìn i»u cüc ¤i, to¡n tû t«ng tr÷ðng, b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n elliptic; + B i to¡n i·u khiºn tèi ÷u èi vîi b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n elliptic. 4. èi t÷ñng v  ph¤m vi nghi¶n cùu +èi t÷ñng: B§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n elliptic v  b i to¡n i·u khiºn tèi ÷u. +Ph¤m vi: Nghi¶n cùu i·u ki»n c¦n v  kh£ n«ng ùng döng cõa chóng. 5. Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu Sû döng c¡c ph÷ìng ph¡p cõa Gi£i t½ch bi¸n ph¥n, Tèi ÷u khæng lçi v  Tèi ÷u khæng trìn. 6. C§u tróc cõa luªn v«n C§u tróc cõa luªn v«n gçm hai ch÷ìng: Ch÷ìng 1: Ki¸n thùc chu©n bà Ch÷ìng 2: i·u khiºn tèi ÷u b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n elliptic. 5 Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà Nëi dung cõa ch÷ìng n y chõ y¸u ÷ñc tham kh£o tø [4], ch÷ìng 1 v  ch÷ìng 2, t¡c gi£ tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc cì sð li¶n quan tîi c¡c t½nh ch§t cõa b i to¡n i·u khiºn tèi ÷u b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n elliptic, to¡n tû ìn i»u cüc ¤i, to¡n tû t«ng tr÷ðng, b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n elliptic trøu t÷ñng. 1.1 To¡n tû ìn i»u cüc ¤i N¸u X v  Y l  hai khæng gian tuy¸n t½nh, X × Y l  t½ch · c¡c cõa chóng. C¡c ph¦n tû cõa X × Y vi¸t l  [x, y] ð ¥y x ∈ X v  y ∈ Y. N¸u A l  mët to¡n tû a trà tø X v o Y, chóng ta câ thº çng nh§t nâ vîi ç thà cõa nâ trong X × Y : {[x, y] ∈ X × Y ; y ∈ Ax} Ng÷ñc l¤i, méi tªp A ⊂ X × Y, x¡c ành mët to¡n tû A theo c¡ch Ax = {y ∈ X; [x, y] ∈ A} , D (A) = {x ∈ X; Ax 6= Ø} [ R (A) = Ax, A−1 = {[y, x] ; [x, y] ∈ A} . x∈D(A) Tø ¥y v· sau chóng ta s³ çng nh§t c¡c to¡n tû tø X v o Y vîi ç thà cõa chóng trong X × Y v  do â ta câ thº nâi mët c¡ch t÷ìng ÷ìng l  tªp con cõa X × Y thay cho to¡n tû tø X tîi Y. 6 N¸u A, B ⊂ X × Y v  λ l  mët sè thüc, ta °t: λA = {[x, λy] ; [x, y] ∈ A} ; A + B = {[x, y + z] ; [x, y] ∈ A, [x, z] ∈ B} ;  AB = [x, z] ; [x, y] ∈ B, [y, z] ∈ A, vîi mët y ∈ Y Trong möc n y, X l  mët khæng gian Banach thüc vîi khæng gian èi ng¨u X ∗. N¸u X l  khæng gian Hilbert, trøu tr÷íng hñp ch¿ rã, ta çng nh§t X vîi khæng gian èi ng¨u cõa nâ. Tªp A ⊂ X × X ∗ (t÷ìng ÷ìng, to¡n tû A : X → X ∗) ÷ñc gåi l  ìn i»u n¸u: ành ngh¾a 1.1. (x1 − x2 , y1 − y2 ) ≥ 0, ∀ [xi , yi ] ∈ A, i = 1, 2 Tªp ìn i»u A ⊂ X × X ∗ ÷ñc gåi l  ìn i»u cüc ¤i n¸u nâ khæng thüc sü chùa trong b§t k¼ tªp ìn i»u n o cõa X × X ∗. Chó þ r¬ng n¸u A l  to¡n tû ìn trà tø X v o X ∗, th¼ A l  ìn i»u n¸u (x1 − x2 , Ax1 − Ax2 ) ≥ 0, ∀ (x1 , x2 ) ∈ D (A) . Mët v½ dö ìn gi£n v· tªp ìn i»u cõa X × X ∗ l  ¡nh x¤ èi ng¨u J cõa X. Cho A l  to¡n tû ìn trà tø X v o X ∗ vîi D (A) = X. To¡n tû A ÷ñc gåi l  nûa li¶n töc n¸u vîi ∀x, y ∈ X ành ngh¾a 1.2. w∗ − lim A (x + λy) = Ax. λ→0 A ÷ñc gåi l  m¤nh-y¸u* tùc l  li¶n töc n¸u nâ l  h m li¶n töc tø X v o Xw∗ , w∗ − lim Axn = Ax. xn →x 7 A ÷ñc gåi l  c÷ïng bùc n¸u
lim xn − x0 , yn kxn k−1 = ∞ n→∞ (1.1) vîi mët x0 ∈ A v  måi [xn, yn] ∈ A sao cho limn→∞ kxnk = ∞. A ÷ñc gåi l  bà ch°n n¸u nâ bà ch°n tr¶n méi tªp con bà ch°n. Cho X l  khæng gian Banach thüc v  ϕ : X → R l  h m lçi nûa li¶n töc d÷îi. Khi â ∂ϕ l  mët tªp con ìn i»u cüc ¤i cõa X × X ∗. ành lþ 1.1. Nhí k¸t qu£ n y m  chóng ta câ thº ùng döng nghi¶n cùu sü tçn t¤i nghi»m cõa b i to¡n bi¶n elliptic vîi i·u ki»n bi¶n th½ch hñp. Vîi Ω l  tªp con mð bà ch°n cõa RN , v  g : R → R l  h m ch½nh th÷íng, lçi, nûa li¶n töc d÷îi sao cho 0 ∈ D(∂g). Ta ành ngh¾a h m ϕ : L2 (Ω) → R bði (R  1 ϕ(y) =  2 |Oy| + g(y) dx Ω +∞ 2 n¸u y ∈ H01(Ω) v  g(y) ∈ L1(Ω), n¸u tr¡i l¤i (1.2) H m ϕ l  nûa li¶n töc d÷îi, lçi, v  6≡ +∞. Hìn núa, n¸u bi¶n ∂Ω õ trìn (ch¯ng h¤n lîp C 2) ho°c n¸u Ω l  lçi, th¼ ∂ϕ ⊂ L2 (Ω) × L2 (Ω) ÷ñc cho bði M»nh · 1.1. ∂ϕ = {[y, w] ; w ∈ L2 (Ω); y ∈ H01 (Ω) ∩ H 2 (Ω), h.k.n. , x ∈ Ω}. Do â, vîi méi f ∈ L2(Ω), b i to¡n Dirichlet  −4y + ∂g(y) 3 f h.k.n. trong Ω, y=0 tr¶n ∂Ω, câ nghi»m duy nh§t y ∈ H01(Ω) × H 2(Ω). w(x) + 4y(x) ∈ ∂g(y(x)), 8 (1.3) (1.4) 1.2 To¡n tû phi tuy¸n t«ng tr÷ðng Trong Möc n y X l  khæng gian Banach vîi chu©n k · k, X ∗ l  khæng gian èi ng¨u cõa nâ, v  (·, ·) l  c°p èi ng¨u giúa X v  X ∗. Ta kþ hi»u nh÷ thæng th÷íng J : X → X ∗ l  ¡nh x¤ èi ng¨u cõa khæng gian X. Tªp con A cõa X × X (ho°c, to¡n tû a trà tø X tîi X ) ÷ñc gåi l  t«ng tr÷ðng n¸u vîi méi c°p [x1 , y1 ], [x2 , y2 ] ∈ A, tçn t¤i w ∈ J(x1 − x2 ) sao cho (y1 − y2 , w) ≥ 0. (1.5) ành ngh¾a 1.3. Mët tªp t«ng tr÷ðng ÷ñc gåi l  t«ng tr÷ðng cüc ¤i n¸u nâ khæng chùa thüc sü trong b§t ký tªp t«ng tr÷ðng n o cõa X × X. Mët tªp t«ng tr÷ðng A ÷ñc gåi l  m-t«ng tr÷ðng n¸u R(I + A) = X. (1.6) Ð ¥y, ta kþ hi»u I l  to¡n tû ìn và trong X, nh÷ng n¸u khæng sñ nh¦m l¨n th¼ º ìn gi£n ta vi¸t 1 thay cho I. Kþ hi»u D(A) = {x ∈ X; Ax 6= Ø} l  mi·n x¡c ành cõa A v  R(A) = {y ∈ Ax; [x, y] ∈ A} l  mi·n gi¡ trà cõa A. Gièng nh÷ trong tr÷íng hñp c¡c to¡n tû tø X tîi X ∗, ta çng nh§t mët to¡n tû (thªm ch½ a trà) A : D(A) ⊂ X → X vîi ç th¼ cõa nâ {[x, y]; y ∈ Ax} v  do â coi A l  tªp con cõa X × X. Mët tªp con A ÷ñc gåi l  ti¶u t¡n (t÷ìng ùng, ti¶u t¡n cüc ¤i, m-ti¶u t¡n ) n¸u −A l  t«ng tr÷ðng, (t÷ìng ùng, cüc ¤i, m-t«ng tr÷ðng). Cuèi còng, A ÷ñc gåi l  ω-t«ng tr÷ðng (ω-m-t«ng tr÷ðng ), trong â ω ∈ R n¸u A + ωI t«ng tr÷ðng (t÷ìng ùng, m-t«ng tr÷ðng). Tªp con A ⊂ X × X l  ω -t«ng tr÷ðng ho°c ω -m-t«ng tr÷ðng vîi ω ∈ R ÷ñc gåi l  tüa-t«ng tr÷ðng, t÷ìng ùng, tüa-m-t«ng tr÷ðng. 9 Ð d÷îi ¥y, chóng tæi ch¿ ra t½nh t«ng tr÷ðng cõa A thªt ra l  t½nh ch§t h¼nh håc metric m  câ thº ÷ñc biºu di¹n mët c¡ch t÷ìng ÷ìng nh÷ sau kx1 − x2 k ≤ kx1 − x2 + λ(y1 − y2 )k, ∀λ > 0, [xi , yi ] ∈ A, i = 1, 2, (1.7) b¬ng c¡ch sû döng bê · sau: Cho x, y ∈ X. Khi â tçn t¤i w ∈ J(x) sao cho (y, w) ≥ 0 khi v  ch¿ khi kxk ≤ kx + λyk, ∀λ > 0 (1.8) Bê · 1.1. 1.3 B§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n elliptic trøu t÷ñng Cho X l  khæng gian Banach ph£n x¤ vîi khæng gian èi ng¨u X ∗ v  gi£ sû A : X → X ∗ l  to¡n tû ìn i»u (tuy¸n t½nh ho°c phi tuy¸n). Cho ϕ : X → R l  h m nûa li¶n töc d÷îi, lçi tr¶n X, ϕ 6≡ +∞. N¸u f l  ph¦n tû ¢ cho cõa X, ta x²t b i to¡n sau: T¼m y ∈ X sao cho (Ay, y − z) + ϕ (y) − ϕ (z) ≤ (y − z, f ) ; ∀z ∈ X. (1.9) ¥y l  mët b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n elliptic trøu t÷ñng g­n vîi to¡n tû A v  h m lçi ϕ, v  câ thº biºu di¹n t÷ìng ÷ìng nh÷ sau: Ay + ∂ϕ (y) 3 f, (1.10) trong â ∂ϕ ⊂ X × X ∗ l  d÷îi vi ph¥n cõa ϕ. Trong tr÷íng hñp °c bi»t ϕ = IK cõa h m ch¿ cõa tªp hñp lçi âng K trong X, tùc l   0, n¸u x ∈ K IK (x) = +∞, n¸u tr¡i l¤i, th¼ b i to¡n (1.9) trð th nh: 10 T¼m y ∈ K sao cho (Ay, y − z) 6 (y − z, f ); ∀z ∈ K. (1.11) Chó þ r¬ng n¸u to¡n tû A công l  mët d÷îi vi ph¥n ∂ψ cõa h m lçi li¶n töc ψ : X → R, th¼ b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (1.9) t÷ìng ÷ìng vîi b i to¡n cüc tiºu ho¡ (nguy¶n lþ Dirichlet) min {ψ (z) + ϕ (z) − (z, f ) ; z ∈ X} (1.12) ho°c, trong tr÷íng hñp b i to¡n (1.11) min {ψ (z) − (z, f ) ; z ∈ K} (1.13) º t¼m hiºu sü tçn t¤i cõa b i to¡n (1.9), ¦u ti¶n chóng ta c¦n ¸n k¸t qu£ sau. Gi£ sû A : X → X ∗ l  to¡n tû ìn i»u, b¡n li¶n töc v  ϕ : X → R l  h m lçi, nûa li¶n töc d÷îi, ch½nh th÷íng Gi£ sû tçn t¤i y0 ∈ D (ϕ) sao cho ành lþ 1.2. lim ((Ay, y − y0 ) + ϕ (y)) / kyk = +∞. kyk→∞ (1.14) Khi â b i to¡n (1.9) câ ½t nh§t mët nghi»m. Ngo i ra, tªp hñp c¡c nghi»m l  bà ch°n, lçi, v  âng trong X . N¸u to¡n tû A l  ìn i»u ch°t, ngh¾a l , (Au − Av, u − v) = 0 ⇔ u = v, th¼ nghi»m l  duy nh§t. Gi£ sû A : X → X ∗ l  to¡n tû ìn i»u b¡n li¶n töc v  K l  tªp hñp con lçi âng cõa X . Gi£ thi¸t y0 ∈ K sao cho H» qu£ 1.1. lim ((Ay, y − y0 )) / kyk = +∞, kyk→∞ (1.15) ho°c K bà ch°n. khi â b i to¡n (1.11) câ ½t nh§t mët nghi»m. Tªp hñp t§t c£ c¡c nghi»m l  bà ch°n, lçi, âng. N¸u A l  ìn i»u ch°t, th¼ nghi»m (1.11) l  duy nh§t. 11 Cö thº hìn chóng ta gi£ thi¸t th¶m r¬ng X X ∗ = V 0 , v  = V l  khæng gian Hilbert, (1.16) theo ngh¾a ¤i sè v  tæ pæ, trong â H l  khæng gian Hilbert thüc ÷ñc çng nh§t vîi èi ng¨u cõa nâ. C¡c chu©n cõa V v  H ÷ñc k½ hi»u t÷ìng ùng l  k.k v  |.| . Vîi v ∈ V v  v0 ∈ V 0 ta kþ hi»u (v, v0) gi¡ trà cõa v0 trong v ; n¸u v, v 0 ∈ H, th¼ â l  t½ch væ h÷îng cõa v v  v 0 trong H . Chu©n trong V 0 s³ ÷ñc k½ hi»u bði k.k∗ . Cho A ∈ L (V, V 0) l  to¡n tû tuy¸n t½nh li¶n töc tø V tîi V 0 sao cho, câ mët ω > 0, V ⊂H ⊂V0 (Av, v) ≥ ω kvk2 , ∀v ∈ V. Th÷íng th¼ to¡n tû A ÷ñc x¡c ành bði ph÷ìng tr¼nh (u, Av) = a (u, v) , trong â a : V × V sao cho (1.17) ∀u, v ∈ V, → R l  phi¸m h m song tuy¸n t½nh li¶n töc tr¶n V × V (av, v) ≥ ω kvk2 , (1.18) ∀v ∈ V. Khi â, b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (1.9) tr¶n V trð th nh (y, y − z) + ϕ (y) − ϕ (z) ≤ (y − z, f ) , ∀z ∈ V v  (1.19) (1.20) Sau ¥y ta s³ th§y, trong c¡c ¡p döng, V th÷íng l  khæng gian Sobolev tr¶n tªp mð Ω cõa RN , H = L2 (Ω) v  A l  to¡n tû vi ph¥n elliptic tr¶n Ω vîi i·u ki»n bi¶n thu¦n nh§t th½ch hñp (Chi ti¸t v· c¡c khæng gian Lp (Ω), khæng gian Sobolev câ thº tham kh£o trong [3] ho°c [1] ). Tªp hñp K th÷íng x¡c ành bði c¡c i·u ki»n bi¶n cõa mi·n Ω. y ∈ K, a (y, y − z) ≤ (y − z, f ) , 12 ∀z ∈ K. Cho a : V × V → R l  phi¸m h m song tuy¸n t½nh li¶n töc tho£ m¢n i·u ki»n (1.18) v  cho ϕ : V → R, l  mët h m nûa li¶n töc d÷îi, lçi ch½nh th÷íng. Khi â, vîi méi f ∈ V 0, b i to¡n (1.19) câ nghi»m duy nh§t y ∈ V . nh x¤ f → y l  Lipschitz tø V 0 v o V . T÷ìng tü vîi b i to¡n (1.20) H» qu£ 1.3. Cho a : V × V → R l  h m phi¸m h m song tuy¸n t½nh li¶n töc thäa m¢n i·u ki»n (1.18) v  K l  tªp hñp con lçi âng cõa V . Khi â, vîi méi f ∈ V 0, b i to¡n (1.20) câ nghi»m duy nh§t y. nh x¤ f → y l  Lipschitz tø V 0 v o V . Mët v§n · °t ra khi x²t ph÷ìng tr¼nh (1.19) l  li»u Ay ∈ H hay khæng ? º tr£ líi v§n · n y, chóng ta x²t to¡n tû AH : H → H, H» qu£ 1.2. AH y = Ay vîi y ∈ D (AH .) = {u ∈ V ; Au ∈ H} (1.21) To¡n tû AH , x¡c ành d÷ìng tr¶n H v  R (I + AH ) = H (I l  to¡n tû çng nh§t trong H ). Do â, AH l  ìn i»u cüc ¤i trong H × H. ành lþ 1.3. D÷îi c¡c gi£ thi¸t cõa H» qu£ 1.2, gi£ sû th¶m r¬ng tçn t¤i h ∈ H v  C ∈ R sao cho  −1 ϕ (I + λAH )  (y + λh) ≤ ϕ (y) + Cλ, ∀λ > 0, y ∈ V (1.22) Khi â, n¸u f ∈ H, nghi»m y cõa (1.19) thuëc D (AH ) v  |Ay| ≤ C (I + |f |) . H» qu£ 1.4. (1.23) Trong H» qu£ (1.11), gi£ thi¸t th¶m f ∈ H v  (1 + λAH )−1 (y + λh) ∈ K vîi måi h ∈ H v  vîi måi λ > 0. (1.24) Khi â nghi»m y cõa b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (1.11) thuëc D (AH ) v  ta câ ¡nh gi¡ sau: |Ay| ≤ C (I + |f |) , ∀f ∈ H. (1.25) 13 Ch÷ìng 2 i·u khiºn tèi ÷u b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n elliptic Ch÷ìng n y · cªp ¸n b i to¡n i·u khiºn tèi ÷u c¡c b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n kiºu elliptic v  ph÷ìng tr¼nh elliptic nûa tuy¸n t½nh. T¦m quan trång ch½nh l  °t ra i·u ki»n c¦n c§p mët cho t½nh tèi ÷u thu ÷ñc b¬ng ph÷ìng ph¡p x§p x¿ ch½nh quy ho¡. Do â b i to¡n i·u khiºn tèi ÷u x¡c ành bði c¡c ph÷ìng tr¼nh elliptic phi tuy¸n, v  °c bi»t l  c¡c b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n, l  khæng lçi v  khæng trìn n¶n c¡c ph÷ìng ph¡p chu©n º suy ra i·u ki»n c¦n c§p mët cho t½nh tèi ÷u th÷íng khæng thº ¡p döng ÷ñc . Ph÷ìng ph¡p chóng ta sû dòng ð ¥y l  º x§p x¿ b i to¡n ¢ cho b¬ng mët hå c¡c b i to¡n tèi ÷u trìn chùa sè h¤ng ph¤t th½ch hñp v  chuyºn qua giîi h¤n c¡c i·u ki»n tèi ÷u t÷ìng ùng. Chóng ta s³ t¼m hiºu chi ti¸t vi»c ¡p döng lþ thuy¸t v o mët sè b i to¡n i·u khiºn vîi bi¶n tü do, nh÷ b i to¡n vªt c£n v  b i to¡n Signorini. 2.1 B§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n elliptic. Sü tçn t¤i nghi»m 2.1.1 B i to¡n vªt c£n Trong möc con n y, Ω l  tªp hñp mð, bà ch°n cõa khæng gian Euclide 14 RN vîi bi¶n ∂Ω, trìn. Thüc t¸ ta gi£ sû ∂Ω l  C 2 . Tuy nhi¶n, n¸u Ω lçi th¼ khæng c¦n i·u ki»n tr¶n. °t V x¡c ành bði (z, Ay) = a (y, z) = = H 1 (Ω) , H = L2 (Ω) , N Z X v  A : V aij (x) yxi (x) zxj (x) dx Ω i=1 →V0 α1 + a0 (x) y (x) z (x) dx + α2 Ω Z Z y (x) z (x) dσx (2.1) ∂Ω ∀y, z ∈ V, trong â α1, α2 l  hai sè khæng ¥m sao cho α1 + α2 > 0. N¸u α2 = 0 ta l§y V = H01 (Ω) v  A : H01 (Ω) → H −1 (Ω) x¡c ành bði (z, Ay) = a (y, z) = N Z X i=1 Z + aij (x) yxi (x) zxj (x) dx Ω (2.2) a0 (x) y (x) z (x) dx ∀y, z ∈ H01 (Ω) Ω Ð â a0, aij ∈ L∞ (Ω) vîi måi i, j = 1, . . ., N , aij = aji v  a0 (x) ≥ 0, N X aij (x) ξi ξj ≥ ω kξk2N , ∀ξ ∈ RN , x ∈ Ω, (2.3) i,j=1 trong â ω l  mët h¬ng sè d÷ìng v  k.kN l  chu©n Euclidean trong RN . N¸u α1 = 0, ta gi£ sû r¬ng a0 (x) ≥ ρ > 0 h¦u h¸t x ∈Ω. Ta nhªn ra r¬ng to¡n tû ÷ñc x¡c ành bði (2.1) l  to¡n tû elliptic c§p hai N X A0 y = − (aij yx )x + a0 y (2.4) i vîi i·u ki»n bi¶n trong ∂Ω, l  ¤o h m theo ph¡p tuy¸n ngo i. α1 y + α2 trong â ∂ν∂ j i,j=1 ∂y =0 ∂ν N X ∂ y= aij yxi cos (ν, xi ) . ∂ν i,j=1 15 (2.5) (2.6) T÷ìng tü, to¡n tû A x¡c ành bði (2.2) l  to¡n tû vi ph¥n (2.4) vîi i·u ki»n thu¦n nh§t Dirichlet: y = 0 tr¶n ∂Ω. Cho ψ ∈ H 2 (Ω) l  h m ¢ cho v  cho K l  tªp con lçi âng cõa V = H 1 (Ω) x¡c ành bði  K = y ∈ V ; y (x) ≥ ψ (x) h¦u h¸t x ∈ Ω . (2.7) Chó þ r¬ng K 6= ∅ v¼ ψ∗ = max (ψ, 0) ∈ K. N¸u V = H01 (Ω) , ta gi£ sû r¬ng ψ (x ≤ 0) h¦u h¸t. x ∈ ∂Ω i·u n y k²o theo K 6= ∅ nh÷ tr÷îc â. Cho f ∈ V 0. Khi â, theo H» qu£ (1.11), b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n a (y, y − z) ≤ (y − z, f ) ; (2.8) ∀z ∈ K câ nghi»m duy nh§t y ∈ K . Thüc t¸, y l  nghi»m cõa b i to¡n bi¶n th÷íng gåi l  b i to¡n vªt c£n, A0 y = f trong Ω+ = {x ∈ Ω; y (x) > ψ (x)} , A0 y ≥ f, y ≥ ψ trong Ω, ∂ψ ∂y y = ψ trong Ω\Ω+ , = trong ∂Ω+ \∂Ω. ∂ν ∂ν ∂y = 0 trong ∂Ω. α1 y + α2 ∂ν
vªy, n¸u ψ ∈ C Ω v  y l  nghi»m õ trìn, th¼ Ω+ (2.9) (2.10) l  tªp mð Thªt cõa Ω v  do â α ∈ C0∞ (Ω+) câ ρ > 0 sao cho y ± ρα ≥ ψ tr¶n Ω, ngh¾a l , y ± ρα ∈ K . Khi â n¸u l§y z = y ± ρα trong (2.8), ta th§y N Z X i,j=1 Z aij (x) yxi (x) αxi (x) dx + Ω Do â, A0y = f trong a0 yαdx = (f, α) ; Ω D0 (Ω+ ). 16
∀α ∈ C0 Ω+ . B¥y gií, n¸u ta l§y z = y + α, trong â α ∈ H 1 (Ω) v  α ≥ 0 trong Ω, ta ÷ñc N Z X i,j=1 Z a0 yαdx ≥ (f, α) , aij (x) yxi (x) αxj (x) dx + Ω Ω v  do â, A0y ≥ f trong D0 (Ω+). i·u ki»n bi¶n (2.10) ¢ ÷ñc k¸t hñp v o ành ngh¾a cõa to¡n tû A n¸u α2 = 0. N¸u α2 > 0, th¼ i·u ki»n bi¶n (2.10) nhªn ÷ñc tø b§t ¯ng thùc (2.8), n¸u α1ψ + α2 ∂ψ ∂ν ≤ 0 h¦u h¸t tr¶n ∂Ω. èi vîi ph÷ìng tr¼nh ∂y ∂ψ + ∂ν = ∂ν tr¶n ∂Ω , ¥y l  t½nh ch§t ÷ñc suy ra tø c¡c i·u ki»n y ≥ ψ trong Ω v  y = ψ trong ∂Ω+, n¸u y õ trìn. Trong b i to¡n (2.9), (2.10), m°t ∂Ω+\∂Ω = S, t¡ch mi·n Ω+ v  Ω\Ω+ ch÷a bi¸t tr÷îc ÷ñc gåi l  bi¶n tü do. Theo tr¶n, b i to¡n n y câ thº vi¸t l¤i nh÷ sau: T¼m bi¶n tü do S v  h m y tho£ m¢n A0 y = f y=ψ trong Ω\Ω+, trong Ω+ , trong S , ∂y α1 y + α2 ∂ν = 0 trong ∂Ω . ∂y ∂ν = ∂ψ ∂ν Trong cæng thùc bi¸n ph¥n (2.8), bi¶n tü do S khæng xu§t hi»n rã r ng nh÷ng ©n h m y thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh phi tuy¸n. Khi ¢ bi¸t y th¼ bi¶n tü do S ÷ñc x¡c ành l  bi¶n cõa tªp hñp {x ∈ Ω; y (x) = ψ (x)} . Ð ¥y, chóng ta s³ tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ v· t½nh ch½nh quy nghi»m cõa b i to¡n vªt c£n v  b i to¡n bi¶n tü do. Gi£ sû óng. Hìn núa, gi£ sû M»nh · 2.1.
aij ∈ C 1 Ω , a0 ∈ L∞ (Ω) , v  ψ ∈ H 2 (Ω) α1 ψ + α2 ∂ψ ≤0 ∂ν v  c¡c i·u ki»n (2.3) h¦u h¸t trong ∂Ω. 17 (2.11) Khi â vîi méi f ∈ L2 (Ω), nghi»m y cõa b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (2.8) thuëc H 2(Ω) v  thäa m¢n h» bò (A0 y (x) − f (x)) (y (x) − ψ (x)) = 0, h¦u h¸t x ∈ Ω, y (x) ≥ ψ (x) , A0 y (x) ≥ f (x) , h¦u h¸t x ∈ Ω, (2.12) còng vîi i·u ki»n bi¶n α1 y + α2 ∂y =0 ∂ν h¦u h¸t trong ∂Ω. (2.13) Hìn núa, tçn t¤i h¬ng sè d÷ìng C ëc lªp vîi f sao cho   kykH 2 (Ω) ≤ C kf kL2 (Ω) + 1 . (2.14) Chùng minh. Ta s³ ¡p döng H» qu£ 1.4 trong â H = L2 (Ω) , V = H 1 (Ω) (t÷ìng ùng, V = H01 (Ω) n¸u α2 = 0), A ÷ñc x¡c ành bði (2.1) (t÷ìng tü, (2.2), v  K ÷ñc cho bði (2.7). Rã r ng, to¡n tû AH : L2 (Ω) → L2 (Ω) trong tr÷íng hñp n y ÷ñc x¡c ành bði (AH y) (x) = (A0 y) (x) h¦u h¸t x ∈ Ω, y ∈ D (AH ) ,   ∂y 2 D (AH ) = y ∈ H (Ω) ; α1 y + α2 =0 h¦u h¸t trong ∂Ω . ∂ν Ta s³ kiºm tra i·u ki»n (1.24) vîi h = A0ψ. º l m i·u â, x²t b i to¡n bi¶n vîi λ > 0, W + λA0 W = y + λA0 ψ trong Ω, ∂W = 0 tr¶n ∂Ω, ∂ν câ nghi»m duy nh§t W ∈ D (AH ) . Nh¥n ph÷ìng tr¼nh n y vîi (W − ψ)− ∈ α1 W + α2 18